第三章电子光学中的场PPT课件

（3－20）
3.4.1 轴对称磁场的矢位
在无自由空间电荷区间，磁场无旋：
2 ( rA ) 1 ( rA ) 2 ( rA ) 0
r 2 r r
z 2
（3－21）
其中，矢量磁位 rAφ 的物理意义：
此矢量等同于静电场的电位标量，表示磁场中的流
函数。它是通过以r为半径，以z轴为圆心的且垂直
k d
（3－12）
称为曲线在点M的曲率半径。
3.2.3 等位面的曲率
当曲线方程为：y=f(x)时，
R (1 y2 )3/ 2 y
即是曲线的曲率半径。
（3－13）
3.2.3 等位面的曲率
要求得等位面上各点的弯曲程度，只需 求出通过该点的、任意两个彼此垂直方 向上的曲率。
1。子午曲率。RM 2。弧矢曲率。Rs
2。磁场恒为无源场，力函数的引入无条件。 磁标位的引入需要在自由空间电流条件下， 才满足无旋条件
3.5 轴对称磁场的数学表达式
1。磁标位的幂级数表达式（3－23） 2。磁矢量的幂级数表达式
A(r, z) a2k1(z)r 2k1 k 0
a2 k 1 (r ,
q2
(h1h3D2 )
q3
(h2h1D3 )]
数学基础
e1 h2 h3 A q1 h1 A1
e2
e1
h1h3 h2 h3
q2 q3
h2 A2 h3 A3
（3－3）
2
1 h1h2h3
q1
( h2h3 h1
) q1
q2
( h1h3 h2
) q2
q3
( h2h1 h3
q3
)
数学基础
圆柱坐标系下拉氏方程：
2
1 r
r
(r
)
r
1 r2
2 2
2
z 2
0
（3－4）
数学基础
拉梅系数联接了直角坐标系（x、y、z） 同其它正交曲线系（q1、q2、q3）。
hi2
x ( qi
)2
y ( qi
)2
z ( qi
)2
（3－2）
3.1.2 轴对称E的幂级数表达式
假设，场的作用空间无奇异点、无点电荷、无面电荷 和偶电层，则电位是解析函数，可以展成幂级数。
3.2.3 等位面的曲率
梅尼定理：曲面上任意曲线B的曲率半径等于 在曲面法线上所截取的对应法截线的曲率半 径在曲线B的主法线上的正射影。
Rs RM cos
(3-14)
2。等位面在轴上的任何方位的曲率相同，即
2V (z) Rm Rs V (z)
3.3 轴对称静电场力函数
电位函数描述等位面，通过力函数引入 力管概念。
Po 1 P1 z zo P2 (z zo )2 r 2 / 2
3.2.3 等位面的曲率
1。曲率和曲率半径：曲线上两点Q和M的切线正
向的夹角与弧长之比，当Q趋向与M时的极限，
即：
k lim
d
QM MQ ds
（3－11）
称为曲线在点M的曲率，也即是切线的方向角对 于弧长的转动率。
R 1 ds
Fz eEz eV ' (z)
（3－9）
3.2.2对称轴附近的等位面形状
旋转对称电场中，等位面方程：
(r, z) C
（3－10）
其中，C为常数，对应与不同取值的等位面。
• 子午面，子午线，等位线。
3.2.2对称轴附近的等位面形状
例1 在圆柱坐标系下，求对称轴上任一 点zo附近的等位线形状。
第三章 电子光学中的场
教师：王丽
本章组织
数理基础 3.1 轴对称静电场的数学表达式 3.2 轴对称静电场近轴区性质 3.3 轴对称静电场力函数（流函数）性质 3.4 轴对称磁场的矢位和标位 3.5 轴对称磁场的数学表达式 3.6 数学解析法求解静电场与静磁场。
数理基础
电子光学的首要问题：求解电场、磁场 分布。
几个假设：
1。静场 2。真空 3。不考虑空间电荷和电流的影响。 4。场结构简单：轴对称或者面对称
物理基础
麦克斯韦方程组：
E B t
H D J t
D
B 0
（3－1）
数学基础
矢量公式通用形式
e1
h1q1
e2
h2q2
e3
h3q3
1
•
D
h1h2h3
[ q1
(h2 h3 D1 )
谢尔茨公式：
(r, z)
(1)k
1 (k!)2
( r )2kV (2k)(z) 2
（3－6）
由上式可知：已知轴上电位分布可求空间电位分布
贝塞尔微分方程：
d 2
dz 2
1 z
d
dz
(1
z
2 2
)
0
（3－5）
贝塞尔函数
Jn（x）函数是震荡衰减函数，有无穷多个单重实零点，在x 轴上关于原点对称。
3.1.3 轴对称电场的积分表达式
利用分离变量法求解拉普拉斯方程
(r, z) 1
2
V (z ir sin a)da
2 0
(3－7)
3.1.4 轴对称E的调和级数展开
调和级数展开可以对某一点附近的电场 进行研究（例如鞍点或阴极前的场）
(r, z) Ck Pk (r, z z0 ) k 0
B 0
(3-17)
3.4.1 轴对称磁场的矢位
由于磁场的旋转对称性
Br
1 r
(rA ) z
Bz
1 r
( rA r
)
B 0
（3－18）
3.4.1 轴对称磁场的矢位
由磁场的旋转对称性：
Ar Az 0, A A ( r , z )
（3－19）
上式表明，矢位A仅有角向分量，即：
A A (r, z)
（3－8）
3.2 轴对称静电场近轴区性质
研究近轴区： 1。掌握近轴区性质对于定性分析电子在场内的运动是 有利的。 2。目前广泛采用的数值计算方法求解电场，更加需要 注意轴附近电位分布的特殊点，以及等位面的曲率和 形状。
3.2.1 近轴区电场对电子作用
受力分析：
Fr
eErຫໍສະໝຸດ Baidu
e V '' (z)r 2
力函数：等于通过z轴，面积为S的圆盘 内的电力线通量平均值：
1
2
s
E dS
（3－15）
3.4 轴对称磁场的矢位和标位
旋转对称静磁场是电子光学系统中广泛采用的磁场。由电磁场理 论知道 ，磁场是无源的，引入磁矢量位 A，使磁感应强度满足：
B A
(3-16)
Br Br ( r ,z ),Bz Bz ( r ,z )
于轴的圆盘内的磁通量的
1
2
倍：
rA
1
2
B d
s
S
（3－22）
3.4.2 轴对称磁场的标位
由磁场标位和电场标位函数相似性可得 磁标位的谢尔茨公式为：
(r, z)
(1)k
1 (k!)2
(
r 2
)
2
k
o
(
2k
)
(
z
)
（3－23）
注意：1。电场恒为无旋场，因此电位的引入无条件。 力函数的引入需要在无空间电荷条件下， 才满足无源条件