袁聪原创两边对应成比例两三角形相似

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证明三角形相似的判定方法

证明三角形相似的判定方法
证明三角形相似的判定方法如下：
1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形
与原三角形相似。

2.三边成比例的两个三角形相似。

3.两边成
比例且夹角相等的两个三角形相似。

4.两角分别相等的两个三
角形相似。

5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。

相似三角形判定定理
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。

）（AA）
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应
的夹角相等，那么这两个三角形相似。

（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。

）（SAS）
判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两
个三角形相似。

（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。

）（SSS）
判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。

（简
叙为：三边对应平行，两个三角形相似。

）
判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一
个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直
角三角形相似。

（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。

）（HL）
判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。

相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。

三角形的相似判定

三角形的相似判定相似三角形是初中数学中的基本概念之一，掌握相似三角形的判定方法对于解决与三角形相关的各种问题具有重要意义。

本文将介绍三角形相似的判定方法，并给出相应的几何证明。

三角形相似的判定方法有三种，它们分别是AAA判定法、AA判定法和SAS判定法。

AAA判定法：如果两个三角形的三个内角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

AA判定法：如果两个三角形的两个角分别相等，并且这两个角所对的边成比例，那么这两个三角形是相似的。

SAS判定法：如果两个三角形的一个角相等，并且这个角的两边与另一个三角形的两边成比例，那么这两个三角形是相似的。

现在，我们来依次证明这三种判定法。

首先，证明AAA判定法。

假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，我们需要证明这两个三角形是相似的。

我们可以通过旋转、翻转或平移来使两个三角形重合，使得∠A与∠D对应，∠B与∠E对应，∠C与∠F对应。

这样，由于∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，三角形ABC与DEF的对应边也重合，因此三角形ABC与DEF是完全重合的，即相似。

接下来，证明AA判定法。

假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，∠B = ∠E，并且AB/DE = AC/DF，我们需要证明这两个三角形是相似的。

同样地，我们可以通过旋转、翻转或平移来使两个三角形重合，使得∠A与∠D对应，∠B与∠E对应。

根据已知条件，我们可以得出AB/DE = AC/DF，即AB/DE = BC/EF。

由于∠A = ∠D，∠B = ∠E，根据正弦定理可知AB/DE = BC/EF，因此，三角形ABC与DEF的对应边成比例，即相似。

最后，证明SAS判定法。

假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠A = ∠D，AB/DE = AC/DF，我们需要证明这两个三角形是相似的。

同样地，我们可以通过旋转、翻转或平移来使两个三角形重合，使得∠A与∠D对应。

两边对应成比例且夹角相等两三角形相似

判定方法4：如果两个三角形的两组对应边的比相
等，并且它们的夹角相等,那么这两个三角形相似。
可以简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两
三角形相似。 A
A/
B
C
在△ABC和△A/B/C/中, B/
C/
AB AC k, ∠A=∠A/
A' B' A'C'
∴△ABC∽△A/B/C/
对于△ABC和△A/B/C/,如果
∴△AEB∽△FEC
1、如图，AB•AE=AD•AC，且∠1=∠2，求证：
△ABC∽△AED．
A
1
D
2
B
EC
2、已知：如图，P为△ABC中线AD上的一点，且 BD2 PD AD
求证：△ADC∽△CDP．
A
PBLeabharlann DC3、在正方形ABCD中，E为AD上的中点, F是AB的四分一等分点，连结EF、EC；△AEF与△DCE是否相似?说明理由.
AB AC , A' B' A'C'
∠B=∠B/,这两个三角形一定相似吗?试着画画看?
A
A/
B
C
B/
D
C/
这两个三角形不一定相似
A
4
3.2
50° 3.2
BC
G
D
2
50°
1.6
E
F
例1 根据下列条件,判断△ABC和△A/B/C/是否相似,并说明理由: ∠A=120°,AB=7cm,AC=14cm,∠A/=120°,A/B/=3cm,A/C/=6cm,
探究
边S 角A 边S
B
已知： AB AC k, A' B' A'C' ∠A =∠A/ .

九年级数学上册第四章图形的相似 4 探索三角形相似的条件教学课件上册数学课件

12/8/2021
黄金螺线
(luó xiàn)
第十八页，共二十五页。
12/8/2021
蜗牛(wōniú)的外壳呈黄金螺线
形。
第十九页，共二十五页。
树叶的梗和蝴蝶、老虎的身形呈黄金(huánɡ jīn jīn)比例
12/8/2021
第二十页，共二十五页。
在现在生活中，黄金比例也一直(yīzhí)被使用着，例如国旗、明信片、报纸、邮票等等，其长宽之比均接近黃金比，据统计黄金比也是被使用最多的比例.
•如果△ ABC与△ DEF有一个角相等,且两边对应成比例,那么它们
一定相似吗? •(2).如果这个角是这两边中一条
边的对角,那么它们一定相似吗? •小明和小颖分别画出了下面的
△ ABC与△ DEF:
12/8/20Байду номын сангаас1
C
4cm 500 A
F 3.2cm
2cm
1.6cm
B
500
D
E
•通过上面的活动(huó dòng),你猜出了什么结论?
是很高,务必引起重视.
第七页，共二十五页。
•图中△ABC∽△A′B′C′,你还能
用其它(qítā)方法来说明其正确
A
B
性吗?
C
解法2: 如图,设小正方形的
A′
B′
边长为1,由勾股定理可得:
C′
AB 8,AC 2 2; AB4,AC 2;
AB AC 2. AB 12/8/2021 AC
且∠A=∠A′=450, ∴△ABC∽△A′B′C′ (两边(liǎngbiān)对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.)
12/8/2021
第五页，共二十五页。

《相似图形》

A2 A A1 C B C
C1 B2 A B1 B
4、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=12,点P从A点出、如图，中 ° ，点从点出发向B以的速度移动，点出发向C点以发向以1m/s的速度移动，点Q从B点出发向点以的速度移动从点出发向点以2m/s的速度移动的速度移动分别从A、两地同时出发几秒后△ 两地同时出发，，如果P、Q分别从、B两地同时出发，几秒后△ PBQ 如果、分别从与原三角形相似？与原三角形相似？
B
AB AC = AC AP
2. 如图，AE2＝AD·AB，且∠ABE＝∠BCE，试说明△EBC∽△DEB
A
解：∵ AE2＝AD·AB，得AE∶AD＝AB∶AE ， ∶ ＝ ∶
D E
∵∠A＝∠A ∵∠ ＝
C
∴△AED∽△ABE ∽
∴∠AED＝∠ABE∵∠ ＝ ∵∠ABE＝∠BCE ∴∠ ∵∠ ＝
D E A C
F
B
本节课主要是复习相似三角形的性质判定及其运用。判定及其运用。在解题中要熟悉基本图形。并能从条件和结论两方面同时考虑问题。灵活应用。灵活应用。
C

1.如图⊿ABC中，AB=8cm， BC=16cm，点P从A点开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动。若点P、Q从A、B处同时出发，经过几秒钟后，⊿PBQ与 B ⊿ABC相似？
Q P A C
2.如图，在⊿ABD和⊿ABC中， ∠C=∠D=90°，BD与AC交于点E，EF⊥AB与F，求证： AC·AE+BD·BE=AB2 .
B
∴ ∠AED＝∠BCE ＝ ∴DE∥BC ∥ ∴∠DEB＝∠EBC ∵∠ ＝ ∵∠ABE＝∠BCE ∴∠ ＝ ∴ △EBC∽△DEB ∽

两个三角形相似的判定(教师版)

第21课两个三角形相似的判定学习目标1.掌握三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.掌握三角形相似的3个判定定理3.会运用上述定理判定两个三角形相似.知识点01 相似三角形的判定1.三角形相似判定的预备定理:平行于三角形一-边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.2.三角形相似的判定定理:（1）有两个角对应相等的两个三角形相似，并能运用这个定理证明两个三角形相似.（2）三边对应成比例的两个三角形相似.（3）两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似.考点01 相似三角形的判定【典例1】如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 为BC 边上的中线，DE ⊥AB 于点E ．（1）求证：△BDE ∽△CAD ；（2）若AB ＝26，BC ＝20，求线段DE 的长．【思路点拨】（1）由等腰三角形的性质可得∠B ＝∠C ，∠DEB ＝∠ADC ＝90°，即可解决问题；能力拓展（2）利用面积法：•AD•BD＝•AB•DE求解即可．【解析】（1）证明：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠B＝∠C，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC，∴△BDE∽△CAD；（2）解：∵AB＝AC＝26，CB＝20，∴AD⊥BC，BD＝BC＝10，∴AD＝＝24，∵•AD•BD＝•AB•DE，∴DE＝＝．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用面积法确定线段的长．【即学即练1】如图，M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于点F，ME交BC于点G．（1）求证：△AMF∽△BGM；（2）连接FG，若AB＝4，AF＝3，求FG的长；【思路点拨】（1）利用三角形外角可得∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，进而证得△AMF∽△BGM；（2）在（1）的基础上，再由∠A＝∠B＝45°，可得出△ABC是等腰直角三角形，根据M为线段AB的中点，可得AM＝BM＝AB＝×4＝2，运用相似三角形性质和勾股定理即可求得答案；【解析】（1）证明∵∠AFM＝∠DME+∠E（外角定理），∠DME＝∠A＝∠B（已知），∴∠AFM＝∠DME+∠E＝∠A+∠E＝∠BMG，∠A＝∠B，∴△AMF ∽△BGM ；（2）解：∵∠DME ＝∠A ＝∠B ＝45°，∴AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，∴AC ⊥BC ，∵M 为线段AB 的中点，∴AM ＝BM ＝AB ＝×4＝2，∵△AMF ∽△BGM ，∴＝，∴BG ＝＝＝，又∵AC ＝BC ＝4，∴CG ＝BC ﹣BG ＝4﹣＝，CF ＝AC ﹣AF ＝4﹣3＝1，在Rt △FCG 中，由勾股定理得：FG ＝＝＝；【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、解直角三角形、等腰三角形的性质，解题的关键找到相似的三角形，根据其性质求出BG 、FG 的长度以及根据面积法求出MH 的长度．题组A 基础过关练1.如图，△ABC 中，∠A ＝76°，AB ＝8，AC ＝6．将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A ．B ．C ．D ．【思路点拨】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解析】解：A、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，分层提分故本选项不符合题意；B、阴影三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；D、阴影三角形中，∠A的两边分别为6﹣2＝4，8﹣5＝3，则两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．2.如图，每个小方格的边长都是1，则下列图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．【思路点拨】根据勾股定理求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．【解析】解：由勾股定理得：AB＝＝，BC＝1，AC＝＝，∴BC：AC：AB＝1：：，A、三边之比为1：5：2，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意；B、三边之比：：：3，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意；C、三边之比为：2：＝1：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似，符合题意；D、三边之比为2：：，图中的三角形（阴影部分）与△ABC不相似，不符合题意．故选：C．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．3.如图，在△ABC中，点D在AC边上，连接BD，若∠ABC＝∠ADB，AD＝2，AC＝6，则AB的长为（）A．3B．4C．D．2【思路点拨】由∠ABC＝∠ADB，∠A＝∠A，根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADB，则＝，其中AD＝2，AC＝6，即可求得AB＝2．【解析】解：∵∠ABC＝∠ADB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，∴＝，∴AB2＝AD•AC，∵AD＝2，AC＝6，∴AB2＝2×6＝12，∴AB＝2，∴AB的长为2，故选：D．【点睛】此题重点考查相似三角形的判定与性质，正确地找到相似三角形的对应边和对应角并且证明△ABC∽△ADB是解题的关键．4. 如图所示，添加一个条件　∠ABD＝∠ACB（∠ADB＝∠ABC或）　，使△ADB∽△ABC．【思路点拨】根据相似三角形的判定方法解决问题即可．【解析】解：在△ADB和△ABC中，∵∠A＝∠A，∴只要满足∠ABD＝∠ACB（∠ADB＝∠ABC或），△ADB∽△ABC．故答案为：∠ABD＝∠ACB（∠ADB＝∠ABC或）．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．5.如图，在△ABC和△ADE中，，∠CAE＝40°，则∠BAD的度数为　40°　．【思路点拨】由在△ABC和△ADE中，＝＝，可证得△ABC∽△ADE，然后由相似三角形的对应角相等，求得答案．【解析】解：∵＝＝，∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∵∠CAE＝40°，∴∠BAD＝40°．故答案为：40°．【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质．能够正确证得△ABC∽△ADE是解题的关键．6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB上的一点，CD⊥AB于点D，AD＝3，BD＝5，则边AC的长为　2　．【思路点拨】证明△ACD∽△ABC，根据相似三角形的性质列出比例式，把已知数据代入计算即可．【解析】解：∵∠CAD＝∠BAC，∠ADC＝∠ACB＝90°，∴△ACD∽△ABC，∴＝，∴AC2＝AD•AB＝3×8＝24，解得：AC＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7.如图，在△ABC中，点D在AB边上，∠B＝∠ACD，且∠A＝90°．（1）求证：△ABC∽△ACD；（2）若AD＝2，AB＝6．求CD的长．【思路点拨】（1）根据相似三角形的判定即可证得结论；（2）根据相似三角形的性质求出AC，在Rt△ADC中，根据勾股定理即可求出CD．【解析】（1）证明：∵∠A＝∠A，∠B＝∠ACD，∴△ABC∽△ACD；（2）解：∵△ABC∽△ACD，∴＝＝，∴AC2＝AD•AB＝2×6＝12，∴AC＝2，在Rt△ADC中，CD＝＝＝4．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．8.如图，AB为⊙O的直径，D为弧BC中点，DE⊥AB于点E，BC交DE于点F，交AD于点G．（1）求证：GF＝DF；（2）求证：BE•AB＝AD•DG．【思路点拨】（1））由圆周角定理得出∠DAB＝∠CBD，∠ADB＝90°，得出∠CBD+∠DGF＝90°，由DE⊥AB，得出∠DAB+∠GDF＝90°，进而得出∠DGF＝∠GDF，即可证明GF＝DF；（2）证明△ADB∽△DEB，得出，得出BD2＝BE•AB，证明△GDB∽△BDA，得出，得出BD2＝AD•GD，即可证明BE•AB＝AD•DG．【解析】证明：（1）∵D为弧BC中点，∴，∴∠DAB＝∠CBD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠CBD+∠DGF＝90°，∵DE⊥AB，∴∠DAB+∠GDF＝90°，∴∠DGF＝∠GDF，∴GF＝DF；（2）∵∠ADB＝90°，DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADB＝90°，∵∠DBE＝∠ABD，∴△ADB∽△DEB，∴，∴BD2＝BE•AB，∵∠DAB＝∠CBD，∠GDB＝∠BDA，∴△GDB∽△BDA，∴，∴BD2＝AD•GD，∴BE•AB＝AD•DG．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，圆周角定理，掌握圆周角定理，等腰三角形的判定，相似三角形的判断与性质是解决问题的关键题组B 能力提升练9.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，则在下列五个条件中：①∠AED＝∠B；②DE∥BC；③＝；④AD•BC＝DE•AC；⑤∠ADE＝∠C，能满足△ADE∽△ACB的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可．【解析】解：①∠B＝∠AED，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故①符合题意；②DE∥BC，则△ADE∽△ABC，故②不符合题意，③，且夹角∠A＝∠A，能确定△ADE∽△ACB，故③符合题意；④由AD•BC＝DE•AC可得，此时不确定∠ADE＝∠ACB，故不能确定△ADE∽△ACB；故④不符合题意，⑤∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，则可判断△ADE∽△ACB，故⑤符合题意；故选：C．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．10.如图，在正方形网格中有5个格点三角形，分别是：①△ABC，②△ACD，③△ADE，④△AEF，⑤△AGH，其中与⑤相似的三角形是（）A．①③B．①④C．②④D．①③④【思路点拨】根据相似三角形的旋转可知，相似三角形的对应角相等即可判断．【解析】解：由图形知，⑤中∠AHG＝135°，而①②③④中，只有①∠BAC＝135°和③∠ADE＝135°，再根据两边成比例可判断，与⑤相似的三角形是①③，故选：A．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握两个相似三角形的判定定理是解题的关键．11.如图，在△ABC中，AD⊥BC，点D为垂足，为了证明∠BAC＝90°，以下添加的等积式中，正确的有（）①AD2＝BD•CD ②AB•CD＝AC•AD ③AC2＝BC•CD ④AB2＝AC•BDA．1个B．2个C．3个D．4个【思路点拨】①由题意得出，证明△ADC∽△BDA，可得出∠DAC＝∠ABD，则可证出结论；②能证明△ABC与△ADC相似，得出不符合题意；证出△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质得出∠ADC ＝∠BAC＝90°，可得出③符合题意；根据AB2＝AC•BD不能证明△ABC与△ABD相似，则可得出结论．【解析】解：①∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠ADB＝90°，∵AD2＝BD•CD，∴，∴△ADC∽△BDA，∴∠DAC＝∠ABD，∴∠ABD+∠BAD＝∠DAC+∠BAD＝90°，即∠BAC＝90°，故①符合题意；②∵AB•CD＝AC•AD，∴，∵∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△ABD∽△CAD，∴∠ABD＝∠CAD，∴∠BAD+∠CAD＝90°，∴∠BAC＝90°，故②符合题意；③∵AC2＝BC•CD，∴，∵∠ACD＝∠BCA，∴△ACD∽△BCA，∴∠ADC＝∠BAC＝90°，故③符合题意；④由AB2＝AC•BD不能证明△ABC与△ABD相似，故④不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．12.如图，已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的点，AB＝AC，BD＝2，CD＝3，CE＝4，AE＝，∠FDE＝∠B，则AF的长为（）A．3.5B．4C．4.5D．5【思路点拨】由AE和CE的长可求出AC的长，因为△ABC是等腰三角形，所以AB＝AC，若要求AF 的长，可求出BF的长即可．而通过证明△DBF∽△DCE即可求出BF的长，可求出答案．【解析】解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BFD＝180°﹣∠B﹣∠FDB，∠EDC＝180°﹣∠FDE﹣∠FDB，又∵∠FDE＝∠B，∴∠BFD＝∠EDC，∴△DBF∽△DCE，∴BD：CE＝BF：CD，∵BD＝2，CD＝3，CE＝4，∴2：4＝BF：3，∴BF＝1.5，∵AC＝AE+CE＝+4＝5.5，∴AB＝5.5，∴AF＝AB﹣BF＝5.5﹣1.5＝4，故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形内角和定理，解题的关键是求AF的长，转化为求BF的长13.如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE，当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中不全等的相似三角形共有　3　对．【思路点拨】根据旋转的性质得到△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，利用三角形内角和得到∠3＝∠4，则可判断△AFE∽△DFC；根据相似的性质得AF：DF＝EF：FC，而∠AFD＝∠EFC，则可判断△AFD∽△EFC；由于∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，所以∠3＝∠5，于是可判断△ABD∽△AEC．【解析】解：∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），∴△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，∴∠3＝∠4，∴△AFE∽△DFC；∴AF：DF＝EF：FC，而∠AFD＝∠EFC，∴△AFD∽△EFC；∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合），∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，∴∠3＝∠5，∴△ABD∽△AEC．∴图中不全等的相似三角形共有3对，故答案为：3．【点睛】本题考查了相似三角形的判掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．14.如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为　1或3或8．　．【思路点拨】分两种情形构建方程求解即可．【解析】解：设AP＝x．∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，①当时，，解得x＝3．②当时，，解得x＝1或8，∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，故答案为1或3或8．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．15.如图，半圆O以AB为直径，四边形ABCD是半圆O的内接四边形，延长BC，AD交于点E，DC＝BC＝4，AD＝14，求AB的长　16　．【思路点拨】连接AC，由DC＝BC，得出∠EAC＝∠BAC，根据圆周角定理得出∠ACE＝∠ACB＝90°，再利用ASA证明△ACE≌△ACB，得出BC＝EC，利用两个角相等证明△ECD∽△EAB，根据相似三角形的性质计算即可求解．【解析】解：连接AC，∵DC＝BC，∴，∴∠EAC＝∠BAC，∵AB是直径，∴∠ACE＝∠ACB＝90°，在△ACE与△ACB中，，∴△ACE≌△ACB（ASA），∴BC＝EC，AB＝AE，∵四边形ABCD内接于半圆O，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠CDE＝180°，∴∠ABC＝∠CDE，∴△ECD∽△EAB，∴，设AB＝x，则AB＝AE＝x，∵DC＝BC＝4，AD＝14，∴BC＝CD＝CE＝4，即BE＝8，DE＝x﹣14，∴，整理得：x2﹣14x﹣32＝0，解得：x＝16或﹣2（不符合题意，舍去），∴AB的长为16，故答案为：16．【点睛】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．16.如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值．【思路点拨】（1）根据勾股定理求出AB，分△BPQ∽△BAC、△BPQ∽△BCA两种情况，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可；（2）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，BQ＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可．【解析】解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，QC＝2t，AB＝10cm，BC＝8cm，∴，∴，②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝3t，，，，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：．【点睛】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键17.如图，AB是⊙O的直径，线CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AD，GD，CG．（1）求证：∠AGD＝∠FGC；（2）求证：△CAG∽△FAC；（3）若AG•AF＝48，CD＝4，求⊙O的半径．【思路点拨】（1）根据垂径定理得到EC＝ED，根据等腰三角形的性质得到∠3＝∠ADC，推出∠1＝∠ADC，等量代换即可得到结论；（2）连接AC，BC，推出∠FCG＝∠DAG，得到∠ADG＝∠F，推出∠ACG＝∠F，由于∠CAG＝∠CAF，于是得到结论，（3）根据相似三角形的性质得到＝，得到AC2＝AG•AF＝48，求得AC＝4，根据勾股定理得到AE＝＝6，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解析】（1）证明：连接AC，BC，∵AB⊥CD，∴EC＝ED，∴AC＝AD，∴∠3＝∠ADC，∵∠1+∠AGC＝180°，∠AGC+∠ADC＝180°，∴∠1＝∠ADC，∵∠2＝∠3，∴∠1＝∠2，即：∠AGD＝∠FGC；（2）解：∵∠FCG+∠DCG＝180°，∠DCG+∠DAG＝180°，∴∠FCG＝∠DAG，∵∠1＝∠2，∴∠ADG＝∠F，∵∠ADG＝∠ACG，∴∠ACG＝∠F，∵∠CAG＝∠CAF，∴△CAG∽△FAC，（3）解：∵△CAG∽△FAC，∴＝，∴AC2＝AG•AF＝48，∴AC＝4，在Rt△ACE中，∵∠AEC＝90°，AC＝4，CE＝2，∴AE＝＝6，易知△ACE∽△ABC，∴AC2＝AE•AB，∴AB＝8，∴⊙O的半径为4．【点睛】此题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质、圆内接四边形的性质等知识，教育的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考常考题型．题组C 培优拔尖练18.如图，分别以下列选项作为一个已知条件，不一定能得到△AOB与△COD相似的是（）A．B．C．D．∠BAC＝∠BDC【思路点拨】根据相似三角形的判定方法对各选项进行判断即可得出答案．【解析】解：A、若，因为只知道∠AOB＝∠COD，不符合两边及其夹角的判定，不一定能得到△AOB∽△DOC，故本选项符合题意；B、若，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△COD，故本选项不符合题意；C、若，结合∠AOB＝∠COD，根据两边及其夹角的方法可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意．D、若∠BAC＝∠BDC，结合∠AOB＝∠COD，可得△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意；故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形判定的三种方法．19.如图，四边形ABCD内接于半径为4的⊙O，BD＝4，连AC交BD于E，若E为AC的中点，且AB＝AD，则四边形ABCD的面积是（）A．6B．8C．9D．18【思路点拨】先证△AOB是等边三角形，可得AB＝BO＝AO，AF＝FO＝2，由相似三角形的性质可得AF＝CH＝2，由面积关系可求解．【解析】解：如图，连接AO，交BD于F，连接BO，DO过点C作CH⊥BD，交BD的延长线于H，∵AB＝AD，OB＝OD，∴AO垂直平分BD，∴BF＝DF＝2，∴∠AOB＝60°，∵AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝BO＝AO，∵BF⊥AO，∴AF＝FO＝2，∵E 为AC 的中点，∴AE ＝EC ，∵AF ⊥BD ，CH ⊥BD ，∴AF ∥CH ，∴△AFE ∽△CHE ，∴＝1，∴AF ＝CH ＝2，∴四边形ABCD 的面积＝S △ABD +S △BDC ＝×BD ×AF +×BD ×CH ＝4×2＝8，故选：B ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，等边三角形的判定和性质，垂径定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．20.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝9，BC ＝12，D ，E 分别是BC ，AB 上的动点（点D 与B ，C 不重合），且2∠ADE +∠BAC ＝180°，若BE ＝4，则CD 的长为 6　．【思路点拨】依据∠C ＝∠ADE ，∠BDE ＝∠CAD ，即可判定△BDE ∽△CAD ；再根据相似三角形的对应边成比例，即可得到＝，即＝，进而得出CD 的长．【解析】解：∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠B ，∴∠C +∠B +∠BAC ＝2∠C +∠BAC ＝180°，又∵2∠ADE +∠BAC ＝180°，∴∠C ＝∠ADE ，又∵∠BDE +∠ADC ＝180°﹣∠ADE ，∠CAD +∠ADC ＝180°﹣∠C ，∴∠BDE ＝∠CAD ，∴△BDE ∽△CAD ，∴＝，即＝，解得CD ＝6．故答案为：6．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．21.如图，DA⊥AC，BC⊥AC，AB与CD相交于点E，过点E作EF⊥AC交AC于F，且BC＝2，AD＝3，则EF的长为．【思路点拨】由于AD⊥AC，BC⊥AC，EF⊥AC，故AD∥EF∥BC，即可求得相似三角形，然后可知，．两式相加即可证得，进而解答．【解析】解：∵AD⊥AC，BC⊥AC，EF⊥AC，∴AD∥EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，△CEF∽△CDA，△BCE∽△ADE．∴，．∴，∴，∵BC＝2，AD＝3，∴，∴EF＝，故答案为：．【点睛】本题考查相似三角形的性质及判定，解题关键是两式相加去掉AF与CF．22.如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝3，BC＝4，点E在BC边上，若AE⊥AD，且∠AEB＝∠DEA，则BE的长为．【思路点拨】过D点作DF⊥AB交BA的延长线于点F，则四边形BCDF为矩形，进而可证明△FAD∽△BEA，列比例式可得，再证明△ABE∽△DAE列比例式可求解BE的长．【解析】解：过D点作DF⊥AB交BA的延长线于点F，∴∠F＝90°，∴∠FAD+∠FDA＝90°，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴四边形BCDF为矩形，∴DF＝BC＝4，∵AE⊥AD，∴∠DAE＝90°，∴∠FAD+∠BAE＝90°，∴∠FAD＝∠BAE，∵∠F＝∠ABC＝90°，∴△FAD∽△BEA，∴，∵∠B＝∠AED＝90°，∠AEB＝∠DEA，∴△ABE∽△DAE，∴，即，∴，解得BE＝．故答案为：．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，证明△FAD∽△BEA，△ABE∽△DAE是解题的关键．23.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE，∠DAE的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设＝λ（λ＞0）．（1）若AB＝2，λ＝1，求线段CF的长为　﹣1　；（2）连接EG，若EG⊥AF，则λ的值为．【思路点拨】（1）根据AB＝2，λ＝1，可以得到BE、CE的长，然后根据正方形的性质，可以得到AE 的长，再根据平行线的性质和角平分线的性质，可以得到EF的长，从而可以得到线段CF的长；（2）然后根据题目中的条件，可以得到△ADG≌△FGC，△EGC∽△GFC，根据全等三角形的性质、相似三角形的性质可以得到CE和EB的比值，从而可以得到λ的值．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAG＝∠F，又∵AG平分∠DAE，∴∠DAG＝∠EAG，∴∠EAG＝∠F，∴EA＝EF，∵＝λ＝1，∴点E为BC的中点，∵AB＝2，∠B＝90°，∴BE＝EC＝1，∴AE＝＝，∴EF＝，∴CF＝EF﹣EC＝﹣1，故答案为：﹣1；（2）∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝FG，∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠BCD＝90°，∴∠GCF＝180°﹣90°＝90°，在△ADG和△FCG中，，∴△ADG≌△FCG（AAS），∴DG＝CG，CF＝DA，设CD＝2a，则CG＝a，CF＝DA＝2a，∵EG⊥AF，∠GCF＝90°，∴∠EGC+∠CGF＝90°，∠F+∠CGF＝90°，∠ECG＝∠GCF＝90°，∴∠EGC＝∠F，∴△EGC∽△GFC，∴＝，∵GC＝a，CF＝2a，∴＝，∴＝，∴EC＝a，BE＝BC﹣EC＝2a﹣a＝a，∴λ＝＝＝，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24.如图，△ABC内接于半径为的半圆O中，AB为直径，点M是的中点，连结BM交AC于点E，AD平分∠CAB交BM于点D，∠ADB＝135°且D为BM的中点，则DM的长为　2　；BC的长为　　．【思路点拨】连接AM，可得等腰直角三角形ADM，设AM＝DM＝BD＝x，在Rt△ABM中，根据勾股定理列出方程，求出x值，进一步求得结果；在Rt△AEM中求得EM，进而求得BE，在Rt△ABE中，BC ＝3CE，BE＝3，根据勾股定理列出方程，求得结果．【解析】解：如图，连接AM，∵AB是⊙O的直径，∴∠M＝∠C＝90°，∵∠ADB＝135°，∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝45°，∴∠MAD＝90°﹣∠ADM＝45°，∴AM＝MD，∵点D是BM的中点，∴MD＝BD，设AM＝x，则BM＝2x，∵AM2+BM2＝AB2，∴x2+（2x）2＝（2）2，∴x＝2，∴AM＝DM＝2，∵点M是的中点，∴＝∴∠CBM＝∠ABM，∴＝，∴＝，∵＝，∴∠MAC＝∠CBM，∴，∴EM＝AM＝1，∴BE＝BM﹣EM＝4﹣1＝3，∵CE2+BC2＝BE2，∴CE2+（2CE）2＝32，∴CE＝，∴BC＝2CE＝，故答案是：2，．【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是找可解的直角三角形．25.如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D在BC上运动（不能经过B、C），过D作∠ADE＝45°，DE交AC于E．（1）设BD＝x，AE＝y，求y与x的函数关系，并写出其定义域；（2）若三角形ADE恰为等腰三角形，求AE的长．【思路点拨】（1）先由∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，求得BC＝＝2，∠C＝∠B＝45°，再证明△CDE∽△BAD，得＝，所以＝，整理成用含x的代数式表示y的形式并写出定义域即可；（2）分三种情况讨论，一是当DE＝AD时，则＝＝＝1，所以DC＝AB＝2，CE＝BD＝2﹣2，则AE＝4﹣2；二是DE＝AE时，则∠DAE＝∠ADE＝45°＝∠C，此时AD＝CD，且DE⊥AC，所以AE＝CE＝1；三是AD＝AE，此时点D与点B重合，不符合题意．【解析】解：（1）∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，∴BC＝＝＝2，∠C＝∠B＝45°，∴∠ADE＝45°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB＝135°﹣∠ADB，∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB＝135°﹣∠ADB，∴∠CDE＝∠BAD，∴△CDE∽△BAD，∴＝，∴＝，整理得y＝x2﹣x+2（0＜x＜2）．（2）当DE＝AD时，如图1，∵＝＝＝1，∴DC＝AB＝2，∴CE＝BD＝2﹣2，∴AE＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2；当DE＝AE时，如图2，∵∠DAE＝∠ADE＝45°＝∠C，∴AD＝CD，∠AED＝90°，∴DE⊥AC，∴AE＝CE＝AC＝1；若AD＝AE，则∠AED＝∠ADE＝45°，∴∠DAE＝90°＝∠BAE，∴AD与AB重合，点D与点B重合，不符合题意，综上所述，AE的长为4﹣2或1．【点睛】此题重点考查等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题难度较大，证明△CDE∽△BAD是解题的关键．26.从三角形（不是等腰三角形）的一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中，一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图①，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的完美分割线；（2）在△ABC中，∠A＝48°，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数；（3）如图②，在△ABC中，AC＝3，BC＝，CD是△ABC的完美分割线，且△ACD是以CD为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【思路点拨】（1）根据完美分割线的定义，先证明△ABC不是等腰三角形，再证明△ACD为等腰三角形，最后证明△BCD∽△BAC；（2）根据△ACD为等腰三角形，需要分三种情况讨论：①如图3所示，当AD＝CD时，②如图4所示，当AD＝AC，③如图5所示，当AC＝CD，然后结合美分割线的定义可得△BDC∽△BCA，可以分别求出∠ACB的度数；（3）根据题意求出AD，再根据△BCD∽△BAC，求出BD，再根据△BCD∽△BAC，求出CD．【解析】（1）证明：∵∠A＝40°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，∵∠A≠∠B≠∠ACB，∴△ABC不是等腰三角形．∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A＝40°，∴△ACD为等腰三角形．∴∠DCB＝∠A＝40°，∵∠CBD＝∠ABC，∴△BCD∽△BAC，∴CD是△ABC的完美分割线．（2）解：①如图3所示，当AD＝CD时，∠ACD＝∠A＝48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，则∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝96°．②如图4所示，当AD＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝＝66°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝114°．③如图5所示，当AC＝CD时，∠ADC＝∠A＝48°．∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，根据完美分割线的定义，可得△BDC∽△BCA，∴∠BCD＝∠A＝48°，∴这与∠ADC＞∠BCD矛盾，所以图5的情况不符合题意．综上所述，∠ACB的度数为96°或114°；（3）解：∵△ACD是以CD为底边的等腰三角形，∴AC＝AD，∵AC＝3，∴AD＝3，∵CD是△ABC的完美分割线，∴△BCD∽△BAC，∴＝，∴BC2＝BA•BD，设BD＝x，则AB＝AD+BD＝2+x，∴（）2＝x（x+3），∴x＝，∵x＞0，∴x＝，∴BD＝，∵△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴CD＝．【点睛】本题是相似形综合题，考查了新定义、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，灵活运用方程思想解决问题是解本题的关键．。

相似三角形的判定,七宝新王牌,七宝补习班,袁C老师

8．如图，在△ABC 中，CD，AE 是三角形的两条高，写出图中所有相似的三角形，简要说明理由．
9．如图，D，E 是 AB 边上的三等分点，F，G 是 AC 边上的三等分点，•写出图中的相似三角形，并求出对应的相似比．
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新王牌教案
10．如图，在直角坐标系中，已知点 A（2，0），B（0，4），在坐标轴上找到点 C（1，0）•和点 D，使△AOB 与△ DOC 相似，求出 D 点的坐标，并说明理由．
课堂反馈
学部主任审核等第
教学目标完成: 学生接受程度: 学生课堂表现:
照常完成 □ 提前完成 □ 延后完成 □
完全能接受□ 部分能接受□ 不能接受 □
很积极 □ 比较积极 □
一般 □
A.优秀 □
B.良好 □ C.一般 □
D.较差 □
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新王牌教案
学生姓名
课后作业专案所属年级九年级
辅导学科
任课教师
新王牌教案
学生编号
学生姓名
授课教师
辅导学科
九年级数学
教材版本
上教
课题名称相似三角形的判定课时进度总第（）课时授课时间
教学目标重点难点
1．了解相似比的定义，掌握判定两个三角形相似的方法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。
2．培养学生的观察﹑动手探究、归纳总结的能力，感受相似三角形与相似多边形；相似三角形与全等三角形的区别与联系，体验事物间特殊与一般的关系。
F
E
B
D
C
猜想 4：如图，在 Rt △A B C 与 Rt △A’B’C’中,∠C=∠C′=90°,AB/A’B’=AC/A’C’判断 Rt △A B C 与 Rt △A’B’C’

初中数学相似三角形的性质及应用

离小于８m时，由于这棵树的遮挡，右边树的顶端点C在
观察者的盲区之内，观察者看不到它．
1．如果两个三角形相似，相似比为3∶5，那么对应角平分线的比等于多少？_3_∶__5__. 2．相似三角形对应边的比为0．4，那么相似比为__0_._4__，对应角平分线的比为__0_._4__．
AB.（精确到0.1米） A
B
D
C
E
解：∵∠ADB=∠EDC ∠ABD=∠ECD=90゜ ∴⊿ABD∽⊿ECD （两角分别相等的两个三角形相似），
∴
解得
答：河的宽度AB约为96.7米.
例：己知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和 CD=12m,两树的根部的距离BD=5m,一个身高1.6m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路从左向右前进,当他与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶端点?
又∵ ADB =∠ADB =90°， ∴△ ABD ∽△ABD. (两角对应相等的两个三角形相似)
从而
AADD
AB AB
k
.
(相似三角形的对应边成比例)
归纳相似三角形的对应高的比等于相似比.
2.相似三角形对应角平分线的比
图中△ABC和△A′B′C′相似，BE、B′E′分别为对应角的角平
分线，那么它们之间有什么关系呢？
图中△ABC和△A′B′C′相似，AD、A′D′分别为对应边上的
中线，那么它们之间有什么关系呢？
证明如下：已知：△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，即
AB BC CA k. A'B' B'C' C' A'
求证：
证明：∵ △ABC∽△A′B′C′. ∴ ∠B′= ∠B, AB BC ．

证明三角形相似的判定

证明三角形相似的判定
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。

证明两个三角形相似的方法有很多，下面将介绍几种常见的判定方法。

1. 三边对应比例相等判定：
如果两个三角形的三条边长度成比例，那么它们是相似的。

具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF，满足AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么这两个三角形是相似的。

证明过程，根据三角形内角和定理，我们知道三角形内角和为180度。

因此，如果两个三角形的三边比例相等，那么它们的内角也必然相等。

这样，我们就可以得出这两个三角形是相似的结论。

2. 两角对应相等判定：
如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们是相似的。

具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF，满足∠A=∠D，∠B=∠E，那么这两个三角形是相似的。

证明过程，根据角度对应定理，如果两个三角形的两个角分别
相等，那么它们的第三个角也必然相等。

这样，我们就可以得出这
两个三角形是相似的结论。

3. 角边对应相等判定：
如果两个三角形的一个角和对边的比值相等，那么它们是相似的。

具体来说，如果三角形ABC和三角形DEF，满足∠A=∠D，
AB/DE=AC/DF，那么这两个三角形是相似的。

证明过程，根据正弦定理，如果两个三角形的一个角和对边的
比值相等，那么它们的另外两个角和对边的比值也必然相等。

这样，我们就可以得出这两个三角形是相似的结论。

综上所述，通过以上三种判定方法，我们可以证明两个三角形
是否相似。

相似三角形的性质在几何学中有着重要的应用，对于解
决各种问题和计算具有重要意义。

袁聪--三边对应成比例

[活动3]证明定理
仿照课本定理1与定理2的证明方法，你能证明定理3吗？
已知:如图△ABC和△A`B`C`中A`B`:AB=A`C`:AC=B`C`:BC.
求证:△ABC∽△A`B`C`
【归纳】
定理3如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似（可简单说成：三边成比例的两个三角形相似）
（注意：大对大，小对小，中对中）
2．课本82页练习2，3，4
[活动6]归纳小结
1.如果一个三角形的三边与另一个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形相似（可简单说成：三边成比例的两个三角形相似）。
2.在利用定理解题时要注意边与边之间的对应。
（注意：大对大，小对小，中对中）
布置作业
课本P85习题22.2 3，7
亳州市黉学英才中学
九年级主备人：袁聪使用人：
课题：三角形相似的判定（sss形相似的判定方法“三边对应成比例的两个三角形线相似”的探索过程.
2、掌握“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法.
3、能运用上述判定方法判定两个三角形相似.
教学重点
“三边对应成比例的两个三角形线相似”的两个三角形相似的判定方法.
教学难点
能运用上述判定方法判定两个三角形相似.
教学过程设计
教学过程
修改意见
[活动1]知识回顾
1、相似三角形的判定定理（定义，平行相似，AA型，SAS型）
2、回顾全等三角形的判定定理
[活动2]新知探究
提出问题：由三角形全等的SSS判定方法，我们会想：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？
教学反思
[活动4]例题讲解

08级数学教学稿43两个三角形相似的判定(2)教学稿

08级数学教学稿——4.3两个三角形相似的判定（2）教学稿日期年月日一、复习提问：1、我们已经学习了几种判定三角形相似的方法？二、新课学习：下面我们来探究还可用哪些条件来判定两个三角形相似?我们学习了三角形相似的判定定理1，类似于三角形全等的“SAS” 、“SSS”判定方法，三角形相似还有两个判定方法，即判定定理2和判定定理3。

1.判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。

可以简单说成“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”已知：如图，求证：证明：判定定理2的几何格式：CBC´例1.如图已知点D,E 分别在AB,AC 上，ACAEAB AD = 求证：DE//BC2.判定定理3：如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似。

可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似。

判定定理3的几何格式：CAAC BC C B AB B A 111111==∴△A´B´C´∽△ABC例2.如图判断4×4方格中的两个三角形是否相似,并说明理由.例3.依据下列各组条件，判定△ABC 与△A´B´C´是不是相似，并说明为什么： ⑴∠A=120º，AB=7厘米，AC=14厘米， ∠A´=120º，A´B´=3厘米，A´C´=6厘米；A CB E D ´´F⑵AB=4厘米，BC=6厘米，AC=8厘米，A´B´=12厘米，B´C´=18厘米，A´C´=24厘米三、课堂练习：1．如图1,它们相似吗？图12.判断，并说明理由或取反例。

（1）任何两个等边三角形相似（2）任何两个直角三角形相似（3）顶角相等的两个等腰三角形相似（4）有一个角相等的等腰三角形相似3．如图2，D为△ABC的边AC上一点.若要使△ABD与△ACB相似,可添加什么条件？你有几种添加什么条件的不同方法？图24．如图3，在△ABC 中，D 是AC 上的一点. 已知AC 2=AD ·AB ，∠ACD=40o . 求∠B 的度数.图35．如图4：已知△ABC 与△ADE 的边BC 、AD 相交于点O ，且∠1=∠2=∠3。

4.4(两个三角形相似的判定(顺风方伟民)(2)

交AC于点H，则有△AGH∽△ ABC
两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
1.如图已知点D,E分别在AC,AB上,AE=3,AD=2,DB=4, EC=1.你能找到两个三角形相似吗?说出你的理由.
变式：如图已知点D在AB上,E在AC上，添加一个条件使得△ADE与△ABC相似
C
2.如图已知点D在AB上AC2=AD∙AB,你能说出 △ADC∽△ACB的理由吗?
AO DO 1 = = BO CO 2
例3.如图：已知点D,E分别在AB,AC上, 求证:DE‖BC. 证明：在⊿ADE和⊿ABC中 ∵ ∠A=∠A，
AD AE = AB AC
AD AE = AB AC
A
D B
E C
∴ ⊿ADE∽⊿ABC
∴ ∠ADE=∠ABC
∴ DE‖BC
1.如图，∠ACB=∠ADC=90°，AC= 6 ，AD=2．问：当AB的长为多少时，这两个直角三角形相似．
两个三角形相似的判定（2）
龙泉市顺风实验学校方伟民
(1)我们已经学习了几种三角形相似的判定方法？
A
1.平行判定法
∵DE//BC， ∴ΔADE∽ Δ ABC 2.AA法 ∵∠A=∠A´，∠B=∠B´，
B D E
C
∴
Δ ABC∽ Δ ABC
(2)直角三角形中的一个重要结论
C
∵∠ACB=90，CD⊥AB， ∴ Δ ABC∽ Δ ACD∽ Δ CDB
A D B
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例且夹角相等, 那么这两个三角形相似
已知：在△ABC 和△DEF 中, DE DF , A = D AB = AC 求证: △ ABC∽ △DEF

《两边成比例且夹角相等的两个三角形相似》课件精品 (公开课)2022年数学PPT

方法总结：解题时需注意隐含条件 ,如垂直关系 ,三角形的高等.
当堂练习
1. 判断
(1) 两个等边三角形相似
(√)
(2) 两个直角三角形相似
(×)
(3) 两个等腰直角三角形相似
(√)
(4) 有一个角是50°的两个等腰三角形相似 (×)
2. 如图 ,D 是 △ABC 一边 BC 上一点 ,连接 AD ,使
符号语言：
∵ AB AC ，∠A=∠A′， A' B' A' C'
B'
∴ △ABC ∽ △A′B′C′ .
C' A
B
C
思考：
对于△ABC和 △A′B′C′ ,如果 A′B′ : AB = A′C′ : AC. ∠B = ∠B′ ,这两个三角形一定会相似吗 ?
不会 ,如以以以以下图 ,因为不能证明构造的三角形和原三角形全等.
技巧：〔一查二定〕 1.式子中含偶数个 "－〞号时 ,结果正；含奇数个 "－〞号时 ,结果为负 . 2.但凡 " +〞都去掉 .
它们的比值等于 k 吗？再量一量两个三角形另外的
两个角，你有什么发现？△ABC 与 △A′B′C′ 有何关
系？
改变 k 和∠A 的值的大小 ,是否有同样的结论 ?
如图 ,在△ABC与△A′B′C′中 ,∠A = ∠A′ ,
AB AC . 求证：△ABC∽△A′B′C′.
A' B' A' C'
A'
几何意义
3.一般地 ,设a是一个正数 ,数轴上与原点的距离是 a的点有两个 ,它们分别在原点的两侧 ,表示a和 -a ,这两点关于原点对称.