离散时间信号、系统和Z变换

两信号叠加和相乘波形图
sin(2 025 t) 1 0 -1 -6 1 0 -1 -6 2 0 -2 -6 1 0 -1 -6 -4 -2 0 t 2 4 6 -4 -2 sin(50 t) 0 sin(8 t) 2 t 4 6 -4
t) 2 -2 sin(50 t)+sin(8 0 t
判断两函数是否为序列？
值)等于信号的采样值，即：
强调：序列x(n)中n取整数，非整数时无定义，在数值上(序列
x(n)=xa(nT)， -∞＜n＜∞
序列的表示：用公式表示、用图形表示、用集合符号表示。 x(n) = cos(0.5n)
例如：公式法：
集合法： x(n)={…1.3, 2.5, 3.3, 1.9, 0,4. 1…}
x(n) = sin(ωn)
因为在数值上，序列值与信号采样值相等，因此得到数字频率ω与模拟角 频率Ω之间的关系为 表示凡是由模拟信号采样得到
ω ＝ΩT
ω ＝Ω/fs
的序列，模拟角频率Ω与序列
的数字域频率ω成线性关系
§1.2 时域离散信号
2、实指数序列 x(n)=anu(n)， a为实数
如果|a| < 1，x(n)的幅度随n的增大而减小，称x(n)为收敛序列； 如果|a| > 1，则称为发散序列。
x (n ) sin( (n 8) ) 4


x(n)是周期为8的周期序列。
§1.2 时域离散信号
一般正弦序列的周期性 设： x(n)=Asin(ω0n+φ) x(n+N) = Asin(ω0(n+N)+φ) = Asin(ω0n+ω0N+φ) 如果：x(n+N)= x(n)，要求:ω0N =2k N = (2π/ω0)k，k 的取值要保证N是最小的正整数。 当2/ω为整数时，令k=1，序列x(n)的周期为N= 2π/ω0 ； 当2/ω为有理数时，k总能取到一个整数，使周期N=2k/ω
δ(n)= u(n) - u(n-1)
u ( n) d ( n k )
k 0

d (n) d (n 1) d (n 2) ...
§1.2 时域离散信号
5、矩形序列RN(n)
1 0 n N 1 RN ( n ) 0 其它n
当N=4时，R4(n)的波形如图所示
第一章 离散时间信号、系统和Z变换 本章主要学习：
时域离散信号的表示方法和典型信号;
线性时不变系统的性质及其因果性和稳定性;
信号的频域表示;
信号的抽样和恢复； Z变换
信号分类
在连续时间范围内定义的信号，幅 值可为连续数值，也可为离散数值；
连续时间信号 时域离散信号 数字信号
f (t ) f (n)
设输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即： T[ax1(n)] =3ax1(n)+4;
N称为矩形序列的长度
R4 (n ) 1
矩形序列可用单位阶跃序列表示： RN(n)=u(n)-u(n-N)
n 0 1 2 3
§1.2 时域离散信号
6、周期序列 如果对所有n存在一个最小的正整数N，使下面等式成立： x(n)=x(n+N), -∞<n<∞ 则称序列x(n)为周期性序列。
周期为N
例：
x ( n ) sin( n ) 4
冲激信号的强度压缩到原信号的1/2。
第二章信号分析和处理基础
设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序 列用 y(n) 表示。设运算关系用 T ［· ］ 表示，输出与输入之间关 系用下式表示：
y(n)=T［x(n)］
其框图如图所示:
在时域离散系统中，最重要的是线性时不变系统，因为很多物 理过程可用这类系统表征。
为一正整数；
当2/ω为无理数时，k不管取什么整数，都不能使N=2k/ω 为一正整数； 则x(n)是非周期序列。
§1.2 时域离散信号
[例]：求下列两序列的周期N=？
(1) x(n)=Acos(n/4 + /7); (2) x(n)=Asin(n/5) + Bcos(n/3); 解: (1)由于w=/4, 2/w=2〓4/=8为整数，则周期 N=8
-4
-2
sin(20 4 t) t
2
4
6
4
6
2.信号的反褶
即将原信号沿纵轴翻转180度。
y(t ) f (t )
f (t )
2 1
y(t )
2 1
反褶 2 -2 0
-1 0
1
没有可实现此功能的实际器件。数字信号处理中可 以实现此概念，例如堆栈中的“后进先出”。
3.信号的时移
y(t ) f (t t0 )
其波形如图所示。
§1.2 时域离散信号
复指数序列
x(n) = Aesn=Ae(σ+jω0)n x(n)=e jω0n
ω0为数字域频率
式中：1)若A=1，σ=0，用极坐标和实部虚部表示如下式： x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
2）若A=1， σ>0，x(n)为幅值递增的正弦信号； 若A=1， σ<0，x(n)为幅值递减的正弦信号； 由于n取整数，下面等式成立：
线性系统 满足叠加原理的系统称为线性系统。 设:
y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］
线性系统的可加性； 线性系统的比 例性或齐次性
那么线性系统一定满足下面两个公式：
T［x1(n)+x2(n)］= y1(n)+y2(n) T［a x1(n)］= a y1(n)
将以上两个公式结合起来，可表示成：
两信号相加与相乘
1.信号的代数运算
1) 信号的加减运算：f (t ) f1 (t ) f2 (t )
注意要在对应的时间上进行加减运算。
1 2 t1 0 t2 相加 t1 1 0 -1 t2
1
0 -1
2) 信号的相乘运算： f (t ) f1 (t ) f 2 (t ) 注意要在对应的时间上进行相乘运算。
(2)由于w1=/5, w2=/3,
N1=2/w1=10, N2=2/w2=6
序 列 x(n) 的 周 期 N 为 N1 和 N2 的 最 小 公 倍 数 ， 可 得
N=[10,6]=30
§1.2 时域离散信号
8、用单位采样序列来表示任意序列 任意序列x(n)都可以表示成单位采样序列的移位加权和。 即：
§1.2 时域离散信号
1.2.1 常用的典型序列 1、正弦序列 x(n) = sin(ωn) 如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到，那么： xa(t)=sin(Ωt) xa(t)|t=nT = sin(ΩnT)
Ω为角频率， 单位是弧度/秒。 ω称为正弦序列的数字域频率，单位是弧 度，表示序列变化的速率，或表示相邻
y(n) =T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n)
a和b均是常数
如果系统对输入信号的运算关系 T ［ · ］ 在整个运算过程中不
随时间变化; 或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关。
或者说若系统的输出随输入延迟而延迟同样单位；
则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下： y(n) = T[x(n)] y(n-n0) = T[x(n-n0)]
其中 t 0 为实常数，即将原信号沿横轴(时间轴)向左或 向右做整体移动。
2 1
2 1
2 1
-1 0
2
-1 0
2
t0 0 向右移位
-2 -1 0 1 t0 0 向左移位
4.信号的尺度变换
y(t ) f (at )
其中a 为实常数，即将原信号在时间轴上进行压缩或扩展。
2 1
2 1
2 1
-1 0
列就是时域离散信号。 实际信号处理中，这些数字序列值按顺序放在存贮器中，此时 nT 代表
的是前后顺序。为简化，采样间隔T可以不写，形成x(n)信号，x(n)可以
称为序列。 对于具体信号，x(n)也代表第n个序列值。
§1.2 时域离散信号
例：x(n)= 0.5 n=0和负整数。 y(n)= 0 1 n取正整数。 序列 2 n= (，0) n= 1, 1.5, 2, , … 不是序列
δ (n) 1 δ (t)
－1 0 (a )
1
2
3
n
0 (b )
t
单位抽样序列
单位冲激信号
§1.2 时域离散信号
4、单位阶跃序列u(n)
1 n 0 公式表示： u( n ) 0 n 0
u (n )
图形表示： 1
… 0 1 2 3
类似于模拟信号中 的单位阶跃函数u(t)
n
δ(n)与u(n)之间的关系：
实际应用较多的是衰减指数信号：
1
0 f t t e
t 0 t 0
1 0.368
0
f t
1 f ( ) 0.368 e

t
§1.2 时域离散信号
3、单位抽样序列d(n)：也称为单位脉冲序列
1 n 0 公式表示：d ( n ) 0 n 0
1
t1 1 0 0 t2 1 0 -1 t2
相乘
t1
-1
例1
x1 (t ) sin(0.5t ); x2 (t ) sin(8t )
求 1、y1 x1 x2 sin(0.5 t ) sin(8 t ) 2、y2 x1 ·x2 sin(0.5 t ) · sin(8 t )
f t f at b f at b a 设a 0
先展缩：a>1，压缩a倍； a<1，扩展1/a倍
后平移：+，左移b/a单位；－，右移b/a单位 加上倒置：f at b f at b a 注意！ 一切变换都是相对t 而言 最好用先翻缩后平移的顺序
2
原始信号
-2 -1 0 2 4 原信号被扩展 |a|>1原信号被压缩 0<|a|<1
-1 0
1
2
5 .综合变换
以变量 at b 代替 f (t )中的独立变量 t ，可 得一新的信号函数 f (at b) 。当 a 0 时，它是 沿时间轴展缩、平移后的信号波形；当 a 0 时，它是沿时间轴展缩平移和反转后的信号 波形，下面举例说明其变换过程。
例2 已知f(t)的波形如图所示，试画出f(-3t-2)的波形
1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4 1.5 1 0.5 0 -4
f(t)
-3
-2
-1
0 f(t-2)
1
2
3
4
-3Βιβλιοθήκη Baidu
-2
-1
0
1 f(3t-2)
2
3
4
-3
-2
-1
0
1 f(-3t-2)
2
时间为离散变量的信号，幅值仍然 是连续变化的； 时间离散而幅值量化的信号；
f (n)
t
n
n
o
o
o
§1.2 时域离散信号——序列
f (n)
对连续时间信号xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为T，得到
xa ( t ) | t nT xa ( nT ), n
说明：
o
n取整数
n
xa(nT)是一个有序的数字序列：… xa(-T)、 xa(0)、 xa(T)…，该数字序
3
4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
例3 已知f(5-t)的波形，试画出f(2t+4)的波形。
f(5-t) f(5+t) (2)
原始
(2)
2
1
反褶
1 2 3 t -2 -1
2 1 0
-1 0
1
t
平移
0
f(t+2) 2 1 1 2 3
展缩
(2)
4t -2 -1
f(2(t+2 2 )) 1 0 1 2
(1)
t
注：
e j(ω +2πM)n= e jω n,
0 0
M=0,〒1,〒2…
复指数序列具有以2π为周期的周期性。
指数信号
表达式：
f (t ) K e
直流(常数) 指数衰减
指数增长
t
f (t )
0
K
a0 a0 a0
0 0
O
t
重要特性：其对时间的微分和积分仍然是指数形式。
通常把 称为指数信号的时间常数，记作，代表 信号衰减速度，具有时间的量纲。
x ( n)
m
x(m )d (n m )

x(m) d(n-m) =
x(n), m=n 0 , 其它m
[例]： 用单位采样序列d(n)表示x(n)。 x(n) a -3 0
b
3
c
5 n
解：x(n)=ad(n+3)+bd(n-3)+c d(n-5)
信号的运算
信号的移位、反褶与尺度 微分与积分
时不变性
e (t )
e (t t 0 )
H
r (t )
r (t t0 )
e(t )
r (t )
O
T
e(t t0 )
t
O
r (t t0 )
t
O t0
t0 T
t
O
t0
t
1.3 时域离散系统
【例】判断系统 y(n)=3x(n)+4 的线性和时变特性？ 解：1. 判断线性特性
根据定义有：