数学建模方法及其应用中的随机模型讲解部分随机模型详解演示文稿

n n 1
1 1 1 (1)n1 1
2! 3!
n!
当充分大,即人数较多时,至少有1人抽取到自己所带礼品
的概率为
n
P( ) 1 e1 0.63212
i 1
1、初等概率模型
问题2：传染病的传播模型
现在的问题：
对某种传染病而言，人群中有病人（带菌者）和 健康人（易感染者），任何两人之间的接触是随机 的，当健康人与病人接触时健康人是否被感染也是 随机的.
P( Ai Aj )
1 1 , (1 i n n 1
j
n) 。
类似地， P( Ai Aj Ak )
1 1 1 , (1 i n n 1 n 2
j
k
n) ，
P( A1 A2
11
An )
n
n 1
1
n
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
由概率的加法公式与乘法公式，则 n 个同学中至少
问题2：传染病的传播模型
(3)模型的检验
健康人群每天平均被感染的人数 与人群中每人 每天平均接触的人数 m 以及接触时被感染的概率 成
正比，并且随着人群总数 n 的增加而增加。
平均感染率 与病人数 i 的关系，当 i 很小或很大 （接近 n ）时， 值都很小，而当 i n 时， 值最大。
2
数学建模方法及其应用中的随机 模型讲解部分随机模型详解演示 文稿
（优选）数学建模方法及其应用 中的随机模型讲解部分随机模型
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
假设某班共有 n 个同学参加活动，每个同学都
随机地抽取一份礼品， Ai (i 1, 2, , n) 表示第 i 个
同学抽取到自己所带的礼品。
有一个抽取到自己所带礼品的概率为
n
n
P( Ai ) P(Ai ) P(Ai Aj )
P( Ai Aj Ak ) (1)n1 P( A1A2 An )
i 1
i 1
1i jn
1i jk n
C C C 1 1 2 1 1 3 1 1 1 (1)n1 1 1 1
n n n n n 1 n n n 1 n 2
因为需求量是随机的，致使报亭每天的销售收 入也是随机的。所以，不能以报亭每天的收入数作 为优化模型的目标函数，而应该是以报亭的长期（ 几个月，或一年）卖报的日平均收入最大为目标函 数。
由概率论的知识，这相当于报亭每天销售收入 的期望值，以下简称平均收入。
设每天报纸的需求量为 r 份的概率是 p(r) （r=0，1，2，… ），报亭每天购进 n 份报纸的 平均收入为 G(n)元。
这个结果合理吗？
为了直观，给出几组检验数据的计算结果。
问题2：传染病的传播模型
(3)模型的检验
不妨设 m 20, 0.1，对于不同的i ，计算 和 。
从计算结果可以看出：随着病人数 i 的增加，平均感
染率 随之增加，而相对误差 随之减少；
当病人的比例 i 一定，总人口数 n 变大时，相对误差 n
如果通过实际数据或经验掌握了这些随机规律， 那么怎样估计平均每天有多少健康人被感染，这种 估计的准确性有多大？
问题2：传染病的传播模型
(1)Biblioteka Baidu题的分析与假设
假设将人群分为病人和健康人两类，病人
数和健康人数分别记为 i 和 s ，总人数为 n ，短 时间内不变，即 i s n 。
人群中任何两人的接触是相互独立的，且
n 1
即得一名健康人与一名指定病人接触并被感染的概率为
p1
p
m
n 1
。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
为了求出一名健康人每天被感染为病人的
概率 p2 ，利用对立事件概率的计算方法:
p2
1 (1
p1)i
1
(1
m )i 。
n 1
健康人被感染为病人的人数也服从二项分布，
其平均值 sp2 (n i) p2 ，
问题3 报亭的进报策略模型
(3)模型的建立与求解
根据报亭每天的需求量（即销售量）的不确定性。
如果某天的需求量 r n ，则售出 r 份，退回 n r 份；
如果某天的需求量 r n ，则 n 份将全部售出。
考虑到该报亭需求量为 r 的概率是 p(r) ，平均收入
n
G(n) [(a b)r (b c)(n r)] p(r) r 0 (a b)np(r) r n1
n 个同学中至少有一人抽取到自己所带的礼品
为 A1 A2
n
An ，简记为 Ai 。 i 1
n
要解决的问题是求事件的概率 P( Ai ) 。 i 1
1、初等概率模型
问题1：有趣的蒙特莫特模型
事实上,第 i 个同学抽取到自己所带礼品的概率为
P(
Ai
)
1 n
,
(i
1,
2,
, n) 。
第 i 和第 j 个同学同时抽取到自己所带礼品的概率为
也随之减少。
问题3：售报厅的进报策略模型
(1)问题的提出
报纸每份购进价为 b 元，零售价为 a 元，退回价为 c 元，且 a b c 。
则报亭售出一份赚 a b 元，退回一份 赔 b c 元。报亭应该如何确定每天购进
报纸的数量，以获得最多的收入？
问题3 报亭的进报策略模型
(2) 问题的分析
具有相同概率 p ，每人每天平均与 m 人接触。
当一个健康人与病人接触时，这个健康人
被感染的概率为 。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
由于任何两人接触的概率为 p ，且两两接触的独立 性，一名健康人每天接触的人数服从二项分布，其平均值 为 m 。利用二项分布的基本性质，并注意到人群总数为 n ， 则有 m (n 1) p ，于是， p m 。
问题3 报亭的进报策略模型
(3)模型的建立与求解
问题为在已知 p(r) 和 a,b, c ，求进报数量 n 使 G(n) 有最大值。
通常需求量 r 的取值和购进量 n 都比较大，将 r
视为连续变量，这时概率 p(r) 转化为概率密度函数
f (r) ，则
G(n)
n
0
(a
b)r
(b
c)(n
r)f
(r)dr
均方差为 sp2 (1 p2 ) (n i) p2(1 p2) 。
问题2：传染病的传播模型
(2)模型的建立与求解
为了简便，将上式右端作 Taylor 展开，并取 前两项：
p2
1
(1
mi
n 1
) mi mi , (n
n 1 n
m, n
1)
最后得到： mi(n i) ，
n
1 p2 n mi 。 (n i) p2 mi(n i)