第二章 格林定理 镜像法
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2.10.1 唯一性定理
8
设在区域V内， 1 和 2 满足泊松方程，即:
21
(r)
22
(r)
在V的边界S上 1 和 2 满足同样的边界条件， 即:
1 |S f (r)
2 |S f (r)
9
令φ =φ1-φ2，则在V内，▽2φ=0，在边界面S上，φ|S=0。在格 林第一恒等式中，令Ψ=φ，则:
(
1 2
E
2
1 2
H
2
)]d
t 0
(
E 2d )dt t ( (E H ) d)dt
V
0
V
(
1 2
E
2
1 2
H 2 )]d
t 0
(
(E H ) nd)dt
12
(E H) n E (H n) H (n E)
( )dS
n n
现令：
/
(2/ /2)d ( / / )dS
V
S n
n 4
Ò right i
Si
(i
i / n
i/
i n
)dS
乙 [i i
2.9 格林定理 互易定理
2.9.1 格林定理
V FdV SF dS
在上式中，令 F 则:
F () 2
FdV (2 )dV
V
V
S () dS
S
n
V
(2
)dV
S
n
dS
由于▽ 2φ =0，所以有:
2
dV
dS
V
S n
在S上φ =0，因而上式右边为零，因而有:
2
V dV 0
10
或者这样来证明
设满足麦克斯韦方程、初始条件和边界条件的电磁场解不唯一， 至少有两组解
E E1 E2
Si
(
i / n
)dS
i/
( i )dS
Si
n
i
1
( i qi/
i/ qi
)
21
(r)
2 (r)
1
left V
( / / )d
5
left 1
(/ / )d
V
Right
i
1
( i qi/
i/ qi
)
n
n
qi
/ i
V
/ d
qi/i V
/ d
i 1
i 1
证毕
（1）当整个空间除导体外，没有其它体电荷密度分布
n
n
qi
/ i
qi/ i
i 1
i 1
6
（2）若整个空间除体电荷密度分布外，没有其它诸导体
r ur
r uur
n E |边界 0 n H |边界 0
V
(
1 2
E
2
1 2
H 2 )]d
0
式中的被积函数总为正值，要使上式成立，必有
E0
H 0和
E1 E2
H1 H2
在有界区域内满足给定源的场方程、初始条件 13
及不同边界条件的场解是唯一的
2.10 镜像法
H H1 H2
E H
t
D 0
H E E
t
B 0
11
(E H) H E E H
(E H ) d
V
[J
E
t
(
1 2
E 2
1 2
H
2 )]d
V
2.10.1 平面镜像法
例4-1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点 电荷q的电位。
图4-1 无限大导体平面上点电荷的镜像
14
解： 当 z>0 时，▽2φS=0 当 z=0时，φ=0 当 z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。
15
'
1
4 0
q r
q r
解，在电磁场理论中是很重要的定理之一
2
2.9.2 格林互易定理
互易定理是描述不同场及其场源成对称关系的公式，格林定理是不同 函数间成对称关系的互易定理的数学表述。两个定理的区别在于：格林定 理不含具体的物理意义，而互易定理可以看为格林定理的一个直接推论和 应用
它是描述在带电体系中，空间各处的电荷分布与在其它各电荷分布 处所产生的电位间存在互易关系。
现测得各带电导体的电位为
体电荷元处的电位为
i
当各导体的电荷变为 ，
q
/ i
体电荷密度变为 /
Байду номын сангаас
相应的电位变为
/ i
和
/
，则有
3
n
n
qi
/ i
V
/ d
qi/ i
V
/ d
i 1
i 1
这是格林互易定理的普遍形式
证明：
V
(2 2)d S
16
由Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：
S
0Ez
2 (x2
qh y2
h2 )3/2
导体表面总的感应电荷：
qin
dS
1
即:
V
(2
)dV
S
n
dS
这就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即闭合面
的外法向。
V
(2
)dV
S
n
dS
(2 2 )dV dS
V
S n n
格林定理可用于解的唯一性证明和求解泊松方程的积分
V / d V /d
7
2.10 唯一性定理 镜像法
在电磁场问题中，往往需要求解有限区域中给定边界条件下 的电磁场问题。
如果只考察空间某—有限区域的电磁场，而区域内、外常存在不同 场源，显然仅仅知道区域内的场源并不足以能完全确定有限区域内的电 磁场，还必须知道区域外场源的影响，而外域场源的影响可以通过用边 界面上的等效场来取代，故内域场由其内部场源和边界场值唯一确定。
r [x2 y2 (z h)2 ]1/ 2, r [x2 y2 (z h)2 ]1/ 2
Ex
qx
4 0
1 r3
1 r3
Ey
qy
4 0
1 r3
1 r3
Ez
qz
4 0
zh r3
zh r3
8
设在区域V内， 1 和 2 满足泊松方程，即:
21
(r)
22
(r)
在V的边界S上 1 和 2 满足同样的边界条件， 即:
1 |S f (r)
2 |S f (r)
9
令φ =φ1-φ2，则在V内，▽2φ=0，在边界面S上，φ|S=0。在格 林第一恒等式中，令Ψ=φ，则:
(
1 2
E
2
1 2
H
2
)]d
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E 2d )dt t ( (E H ) d)dt
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0
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(
1 2
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1 2
H 2 )]d
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(
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(E H) n E (H n) H (n E)
( )dS
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现令：
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Ò right i
Si
(i
i / n
i/
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乙 [i i
2.9 格林定理 互易定理
2.9.1 格林定理
V FdV SF dS
在上式中，令 F 则:
F () 2
FdV (2 )dV
V
V
S () dS
S
n
V
(2
)dV
S
n
dS
由于▽ 2φ =0，所以有:
2
dV
dS
V
S n
在S上φ =0，因而上式右边为零，因而有:
2
V dV 0
10
或者这样来证明
设满足麦克斯韦方程、初始条件和边界条件的电磁场解不唯一， 至少有两组解
E E1 E2
Si
(
i / n
)dS
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Si
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i
1
( i qi/
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21
(r)
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1
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5
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1
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V
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i 1
i 1
证毕
（1）当整个空间除导体外，没有其它体电荷密度分布
n
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i 1
i 1
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（2）若整个空间除体电荷密度分布外，没有其它诸导体
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n E |边界 0 n H |边界 0
V
(
1 2
E
2
1 2
H 2 )]d
0
式中的被积函数总为正值，要使上式成立，必有
E0
H 0和
E1 E2
H1 H2
在有界区域内满足给定源的场方程、初始条件 13
及不同边界条件的场解是唯一的
2.10 镜像法
H H1 H2
E H
t
D 0
H E E
t
B 0
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(E H) H E E H
(E H ) d
V
[J
E
t
(
1 2
E 2
1 2
H
2 )]d
V
2.10.1 平面镜像法
例4-1 求置于无限大接地平面导体上方，距导体面为h处的点 电荷q的电位。
图4-1 无限大导体平面上点电荷的镜像
14
解： 当 z>0 时，▽2φS=0 当 z=0时，φ=0 当 z→∞、|x|→∞、|y|→∞时，φ→0。
15
'
1
4 0
q r
q r
解，在电磁场理论中是很重要的定理之一
2
2.9.2 格林互易定理
互易定理是描述不同场及其场源成对称关系的公式，格林定理是不同 函数间成对称关系的互易定理的数学表述。两个定理的区别在于：格林定 理不含具体的物理意义，而互易定理可以看为格林定理的一个直接推论和 应用
它是描述在带电体系中，空间各处的电荷分布与在其它各电荷分布 处所产生的电位间存在互易关系。
现测得各带电导体的电位为
体电荷元处的电位为
i
当各导体的电荷变为 ，
q
/ i
体电荷密度变为 /
Байду номын сангаас
相应的电位变为
/ i
和
/
，则有
3
n
n
qi
/ i
V
/ d
qi/ i
V
/ d
i 1
i 1
这是格林互易定理的普遍形式
证明：
V
(2 2)d S
16
由Dn=ρS可得导体表面的面电荷密度：
S
0Ez
2 (x2
qh y2
h2 )3/2
导体表面总的感应电荷：
qin
dS
1
即:
V
(2
)dV
S
n
dS
这就是格林第一恒等式。n是面元的正法向，即闭合面
的外法向。
V
(2
)dV
S
n
dS
(2 2 )dV dS
V
S n n
格林定理可用于解的唯一性证明和求解泊松方程的积分
V / d V /d
7
2.10 唯一性定理 镜像法
在电磁场问题中，往往需要求解有限区域中给定边界条件下 的电磁场问题。
如果只考察空间某—有限区域的电磁场，而区域内、外常存在不同 场源，显然仅仅知道区域内的场源并不足以能完全确定有限区域内的电 磁场，还必须知道区域外场源的影响，而外域场源的影响可以通过用边 界面上的等效场来取代，故内域场由其内部场源和边界场值唯一确定。
r [x2 y2 (z h)2 ]1/ 2, r [x2 y2 (z h)2 ]1/ 2
Ex
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4 0
1 r3
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