数学分析不定积分概念与基本积分公式

第8章 不定积分
• 不定积分概念与基本积分公式 • 换元积分法与分部积分法 • 有理函数和可化为有理函数的不
定积分
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第8.1节 不定积分概念与基本 积分公式
• 原函数与不定积分 • 基本积分表 • 不定积分的性质
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一、原函数与不定积分
1. 问题的提出 已知质点的运动规律s=s(t),则速度v(t)=s'(t);
x)
是
1 x
在
(,
0)
的一个原函数.
dx x
ln
x
C.
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例4 设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
y yx2+2
2xdx x2 C,
例如
先微后积差一常数
d dx
arctan
xdx
arctan
x
或d arctan xdx arctan xdx
( sin x
x )dx
sin x
x
C
或
d
(
sin x
x
)
sin x
x
C
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二、基本积分表 (Basic Formula of Indefinite Integra)
将一些基本的积分公式列成一个表——基本
注 (i) 连续函数一定有原函数； (ii) 任一函数的原函数（若存在）有无穷多；
cR
(F( x) C) f ( x).
(iii)函数的两个原函数间相差一个常数；
若F ( x) f ( x), ( x) f ( x),则 [F( x) ( x)] f ( x) f ( x) 0 F( x) ( x) C.
f (x) x2 C,
由曲线通过点(1,3)
代入上式,得 C 2, 所求曲线方程为 y x2 2.
(1, 3) ．
yx2
2 1
2 1 O 1 2 x
1 2
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不定积分的几何意义
(1) f ( x)的一个原函数F ( x)的图形叫 做函数f ( x)的一条积分曲线,如图.
(2)因为F ( x) f ( x),故积分曲线 上点x处切线的斜率恰等于f ( x) 在x处的函数值; (3)平移曲线y F ( x)得另一条积分曲线 y F ( x) C1 ,据此可得到整个曲线族 y F(x) C.
C;
(14) shxdx chx C;
(15) chxdx shx C;
ex ex shx
2 ex ex chx
2
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三、不定积分的性质 (Properties of the Definite Integral)
(4)因为（F( x) C） f ( x)故在点x处， 各个积分曲线在该点的切线皆平行.
y
Ox
x
y=F(x)
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4.积分运算与微分运算的关系
d dx
[
f ( x)dx]
f (x)或
d
f (x)dx
f (x)dx
先积后微形式不变
F(x)dx F(x) C或 dF(x) F(x) C
积分表.
(1) kdx kx C (k是常数);
(2) xdx x1 C ( 1); dx 1
(3) x ln x C;
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
（1）满足何种条件的函数必定存在原函数? 如 果存在原函数,它是否惟一? （2）若已知某个函数的原函数存在,如何把它求 出来?
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定理1 (原函数存在性定理)若函数f ( x)在区间I上连续， 则在I上存在原函数，即存在可导函数F ( x)，使
F ( x) f ( x)，x I .
因
1 x
1 x2
,
1 x
是
1 x2
的一个原函数.
因s(t) v(t)，路程函数 s(t) 是速度函数v(t) 的一个
原函数.
因 ln( x 1 x2 ) 1 ，知ln( x 1 x2 ) 1 x2 是 1 的一个原函数.
1 x2
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1
应该注意到： 尽管象 1 x2 这种形式简单的函数, 要求出它们的原函数也不是一件容易的事.因此, 如下问题要关注：
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3.不定积分
定义2 函数 f ( x)在区间I 上的全体原函数, 称为 f ( x)在
区间I 上的不定积分,记作 f ( x)dx, 即
被积函数
f ( x)dx F( x) C
被积 积 积分 分 表变 号 达量
式
积 分 常 数
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例1 求 x4dx.
解
Q
x5 5
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(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
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定理2 (原函数族的结构性定理) 设 F ( x) 是 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数, 则
(i) F ( x) C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数, 其中 C 为任意常数; (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 一个常数.
函数族
原函数的全体为：{F( x) C C }
x4 ,
x4dx
x5 5
C.
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
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dx
例3 求
x
解 x 0, ln x 1 ,
x
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱln
x
是
1 x
在(0, ) 的一个原函数.
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
ln(
反之若已知质点各时刻的运动速度v=v(t) 如何求其 运动规律s=s(t)? 从数学角度看：找一函数s=s(t)， 使s'(t) =v(t) .
2. 原函数
定义1 设函数f 与F在区间I上都有定义.若
F( x) f ( x), x I
称F为f 在区间I上的一个原函数.
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例如
因tan x sec2 x, tan x 是 sec2 x 的一个原函数.