九年级数学旋转与中心对称
最新沪科版九年级数学下24.1.2旋转(2)--中心对称
（1）线段
O （3）平行四边形
A
D
O
B C 如果一个图形绕一个点旋转180°后，能和原来的 图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形； 这个点叫做它的对称中心；互相重合的点叫做对 称点.
ABCD 是中心对称图形 点O 图中_________ 对称中心是______ 点C 点A的对称点是______ 点D的对称点是______ 点B
想一想
下面哪些图形是中心对称图形? o
观察练习
问题：我们平时见过的几何图形中，有 哪些是中心对称图形？并指出对称中心.
怎样的正多边形是中心对称图形?
比 较
中心对称与中心对称图形是两个既有 联系又有区别的概念.
区别: 中心对称指两个全等图形的相互位置关系， 中心对称图形指一个图形本身成中心对称.
4.图形的旋转的性质：
①、旋转前后的图形全等. ②、对应点到旋转中心的距离相等. ③、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角.
5.图形的旋转的作图：
先连结，再作角，最后截取.
二.新课探究—中心对称
C
B
如果将一个图形绕一点旋转180度得 到一个新的图形，这样的两个图形是什 A 么关系呢？D
A
E
1、下列图形中即是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）C A 角 B 等边三角形 C 线段 D平行四边形
2、下列多边形中，是中心对称图形而不是轴对称图 形的是（ ） A
A平行四边形
B矩形
C菱形
D正方形
3、下列图形中哪些是中心对称图形？
①
②
③
④
4、判断下列图形是不是中心对称图形 ：
5、 观察图形，并回答下面的问题： （１）哪些只是轴对称图形？ （3）（4）（6） （２）哪些只是中心对称图形？（1）
九年级图形的旋转中心对称题型大全（含解答）
弧长和扇形面积 练习第1题． 一条弧所对的圆心角是90 ，半径是R ，则这条弧的长是．答案：12R π第2题． 若的长为所 AB 对的圆的直径长，则所对的圆 AB 周角的度数为．答案：180π第3题． 如图，AB 是半圆的直O 径，以O 为圆心，OE 为半径的半圆交AB 于E ，F 两点，弦是小半圆AC 的切线，D 为切点，若4OA =，2OE =，则图中阴影部分的面积为．答案：43π+第4题． 如果一条弧长等于l ，它的半径等于R ，这条弧所对的圆心角增加1，则它的弧长增加（ ） Ａ．ln Ｂ．180Rπ Ｃ．180lRπ Ｄ．360l答案：Ｂ第5题． 在半径为3的O 中，弦3AB =，则AB 的长为（ ）Ａ．π2Ｂ．πＣ．32π Ｄ．2π答案：Ｂ第6题． 扇形的周长为16，圆心角为360π，则扇形的面积是（）Ａ．16 Ｂ．32Ｃ．64Ｄ．16π答案：Ａ第7题． 如图，扇形的圆心OAB 角为90 ，且半径为R ，分别以OA ，OB 为直径在扇形内作半圆，P 和分别表示Q 两个阴影部分的面积，那么和的大P Q 小关系是（）Ａ．P Q = Ｂ．P Q >Ｃ．P Q <Ｄ．无法确定答案：Ａ第8题． 如图，矩形ABCD 中，1AB =，BC =，以的中点为BC E 圆心的与相 MPNAD 切，则图中的阴影部分的面积为（） Ａ．23π Ｂ．34πＣ．Ｄ．π3Ｍ答案：Ｄ第9题． 如图所示，正方形是以ABCD 金属丝围成的，其边长1AB =，把此正方形的金属丝重新围成扇形的ADC ，使A D A D=，DC DC =不变，问正方形面积与扇形面积谁大？大多少？由计算得出结果．答案：1S =正方形，121122ADC S lR 1==⨯⨯=扇形，∴面积没有变化．第10题． 如图，O 的半径为1，C 为O 上一点，以C 为圆心，以1为半径作弧与相交O 于A ，B 两点，则图中阴影部分的面积为．ＣＡＤ答案：2π3第11题． 如图，△ABC 中，105A ∠= ，45B ∠=，AB =AD BC ⊥，D 为垂足，以A 为圆心，以为半径画AD 弧 EF ，则图中阴影部分的面积为（）Ａ．76πＢ．76π+2Ｃ．56πＤ．56π+2答案：Ｂ第12题． 如图，半径为的与r 1O 半径为的外3r 2O 切于P 点，AB 是两圆的外公切线，切点分别为A ，B ，求AB 和 PA ， PB 所围成的阴影部分的面积．答案：连结2O B ，1O A ，过1O 作12O H O B ⊥，垂足为H ，则得矩形1ABHO ，1BH O A r ∴==，1AB O H =．在Rt △21O HO 中，2232O H O B BH r r r =-=-=，ＣＤＢＥ ＡＦ122134OO O P O P r r r=+=+=，1O H ==， 2211221cos 42O H r HO O O O r ∠===，2160HO O ∴∠= ，1120AO P ∠= ．21212111()(3)22ABO O S O A O B O H r r =+=+= 梯形， 26033606BO PO B r r S 222π()π(3)π===2 2扇形， 122120AO PO A S r π()π==3603扇形、，212122223ABO O BO P AO P S S S S r r ππ=--=--=23阴影梯形扇形扇形．第13题． 圆周角是90，占整个周角的90360，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：14第14题． 圆心角是45，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：45360，18第15题． 圆心角是1，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ． 答案：1360，1360第16题． 扇形的圆心角为210，弧长是28π，求扇形的面积．答案：336π第17题． 一个扇形的半径等于一个圆的半径的2倍，且面积相等．求这个扇形的圆心角．答案：90第18题． 一服装厂里有大量形状为等腰直角三角形的边角布料（如图），现找出其中的一种，测得90C ∠= ，4AC BC ==．今要从这种三角形中剪出一种扇形，做成不同形状的玩具，使扇形的边缘半径恰好都在的边上ABC △，且扇形的弧与的其他边ABC △相切，请设计出所有可能符合题意的方案示意图，并求出扇形的半径（只要求画出图形，并直接写出扇形半径）． 答案：第19题． 圆心角为90，半径为的弧R 长为（ ） Ａ．2R πＢ．3R πＣ．4R πＤ．6R π答案：Ａ第20题． 已知一条弧长为l ，它所对圆心角的度数为n，则这条弦所在圆的半径为（42r =24r =1r =）．Ａ．180n lπ Ｂ．180ln πＣ．360ln πＤ．180lnπ答案：Ｂ第21题． 半径为的圆6cm 中，60 的圆周角所对的弧的弧长为．答案：4cm π第22题． 半径为的圆9cm 中，长为的一条12cm π弧所对的圆心角的度数为．答案：240第23题． 已知圆的面积为281c m π，若其圆周上一段弧长为3cm π，则这段弧所对的圆心角的度数为 ．答案：60第24题． 若扇形的圆心角为120，弧长为6cm π，则这个扇形的面积为 ．答案：227cm π第25题． 弯制管道时，先按中心线计算其“展直长度”，再下料．根据如图所示的图形可算得管道的展直长度为．（单位：m m ，精确到1mm ）答案：389mm第26题． 如图，在Rt △ABC 中，90C ∠= ，60A ∠=，AC =，将△ABC 绕点旋转至B △A BC ''的位置，且使点A ，B ，C '三点在同一直线上，则点经过的A 最短路线长是cm ．答案：3π第27题． 一块等边三角形的木板，边长为１，若将木板沿水平线翻滚（如图），则点从开始B 至结束走过的路径长度为（）．Ａ．3π2Ｂ．4π3Ｃ．4Ｄ．322+π答案：Ｂ第28题． 如图，扇形的圆心AOB 角为60 ，半径为6cm ，C ，D 是的三等分 AB 点，则图中阴影部分的面积和是 ．答案：22cm π第29题． 如图，已知在扇形AOB 中，若45AOB ∠=，4cm AD =，3cm CD =π，则图中阴影部分的面积是 ．答案：214cm π第30题． 如图4，在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆的半径为2，则图中阴影部分的面积为 ．答案：14.2π．图4图形的旋转有疑问的题目请发在“51加速度学习网”上，让我们来为你解答51加速度学习网整理一、本节学习指导本节我们重点了解旋转、平移性质，除外还有一个重点是点的对称变换。
九年级数学旋转综合期末复习
学习目标
1、重点复习： （1）旋转的性质 （2）旋转的作图 （3）中心对称的性质 （4）关于原点对称坐标规律
2、解决经典例题，总结如何利用“旋转”； 体会“构造思想”、“转化思想”等
一.旋转:
基础过关
1．旋转的定义：
把一个图形绕着某一定点沿某个方向转动一个角度的
图形变换叫做旋转。 A'
第23章复习
方法技巧 中心对称图形的识别关键是看是否存在一点，把图形绕这一 点旋转 180°后能和原图形互相重合；轴对称图形的识别关键是看 是否能找到一条直线，把图形绕这条直线翻转 180°后能和原图形 互相重合．
数学·新课标（RJ）
5.对称中心的确定： 将其中的两个关键点和它们的对
称点的连线作出来，两条连线的交 点就是对称中心.
第23章复习 ┃ 考点攻略 解：解法不唯一，如图23－5：
图23－5
数学·新课标（RJ）
► 考点四 旋转中的计算问题
例9 如图23－6所示，将△OAB绕点O按逆时针方向旋转
至△OA′B′，使点B恰好落在边A′B′上．已知AB＝4 cm，BB′＝1
cm，则A′B的长是________cm.
3
图23－6
解：∵△A′B′C是由△ABC旋转所得， ∴∠B′＝∠ABC＝60°，B′C＝BC， ∴△B′BC是等边三角形．
∴∠BCB′＝60°. ∵∠BCD＝90°-60°＝30°， ∴∠BDC＝180°- (60°＋30°) ＝180°-90°＝90°．
4．简单图形的旋转作图：
（1）确定旋转中心； （2）确定图形中的关键点；
6．关于中心对称的作图：
（1）确定对称中心； （2）确定关键点； （3）作关键点的关于对称中心的 对称点； （4）连结各点，得到所需图形.
人教版数学九年级上册23.2中心对称探索旋转的性质教案
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与中心对称相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示中心对称的基本原理，如利用直尺和圆规绘制中心对称图形。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解中心对称的基本概念。中心对称是指在平面上，存在一个点，使得图形中的任意一点关于这个点都有对应的另一点，且两点的距离相等。它是研究图形变换和性质的重要工具，广泛应用于艺术、建筑和工程等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了中心对称在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了中心对称的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对中心对称的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
二、核心素养目标
本节课旨在培养学生的以下核心素养：1.逻辑推理能力：通过探索中心对称的性质，学会运用严密的逻辑推理方法，分析并解决问题；2.空间想象力：理解中心对称的概念，能够准确找出对称中心，并在脑中构建出对称图形，提高空间想象力；3.数据分析观念：运用中心对称知识，对实际问题进行数学建模，培养数据分析观念；4.数学抽象能力：从具体实例中抽象出中心对称的概念和性质，提升数学抽象能力；5.数学应用意识：了解中心对称在实际生活中的应用，培养学生将数学知识应用于解决实际问题的意识。通过本节课的学习，使学生在新教材要求下，全面提升数学核心素养。
九年级上册数学第23章《旋转》知识点梳理完整版
【学习目标】九年级数学上册第 23 章《旋转》知识点梳理1、通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；2、通过具体实例认识中心对称，探索它的基本性质，理解对应点所连线段被对称中心平分的性质，了解平行四边形、圆是中心对称图形；3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用；4、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【知识网络】【要点梳理】要点一、旋转1.旋转的概念：把一个图形绕着某一点 O 转动一个角度的图形变换叫做旋转..点 O 叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角(如∠AO A′),如果图形上的点 A 经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点.要点诠释：旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度.2.旋转的性质: (1)对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；(3)旋转前、后的图形全等(△ABC≌△A'B'C').要点诠释：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转.3.旋转的作图: 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形．要点诠释：作图的步骤：(1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心；(2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）；(3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点；(4)连接所得到的各对应点.要点二、特殊的旋转—中心对称1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.要点三、平移、轴对称、旋转类型一、旋转1.数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形，问：它绕着圆心 O 旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°；乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同学的回答中，错误的是（）.A．甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁【答案】B.【解析】因为圆被平分为 8 部分,所以旋转45°,90°,135°均能与原图形重合.【总结升华】同一图形的旋转角可以是多个.举一反三：【变式】以图 1 的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，再按顺时针方向旋转180°，所得到图形是（）.【答案】A.类型二、中心对称2.如图，△A′B′C′是△ABC旋转后得到的图形，请确定旋转中心、旋转角.【答案与解析】∵对应点到旋转中心的距离相等，即OA=OA′∴O点在AA′的垂直平分线上同理 O 点也在BB′的垂直平分线上∴两条垂直平分线的交点 O 就是旋转中心，∠AOA′的度数就是旋转角．【总结升华】中心对称的对应点到对称中心的距离相等，所以对称中心在对应点的垂直平分线上.举一反三：【变式】下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）.A．B．C．D．【答案】A.类型三、平移、轴对称、旋转3.（2015•裕华区模拟）如图，点 O 是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=a．将△BOC绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接 OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当a=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；（3）探究：当 a 为多少度时，△AOD是等腰三角形？【思路点拨】（1）根据旋转的性质可得出 OC=OD，结合题意即可证得结论；（2）结合（1）的结论可作出判断；（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．【答案与解析】（1）证明：∵将△BOC绕点 C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO=CD，∠OCD=60°，∴△COD是等边三角形．（2）解：当α=150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点 C 按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC=∠BOC=150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC=60°，∴∠ADO=∠ADC﹣∠ODC=90°，∵∠α=150°∠AOB=110°，∠COD=60°，∴∠AOD=360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD=360°﹣150°﹣110°﹣60°=40°，∴△AOD 不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，∵∠AOD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠ADO=α﹣60°，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②要使 OA=OD，需∠OAD=∠ADO．∵∠OAD=180°﹣（∠AOD+∠ADO）=180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）=50°，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③要使 OD=AD，需∠OAD=∠AOD．∵∠OAD=360°﹣110°﹣60°﹣α=190°﹣α，∠AOD==120°﹣，∴190°﹣α=120°﹣，解得α=140°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．【总结升华】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．举一反三：【变式】已知 D 是等边△ABC外一点,∠BDC=120º.求证：AD=BD+DC.【答案】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°.将△ABD绕点A 逆时针旋转60°，得到△EAC，∴△DAB≌△EAC,即∠ABD=∠ACE,∵四边形 ABCD 中,∠BDC=120º,∠BAC=60°,∴∠DBA+∠DCA=180°,即∠ACE+∠DCA=180°,点 D,C,E 三点共线.∴BD+DC=CE+DC=DE.又∵∠DAE=60°.∴△ADE是等边三角形,即DE=AD.∴BD+DC=AD.4.如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD. 求证：BD2=AB2+BC2.【思路点拨】利用 AD=CD 可以将△BCD绕点D 逆时针旋转60°，从而把条件集中到一个三角形中.【答案与解析】证明： ∵AD=CD，∠ADC=60°，∴△BCD 绕点 D 逆时针旋转 60°，得到△EAD， ∴∠BDE=∠CDA=60°，△BCD≌△EAD． ∴BC=AE， BD=DE ，∠DAE=∠DCB, ∴△BDE 为等边三角形． ∴BE=BD．∵在四边形 ABCD 中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°， ∴∠DCB+∠DAB=270°，即∠DAE+∠DAB=270°． ∴∠BAE=90°． ∵在 Rt△BAE 中， ，∴．【总结升华】由求证可知应该建立一个直角三角形，再由已知知道有 30°，60°的角，有等线段，可以构想通过旋转构建直角三角形.5 、正方形 ABCD 和正方形 AEFG 有一个公共点 A ，点 G 、E 分别在线段 AD 、AB 上（1） 如图连结 DF 、BF ，试问：当正方形 AEFG 绕点 A 旋转时，DF 、BF 的长度是否始终相等？若相等请证明；若不相等请举出反例.（2） 若将正方形 AEFG 绕点 A 顺时针方向旋转，连结 DG ，在旋转过程中，能否找到一条线段的长度与线段 DG的长度相等，并画图加以说明. 【答案与解析】(1) 如图， DF 、BF 的长度不是始终相等，当点 F 旋转到 AB 边上时，DF>AD>BF.（2）线段BE=DG如图: ∵正方形 ABCD 和正方形 AEFG∴AD=AB,AG=AE, ∠1+∠2=∠2+∠3 ∴∠DAG=∠BAE ∴△ADG≌△ABE ∴ DG=BE【总结升华】利用旋转图形的不变性确定全等三角形. 举一反三：【变式】（2015•沈阳）如图，正方形 ABCD 绕点 B 逆时针旋转 30°后得到正方形 BEFG ，EF 与 AD 相交于点 H ，延长DA 交 GF 于点 K ．若正方形 ABCD 边长为，求 AK 的长？【答案与解析】 解：连接 BH ，如图所示：∵四边形 ABCD 和四边形 BEFG 是正方形， ∴∠BAH=∠ABC=∠BEH=∠F=90°， 由旋转的性质得：AB=EB ，∠CBE=30°， ∴∠ABE=60°，在 Rt△ABH 和 Rt△EBH 中，，∴Rt△ABH≌△Rt△EBH（HL ）， ∴∠ABH=∠EBH=∠ABE=30°，AH=EH ， ∴AH= ×=1，∴EH=1， ∴FH=﹣1，在 Rt△FKH 中，∠FKH=30°， ∴KH=2FH=2（﹣1），∴AK=KH﹣AH=2（ ﹣1）﹣1=2 ﹣3； 故答案为： 2 3 .6. 如图，已知△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=900，E 、F 是 BC 边上点且∠EAF=45°.求证： ．3【思路点拨】通过求证可以猜测要证得直角三角形，所以可以考虑旋转.【答案与解析】∵ △ABC为等腰直角三角形且∠BAC=90°∴ AB=AC，将△CAF 绕点 A 顺时针旋转90°，如图，得到∴∴ ，，，,∴ ,连结，则在,中，∴ ①,又∵ ,∵ .又∵∴ 在与,中,.∴ ②,∴ 由①②得：. 【总结升华】旋转性质：旋转前，后的图形全等.。
初中数学 轴对称图形和旋转有什么关系
初中数学轴对称图形和旋转有什么关系轴对称图形和旋转在数学中有密切的关系。
旋转是指以某个点为中心，按照一定的角度将图形绕着这个点旋转。
下面是轴对称图形和旋转之间的关系：1. 旋转不改变轴对称图形的对称性质：旋转操作不改变图形的形状、大小和方向，因此它也不会改变轴对称图形的对称性质。
如果一个图形是轴对称的，那么它的旋转后仍然是轴对称的。
这意味着，如果我们对一个轴对称图形进行旋转操作，它的对称轴位置和方向会随着旋转而改变。
2. 旋转改变轴对称图形的方向：通过旋转操作，我们可以改变轴对称图形的方向。
旋转可以使轴对称图形沿着旋转中心旋转一定的角度，从而改变图形的方向。
旋转的角度和方向决定了轴对称图形旋转后的新位置和相对关系。
3. 旋转构造新的轴对称图形：通过旋转操作，我们可以构造出新的轴对称图形。
例如，如果一个图形是轴对称的，那么对它进行旋转操作后，旋转后的图形也是轴对称的，但它的对称轴方向和位置发生了变化。
通过不同的旋转操作，我们可以得到各种不同方向的轴对称图形。
4. 旋转可以帮助解决轴对称图形的问题：在解决与轴对称图形相关的问题时，我们经常使用旋转操作来帮助我们更好地理解和解决问题。
通过旋转，我们可以改变轴对称图形的方向和位置，从而更好地研究和分析问题。
旋转操作还可以帮助我们发现图形的对称性质和规律。
总之，轴对称图形和旋转之间有密切的关系。
旋转操作不改变轴对称图形的形状、大小和对称性质，但可以改变图形的方向和位置。
通过旋转操作，我们可以构造新的轴对称图形，并且可以利用旋转操作帮助解决轴对称图形的问题。
希望以上内容能够帮助你理解轴对称图形和旋转之间的关系。
如果你还有其他问题，请随时提问。
九年级数学图形的旋转和中心对称
旋转及其组合）
二、知识概要
1.概念：
① 旋转：如果一个图形绕某一个定点沿某一个
方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋 转.这个定点称为旋转中心,转动的角度称为 旋转角.
② 中心对称图形：图形绕着中心旋转180°后
与自身重合称中心对称图形（如：平行四边形、 圆等）。
一点，△ABD经过旋转后到达△ACE的 位置。
① 旋转中心是哪一点 ② 旋转了多少度？
③ 如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后， 点M转到了什么位置？
四、范例精析
2. 下图是某设计师设计的方桌边图案的一部分。
请你运用旋转变换的方法，在坐标纸上将该 图形绕原点顺时针依次旋转 90°， 180°， 270°，并画出它在各象限内的图形。
④ 将一个图形绕对称中心旋转 180°必定与另一个图 C
形重合。
其中正确的是（ ）。
(A) ①② ④ (B) ①③ (C) ①②③
B B 2. 如图，如果正方形CDEF旋转后能与正 C F A D E (D) ①②③
方形ABCD重合，那么图形所在的平面
四、范例精析
1. 如图，△ABC是等边三角形。D是BC上
① 点P2的坐标； ② 点P2003的坐标.
四、范例精析
6. （1）操作与说明：如图，O是边长为a的
正方形ABCD的中心，将一块半径足够长， 圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O点 处，并将纸板绕O点旋转。则ABCD的边被 纸板覆盖部分的总长度为定值a.试说明理 由；
四、范例精析
6. ( 接上页）
旋转中心 旋转中心
二、知识概要
2.性质：
① 旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两
九年级上册数学教案《中心对称图形》
九年级上册数学教案《中心对称图形》教材分析《中心对称图形》是九年级几何的重要内容之一，与图形的运动（平移、翻折、旋转）有着不可分割的联系。
通过学习《中心对称图形》，学生可以认识图形的“旋转”在几何知识中的重要体现，同时也完善了对初中部分“对称图形”）轴对称图形、中心对称图形”的认识，为学习“圆”等内容做了充分准备。
学情分析学生之前已经学习了旋转，《中心对称图形》延续了旋转知识，是旋转知识的特殊情况。
学生之前积累的变换思想为学习图案设计和图形设计打好了基础。
九年级的学生具备一定的观察、抽象、分析、概括能力，这是开展图形探究活动的有利因素。
学生乐于亲身经历，在体验和探究中学习，但是学生的探究能力、归纳概括能力仍相对薄弱，学习过程中，需要教师适时点拨指导。
教学目标1、理解中心对称及中心对称图形的概念，知道两者的区别与联系；掌握中心对称的性质，运用性质画简单的中心对称图形。
2、能运用概念，判断两个图形是否成中心对称图形，一个图形是否是中心对称图形。
3、能设计简单的对称图形，培养学生的创新能力，体验中心对称图形的美感。
教学重难点理解中心对称及中心对称图形的概念、中心对称的性质，运用概念和性质画简单的中心对称图形。
教学方法讲授法、演示法、谈话法、讨论法、练习法教学过程一、情境导入，初步认识1、关于中心对称的两个图形有哪些特征？成中心对称的两个图形中，连接对称点的线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。
2、观察如图所示的三个图形，你能发现什么？旋转前的图形绕中心点旋转180°，与旋转后的图形重合。
二、思考探究，获取新知1、如图，将线段AB绕它的中点旋转180°，你发现什么？线段AB绕中点O旋转180°后，A、B两个端点互换位置，旋转后的线段与原来的图形重合。
2、如图，将▱ABCD绕它的两条对角线的交点O旋转180°，你有什么发现？在▱ABCD中，∵OA = OC，OB=OD，∴图形绕点O旋转180°后，点A与点C，点B与点D互换位置，旋转后的图形与原来的图形重合。
初三数学图形的旋转知识点与圆的知识点
初三数学图形的旋转知识点与圆的知识点初三数学的图形学习无非就是常规图形，难度比较高的就是圆，这里的知识点大家要用心学习好，小编在这里整理了相关资料，希望能帮助到您。
初三数学图形的旋转知识点1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质(1)对应点到旋转中心的距离相等。
(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
二、中心对称1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质(1)关于中心对称的两个图形是全等形。
(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
(3)关于中心对称的两个图形，对应线段平行(或在同一直线上)且相等。
3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
5、坐标系中对称点的特征1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P(x，y)关于原点的对称点为P’(-x，-y)2、关于x轴对称的点的特征两个点关于x轴对称时，它们的坐标中，x相等，y的符号相反，即点P(x，y)关于x轴的对称点为P’(x，-y)3、关于y轴对称的点的特征两个点关于y轴对称时，它们的坐标中，y相等，x的符号相反，即点P(x，y)关于y轴的对称点为P’(-x，y)初三数学圆的知识点一圆的定理1.1不共线的三点确定一个圆经过一点可以作无数个圆经过两点也可以作无数个圆，且圆心都在连结这两点的线段的垂直平分线上定理：过不共线的三个点，可以作且只可以作一个圆推论：三角形的三边垂直平分线相交于一点，这个点就是三角形的外心三角形的三条高线的交点叫三角形的垂心1.2垂径定理圆是中心对称图形;圆心是它的对称中心圆是周对称图形，任一条通过圆心的直线都是它的对称轴定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且评分弦所对的两条弧推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦并且平分弦所对的两条弧推论2：弦的垂直平分弦经过圆心，并且平分弦所对的两条弧推论3：平分弦所对的一条弧的直径，垂直评分弦，并且平分弦所对的另一条弧1.3弧、弦和弦心距定理：在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等二圆与直线的位置关系2.1圆与直线的位置关系如果一条直线和一个圆没有公共点，我们就说这条直线和这个圆相离如果一条直线和一个圆只有一个公共点，我们就说这条直线和这个圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做它们的切点定理：经过圆的半径外端点，并且垂直于这条半径的直线是这个圆的切线定理：圆的切线垂直经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心如果一条直线和一个圆有两个公共点，我们就说，这条直线和这个圆相交，这条直线叫这个圆的割线，这两个公共点叫做它们的交点直线和圆的位置关系只能由相离、相切和相交三种2.2三角形的内切圆如果一个多边形的各边所在的直线，都和一个圆相切，这个多边形叫做圆的外切多边形，这个圆叫做多边形的内切圆定理：三角形的三个内角平分线交于一点，这点是三角形的内心三角形一内角评分线和其余两内角的外角评分线交于一点，这一点叫做三角形的旁心。
人教版初三数学：中心对称与中心对称图形--知识讲解
中心对称与中心对称图形--知识讲解【学习目标】1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】要点一、中心对称和中心对称图形1.中心对称：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心．这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．要点诠释：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合 (全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．要点诠释：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系．②对称中心不定．①指一个图形本身成中心对称．②对称中心是图形自身或内部的点．联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．要点二、关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.要点三、中心对称、轴对称、旋转对称【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：中心对称与中心对称图形的区别与联系】1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：要点诠释：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.【典型例题】类型一、中心对称和中心对称图形【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：例3及练习】1.（2015春•鄄城县期末）如图，△ABC与△A1B1C1关于点O成中心对称，下列说法：①∠BAC=∠B1A1C1；②AC=A1C1；③OA=OA1；④△ABC与△A1B1C1的面积相等，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】中心对称的两个图形全等，则①②④正确；对称点到对称中心的距离相等，故③正确；故①②③④都正确．故选D．【总结升华】中心对称的关键是：旋转180°之后可以与原来的图形重合.举一反三【变式】如图，若正方形EFGH由正方形ABCD绕某点旋转得到，则可以作为旋转中心的是（）A．M或O或N B．E或O或C C．E或O或N D．M或O或C【答案】A【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2】2. 我们平时见过的几何图形,如:线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形中，有哪些是中心对称图形？哪些是轴对称图形？中心对称图形指出对称中心，轴对称图形指出对称轴.【答案与解析】【总结升华】线段、角、等腰三角形、等边三角形、平行四边形、矩形、菱形、正方形是重要的几种对称几何图形，要了解其性质特点更要熟记.类型二、作图3. 已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.【答案与解析】【总结升华】解决这类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件. 举一反三【高清课堂：高清ID 号： 388635 关联的位置名称（播放点名称）：例5及练习】【变式】如图①， 1O ，2O ，3O ，4O 为四个等圆的圆心，A ，B ，C ，D 为切点，请你在图中画出一条直线，将这四个圆分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ；如图②，1O ，2O ，3O ，4O ，5O 为五个等圆的圆心，A ，B ，C ，D ，E 为切点，请你在图中画出一条直线，将这五个圆．．．分成面积相等的两部分，并说明这条直线经过的两个点是 ．【答案】图①：13O O 或24O O 或AC 或BD;图②：5O M 或4O A类型三、利用图形变换的性质进行计算或证明1o 2o3o 4oCB D A 图① 图② 1o 2o 3o 4o 5o A BC E D4.（2014春•青神县校级月考）已知：如图，三角形ABM与三角形ACM关于直线AF成轴对称，三角形ABE与三角形DCE关于点E成中心对称，点E、D、M都在线段AF上，BM的延长线交CF于点P．（1）求证：AC=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．【解题思路】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．【答案与解析】（1）证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴△ABM≌△ACM，∴AB=AC，又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴△ABE≌△DCE，∴AB=CD，∴AC=CD；（2）解：∠F=∠MCD．理由：由（1）可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM﹣∠PMF=α﹣β，∠MCD=∠CDE﹣∠DMC=α﹣β，∴∠F=∠MCD．【总结升华】此题主要考查了中心对称图形的性质以及全等三角形的性质等知识，根据题意得出对应角相等进而得出是解题关键．举一反三【高清课堂：高清ID号：388635关联的位置名称（播放点名称）：例4及练习】【变式】如图，三个圆是同心圆，则图中阴影部分的面积为．【答案】4.附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式 半径为R 的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n °的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R 为弧所在圆的半径；(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式 1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R 的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n °的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．33π B ．32πC ．πD ．32π图（1） 【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6. 则劣弧BC 的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2） 【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)CBAO【答案】R=40mm ，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm ．【高清ID 号：359387 高清课程名称： 弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O 的半径等于1，弦AB 和半径OC 互相平分于点M.求扇形OACB 的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB 和半径OC 互相平分，∴OC ⊥AB ，OM=MC=OC=OA ．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120° ∴S 扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID 号：359387 高清课程名称：弧长 扇形 圆柱 圆锥 关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】 【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．449-π B ．849-πC ．489-πD ．889-π图（1）A EB C F P【答案】连结AD，则AD⊥BC，△ABC的面积是：BC•AD=×4×2=4，∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF的面积是：28028=.3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC的面积-扇形EAF的面积=84-9π．图（2）故选B．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r与母线R之比；（2）圆锥的全面积．【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
中考数学 专题22 几何三大变换问题之旋转(中心对称)问题(含解析)
专题22 几何三大变换问题之旋转（中心对称）问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。
旋转变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体绕一固定点旋转一个定角，这样的图形变换叫做图形的旋转变换，简称旋转。
旋转由旋转中心、旋转的方向和角度决定。
经过旋转，旋转前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变；旋转前、后图形的对应点到旋转中心的距离相等，即旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上； 旋转前、后的图形对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
把一个图形绕着某一定点旋转一个角度360°/n(n 为大于1的正整数)后，与初始的图形重合，这种图形就叫做旋转对称图形，这个定点就叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角。
特别地，中心对称也是旋转对称的一种的特别形式。
把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形的对应点叫做关于中心的对称点。
如果把一个图形绕某一点旋转180度后能与自身重合，这个图形是中心对称图形。
在初中数学以及日常生活中有着大量的旋转变换的知识，是中考数学的必考内容。
中考压轴题中旋转问题，包括直线（线段）的旋转问题；三角形的旋转问题；四边形旋转问题；其它图形的问题。
一. 直线（线段）的旋转问题1. 如图，直线l ：y 3x 3=-+与y 轴交于点A ，将直线l 绕点A 顺时针旋转75º后，所得直线的解析式为【 】A ．y 33=B ．y x 3=+．y x 3=-+ D ．y x 3=【答案】B 。
【考点】旋转的性质，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】如图，由已知，可求直线y3x3=-+与x、y轴的交点分别为B（1，0），A（0，3），2.根据要求，解答下列问题：（1）已知直线l1的函数表达式为y x1=+，直接写出：①过原点且与l1垂直的直线l2的函数表达式；②过点（1，0）且与l1垂直的直线l2的函数表达式；（2）如图，过点（1，0）的直线l4向上的方向与x轴的正方向所成的角为600，①求直线l4的函数表达式；②把直线l4绕点（1，0）按逆时针方向旋转900得到的直线l5，求直线l5的函数表达式；（3）分别观察（1）（2）中的两个函数表达式，请猜想：当两直线垂直时，它们的函数表达式中自变量的系数之间有何关系？请根据猜想结论直接写出过点（1，1）且与直线11y x55=-垂直的直线l6的函数表达式。
最新人教版九年级上册数学第23章旋转专题2中心对称与中心对称图形
D. 既不是轴对称图形又不是中心对称图形
7. 如图D23-2-5，点O ABCD的对称中心，AD＞AB，E， F是AB边上的点，且EF＝ AB；G，H是BC边上的点，且 GH＝ BC，若S1，S2分别表示△EOF和△GOH的面积，则
S1与S2之间的等量关系是_____________.
谢谢
二、中心对称图形
4. (2020深圳)下列图形中，既是轴对称图形又是中心
对称图形的是
( B)
5. (2020德州)下列图形中，是中心对称图但不是轴
对称图形的是
(B)
6. (2019绵阳)不考虑颜色，对如图D23-2-4的对称性表述，
正确的是 A. 轴对称图形
(B )
B. 中心对称图形
C. 既是轴对称图形又是中心对称图形
2. (2020台州)用四块大正方形地砖和一块小正方形地 砖拼成如图D23-2-2所示的实线图案，每块大正方形地 砖面积为a，小正方形地砖面积为b，依次连接四块大正 方形地砖的中心得到正方形ABCD. 则正方形ABCD的面积为__(_a_+_b_)__. (用含a，b的代数式表示)
3. 如图D23-2-3，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点 中心对称，已知A，D1，D三点的坐标分别是(0，4)， (0，3)，(0，2). (1)求对称中心的坐标； (2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标.
解：(1)根据对称中心的性质，可得对称中心的坐标是 D1D的中点. ∵点D1，D的坐标分别是(0，3)，(0，2)， ∴对称中心的坐标是(0，2.5).
(2)∵点A，D的坐标分别是(0，4)，(0，2)， ∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是4-2＝2. ∴点B，C的坐标分别是(-2，4)，(-2，2). ∵点D1的坐标是(0，3)， ∴点A1的坐标是(0，1). ∴点B1，C1的坐标分别是(2，1)，(2，3). 综上所述，顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(-2，4)，(-2， 2)，(2，1)，(2，3).
初三数学旋转知识点归纳
初三数学旋转知识点归纳
初三数学旋转知识点归纳
1、概念：
把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，点
O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.
旋转三要素：旋转中心、旋转方面、旋转角
2、旋转的性质：
(1)旋转前后的两个图形是全等形;
(2)两个对应点到旋转中心的距离相等
(3)两个对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角
3、中心对称：
这两个图形中的对应点叫做关于中心的'对称点.
4、中心对称的性质：
(1)关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分.
(2)关于中心对称的两个图形是全等图形.
5、中心对称图形：
把一个图形绕着某一个点旋转180，如果旋转后的图形能够与原
来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的
对称中心.
6、坐标系中的中心对称
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y)关于原点O的对称点P(-x，-y)。
人教版九年级数学上册 教学设计 旋转《中心对称图形》
人教版九年级数学上册教学设计旋转《中心对称图形》一. 教材分析人教版九年级数学上册的“旋转《中心对称图形》”这一节，主要让学生了解中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的性质，以及如何判断一个图形是否为中心对称图形。
教材通过丰富的实例，引导学生探索中心对称图形的性质，培养学生的空间想象能力。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对图形的变换有一定的了解。
但中心对称图形这一概念较为抽象，学生可能难以理解。
因此，在教学过程中，教师需要利用生动的实例，引导学生直观地感受中心对称图形，从而更好地理解中心对称图形的性质。
三. 教学目标1.让学生了解中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的性质。
2.培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3.培养学生的空间想象能力，提高学生的数学素养。
四. 教学重难点1.中心对称图形的概念及其性质。
2.如何判断一个图形是否为中心对称图形。
五. 教学方法1.采用情境教学法，引导学生从实际问题中发现中心对称图形的性质。
2.利用数形结合法，让学生直观地感受中心对称图形的特点。
3.采用问题驱动法，激发学生的思考，培养学生的解决问题的能力。
4.小组讨论，发挥学生的合作精神，提高学生的交流能力。
六. 教学准备1.准备相关的多媒体教学课件，以便于生动地展示中心对称图形的性质。
2.准备一些中心对称图形的实例，用于引导学生观察和分析。
3.准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中常见的中心对称现象，如反射、旋转等，引导学生关注中心对称图形。
然后提问：“你们认为什么样的图形可以称为中心对称图形？”2.呈现（10分钟）教师通过多媒体课件，展示中心对称图形的定义及性质。
同时，引导学生观察一些实例，让学生直观地感受中心对称图形的特点。
3.操练（10分钟）教师提出一些问题，让学生动手实践，判断一些图形是否为中心对称图形。
如：“请判断下列图形是否为中心对称图形，并说明理由。
人教版 九年级数学讲义 图形的旋转与中心对称(含解析)
第8讲图形的旋转与中心对称知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先学习旋转变换，重点掌握旋转三要素以及旋转的性质，能够结合图形的性质处理简单几何问题，其次学习中心对称以及中心对称图形，掌握中心对称的性质，了解坐标关于原点对称的特征。
本节课的难点在于旋转与三角形以及四边形等知识点的结合考查，具有一定的综合性，希望同学们认真学习，熟练掌握相关性质和应用。
知识梳理讲解用时：20分钟图形的旋转（1）旋转的定义在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心，转过的角称为旋转角。
从以下几点理解定义：①旋转中心在旋转过程中保持不变；①图形的旋转是由旋转中心、旋转角度和旋转方向共同决定（三要素）；①旋转角度一般小于360°。
（2）旋转的特征①旋转后图形上每一点都绕着旋转中心旋转了同样的角度；①旋转后的图形与原图形对应线段相等、对应角相等；①对应点到旋转中心的距离相等；①旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化。
课堂精讲精练【例题1】将小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】本题考查的是图形的旋转变化，小鱼图案绕着头部某点顺时针旋转90°后可以得到的图案是B中图案，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：根据旋转的意义，找出图中眼、尾巴等关键处按顺时针方向旋转90°后的形状即可选择答案。
教学建议：看清是顺时针还是逆时针旋转，旋转多少度。
难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：大渡口区模拟年份：2017 【练习1】观察下列图案，其中旋转角最大的是（）。
A．B．C．D．【答案】A【解析】根据旋转的定义来判断旋转的度数，A、旋转角是120°；B、旋转角是90°；C、旋转角是72°；D、旋转角是60°．故选：A．讲解用时：2分钟解题思路：根据定义，一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形叫做旋转。
九年级数学复习：旋转图形的性质
九年级数学复习：旋转图形的性质1．旋转图形的性质：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；（3）旋转前后的图形全等．2．中心对称与中心对称图形的概念与性质．3．点P （x ，y ）关于原点的对称点P 为（－x ，－y ）．【板块一】利用旋转图形的性质求角度方法技巧1．利用等腰求角度；2．通过旋转“化散为聚”求角度．题型一利用旋转角求角度【例1】如图，在△ABC 中，∠CAB ＝70°，将△ABC 绕点A 逆时针旋转到△AB C ⅱ的位置，使得CC ¢//AB ，则∠BAB ¢的度数是（）A ．70°B ．35°C ．40°D ．50°答案：C【解析】由CC ¢//AB 得∠C CA ¢＝∠CAB ＝70°，又AC ¢＝AC ，故∠AC C ¢＝∠C CA ¢＝70°，可得∠CAC ¢＝40°；由∠C AB ⅱ＝∠CAB 得∠B AB ¢＝∠CAC ¢＝40°，故选C ．题型二利用旋转的位置关系求角度【例2】如图，把Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转40°，得到Rt △AB C ⅱ，点C ¢恰好落在边AB 上，连接BB ¢，则∠BB C ⅱ＝．答案：【解析】AB ¢＝AB ，∠ABB ¢＝1802B AB¢-Ð＝70°，∠BB C ⅱ＝90°－∠ABB ¢＝20°．【例3】一副三角尺按如图的位置摆放（顶点B ，C ，D 在一条直线上，点C ，F 重合），将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转n °后得到△D E F ⅱ（0＜n ＜180），如果E F ¢//AB ，那么n 的值为．【解析】当E F¢//AB时，∠ACE¢＝∠BAC＝45°，n＝45．题型三利用旋转构造全等求角度【例4】如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，，求∠BPQ 的度数．答案：【解析】将△APD绕点A顺时针旋转90°，得△AP B¢；)2＋()2)2，利用勾股定理逆定理可得到△BPP¢是直角三角形，∠APB＝135°，故∠BPQ＝145°．【例5】如图，在五边形ABCDE中，AB＝AE，BC＝CD，∠BAE＋∠BCD＝180°，M是ED的中点，连接AM，CM，且AM＝CM，求∠BCD的度数．答案：【解析】将△CDM绕点M旋转180°得△FEM，则△CDM≌△FEM，∴EF＝CD＝BC，∠FEM＝∠D，∴∠ABC＝∠AEF，证△AEF≌△ABC，∴∠BAC＝∠EAF，AC＝AF，又MF＝MC＝AM，∴△ACF为等腰直角三角形，∴∠CAF＝90°，又∠BAC＝∠EAF，∴∠BAE＝∠CAF＝90°，∴∠BCD＝180°－∠BAE＝90°．【点评】这一类题型具有的特点是：等线段、共端点以及特殊角．通过旋转“使相等的边重合，得出特殊图形”．【例6】如图，点P为等边△ABC内一点，且PA＝2，PB＝1，PC，求∠APB的度数．【解析】将△APC 绕点A 顺时针旋转60°，得△ADB ，连接DP ，得AD ＝AP ，DB ＝PC ＝，∠DAP ＝60°，从而可证△ADP 为等边三角形，所以DP ＝AP ＝2，∠DPA ＝60°，在△DPB 中，利用勾股定理逆定理可得∠DBP ＝90°，∠DPB ＝60°，从而可得∠APB ＝120°．针对练习11．如图，点P 是正三角形ABC 内的一点，且PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10．若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后得到△P AB ¢．（1）求点P 与点P ¢之间的距离；（2）求∠APB 的度数．答案：解：（1）连接PP ¢，由题意可知AP ¢＝AP ，∠PAC ＝∠P AB ¢，PC ＝P B ¢，又∵∠PAC ＋∠BAP ＝60°，∴∠PAP ¢＝60°．∴△APP ¢为等边三角形，∴PP ¢＝AP ＝AP ¢＝6．（2）∵2PP ¢＋BP 2＝2BP ¢，∴△BPP ¢为直角三角形，且∠BPP ¢＝90°，∴∠APB ＝90°＋60°＝150°．2．如图，点P 为等边△ABC 内一点，∠APB ＝113°，∠APC ＝123°，求证：以AP ，BP ，CP 为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各个内角的度数．答案：解：将△APC 绕点C 逆时针旋转60°，得△BCP 1，∴AP ＝BP 1，∠BP 1C ＝∠APC ＝123°，由CP ＝CP 1，∠PCP 1＝60°得△PCP 1为等边三角形，∴PP 1＝CP ，∠CPP 1＝∠CP 1P ＝60°，这时，△BPP 1就是以BP ，AP ，CP 为三边构成的三角形，∠BP 1P ＝∠BP 1C －∠CP 1P ＝∠APC －60°＝63°，又∠BPC ＝360°－113°－123°＝124°，∴∠BPP 1＝∠BPC －∠CPP 1＝64°，∠PBP 1＝180°－63°－64°＝53°．3．如图，若点P 是正方形ABCD 外一点，PA ＝3，PB ＝1，PC ，求∠APB 的度数．答案：解：将△BPC 绕点B 逆时针旋转90°得△BP A ¢，易证△BPP ¢为等腰直角三角形，∴PP ¢，AP ¢＝PC ，在△APP ¢中，AP 2＋2PP ¢＝2AP ¢，∴∠APP ¢＝90°，∴∠APB ＝45°．【板块二】利用旋转图形的性质求线段长或面积题型一利用旋转图形性质求线段长【例1】如图，△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝BC ＝，∠ABC ＝90°，把△ABC 绕点A 顺时针旋转至△ADE ，AE ，DC 交于点F ，当F 为CD 的中点时，求AF 的长．答案：【解析】过点D 作DM ⊥AE 于点M ，过点C 作CN ⊥AE 于点N ，DM ＝12AE ＝4，由△DMF ≌△CNF 得CN ＝DM ＝4，在Rt △ANC 中，AN ＝AM ＝DM ＝4，MN ＝MF ＝12MN ＝故AF ＝AM ＋MF ＝4＋题型二利用旋转图形性质求面积【例2】如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，求四边形AB 1OD 的面积．答案：【解析】AC ＝，AB 1＝1，故B 1C －1，在Rt △OB 1C 中，∠OCB 1＝45°，故OB 1＝CB 1－1，1OB C S D ＝12OB 1·B 1C ＝32-，S △ADC ＝12DA ·DC ＝12，故S 1AB CD 四边形＝S △ADC －1OB C S D ＝12－32-＝22－1．【例3】在正方形ABCD 中，点P 是对角线AC 上一点，连接DP ，将DP 绕点D 逆时针旋转90°后得到线段DE ，连接PE ，点C 关于直线PE 的对称点是C ¢，连接C E ¢，C P ¢，C A ¢，若四边形AC ED ¢是平行四边形，PC ＝2，则平行四边形AC ED ¢的面积是．答案：【解析】过点P 作PQ ⊥CD 于点Q ，延长PC ¢交AD 于点G ，设C E ¢交DC 于点H ，则△PQD ≌△DHE ，∵PC ＝2，∴PQ ＝GD ＝DH ＝C G ¢＝，∵点C ¢与点C 关于PE 对称，∴PC ¢＝PC ＝QH ＝2，∴CD ＝AD ，∴AC ED S ¢ ＝AD ·DH ．针对练习21．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，BC ＝2，△A B C ⅱ是由△ABC 绕点C 顺时针旋转得到，其中点A ¢与点A 是对应点，点B ¢与点B 是对应点，连接AB ¢，且点A ，B ¢，A ¢在同一条直线上，则AA ¢的长为（）A ．6B C D ．3答案：解：在Rt △ABC 中，∠B ＝60°，BC ＝2，故AB ＝4，AC A C ¢＝AC ，∠A ¢＝∠A AC ¢＝30°，故∠A CA ¢＝120°，过点C 作CH ⊥A A ¢于点H ，则HC ＝12AC ，A H ¢＝3，AA ¢＝2A H ¢＝6，故选A ．2．如图．在△ABC 中，∠BAC ＝150°，D ，E 为线段BC 上的两点，∠DAE ＝60°，且AD ＝AE ，若DE ＝3，CE ＝5，则BD 的长为．答案：解：将△ABC 沿BA 向上翻折至△BAF ，连接AF ，EF ，FC ，可得∠BAF ＝∠BAC ＝150°，∠FAC ＝60°，△AFC 为等边三角形，可证△ADC ≌△AEF ，∠AFE ＝∠ACD ，可得∠FEC ＝∠FAC ＝60°，过点F 作FH ⊥BC 于点H ，EH ＝12EF ＝8×12＝4，HC ＝1，FH ＝43，设BD ＝x ，则BF ＝BC ＝x ＋8，在Rt △BFH 中，BF 2－BH 2＝FH 2即(x ＋8)2－(x ＋7)2＝48，x ＝332，故BD ＝332．3．如图，P 为等边△ABC 内一点，PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，求S △AB C ．答案：解：在AC 右侧取点D ，使∠DAP ＝60°且DA ＝PA ，连接PD ，则△APD 为等边三角形，可证△ABP ≌△ACD （SAS ），DC ＝BP ＝4，PD ＝3，PC ＝5，PC 2＝PD 2＋DC 2，∠PDC ＝90°，过点A 作AE ⊥DC 于点E ，AE ＝12AD ＝32，DE ＝332EC 332，AC 2＝AE 2＋EC 2＝94＋16＋27433，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，在Rt △AFC 中，FC ＝12AC ，AF ＝22AC FC -32AC ，S △ABC ＝12×BC ×AF 34AC 22534＋9．【板块三】旋转图形中线段关系的探究方法技巧利用旋转“化散为聚”解决线段关系．题型一旋转图形中线段数量关系的探究【例1】如图，在等边△ABC 内有一点O ，试证明：OA ＋OB ＞O C ．答案：【解析】把△AOC以点A为旋转中心顺时针方向旋转60°后，到△AO B¢的位置，则△AOC≌△AO B¢，¢，∴∠OAO¢＝60°，∴△AO O¢为等边三角形，∴AO＝OO¢，∴AO＝AO¢，OC＝O B¢，∠OAC＝∠O AB在△BOO¢中，OO¢＋OB＞BO¢，即OA＋OB＞O C．【例2】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，将△ADE绕点A旋转．（1）求证：BD＝CE；（2）如图2，若∠ADB＝90°，DE的延长线交BC于点F，交AB于点G．①求证：点F是BC中点；②若DA＝DB，BF＝2，直接写出AG的长为．答案：【解析】（1）证△ABD≌△ACE即可；（2）连EC，在DF上截取DN＝EF，连BN，由（1）知BD＝CE，可证∠BDN＝∠CEF＝30°，∴△DNB≌△EFC，∴BN＝FC，∠DNB＝∠EFC，∴∠BNF＝∠BFN，∴BN＝BF，∴BF＝FC，即F为BC的中点；（3）AG＝326，由题知BC＝2BF＝2，∴AB＝22，∴DA＝DB＝2，过G作GH⊥AD于H，∵∠GDH＝60°，∴设DH＝a，则GH＝AH＝3a，AG6a，又AD＝a3a，∴a3AG63326．题型二旋转图形中图形形状的确定【例3】如图，在正方形ABCD中，点E，F是对角线BD上两点，且∠EAF＝45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90后，得到△ABQ连接EQ(1)求证:EA是∠QED的平分线;(2)探求以EF，BE，DF为三边的三角形的形状【解析】(1)∵将△ADF绕点A顺时针旋转90°后，得到△ABQ∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，由∠EAF＝45，得∠DAF＋∠BAE＝45°，故∠QAE＝45°.故∠QAE＝∠FAE可证△AQE≌△AFE(SAS)∴∠AEQ＝∠AEF∴EA是∠QED的平分线(2)由(1)得△AQE≌△AFE，QE＝EF.又∠ABQ＝∠ADF＝∠ABD＝45°，故∠QBE＝90°在Rt△QBE中，QB2＋BE2＝QE2∴EF2＝BE2＋DF2，即以EF，BE，DF为三边的三角形是直角三角形针对练习31.如图，△BAD是由△BEC在平面内绕点B逆时针旋转60°而得，且AB⊥BC，BE＝CE，连接DE.(1)求证:△BDE≌△BCE;(2)试判断四边形ABED的形状，并说明理由解:(1)∵△BAD是由△BEC在平面内绕点B旋转60°而得，∴DB＝CB，∠ABD＝∠EBC，∠ABE＝60°∵AB⊥BC，;∠ABC＝90.∴∠DBE＝∠CBE＝30，∴△BDE≌△BCE(SAS)(2)四边形ABED为菱形，理由如下:由(1)得△BDE≌△BCE∵△BAD是由△BEC旋转而得，∴△BAD≌△BEC∴BA＝BE，AD＝EC＝ED又BE＝EC，故AB＝BE＝ED＝AD，故四边形ABED为菱形2.给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形。
人教版九年级数学上册 教案 旋转《中心对称图形》
人教版九年级数学上册教案旋转《中心对称图形》一. 教材分析旋转是初中数学中的重要内容，是几何变换的基本形式之一。
《中心对称图形》是人教版九年级数学上册第二章几何变换的一部分，主要让学生了解中心对称图形的概念，理解中心对称与旋转的关系，学会用旋转来解决实际问题。
本节课的内容在学生的认知发展过程中起着承上启下的作用，为后续的旋转变换和其他几何变换的学习打下基础。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对图形的变换有一定的了解。
但是，学生对中心对称图形的理解可能还停留在表象阶段，对中心对称与旋转的关系认识不足。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际问题中发现旋转的规律，培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解中心对称图形的概念，掌握中心对称与旋转的关系。
2.学会用旋转来解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.培养学生的观察能力、操作能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.中心对称图形的概念及判断。
2.中心对称与旋转的关系。
3.用旋转解决实际问题。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过实际问题引导学生发现旋转的规律，用案例展示中心对称图形的应用，让学生在小组合作中探讨中心对称与旋转的关系，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题和案例。
2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
3.准备练习题和作业。
七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用多媒体展示一个生活中的实际问题：“如何将一个图形绕某一点旋转？”让学生观察并思考，引出本节课的主题——旋转。
2. 呈现（10分钟）讲解中心对称图形的概念，呈现一些典型的中心对称图形，如圆、正方形等，让学生判断并解释为什么它们是中心对称图形。
同时，引导学生发现中心对称与旋转的关系，如圆的旋转可以看作是中心对称的运用。
3. 操练（10分钟）让学生进行一些实际的操作，如绘制中心对称图形，判断给定的图形是否为中心对称图形等。
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旋转与中心对称知识点一旋转、中心对称的概念【知识梳理】1、旋转：在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转。
这个定点叫做旋转中心，旋转的角叫做旋转角，如果图形上的某点经过旋转变为另一点，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
2、旋转的性质：图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对应角的大小相等，任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，旋转前后图形的大小和形状没有改变。
3、中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心。
这两个图形在旋转后能重合的对应点叫做关于对称中心的对称点。
4、中心对称的性质：中心对称是一种特殊的旋转，因此它具有旋转的一切性质，除此之外，中心对称还具有以下特殊性质。
（1）中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心平分。
（2）中心对称的两个图形是全等图形。
【例题精讲一】旋转、中心对称的概念及基本性质例1.1、下列图形中既是中心对称又是轴对称图形的是（）2、如图，△ABC≌△ADE，点D落在BC上，且∠B＝60°，则∠EDC的度数等于（）A．45°B．30°C．60°D．75°3、将△ABC 绕O 点顺时针旋转50°得△A 1B 1C 1（A 、B 分别对应A 1、B 1），则直线AB 与直线A 1B 1的夹角（锐角）为（ ） A ．130°B ．50°C ．40°D ．60°4、平面直角坐标系内与点P （－2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．（3，－2）B ．（2，3）C ．（2，－3）D ．（－3，－3）5、如图，点P 是等边三角形ABC 内一点，且PA ＝3，PB ＝4，PC ＝5，若将△APB 绕着点B 逆时针旋转后得到△CQB ，则∠APB 的度数为 。
【课堂练习】1、下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B ． C ． D ． 2、已知点（a ，－1）与点（2，b ）关于原点对称，则a b =__________。
3、如图，△'''A B C 是由△ABC 绕点O 旋转得到，若∠AOC=30°，∠'COA =60°，则旋转角为（ ） A.105°B.90°C.75°D. 60°（第3题图）（第4题图）4、如图，O 是锐角三角形ABC 内一点，∠AOB =∠BOC =∠COA =120°，P 是△ABC 内不同于O 的另一点；△//A BO 、△//A BP 分别由△AOB 、△APB 逆时针旋转而得，旋转角都为60°，则下列结论中正确的有（ ）①///A O O O AO BO +=+；②/A 、/O 、O 、C 在一条直线上；③///A P P P PA PB +=+④PA ＋PB ＋PC>AO ＋BO ＋COA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5、等腰直角三角形ABC 按逆时针方向转动一个角度后成为△AB C ''，且AB '⊥BC ，垂足为O 。
（1）图中旋转中心是点 ； （2）该旋转中的旋转角是 度；（3）经上述旋转后，所得到的B C ''边与AC 边有怎样的位置关系？【例题精讲二】旋转、中心对称与作图例2.1、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是A （﹣3，2），B （﹣1，4），C（0，2）。
（1）将△ABC 以点C 为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△111A B C ；（2）平移△ABC ，若点A 的对应点2A 的坐标为（﹣5，﹣2），画出平移后的△222A B C ； （3）若将△222A B C 绕某一点旋转可以得到△111A B C ，请直接写出旋转中心的坐标__________。
2、在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4。
(1) 试在图中作出△ABC 以A 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△AB 1C 1；(2) 若点B 的坐标为(－3，5)，点A 的坐标为(0，1)，试在图中画出直角坐标系，并写出C 点的坐标； (3) 在(2)的条件下，找点D 使△ABC 与△ADC 全等，D 在格点上，且D 不与B 重合，则D 点的坐标为___________。
【课堂练习】1、如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点。
△ABO的三个顶点A、B、O都在格点上。
（1）画出△ABO绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1O三角形；（2）求点B的运动路径的长；（3）求△ABO在上述旋转过程中所扫过的面积。
2、如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是(0，3)、(13 ，1)、(1，0)。
将△ABC绕点A 顺时针旋转一定角度，点C恰好落在x轴的负半轴上，得到△AB′C′。
（1）点B′的坐标为________，C′的坐标为________，点B到点B′经过的路径长为_________；（2）求△ABC扫过的面积。
【例题精讲三】线段、角度问题例3.1、如图，在等边△ABC中，AB＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长为__________。
2、如图，在等边△ABC中，D是AC边上一点，连接BD，将△BCD绕点B逆时针旋转60°，得到△BAE，连接ED。
若BC＝10，BD＝9，则△AED的周长是__________。
3、如图，△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射线BC的方向平移，得到△A′B′C′，再将△A′B′C′绕点A′逆时针旋转一定角度后，点B′恰好与点C重合，则平移得距离和旋转角的度数分别为（）A．4；30°B．2；60°C．1；30°D．3；60°【课堂练习】1、如图，在Rt △ABC 中，AB=3，AC=4，∠BAC=90°.设∠B=α°，将 Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转α°得Rt △AEF ，AE 、EF 分别交BC 于M 、N ，则MN 的长度为（ ） A.34B. 1C.43 D.212、如图，三角形ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，以BC 为边向三角形外作等边三角形BCD ，连AD ，则当∠BAC ＝____度时，AD 有最大值__________。
3、如图，边长为4的正方形ABCD 外有一点E ，∠AEB ＝90°，F 为DE 的中点，连接CF ，则CF 的最大值为___________。
1、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）个A、1B、2C、3D、42、下列图形中，为中心对称图形的是（）A. B. C. D.3、该图形围绕点O按下列角度旋转后，不能与其自身重合的是（）A、72°B、108°C、144°D、216°4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转至△A′B′C，使得点A′恰好落在AB上，则旋转角度为_________。
5、如图，抛物线y＝-x2-2x+3与x轴交于点A、B两点，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1关于点B成中心对称的另一个图形记作C2， C2与x轴交于另一点C，将C2关于点C成中心对称的另一个图形记作C3，连接C1与C3的顶点，则图中阴影部分面积为____________。
6、如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝2，将菱形OABC绕原点'''的位置，则点B'的坐标为__________。
顺时针旋转105°至OA B C（第6题图）（第7题图）7、如图，△AOB为等腰三角形，顶点A的坐标（2，5），底边OB在x轴上，将△AOB绕点B按顺时''，点A的对应点A'在x轴上，则点O'的坐标为________。
针方向旋转一定角度后得△A O B8、如图，P为等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，求以AP、PB、PC 的长为边的三角形的三个内角的大小之比。
9、如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，则MN的长为多少？10、如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，AE＝3，∠BAC＝∠DAE＝90°，四边形ACDE是平行四边形，连结CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，求BD的长。
11、如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）。
（1）画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；（2）请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周小最小，请画出△PAB，并直接写出P的坐标。