数学分析不定积分概念与基本积分公式
数学分析知识要点整理
数学分析知识要点整理数学分析是数学专业的重要基础课程，它为后续的许多课程提供了必备的知识和方法。
以下是对数学分析中的一些关键知识要点的整理。
一、函数函数是数学分析的核心概念之一。
1、函数的定义设 X 和 Y 是两个非空数集，如果对于 X 中的每个元素 x，按照某种确定的对应关系 f，在 Y 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称 f 是定义在 X 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ X。
2、函数的性质（1）单调性：若对于定义域内的任意两个自变量 x1 和 x2，当 x1＜ x2 时，都有 f(x1) ＜ f(x2)（或 f(x1) ＞ f(x2)），则称函数 f(x)在其定义域上单调递增（或单调递减）。
（2）奇偶性：若对于定义域内的任意 x，都有 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为奇函数；若 f(x) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为偶函数。
（3）周期性：若存在非零常数 T，使得对于定义域内的任意 x，都有 f(x ＋ T) ＝ f(x)，则称函数 f(x)为周期函数，T 为函数的周期。
3、反函数设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。
如果对于 R 中的每一个 y，在 D 中都有唯一确定的 x 与之对应，使得 y ＝ f(x)，则这样得到的 x 关于 y 的函数称为 y ＝ f(x)的反函数，记作 x ＝ f⁻¹(y)。
二、极限极限是数学分析中的重要概念，用于描述变量在一定变化过程中的趋势。
1、数列的极限对于数列｛an}，若存在常数 A，对于任意给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A| ＜ε 恒成立，则称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞） an ＝ A。
2、函数的极限（1）当x → x0 时函数的极限：设函数 f(x)在点 x0 的某个去心邻域内有定义，如果存在常数 A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当 0 ＜｜x x0| ＜δ 时，不等式｜f(x) A| ＜ε 恒成立，则称常数A 是函数 f(x)当x → x0 时的极限，记作lim(x→x0) f(x) ＝ A。
陈纪修主编的《数学分析》(第2版)辅导书-第6章 不定积分【圣才出品】
第6章 不定积分6.1 复习笔记一、不定积分的概念和运算法则1．微分的逆运算——不定积分（1）原函数若在某个区间上，函数F （x ）和f （x ）成立关系F'（x ）=f （x ），则称函数F （x ）是f （x ）的一个原函数。
（2）不定积分一个函数f （x ）的原函数全体称为这个函数的不定积分，记作这里，“”称为积分号，f （x ）称为被积函数，x 称为积分变量。
2．不定积分的线性性质若函数f （x ）和g （x ）的原函数都存在，则对任意常数k 1和k 2，函数k 1f（x ）+k 2g （x）的原函数也存在，且有二、换元积分法和分部积分法1．换元积分法（1）在不定积分中，用u=g （x ）对原式作变量代换，这时相应地有du=g'（x ）dx ，于是，这个方法称为第一类换元积分法，也被俗称为“凑微分法”。
（2）找到一个适当的变量代换x=φ（t ）（要求x=φ（t ）的反函数t=φ-1（x ）存在），将原式化为这个方法称为第二类换元积分法。
2．分部积分法对任意两个可微的函数u （x ）、v （x ），成立关系式d[u （x ）v （x ）]=v （x ）d[u （x ）]+u（x）d[v （x ）]，两边同时求不定积分并移项，就有也即这就是分部积分公式。
三、有理函数的不定积分及其应用1．有理函数的不定积分（1）形如的函数称为有理函数，这里和分别是m 次和n 次多项式，n，m 为非负整数。
若m>n ，则称它为真分式；若m≤n，则称它为假分式。
（2）设有理函数是真分式，多项式有k 重实根α即则存在实数λ与多项的次数低于的次数，成立（3）设有理函数是真分式，多项式有l 重共轭复根，即其中则实数和多项式的次数低的次数，成立2．可化成有理函数不定积分的情况（1）类的不定积分。
这里R （u ，v ）表示两个变量μ、υ的有理函数（即分子和分母都是关于u ，v的二元多项式）。
对作变量代换，则。
3+cosx平方分之一不定积分
一、介绍对于许多初学微积分的学生来说，不定积分是一个比较困难的概念。
而其中涉及到三角函数的不定积分更是让人望而生畏。
本文将针对3+cosx平方分之一的不定积分进行讲解，帮助读者更好地理解这一概念。
二、基本概念1. 不定积分不定积分是定积分的逆运算，它是用来求解函数的原函数的过程。
在求解不定积分时，我们常常使用一些基本的积分公式和方法，如换元法、分部积分法等。
2. 三角函数三角函数是数学中的重要概念，其中包括sinx、cosx、tanx等函数。
这些函数在数学和物理领域中有着广泛的应用。
三、3+cosx平方分之一的不定积分求解要求解3+cosx平方分之一的不定积分，我们可以按照以下步骤进行：1. 通过三角恒等变换，将cosx平方转化为sinx：3+cosx = 4 - (1-cosx) = 4 - sinx平方2. 令u=sinx，进行变量替换：∫(3+cosx)^(-1/2)dx = ∫(4-u^2)^(-1/2)du3. 使用arcsin函数进行求解：将√(4-u^2)写成2*(1-u^2/4)^(-1/2)，然后使用arcsin函数的积分公式进行求解。
4. 最终求解出不定积分的结果：∫(3+cosx)^(-1/2)dx = arcsin(u/2) + C其中，C为积分常数。
四、实例演示举例说明该不定积分的求解过程：对于∫(3+cosx)^(-1/2)dx的求解，我们可以进行如下变换：1. 令u=sinx2. dx = cosxdu将原不定积分替换为∫(4-u^2)^(-1/2)du，然后使用arcsin函数的积分公式进行求解，最终得到不定积分的结果。
五、总结通过本文对3+cosx平方分之一不定积分的求解过程进行讲解和演示，希朩读者能更好地理解这一概念。
也希望读者在学习不定积分和三角函数时能够多多实践，多多思考，从而掌握更多的解题技巧和方法。
六、延伸阅读1. 不定积分的基本概念和性质2. 三角函数的相关知识和应用3. 其他复杂函数的不定积分求解方法希望本文能对读者有所帮助，如果有任何疑问或意见，欢迎留言讨论。
不定积分的概念及运算法则
y=x2
启示 结论
-1
O 1 C2 C3
于是所求曲线方程为
2
x
华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.1)
10 / 18
华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.1)
11 / 18
基本积分表：
(1) ( 2)
∫ kdx = k x + C ∫x
∫
μ
(8)
( k 为常数)
∫ cos 2 x = ∫ sec
即 Φ ( x) = F ( x) + C0 属于函数族 F ( x) + C .
华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.1)
华东理工大学《数学分析》电子课件(§6.1)
4 / 18
5 / 18
定义 2 f (x) 在区间 I 上的原函数全体称为 f ( x) 在 I 上的不定积分, 记作 ∫ f ( x) d x , 其中
dx
2
xdx = tan x + C
例5. 求
dx =
μ +1
1
x μ +1 + C
( μ ≠ 1)
dx (9) ∫ 2 = ∫ csc 2 xdx = cot x + C sin x (10) (11) (12) (13) (14) (15)
12 / 18
∫x3 x .
∫x
4 3 1 3
3 dx = x 4 +C 3 +1
i =1 i i i =1 i i
n
n
ex 5 = 2x +C ln 2 + 1 ln 2
例8. 求 ∫ tan xdx .
2 2 解: 原式 = ∫ (sec x 1)dx
数学分析 不定积分概念与基本积分公式
xdx x1 C . 1
( 1)
启示 能否根据求导公式得出积分公式？
结论 既然积分运算和微分运算是互逆的， 因此可以根据求导公式得出积分公式.
基 (1) kdx kx C (k是常数);
本
积
(2)
xdx x1 C ( 1); 1
分 表
(3)
dx x
说明：
ln x x 0,
C;
dx x
ln
x
C
,
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
dx x
ln(
x
)
C
,
dx x
ln
|
x
|
C
,
简写为
dx x
ln
x
C.
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) sinh xdx cosh x C;
(15) cosh xdx sinh x C;
例 求积分 x2 xdx.
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
华东师范大学数学系《数学分析》(第4版)(上册)(课后习题 不定积分)【圣才出品】
第8章 不定积分§1 不定积分概念与基本积分公式1．验证下列等式，并与（3）、（4）两式相比照（1）（2）（3）式为（4）式为解：（1）因为，所以它是对f（x）先求导再积分，等于f（x）＋C，（3）式是对f（x）先积分再求导，则等于（2）因为，由（1）可知它是对f（x）先微分后积分，则等于f（x）＋C；而（4）式是对f（x）先积分后微分，则等于f（x）dx．2．求一曲线y＝f（x），使得在曲线上每一点（x,y）处的切线斜率为2x，且通过点（2，5）．解：由题意，有f'（x）＝2x，即又由于y＝f（x）过点（2，5），即5＝4＋C，故C＝1．因而所求的曲线为y＝f（x）＝x2＋1．3．验证是|x|在（－∞,＋∞）上的一个原函数．证明：因为所以而当x ＝0时，有即y'（0）＝0．因而即是在R 上的一个原函数．4．据理说明为什么每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数?解：设x 0为f （x ）在区间I 上的第一类间断点，则分两种情况讨论．（1）若x 0为可去间断点．反证法：若f （x ）在区间I上有原函数F （x ），则在内由拉格朗日中值定理有，ξ在x 0和x 之间．而这与x 0为可去间断点是矛盾的，故F （x ）不存在．（2）若x 0为跳跃间断点．反证法：若f（x ）在区间I 上有原函数F （x ），则亦有成立．而这与x0为跳跃间断点矛盾，故原函数仍不存在．5．求下列不定积分：解：6．求下列不定积分：解：（1）当x≥0时，当x＜0时，由于在上连续，故其原函数必在连续可微．因此即，因此所以（2）当时，由于在上连续，故其原函数必在上连续可微．因此，即，因此所以7．设，求f（x）．解：令，则即8．举例说明含有第二类间断点的函数可能有原函数，也可能没有原函数．解：x＝0是此函数的第二类间断点，但它有原函数另外，狄利克雷函数D（x），其定义域R上每一点都是第二类间断点，但D（x）无原函数．§2 换元积分法与分部积分法1．应用换元积分法求下列不定积分：。
数学分析第八章不定积分
数 , 则 k1 f + k2 g 在 I 上也存在原函数 , 且
∫ ∫ ∫ [ k1 f ( x ) + k2 g( x) ] d x = k1 f ( x) d x + k2 g( x ) d x .
( 5)
证 这是因为
∫ ∫ ∫ ∫ k1 f ( x )d x + k 2 g( x) d x ′= k1 f ( x )d x ′+ k 2 g( x) d x ′
知函数 .提出这个逆问题 , 首先是因为它出现在许多实际问题之中
.例如 : 已知速
度求路程 ; 已知加速度求速度 ; 已知曲线 上每一 点处 的切线 斜率 ( 或斜率 所满 足
的某一规律 ) , 求曲线方程等等 .本章与 其后两 章 ( 定 积分与 定积 分的 应用 ) 构 成
一元函数积分学 .一 原函数与不定积分源自(2 , 5) .3 . 验证
y=
x
2
sgn
x
是
| x| 在
∫ v( t) = ad t = at + C .
若已知 v( t0 ) = v0 , 代入上式后确定积分常数 C = v0 - at0 , 于是就有
v( t ) = a( t - t0 ) + v 0 . 又因 s′( t) = v( t ) , 所以又有
∫ s( t) = [ a( t - t 0 ) + v 0] d t
2 (-
1 cos 2x
都是 )′=
sin 2 x 在 ( - ∞ , + ∞ ) 上的原函数 ( - 1 cos 2 x + 1)′= sin 2 x .
, 因为
2
2
如果这些简单的例子都可从基本求导公式反推而得的话
第一节不定积分概念与基本积分公式(数学分析)(数学分析)
∫ adx=ax+C, ∫
xα dx =
其 中 a是 常 数
∫ dx
= x +C
1 x α +1 + C . α +1
其 中 α 是 常 数 ， 且 α ≠ −1.
12
1 3、 ∫ dx = ln x + C. x 特别有: ∫ ex dx = ex + C.
1 x 4、 ∫ a dx = a + C, 其中a > 0, 且a ≠ 1. ln a
若 F ( x )已 知 ， f ( x )未 知 ， 由 F ( x ) → f ( x ), 则 称 （3）式 为 求 导 运 算 ， ' 称 f ( x )为 F ( x )的 导 数 。 若 f ( x )已 知 ， F ( x )未 知 ， 由 f ( x ) → F ( x ), 则 称 （3）式 为 积 分 运 算 ， 称 F ( x )为 ' f ( x )的 原 函 数 。
7
思考题： 1、 如果函数f ( x)的定义域是若干个分离的区间，那么它的原函数彼此之 间是否仅相差一个常数？ x2 , 可考虑函数 f ( x) = x, x ∈ (−∞, − 1) U (0, + ∞), 则 : F ( x) = 2 x2 , x ∈ (−∞, − 1) , 都是f ( x) = x 在 (−∞, − 1) U (0, + ∞)的原 G ( x) = 22 x + 1 , x ∈ (0, + ∞) 2 函数，它们之间的关系如何？ 2、 设F ( x)是连续函数f在R上的原函数，问： 1 ）、如果f ( x)是以T为周期的周期函数，那么F ( x)是否为周期函数？ 考虑： ( x) = cos x + 1. f 2)、 如果f ( x)是偶函数，那么F ( x)是否为奇函数？ 考虑： ( x) = cos x + 1. f
数学分析8.1不定积分概念与基本积分公式
2、f在I上的任意两个原函数之间，只可能相差一个常数.
证：1、依题意F’=f，则当C为常量函数时，(F+C)’=F’=f，得证.
2、设F,G是f在I上的任意两个原函数，则有(F-G)’=F’-G’=f-f=0.
根据拉格朗日中值定理推得：F-G≡C, C为常量函数.
[∫f(x)dx]’=[F(x)+C]’=f(x)；d∫f(x)dx=d[F(x)+C]=f(x)dx.
不定积分的几何意义：若F是f的一个原函数，则称y=F(x)的图象为f的一条积分曲线.所以f的不定积分在几何上表示f的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族。显然，在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线，则这些切线互相平行。
7、∫cosaxdx= sinax+C (a≠0)；8、∫sinaxdx=- cosax+C (a≠0)；
9、∫sec2xdx=tanx+C；10、∫csc2xdx=-cotx+C；11、∫secx·tanxdx=secx+C；
12、∫cscx·cotxdx=-cscx+C；13、∫ =arcsinx+C=-arccosx+C1；
(2)∫(x- )2dx=∫(x2- + )dx=∫x2dx-∫2x dx+∫ dx= - x +ln|x|+C.
(3)∫ = ∫x- dx= x +C= +C.
(4)∫(2x-3x)2dx=∫(22x-2·6x+32x)dx=∫4xdx-2∫6xdx +∫9xdx= -2· + +C.
(5)∫( +sinx)dx= ∫ dx+∫sinxdx= arcsinx-cosx+C.
三角函数不定积分总结
三角函数不定积分总结三角函数在数学中是非常重要的一部分，它们在不定积分中也有着重要的应用。
本文将对三角函数的不定积分进行总结，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一部分知识。
首先，我们来看正弦函数的不定积分。
对于正弦函数sin(x)，其不定积分可以表示为∫sin(x)dx=-cos(x)+C，其中C为积分常数。
这个结论可以通过对正弦函数的导数进行反向求导得到，是比较基础的积分公式之一。
接下来是余弦函数的不定积分。
对于余弦函数cos(x)，其不定积分可以表示为∫cos(x)dx=sin(x)+C，同样其中C为积分常数。
这个结论也可以通过对余弦函数的导数进行反向求导得到。
除了正弦函数和余弦函数，还有其他的三角函数，比如正切函数tan(x)和余切函数cot(x)等。
它们的不定积分公式分别为∫tan(x)dx=-ln|cos(x)|+C和∫cot(x)dx=ln|sin(x)|+C。
这两个公式的推导可以通过三角函数的相关恒等式和导数的求导法则得到。
在实际应用中，三角函数的不定积分经常会涉及到一些复杂的积分换元和分部积分等技巧。
比如当被积函数中同时包含正弦函数和余弦函数时，可以通过三角恒等式将其转化为单一的三角函数再进行积分；当被积函数是三角函数的幂函数时，可以通过恒等变形和递推公式来简化积分的计算。
总的来说，三角函数的不定积分是数学分析中的重要内容，掌握好这部分知识对于理解和运用积分学有着重要的意义。
希望本文的总结能够帮助读者更好地理解和掌握三角函数的不定积分知识，也希期读者在学习和工作中能够灵活运用这些知识，解决实际问题。
《数学分析考试大纲》
《数学分析考试大纲》Ⅰ.考试性质《数学分析》课程考试是由经系办公室审查后具有考试资格的学生参加的结业考试，以此成绩确定该学生本课程结业、通过还是重修。
因此，考试应具有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度。
《数学分析》考试，要发挥《数学分析》作为基础课程的作用，既要重视考查学生知识掌握程度，又要注重考查学生继续学习的能力。
Ⅱ.考试要求作为数学分析试题的命题范围是数学分析《教学大纲》的教学内容。
《数学分析》是数学类各专业最重要的基础课，《数学分析》课程的考试，要求考生比较系统地理解数学分析的基本概念、基本理论，掌握数学分析的论证方法，具备较熟练的演算技能和初步的应用能力。
Ⅲ.考试内容第一章实数集与函数一、考试内容1、实数（1）实数及性质。
（2）绝对值与不等式。
2、数集、确界原理（1）区间与邻域。
（2）有界集与无界集。
（3）上确界与下确界，确界定理。
3、函数概念（1）函数的定义。
（2）函数的几种常用表示。
（3）函数四则运算。
（4）复合函数。
（5）反函数。
（６）初等函数，基本初等函数，非初等函数。
4、具有某些特征的函数（1）有界函数，无界函数。
（2）单调函数与反函数：单调函数，严格单调函数。
（3）奇函数与偶函数。
（4）周期函数。
二、考试具体要求（1）了解实数域及性质。
（2）掌握几种不等式及应用。
（3）熟练掌握邻域、上确界、下确界的概念和确界原理。
（4）牢固掌握函数复合、基本初等函数、初等函数及其某些特性（单调性、周期性、奇偶性、有界性等）。
第二章数列极限一、考试内容1、极限概念（1）数列极限定义，数列的收敛与发散性。
（2）无穷小数列。
2、收剑数列的性质收剑数列的性质：唯一性、有界性、保号性、保不等式性、迫敛性（或称两边夹法则）和四则运算法则。
子列、平凡子列和非平凡子列及其有关性质。
3、数列极限存在的条件（1）单调有界定理。
（2）柯西收敛准则。
二、考试具体要求（1）熟练掌握数列极限的定义。
（2）掌握收敛数列的若干性质。
Mathematics-积分（Integral）
Mathematics-积分（Integral）正⽂积分是微积分学与数学分析⾥的⼀个核⼼概念。
通常分为定积分和不定积分两种。
1 基本定义1.1 定积分对于⼀个给定的正实值函数f(x)，f(x) 在⼀个实数区间 [a,b] 上的定积分∫b a f(x)dx可以在数值上理解为在O xy坐标平⾯上，由曲线 (x,f(x))（x∈[a,b]），直线x=a，x=b以及X轴围成的曲边梯形的⾯积值（⼀种确定的实数值）。
其中的 d x称为积分变量，表⽰要求⾯积的范围是⽤坐标轴横轴的刻度计算；∫b a则表⽰从a开始算起，到b为⽌，称为积分范围或积分域，其中a称为积分下界，b称为积分上界，∫叫做积分号，是从拉长的字母S（拉丁⽂中的summa (ſumma)：求和的⾸字母）演变过来的。
函数f(x) 写在中间，称为被积函数。
1.2 不定积分f(x) 的不定积分（或原函数）是指任何满⾜导数是函数f(x) 的函数F(x)。
⼀个函数f(x) 的不定积分不是唯⼀的：只要F(x) 是f(x) 的不定积分，那么与之相差⼀个常数的函数F(x)+C也是f(x) 的不定积分。
⽆说明的情况下，下⽂中的“积分”⼀词均指“定积分”。
1.3 黎曼积分在实分析中，由黎曼创⽴的黎曼积分（英语：Riemann integral）⾸次对函数在给定区间上的积分给出了⼀个精确定义。
黎曼积分在技术上的某些不⾜之处可由后来的黎曼－斯蒂尔杰斯积分和勒贝格积分得到修补。
黎曼积分的基本概念就是对x-轴的分割越来越细，则其所对应的矩形⾯积和也会越来越趋近图形S的⾯积（如下图）。
1.3.1 区间的分割⼀个闭区间 [a,b] 的⼀个分割P是指在此区间中取⼀个有限的点列a=x0<x1<x2<…<x n=b。
每个闭区间 [x i,x i+1] 叫做⼀个⼦区间。
定义λ为这些⼦区间长度的最⼤值：λ=max，其中0\leq i\leq n-1。
⼀个闭区间[a,b]的⼀个取样分割是指在进⾏分割后，于每⼀个⼦区间中取出⼀点x_{i}\leq t_{i}\leq x_{i+1}。
华东师范大学数学分析第8章习题答案
华东师范⼤学数学分析第8章习题答案第⼋章⼀：不定积分概念与基本积分公式（教材上册P181） 1. 验证下列(1)、(2)等式并与(3)、(4)两试相⽐照: (1)'()()f x dx f x c =+?; (2) ()()df x f x c =+?; (3) [()]'()f x dx f x =?; (4) ()()()d f x d x f x dx =?;解: (1)'0(())''()'()'()()c f x c f x c f x f x dx f x c=∴+=+=∴=+? 与(3)相⽐(1)试求不定积分运算,(2)是求导运算,(1) (3)互为逆运算,不定积分相差⼀个常数但仍为原不定积分,该常数⽤c 表⽰,称为积分常数.(2)()'()()'()()df x f x dxdf x f x dx f x c===+??与(4)相⽐: (2)是先求导再积分,因此包含了⼀个积分常数,(4)是先积分再求导,因此右侧不含积分常数.2. 求⼀曲线y=f (x),使得在曲线上的每⼀点(x,y)处的切线斜率为2x,且通过点(2,5). 解:222dy xdxy dy xdx x c====+??将(x,y)=(2,5)代⼊得: 5=22+cC=1该曲线为21y x =+3. 验证2sgn 2x y x =是|x|在(,)+∞-∞上的⼀个原函数. 解:x>0时,y ’=2()'||2x x x ==x<0时,2'()'||2x y x x =-=-=x=0时,22000sgn 022'lim lim lim 002x x x x x x x y x x ++++→→→-====- 2200sgn 02'lim lim()0||02x x x x x y x x --→→-==-==- 因此'''0||y y y x +-====综上得2'(sgn )'||,(,)2x y x x x ==?∈+∞-∞2sgn 2x y x =是|x|在(,)+∞-∞上的⼀个原函数.4. 据理说明为什么每⼀个含有第⼀类间断点的函数都没有原函数?解: 设0x 是 f (x)的第⼀类间断点,且 f (x)在0()U x 上有原函数 F (x),则0'()(),()F x f x x U x =∈.从⽽由导数极限定理得00lim ()lim '()'()()x x x x f x F x F x f x +++→→=== 同理 000lim ()'()()x x f x F x f x -→==.可见0()f x x 点连续,推出⽭盾.⼆: 换元积分法与部分积分法(教材上册P188) 1. 应⽤换元积分法求下列积分 (1) cos(34)x dx +?; (2) 22xxe dx ?;(3) 21dx x +?; (4) (1)n x dx +?;(5)dx ?; (6) 232x dx +?;(7);(8)(9)2sin x x dx ?; (10) 2sin (2)4dxxx +?;(11) 1cos dx x +?; (12) 1sin dx x+?;(13)csc xdx ?;(14);(15)44xdx x +?; (16)ln dx x x ?;(17) 453(1)x dx x +?; (18) 382x dx x -?;(19)(1)dxx x +?; (20) cot xdx ?; (21) 5cos xdx ?; (22)sin cos dxx x ?;(23)x xdx e e -+?; (24) 22338x dx x x --+?; (25) 252(1)x dx x ++?;(26) (a>0);(27) 223/2(0)()dxa x a >+?;(28) 5;(29)(30).解: (1)34cos(34)cos 3t x t x dx d =++=11sin sin(34)33t c x c =+=++ (2) 22112222()'()22t x x t txe dx e d ==??112211()()()22224t t t t t ed e dt ==?? 221144t x e c e c =+=+ (3)21111ln ||ln |21|21222t x dx t d t c x c x t =+==+=+++??(4)①当1n ≠-时,111(1)(1)11n n t x nnt x x dx t dt c c n n ++=+++== +=+++?? ②当1n =-时,(1)ln |1|n x dx x c +=++?(5)dx =?c =+ (6)232323231212122222ln22ln 22ln2t x x t x x tt dx d c c c ++=++==+=+=+?(7)332222222()(83)3399t t td t dt t c x c -=-=-+=--+?(8)322/31333()(75)551010t t d tdt t c x c t -=-=-+=--+? (9)211112222211sin sin sin sin 22t x x x dx t tdt t t t dt tdt =-===211cos cos 22t c x c =-+=-+ (10)2422111cot cot(2)224sin (2)sin 42t x dxt c x c x t x tdππ=+==-+=-+++?? (11)222(2)12sec tan tan()1cos 1cos 22cos 2t x dx d t x dt tdt t c c x t t =====+=+++ (12) 22 1sin (sec sec tan )tan sec 1sin dx xdx x x x dx x x c x cos x-==-=-++ (13)2111csc sin sin cos tan cos2222xdx dx dx x x x x x ===?α2ln |tan |2tan 2x d x c x ==+? (14)21(1)2x c =--=(15)22242111()arctan()442421()2x x x dx d c x x ==+++??(16)ln 11ln ||ln |ln |ln t x t t dx de dt t c x c x x e t t====+=+ (17)4555253535311111(1)(1)(1)5(1)5(1)10x dx dx d x x c x x x -==--=-++--(18)4344888111|242816112x dx dx d c x x x ===-+----(19)11()ln ||ln |1|ln ||(1)11dx xdx x x c c x x x x x=-=-++=++++?? (20)cos cot ln ||ln |sin |sin xxdx dx t c x c x ==+=+??(21)52224cos (1sin )sin (12sin sin )sin xdx x d x x x d x =-=-+?sin 2sin sin 53x x x c =-++ (22)2cos tan ln |tan |sin cos sin cos tan dx xdx d x x c x x x x x ===+ (23)22arctan 1()1()x xx x x x x dx e de dx e c e e e e -===++++ (24)222223(38)ln(38)3838x d x x dx x x c x x x x --+==-++-+-+?? (25)2221533232(1)223123()(1)t x x t t t dx dt dt dt x t t t t t =++-+-+===-++ 222323 ln ||ln |1|(1)212t t c x x c t x --=+-+=++-+++(26)1()ln |x t ax t c a====+?1ln |ln |x c x c a =+=+(27)令tan x a θ=,sec 22t a tdt ππ-<<223/23322s e c 11c o t s i n ()s e c d xa t d t t d t tx a a t a a ===++??c =+ (28)55sin 42sin sin (cos 2cos 1)cos x d d cos θθθθθθθ===--+??35322121cos cos cos (1)535c xc θθθ=-+-+=--(29)32256642226666111t t t t dt t dt t dt t dt t t t ===-+--- 6 42266661tt t dt t dt t dt dt dt t =---+-?75366126ln ||751t t t t t c t+=----++- 165116661263ln ||751x x x x x c x +=----++- (30)1121t t tdt t -→=+?222(2)44ln |1|1t t dt t t tc t =-+=-++++?14ln |1|x c =+-+ 4ln |1|'x c =-+ 2. 应⽤分部积分法求下列不定积分 (1) arcsin xdx ?; (2) ln xdx ?;(3) 2cos x xdx ?; (4)3ln xdx x ?;(5) 2(ln )x dx ?; (6)tan xarc xdx ?;(7) 1[ln(ln )]ln x dx x+?;(8) 2(arcsin )x dx ? (9)3secxdx ?; (10)(0)a >.解 (1)arcsin arcsin arcsin arcsinxdx x x xd x x x =-=-122arcsin (1)x x x c =+++ (2)1ln ln ln ln ln xdx x x xd x x x xdx x x x c x=-=-=-+(3)222cos sin 2sin sin 2cos x xdx x x x xdx x x xd x =-=+?2sin 2cos 2cos x x x x xdx =+-?2sin 2cos 2sin x x x x x c =+-+(4)2223ln 11ln [ln (ln )]22x dx xdx x x x d x x ---=-=-- 222ln 11(ln 1)244x c x c x x x=--+=-++(5)2221(ln )(ln )2ln (ln )2ln x dx x x x x dx x x xdx x=-=-(参考（2）结果)2(ln )2ln 2x x x x x c =-++(6)2222111tan tan arctan 2221x xarc xdx arc xdx x x dx x ==-+ 221111arctan 2221x x dx dx x =-++?? 2111arctan arctan 222x x x x c =-++(7)11111[ln(ln )]ln(ln )ln(ln )ln ln ln ln x dx x dx dx x x x dx dx x x x x x +=+=-+ ln(ln )x x c =+ (8)12222(arcsin )(arcsin)2arcsin (1)x dx x x x x dx -=--??12222(sin )arcsin (1)(1)x arx x x x d x -=+--?1222(arcsin )2arcsin (1)x x xd x =+-?1222(arcsin )2(1)arcsin 2x x x x dx =+--?1222(arcsin )2(1)arcsin 2x x x x x c =+--+(9) 令3sec I xdx =?s e c t a ns e ct a nt a n s e c I x d x x x x x x d x==-?23sec tan (1cos )sec sec tan sec x x x xdx x x I xdx =--=-+??11sec tan sec 22I x x xdx =+?1(sec tan ln |sec tan |)2x x x x c =+++(10)11222222222(0)()2()I a x x a xdx x a x -=>=±=+-1122222222()()()x x x a I ax x a I a a =±-±=±-±则122222111()()(ln ||)222x I x x a a a x c a =±±=+ 3. 求下列不定积分(1)[()]()'(1)f x f x dx αα≠?; (2)2'()1[()]f x dx f x +?;(3)'()()f x dx f x ?; (4)()'()f x e f x dx ?. 解: (1)11[()]()'[()]()[()]1f x f x dx f x df x f x c αααα+==++?(2)122'()1()arctan[()](arccot[()])1[()]1[()]f x dx df x f x c f x c f x f x ==+=-+++??(3)'()1()ln |()|()()f x dx df x f x c f x f x ==+?? (4)()()()'()()f x f x f x ef x dx e df x e c ==+?三. 有理函数和可化为有理函数的不定积分(教材上册P198) 1. 求下列不定积分(1)31x dx x -?; (2)22712x dx x x --+?;(3)31dx x +?; (4)41dxx +?;(5)22(1)(1)dx x x -+?; (6)222(221)x dx x x -++?;解: (1)3321111111x x x x x x x -+==+++--- 3232111(1)ln |1|1132x dx x x dx x x x x c x x =+++=+++-+--?? (2)2223111712(3)(4)(3)(4)4(3)(4)x x x x x x x x x x x x ---+===+-+-------22211(4)7124712x dx d x dx x x x x x -=-+-+--+211(4)2(27)4(27)d x d x x x =-+---??2ln |4|ln |3|x x c =---+ (3)设321111A Bx Cx x x x +=+++-+ 则21(1)()(1)A x x Bx C x =-++++ 2()()A B x B C A x A C =+++-++, 则⽐较两端系数,得1 21,,333B C A =-== 321121311dx x dx x x x x -??=-++-+221111(1)31311d x d d x =+-+++?221(1)ln 61x c x x +=+-+(4)22422221111()11()21x d x x x x dx dx x x x x x x -+-+===++-+-+11x c -=+2224222211111||1()2x x xdx dx c x x x x x---===++++-则234441111112121x x dx dx dx x x x +-=-+++|c =++ (5)设1122222221(1)(1)11(1)B xC B x C A x x x x x ++=++-+-++ 则22211221(1)()(1)(1)()(1)A x B x C x x B x C x =+++-+++-432111112121212()()(2)()()A B x C B x AC B B x C C B B x A C C=++-+-++++--+-- ⽐较两边系数得到12211111,,,,44422A B C B C ==-=-=-=- 22222111111(1)(1)(1)(1)418141dx d x d x dx x x x x x =--+--+-++ 222221111(1)4(1)2(1) d x dx x x -+-++?? 2222111(1)2(1)21x dx dx x x x =++++?? 222111ln |1|ln(1)arctan (1)(1)482dx x x x x x ∴=--+--+?211(1)4x -++ 211(1)4x x c --++。
数学分析知识点总结
数学分析知识点总结数学分析是数学专业的重要基础课程，它为后续的许多数学课程提供了必要的理论基础和方法。
以下是对数学分析中的一些重要知识点的总结。
一、函数函数是数学分析中的核心概念之一。
函数可以理解为一种对应关系，对于给定的自变量的值，通过某种规则确定唯一的因变量的值。
1、函数的定义设 X 和 Y 是两个非空数集，如果对于 X 中的每一个数 x，按照某种确定的对应关系 f，在 Y 中都有唯一确定的数 y 与之对应，那么就称f 是定义在 X 上的函数，记作 y ＝ f(x)，x ∈ X。
2、函数的性质（1）单调性：如果对于定义域内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x₁、x₂，当 x₁＜ x₂时，都有 f(x₁) ＜ f(x₂)（或 f(x₁) ＞f(x₂)），那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数（或减函数）。
（2）奇偶性：如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(x)＝ f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数；如果都有 f(x) ＝ f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
（3）周期性：对于函数 y ＝ f(x)，如果存在一个不为零的常数 T，使得当 x 取定义域内的每一个值时，f(x ＋ T) ＝ f(x)都成立，那么就把函数 y ＝ f(x)叫做周期函数，周期为 T。
3、反函数设函数 y ＝ f(x)，其定义域为 D，值域为 R。
如果对于 R 中的每一个 y 值，在 D 中都有唯一确定的 x 值与之对应，那么就可以得到一个新的函数 x ＝φ(y)，称其为函数 y ＝ f(x)的反函数。
二、极限极限是数学分析中用于描述函数在某个过程中的变化趋势的重要概念。
1、数列的极限对于数列｛an}，如果存在一个常数 A，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正整数 N，使得当 n ＞ N 时，不等式｜an A|＜ε 都成立，那么就称常数 A 是数列｛an} 的极限，记作lim(n→∞）an ＝ A。
第6章 不定积分
第六章 不定积分引 言我们知道，函数是数学分析研究的主要对象，前面几章我们已经学习了函数的微分学理论，主要内容包括导数的计算和导函数的分析性质，而其基本问题是导数的计算——给定已知函数，求出它的导数；但在某些实际问题中，往往需要考虑与之相反的问题——求一个函数，使其导数恰好是某一个给定的函数——这就是所谓的积分问题。
看一个例子：例1 一个静止的物体，其质量为m=1， 在力()sin F t t = 的作用下沿直线运动，给出物体的运动速度()v t 所满足的方程。
解、由所给的条件，可以利用Newton 第二定理计算出物体的加速度为sin F a t m==,因而，若设其速度为()v t ，则()sin v t a t ¢==。
因此，这个问题本质就是：已知导函数()v t ¢， 求原来的函数()v t 。
这类问题在实际应用和工程技术领域中还有很多，如几何问题中常见的已知切线求曲线问题、自然界中广泛存在的反应扩散现象等，因而，这类问题有很强的应用背景。
特别是在17世纪，这类问题是当时物理和几何学中急待解决的问题，是摆在数学家面前的重要的问题，经过3百多年的努力，今天，这类问题不仅已经得到彻底的解决，而且已经形成了完整且完美的数学理论――积分学理论：称这类由导函数()f x ¢ 求 原来函数)(x f 的运算为积分运算，研究这类运算及其相关的理论就是积分学理论。
我们将在本章和下一章引入这种理论。
为了引入这种理论，先引入基本概念。
§1不定积分概念与基本积分公式 一 、 原函数与不定积分我们引入积分理论中的基本概念。
定义1.1 设函数)(x f 与)(x F 在区间I 上有定义且)(x F 可导，若)()(x f x F ='， Ix ∈，则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数。
注、由定义，若)(x F 为)(x f 的一个原函数，则从导数角度，)(x f 为)(x F 的导函数，这也反映了原函数何导函数的紧密关系。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
因
1 x
1 x2
,
1 x
是
1 x2
的一个原函数.
因s(t) v(t)，路程函数 s(t) 是速度函数v(t) 的一个
原函数.
因 ln( x 1 x2 ) 1 ，知ln( x 1 x2 ) 1 x2 是 1 的一个原函数.
1 x2
前页 后页 返回
1
应该注意到： 尽管象 1 x2 这种形式简单的函数, 要求出它们的原函数也不是一件容易的事.因此, 如下问题要关注：
注 (i) 连续函数一定有原函数； (ii) 任一函数的原函数（若存在）有无穷多；
cR
(F( x) C) f ( x).
(iii)函数的两个原函数间相差一个常数；
若F ( x) f ( x), ( x) f ( x),则 [F( x) ( x)] f ( x) f ( x) 0 F( x) ( x) C.
例如
先微后积差一常数
d dx
arctan
xdx
arctan
x
或d arctan xdx arctan xdx
( sin x
x )dx
sin x
x
C
或
d
(
sin x
x
)
sin x
x
C
前页 后页 返回
二、基本积分表 (Basic Formula of Indefinite Integra)
将一些基本的积分公式列成一个表——基本
x)
是
1 x
在
(,
0)
的一个原函数.
dx x
ln
x
C.
前页 后页 返回
例4 设曲线通过点(1,3),且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x),
根据题意知 dy 2x, dx
即 f ( x)是2x 的一个原函数.
y yx2+2
2xdx x2 C,
f (x) x2 C,
由曲线通过点(1,3)
代入上式,得 C 2, 所求曲线方程为 y x2 2.
(1, 3) ．
yx2
2 1
2 1 O 1 2 x
1 2
前页 后页 返回
不定积分的几何意义
(1) f ( x)的一个原函数F ( x)的图形叫 做函数f ( x)的一条积分曲线,如图.
(2)因为F ( x) f ( x),故积分曲线 上点x处切线的斜率恰等于f ( x) 在x处的函数值; (3)平移曲线y F ( x)得另一条积分曲线 y F ( x) C1 ,据此可得到整个曲线族 y F(x) C.
前页 后页 返回3.不定源自分定义2 函数 f ( x)在区间I 上的全体原函数, 称为 f ( x)在
区间I 上的不定积分,记作 f ( x)dx, 即
被积函数
f ( x)dx F( x) C
被积 积 积分 分 表变 号 达量
式
积 分 常 数
前页 后页 返回
例1 求 x4dx.
解
Q
x5 5
第8章 不定积分
• 不定积分概念与基本积分公式 • 换元积分法与分部积分法 • 有理函数和可化为有理函数的不
定积分
前页 后页 返回
第8.1节 不定积分概念与基本 积分公式
• 原函数与不定积分 • 基本积分表 • 不定积分的性质
前页 后页 返回
一、原函数与不定积分
1. 问题的提出 已知质点的运动规律s=s(t),则速度v(t)=s'(t);
x4 ,
x4dx
x5 5
C.
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
前页 后页 返回
dx
例3 求
x
解 x 0, ln x 1 ,
x
ln
x
是
1 x
在(0, ) 的一个原函数.
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
x
x
ln(
积分表.
(1) kdx kx C (k是常数);
(2) xdx x1 C ( 1); dx 1
(3) x ln x C;
(4)
1
1 x
2
dx
arctan
x
C;
(5)
1 dx arcsin x C; 1 x2
(6) cos xdx sin x C;
(7) sin xdx cos x C;
（1）满足何种条件的函数必定存在原函数? 如 果存在原函数,它是否惟一? （2）若已知某个函数的原函数存在,如何把它求 出来?
前页 后页 返回
定理1 (原函数存在性定理)若函数f ( x)在区间I上连续， 则在I上存在原函数，即存在可导函数F ( x)，使
F ( x) f ( x)，x I .
(4)因为（F( x) C） f ( x)故在点x处， 各个积分曲线在该点的切线皆平行.
y
Ox
x
y=F(x)
前页 后页 返回
4.积分运算与微分运算的关系
d dx
[
f ( x)dx]
f (x)或
d
f (x)dx
f (x)dx
先积后微形式不变
F(x)dx F(x) C或 dF(x) F(x) C
反之若已知质点各时刻的运动速度v=v(t) 如何求其 运动规律s=s(t)? 从数学角度看：找一函数s=s(t)， 使s'(t) =v(t) .
2. 原函数
定义1 设函数f 与F在区间I上都有定义.若
F( x) f ( x), x I
称F为f 在区间I上的一个原函数.
前页 后页 返回
例如
因tan x sec2 x, tan x 是 sec2 x 的一个原函数.
前页 后页 返回
(8)
dx cos2
x
sec2
xdx
tan
x
C;
(9)
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(11) csc x cot xdx csc x C;
(12) e xdx e x C;
(13)
a
xdx
ax ln a
C;
(14) shxdx chx C;
(15) chxdx shx C;
ex ex shx
2 ex ex chx
2
前页 后页 返回
三、不定积分的性质 (Properties of the Definite Integral)
前页 后页 返回
定理2 (原函数族的结构性定理) 设 F ( x) 是 f ( x) 在区间 I 上的一个原函数, 则
(i) F ( x) C 也是 f ( x) 在 I 上的原函数, 其中 C 为任意常数; (ii) f (x) 在 I 上的任意两个原函数之间, 只可能相差 一个常数.
函数族
原函数的全体为：{F( x) C C }