高考数学一轮复习课时作业23三角函数的性质理(含解析)新人教版
2024年高考指导数学(人教A版理科第一轮复习)目录
课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。
高考数学一轮总复习 第23讲 三角函数的性质课件 文 新人教A版
π π (2)由 2x＋3＝kπ＋2(k∈Z)， kπ π 得 x＝ 2 ＋12(k∈Z)，即为所求对称轴方程． π kπ π 由 2x＋3＝kπ(k∈Z)，得 x＝ 2 －6，即对称点坐标为 kπ π ( 2 －6，0)(k∈Z)．
【点评】(1)对于奇偶函数的问题，一般都要根据定 义列出等式，从而寻求解题途径．对于本题，列出的是 含有 x、θ 的方程，并不能立即求出 θ，解决这类问题的 方法是边化简，边探索，边求解．同时，若 f(x)＝Asin(ωx π ＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时，f(x)为奇函数，当 φ＝kπ＋ (k 2 kπ ∈Z)时，f(x)为偶函数，当 φ≠ (k∈Z)时，f(x)为非奇非 2 偶函数．
(3)因为 f(x)的定义域为 R，即定义域关于原点对称；当 φ＝kπ(k∈Z)时，
sin2x f(x)＝sin(2x＋kπ)＝ －sin2x sin－2x 又 f(－x)＝ －sin－2x
k为偶数 . k为奇数
k为偶数 k为奇数
－sin2x k为偶数 ＝ ＝－f(x)， sin2x k为奇数
【解析】 (1)f(x)＝ 3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ) 3 1 ＝2[ sin(ωx＋φ)－ cos(ωx＋φ)] 2 2 π ＝2sin(ωx＋φ－ )． 6 因为 f(x)为偶函数， 所以对 x∈R，f(－x)＝f(x)恒成立， π π 因此 sin(－ωx＋φ－ )＝sin(ωx＋φ－ )， 6 6
【点评】(1)利用三角函数公式将所给式子转化为 y＝Asin(ωx＋φ)的结构，再求其最值． (2)将求三角函数的最值，转化为求二次函数的最 值，要注意换元后变量的取值范围．
素材2
17 函数 f(x)＝cos x＋sinx＋a－1，若 1≤f(x)≤ 对一切 x∈R 4
高三数学人教版a版数学(理)高考一轮复习教案：3.3 三角函数的图象与性质 word版含答案
第三节三角函数的图象与性质三角函数的图象及性质能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2内的单调性．知识点正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质易误提醒1．正切函数的图象是由直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开的无穷多支曲线组成，单调增区间是⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 不能说它在整个定义域内是增函数，如π4<3π4，但是tan π4>tan 3π4，正切函数不存在减区间．2．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．3．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易忽视“k ∈Z ”这一条件． 必记结论 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是奇函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是偶函数；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时是偶函数，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时是奇函数．[自测练习]1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z 解析：由3x ≠π2＋k π，得x ≠π6＋k π3，k ∈Z .答案：D2．设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2，x ∈R ，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－cos 2x ， ∴f (x )是最小正周期为π的偶函数． 答案：B3．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，则该函数的图象( ) A ．关于直线x ＝π3对称B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝－π6对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(ω>0)的最小正周期为π，∴ω＝2，即f (x )＝sin ⎝⎛⎫2x ＋π3. 经验证可知f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋π3＝sin π＝0， 即⎝⎛⎭⎫π3，0是函数f (x )的一个对称点． 答案：B4．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 解析：函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5，此时x ＋π4＝π＋2k π，即x ＝3π4＋2k π(k ∈Z )．答案：5 3π4＋2k π(k ∈Z )考点一 三角函数的定义域、值域|1．函数y ＝cos x －32的定义域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π6 B.⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤2k π－π6，2k π＋π6，k ∈ZD ．R解析：∵cos x －32≥0，得cos x ≥32，∴2k π－π6≤x ≤2k π＋π6，k ∈Z . 答案：C2．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－1 B ．－22C ．0D.22解析：因为0≤x ≤π2，所以－π4≤2x －π4≤3π4，由正弦函数的图象知，1≥sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4≥－22，所以函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为－22，故选B. 答案：B3．已知函数f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |，则f (x )的值域是________．解析：f (x )＝12(sin x ＋cos x )－12|sin x －cos x |＝⎩⎪⎨⎪⎧cos x (sin x ≥cos x )，sin x (sin x <cos x ).画出函数f (x )的图象(实线)，如图，可得函数的最小值为－1，最大值为22，故值域为⎣⎡⎦⎤－1，22.答案：⎣⎡⎦⎤－1，221．三角函数定义域的求法求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．2．求三角函数值域(最值)的三种方法(1)将所给函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，通过分析ωx ＋φ的范围，结合图象写出函数的值域．(2)换元法：把sin x (cos x )看作一个整体，化为二次函数来解决． (3)数形结合法，作出三角函数图象可求．考点二 三角函数的单调性|(2015·高考重庆卷)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值； (2)讨论f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，2π3上的单调性．[解] (1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x )＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增，当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减． 综上可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎡⎦⎤5π12，2π3上单调递减．三角函数的单调区间的求法(1)代换法：求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可．若ω为负，则要先把ω化为正数．(2)图象法：作出三角函数的图象，根据图象直接写出单调区间．1．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，又y ＝sin t 在区间⎝⎛⎭⎫π2，32π上递减．∴π2ω＋π4≥π2，且ωπ＋π4≤32π，解之得12≤ω≤54.答案：A2．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调区间．解：把函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 变为y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3.由k π－π2<2x －π3<k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6<2x <k π＋5π6，k ∈Z ，即k π2－π12<x <k π2＋5π12，k ∈Z .故函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性|正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应把三角函数的对称性与奇偶性结合，体会二者的统一．归纳起来常见的命题角度有： 1．三角函数的周期性． 2．三角函数的奇偶性．3．三角函数的对称轴或对称中心． 4．三角函数性质的综合应用． 探究一 三角函数的周期性1．函数y ＝⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为________． 解析：∵y ′＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期T ′＝π， ∴T ＝T ′2＝π2.答案：π22．(2015·高考湖南卷)已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________.解析：由题意，两函数图象交点间的最短距离即相邻的两交点间的距离，设相邻的两交点坐标分别为P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，易知|PQ |2＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，其中|y 2－y 1|＝2－(－2)＝22，|x 2－x 1|为函数y ＝2sin ωx －2cos ωx ＝22sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π4的两个相邻零点之间的距离，恰好为函数最小正周期的一半，所以(23)2＝⎝⎛⎭⎫2π2ω2＋(22)2，ω＝π2. 答案：π2探究二 三角函数的奇偶性3．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝( )A.π2 B.2π3 C.3π2D.5π3解析：由y ＝sin x ＋φ3是偶函数知φ3＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝3π2＋3k π，k ∈Z ，又∵φ∈[0,2π]，∴φ＝3π2.答案：C探究三 三角函数的对称轴或对称中心4．若函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．4D ．8解析：由题知πω6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )⇒ω＝6k ＋2(k ∈Z )⇒ωmin ＝2，故选B.答案：B5．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2解析：∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高(低)点， 故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z .即k ＝－1，则x ＝－π4.答案：C探究四 三角函数性质的综合应用6．(2015·揭阳一模)当x ＝π4时，函数f (x )＝sin(x ＋φ)取得最小值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ( ) A ．是奇函数且图象关于点⎝⎛⎭⎫π2，0对称 B ．是偶函数且图象关于点(π，0)对称 C ．是奇函数且图象关于直线x ＝π2对称D ．是偶函数且图象关于直线x ＝π对称 解析：∵当x ＝π4时，函数f (x )取得最小值，∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1，∴φ＝2k π－3π4(k ∈Z )． ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋2k π－3π4＝sin ⎝⎛⎭⎫x －3π4. ∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x ＝sin(－x )＝－sin x .∴y ＝f ⎝⎛⎭⎫3π4－x 是奇函数，且图象关于直线x ＝π2对称． 答案：C7．(2015·高考天津卷)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．解析：f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4，因为函数f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)＝2sin ⎝⎛⎭⎫ω2＋π4＝±2，所以ω2＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω2＝π4＋k π，k ∈Z ，又函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，所以ω2＋π4≤π2，即ω2≤π4，取k ＝0，得ω2＝π4，所以ω＝π2.答案：π2函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的奇偶性、周期性和对称性(1)若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值；若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0.(2)对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点，因此在判断直线x ＝x 0或点(x 0,0)是否是函数的对称轴或对称中心时，可通过检验f (x 0)的值进行判断．11.换元法求三角函数的最值问题【典例】 (1)求函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值与最小值． (2)求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．[思路点拨] 利用换元法求解，令t ＝sin x 或令t ＝sin x ＋cos x ．转化为二次函数最值问题．[解] (1)令t ＝sin x ，∵|x |≤π4，∴t ∈⎣⎡⎦⎤－22，22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54， ∴当t ＝12时，y max ＝54，t ＝－22时，y min ＝1－22.∴函数y ＝cos 2x ＋sin x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π4的最大值为54，最小值为1－22. (2)令t ＝sin x ＋cos x ，∴t ∈[－2， 2 ]． 又(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2，2]，∵t 对＝－13∈[－2，2]，∴y 小＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y 大＝f (2)＝32＋ 2.[方法点评] (1)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可设sin x ＝t ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．(2)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可设t ＝sin x ±cos x ，再化为关于t 的二次函数求值域(最值)．[跟踪练习] 当x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．解析：由π6≤x ≤7π6，知－12≤sin x ≤1.又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫sin x －142＋78，∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝1或－12时，y max ＝2.答案：782A 组 考点能力演练1．(2015·唐山期末)函数f (x )＝1－2sin 2x2的最小正周期为( )A ．2πB ．π C.π2D ．4π解析：∵f (x )＝1－2sin 2x 2＝cos x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π，故选A.答案：A2．函数f (x )＝cos 2x ＋2sin x 的最大值与最小值的和是( ) A ．－2 B ．0 C ．－32D ．－12解析：f (x )＝1－2sin 2x ＋2sin x ＝－2⎝⎛⎭⎫sin x －122＋32，所以函数f (x )的最大值是32，最小值是－3，所以最大值与最小值的和是－32，故选C.答案：C3．已知函数y ＝sin x 的定义域为[a ，b ]，值域为⎣⎡⎦⎤－1，12，则b －a 的值不可能是( ) A.π3 B.2π3 C ．πD.4π3解析：画出函数y ＝sin x 的草图分析知b －a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤2π3，4π3.答案：A4．已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上递减，则ω＝( )A ．3B ．2C ．6D ．5解析：∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0，∵f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0， ∴π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，又12·2π≥π2－π6，ω>0，∴ω＝2. 答案：B5．若函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，且－π2<φ<π2，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3为( ) A ．奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递增 B ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 C ．偶函数且在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减 D ．奇函数且在⎝⎛⎫0，π4上单调递减 解析：因为函数f (x )＝cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0成中心对称，则8π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .即φ＝k π－13π6，k ∈Z ，又－π2<φ<π2，则φ＝－π6， 则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，所以该函数为奇函数且在⎝⎛⎭⎫0，π4上单调递减，故选D. 答案：D6．(2015·长沙一模)若函数f (x )＝2tan ⎝⎛⎭⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1<T <2，则自然数k 的值为________．解析：由题意知，1<πk<2，即k <π<2k .又k ∈N ，所以k ＝2或k ＝3. 答案：2或37．已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1,1]上的单调增区间为________．解析：由题知2π2ω＝2，得ω＝12π， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx －π4，令－π2＋2k π≤πx －π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－14＋2k ≤x ≤34＋2k ，k ∈Z ，又x ∈[－1,1]，所以－14≤x ≤34，所以函数f (x )在[－1,1]上的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－14，34.答案：⎣⎡⎦⎤－14，34 8．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题：①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2；②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上是增函数； ④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称． 其中真命题的是________．解析：f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4时，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2，故③是真命题；因为f ⎝⎛⎭⎫3π4＝12sin 3π2＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称，故④是真命题． 答案：③④9．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间． 解：∵由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π， ∴ω＝2.∴f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )．∴sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，∴cos φ＝0，∵0<φ<2π3，∴φ＝π2. (2)f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32时， sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝32. 又∵0<φ<2π3，∴π3<π3＋φ<π.∴π3＋φ＝2π3，φ＝π3. ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z . ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z . 10．(2016·长沙模拟)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π6－2cos 2πx 6. (1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，当x ∈[0,1]时，求函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由题意知f (x )＝32sin πx 3－32cos πx 3－1＝3·sin ⎝⎛⎭⎫πx 3－π3－1， 所以y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2k π－π2≤πx 3－π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ， 所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z . (2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值，当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，π，sin ⎝⎛⎭⎫π3x －π3∈ ⎣⎡⎦⎤0，32，f (x )∈⎣⎡⎦⎤－1，12， 即当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值为12. B 组 高考题型专练1．(2014·高考陕西卷)函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π解析：由周期公式T ＝2π2＝π. 答案：B2．(2015·高考四川卷)下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 C ．y ＝sin 2x ＋cos 2x D ．y ＝sin x ＋cos x解析：采用验证法．由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，可知该函数的最小正周期为π且为奇函数，故选A.答案：A3．(2015·高考浙江卷)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是________，单调递减区间是________．解析：由题意知，f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，所以最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )，故单调递减区间为⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z )． 答案：π ⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z ) 4．(2014·高考北京卷)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 解析：记f (x )的最小正周期为T . 由题意知T 2≥π2－π6＝π3， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，且2π3－π2＝π6， 可作出示意图如图所示(一种情况)：∴x 1＝⎝⎛⎭⎫π2＋π6×12＝π3，x 2＝⎝⎛⎭⎫π2＋2π3×12＝7π12， ∴T 4＝x 2－x 1＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π. 答案：π5．(2015·高考北京卷)已知函数f (x )＝sin x －23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值．解：(1)因为f (x )＝sin x ＋3cos x － 3＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3， 所以f (x )的最小正周期为2π.(2)因为0≤x ≤2π3， 所以π3≤x ＋π3≤π. 当x ＋π3＝π，即x ＝2π3时，f (x )取得最小值． 所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－ 3.。
2023年新高考数学一轮复习5-3 三角函数的图象与性质(知识点讲解)含详解
专题5.3 三角函数的图象与性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．4.五点作图与函数图象变换、函数性质相结合考查三角函数图象问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．5．将函数图象、性质及函数零点、极值、最值等问题综合考查y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）“五点法”作图“五点法”作图：先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在()sin y A x h ωϕ=++的图象.（二）正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-．既无最大值，也无最小值周期性2π 2ππ奇偶性 ()sin sin x x -=-,奇函数()cos cos x x -=偶函数()tan tan x x -=-奇函数单调性 在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数．在[]()2,2k k k Z πππ-∈上是增函数；在π[]()2,2k k k Z πππ+∈上是减函数．在(),22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上是增函数．(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y ＝tan x 无单调递减区间，y ＝tan x 在整个定义域内不单调．(2)求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆． （三）常用结论 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．函数具有奇、偶性的充要条件(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )； (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．【常考题型剖析】题型一：“五点法”做函数()sin y A x h ωϕ=++的图象例1. （2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象时，列表如下：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.例2．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，0>ω，2πϕ≤.若()12f x =，()20f x =，且12x x -的最小值为4π，()01f =，求解下列问题. (1)化简()f x 的表达式并求()f x 的单调递增区间；(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求()f x 在区间70,12π⎡⎤⎢⎥上的最值.【规律方法】用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>或()cos y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的形式；②求出周期2T πω=；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点． 题型二：三角函数的定义域例3.（2022·宁夏·银川一中高一期中）函数()f x ）A ．3,48x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭B ．,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤<+∈⎨⎬⎩⎭C ．3,2428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭D ．,2424k k xx k Z ππππ⎧⎫-≤<+∈⎨⎬⎩⎭例 4. 函数y ＝sin x －cos x 的定义域为 ．【总结提升】 三角函数定义域的求法(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)．(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线．(3)对于函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域可令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z 求解．题型三：三角函数的值域(最值)例5.（2012·山东·高考真题（文））函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（ ）A ．2B ．0C ．－1D ．1-例6. （2022·安徽·砀山中学高一期中）函数22tan 3tan 1y x x =-+-，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为______．例7．（2014·北京·高考真题（文））函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【总结提升】求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．题型四：三角函数的单调性例8．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭例9．（2015·全国·高考真题（文））函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈例10.（2015·安徽·高考真题（理））已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()220f f f <-< B ．()()()022f f f <<- C ．()()()202f f f -<< D ．()()()202f f f <<-例11. (2020·西安模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．(0,2] B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C ．⎣⎡⎦⎤12，34 D ．⎣⎡⎦⎤12，54【规律方法】1.三角函数单调区间的求法(1)将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数． (2)根据y ＝sin x 和y ＝cos x 的单调区间及A 的正负，列不等式求解． 2. 已知单调区间求参数范围的三种方法（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解. 3.比较三角函数值大小.题型五：三角函数的周期性、奇偶性、对称性例12.（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．32C ．52D ．3例13. （2019·全国·高考真题（文））函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．例14.（2015·四川·高考真题（文））下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A ．cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+例15.（2020·全国·高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【规律方法】1.求三角函数周期的常用方法 (1)公式法求周期①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 与f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的周期为T ＝2π|ω|；②函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝π|ω|.(2)对称性求最值①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于T 2；②对称中心到对称轴距离的最小值等于T4；③两个最大(小)值点之差的最小值等于T . 2.(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )：是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )：是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．3．如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 4.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法(1)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .(2)求f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程，只需对ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )整理，对称中心横坐标为ωx ＋φ＝π2＋k π(k∈Z )，求x 即可．(3)求f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )，求x .题型六：三角函数()sin y A x ωϕ=+的解析式例16．（2016·全国·高考真题（文））函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π= 3π例17．（2020·全国·高考真题（理））设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【总结提升】1.由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．2. 根据图象求解析式=sin()y A x h ωϕ++问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值． 题型七：三角函数的零点问题例18．（2010·浙江·高考真题（理））设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是（ ）A ．[]4,2--B ．[]2,0-C ．[]0,2D ．[]2,4例19．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．例20．（2018·全国·高考真题（理））函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．专题5.3 三角函数的图象与性质（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．4.五点作图与函数图象变换、函数性质相结合考查三角函数图象问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．5．将函数图象、性质及函数零点、极值、最值等问题综合考查y ＝Asin(ωx ＋φ)的图象及应用，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．【知识点展示】（一）“五点法”作图“五点法”作图：先列表，令30,,,,222x ππωϕππ+=，求出对应的五个的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到()sin y A x h ωϕ=++在()sin y A x h ωϕ=++的图象.（二）正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质正弦函数sin y x =,余弦函数cos y x =,正切函数tan y x =的图象与性质 性质sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当()22x k k Z ππ=+∈时，max 1y =；当()22x k k Z ππ=-∈时，min 1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当()2x k k Z ππ=+∈时，min 1y =-．既无最大值，也无最小值周期性2π 2ππ奇偶性 ()sin sin x x -=-,奇函数()cos cos x x -=偶函数()tan tan x x -=-奇函数单调性 在()2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦上是增函数；在()32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦上是减函数．在[]()2,2k k k Z πππ-∈上是增函数；在π[]()2,2k k k Z πππ+∈上是减函数．在(),22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭上是增函数．(1)正、余弦函数一个完整的单调区间的长度是半个周期，y ＝tan x 无单调递减区间，y ＝tan x 在整个定义域内不单调．(2)求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，要注意A 和ω的符号．尽量化成ω＞0的形式，避免出现增减区间的混淆． （三）常用结论 1．对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期．(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期． 2．函数具有奇、偶性的充要条件(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )； (2)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(4)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x ∈R )是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．【常考题型剖析】题型一：“五点法”做函数()sin y A x h ωϕ=++的图象例1. （2020·山东·高考真题）小明同学用“五点法”作某个正弦型函数sin()0,0,2y A x A ωϕωϕπ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭在一个周期内的图象时，列表如下：（1）实数A ，ω，ϕ的值；（2）该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）3A =，2ω=，3πϕ=；（2）最大值是3，最小值是32-. 【解析】 【分析】（1）利用三角函数五点作图法求解A ，ω，ϕ的值即可.（2）首先根据（1）知：3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据题意得到11172636x πππ≤+≤，从而得到函数的最值.【详解】（1）由表可知max 3y =，则3A =， 因为566T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，2T πω=，所以2ππω=，解得2ω=，即3sin(2)y x ϕ=+，因为函数图象过点,312π⎛⎫ ⎪⎝⎭，则33sin 212πϕ⎛⎫=⨯+ ⎪⎝⎭，即πsinφ16，所以262k ππϕπ+=+，k ∈Z ，解得23k πϕπ=+，k ∈Z ，又因为2πϕ<，所以3πϕ=.（2）由（1）可知3sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.因为3544x ππ≤≤，所以11172636x πππ≤+≤， 因此，当11236x ππ+=时，即34x π=时，32y =-， 当5232x ππ+=时，即1312x π=时，3y =. 所以该函数在区间35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是3，最小值是32-.例2．（2022·全国·模拟预测）已知函数()()2sin f x x ωϕ=+，0>ω，2πϕ≤.若()12f x =，()20f x =，且12x x -的最小值为4π，()01f =，求解下列问题. (1)化简()f x 的表达式并求()f x 的单调递增区间；(2)请完善表格并利用五点作图法绘制该函数在一个周期内的图象，并求()f x 在区间70,12π⎡⎤⎢⎥上的最值.【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，单调递增区间为(),Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)完善表格见解析；图象见解析；最大值为2，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用最大值点和零点可确定最小正周期，由此可求得ω；利用()01f =可求得ϕ，由此可得()f x 解析式；令()222262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈即可求得单调递增区间；（2）令26X x π=+，利用五点作图法即可完善表格并得到图象，结合图象可求得最值.(1)若()12f x =，()20f x =，即1x 是()f x 的最大值点，2x 是()f x 的零点，且12x x -的最小值为4π，设()f x 的最小正周期为T ，则44T π=，即2T ππω==，解得：2ω=. 由()01f =可得：()02sin 1f ϕ==，即有1sin 2ϕ=， 26k πϕπ∴=+或()526k k Z ππ+∈，又2πϕ<，6πϕ∴=， 综上所述：()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；令()222Z 262k x k k πππππ-+≤+≤+∈，解得：()Z 36k x k k ππππ-+≤≤+∈，()f x ∴的单调递增区间为(),Z 36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)根据“五点作图法”的要求先完成表格：令2X x π=+.由图可知：当6x π=时，()f x 取到最大值2；当712x π=时，()f x 取到最小值3-. 【规律方法】用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为()sin y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>或()cos y A x h ωϕ=++()0,0A ω>>的形式；②求出周期2T πω=；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点． 题型二：三角函数的定义域例3.（2022·宁夏·银川一中高一期中）函数()f x ）A ．3,48x k x k k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭B ．,44x k x k k Z ππππ⎧⎫-≤<+∈⎨⎬⎩⎭C ．3,2428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭D ．,2424k k xx k Z ππππ⎧⎫-≤<+∈⎨⎬⎩⎭【答案】C 【解析】 【分析】利用关于正切型函数的不等式去求函数()f x =的定义域【详解】由πtan(2)14x，可得ππππ2π442k x k ，则π3πππ2428k k x则函数()f x 3,2428k k xx k Z ππππ⎧⎫+≤<+∈⎨⎬⎩⎭ 故选：C例 4. 函数y ＝sin x －cos x 的定义域为 ． 【答案】5{|22,}44x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 【解析】法一：要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示．在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为4π，54π，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为5{|22,}44x k x k k Z ππππ+≤≤+∈. 法二：sin x －cos x ＝2sin （4x π-）≥0，将4x π-视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －4π≤π＋2k π(k ∈Z )，解得2k π＋4π≤x ≤2k π＋54π (k ∈Z )，所以定义域为5{|22,}44x k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 【点睛】若定义域中含k π或2k π应注明k ∈Z . 【总结提升】 三角函数定义域的求法(1)求三角函数的定义域常化为解三角不等式(组)．(2)解三角不等式(组)时常借助三角函数的图象或三角函数线． (3)对于函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域可令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z 求解．题型三：三角函数的值域(最值)例5.（2012·山东·高考真题（文））函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之和为（ ）A ．2B ．0C ．－1D ．1-【答案】A 【解析】709,,sin()1,363663x x x ππππππ∴≤≤∴-≤-≤≤-≤max min 2,y y ∴==故选A例6. （2022·安徽·砀山中学高一期中）函数22tan 3tan 1y x x =-+-，ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域为______．【答案】16,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】由x 的范围求出tan x 的范围，再根据二次函数的性质即可得出答案. 【详解】因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以[]tan 1,1x ∈-，22312tan 3tan 12tan 48y x x x ⎛⎫=-+-=--+ ⎪⎝⎭，则当3tan 4x =时，()max 18f x =，当tan 1x =-时，()min 6f x =-， 所以函数()f x 的值域为16,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.故答案为：16,8⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.例7．（2014·北京·高考真题（文））函数()3sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.（1）写出()f x 的最小正周期及图中0x 、0y 的值；（2）求()f x 在区间,212ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】（1）π，076x π=，03y =；（2）最大值0，最小值3-. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由图可得出该三角函数的周期，从而求出00,x y ；（2）把26x π+看作一个整体，从而求出最（1）由题意知：()f x 的最小正周期为π，令y=3，则2+2k k 62x Z πππ+=∈，，解得+k k 6x Z ππ=∈，，所以076x π=，03y =. （2）因为[,]212x ππ∈--，所以52[,0]66x ππ+∈-，于是 当206x π+=，即12x π=-时，()f x 取得最大值0；当262x ππ+=-，即3x π=-时，()f x 取得最小值3-.【总结提升】求三角函数的值域(最值)的三种类型及解法思路(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，再求值域(最值)； (2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)； (3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．题型四：三角函数的单调性例8．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】 【分析】 解不等式()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，利用赋值法可得出结论.【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈， 取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪，CD 选项均不满足条件.例9．（2015·全国·高考真题（文））函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈B ．13(2,2),44k k k Z ππ-+∈C ．13(,),44k k k Z -+∈D ．13(2,2),44k k k Z -+∈【答案】D 【解析】 【详解】由五点作图知，1+42{53+42πωϕπωϕ==，解得=ωπ，=4πϕ，所以()cos()4f x x ππ=+，令22,4k x k k Z πππππ<+<+∈，解得124k -＜x ＜324k +，k Z ∈，故单调减区间为（124k -，324k +），k Z ∈，故选D. 例10.（2015·安徽·高考真题（理））已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） A ．()()()220f f f <-< B ．()()()022f f f <<- C ．()()()202f f f -<< D ．()()()202f f f <<- 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可求ω＝2，又当x 23π=时，函数f （x ）取得最小值，可解得φ，从而可求解析式f （x ）＝A sin （2x 6π+），解：依题意得，函数f （x ）的周期为π， ∵ω＞0， ∴ω2ππ==2．又∵当x 23π=时，函数f （x ）取得最小值， ∴223π⨯+φ＝2k π32π+，k ∈Z ，可解得：φ＝2k π6π+，k ∈Z ， ∴f （x ）＝A sin （2x +2k π6π+）＝A sin （2x 6π+）．∴f （﹣2）＝A sin （﹣46π+）＝A sin （6π-4+2π）＞0．f （2）＝A sin （46π+）＜0， f （0）＝A sin 6π=A sin56π＞0， 又∵326ππ-＞4+2π562ππ＞＞，而f （x ）＝A sin x 在区间（2π，32π）是单调递减的，∴f （2）＜f （﹣2）＜f （0）． 故选A ．例11. (2020·西安模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．(0,2] B ．⎝⎛⎦⎤0，12 C ．⎣⎡⎦⎤12，34 D ．⎣⎡⎦⎤12，54【答案】D【解析】法一：(反子集法)∵x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴ωx ＋π4∈⎝⎛⎭⎫πω2＋π4，πω＋π4. ∵f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，∴⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2＋2k π，k ∈Z ，πω＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得⎩⎨⎧ω≥4k ＋12，k ∈Z ，ω≤2k ＋54，k ∈Z.∴k ＝0，此时12≤ω≤54，故选D ．法二：(子集法)由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2，得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω，k ∈Z ，因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减， 所以⎩⎨⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得⎩⎨⎧ω≥4k ＋12，ω≤2k ＋54.因为k ∈Z ，ω＞0，所以k ＝0，所以12≤ω≤54，即ω的取值范围为⎣⎡⎦⎤12，54.故选D ． 【规律方法】1.三角函数单调区间的求法(1)将函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)的形式，若ω＜0，借助诱导公式将ω化为正数． (2)根据y ＝sin x 和y ＝cos x 的单调区间及A 的正负，列不等式求解． 2. 已知单调区间求参数范围的三种方法（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过14周期列不等式(组)求解. 3.比较三角函数值大小.题型五：三角函数的周期性、奇偶性、对称性例12.（2022·全国·高考真题）记函数()sin (0)4f x x b πωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则2f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．32C ．52D ．3【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解. 【详解】由函数的最小正周期T 满足23T ππ<<，得223πππω<<，解得23ω<<， 322π⎛⎫324ππ2所以12,63k k Z ω=-+∈，所以52ω=，5()sin 224f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以5sin 21244f πππ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A例13. （2019·全国·高考真题（文））函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】 由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 例14.（2015·四川·高考真题（文））下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（ ）A ．cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．sin2cos2y x x =+D ．sin cos y x x =+【答案】A 【解析】 【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可． 【详解】 22πy ＝sin （2x 2π+）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；y ＝sin2x +cos2x =（2x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；y ＝sin x +cosx =（x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选A ．例15.（2020·全国·高考真题（理））关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图象关于y 轴对称． ②f （x ）的图象关于原点对称． ③f （x ）的图象关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③ 【解析】 【分析】利用特殊值法可判断命题①的正误；利用函数奇偶性的定义可判断命题②的正误；利用对称性的定义可判断命题③的正误；取0x π-<<可判断命题④的正误.综合可得出结论. 【详解】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③. 【规律方法】1.求三角函数周期的常用方法 (1)公式法求周期①函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B 与f (x )＝A cos(ωx ＋φ)＋B 的周期为T ＝2π|ω|；②函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)＋B 的周期T ＝π|ω|.(2)对称性求最值①两对称轴距离的最小值和两对称中心距离的最小值都等于T2；②对称中心到对称轴距离的最小值等于T4；③两个最大(小)值点之差的最小值等于T . 2.三角函数是奇、偶函数的充要条件(1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R )：是奇函数⇔φ＝k π(k ∈Z )；偶函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；(2)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)(x∈R )：是奇函数⇔φ＝k π＋π2(k ∈Z )；是偶函数⇔φ＝k π(k ∈Z )．3．如何判断函数()f x ωϕ+的奇偶性:根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数()f x ωϕ+的奇偶性，常见的结论如下：(1)若sin()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()2k k Z πϕπ=+∈;若为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈；(2)若cos()y A x ωϕ=+为偶函数，则有()k k Z ϕπ=∈;若为奇函数则有()2k k Z πϕπ=+∈；(3)若tan()y A x ωϕ=+为奇函数则有()k k Z ϕπ=∈. 4.求对称轴方程(对称中心坐标)的方法(1)求f (x )＝A sin(ωx ＋φ)图象的对称轴方程，只需对ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )整理，对称中心横坐标只需令ωx＋φ＝k π(k ∈Z )，求x .(2)求f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程，只需对ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )整理，对称中心横坐标为ωx ＋φ＝π2＋k π(k∈Z )，求x 即可．(3)求f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的对称中心的横坐标，只需对ωx ＋φ＝k π2(k ∈Z )，求x .题型六：三角函数()sin y A x ωϕ=+的解析式例16．（2016·全国·高考真题（文））函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，则（ ）A ．2sin(2)6y x π=-B ．2sin(2)3y x π=-C ．2sin(+)6y x π=D ．2sin(+)3y x π= 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题图知，2A =，最小正周期2[()]36T πππ=--=，所以22πωπ==，所以2sin(2)y x ϕ=+.因为图象过点(,2)3π，所以22sin(2)3πϕ=⨯+，所以2sin()13πϕ+=，所以22()32k k Z ππϕπ+=+∈，令0k =，得6πϕ=-，所以2sin(2)6y x π=-，故选A. 例17．（2020·全国·高考真题（理））设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π2【答案】C 【解析】 【分析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭，即可得到4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭，结合4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点即可得到4962πππω-⋅+=-，即可求得32ω=，再利用三角函数周期公式即可得解. 【详解】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω= 所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C 【总结提升】1.由()sin y A x ωϕ=+的图象求其函数式：已知函数()sin y A x ωϕ=+的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定ϕ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点,0ϕω⎛⎫- ⎪⎝⎭作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．2. 根据图象求解析式=sin()y A x h ωϕ++问题的一般方法是：先根据函数=sin()y A x h ωϕ++图象的最高点、最低点确定A ，h 的值，由函数的周期确定ω的值，再根据函数图象上的一个特殊点确定φ值． 题型七：三角函数的零点问题例18．（2010·浙江·高考真题（理））设函数()4sin(21)f x x x =+-，则在下列区间中函数()f x 不存在零点的是（ ） A ．[]4,2-- B ．[]2,0-C ．[]0,2D ．[]2,4【答案】A(1)4sin(1)14sin11f -=-+=-+，因为sin1sin 4π>4sin110-+<，(0)4sin10f =>，因此()f x 在[1,0]-上有零点，故在[2,0]-上有零点；(2)4sin524sin(25)2f π=-=---，而025ππ<-<，即sin(25)0π->，因此(2)0f <，故()f x 在[0,2]上一定存在零点；虽然(4)4sin1740f =-<，但99()4sin(1)4sin(1)844f πππππ=+-=+-，又21243πππ<+<，即3sin(1)42π+>，从而，于是()f x 在区间9[2,]8π上有零点，也即在[2,4]上有零点，排除B ，C ，D ，那么只能选A ．例19．（2022·全国·高考真题（理））记函数()()cos (0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<的最小正周期为T ，若()f T =，9x π=为()f x 的零点，则ω的最小值为____________．【答案】3 【解析】 【分析】首先表示出T ，根据()f T =求出ϕ，再根据π9x =为函数的零点，即可求出ω的取值，从而得解；【详解】解： 因为()()cos f x x ωϕ=+，（0>ω，0πϕ<<）所以最小正周期2πT ω=，因为()()2πcos cos 2πcos f T ωϕϕϕω⎛⎫=⋅+=+== ⎪⎝⎭，又0πϕ<<，所以π6ϕ=，即()πcos 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又π9x =为()f x 的零点，所以ππππ,Z 962k k ω+=+∈，解得39,Z k k ω=+∈， 因为0>ω，所以当0k =时min 3ω=； 故答案为：3例20．（2018·全国·高考真题（理））函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3求出36x π+的范围，再由函数值为零，得到36x π+的取值可得零点个数．【详解】 详解：0x π≤≤ 193666x πππ∴≤+≤由题可知3336262x x ，ππππ+=+=，或5362x ππ+=解得4x ,99ππ=,或79π故有3个零点．。
高考一轮复习课时作业(人教版)：4-3三角函数的图象与性质word版含答案
4-3三角函数的图象与性质A 级 基础达标演练 (时间：40分钟 满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．函数f (x )＝2sin x cos x 是( )． A ．最小正周期为2 π的奇函数 B ．最小正周期为2 π的偶函数 C ．最小正周期为π的奇函数 D ．最小正周期为π的偶函数解析 f (x )＝2sin x cos x ＝sin 2x .∴f (x )是最小正周期为π的奇函数． 答案 C2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称轴方程可能是( )．A ．x ＝－π6B ．x ＝－π12C ．x ＝π6D ．x ＝π12解析 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z )，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x ＝π12.本题也可用代入验证法来解． 答案 D3．(2012·南昌质检)函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( )． A ．2π B.3π2 C ．π D.π2解析 依题意，得f (x )＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6.故最小正周期为2π.答案 A4．(★)下列函数中，周期为π，且在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上为减函数的是( )．A ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2B ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2D ．y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2解析 (筛选法)∵函数的周期为π.∴排除C 、D ，∵函数在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是减函数，∴排除B. 答案 A【点评】 本题采用了筛选法，体现了筛选法的方便、快捷、准确性，在解选择题时应注意应用.5．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2(x ∈R )，下面结论错误的是( )．A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称D ．函数f (x )是奇函数解析 ∵y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2＝－cos x ，∴T ＝2π，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上是增函数，图象关于y 轴对称，为偶函数． 答案 D二、填空题(每小题4分，共12分)6．若函数f (x )＝cos ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则ω的值为________．解析 f (x )＝cos ωx cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－ωx＝cos ωx sin ωx ＝12sin 2ωx ， ∴T ＝2π2ω＝π.∴ω＝1. 答案 17．(★)(2011·开封质检)已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________．解析 (回顾检验法)据已知可得f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，若函数为偶函数，则必有θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，又由于θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，故有θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经代入检验符合题意． 答案 π6【点评】 本题根据条件直接求出θ的值，应将θ再代入已知函数式检验一下. 8．(★)函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋2x 2＋x2x 2＋cos x 的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________.解析 (构造法)根据分子和分母同次的特点，把分子展开，得到部分分式，f (x )＝1＋x ＋sin x2x 2＋cos x，f (x )－1为奇函数，则m －1＝－(M －1)，所以M ＋m ＝2.答案 2【点评】 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用.注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解.三、解答题(共23分) 9．(11分)设f (x )＝1－2sin x . (1)求f (x )的定义域；(2)求f (x )的值域及取最大值时x 的值．解 (1)由1－2sin x ≥0，根据正弦函数图象知： 定义域为{x |2k π＋56π≤x ≤2k π＋13π6，k ∈Z }．(2)∵－1≤sin x ≤1，∴－1≤1－2sin x ≤3，∵1－2sin x ≥0，∴0≤1－2sin x ≤3，∴f (x )的值域为[0，3]，当x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，f (x )取得最大值．10．(12分)(2011·中山模拟)已知f (x )＝sin x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x .(1)若α∈[0，π]，且sin 2α＝13，求f (α)的值； (2)若x ∈[0，π]，求f (x )的单调递增区间． 解 (1)由题设知，f (α)＝sin α＋cos α. ∵sin 2α＝13＝2sin α·cos α＞0，α∈[0，π]，∴α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＋cos α＞0.由(sin α＋cos α)2＝1＋2sin α·cos α＝43， 得sin α＋cos α＝233，∴f (α)＝23 3. (2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，又0≤x ≤π，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4.B 级 综合创新备选 (时间：30分钟 满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(★)函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )． A ．[－1,1] B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，－1 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54 解析 (数形结合法)y ＝sin 2x ＋sin x －1，令sin x ＝t ，则有y ＝t 2＋t －1，t ∈[－1,1]，画出函数图象如图所示，从图象可以看出，当t ＝－12及t ＝1时，函数取最值，代入y ＝t 2＋t －1可得y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，1.答案 C【点评】 本题采用换元法转化为关于新元的二次函数问题，再用数形结合来解决，但换元后注意新元的范围.2．(2011·山东)若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝( )．A.23B.32 C ．2 D ．3解析 由题意知f (x )的一条对称轴为x ＝π3，和它相邻的一个对称中心为原点，则f (x )的周期T ＝4π3，从而ω＝32. 答案 B二、填空题(每小题4分，共8分)3．(2011·绍兴模拟)关于函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3(x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍； ②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；③y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称．其中正确命题的序号是________(把你认为正确的命题序号都填上)．解析 函数f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T 2＝π2知①错．利用诱导公式得f (x )＝4cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝ 4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，知②正确．由于曲线f (x )与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－π6代入得f (x )＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝⎛⎭⎪⎫－π6＋π3＝4sin 0＝0， 因此点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是f (x )图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f (x )的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x ＝－π6时y ＝0，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0不是最高点也不是最低点，故直线x ＝－π6不是图象的对称轴，因此命题④不正确． 答案 ②③4．函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω等于________．解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0＜π4ω＜π2，因此ω＝43. 答案 43三、解答题(共22分)5．(10分)(2012·南通调研)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，则－54＜k ＜－14，k ∈Z ， ∴k ＝－1，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4，令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 6．(12分)已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间．解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )＞0得g (x )＞1， ∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1＞1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ，其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π，k π＋π6，k ∈Z .又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∈Z .。
2024_2025学年高三数学新高考一轮复习专题三角函数的图像和性质1含解析
三角函数的图像和性质学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共6小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.函数的定义域为A. B.C. D.2.函数的定义域是（）A. (0,]B. (0,)C. [0，]D. (0,]3.已知f（x）=cos x（cos x +sin x）在区间[-，m]上的最大值是，则实数m的最小值是（）A. B. C. D.4.若f(x )=(x -)在区间[-a,a]上单调递增,则实数a的最大值为（）A. B. C. D.5.已知函数f(x)＝sin(ωx ＋)(ω>0)在区间[－，]上单调递增，则ω的取值范围为( )A. (0，]B. (0，]C. [，]D. [，2]6.函数f(x )=(4x +)+的零点个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。
在每小题有多项符合题目要求）7.函数f(x)=A (x +)(A >0,>0,||<)的部分图象如图所示,则（）1A. f(x)的图象的最小正周期为B. f(x)的图象的对称轴方程为x=+2k(k Z)C. f(x)的图象的对称中心为(+2k,0)(k Z)D. f(x)的单调递增区间为[4k-,4k+](k Z)8.已知函数，现给出下列四个命题，其中正确的是（）A. 函数的最小正周期为B. 函数的最大值为1C. 函数在上单调递增D. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数解析式为三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）9.已知函数f（x）=sin（2x+φ）（0≤φ＜π）关于直线对称，则f（0）= ．10.筒车是我国古代独创的一种水利浇灌工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画1描绘了筒车的工作原理．假定在水流稳定的状况下，简车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个几何图形圆，筒车的半径为4m，筒车转轮的中心O到水面的距离为2m，筒车每分钟沿逆时针方向转动4圈．规定：盛水筒M对应的点P从水中出现即时的位置时起先计算时间，且以水轮的圆心O为坐标原点，过点O的水平直线为x轴建立平面直角坐标系设盛水筒M从点运动到点P时所经过的时间为单位：，且此时点P距离水面的高度为单位：，则h 与t的函数关系式为，点P第一次到达最高点须要的时间为四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。
2023年高考数学(文科)一轮复习——三角函数的图象与性质
第4节 三角函数的图象与性质考试要求 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性.1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0).(2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1).2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域RR{x |x ∈R ，且 x ≠k π＋π2}值域 [－1，1] [－1，1] R 最小正周期 2π 2π π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π] 无 对称中心 (k π，0) ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0 对称轴方程x ＝k π＋π2x ＝k π无1.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的周期T ＝2π|ω|，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的周期T ＝π|ω|.2.正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是12T ，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14T ，其中T 为周期，正切曲线相邻两对称中心之间的距离是12T ，其中T 为周期.3.对于y ＝tan x 不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内为增函数.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 2.函数f (x )＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠π6B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠－π12C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π6（k ∈Z ）答案 D解析 由2x ＋π6≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π6，k ∈Z . 3.下列函数中，是奇函数的是( ) A.y ＝|cos x ＋1| B.y ＝1－sin x C.y ＝－3sin(2x ＋π) D.y ＝1－tan x答案 C解析 选项A 中的函数是偶函数，选项B ，D 中的函数既不是奇函数，也不是偶函数；因为y ＝－3sin(2x ＋π)＝3sin 2x ，所以是奇函数，选C. 4.(易错题)函数y ＝cos 2x ＋sin x 的值域为( )A.[－1，1]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，54D.[0，1]答案 C解析 y ＝cos 2x ＋sin x ＝－sin 2x ＋sin x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －122＋54，∴当sin x ＝12时，y max ＝54. 当sin x ＝－1时，y min ＝－1.5.函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期是________. 答案 π6.(易错题)函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象的对称中心是________.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0，k ∈Z解析 由x ＋π4＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π2－π4，k ∈Z ，∴对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0，k ∈Z .考点一 三角函数的定义域和值域 1.函数y ＝sin x －cos x 的定义域为______. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )解析 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示. 在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z . 2.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的最大值为________.答案2解析 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫x －π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2 ＝－2cos x ，所以当x ＝(2k ＋1)π(k ∈Z )时，f (x )max ＝ 2.3.函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________.答案 －4解析 因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1， 令t ＝cos x ，则t ∈[－1，1]， 所以g (t )＝－2t 2－3t ＋1.又函数g (t )图象的对称轴t ＝－34∈[－1，1]，且开口向下，所以当t ＝1时，g (t )有最小值－4.综上，f (x )的最小值为－4.4.函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1解析 设t ＝sin x －cos x ， 则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2. ∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－1＋222. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.感悟提升 1.求三角函数的定义域通常要解三角不等式(组)，解三角不等式(组)常借助三角函数线或三角函数的图象.2.求解三角函数的值域(最值)常见的几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).(4)一些复杂的三角函数，可考虑利用导数确定函数的单调性，然后求最值. 考点二 三角函数的周期性、奇偶性、对称性例1 (1)(2022·成都调研)在函数①y ＝cos|x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的函数有( ) A.①③B.①④C.②④D.②③(2)已知函数f (x )＝a sin x ＋cos x (a 为常数，x ∈R )的图象关于直线x ＝π6对称，则函数g (x )＝sin x ＋a cos x 的图象( ) A.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称B.关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称C.关于直线x ＝π3对称D.关于直线x ＝π6对称(3)(2022·西安调研)已知函数f (x )＝2sin(x ＋θ＋π3)⎝ ⎛⎭⎪⎫θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为________.答案 (1)D (2)C (3)π6解析 (1)①y ＝cos|x |＝cos x ，最小正周期为2π，错误；②y ＝|cos x |，最小正周期为π，正确；③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，最小正周期为2π2＝π，正确；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4最小正周期为π2，错误.故选D.(2)由题意知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，所以1＝32a ＋12，a ＝33，所以g (x )＝sin x ＋33cos x ＝233sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，当x ＝π3时，x ＋π6＝π2，所以直线x ＝π3为对称轴，点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0不为对称中心，A 错误，C 正确；当x ＝2π3时，x ＋π6＝5π6，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0不为对称中心，B 错误；当x ＝π6时，x ＋π6＝π3，所以直线x ＝π6不为对称轴，D 错误，故选C. (3)∵函数f (x )为偶函数， ∴θ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z ).又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴θ＋π3＝π2，解得θ＝π6，经检验符合题意.感悟提升 1.求三角函数的最小正周期，一般先通过恒等变形化为y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)或y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ≠0)的形式，再分别应用公式T ＝2π|ω|或T ＝π|ω|求解.2.三角函数型奇偶性判断除可以借助定义外，还可以借助其图象与性质，对y ＝A sin(ωx ＋φ)代入x ＝0，若y ＝0则为奇函数，若y 为最大或最小值则为偶函数.若y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则φ＝k π(k ∈Z )，若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝π2＋k π(k ∈Z ).3.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.训练1 (1)(2022·河南名校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 022x ＋π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 022x －π4的最大值为M ，若存在实数m ，n ，使得对任意实数x 总有f (m )≤f (x )≤f (n )成立，则M ·|m －n |的最小值为( ) A.π2 022B.π1 011C.π505D.3π1 011(2)已知函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为4π，且∀x ∈R 有f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3成立，则f (x )图象的对称中心是________，对称轴方程是________.答案 (1)B (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋4π3，0，k ∈Z x ＝2k π＋π3，k ∈Z解析 (1)令α＝2 022x ＋π4，则f (x )＝sin α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝sin α＋sin α＝2sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 022x ＋π4，其最小正周期T ＝2π2 022＝π1 011.由题意可知，M ＝2，|m －n |min ＝12T ，∴M |m －n |的最小值为π1 011.故选B.(2)由f (x )＝cos(ωx ＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝12，因为f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3恒成立，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，即12×π3＋φ＝2k π(k ∈Z ).又∵|φ|<π2，所以φ＝－π6，故f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，令12x －π6＝π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝4π3＋2k π(k ∈Z )，故f (x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋4π3，0，k ∈Z . 令12x －π6＝k π(k ∈Z )，得x ＝2k π＋π3(k ∈Z )，故f (x )图象的对称轴方程是x ＝2k π＋π3，k ∈Z . 考点三 三角函数的单调性 角度1 求三角函数的单调区间例2 (1)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6(x ∈[0，π])的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π6B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，πD.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π (2)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.答案 (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )解析 (1)由2k π－π≤x ＋π6≤2k π，k ∈Z ，解得2k π－7π6≤x ≤2k π－π6，k ∈Z .∵x ∈[0，π]，∴5π6≤x ≤π，∴函数f (x )在[0，π]的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π，故选C.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调递减区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). 角度2 利用单调性比较大小例3 已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a >b >c B.a >c >b C.c >a >bD.b >a >c答案 A解析 a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π7＝2cos 13π42，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2cos π3，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2cos 5π12，因为y ＝cos x 在[0，π]上递减， 又13π42<π3<5π12，所以a >b >c .角度3 根据三角函数的单调性求参数例4 (1)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，5π8上单调递增，则φ的取值范围是________.(2)(2022·山西高三测评)已知函数f (x )＝sin x 2＋3cos x2在(－a ，a )(a ＞0)上单调递增，则a 的取值范围是________. 答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π10，π4 (2)⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3 解析 (1)因为函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，5π8上单调递增，所以函数y ＝2sin(2x ＋φ)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π5，5π8上单调递减，又因为y ＝2sin(2x ＋φ)的单调递减区间为π2＋2k π≤2x ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π4＋k π－φ2≤x ≤3π4＋k π－φ2，k ∈Z ，所以π4＋k π－φ2≤π5，5π8≤3π4＋k π－φ2，k ∈Z ，所以π10＋2k π≤φ≤π4＋2k π，k ∈Z ，因为|φ|＜π，所以令k ＝0，解得π10≤φ≤π4，所以φ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π10，π4.(2)f (x )＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3，由－π2＋2k π≤x 2＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－5π3＋4k π≤x ≤π3＋4k π(k ∈Z )，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤π3，－a ≥－5π3，又a >0，所以a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3.感悟提升 1.已知三角函数解析式求单调区间求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(其中ω＞0)的单调区间时，要视“ωx ＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.但如果ω＜0，可借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错.2.已知三角函数的单调区间求参数.先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.训练2 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是________. (2)(2022·中原名校联盟联考)若函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10－2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调，则实数a 的最大值是________.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z (2)7π5 解析 (1)由－π2＋k π＜x 2－π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3＜x ＜2k π＋4π3，k ∈Z ，所以函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π6的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z . (2)法一 令2k π＋π2≤x ＋π10≤2k π＋3π2，k ∈Z ，即2k π＋2π5≤x ≤2k π＋7π5，k ∈Z ，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π5，7π5上单调递减， 所以a 的最大值为7π5.法二 因为π2≤x ≤a ，所以π2＋π10≤x ＋π10≤a ＋π10，又f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，a 上单调，π2＋π10＜a ＋π10≤3π2，即π2＜a ≤7π5，所以a 的最大值为7π5. 三角函数中ω的求解在三角函数的图象与性质中ω的求解是近年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉及的知识点多，历来是我们复习中的难点.一、结合三角函数的单调性求解例1 若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，23 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，3 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 答案 D解析 令π2＋2k π≤ωx ≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得π2ω＋2k πω≤x ≤3π2ω＋2k πω，因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减， 所以⎩⎪⎨⎪⎧π2ω＋2k πω≤π3，π2≤3π2ω＋2k πω，得6k ＋32≤ω≤4k ＋3. 又ω＞0，所以k ≥0.又6k ＋32≤4k ＋3，得0≤k ≤34.又k ∈Z ，所以k ＝0.即32≤ω≤3.故选D.二、结合三角函数的对称性、周期性求解例2 (2021·兰州质量预测)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，其图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 B.(0，2) C.(1，2) D.[1，2) 答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)， 令ωx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝π3ω＋k πω(k ∈Z )，由于函数f (x )图象的一条对称轴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3内， 因此有π6＜π3ω＋k πω＜π3(k ∈Z )成立，即3k ＋1＜ω＜6k ＋2(k ∈Z )，由f (x )的最小正周期大于π，得2πω＞π且ω＞0，解得0＜ω＜2，综上可得1＜ω＜2.故选C.三、结合三角函数的最值求解例3 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.答案 (－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞解析 显然ω≠0.若ω＞0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，－π3ω≤ωx ≤π4ω， 因为函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2， 所以－π3ω≤－π2，解得ω≥32.若ω＜0，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4时，π4ω≤ωx ≤－π3ω， 因为函数f (x )＝2sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值为－2， 所以π4ω≤－π2，解得ω≤－2.综上所述，符合条件的ω的取值范围是(－∞，－2]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.1.下列函数中，是周期函数的为( )A.f (x )＝sin |x |B.f (x )＝tan |x |C.f (x )＝|tan x |D.f (x )＝(x －1)0 答案 C解析 对于C ，f (x ＋π)＝|tan(x ＋π)|＝|tan x |＝f (x )，所以f (x )是周期函数，其余均不是周期函数.2.(2021·西安调研)函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π－π8，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π＋π8，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π，k ∈Z 答案 C解析 要使函数有意义，则2x ＋π4≠k π＋π2，k ∈Z ，即x ≠k 2π＋π8，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k 2π＋π8，k ∈Z ，故选C. 3.函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象的一条对称轴方程为( ) A.x ＝π6 B.x ＝5π12C.x ＝2π3D.x ＝－2π3答案 B解析 令2x ＋π6＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π12，k ∈Z ，当k ＝1时，x ＝5π12，故选B.4.已知函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋φ⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|<π2为奇函数，则φ＝( ) A.－π6 B.－π3 C.π6 D.π3答案 D解析 因为f (x )为奇函数，所以π6＋φ＝k π＋π2，则φ＝k π＋π3，k ∈Z ，又|φ|<π2，所以φ＝π3.5.若f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，则( ) A.f (1)＞f (2)＞f (3)B.f (3)＞f (2)＞f (1)C.f (2)＞f (1)＞f (3)D.f (1)＞f (3)＞f (2)答案 A解析 由π2≤2x －π4≤3π2，可得3π8≤x ≤7π8，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，7π8上单调递减，由于1＜3π8＜2，且3π8－1＜2－3π8，故f (1)＞f (2).由于3π8＜2＜7π8＜3，且7π8－2＞3－7π8，故f (2)＞f (3)，所以f (1)＞f (2)＞f (3)，故选A.6.(2022·南昌模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，则下列选项中能使得g (x )＝cos(x ＋φ) 取得最大值的是( )A.x ＝－2π3B.x ＝－π6C.x ＝π3D.x ＝5π12答案 A解析 因为f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以2×π6＋φ＝k π(k ∈Z )，得φ＝k π－π3(k ∈Z )，又φ∈(0，π)，所以当k ＝1时，φ＝2π3，所以g (x )＝cos(x ＋φ)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3取得最大值时，x ＋2π3＝2k 1π(k 1∈Z )，得x ＝2k 1π－2π3(k 1∈Z )，令k 1＝0得x ＝－2π3.故选A.7.已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，其中ω为常数，且ω∈(1，2)，则函数f (x )的最小正周期为________.答案 6π5解析 由函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋1(x ∈R )的图象的一条对称轴为x ＝π，可得ωπ－π6＝k π＋π2，k ∈Z ，∴ω＝k ＋23，又ω∈(1，2)，∴ω＝53，∴函数f (x )的最小正周期为2π53＝6π5. 8.(2022·合肥调研)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π6，则下列说法正确的是________(填序号).①f (x )的周期是π2；②f (x )的值域是{y |y ∈R ，且y ≠0}；③直线x ＝5π3是函数f (x )图象的一条对称轴；④f (x )的单调递减区间是(2k π－2π3，2k π＋π3)，k ∈Z .答案 ④解析 函数f (x )的周期为2π，①错；f (x )的值域为[0，＋∞)，②错，当x ＝5π3时，12x －π6＝2π3≠k π2，k ∈Z ，∴x ＝5π3不是f (x )的对称轴，③错；令k π－π2＜12x －π6＜k π，k ∈Z ，可得2k π－2π3 ＜x ＜2k π＋π3，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－2π3，2k π＋π3，k ∈Z ，④正确. 9.已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 解析 由π2<x <π，ω>0得ωπ2＋π4<ωx ＋π4<ωπ＋π4，又y ＝sin x 的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2，k ∈Z ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ωπ2＋π4≥π2＋2k π，ωπ＋π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54，k ∈Z .又由4k ＋12－⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋54≤0，k ∈Z 且2k ＋54>0，k ∈Z ，得k ＝0，所以ω∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54. 10.已知函数f (x )＝sin(2π－x )sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－x －3cos 2x ＋ 3. (1)求f (x )的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π12时，求f (x )的最小值和最大值. 解 (1)由题意，得f (x )＝(－sin x )(－cos x )－3cos 2 x ＋ 3＝sin x cos x －3cos 2x ＋ 3＝12sin 2x －32(cos 2x ＋1)＋ 3 ＝12sin 2x －32cos 2x ＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π；令2x －π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋5π12(k ∈Z )，故所求图象的对称轴方程为x ＝k π2＋5π12(k ∈Z ).(2)当0≤x ≤7π12时，－π3≤2x －π3≤5π6，由函数图象(图略)可知， －32≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3≤1. 即0≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32≤2＋32. 故f (x )的最小值为0，最大值为2＋32.11.已知a ＞0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1. (1)求常数a ，b 的值；(2) 求f (x )的单调区间.解 (1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]. ∴f (x )∈[b ，3a ＋b ].又－5≤f (x )≤1，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5，3a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－5.(2)f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1， 由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z .由π2＋2k π≤2x ＋π6≤32π＋2k π得π6＋k π≤x ≤23π＋k π，k ∈Z .∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，23π＋k π(k ∈Z )， 单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π(k ∈Z ). 12.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4(ω>0)的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4内有且仅有一条对称轴，则实数ω的取值范围是( )A.(0，5)B.(0，5]C.[1，5)D.(1，5]答案 C解析 令ωx ＋π4＝k π＋π2，x ＝1ω⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k ∈Z . ∵ω>0，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1ω×π4≤π4，1ω×5π4>π4，解得1≤ω<5.故选C. 13.(2022·贵阳模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋12sin 2x ，给出下列四个命题：①函数f (x )是周期函数；②函数f (x )的图象关于原点对称； ③函数f (x )的图象过点(π，0)；④函数f (x )为R 上的单调函数.其中所有真命题的序号是________. 答案 ①②③解析 因为f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋12sin(2x ＋4π)＝sin x ＋12sin 2x ＝f (x )，所以2π是函数f (x )的一个周期，所以①正确；因为f (－x )＝sin(－x )＋12sin(－2x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x ＋12sin 2x ＝－f (x )(x ∈R )， 所以f (x )为奇函数，其图象关于原点对称，所以②正确；因为f (π)＝sin π＋12sin 2π＝0，所以③正确；因为f (0)＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝1，f (π)＝0， 所以f (x )不可能是单调函数，所以④错误.14.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＋32. (1)求f (x )的最大值及取得最大值时x 的值；(2)若方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2, 求cos(x 1－x 2)的值.解 (1)f (x )＝cos x sin x －32(2cos 2x －1) ＝12sin 2x －32cos 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3. 当2x －π3＝π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝512π＋k π(k ∈Z )时， 函数f (x )取最大值，且最大值为1.(2)由(1)知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝512π＋k π(k ∈Z )，∴当x ∈(0，π)时，对称轴为x ＝512π.又方程f (x )＝23在(0，π)上的解为x 1，x 2，∴x 1＋x 2＝56π，则x 1＝56π－x 2，∴cos(x 1－x 2)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π－2x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3， 又f (x 2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2－π3＝23， 故cos(x 1－x 2)＝23.。
高考数学一轮复习第三章三角函数解三角形课时作业23三角函数的图象与性质课件理新人教A版
()
A．π2
B．π3
C．π4
D．π6
解析 由题意得，2ω＋π6＝π2＋2kπ(k∈Z)，解得 ω＝π6＋kπ(k∈Z)，因为 ω>0，所以当 k＝0 时，ωmin＝π6。故选 D。
答案 D
5．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数 f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则( ) A．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 3 B．f(x)的最小正周期为 π，最大值为 4 C．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 3 D．f(x)的最小正周期为 2π，最大值为 4
＝－π6时，f(x)＝2sin2x，在－π4，0上为增函数，不合题意。当 θ＝56π时，f(x)
＝－2sin2x，在－π4，0上为减函数，符合题意。故选 D。 答案 D
二、填空题 8．函数 y＝3－2cosx＋π4的最大值为________，此时 x＝________。
解析 函数 y＝3－2cosx＋π4的最大值为 3＋2＝5，此时 x＋π4＝π＋ 2kπ(k∈Z)，即 x＝34π＋2kπ(k∈Z)。
答案 A
2．已知函数 y＝2cosx 的定义域为π3，π，值域为[a，b]，则 b－a 的值
是( )
A．2
B．3
C． 3＋2
D．2－ 3
解析 因为 x∈3π，π，所以 cosx∈－1，12，故 y＝2cosx 的值域为[－ 2,1]，所以 b－a＝3。
答案 B
3．y＝|cosx|的一个单调递增区间是( )
∈
22，1，则
2sinsinx＋π4∈[1，
2]，故 C 项正确；当 x∈π4，π2时，sinx
∈
22，1，sinx＋π4∈
22＋π4，1＋π4，而π2∈
高考数学一轮总复习 课时作业23 三角函数的图象与性质(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学试题
课时作业23 三角函数的图象与性质一、选择题 1．函数y ＝1－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4的定义域为( C ) A.⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π4，k ∈Z B.⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈Z C.⎝⎛⎦⎤k π－π4，k π＋π2，k ∈Z D.⎝⎛⎦⎤k π－π4，k π，k ∈Z 解析：要使函数y ＝1－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4有意义，则1－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4≥0，故tan ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1，故k π－π2<x －π4≤k π＋π4，k ∈Z ，解得x ∈⎝⎛⎦⎤k π－π4，k π＋π2，k ∈Z ，故选C. 2．已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3－1，则f (x )的最小正周期是( A ) A ．2π B ．π C ．3π D ．4π解析：函数f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π.故选A.3．(2020·某某七校联考)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6的单调递增区间是( B ) A.⎣⎡⎦⎤2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫4k π－2π3，4k π＋4π3，k ∈Z 解析：由－π2＋k π<x 2－π6<π2＋k π，k ∈Z ，得2k π－2π3<x <2k π＋4π3，k ∈Z ，则函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π6的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫2k π－2π3，2k π＋4π3，k ∈Z ，故选B. 4．下列函数中，最小正周期为π且图象关于直线x ＝π6对称的是( B )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π12B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫12x ＋π6D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析：由函数的最小正周期为π，得2πω＝π，∴ω＝2，故选项A ，C 错误；当x ＝π6时，sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝1， 满足题意，故选项B 正确；当x ＝π6时，cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝0，不满足题意，故选项D 错误． 5．(2020·某某综合测试)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12的最大值是( C ) A ．2 B.32C.3D ．2 3 解析：sinπ12＋cos π12＝⎝⎛⎭⎫sin π12＋cos π122＝1＋sin π6＝1＋12＝62，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋5π12＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋cos ⎝⎛⎭⎫π12－x ＝sin x cos π12＋cos x sin π12＋cos π12cos x ＋sin x sinπ12＝(sin x ＋cos x )⎝⎛⎭⎫sin π12＋cos π12＝62×2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤62×2＝3，故选C. 6．(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝⎛⎭⎫π4，π2单调递增的是( A ) A ．f (x )＝|cos2x | B ．f (x )＝|sin2x | C ．f (x )＝cos|x | D ．f (x )＝sin|x |解析：A 中，函数f (x )＝|cos2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递增，故A 正确；B 中，函数f (x )＝|sin2x |的周期为π2，当x ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2时，2x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π，函数f (x )单调递减，故B 不正确；C 中，函数f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π，故C 不正确；D 中，f (x )＝sin|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧sin x ，x ≥0，－sin x ，x <0，由正弦函数图象知，在x ≥0和x <0时，f (x )均以2π为周期，但在整个定义域上f (x )不是周期函数，故D 不正确．故选A.7．(2019·某某卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝⎛⎭⎫π4＝2，则f ⎝⎛⎭⎫3π8＝( C ) A ．－2 B ．－ 2 C.2D ．2解析：由f (x )为奇函数可得φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π，所以φ＝0，所以g (x )＝A sin 12ωx .由g (x )的最小正周期为2π，可得2π12ω＝2π，故ω＝2，g (x )＝A sin x .g ⎝⎛⎭⎫π4＝A sin π4＝2，所以A ＝2，所以f (x )＝2sin2x ，故f ⎝⎛⎭⎫3π8＝2sin 3π4＝ 2. 8．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π6的一个单调递增区间是( B ) A.⎣⎡⎦⎤－π6，π3B.⎣⎡⎦⎤π3，5π6 C.⎣⎡⎦⎤－π3，π6D.⎣⎡⎦⎤π6，2π3 解析：∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π6， ∴f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 令π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ， 得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .取k ＝0， 得函数f (x )的一个单调递增区间是⎣⎡⎦⎤π3，5π6.故选B.9．(2020·某某七校联考)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，则( D ) A ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，其图象关于直线x ＝π4对称 B ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增，其图象关于直线x ＝π2对称 C ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，其图象关于直线x ＝π4对称 D ．y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递减，其图象关于直线x ＝π2对称 解析：由已知可得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2cos2x ，其图象是y ＝cos x 的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的12(周期变为原来的一半)得到的．故选D.二、填空题10．(2019·卷)函数f (x )＝sin 22x 的最小正周期是π2.解析：∵f (x )＝sin 22x ＝1－cos4x 2，∴f (x )的最小正周期T ＝2π4＝π2.11．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为2或－2. 解析：∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∴x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2. 12．若函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6在x ＝2处取得最大值，则正数ω的最小值为π6. 解析：由题意得，2ω＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝π6＋k π(k ∈Z )，∵ω>0，∴当k ＝0时，ωmin＝π6. 13．(2020·某某模拟)已知函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，且f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，则ω＝2.解析：因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫π6＋f ⎝⎛⎭⎫π2＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π22＝0，即f ⎝⎛⎭⎫π3＝0，因为f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3， 所以f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3ω＋π3＝0， 所以π3ω＋π3＝k π(k ∈Z )，解得ω＝3k －1(k ∈Z )．又12·2πω≥π2－π6，ω>0，所以ω＝2. 三、解答题14．已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )－1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在[0，π]上的单调递增区间．解：(1)f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x －1＝sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)由－π2＋2k π≤2x ＋π4≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π(k ∈Z )．所以当x ∈[0，π]时，f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π8和⎣⎡⎦⎤5π8，π. 15．(2019·某某卷)设函数f (x )＝sin x ，x ∈R .(1)已知θ∈[0,2π)，函数f (x ＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42的值域． 解：(1)因为f (x ＋θ)＝sin(x ＋θ)是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin(x ＋θ)＝sin(－x ＋θ)，即sin x cos θ＋cos x sin θ＝－sin x cos θ＋cos x sin θ， 故2sin x cos θ＝0，所以cos θ＝0.又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或3π2.(2)y ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π122＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫x ＋π42 ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π62＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π22＝1－12⎝⎛⎭⎫32cos2x －32sin2x ＝1－32cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 因此，函数的值域是⎣⎡⎦⎤1－32，1＋32.16．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f (x )＝sin|x |＋|sin x |有下述四个结论： ①f (x )是偶函数②f (x )在区间⎝⎛⎭⎫π2，π单调递增 ③f (x )在[－π，π]有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( C ) A ．①②④B ．②④ C ．①④D ．①③解析：解法1：f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，故②不正确；f (x )在[－π，π]的图象如图所示，由图可知函数f (x )在[－π，π]只有3个零点，故③不正确；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的序号是①④.故选C.解法2：∵f (－x )＝sin|－x |＋|sin(－x )|＝sin|x |＋|sin x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故①正确，排除B ；当π2<x <π时，f (x )＝sin x ＋sin x ＝2sin x ，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减，故②不正确，排除A ；∵y ＝sin|x |与y ＝|sin x |的最大值都为1且可以同时取到，∴f (x )的最大值为2，故④正确．故选C.17．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0,2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点 ②f (x )在(0,2π)有且仅有2个极小值点 ③f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增 ④ω的取值X 围是⎣⎡⎭⎫125，2910 其中所有正确结论的编号是( D ) A ．①④B ．②③ C ．①②③D ．①③④解析：如图，根据题意知，x A ≤2π<x B ，根据图象可知函数f (x )在(0,2π)有且仅有3个极大值点，所以①正确；但可能会有3个极小值点，所以②错误；根据x A ≤2π<x B ，有24π5ω≤2π<29π5ω，得125≤ω<2910，所以④正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π10时，π5<ωx ＋π5<ωπ10＋π5，因为125≤ω<2910，所以ωπ10＋π5<49π100<π2，所以函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π10单调递增，所以③正确．。
2023年高考数学一轮复习(新高考地区专用)3-4-1 三角函数的性质(1)(精练)(含详解)
3.4.1 三角函数的性质（1）（精练）（基础版）1．（2022·广西南宁）下列四个函数，最小正周期是2π的是（ ） A ．sin 2y x =B ．cos 2xy = C ．sin 4y x =D ．tan 3y x =2.（2021年湖南）下列函数中，周期为2π的奇函数为( )A ．y ＝sin x 2cos x2 B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2x D ．y ＝sin 2x ＋cos 2x3．（2022·江西景德镇）函数2π2sin tan()16y x x =+-+的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学）函数()cos sin f x x x =+ 的最小正周期为________. 5．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）已知函数f (x )＝sin(ωx ＋3π)(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝____. 6．（2022·全国·高三专题练习）求下列三角函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x∈R ； (3)y ＝sin 1()34x π-，x∈R ； (4)y ＝|cos x|，x∈R .7（2021·上海·高三专题练习）求下列函数的周期： （1）cos 2sin 2cos 2sin 2x xy x x+=-； （2）66sin cos y x x =+.1．（2022·全国·单元测试）函数()1tan 36x f x ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为（ ） A ．16,0()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．13,0()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ C ．16,1()2k k Z +⎛⎫∈⎪⎝⎭D ．13,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2．（2022·安徽）“3πϕ=”是“函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2021·青海西宁）已知函数()sin 022f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象过点30,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则()f x 图象的一个对称题组一 周期题组二 对称性中心为（ ） A ．1,03⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0C ．4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,04．（2022·浙江金华）下列函数中，关于直线6x π=-对称的是（ ）A ．sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ C ．cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ D ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭5（2022·全国·单元测试）函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称6．（2022·河北省）关于()4sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列结论:∈函数的最小正周期为π； ∈表达式可改写成()4cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；∈函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ∈函数的图象关于直线6x π=-对称.其中错误的结论是( ) A ．∈∈B ．∈∈C ．∈D ．∈∈7．（2021·北京市）最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是（ ）A ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭8．（2022·江西·南昌十五中）若函数()sin (0)3⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭f x x πωω的图象与()2cos()=+g x x a π的图象都关于直线6x π=对称，则||||+a ω的最小值为（ ）A ．56B ．76C ．316D ．3761．（2022·江西）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A ．sin 2y x =B ．cos 2y x =C ．cos 21y x =+D ．sin 21y x =+2．（2022·全国·高二课时练习）函数3sin(2)y x π=+是（ ） A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π的奇函数D ．周期为2π的偶函数 题组三 奇偶性3．（2021·全国·课时练习）下列函数中，最小正周期是π且是奇函数的是（ ） A ．sin 2y x =B ．sin y x =C ．tan2xy = D ．cos 2y x =4．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）下列函数中为周期是π的偶函数是（ ） A ．sin y x = B ．sin ||y x = C ．sin y x =-D ．sin 1y x =+5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为2π的奇函数为（ ）． A ．sin cos 22x x y =B ．2sin y x =C ．tan 2y x =D ．sin 2cos2y x x =+6．（2022·新疆昌吉）已知函数()sin f x x x =，则下列关于函数3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的描述错误的是（ ）A ．奇函数B ．最小正周期为πC ．其图象关于点(,0)π-对称D ．其图象关于直线2x π=对称7．（2022·全国·课时练习）下列函数中，其图像关于原点对称的是（ ）． A ．2sin y x =B ．sin y x x =C ．sin x y x =D ．πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭8．（2021·全国·课时练习）下列函数具有奇偶性的是（ ） A ．()()sin 0f x x x => B ．()()2sin 0f x x x =<C ．()1sinf x x= D ．()f x =9．（2022·河南）“函数f (x )=sin2x +(a 2-1)cos x 为奇函数”是“a =1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件10．（2022·全国·专题练习）函数f （x ）=21sin cos 1sin x x x +-+是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数11．（2022·上海市）函数212cos 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2ϕπ=”是“()f x 为偶函数”的（ ）条件A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件13．（2022·全国·高三专题练习）函数f (x 的奇偶性为（ ） A ．奇函数 B ．既是奇函数也是偶函数 C ．偶函数 D ．非奇非偶函数14．（2022·全国·高三专题练习）函数∈()sin cos f x x x =+，∈()sin cos f x x x =，∈21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（ ） A ．∈∈B ．∈C ．∈D ．∈∈15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2cos 2f x x x ϕϕ+++为奇函数，且存在00,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()02f x =，则ϕ的一个可能值为（ ）A ．56πB ．3πC ．6π-D ．23π-16．（2022·全国·高三专题练习）使函数()sin())f x x x ϕϕ=++为偶函数的ϕ的一个值为（ ） A ．23πB ．3π C ．3π-D ．56π-17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ．则“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件18．（2022·全国·高三专题练习）在下列四个函数中，周期为2π的偶函数为（ ） A ．2sin 2cos2y x x = B ．22cos 2sin 2y x x =- C ．sin 2y x x =D ．22cos sin y x x =-19．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知函数()2cos 2cos 42x f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．14y f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为奇函数B ．14y f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数C ．14y f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数D ．14y f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数20．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））设0a <，若函数()()()3cos 4sin 4f x x a x a =+-+的图象关于原点对称，则a 的最大值为（ ） A ．6π-B ．4π-C ．3π-D ．23π-1．（2022·内蒙古包头·高三期末（理））下列区间中，函数()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭2．（2022·全国·高三专题练习）函数()tan 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A ．114,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈B ．314,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈C ．312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z∈ D ．112,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈3．（2022·河北·模拟预测）（多选）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（ ）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x =4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ） A ．0,2π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭5．（2022·湖北武汉·高三期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，其在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．cos 2y x =D ．sin 2y x =6．（2022·全国·高三专题练习）在下列函数中，同时满足：∈在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；∈最小正周期为2π的是（ ） A ．tan y x =B ．cos y x =C ．tan2x y = D ．tan y x =-7．（2022·山东·昌乐）若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为__________.8．（2022·天津河西·高三期末）已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，其图象题组四 单调性的一条对称轴为43x π=，则23f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______. 9．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的一个取值为________．3.4.1 三角函数的性质（1）（精练）（基础版）1．（2022·广西南宁）下列四个函数，最小正周期是2π的是（ ） A ．sin 2y x = B ．cos 2x y =C ．sin 4y x =D ．tan 3y x =【答案】C【解析】A 选项：22T ππ==，错误；B 选项：2412T ππ==，错误； C 选项：242T ππ==，正确；D 选项：3T π=，错误.故选：C. 2.（2021年湖南）下列函数中，周期为2π的奇函数为( )A ．y ＝sin x 2cos x2B ．y ＝sin 2xC ．y ＝tan 2xD ．y ＝sin 2x ＋cos 2x【答案】A【解析】 y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π2；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D都不正确，故选A.3．（2022·江西景德镇）函数2π2sin tan()16y x x =+-+的最小正周期为（ ）A ．2π B ．πC ．32π D ．2π【答案】B【解析】函数2ππ2sin tan()1tan()cos 2266y x x x x =+-+=--+，其中函数πtan()6y x =-的最小正周期为π，函数cos 2y x =的最小正周期为2ππ2T ==所以函数πtan()cos 226y x x =--+的最小正周期为π.故选：B.4．（2022·宁夏·青铜峡市宁朔中学）函数()cos sin f x x x =+ 的最小正周期为________. 【答案】2π【解析】因为()cos sin f x x x =+，所以22()2cos sin 2sin 224f x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1ω=，所以函数的最小正周期22T ππω==；故答案为：2π5．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）已知函数f (x )＝sin(ωx题组一 周期＋3π)(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝____. 【答案】2 【解析】由2T ππω==，又ω>0，故2ω=.故答案为：2.6．（2022·全国·高三专题练习）求下列三角函数的周期： (1)y ＝3sin x ，x∈R ； (2)y ＝cos 2x ，x∈R ； (3)y ＝sin 1()34x π-，x∈R ； (4)y ＝|cos x|，x∈R .【答案】（1）2π ； （2）π ； （3）6π ； （4）π.【解析】(1)因为3sin(x ＋2π)＝3sinx ，由周期函数的定义知，y ＝3sinx 的周期为2π. (2)因为cos2(x ＋π)＝cos(2x ＋2π)＝cos2x ，由周期函数的定义知，y ＝cos2x 的周期为π.(3)因为()111sin 6sin 2sin 343434x x πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭，由周期函数的定义知，1sin 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期为6π.(4)y ＝|cosx|的图象如图(实线部分)所示，由图象可知，y ＝|cos x|的周期为π.7（2021·上海·高三专题练习）求下列函数的周期：（1）cos 2sin 2cos 2sin 2x xy x x+=-； （2）66sin cos y x x =+.【答案】（1）2π；（2）2π【解析】（1）cos 2sin 2cos 2sin 2x xy x x+=-，将各项同时除以cos2x ，结合正切函数和角公式化简可得cos 2sin 21tan 2cos 2sin 21tan 2x x x y x x x ++==--tantan 241tan tan 24x x ππ+=-⋅tan 24x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∈函数的周期是2T π=. （2）由立方和公式及完全平方公式化简可得66sin cos y x x =+()()224224sin cos sin sin cos cos x x x x x x=+-+()22222231sin cos 3sin cos 1sin 24x x x x x ⎡⎤=⋅+-=-⎢⎥⎣⎦53cos 488x =+.所以函数的周期是242T ππ==.题组二 对称性1．（2022·全国·单元测试）函数()1tan 36x f x ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为（ ） A ．16,0()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ B ．13,0()2k k Z +⎛⎫∈⎪⎝⎭ C ．16,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．13,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】令()362x k k Z πππ-=∈，得13()2kx k Z +=∈， 故函数()1tan 36x f x ππ⎛⎫=+-⎪⎝⎭图象的对称中心的坐标为13,1()2k k Z +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故选:D. 2．（2022·安徽）“3πϕ=”是“函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由22x k πϕπ+=+，k Z ∈可得22x k πϕπ=-+，k Z ∈，即函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴为22x k πϕπ=-+，k Z ∈；若3πϕ=，则23x k ππ=+，k Z ∈，能推出函数()f x 的图象关于3x π=对称；若函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称，则223k ππϕπ=-+，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈；所以“3πϕ=”是“函数()sin 2x f x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于3x π=对称”的充分不必要条件，故选：A.3．（2021·青海西宁）已知函数()sin 022f x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象过点⎛ ⎝⎭，则()f x 图象的一个对称中心为（ ） A ．1,03⎛⎫⎪⎝⎭B ．()1,0C ．4,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()2,0【答案】C【解析】由题知()0sin f ϕ==π02ϕ<<，所以π3ϕ=，则()ππsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令()ππ23x k k π+=∈Z ，则()223x k k =-∈Z ，当1k =时，43x =，即4,03⎛⎫⎪⎝⎭为()f x 图象的一个对称中心，可验证其他选项不正确.故选：C.4．（2022·浙江金华）下列函数中，关于直线6x π=-对称的是（ ）A ．sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】A.将6x π=-代入sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得函数值为12，故6x π=-不是sin 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴；B.将6x π=-代入sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得函数值为0，故6x π=-不是sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴；C.将6x π=-代入cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭6x π=-不是cos 3y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的一条对称轴；D.将6x π=-代入cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，得函数值为1，故6x π=-是cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一条对称轴；故选：D.5（2022·全国·单元测试）函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像（ ）A ．关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．关于点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称C ．关于直线6x π=对称 D ．关于直线3x π=对称【答案】B 【解析】令2()3x k k Z ππ+=∈,得126x k ππ=-,所以对称点为1,026k ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当1k =,为,03π⎛⎫⎪⎝⎭,故B 正确；令2()32x k k Z πππ+=+∈,则对称轴为212k x ππ=+, 因此直线6x π=和3x π=均不是函数的对称轴.故选B6．（2022·河北省）关于()4sin 2()3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭有下列结论:∈函数的最小正周期为π； ∈表达式可改写成()4cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；∈函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称； ∈函数的图象关于直线6x π=-对称.其中错误的结论是( ) A ．∈∈ B ．∈∈ C ．∈ D ．∈∈【答案】C【解析】结论∈：周期2T ππω==，故本结论正确；结论∈：()4sin 24sin 24cos 226266f x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故本结论正确；结论∈：因为()4sin 2()0663f πππ⎛⎫-=⋅-+= ⎪⎝⎭，所以函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故本结论正确；结论∈：由∈的判断可知，函数函数的图象关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，故本结论不正确，综上，本题选C.7．（2021·北京市）最小正周期为π，且图象关于直线3x π=对称的一个函数是（ ）A ．sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】函数sin 26x y π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的周期为：22412T πππω===，故排除A. 将3x π=代入sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭得：sin 236y ππ⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭=1，此时y 取得最大值，所以直线3x π=是函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭一条对称轴．故选D.8．（2022·江西·南昌十五中）若函数()sin (0)3⎛⎫=-≠ ⎪⎝⎭f x x πωω的图象与()2cos()=+g x x a π的图象都关于直线6x π=对称，则||||+a ω的最小值为（ ）A ．56B ．76C ．316D ．376【答案】B【解析】由题意可得(),()6326k k a n n ππππωπππ-=+∈+=∈Z Z ，即165(),()6k k a n n ω=+∈=-+∈Z Z ，故||||+a ω的最小值为17|1|66-+-=；故选：B.1．（2022·江西）下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（ ） A ．sin 2y x = B ．cos 2y x = C ．cos 21y x =+ D ．sin 21y x =+【答案】D【解析】选项A: sin 2()sin 2x x -=-，则sin 2y x =为奇函数.排除； 选项B: cos 2()cos 2x x -=，则cos 2y x =为偶函数.排除； 选项C: cos 2()1cos 21x x -+=+，则cos 21y x =+为偶函数.排除；选项D: 令()sin 21f x x =+，ππ()sin 1042f ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，ππ()sin 1242f =+=则ππ()()44f f -≠，ππ()()44f f -≠-，则sin 21y x =+既不是奇函数也不是偶函数．可选.故选：D题组三 奇偶性2．（2022·全国·高二课时练习）函数3sin(2)y x π=+是（ ） A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数 【答案】C【解析】函数3sin(2)3sin 2y x x π=+=-, 其最小正周期为22T ππ== 由()3sin 23sin 2x x --=，可得函数为奇函数.故选：C3．（2021·全国·课时练习）下列函数中，最小正周期是π且是奇函数的是（ ） A ．sin 2y x = B ．sin y x = C ．tan2x y = D ．cos 2y x =【答案】A【解析】A 选项，sin 2y x =的最小正周期是π，且是奇函数，A 正确. B 选项，sin y x =的最小正周期是2π，且是奇函数，B 错误. C 选项，tan2xy =的最小正周期为2π，且是奇函数，C 错误. D 选项，cos y x =的最小正周期是π，且是偶函数，D 错误. 故选：A4．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学）下列函数中为周期是π的偶函数是（ ） A ．sin y x = B ．sin ||y x = C ．sin y x =- D ．sin 1y x =+【答案】A【解析】对于A ，sin y x =为偶函数,且最小正周期为π,所以A 正确; 对于B ，sin y x =为偶函数,但不具有周期性,所以B 错误; 对于C ，sin y x =-为奇函数，所以C 错误;对于D, sin 1y x =+为非奇非偶函数,所以D 错误.综上可知,正确的为A 故选:A 5．（2022·全国·高三专题练习）下列函数中，周期为2π的奇函数为（ ）． A ．sin cos 22x x y =B ．2sin y x =C ．tan 2y x =D ．sin 2cos2y x x =+【答案】A【解析】对于选项A ，11sin cos 2sin cos sin 222222x x x x y x ==⨯⨯⋅=，则2221T πππω===，且()11sin sin 22x x -=-是奇函数，所以A 选项正确； 对于选项B ，21cos 2sin 2x y x -==，则222T πππω===，且()1cos 21cos 222x x ---=是偶函数，所以B 选项错误；对于选项C ，tan 2y x =，则2ππT ω==，且()tan 2tan 2x x -=-是奇函数，所以C 选项错误；对于选项D ，sin 2cos 22224y x x x x x π⎫⎛⎫=+==+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，则222T πππω===()2244x x ππ⎡⎤⎛⎫-+-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭是非奇非偶函数，所以D 选项错误.故选：A.6．（2022·新疆昌吉）已知函数()sin f x x x =，则下列关于函数3y f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的描述错误的是（ ）A ．奇函数B ．最小正周期为πC ．其图象关于点(,0)π-对称D ．其图象关于直线2x π=对称【答案】B【解析】因为()sin 2sin 3f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以2sin 3f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭，最小正周期为2π，故B 错误；2sin 3f x x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭显然为奇函数，其图象关于点(,0)π-对称且关于直线2x π=对称，所以其它选项均正确；故选：B ．7．（2022·全国·课时练习）下列函数中，其图像关于原点对称的是（ ）． A ．2sin y x = B ．sin y x x = C ．sin xy x=D ．πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】对于A ：2sin y x =的定义域为R ，()()()22sin sin f x x x f x -=-==，所以2sin y x =是偶函数，图象不关于原点对称，故选项A 不正确；对于B ：sin y x x =的定义域为R ，()()()()sin sin f x x x x x f x -=--==， 所以sin y x x =是偶函数，图象不关于原点对称，故选项B 不正确； 对于C ：sin xy x=的定义域为{}|0x x ≠ 关于原点对称， ()()()sin sin x xf x f x xx--===-，所以sin x y x =是偶函数，图象不关于原点对称，故选项C 不正确；对于D ：πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域为R ，πsin cos 2y x x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，()()()()cos cos f x x x x x f x -=--=-=-，所以πsin 2y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭是奇函数，图象关于原点对称，故选项D 正确； 故选：D.8．（2021·全国·课时练习）下列函数具有奇偶性的是（ ） A ．()()sin 0f x x x => B ．()()2sin 0f x x x =<C ．()1sin f x x= D ．()f x =【答案】C【解析】对A ，函数的定义域为()0,∞+，不关于原点对称，无奇偶性，故A 错误； 对B ，函数的定义域为(),0-∞，不关于原点对称，无奇偶性；故B 错误；对C ，函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，且()()11sin sin f x f x x x ⎛⎫-=-=-=- ⎪⎝⎭，故为奇函数，故C 正确；对D ，函数的定义域为{}22,x k x k k πππ≤≤+∈Z ，不关于原点对称，无奇偶性，故D 错误． 故选：C ．9．（2022·河南）“函数f (x )=sin2x +(a 2-1)cos x 为奇函数”是“a =1”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因函数()2()sin 21cos f x x a x =+-是定义域为R 的奇函数，则R ∀∈，f (x )+f (-x )=0，于是得22(1)cos 0a x -=，而cos x 不恒为0，则有210a -=，解得1a =±，因此，当a =1时，f (x )是奇函数，而f (x )是奇函数时，a 可以为-1，所以“函数f (x )=sin2x +(a 2-1)cos x 为奇函数”是“a =1”的必要不充分条件.故选：B10．（2022·全国·专题练习）函数f （x ）=21sin cos 1sin x xx +-+是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数又是偶函数【答案】C【解析】由1+sin x ≠0得sin x ≠-1，所以2,2x k k Z ππ≠-+∈所以函数f （x ）的定义域为|2,2x x k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭，不关于原点对称，也不关于y 轴对称，所以f （x ）是非奇非偶函数.11．（2022·上海市）函数212cos 4y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭是（ ）A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数 【答案】A【解析】2212cos 2cos 1cos 2sin 2442y x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=---=--=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为()()()sin 2sin 2f x x x f x -=--==-，所以为奇函数，周期22T ππ==， 所以此函数最小正周期为π的奇函数，故选：A.12．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+，则“2ϕπ=”是“()f x 为偶函数”的（ ）条件A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】A 【解析】当2ϕπ=时，()2sin 22cos 22f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，∈()()()2cos 22cos2f x x x f x -=-==，∈()f x 为偶函数. 当()f x 为偶函数时，2k πϕπ=+，k Z ∈，综上所述2ϕπ=是()f x 为偶函数的充分不必要条件，故选：A.13．（2022·全国·高三专题练习）函数f (x 的奇偶性为（ ） A ．奇函数 B ．既是奇函数也是偶函数 C ．偶函数 D ．非奇非偶函数【答案】D【解析】由2sin x -1≥0，即sin x ≥12，得函数定义域为52,266k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )，此定义域在x 轴上表示的区间不关于原点对称．所以该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．故选：D14．（2022·全国·高三专题练习）函数∈()sin cos f x x x =+，∈()sin cos f x x x =，∈21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（ ） A ．∈∈ B ．∈C ．∈D ．∈∈【答案】D【解析】对于∈()sin cos f x x x =+，()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，周期为π，但不是奇函数；对于∈()sin cos f x x x =，1()sin 22f x x =，周期为22T ππ==； 又()()11()sin 2=sin 222f x x x f x =-=---，故()sin cos f x x x =符合题意；对于∈21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，211()cos cos 2sin 24222f x x =x =x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由∈推导过程可知：21()cos 42f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭周期是π且为奇函数，符合题意.故选：D15．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()()2cos 2f x x x ϕϕ+++为奇函数，且存在00,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()02f x =，则ϕ的一个可能值为（ ） A ．56π B ．3π C ．6π-D ．23π-【答案】C【解析】()()()2cos 22sin 26x x f x x πϕϕϕ⎛⎫+++=++ ⎪⎝=⎭为奇函数，则()6k k Z πϕπ+=∈，可得()6k k ϕπ=π-∈Z ，所以排除BD 选项；对于A ，当56πϕ=时，()()2sin 22sin 2f x x x π=+=-， 当0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，220,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，不合题意；对于C ，当6πϕ=-时，()2sin 2f x x =，2sin 242f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭满足题意.故选：C.16．（2022·全国·高三专题练习）使函数()sin())f x x x ϕϕ=++为偶函数的ϕ的一个值为（ ） A ．23πB ．3π C ．3π-D ．56π-【答案】D 【解析】()sin())2sin()3f x x x x πϕϕϕ=++=++函数()f x 为偶函数，所以32k ππϕ+=（k 为奇数），当1k =-时，ϕ=56π-．故选：D ． 17．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin()(0,0,)f x A x A ωϕωϕ=+>>∈R ．则“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】若2ϕπ=，则()sin()cos 2f x A x A x πωω=+=，()cos()cos ()f x A x A x f x ωω-=-==，所以()f x 为偶函数；若()sin()f x A x ωϕ=+为偶函数，则2k πϕπ=+，k Z ∈，ϕ不一定等于2π. 所以“()f x 是偶函数“是“2ϕπ=”的必要不充分条件.故选：B 18．（2022·全国·高三专题练习）在下列四个函数中，周期为2π的偶函数为（ ） A ．2sin 2cos2y x x = B ．22cos 2sin 2y x x =- C ．sin 2y x x = D ．22cos sin y x x =-【答案】B【解析】A.2sin 2cos 2sin 4y x x x ==，函数是奇函数，周期242T ππ==，故A 不正确； B.22cos 2sin 2cos 4y x x x =-=，函数是偶函数，周期242T ππ==，故B 正确； C. 函数sin 2y x x =，满足()()f x f x -=，是偶函数，但不是周期函数，44f ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭，3344f ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即344f f ππ⎛⎫⎛⎫≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数的周期不是2π，故C 不正确；D.22cos sin cos 2y x x x =-=，函数是偶函数，函数的周期22T ππ==，故D 不正确. 故选：B19．（2022·安徽·淮南第一中学一模（理））已知函数()2cos 2cos 42x f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．14y f x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为奇函数B ．14y f x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭为奇函数C ．14y f x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭为偶函数D ．14y f x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数【答案】C【解析】∈()2cos 2cos =cos cos 1422x f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin 114x x x π⎛⎫=--=+- ⎪⎝⎭，∈124y f x x π⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭为偶函数，故A 错误；1cos 22sin 242y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-=+-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭既不是奇函数也不是偶函数，故B 错误；12cos 4y f x x π⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭为偶函数，故C 正确；12cos 2sin 42y f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=++=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为奇函数，故D 错误.故选：C.20．（2022·河南濮阳·高三开学考试（理））设0a <，若函数()()()3cos 4sin 4f x x a x a =+-+的图象关于原点对称，则a 的最大值为（ ） A ．6π-B ．4π-C ．3π-D ．23π-【答案】D【解析】()()()3cos 4sin 4f x x a x a =+-+2cos 46x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数的图象关于原点对称，所以当0x =时，62a k πππ+=+，k Z ∈，解得：3a k ππ=+，k Z ∈，因为0a <，所以当1k =-时，a 的最大值23a π=-.故选：D 1．（2022·内蒙古包头·高三期末（理））下列区间中，函数()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】对于A 选项，当02x π<<时，3365x πππ<+<，则()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 对于B 选项，当2x ππ<<时，54633x πππ<+<，则()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；对于C 选项，当32x ππ<<时，411336x πππ<+<，则()f x 在3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调； 对于D 选项，当322x ππ<<时，117633x πππ<+<，则()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增.故选：D.2．（2022·全国·高三专题练习）函数()tan 24f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递增区间为（ ）A ．114,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈B ．314,422k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈C ．312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈D ．112,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈【答案】C题组四 单调性【解析】令,2242k x k k Z ππππππ-+<+<+∈，解得3122,22k x k k Z -+<<+∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为312,222k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k Z ∈，故选：C3．（2022·河北·模拟预测）（多选）下列四个函数中，以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数有（ ）A ．cos 2y x =B ．sin 2y x =C ．tan y x =D ．lg sin y x =【答案】CD【解析】cos 2y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，故A 错误；sin 2y x =为奇函数，故B 错误；tan y x =图象如下图：故最小正周期为π，在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且为偶函数，故C 正确；sin y x =最小正周期为π，在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，且为偶函数，则lg sin y x =也是以π为周期且在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增的偶函数，故D 正确.故选：CD4．（2022·湖南·长沙市南雅中学高三阶段练习）在下列区间中，函数()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭ 【答案】D【解析】因为()2022cos 12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令22,12k x k k Z ππππ-+≤-≤∈，解得1122,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以函数的单调递增区间为112,2,1212k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦，当1k =时可得函数的一个单调递增区间为1325,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1325,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以函数在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 故选：D5．（2022·湖北武汉·高三期末）下列四个函数中，以π为最小正周期，其在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减的是（ ）A ．sin y x =B ．sin y x =C ．cos 2y x =D ．sin 2y x =【答案】A【解析】sin y x =的最小正周期为π，在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，符合题意，故A 正确；sin y x =不是周期函数，故B 错误；cos 2y x =中，,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π,2πx ，故cos 2y x =中在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不是单调函数，故C 错误；sin 2y x =,,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则2π,2πx ，故sin 2y x =中在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时不是单调函数，故D 错误，故选：A.6．（2022·全国·高三专题练习）在下列函数中，同时满足：∈在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增；∈最小正周期为2π的是（ ） A ．tan y x = B ．cos y x =C ．tan2x y = D ．tan y x =-【答案】C【解析】对于选项AD ，结合正切函数图象可知，tan y x =和tan =-y x 的最小正周期都为π，故AD 错误； 对于选项B ，结合余弦函数图象可知，cos y x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故B 错误；对于选项C ，结合正切函数图象可知，tan 2x y =在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，且最小正周期212T ππ==，故C 正确.故选：C.7．（2022·山东·昌乐）若()cos 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[],a a -上单调递增，则实数a 的最大值为__________.【答案】3π【解析】x ∈[],a a -，则,333x a a πππ⎡⎤-∈---⎢⎥⎣⎦，由题可知，[],,033a a πππ⎡⎤---⊆-⎢⎥⎣⎦，则3303a a a ππππ⎧--≥-⎪⎪⇒≤⎨⎪-≤⎪⎩，则a 的最大值为3π.故答案为：3π. 8．（2022·天津河西·高三期末）已知函数()()cos 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为4π，其图象的一条对称轴为43x π=，则23f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭______.【答案】【解析】∈f (x )最小正周期为4π，∈2142ππωω=⇒=；∈f (x )图象的一条对称轴为43x π=，∈14,23k k πϕπ⨯+=∈Z ， ∈2,3k k πϕπ=-∈Z ，02πϕ<<，1,.3k πϕ∴==∈()1cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()11sin 232f x x π⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭'，∈211sin 32332f πππ⎛⎫⎛⎫=-⨯'+=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故答案为： 9．（2022·山东潍坊·模拟预测）已知函数()sin cos f x x x ωω=+（0>ω）在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则ω的一个取值为________．【答案】1，答案不唯一【解析】()π4f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，当1ω=时，()π4f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， πππ3π,,0,4848x x ⎡⎤⎡⎤∈-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以()f x 在ππ,48⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，符合题意. 故答案为：1，答案不唯一。
2022届高考数学统考一轮复习第四章三角函数的图象与性质学案文含解析新人教版
高考数学统考一轮复习：第三节三角函数的图象与性质【知识重温】一、必记2个知识点1．周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有①________________，那么函数f(x)就叫做周期函数．②________________叫做这个函数的周期．(2)最小正周期，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个③________________，那么这个④________________就叫做f(x)的最小正周期．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易受基本函数影响，遗漏问题的多解，同时也可能忽视“k∈Z”这一条件．【小题热身】一、判断正误1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)． (1)y ＝sin x 在第一、第四象限是增函数．( ) (2)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴．( ) (3)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( )(4)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (5)y ＝sin|x |是偶函数．( )(6)若sin x >22，则x >π4.( )二、教材改编2．下列关于函数y ＝4sin x ，x ∈[0,2π]的单调性的叙述，正确的是( ) A ．在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减B ．在[0，π2]上单调递增，在[3π2，2π]上单调递减C ．在[0，π2]及[3π2，2π]上单调递增，在[π2，3π2]上单调递减D ．在[π2，3π2]上单调递增，在[0，π2]及[3π2，2π]上单调递减3．函数y ＝－32cos(12x －π6)的最大值为________，此时x 的集合为________．三、易错易混4．关于三角函数的图象，有下列说法： ①y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象关于y 轴对称； ②y ＝cos(－x )与y ＝cos|x |的图象相同；③y ＝|sin x |与y ＝sin(－x )的图象关于x 轴对称； ④y ＝cos x 与y ＝cos(－x )的图象关于y 轴对称． 其中正确的是________．(写出所有正确说法的序号)5．函数y ＝1＋2sin(π6－x )的单调增区间是________．四、走进高考6．[2019·全国卷Ⅱ]下列函数中，以π2为周期且在区间(π4，π2)单调递增的是( )A ．f (x )＝|cos 2x |B ．f (x )＝|sin 2x |C ．f (x )＝cos |x |D ．f (x )＝sin |x |考点一 三角函数的定义域[自主练透型]1．y ＝cos x －12的定义域为________．2．函数y ＝1tan x －1的定义域为________．3．函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为________．悟·技法求与三角函数有关的函数定义域的基本方法是“数形结合”，也就是在求这类函数定义域时，往往需要解有关的三角不等式，而解三角不等式的方法是：要么利用正、余弦曲线，正切曲线，要么利用单位圆等图形的直观形象来解决问题.考点二 三角函数的值域与最值[互动讲练型][例1] (1)[2019·全国卷Ⅰ]函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________． (2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． 悟·技法三角函数最值或值域的三种求法(1)直接法：利用sin x ，cos x 的值域．(2)化一法：化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，确定ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题.[变式练]——(着眼于举一反三)1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0C ．－1D ．－1－ 32．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为________． 考点三 三角函数的性质[互动讲练型] 考向一：三角函数的周期性[例2] 函数f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x )的最小正周期是( ) A.π2 B ．π C.3π2 D ．2π考向二：三角函数的对称性[例3] 已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( ) A ．关于直线x ＝π4对称 B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称 考向三：三角函数的单调性[例4] 已知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈[0，π]，则f (x )的单调递增区间为________． 悟·技法1.奇偶性与周期性的判断方法(1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断y ＝A sin ωx 和y ＝A cos ωx 分别为奇函数和偶函数．(2)周期性：利用函数y ＝A sin(ωx ＋φ)，y ＝A cos(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为2πω，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0)的周期为πω求解．2．求三角函数单调区间的两种方法(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u (或t )，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间.[变式练]——(着眼于举一反三)3．[2021·贵阳市监测考试]已知函数f (x )＝cos 2x ＋3sin 2x ，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )B ．[k π，k π＋π2](k ∈Z )C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )D ．[k π－π2，k π](k ∈Z )4．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.第三节 三角函数的图象与性质【知识重温】①f (x ＋T )＝f (x ) ②T ③最小正数 ④最小正数 ⑤{y |－1≤y ≤1} ⑥{y |－1≤y ≤1}⑦R ⑧⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π ⑨⎣⎡⎦⎤π2＋2k π，3π2＋2k π ⑩[(2k －1)π，2k π] ⑪[2k π，(2k ＋1)π] ⑫⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π ⑬π2＋2k π ⑭－π2＋2k π ⑮2k π ⑯π＋2k π ⑰奇函数 ⑱偶函数 ⑲奇函数 ⑳(k π，0)，k ∈Z ○21⎝⎛⎭⎫k π＋π2，0，k ∈Z ○22⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z ○23x ＝k π＋π2，k ∈Z ○24x ＝k π，k ∈Z ○252π ○262π ○27π 【小题热身】1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×2．解析：结合正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象可知C 正确． 答案：C3．解析：当cos(12x －π6)＝－1，即12x －π6＝π＋2k π，k ∈Z ，即x ＝4k π＋7π3，k ∈Z 时，函数y 有最大值32.答案：32 {x |x ＝4k π＋7π3，k ∈Z }4．解析：对于②，y ＝cos(－x )＝cos x ，y ＝cos|x |＝cos x ，故其图象相同；对于④，y ＝cos(－x )＝cos x ，故其图象关于y 轴对称；由图象(图略)可知①③均不正确．故正确的说法是②④.答案：②④5．解析：y ＝1＋2sin(π6－x )＝1－2sin(x －π6)．令u ＝x －π6，根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，解π2＋2k π≤x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得2π3＋2k π≤x ≤5π3＋2k π(k ∈Z )，故函数y ＝1＋2sin(π6－x )的单调递增区间是[2π3＋2k π，5π3＋2k π](k ∈Z )．答案：[2π3＋2k π，5π3＋2k π](k ∈Z )6．解析：当x ∈(π4，π2)时，2x ∈(π2，π)，由于f 1(x )＝cos 2x 在x ∈(π4，π2)上单调递减，且cos2x <0，故f (x )＝|cos 2x |在(π4，π2)上单调递增．f 1(x )＝cos 2x 的周期为π，f (x )＝|cos 2x |的周期为π2，故A 符合题意．而f (x )＝|sin 2x |以π2为周期，在(π4，π2)上单调递减；f (x )＝cos|x |＝cos x 的周期为2π；f (x )＝sin|x |不是周期函数，故选A.答案：A 课堂考点突破考点一1．解析：要使函数有意义，则cos x ≥12，由三角函数图象可得：－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z .故函数y 的定义域为{x |－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z }．答案：{x |－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z }2．解析：要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．答案：{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }3．解析：要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π，k ∈Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π，k ∈Z . 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )．所以函数的定义域为{x |2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．答案：{x |2k π<x ≤2k π＋π3，k ∈Z }考点二例1 解析：(1)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2－3cos x ＝－cos 2x －3cos x ＝－2cos 2x －3cos x ＋1， 令cos x ＝t ，则t ∈[－1,1]． f (t )＝－2t 2－3t ＋1＝－2⎝⎛⎭⎫t ＋342＋178， 易知当t ＝1时，f (t )min ＝－2×12－3×1＋1＝－4. 故f (x )的最小值为－4.(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时y min ＝－1 ∴函数的值域为[－1,1]． 答案：(1)－4 (2)[－1,1] 变式练1．解析：∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3. 答案：A2．解析：由已知x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，得2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，故函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上的最小值为－22. 答案：－22考点三例2 解析：∵f (x )＝(3sin x ＋cos x )(3cos x －sin x ) ＝3sin x cos x ＋3cos 2x －3sin 2x －sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴T ＝2π2＝π.故选B.答案：B例3 解析：∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4的最小正周期为π， ∴2πω＝π，ω＝2， ∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.当x ＝π4时，2x ＋π4＝3π4， ∴A 、C 两项错误；当x ＝π8时，2x ＋π4＝π2，∴B 项正确，D 项错误． 答案：B例4 解析：由－π2＋2k π≤x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－3π4＋2k π≤x ≤π4＋2k π，k ∈Z .又x ∈[0，π]，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤0，π4. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π4 变式练3．解析：f (x )＝cos 2x ＋ 3 sin 2x ＝2sin(2x ＋π6)，则由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π(k ∈Z )，即函数f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )，故选A.答案：A4．解析：y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错误；由2x －π3＝k π2得x ＝k π4＋π6(k ∈Z )，得函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π4＋π6，0，k ∈Z ，故C 正确；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的最小正周期为π2，D 错误． 答案：C5．解析：解法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.解法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3ω＝1. 由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2＋2k π(k ∈Z )，解得ω＝32＋6k (k ∈Z )，所以当k＝0时，ω＝32.答案：32。
高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时作业理含解析新人教A版
高考数学一轮复习第三篇三角函数解三角形第3节三角函数的图象与性质课时作业理含解析新人教A 版课时作业基础对点练(时间：30分钟)1．(2019广州测试)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N ＋)的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( )(A)1 (B)2 (C)4(D)8B 解析：依题意得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ω·π6＋π6＝0，π6(ω＋1)＝k π＋π2，ω＝6k ＋2(其中k ∈Z )；又ω是正整数，因此ω的最小值是2.故选B.2．(2019九江模拟)下列关系式中正确的是( ) (A)sin 11°＜cos 10°＜sin 168° (B)sin 168°＜sin 11°＜cos 10° (C)sin 11°＜sin 168°＜cos 10° (D)sin 168°＜cos 10°＜sin 11°C 解析：根据诱导公式sin 168°＝sin 12°， cos 10°＝sin 80°，由正弦函数的单调性可知， sin 11°<sin 12°<sin 80°， 所以sin 11°<sin 168°<cos 10°.3．对于函数f (x )＝sin(πx ＋π2)，下列说法正确的是( )(A)f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增 (B)f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减 (C)f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增 (D)f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减 答案：B4．函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( )(A)2－ 3 (B)0 (C)－1 (D)－1－ 3答案：A5．(2019济南调研)已知f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为( )(A)π，[0，π](B)2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4(C)π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8(D)2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4 C 解析：由f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin 2x －22cos 2x ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.∴T ＝2π2＝π.又∵2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间．故选C.6．(2019青岛调研)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3，则下列结论错误的是( )(A)f (x )的最小正周期是π (B)f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 (C)f (x )的一个零点是π6(D)f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上递减答案：B7．函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调增区间是________． 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋3π8，k π＋7π8(k ∈Z ) 8．函数y ＝tan(2x ＋π4)的图象与x 轴交点的坐标是________．答案：⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )9．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案：210．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0＜α＜π2，且sin α＝22，求f (a )的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．答案：(1)12 (2)π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8，k ∈Z 11．已知函数y ＝f (x )＝2sin x1＋cos 2x －sin 2x. (1)求函数定义域；(2)用定义判断f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出f (x )的图象； (4)写出f (x )的最小正周期及单调性． 解：(1)∵f (x )＝2sin x 2cos 2x＝sin x|cos x |，∴函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z . (2)∵f (－x )＝2sin －x1＋cos2－x －sin2－x＝－2sin x 1＋cos 2x －sin 2x＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜x ＜π2－tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π≤x ＜－π2或π2＜x ≤πf (x )(x ∈[－π，π])的图象如图所示．(4)f (x )的最小正周期为2π， 单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋2k π，π2＋2k π(k ∈Z )，递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫π2＋2k π，3π2＋2k π(k ∈Z )．能力提升练(时间：15分钟)12．已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|＜π)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝－2，则f (x )的一个单调递减区间是( )(A)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8(B)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，9π8(C)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π8，π8 (D)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，5π8 答案：C13．(2019泸州高中)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x＋φ)的图象( )(A)关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称 (B)关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称 (C)关于直线x ＝π6对称(D)关于直线x ＝π3对称A 解析：∵函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，∴2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，∴y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2k π＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.当x ＝π6时，y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0是函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的对称中心．故选A.14．(2018洛阳三模)函数y ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π4－cos 2x sin π4的单调递减区间是( )(A)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z(B)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π8，k π＋3π8，k ∈Z (C)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，k π＋3π8，k ∈Z (D)⎝⎛⎭⎪⎫k π＋3π8，k π＋5π8，k ∈Z B 解析：根据题意有y ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2x cos π4－cos 2x sin π4＝log 12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，所以要求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＞0，结合复合函数单调性法则，实则求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的增区间，所以有2k π＜2x －π4＜2k π＋π2，解各k π＋π8＜x ＜k π＋3π8，所以函数的单调减区间是⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π8，k π＋3π8，k ∈Z ，故选B.15．已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4x . (1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的单调区间；(3)若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求f (x )的最大值及最小值．解：(1)f (x )＝(cos 2x －sin 2x )(cos 2x ＋sin 2x )－sin 2x ＝cos 2x －sin 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，T ＝2π2＝π.(2)由2k π－π≤2x ＋π4≤2k π解得k π－58π≤x ≤k π－π8，函数f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－58π，k π－18π(k ∈Z )．由2k π≤2x ＋π4≤2k π＋π解得k π－18π≤x ≤k π＋38π，函数f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－18π，k π＋38π(k ∈Z )．(3)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.∴f (x )∈[－2，1]． ∴当x ＝0时，f (x )的最大值为1，当x ＝38π时，f (x )的最小值为－ 2.16．(2019荆门调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. (ⅰ)当a ＞0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.(ⅱ)当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。
高考数学一轮复习练案23第三章三角函数解三角形第四讲三角函数的图象与性质含解析新人教版
第四讲 三角函数的图象与性质A 组基础巩固一、单选题1．函数y ＝|2sin x |的最小正周期为( A ) A ．π B ．2π C ．π2D ．π4〖解析〗 由图象(图象略)知T ＝π.2．已知直线y ＝m (0<m <2)与函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象相邻的三个交点依次为A (1，m )，B (5，m )，C (7，m )，则ω＝( A )A ．π3B ．π4C ．π2D ．π6〖解析〗 由题意，得函数f (x )的相邻的两条对称轴分别为x ＝1＋52＝3，x ＝5＋72＝6，故函数的周期为2×(6－3)＝2πω，得ω＝π3，故选A. 3．(2020·山东省实验中学高三第一次诊断)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2(x ∈R )，则f (x )是( B )A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数〖解析〗 ∵f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝－sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝－cos 2x ，∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且为偶函数．故选B.4．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎡⎦⎤π3，π，值域为〖a ，b 〗，则b －a 的值是( B ) A ．2 B ．3 C ．3＋2D ．2－ 3〖解析〗 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎡⎦⎤－1，12，故y ＝2cos x 的值域为〖－2,1〗，所以b －a ＝3.5．(2021·河北邢台模拟)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( B ) A ．⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) 〖解析〗 由k π－π2<2x －π3<k π＋π2(k ∈Z )，得k π2－π12<x <k π2＋5π12(k ∈Z )，所以函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∈Z )．故选B. 6．已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则函数f (x )的图象( B ) A ．关于直线x ＝π4对称B ．关于直线x ＝π8对称C ．关于点⎝⎛⎭⎫π4，0对称D ．关于点⎝⎛⎭⎫π8，0对称〖解析〗 ∵函数f (x )的最小正周期为π，∴2πω＝π.∴ω＝2.∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. ∴函数f (x )图象的对称轴为2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝π8＋k π2，k ∈Z .故函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，故选B.二、多选题7．关于函数f (x )＝x ＋sin x ，下列说法正确的是( ACD ) A ．f (x )是奇函数 B ．f (x )是周期函数 C ．f (x )有零点D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增 〖解析〗 本题考查三角函数的奇偶性、周期性、单调性及零点．函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝－x －sin x ＝－f (x )，则f (x )为奇函数，故A 正确；根据周期函数的定义，可知函数f (x )一定不是周期函数，故B 错误；因为f (0)＝0，所以函数f (x )有零点，故C 正确；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，函数y ＝x 与y ＝sin x 均为增函数，所以函数f (x )也为增函数，故D 正确． 8．(2020·河南南阳四校联考改编)已知函数f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3(x ∈R )，下列结论错误的是( BC )A ．函数f (x )的最小正周期为πB ．函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π6，0对称 C ．函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上是减函数 D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称〖解析〗 由题意可得函数f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，故A 正确；当x ＝5π6时，f ⎝⎛⎭⎫5π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫2×5π6－π3＝－32，所以函数f (x )的图象不关于点⎝⎛⎭⎫5π6，0对称，故B 不正确；当0≤x ≤π2时，－π3≤2x －π3≤2π3，函数f (x )不单调，故C 不正确；当x ＝π6时，f ⎝⎛⎭⎫π6＝3cos ⎝⎛⎭⎫2×π6－π3＝3，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，故D 正确．综上选B 、C.三、填空题9．若y ＝cos x 在区间〖－π，α〗上为增函数，则实数α的取值范围是 －π<α≤0 . 10．(2021·云南昆明高三调研测试)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的图象上相邻的两个最高点之间的距离为 π .〖解析〗 函数f (x )的图象上相邻两个最高点之间的距离为函数f (x )的最小正周期，又函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6的最小正周期为π，故f (x )的图象上相邻的两个最高点之间的距离为π. 11．函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2部分图象如图所示，若x 1，x 2∈〖a ，b 〗且x 1≠x 2，f (x 1)＝f (x 2)，满足f (x 1＋x 2)＝1，则φ＝ π6 ，此时y ＝f (x )的单调递减区间是 ⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z ) .〖解析〗 因为f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，且f (a )＝f (b )＝0，故可得b －a ＝π2，因为f (x 1＋x 2)＝1，故可得2sin 〖2(x 1＋x 2)＋φ〗＝1，则可得2(x 1＋x 2)＋φ＝5π6.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2，故可得2sin 〖(x 1＋x 2)＋φ〗＝2，则可得(x 1＋x 2)＋φ＝π2，解得φ＝π6，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.令2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，故可得x ∈⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．故答案为：π6；⎣⎡⎦⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．12．函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是 π ，单调减区间是⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z . 〖解析〗 ∵f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝12(1－cos 2x )＋12sin 2x ＋1＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋32，∴最小正周期是π.由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．∴单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋3π8，k π＋7π8，k ∈Z . 四、解答题13．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<2π3的最小正周期为π. (1)当f (x )为偶函数时，求φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．〖解析〗 由f (x )的最小正周期为π， 则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )． 所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)， 展开整理得sin 2x cos φ＝0， 由已知上式对∀x ∈R 都成立， 所以cos φ＝0.因为0<φ<2π3，所以φ＝π2.(2)因为f ⎝⎛⎭⎫π6＝32，所以sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝32， 即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z )， 故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，又因为0<φ<2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， 由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )，故f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z )． 14．(2021·武汉市调研测试)已知函数f (x )＝3sin 2x ＋cos 2x ＋a (a 为常数)． (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有最小值1，求a 的值． 〖解析〗 (1)f (x )＝2⎝⎛⎭⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ， 令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，所以k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z )． (2)当0≤x ≤π2时，π6≤2x ＋π6≤76π，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， 所以当x ＝π2时，f (x )有最小值，最小值为a －1＝1，所以a ＝2.B 组能力提升1．(多选题)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( AD ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．f (x )最大值为3C ．f (x )的最小正周期为2πD ．f (x )最大值为4〖解析〗 本题主要考查三角函数变换及三角函数的性质．f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝2(1－sin 2x )－sin 2x ＋2＝4－3sin 2x ＝4－3×1－cos 2x 2＝52＋3cos 2x2， ∴f (x )的最小正周期T ＝π，当cos 2x ＝1时，f (x )取最大值为4，故选A 、D.2．已知函数f (x )＝2sin(πx ＋1)，若对于任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为( B )A ．2B ．1C ．4D ．12〖解析〗 对任意的x ∈R ，f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立， 所以f (x 1)＝f (x )min ＝－2，f (x 2)＝f (x )max ＝2， 所以|x 1－x 2|min ＝T2，又f (x )＝2sin(πx ＋1)的周期T ＝2ππ＝2，所以|x 1－x 2|min ＝1，故选B.3．(2021·常德模拟)若函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)为奇函数，且在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为减函数，则θ的一个值为( D )A ．－π3B ．－π6C ．2π3D ．5π6〖解析〗 由题意得f (x )＝3sin(2x ＋θ)＋cos(2x ＋θ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋θ＋π6.因为函数f (x )为奇函数，所以θ＋π6＝k π(k ∈Z )，故θ＝－π6＋k π(k ∈Z )．当θ＝－π6时，f (x )＝2sin 2x ，在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为增函数，不合题意．当θ＝5π6时，f (x )＝－2sin 2x ，在⎣⎡⎦⎤－π4，0上为减函数，符合题意，故选D.4．如果函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，那么ω的取值范围是( B )A ．〖－6,0)B ．〖－4,0)C ．(0,4〗D ．(0,6〗〖解析〗 解法一：因为函数y ＝12sin ωx 在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π12上单调递减，所以ω<0且函数y ＝12sin(－ωx )在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π8上单调递增， 则⎩⎨⎧ω<0，－ω·⎝⎛⎭⎫－π12≥2k π－π2，k ∈Z ，－ω·π8≤2k π＋π2，即⎩⎪⎨⎪⎧ω<0，ω≥24k －6，k ∈Z ，ω≥－16k －4，求得－4≤ω<0.故选B.解法二：代值检验法，当ω＝1时，y ＝12sin x 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增，排除选项C ，D ；当ω＝－6时，y ＝12sin(－6x )＝－12sin 6x 在⎣⎡⎦⎤－π8，－π12上单调递增，在⎣⎡⎦⎤－π12，π12上单调递减，排除选项A.故选B.5．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ的值；(2)求y ＝f (x )的单调递增区间； (3)求x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，求f (x )的值域． 〖解析〗 (1)由题意，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)． y ＝f (x )的一条对称轴是直线x ＝π8，则2×π8＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，结合－π<φ<0可得φ＝－3π4.(2)由(1)可得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，可得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z )． (3)因为x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，所以2x －3π4∈⎝⎛⎭⎫－3π4，－π4， 所以－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4<－22， 故f (x )的值域为⎣⎡⎭⎫－1，－22.。
新教材高考数学一轮复习课时质量评价23三角函数的图象与性质作业课件新人教A版ppt
的是( )
A．f (x)＝|cos 2x|
B．f (x)＝|sin 2x|
C．f (x)＝cos |4x|
D．f (x)＝sin |x|
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
AC 解析：作出函数 f (x)＝|cos 2x|的图象如图所示． 由图象可知 f (x)＝|cos 2x|的周期为π2， 在区间π4，π2上单调递增．同理可得 f (x)＝ |sin 2x|的周期为π2，在区间π4，π2上单调递减．f (x)＝cos |4x|的周期为π2， 且在π4，π2上单调递增；f (x)＝sin |x|不是周期函数．故选 AC．
B 解析：由 kπ－2π<2x－π3<kπ＋2π(k∈Z)， 得k2π－1π2<x<k2π＋152π(k∈Z)， 所以函数 f (x)＝tan2x－3π的单调递增区间为k2π－1π2，k2π＋51π2 (k∈Z)．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2．函数 y＝2sinπ6x－π3(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(
f (x)＝sin x 的周期为 2π，不合题意． f (x)＝sin 2x 的周期为 π，且 f π4＝1 为最大值，所以 D 项满足条 件．故选 D．
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5．(多选题)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2上单调递增
)
A．2－ 3
B．0
C．－1
D．－1－ 3
A 解析：因为 0≤x≤9.所以－3π≤π6x－π3≤76π，所以 sinπ6x－3π
∈－
23，1.所以
高考数学一轮复习 3.3 三角函数的图像性质课时作业 理(含解析)新人教A版
高考数学一轮复习 3.3 三角函数的图像性质课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(2013·云南昆明高三调研)已知a 是实数，则函数f (x )＝a cos ax 的图象可能是( )解析：对于A 、D ，注意到当x ＝0时， f (x )＝a cos 0＝a ≠0，因此结合选项知，选项A 、D 不正确；对于B ，注意到其最小正周期T ＝2πa＝π，a ＝2，此时相应的最大值是2，这与所给的图象不相吻合，因此选项B 不正确．综上所述，选C.答案：C2．(2013·河南洛阳高三统考)如果函数y ＝3sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π6对称，则|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3 D.π2解析：依题意得，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，则π3＋φ＝kπ＋π2，即φ＝kπ＋π6，其中k∈Z ，因此|φ|的最小值是π6，选A.答案：A3．(2013·吉林期中复习检测)函数f (x )＝(1＋3tan x )cos x 的最小正周期为( ) A.3π2 B ．2π C ．π D.π2解析：f (x )＝(1＋3tan x )cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，最小正周期为2π，选B.答案：B4．(2013·天津和平区第一次质量调查)若f (x )＝a sin x ＋b (a ，b 为常数)的最大值是5，最小值是－1，则ab的值为( )A ．－23 B.23或－23 C ．－32 D.32解析：函数f (x )的最大值是5，最小值是1，5－－12＝b ，5＋－12＝|a |，∴a＝±2，b ＝3，则a b ＝±23，选B.答案：B5．(2013·河北唐山第二次模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋α)在x ＝π12时有极大值，且f (x －β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为( )A.π6，－π12B.π6，π12C.π3，－π6D.π3，π6解析：x ＝π12时f (x )取最大值，得2×π12＋α＝π2＋2kπ(k ∈Z )，∴α＝π3＋2kπ排除A 、B ，令β＝π6，检验知选D. 答案：D6．(2013·黑龙江哈尔滨四校统一检测)对于函数f (x )＝2(sin x ＋cos x )，给出下列四个命题：①存在α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，使f (α)＝2；②存在α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，使f (x －α)＝f (x ＋α)恒成立；③存在φ∈R ，使函数f (x ＋φ)的图象关于坐标原点成中心对称； ④函数f (x )的图象关于直线x ＝－3π4对称；⑤函数f (x )的图象向左平移π4个单位就能得到y ＝－2cos x 的图象．其中正确命题的序号是( )A ．①②③B ．③④⑤C ．③④D ．②③⑤解析：f (x )＝2(sin x ＋cos x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，对于①，由f (α)＝2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，所以α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π4，此时sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22不成立，①错，排除A ；对于②，由f (x －α)＝f (x ＋α)得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －α＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋α＋π4，所以x－α＋π4＝x ＋α＋π4＋2kπ或x －α＋π4＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋α＋π4＋2kπ恒成立，k ∈Z ，即α＝kπ或x ＝π4＋kπ(舍)，由于α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以②错，排除D ；对于③，f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋φ＋π4的图象关于坐标原点成中心对称，所以φ＋π4＝kπ(k ∈Z )，即φ＝－π4＋kπ，所以③正确；对于④，由f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4知，函数f (x )的对称轴为x ＝π4＋kπ(k ∈Z )，函数f (x )的图象关于直线x ＝－3π4对称，所以④正确；对于⑤，函数f (x )的图象向左平移π4个单位得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2cos x 的图象，所以⑤错误，选择C.答案：C 二、填空题7．(2013·柳州市、贵港市、钦州市、河池市模拟)f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上的最大值是2，则ω＝________.解析：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3时，ωx ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3ω，其最大值为2<2,2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3ω＝2，∴ω＝34.答案：348．(2013·南平市质检)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(0<ω<2)图象的一条对称轴方程为x ＝π3，若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：函数f (x )关于x ＝π3对称，所以π3ω－π6＝π2＋kπ(k ∈Z )，∴ω＝3k ＋2，又∵0<ω<3∴ω＝2，f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3∴f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 9．(2013·湖北八市调考)函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，如下结论中正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .解析：对①，当x ＝1112π时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝3sin 3π2＝－3，故①正确；对②，当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝3sin π＝0，故②正确；对③，因为函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋5π12(k ∈N *)，当k ＝0时，函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，故③正确；对④，由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到函数y ＝3sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2π3的图象不是函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，故④错误．所以正确结论的编号为①②③. 答案：①②③ 三、解答题10．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间． 解：(1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，又－π<φ<0，则－54<k <－14，∴k ＝－1，则φ＝－3π4.(2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，因此y ＝f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z .11．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3－1.(1)求y ＝f (x )的最小正周期及单调递增区间；(2)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，函数y ＝g (x )的最大值．解：(1)由f (x )＝3·sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 3－π3－1，得y ＝f (x )的最小正周期T ＝2ππ3＝6. 由2kπ－π2≤π3x －π3≤2kπ＋π2，k ∈Z ，得6k －12≤x ≤6k ＋52，k ∈Z ，所以y ＝f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤6k －12，6k ＋52，k ∈Z .(2)因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，所以当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最大值即为x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最大值． 当x ∈[3,4]时，π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤23π，π，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，此时y ＝g (x )的最大值为12.12．已知a >0，函数f (x )＝－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2a ＋b ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，－5≤f (x )≤1.(1)求常数a ，b 的值；(2)设g (x )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2且lg g (x )>0，求g (x )的单调区间．解：(1)∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6. ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，∴－2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]，又∵－5≤f (x )≤1， ∴b ＝－5,3a ＋b ＝1，因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5， ∴f (x )＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋7π6－1＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，又由lg g (x )>0得g (x )>1，∴4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1>1，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6>12， ∴2kπ＋π6<2x ＋π6<2kπ＋5π6，k ∈Z ，其中当2kπ＋π6<2x ＋π6≤2kπ＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即kπ<x ≤kπ＋π6，k ∈Z ，∴g (x )的单调增区间为⎝⎛⎦⎥⎤kπ，kπ＋π6，k ∈Z又∵当2kπ＋π2<2x ＋π6<2kπ＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即kπ＋π6<x <kπ＋π3，k ∈Z .∴g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π6，kπ＋π3，k ∈Z .[热点预测]13．(1)(2013·辽宁六校高三联考)已知ω>0，函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3的一条对称轴为x ＝π3，一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，则ω有( )A ．最小值2B ．最大值2C ．最小值1D ．最大值1(2)(2013·湖南重点高中十校联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，a .①当a ＝π3时，f (x )的值域是________；②若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则a 的取值范围是________． (3)(2013·江西宜春高三模拟)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( )A ．f (x )在区间[－3π，－π]上是减函数B ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数C ．f (x )在区间[0,2π]上是减函数D ．f (x )在区间[π，3π]上是增函数解析：(1)由题意知π3－π12≥T 4，T ＝2πω≤π，ω≥2，故选A.(2)令t ＝2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3，∴t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∵t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴sin t∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，若函数值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，则π2≤2a ＋π6≤7π6，∴a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2. (3)由T ＝6π可知ω＝13；由x ＝π2时，f (x )取得最大值，可知13×π2＋φ＝π2＋2kπ，(k ∈Z )由题意－π<φ≤π所以φ＝π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋π3，易知B 正确，故选B.答案：(1)A (2)①⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 ②⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2 (3)B。
2022版高中数学一轮复习课时作业梯级练二十三三角函数的图象与性质课时作业理含解析新人教A版
课时作业梯级练二十三 三角函数的图象与性质【基础落实练】（30分钟 60分）一、选择题(每小题5分，共25分)1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠3π2＋3k π，k ∈ZB ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π6＋k π，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－π6＋k π，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠π6＋k π3，k ∈Z 【解析】选D.由3x ≠π2＋k π(k ∈Z )得x ≠π6＋k π3，k ∈Z . 2.函数f =sin 在上为增函数,则θ的值可以是( )A.0B. C.πD.【解析】选D.当θ=0时,f =sinx 在上不单调,故A 不正确;当θ=时,f =cosx 在上单调递减,故B 不正确;当θ=π时,f =-sinx 在上不单调,故C 不正确;当θ=时,f =-cosx 在上单调递增,故D 正确.3.(2021·某某模拟)下列叙述正确的是( )A.y=sinx 在第一象限是增函数B.y=cos 的最小正周期为2πC.y=tanx 是增函数D.y=tanx 的所有对称中心坐标为,k ∈Z【解析】选B.由于390°>30°且都是第一象限角,sin390°=sin30°=,故函数y=sinx 在第一象限不是增函数,故A 不正确.y=cos =cosx 其最小正周期为2π,故B 正确;y=tanx 的单调递增区间为,k ∈Z,故C 错误;由于函数y=tanx 的图象的对称中心是,k ∈Z,故D 不正确.4．不等式tan x ≥－3的解集是( )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π3＋k π≤x ≤π2＋k π，k ∈Z B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π3＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π3＋2k π≤x ≤π2＋2k π，k ∈Z D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π3＋2k π≤x ＜π2＋2k π，k ∈Z 【解析】选B.因为tan x ≥－3，所以结合函数y ＝tan x 的图象可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π3＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z . 5.下列函数中周期为π且为偶函数的是( )A.y=cosB.y=sinC.y=sinD.y=cos【解析】选B.A:令g(x)=cos =sin 2x,则g(-x)=sin(-2x)=-sin 2x=-g(x),所以g(x)=cos 为奇函数,故可排除A;B:令f(x)=sin =cos 2x,所以其周期T==π,f(-x)=cos(-2x)=cos 2x=f(x),所以y=sin 是偶函数,所以y=sin 是周期为π的偶函数,故B 正确;C:因为y=sin其周期T=2π,故可排除C;D:同理可得y=cos 的周期为2π,故可排除D. 二、填空题(每小题5分，共15分)6．若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0＜φ＜π)是奇函数，则φ＝________． 【解析】因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z . 又因为0＜φ＜π，所以φ＝5π6. 答案：5π67．(2021·某某模拟)已知曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6关于直线x ＝1对称，则|ω|的最小值为________．【解析】因为曲线y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6关于直线x ＝1对称，所以ω＋6＝2＋k π(k ∈Z )， 所以ω＝π3＋k π(k ∈Z )， 当k ＝0时，|ω|取最小值为π3. 答案：π38.(2021·眉山模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)(0<φ<π,ω>0)为偶函数,且y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为,则f 的值为. 【解析】f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2sin ,因为f(x)是偶函数,所以φ-=k π+,k ∈Z, 得φ=k π+(k ∈Z),因为0<φ<π,所以当k=0时,φ=,即f(x)=2sin =2sin =2cos ωx,因为y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为,所以=,即T=π,即=π,得ω=2,则f(x)=2cos2x,则f =2cos =2cos =2×=1.答案:1三、解答题(每小题10分，共20分)9．设函数f (x )＝2cos x (cos x ＋3sin x )(x ∈R ).(1)求函数y ＝f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎦⎥0，2时，求函数f (x )的最大值． 【解析】(1)f (x )＝2cos x (cos x ＋3sin x )＝2sin (2x ＋π6)＋1. 则函数y ＝f (x )的最小正周期为π.令2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )， 所以k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )， 所以函数y ＝f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z ). (2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1的最大值是3. 10．已知函数f (x )＝23sin (π－x )cos x ＋2cos 2x ＋a －1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3上的最大值与最小值的和为2，求a 的值． 【解析】(1)f (x )＝23sin(π－x )cos x ＋2cos 2x ＋a －1＝3sin2x ＋cos 2x ＋a＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋a ， 则T ＝2π2＝π.(2)因为－6≤x ≤3， 所以－π6≤2x ＋π6≤5π6. 当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6时， f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，5π6，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3时， f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝a ＋2. 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝a ＋1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1＋a ， 所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－1＋a ， 故2a ＋1＝2，因此a ＝12. 【素养提升练】（20分钟 35分）1．(2021·某某模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3B ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6 C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3 D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 【解析】选B.选项C 中函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3的周期为T ＝2π12＝4π，故排除C ，将x ＝π3代入A ，B ，D 求得函数值为0，2，3，而函数y ＝A sin (ωx ＋φ)＋B 在对称轴处取最值．2.(5分)(2021·某某模拟)已知函数f=sinωx-cosωx在上单调递减,若ω>0,则ω的取值X围是( )A. B.C.[3,4]D.【解析】选B.由题意得,f=sin ωx-cos ωx=sin,由ω>0,令x∈,可得ωx-∈,因为f的单调递减区间为,所以即又因为-≤=,所以0<ω≤4,所以显然只有k=0时,符合题意,故3≤ω≤.3．(2021·某某模拟)已知函数f(x)＝sin x－x，则下列关系不正确的是( )A．函数f(x)是奇函数B．函数f(x)在R上单调递减C．x＝0是函数f(x)的唯一零点D．函数f(x)是周期函数【解析】选D.因为f (x )＝sin x －x 的定义域为R ，f (－x )＝sin (－x )－(－x )＝－sin x ＋x ＝－f (x )，所以函数为奇函数，故A 正确；因为f ′(x )＝cos x －1≤0，所以f (x )＝sin x －x 在R 上为减函数，故B 正确；因为f (0)＝sin 0－0＝0，且f (x )＝sin x －x 在R 上为减函数，所以函数f (x )的唯一零点是0，故C 正确；因为f (x )＝sin x －x ，不存在T ≠0，使得f (x ＋T )＝sin (x ＋T )－x －T ＝f (x )，故D 错误．4．(2020·余姚模拟)已知函数f (x )＝sin (2x ＋π6)＋sin 2x －cos 2x . (1)求f (x )的对称轴方程；(2)若f (x )在[－a ，a ]内有3个单调区间，求正数a 的取值X 围．【解析】(1)由题意f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin 2x －cos 2x ＝32sin2x ＋12cos 2x －cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2x －π6＝π2＋k π，k ∈Z ，则x ＝π3＋k π2，k ∈Z ， 所以该函数的对称轴方程为x ＝π3＋k π2，k ∈Z ； (2)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z ， 令2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，3π2＋2k π，k ∈Z ，解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z ， 所以可写出该函数在原点附近的三个单调区间：增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3， 减区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，－π6，⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， 若要使f (x )在[－a ，a ]内有3个单调区间，则⎩⎪⎨⎪⎧π3＜a ≤5π6－2π3≤－a ＜－π6，解得π3＜a ≤2π3， 所以正数a 的取值X 围为π3＜a ≤2π3. 5．已知函数f (x )＝A sin (ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2)同时满足下列四个条件中的三个：①最小正周期为π；②最大值为2；③f (0)＝－1； ④f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝0. (1)给出函数f (x )的解析式，并说明理由；(2)求函数f (x )的单调递增区间．【解析】(1)若函数f (x )满足条件③，则f (0)＝A sin φ＝－1.这与A ＞0，0＜φ＜π2矛盾，故f (x )不能满足条件③， 所以函数f (x )只能满足条件①，②，④.由条件①得2π|ω|＝π， 又因为ω＞0，所以ω＝2.由条件②得A ＝2. 由条件④得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋φ＝0， 又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π3. 所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)由2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12，k ∈Z .1.(2021·某某模拟)若f =cosx-sinx 在上是减函数,则a 的最大值是( )A. B. C.πD.π【解析】选C.由题意,f =cos x-sin x=-sin ,当x-∈,即x ∈时,y=sin 单调递增,则f =-sin 在上单调递减,所以x ∈是f 在原点附近的单调递减区间,结合条件得⊆,所以a ≤π,即a 的最大值为π.高考2.(2021·某某模拟)已知函数f(x)=cosx-|sinx|,那么下列命题中的假命题是( )A.f(x)是偶函数B.f(x)在[-π,0]上恰有一个零点C.f(x)是周期函数D.f(x)在[-π,0]上是增函数【解析】选D.对于A,函数f(x)=cos x-|sin x|,定义域为R,且满足f(-x)=cos(-x)-|sin(-x)|=cos x-|sin x|=f(x),所以f(x)为定义域R上的偶函数,A正确;对于B,x∈[-π,0]时,sin x≤0,f(x)=cos x-|sin x|=cos x+sin x=sin,且x+∈,f(x)在上恰有一个零点是-,B正确;对于C,根据正弦、余弦函数的周期性知,函数f(x)是最小正周期为2π的周期函数,C正确;对于D,x∈[-π,0]时,f(x)=sin,且x+∈,f(x)在上先减后增,D 错误.- 11 - / 11。
2021年高考数学一轮总复习 3.3三角函数的图象和性质课时作业 文(含解析)新人教版
2021年高考数学一轮总复习 3.3三角函数的图象和性质课时作业 文（含解析）新人教版一、选择题1．(xx·安徽“江南十校”联考)已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( )A ．2B ．3 C.3＋2D ．2－3解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12， 故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]， 所以b －a ＝3.故选B. 答案：B2．(xx·怀化模拟)已知ω＞0,0＜φ＜π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝( )A.π4 B.π3 C.π2D.3π4解析：由于直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，所以函数f(x)的最小正周期T＝2π，所以ω＝1，所以π4＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)．又0＜φ＜π，所以φ＝π4.答案：A3．(xx·石家庄一模)函数f(x)＝tan⎝⎛⎭⎪⎫2x－π3的单调递增区间为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫kπ2－π12，kπ2＋5π12(k∈Z)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z)D.⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π6，kπ＋2π3(k∈Z)解析：由－π2＋kπ＜2x－π3＜π2＋kπ(k∈Z)，得kπ2－π12＜x＜kπ2＋5π12(k∈Z)，故选B.答案：B4．(xx·韶关调研)函数y＝1－2sin2⎝⎛⎭⎪⎫x－3π4是( )A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数 D ．最小正周期为π2的偶函数 解析：y ＝1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3π4＝cos2⎝⎛⎭⎪⎫x －3π4＝－sin2x ，所以f (x )是最小正周期为π的奇函数，故选A.答案：A5．(xx·南昌联考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6－1(ω＞0)的最小正周期为2π3，则f (x )的图象的一条对称轴方程是( ) A ．x ＝π9 B ．x ＝π6 C ．x ＝π3D ．x ＝π2解析：依题意得，2π|ω|＝2π3，|ω|＝3，又ω＞0，因此ω＝3，所以3x ＋π6＝k π＋π2，解得x ＝k π3＋π9，当k ＝0时，x ＝π9.因此函数f (x )的图象的一条对称轴方程是x ＝π9.答案：A6．(xx·济南调研)已知f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ，则f (x )的最小正周期和一个单调增区间分别为( )A ．π，[0，π]B ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4 C ．π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，3π8 D ．2π，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4解析：由f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＝1－cos2x 2＋12sin2x ＝12＋22⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin2x －22cos2x ＝12＋22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.∴T ＝2π2＝π.又∵2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2，∴k π－π8≤x ≤k π＋3π8(k ∈Z )为函数的单调递增区间．故选C. 答案：C 二、填空题7．(xx·北京顺义一模)函数f (x )＝sin2x ＋2sin 2x －1(x ∈R )的最小正周期为__________，最大值为__________．解析：由已知得f (x )＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，故最小正周期为T＝2π2＝π，最大值为 2.答案：π28．(xx·新课标全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x 的最大值为__________．解析：因为f (x )＝sin(x ＋φ)－2sin φcos x ＝cos φsin x －sin φcos x ＝sin(x －φ)，又－1≤sin(x －φ)≤1，所以f (x )的最大值为1.答案：19．已知函数f (x )＝|cos x |·sin x ，给出下列五个说法：①f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 014π3＝－34；②若|f (x 1)|＝|f (x 2)|，则x 1＝x 2＋k π(k ∈Z )；③f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增；④函数f (x )的周期为π；⑤f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0成中心对称． 其中正确说法的序号是__________． 解析：对①：f ⎝⎛⎭⎪⎫2 014π3 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫670π＋4π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫670π＋4π3 ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos π3sin 4π3＝－34，①正确； 对②：⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12≠⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12，故②不正确；对③：x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )＝cos x sin x ＝12sin2x ，易知f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上单调递增，故③正确；对④：⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝12≠⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π4＝－12，故函数f (x )的周期不是π；对⑤：－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－x＝－⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－x＝|sin x |cos x ，f (x )＝|cos x |sin x ，显然二者不恒相等，故⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0不是f (x )的中心对称点． 答案：①③ 三、解答题10．(xx·福建卷)已知函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )． (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间． 解析：方法一：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝ 2cos5π4⎝⎛⎭⎪⎫sin 5π4＋cos 5π4＝－2cosπ4⎝⎛⎭⎪⎫－sin π4－cos π4＝2.(2)因为f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1，所以T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 方法二：f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2x ＝sin2x ＋cos2x ＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1.(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4＝2sin 11π4＋1＝2sin π4＋1＝2.(2)T ＝2π2＝π.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z . 11．(xx·北京朝阳一模)已知函数f (x )＝2sin x cos x －3cos2x . (1)求f (0)的值及函数f (x )的单调递增区间； (2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值． 解析：(1)因为f (x )＝sin2x －3cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (0)＝－ 3.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12， k ∈Z .(2)因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.所以，当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值－3； 当2x －π3＝π2，即x ＝5π12时，f (x )取得最大值2. 12．(xx·荆门调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值． 解析：f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )， ∴f (x )的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z )． (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0.①当a ＞0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.l29843 7493 璓sz29228 722C 爬34670 876E 蝮22253 56ED园26102 65F6 时)}33693 839D 莝38604 96CC 雌25656 6438 搸23423 5B7F 孿39582 9A9E 骞。
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高考数学一轮复习课时作业23三角函数的性质理（含解析）新人教版课时作业23 三角函数的性质一、选择题1．已知函数y ＝2cos x 的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，值域为[a ，b ]，则b －a 的值是( B )A ．2B ．3 C.3＋2 D ．2－ 3解析：因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π，所以cos x ∈－1，12，故y ＝2cos x 的值域为[－2,1]，所以b－a ＝3.2．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( D )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2B ．[0，π] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π解析：将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象关于x 轴对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.3．下列函数中，周期为π的奇函数为( A ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan2xD ．y ＝sin2x ＋cos2x解析：y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan2x 的周期为π2；y ＝sin2x ＋cos2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，故选A.4．设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( A )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数解析：函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )的图象如图所示，由图可知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数．故选A. 5．(2019·西安八校联考)已知函数f (x )＝cos(x ＋θ)(0<θ<π)在x ＝π3时取得最小值，则f (x )在[0，π]上的单调递增区间是( A )A ．[π3，π]B ．[π3，2π3]C ．[0，2π3]D ．[2π3，π]解析：因为0<θ<π，所以π3<π3＋θ<4π3，又f (x )＝cos(x ＋θ)在x ＝π3时取得最小值，所以π3＋θ＝π，θ＝2π3，所以f (x )＝cos(x ＋2π3)．由0≤x ≤π，得2π3≤x ＋2π3≤5π3.由π≤x ＋2π3≤5π3，得π3≤x ≤π，所以f (x )在[0，π]上的单调递增区间是[π3，π]，故选A.6．将函数f (x )＝sin ωx (其中ω>0)的图象向右平移π2个单位长度，所得图象关于直线x ＝π6对称，则ω的最小值是( D )A ．6 B.23 C.94D.32解析：将函数f (x )＝sin ωx 的图象向右平移π2个单位长度，可得到函数f (x )＝sin ωx－π2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －ωπ2的图象．因为所得图象关于直线x ＝π6对称，所以ω·π6－ωπ2＝π2＋k π，k ∈Z ，即ω＝－32－3k ，k ∈Z .因为ω>0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值32，故选D.7．(2019·福州四校联考)函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，并且函数g (x )在区间[π6，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则实数ω的值为( C )A.74 B.32 C ．2D.54解析：因为将函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象向右平移π12个单位长度得到函数y ＝g (x )的图象，所以g (x )＝sin ω(x －π12)，又函数g (x )在区间[π6，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，所以g (π3)＝sin ωπ4＝1且2πω≥π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ω＝8k ＋2k ∈Z ，0<ω≤6，所以ω＝2，故选C.二、填空题8．若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝5π6.解析：因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.9．设函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为2.解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4，f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.10．(2019·内蒙古包头一模)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则φ＝π12.解析：由f (x )的最小正周期大于2π，得T 4>π2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，得T 4＝11π8－5π8＝3π4，所以T ＝3π，则2πω＝3π⇒ω＝23，所以f (x )＝2sin(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ.由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2⇒sin 5π12＋φ＝1，所以5π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z .又|φ|<π2，取k ＝0，得φ＝π12.三、解答题11．(2019·吉林长春调研)已知函数f (x )＝2a ·sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b ＋a .(1)当a ＝1时，求f (x )的单调递增区间；(2)当a <0，且x ∈[0，π]时，f (x )的值域是[3,4]，求a ，b 的值．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b ＋1，所以当2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，即2k π－3π4≤x ≤2k π＋π4(k ∈Z )时，f (x )是增函数，故f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－3π4，2k π＋π4(k ∈Z )．(2)因为x ∈[0，π]，所以π4≤x ＋π4≤5π4，所以－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1. 又因为a <0，所以2a ≤2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤－a ，所以2a ＋a ＋b ≤f (x )≤b .而f (x )的值域是[3,4]，所以2a ＋a ＋b ＝3，b ＝4，解得a ＝1－2，b ＝4. 12．(2019·北京东城区检测)已知函数f (x )＝23sin ax ·cos ax ＋2cos 2ax －1(0<a ≤1)．(1)当a ＝1时，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，π2上的最大值与最小值； (2)当f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫π3，2时，求a 的值及函数f (x )的最小正周期．解：(1)当a ＝1时，f (x )＝23sin x ·cos x ＋2cos 2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.因为π12≤x ≤π2，所以π3≤2x ＋π6≤7π6.所以当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2，当2x ＋π6＝7π6，即x ＝π2时，f (x )取得最小值－1.(2)因为f (x )＝23sin ax ·cos ax ＋2cos 2ax －1(0<a ≤1)，所以f (x )＝3sin2ax ＋cos2ax ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ax ＋π6. 因为f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2a π3＋π6＝2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2a π3＋π6＝1. 所以2a π3＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )．所以a ＝3k ＋12(k ∈Z )．因为0<a ≤1，所以a ＝12.所以f (x )的最小正周期T ＝2π1＝2π.13．(2019·北京汇文中学月考)设函数f (x )＝cos 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期( B )A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关解析：f (x )＝cos 2x ＋b sin x ＋c ＝cos2x ＋12＋b sin x ＋c ＝12cos2x ＋b sin x ＋c ＋12，若b ＝0，f (x )＝12cos2x ＋c ＋12，此时最小正周期为π，若b ≠0，则显然有f (x ＋2π)＝f (x )，故其最小正周期是2π，而c 不影响周期．综上所述，f (x )的最小正周期与b 有关，但与c 无关，故选B.14．(2019·西北师大附中二模)已知函数f (x )＝3sin(2x ＋θ)－cos(2x ＋θ)(－π<θ<0)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，记f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上的最大值为n ，且f (x )在[m π，n π](m <n )上单调递增，则实数m 的最小值是2312.解析：由题意知f (x )＝2sin2x ＋θ－π6，又其图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称，所以2×π6＋θ－π6＝k π，k ∈Z .又－π<θ<0，得θ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3，在此区间上，f (x )max＝2，所以n ＝2.由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，得f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z .又f (x )在[m π，2π]上单调递增，所以k ＝2，则m 的最小值为2312.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用15．(2019·河北、河南重点中学联考)若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( D )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，0(k ∈Z )B.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π8，0(k ∈Z )C.⎝⎛⎭⎪⎫k π2－π4，0(k ∈Z ) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )解析：因为f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，所以f (－x )＋2f (x )＝3cos x ＋sin x .解得f (x )＝cos x ＋sin x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以f (2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.令2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝k π2－π8(k ∈Z )．所以f (2x )图象的对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π8，0(k ∈Z )．16．(2019·河北衡水中学、河南顶级名校联考)若函数f (x )＝2a sin(2x ＋θ)(0<θ<π)，a 是不为零的常数，f (x )在R 上的值域为[－2,2]，且在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12，π12上是单调减函数，则a 和θ的值是( B )A ．a ＝1，θ＝π3B ．a ＝－1，θ＝π3C ．a ＝1，θ＝π6D ．a ＝－1，θ＝π6解析：∵sin(2x ＋θ)∈[－1,1]，且f (x )∈[－2，2]，∴2|a |＝2，∴a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝2sin(2x ＋θ)，其最小正周期T ＝2π2＝π，∵f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12内单调递减，且π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝π2，为半个周期，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝2sin θ－56π＝2，∴θ－56π＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴θ＝2k π＋43π(k ∈Z )．又0<θ<π，∴a ＝1不符合题意，舍去．当a ＝－1时，f (x )＝－2sin(2x ＋θ)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－512π，π12上单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－512π＝－2sin θ－56π＝2，∴sin θ－56π＝－1，∴θ－56π＝2k π－π2(k ∈Z )，θ＝2k π＋π3(k ∈Z )．又∵0<θ<π，∴当k ＝0时，θ＝π3，∴a ＝－1，θ＝π3.故选B.。