托马斯微积分课件8.6 Power Series
合集下载
微积分基本公式PPT学习教案
第12页/共62页
例9. 设 f (x, y) xy et2 dt, 求 0
x y
2 f x2
2 2 f xy
y x
2 f y 2
.
解：令 (s) s et2 dt, 则 '(s) es2 , f (x, y) (xy) 0
于是
f (xy) '(xy) xy' ex2y2 y
e x x2 y2
2x3 yex2y2
最终结果 2ex2 y2
第14页/共62页
例5 .
lim
x0
0 sin t 2dt
2x
x3
0 sin t 2dt '
lim 2x
x0 (x3 )'
lim
x0
s in(2 x ) 2 3x 2
(2 x )'
2 3
lim
x0
sin 4x x2
2
8 3
b( x)
f (t)dt
的导数 F( x) 为
a( x)
F( x) d
b( x)
f (t )dt
dx a( x)
f b( x)b( x)
f a( x)a( x)
证 F( x) 0 b( x) f (t)dt
a(x) 0
b( x) f (t )dt
a( x)
f (t)dt,
202
1
1 1 (2 2 1 1) 1
2
2
第20页/共62页
例10 计算
2
f (x)dx, 其中
0
2x,
f
(
x)
5,
0 x1 1 x 2
解
2
微积分ppt课件
和趋势。
02
微积分在机器学习中的应用
利用微积分优化算法，提高机器学习的效率和准确性。
03
微积分在金融工程中的应用
研究微积分在金融衍生品定价、风险管理等领域的应用，推动金融工程
的发展。
THANKS
感谢观看
用微积分解决经济学问题
总结词
微积分在经济学中用于研究经济现象的变化规律和优 化资源配置。
详细描述
在经济学中，微积分被用于分析边际成本、边际收益、 边际效用等问题，以及研究经济增长、通货膨胀、供需 关系等经济现象的变化规律。此外，微积分还可以用于 优化生产和分配资源，提高经济效率。
06
微积分的未来发展与展望
微积分与其他学科的交叉研究
微积分与物理学的交叉
01
研究微积分在解决物理问题中的应用，如流体力学、电磁学等
领域的数学模型。
微积分与经济学的交叉
02
探讨微积分在经济学理论和应用方面的作用，如最优控制理论
、动态规划等。
微积分与计算机科学的交叉
03
研究微积分在算法设计、数据科学、人工智能等领域的应用。
微积分的未来发展方向
上的整体性质，如求面积、体积等。
微积分提供了研究函数和解决实际问题的有效工具， 是高等数学的重要基础。
微积分的发展历史
17世纪，牛顿和莱布尼茨分别独立地创立了微 积分学，为微积分的发展奠定了基础。
19世纪，柯西、黎曼等数学家对微积分的概念和基 础进行了深入的研究和探讨，进一步完善了微积分理
论。
微积分的发展经历了漫长的过程，最早可以追 溯到古代数学家对面积、体积等问题的研究。
1 2
微积分的理论深化
进一步探索微积分的数学原理，发展新的理论和 方法。
托马斯微积分
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 9
Figure 2.40: Example 3 shows how to find equations for the tangent and normal to the curve at (2, 4).
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 15
Figure 2.51: The position of the curve y = (a h – 1) /h, a > 0, varies continuously with a.
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 8
Figure 2.39: The graph of y2 = x2 + sin xy in Example 2. The example shows how to find slopes on this implicitly defined curve.
批注本地保存成功开通会员云端永久保存去开通
Figure 2.40: Example 3 shows how to find equations for the tangent and normal to the curve at (2, 4).
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 15
Figure 2.51: The position of the curve y = (a h – 1) /h, a > 0, varies continuously with a.
Chapter 2 ET. Finney Weir Giordano, Thomas’ Calculus, Tenth Edition © 2001. Addison Wesley Longman All rights reserved. Chapter 2ET, Slide 8
Figure 2.39: The graph of y2 = x2 + sin xy in Example 2. The example shows how to find slopes on this implicitly defined curve.
批注本地保存成功开通会员云端永久保存去开通
微分方程差分方程(英文版)(托马斯微积分)
第10页
嘉兴学院
6 March 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第11页
(3) y f ( y, y) 型
特点 不显含自变量 x. 解法 令 y P( x), y P dp ,
dy 代入原方程, 得 P dp f ( y, P).
dy
４.线性微分方程解的结构
（1） 二阶齐次方程解的结构:
形如 y P( x) y Q( x) y 0
(1)
嘉兴学院
6 March 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第12页
定理 1 如果函数 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个
解,那末 y C1 y1 C2 y2 也是(1)的解.（C1, C2 是常 数）
定理 2：如果 y1( x)与 y2 ( x)是方程(1)的两个线性
嘉兴学院
6 March 2020
第十章 常微分方程与差分方程
第21页
定义2
含 有 未 知 函 数 两 个 或 两个 以 上 时 期 的 符 号 yx , yx1 , 的方程，称为差分方程.
形式：F ( x, yx , yx1, , yxn ) 0 或G( x, yx , yx1, , yxn ) 0 (n 1)
定理 3 设 yx* 是 n 阶常系数非齐次线性差分方程
yxn a1 yxn1 an1 yx1 an yx f x 2
的一个特解, Yx 是与(2)对应的齐次方程(1)的通
解,
那么
yx
Yx
y
* x
是
n
阶常系数非齐次线性差分
方程(2)的通解.
嘉兴学院
微积分教学资料——chapter8.1,8.2-文档资料
For example:
(1){1}: 1, 1 , 1 , 1 , n 23 n
(2){ (1)n1 1}: 1, 1 , 1 ,(1)n1 1 ,
n
23
n
(3){n (1)n }: 0, 3 , 2 , 5 n (1)n ,
n
234
n
(4){8}: 8,8,8,88
1 lim 0 n n 2
Theorem:
Example:
Find lim n3 n n n3 2n2 1
Solution:
1
lim
n3 n
1
lim
n2
1
n n3 2n2 1
n
1
2
1
n n3
The Sandwich Theorem for Sequences 'sænwidʒ]
n2
We should choose
N
1
2.Showing that this N works.
given 0, Let N 1
If
then
1 n2
0
n N,
Therefore , by the definition of a limit,
2
2
example
Find a formula for the general term an of the sequence assuming that the pattern of the first few terms continues.
1, 2 , 4 , 8 , 3 9 27
托马斯微积分 几何与多元微积分B上 - 副本
14.
2 2x 2x 2x csc , 2 csc ；13. e xy ( xy y 2 1) , e xy ( xy x 2 1) ； y y y y
； 15. 4
2 2z z x 2 x2 y ln y , x ( x 1 ) y , 2 2 x y 2z y x 1 ( x ln y 1) . xy
sin xy 11. lim ； x 0 x y 0
z x z 12.设 z ln tan ,则 ________; _________. x y y z z xy 13.设 z e ( x y ), 则 _______; ________. x y
x2 y2 z 14.曲线 4 ,在点(2,4,5)处的切线与正向 x 轴所成 y 4 的夹角是多少? 2 2 2 z z z x . 15.设 z y ,求 2 , 2 和 xy x y
参考答案
1. 0; 2. (ln 3)/2; 3. 3; 4. ½;5. 2;6. 1/24;
1).理解序列、子序列、有界序列的概念， 以及递归法定义序列。 2). 会判别序列的敛散性, 会求序列极限。
8.3 无穷级数 8.4 非负项级数 8.5交错级数、绝对收敛和条件收敛
1).理解常数项级数的概念、了解收敛级数的性质。 2). 对正项级数、交错级数会判断其敛散性。 3). 对任意项级数会判断绝对收敛与条件收敛。
7、函数 z
y 的定义域是______________. y 8、函数 z arcsin 的定义域是_______________. x y2 2x 9、函数 z 2 的间断点是________________. y 2x
x
2 2x 2x 2x csc , 2 csc ；13. e xy ( xy y 2 1) , e xy ( xy x 2 1) ； y y y y
； 15. 4
2 2z z x 2 x2 y ln y , x ( x 1 ) y , 2 2 x y 2z y x 1 ( x ln y 1) . xy
sin xy 11. lim ； x 0 x y 0
z x z 12.设 z ln tan ,则 ________; _________. x y y z z xy 13.设 z e ( x y ), 则 _______; ________. x y
x2 y2 z 14.曲线 4 ,在点(2,4,5)处的切线与正向 x 轴所成 y 4 的夹角是多少? 2 2 2 z z z x . 15.设 z y ,求 2 , 2 和 xy x y
参考答案
1. 0; 2. (ln 3)/2; 3. 3; 4. ½;5. 2;6. 1/24;
1).理解序列、子序列、有界序列的概念， 以及递归法定义序列。 2). 会判别序列的敛散性, 会求序列极限。
8.3 无穷级数 8.4 非负项级数 8.5交错级数、绝对收敛和条件收敛
1).理解常数项级数的概念、了解收敛级数的性质。 2). 对正项级数、交错级数会判断其敛散性。 3). 对任意项级数会判断绝对收敛与条件收敛。
7、函数 z
y 的定义域是______________. y 8、函数 z arcsin 的定义域是_______________. x y2 2x 9、函数 z 2 的间断点是________________. y 2x
x
微积分教学资料——chapter8.4-PPT精品文档38页
Or diverges:
(1).
1
n1 n(n1)
1
(2).
n1(n1)(n4)
Solution
(1).un
1 n(n1)
1 (n 1)2
1, n1
1
1
n1 n 1
diverges so n1 n(n 1)
diverges
1
(2).un
(n1)(n4)
is convergent.
Example:
Converges Diverges
Note:
Note:
The Comparison Test
proof
(i) let
n
sn ai
i
n
t n bi
i
t bn n 1
Since both series have positive terms,
8.4 Series of Nonnegative Terms
Series of Nonnegative Terms
an,an 0
S1S2 Sn
Corollary of Theorem 5
A seriesanwith nonnegative terms is convergent iff
lim n
n
an
Then
(a)the series converges if 1
(b)the series deverges if 1 or is infinite (c)the test is inconclusivtion:
and therefore converges by the Monotonic
《微积分英文版》课件
Properties: Continuity, differentiation, integrity, etc
Limits and continuity
Definition: A limit is the value that a function approaches as the input approaches a certain point Continuity means that the function doesn't have any breaks or jumps at any point
Course structure
03
The course is divided into several modules, each focusing on a specific topic in calculus Learners can complete the course at their own pace and in any order of the modules
Properties: One side limits, absolute continuity, uniform continuity, etc
Differentiation
Definition: The derivative of a function at a point is the slope of the tangent line to the graph of the function at that point It can be used to find the rate of change of a function
Integral definition: The integral of a function is a measure of the area under its curve It is calculated by finding the limit of the sum of areas of rectangles under the curve as the width of the rectangles approaches zero
Limits and continuity
Definition: A limit is the value that a function approaches as the input approaches a certain point Continuity means that the function doesn't have any breaks or jumps at any point
Course structure
03
The course is divided into several modules, each focusing on a specific topic in calculus Learners can complete the course at their own pace and in any order of the modules
Properties: One side limits, absolute continuity, uniform continuity, etc
Differentiation
Definition: The derivative of a function at a point is the slope of the tangent line to the graph of the function at that point It can be used to find the rate of change of a function
Integral definition: The integral of a function is a measure of the area under its curve It is calculated by finding the limit of the sum of areas of rectangles under the curve as the width of the rectangles approaches zero
《微积分发展简史》PPT课件
主要内容
微积分的符号
微分学中的符号“dx”、“dy”等，系 由莱布尼茨首先使用。其中的d 源自拉丁语 中“差”（Differentia ）的第一个字母。积 分符号“∫”亦由莱布尼茨所创，它是拉丁语 “总和”（Summa）的第一个字母s 的伸长 (和Σ有相同的意义)。
微积分发展史
微积分的萌芽
微积分的发展 微积分的建立 微积分的严格化
微积分的发展
4、费马求极大值和极小值方法 按费马的方法。设函数f(x)在点a处取极
值，费弓用“a+e”代替原来的未知量a，并使 f(a+e)与f(a)逼近,即：
f(a+e)～f(a) 这里所提到的“e”就是后来微积分学当
中的“ x ”
微积分的发展
5、巴罗的“微分三角形” 巴罗是牛顿的老师。是英国剑桥大学第一
出一条纵坐标为z的曲线，使其切线的斜率
为
．如果是在区间[a,b]上，由[0,b]
上的面积减去[0,a]上的面积,便得到
b
ydx zb za
a
微积分的严格化
自牛顿和莱布尼兹之后，微积分得到了 突飞猛进的发展，人们将微积分应用到自然 科学的各个方面，建立了不少以微积分方法 为主的分支学科，如常微分方程、偏微分方 程、积分方程、变分法等等形成了数学的三 大分支之一的“分析”。微积分应用于几何 开拓了微分几何，有了几何分析；应用于理 学上，就有了分析力学；于天文上就有了天 体力学等。但是微积分的基础是不牢固的， 尤其在适用无穷小概念上的随意与混乱，一 会儿说不是零，一会儿说是零，这引起了人 们对他们的理论的怀疑与批评。
主要内容
微积分的基本概念还包括函数、无穷 序列、无穷级数和连续等，运算方法主要 有符号运算技巧，该技巧与初等代数和数 学归纳法紧密相连。
微积分英文版课件
极限和连续性的关系：极限是连续 的必要条件，但不是充分条件
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
连续性：函数在某点或某区间上的 连续性
极限和连续性的应用：在微积分中， 极限和连续性是解决许多问题的基 础
导数：函数在 某一点的斜率， 表示函数在该
点的变化率
微分：函数在 某一点的增量， 表示函数在该
点的变化量
定义：含有两个未知函数 及其导数的方程
形式：ax^2+bx+c=0
解：通过求解特征方程得 到
应用：广泛应用于物理、 工程等领域
高阶微分方程：含有未知函数及其高阶导数的方程 线性微分方程组：含有未知函数及其导数的线性方程组 求解方法：包括积分法、幂级数法、拉普拉斯变换法等 应用领域：广泛应用于物理、化学、工程等领域
级数的形式
应用：在微积 分、数学分析、 物理等领域有
广泛应用
例子：泰勒级 数在求解微分 方程、积分方 程、傅里叶变 换等方面有重
要应用
感谢您的观看
汇报人：PPT
物理概念：力、速度、加速度、质量、能量等
几何概念：直线、平面、曲线、曲面、体积、面积等
物理和几何的结合：力与运动的关系、力与能量的关系、力与几何形状的关系等
微积分在物理和几何中的应用：微积分在力学、光学、电磁学等领域的应用，以及在几何学、 拓扑学等领域的应用。
微积分基本概念
极限：函数在某点或某区间上的极 限值
微积分在物理中 的应用：微积分 在物理中的应用 广泛，如力学、 电磁学、热力学 等
微积分在工程中 的应用：微积分 在工程中的应用 广泛，如建筑、 机械、电子等
微分方程
定义：含有一个未 知函数和一个未知 函数的导数的方程
微积分英文版课件
Applications of Derivatives
Local Extrema
Discover how derivatives help identify local maximums and minimums of functions.
Mean Value Theorem
Explore the mean value theorem and its applications in calculus.
Gradients and Directional Derivatives
2
derivatives and their applications in multivariable calculus.
Learn about gradients and
directional derivatives for
Derivatives
1
Definition of a Derivative
Uncover the definition and
Differentiability and Continuity
2
fundamental properties of derivatives.
Understand the relationship
Discover the conditions for a function to be continuous and its implications.
Explore the different types of discontinuities and their characteristics.
Conclusion
Review of Key Concepts
微积分学PPt标准课件03-第3讲数列极限
x1 x
2
48
1 2n
,
有界 (可取 M 1 ). 2
(3) { (1)n1}: 1, 1, 1, 1,, (1)n1,
x2n
–1
0
x 2 n 1
x
1
{(1)n1} 不单调, 但有界 (可取 M 1 ).
(3)
1
(1)n n
:
若 M 0, 使得 | xn | M , n Z 成立,
则称数列{xn} 有界.
M 这么办？
使若不有等一式个不n成0 立
若对 M 0, 至少存在一个n0, 使得 | xn0 | M 成立, 则称数列{xn} 是无界的.
例3 证明数列{2n} 是无界的.
证无界, 即要对 M 0, 找一个 n0 使 | xn0 | M . 令 | 2n | M , 则 n log2 M (不妨设 M 1), M 1, 当取 n0 log2 M 时, | 2n0 | | 2log2M | M .
y y f (x) M
yM
I (
O
) x
M y M
数列的有界性的定义
若 M 0, 使得 | xn | M , n N 成立, 则称数列{xn} 有界. 否则称{xn} 是无界的.
想想：
有界的数列在数轴上和在直角坐标系 中的图形会是什么样子？
| xn | < M*, n N xn U( 0, M* ), n N
( x1
1 10
x3
•••
(• •x• 2n•-•1• •
(••
•
*
x2n
•••)•••• •••
《微积分导学讲解》PPT课件
三、注意抓好学习的六个环节
微积分这门课是同学们进入大学后遇到的第一门课，也 是一门最重要的基础课。由于在教学方法上、在对学生能力的 培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学们在一开始会 感到很不适应。为了尽快适应这种环境，要注意抓好下述六个 学习环节。 （1）预习
为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲的内容进 行预习。预习的重点是阅读一下要讲的定义、定理和主要公式。 预习的主要目的是：第一，使听课时心里有个底，不至于被动 地跟着教师的“脚后跟”跑；第二，知道哪些地方是重点和自 己的难点疑点，从而在听课时能提高效率；第三，可以弥补由 于基础、理解力上的差异所造成的听课困难。形象地说，预习 就象要到某个名胜游览之前，先买个旅游图及其说明来看一看， 以便在旅游时更主动，收获更大。
7/20
第三阶段：变量数学时期
即“微积分”时期。这个时期以17世纪中叶笛卡 儿的解析几何的诞生为起点，止于19世纪中叶。这个 时期和前一时期的区别在于，前一时期是用静止的方 法研究客观世界的个别要素，而这一时期是运用运动 和变化的观点来探究事物变化和发展的规律。 在这个时期，变量与函数的概念进入了数学，随 后产生了微积分。这个时期虽然也出现了概率论和射 影几何等新的数学分支，但似乎都被微积分过分强烈 的光辉掩盖了它们的光彩。这个时期的基本成果是解 析几何、微积分、微分方程等，它们是现今高等院校 中的基础课程。
“初等”数学与“高等”数学之分完全是按照惯例形成的。 可以指出习惯上称为“初等数学”的这门中学课程所固有的两 个特征。 第一个特征在于其所研究的对象是不变的量（常量）或 孤立不变的规则几何图形；第二个特征表现在其研究方法上。 初等代数与初等几何是各自依照互不相关的独立路径构筑起来 的，使我们既不能把几何问题用代数术语陈述出来，也不能通 过计算用代数方法来解决几何问题。 16世纪，由于工业革命的直接推动，对于运动的研究成 了当时自然科学的中心问题，这些问题和以往的数学问题有着 原则性的区别。要解决它们 ，初等数学以不够用了，需要创 立全新的概念与方法，创立出研究现象中各个量之间的变化的 新数学。变量与函数的新概念应时而生，导致了初等数学阶段 向微积分阶段的过渡。
微积分课件
03
导数与微分
导数的定义与计算
总结词
导数是函数值随自变量改变的速度，是函数变化的局部线 性近似。
详细描述
导数是微积分中的基本概念之一，它描述了函数值随自变 量改变的变化率。对于连续函数，求导数就是求函数值随 自变量改变的速度。导数的计算包括求导公式和求导法则 。
总结词
高阶导数是函数值随自变量多次改变的速度，是高阶线性 近似。
06
微分方程与差分方程
微分方程的基本概念
定义
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。它可以描述物 理、化学、生物等自然现象的变化规律，也可以描述工程 设计中的各种问题。
分类
根据未知函数导数的阶数，微分方程可以分为一阶、二阶 、高阶等。根据是否含有参数，微分方程可以分为常系数 和变系数。
解题思路
解决微分方程一般采用“降阶法”，即把高阶微分方程转 化为低阶微分方程，或者把变系数微分方程转化为常系数 微分方程，然后分别求解。
了微积分，并发展出了不同的方法。
微积分的发展
03
微积分在后来的发展中，经历了许多数学家的努力，
逐渐完善和扩展。
微积分的重要性
科学计算
微积分是科学计算的基础，对于物理、工程、生物等领域都有重 要的应用。
理论意义
微积分是数学的一个重要分支，对于数学理论的发展也有重要的 意义。
实际应用
微积分的应用广泛，如经济学、金融学、计算机科学等。
常见的一阶微分方程及其解法
定义
只含有一个未知函数及其导 数的一个等式称为一阶微分 方程。常见的形式有 dy/dx = f(x,y) 或 d²y/dx² = f(x,y)
。
解法
常见的一阶微分方程有指数 函数、三角函数、幂函数等 形式的解。通过代入法或变 量替换法，将原方程转化为
《微积分》课件
微分学主要研究函数在某一点附近的 局部行为，包括切线、函数的变化率 等；积分学则研究函数在某个区间上 的整体行为，包括面积、体积等。
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
微积分的历史背景
01
微积分的发展可以追溯到古代数 学，如希腊数学家阿基米德在求 面积和体积时已经有了积分学的 萌芽。
02
微积分的真正奠基人是牛顿和莱 布尼茨，他们分别独立地发展出 了微积分的基本理论，为后来的 数学发展奠定了基础。
《微积分》PPT课件
contents
目录
• 微积分的定义与历史 • 微积分的基本概念 • 微积分的应用 • 微积分的解题技巧 • 微积分的重点与难点解析 • 微积分的习题与答案解析
01
微积分的定义与历史
微积分的定义
微积分是研究函数、极限和连续性的 数学分支，通过微分和积分的方法来 研究函数的性质和变化规律。
极限的运算性质与法则
1 2
极限的运算性质
极限的四则运算法则、复合函数的极限运算法则 等。
极限的法则
极限的保号性、极限的局部有界性等。
3
注意事项
理解极限的运算法则和性质是解决极限问题的关 键，需要注意运算过程中的等价变换和放缩技巧 。
导数的几何意义与运算性质
导数的几何意义
切线的斜率、函数图像的变化率等。
习题一：极限的运算
$lim_{x to infty} frac{1}{x}$
判断下列叙述是否正 确，并说明理由
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x}$
习题一：极限的运算
$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1$
$lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0$
$lim_{x to 0} (1 + x)^{1/x} = e$
托马斯微积分课件8.7 Taylor and Maclaurin Series
Analysis.
1 1 1 n 1 2 f x 2 x 2 3 x 2 n 1 x 2 2 2 2 2 12 1 x2 1 x 0, 4 1 x 2 2 x 2
n
1 n 1 2 n 1
1 1 2 x 1,1 , x , . 2 2
1 n 1 n n n 1 1 n f x x 2 x 1 2 x , x , . 3 n 0 2 2 n 0 3 n 0
目录
上页
下页
返回
结束
Solution. The Taylor series generated by f at 0 is
The Taylor polynomial is
目录
上页
下页
返回
结束
Two questions: 1. How accurately do a function’s Taylor polynomial approximate the function on a given interval?
Step 3. Draw a conclusion.
目录 上页 下页 返回 结束
Example 5.
Solution.
目录
上页
下页
返回
结束
Example 6.
Solution.
目录
上页
下页
返回
结束
Example 7.
Solution.
目录
上页
下页
返回
结束
Example 10.
Solution.
x
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Chapter 8 Infinite Series
8.1 Limits of Sequences of Numbers 8.2 Subsequences, Bounded Sequences, and… 8.3 Infinite Series 8.4 Series of Nonnegative Terms 8.5 Alternating Series, Absolute and Conditional Convergence 8.6 Power Series 8.7 Taylor and Maclaurin Series 8.8 Applications of Power Series
上页
下页
返回
结束
Example 2. A Geometric Series
Solution.
From the aspect of approximation.
目录 上页 下页 返回 结束
目录
上页
下页
返回
结束
1） Solution. We consider the series
Apply the ratio test,
2 n
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
Example 1. A Geometric Series
Analysis.
1) As a formula for the sum of the right series. 2) From the aspect of approximation.
目录
n 1
n 1
机动
目录 目录
上页 上页
下页 下页
返回 返回
结束 结束
例4. 求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,
xn 1 x n 1 S ( x) x n 0 n 1 n 0 n 1
1 1 1 n x dx dx x 0 n 0 x 01 x
Apply the ratio test,
If
the original series convergence.
目录
上页
下页
返回
结束
2） Solution. If If If the original series convergence. the original series divergence.
S ( x)
1,
x0
机动
目录 目录
上页 上页
下页 下页
返回 返回
结束 结束
例5.
的和函数 .
解: 由Example 3可知级数的收敛半径 R＝+∞. 设
则
故有 因此得
x n 1 S ( x) n 1 ( n 1) !
S ( x)
e x S ( x) 0
下页
返回
结束
Example 1. Applying Term by Term Differentiation
Solution.
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
Example 2. Applying Term by Term Integration
Solution.
Apply the ratio test,
unless x = 0.
目录
上页
下页
返回
结束Βιβλιοθήκη 目录上页下页返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
Example 1. Applying Term by Term Differentiation
Solution.
目录
上页
x
x
(0 x 1 及
机动 目录 目录 上页 上页
)
下页 下页 返回 返回 结束 结束
S ( x)
而
(0 x 1 及
ln (1 x) lim 1, x 0 x
)
因此由和函数的连续性得: 1 ln(1 x) , x
x [1, 0) (0 ,1)
目录 上页 下页 返回 结束
8.6
Power series (幂级数)
目录
上页
下页
返回
结束
Consider the Geometric series
x 1.
1 We obtain its sum function as 1 x.
That is to say,
1 1 x x x , x 1. 1 x
If
the original series convergence.
目录
上页
下页
返回
结束
1） Solution. If If the original series convergence. the original series divergence.
If
目录
上页
下页
返回
结束
2） Solution. We consider the series
目录
上页
下页
返回
结束
Example 2. Applying Term by Term Integration
Solution.
目录
上页
下页
返回
结束
例3.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
n x ( x ) x x n
x x 1 x
S ( x) C e x
x
由S (0) 1 得 S ( x) e , 故得
机动 目录 目录 上页 上页 下页 下页 返回 返回 结束 结束
Exercises
P668 4, 5, 12, 21, 38, 39, 42, 38, 39.
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
3） Solution. We consider the series
Apply the ratio test,
Therefore, for any x in real, the series convergence.
目录
上页
下页
返回
结束
4） Solution. We consider the series
8.1 Limits of Sequences of Numbers 8.2 Subsequences, Bounded Sequences, and… 8.3 Infinite Series 8.4 Series of Nonnegative Terms 8.5 Alternating Series, Absolute and Conditional Convergence 8.6 Power Series 8.7 Taylor and Maclaurin Series 8.8 Applications of Power Series
上页
下页
返回
结束
Example 2. A Geometric Series
Solution.
From the aspect of approximation.
目录 上页 下页 返回 结束
目录
上页
下页
返回
结束
1） Solution. We consider the series
Apply the ratio test,
2 n
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
Example 1. A Geometric Series
Analysis.
1) As a formula for the sum of the right series. 2) From the aspect of approximation.
目录
n 1
n 1
机动
目录 目录
上页 上页
下页 下页
返回 返回
结束 结束
例4. 求级数
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 ,
xn 1 x n 1 S ( x) x n 0 n 1 n 0 n 1
1 1 1 n x dx dx x 0 n 0 x 01 x
Apply the ratio test,
If
the original series convergence.
目录
上页
下页
返回
结束
2） Solution. If If If the original series convergence. the original series divergence.
S ( x)
1,
x0
机动
目录 目录
上页 上页
下页 下页
返回 返回
结束 结束
例5.
的和函数 .
解: 由Example 3可知级数的收敛半径 R＝+∞. 设
则
故有 因此得
x n 1 S ( x) n 1 ( n 1) !
S ( x)
e x S ( x) 0
下页
返回
结束
Example 1. Applying Term by Term Differentiation
Solution.
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
Example 2. Applying Term by Term Integration
Solution.
Apply the ratio test,
unless x = 0.
目录
上页
下页
返回
结束Βιβλιοθήκη 目录上页下页返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
Example 1. Applying Term by Term Differentiation
Solution.
目录
上页
x
x
(0 x 1 及
机动 目录 目录 上页 上页
)
下页 下页 返回 返回 结束 结束
S ( x)
而
(0 x 1 及
ln (1 x) lim 1, x 0 x
)
因此由和函数的连续性得: 1 ln(1 x) , x
x [1, 0) (0 ,1)
目录 上页 下页 返回 结束
8.6
Power series (幂级数)
目录
上页
下页
返回
结束
Consider the Geometric series
x 1.
1 We obtain its sum function as 1 x.
That is to say,
1 1 x x x , x 1. 1 x
If
the original series convergence.
目录
上页
下页
返回
结束
1） Solution. If If the original series convergence. the original series divergence.
If
目录
上页
下页
返回
结束
2） Solution. We consider the series
目录
上页
下页
返回
结束
Example 2. Applying Term by Term Integration
Solution.
目录
上页
下页
返回
结束
例3.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
n x ( x ) x x n
x x 1 x
S ( x) C e x
x
由S (0) 1 得 S ( x) e , 故得
机动 目录 目录 上页 上页 下页 下页 返回 返回 结束 结束
Exercises
P668 4, 5, 12, 21, 38, 39, 42, 38, 39.
目录
上页
下页
返回
结束
目录
上页
下页
返回
结束
3） Solution. We consider the series
Apply the ratio test,
Therefore, for any x in real, the series convergence.
目录
上页
下页
返回
结束
4） Solution. We consider the series