数学思想篇：二、方程思想

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方程的思想

方程的思想：就是分析数学问题中变量间的关系，建立方程或方程组，通过解方程或方程组去分析、转化问题，使问题获得解决。

数学教学不仅是数学知识的教学，更重要的是数学思想方法的教学。

列方程解应用题的思路比较简单、思维难度小，可以使一些应用题化难为易（如鸡兔同笼问题），有明显的优越性，这对提高学生应用数学基础知识，解决简单的实际问题的能力，有积极作用。

列方程解应用题是代数知识的一个重要而具体的应用，是解答应用问题的一种基本的数学模式。

总之，方程的思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析，转化问题，使问题获得解决。

数形结合: 数形结合既是一个重要的数学思想，也是一种常用的解题策略。

一方面，许多数量关系的抽象概念和解析式，若赋予几何意义，往往变得非常直观形象；另一方面，一些图形的属性又可通过数量关系的研究，使得图形的性质更丰富、更精准、更深刻。

这种“数”与“形”的相互转换，相互渗透，不仅可以使一些题目的解决简捷明快，同时还可大大开拓我们的解题思路。

可以这样说，数形结合不仅是探求思路的“慧眼”，而且是深化思维的有力“杠杆”。

由“形”到“数”的转化，往往比较明显，而由“数”到“形”的转化却需要转化的意识。

因此，数形结合的思想的使用往往偏重于由“数”到“形”的转化。

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而数学研究总是围绕着数与形进行的。

“数”就是方程、函数、不等式及表达式，代数中的一切内容；“形”就是图形、图象、曲线等。

数形结合的本质是数量关系决定了几何图形的性质，几何图形的性质反映了数量关系。

数形结合就是抓住数与形之间的内在联系，以“形”直观地表达数，以“数”精确地研究形。

华罗庚曾说：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。

”通过深入的观察、联想，由形思数，由数想形，利用图形的直观诱发直觉。

化归与转化：在教学研究中，使一种对象在一定条件下转化为另一种研究对象的数学思想称为转化思想。

(完整版)七种数学思想

第一：函数与方程思想(1）函数思想是对函数内容在更高层次上的抽象，概括与提炼，在研究方程、不等式、数列、解析几何等其他内容时，起着重要作用（2）方程思想是解决各类计算问题的基本思想，是运算能力的基础高考把函数与方程思想作为七种重要思想方法重点来考查第二：数形结合思想：（1）数学研究的对象是数量关系和空间形式，即数与形两个方面（2）在一维空间,实数与数轴上的点建立一一对应关系在二维空间，实数对与坐标平面上的点建立一一对应关系数形结合中,选择、填空侧重突出考查数到形的转化,在解答题中,考虑推理论证严密性，突出形到数的转化第三：分类与整合思想(1）分类是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法（2）从具体出发，选取适当的分类标准（3)划分只是手段，分类研究才是目的(4）有分有合，先分后合，是分类整合思想的本质属性（5）含字母参数数学问题进行分类与整合的研究，重点考查学生思维严谨性与周密性第四:化归与转化思想（1）将复杂问题化归为简单问题，将较难问题化为较易问题,将未解决问题化归为已解决问题(2)灵活性、多样性，无统一模式,利用动态思维，去寻找有利于问题解决的变换途径与方法(3）高考重视常用变换方法：一般与特殊的转化、繁与简的转化、构造转化、命题的等价转化第五：特殊与一般思想（1)通过对个例认识与研究,形成对事物的认识(2）由浅入深，由现象到本质、由局部到整体、由实践到理论（3）由特殊到一般，再由一般到特殊的反复认识过程（4）构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、确立特殊位置，利用特殊值、特殊方程（5）高考以新增内容为素材,突出考查特殊与一般思想必成为命题改革方向第六：有限与无限的思想：（1)把对无限的研究转化为对有限的研究，是解决无限问题的必经之路（2)积累的解决无限问题的经验，将有限问题转化为无限问题来解决是解决的方向（3)立体几何中求球的表面积与体积，采用分割的方法来解决，实际上是先进行有限次分割，再求和求极限，是典型的有限与无限数学思想的应用（4）随着高中课程改革，对新增内容考查深入，必将加强对有限与无限的考查第七：或然与必然的思想：（1）随机现象两个最基本的特征，一是结果的随机性，二是频率的稳定性(2）偶然中找必然，再用必然规律解决偶然（3)等可能性事件的概率、互斥事件有一个发生的概率、相互独立事件同时发生的概率、独立重复试验、随机事件的分布列、数学期望是考查的重点。

初中数学中的数学思想

初中数学中的数学思想在初中数学的学习过程中，我们不仅仅是在掌握各种数学知识和解题技巧，更重要的是要领悟其中蕴含的数学思想。

数学思想是数学的灵魂，它能够帮助我们更深入地理解数学的本质，提高我们的思维能力和解决问题的能力。

一、转化思想转化思想是初中数学中最为常见和重要的思想之一。

它的核心在于将一个陌生的、复杂的问题转化为一个熟悉的、简单的问题，从而找到解决问题的方法。

比如，在求解一元二次方程时，我们会通过配方法、公式法等将其转化为一元一次方程来求解。

再比如，在计算图形的面积或体积时，我们常常会将不规则的图形转化为规则的图形，或者将一个复杂的图形分割成几个简单的图形来计算。

例如，求一个不规则四边形的面积，我们可以通过连接对角线，将其分割成两个三角形，然后分别计算两个三角形的面积，最后相加得到四边形的面积。

这种将不规则图形转化为规则图形的方法，就是转化思想的具体应用。

二、分类讨论思想分类讨论思想是根据问题的不同情况进行分类，然后分别对每一类情况进行讨论和求解。

在初中数学中，很多问题都需要用到分类讨论思想。

比如，在绝对值的计算中，需要根据绝对值内的值的正负情况进行分类讨论；在函数问题中，常常需要根据函数的单调性、定义域等进行分类讨论。

以等腰三角形为例，如果已知等腰三角形的两条边长分别为3 和6，求其周长。

这时就需要分类讨论，当腰长为 3 时，因为 3 ＋ 3 ＝ 6，不满足三角形两边之和大于第三边，所以这种情况不成立；当腰长为 6 时，三角形的周长为 6 ＋ 6 ＋ 3 ＝ 15。

三、方程思想方程思想是通过设未知数，根据题目中的等量关系列出方程，然后求解未知数。

方程思想在解决实际问题中非常有用。

比如，行程问题、工程问题、利润问题等都可以通过建立方程来解决。

假设一个工程，甲单独做需要 10 天完成，乙单独做需要 15 天完成，两人合作需要多少天完成？我们可以设两人合作需要 x 天完成，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间，可以列出方程：（1/10 ＋1/15）x ＝ 1，然后解方程求出 x 的值。

方程思想

数学思想方法与新题型解析数学思想反映着数学概念、原理及规律的联系和本质，是形成数学能力、数学意识的桥梁，是灵活运用数学知识、技能、方法的关键。

在解综合题时，尤其需要用数学思想来统帅，分析、探求解题的思路，优化解题的过程，验证所得的结论。

在初中数学中最常用的数学思想有方程思想、数形结合思想、转化思想和分类讨论思想。

（一）方程思想在初中数学中，我们学习了许多类型的方程和方程组的解法。

例如，一元一次方程、一元二次方程，可化为一元一次方程、一元二次方程的分式方程的解法，二元一次方程组、三元一次方程组的解法，以及二元二次方程组的解法等，所以我们如果能把实际问题或数学问题转化成解上述方程或方程组，问题就容易解决了。

所谓方程思想，就是从分析问题的数量关系入手，通过设定未知数，把问题中的已知量与未知量的数量关系，转化为方程或方程组等数学模型，然后利用方程的理论或方法，使问题得到解决。

用方程思想分析、处理问题，思路清晰，灵活、简便。

1. 方程思想的最基本观点——几个未知数，列几个独立的方程我们知道在一般情况下，几个未知数在几个独立的方程的制约下有确定的解。

在涉及数量关系的问题中，用这一基本思想来分析、处理，能较为容易地找到解题途径。

例1. 已知：x x 12、是关于x 的方程x x m 2220++=的两个实数根，且x x 12222-=，求m 的值。

分析：本题中涉及三个未知数x x m 12、、，需列出三个方程，题目中已给出了一个关于x x 12、的方程x x 12222-=，那么只需再找出两个关于x x 12、和m 的方程即可。

解法1 依题意，得∆=->+=-=-=⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪440222121221222m x x x x mx x ①②③④④②，得⑤②⑤，得把代入②，得÷-=-+=-=-=-x x x x x 121121323212∴==m x x 21234∴=±=±=->∴=±m m m m 3232440322又当时，为所求∆ 说明：一般地，有几个未知数，则需列几个方程。

数学思想有哪些

数学思想有哪些
数学常用的数学思想方法主要有：用字母表示数的思想,数形结合的思想,转化思想(化归思想)，分类思想，类比思想，函数的思想，方程的思想，无逼近思想等等。

1.用字母表示数的思想：这是基本的数学思想之一 .在代数第一册第二章“代数初步知识”中，主要体现了这种思想。

2.数形结合：是数学中最重要的，也是最基本的思想方法之一，是解决许多数学问题的有效思想。

“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言，是对数形结合的作用进行了高度的概括。

3.转化思想：在整个初中数学中，转化(化归)思想一直贯穿其中。

转化思想是把一个未知(待解决)的问题化为已解决的或易于解决的问题来解决，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，它是解决问题的一种最基本的思想,它是数学基本思想方法之一。

4.分类思想：有理数的分类、整式的分类、实数的分类、角的分类，三角形的分类、四边形的分类、点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系等都是通过分类讨论的。

5.类比：类比推理在人们认识和改造客观世界的活动中具有重要意义.它能触类旁通，启发思考，不仅是解决日常生活中大量问题的基础，而且是进行科学研究和发明创造的有力工具.
6.函数的思想：辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。

7.方程：是初中代数的主要内容.初中阶段主要学习了几类方程和方程组的解法，在初中阶段就要形成方程的思想.所谓方程的思想，就是突出研究已知量与未知量之间的等量关系，通过设未知数、列方程或方程组，解方程或方程组等步骤，达到求值目的的解题思路和策略，。

初中数学思想方法篇——方程思想

新梦想教育中高考名校冲刺教育中心【老师寄语：每天进步一点点，做最好的自己】解题思想之方程思想一、注解：所谓方程思想就是先分析问题中的未知元素（未知量）的个数，再寻找关于这些未知量的相应个数的方程，从而用解方程（组）的方法探求解题途径的思想。

解题过程通常是：首先，从整体上分析题意，确定未知量的个数；其次，适当选择一个或几个未知量用x （或y, z ……）表示，并弄清它（它们）与其他未知量的关系；再根据题设中的条件，列出方程（组），并求解。

二、实例运用：1.在基本概念中的运用【例1】单项式113a b a x y +--与23x y 是同类项，则a-b 的值为（） A 2 B 0 C -2 D 1 【例2】若函数512+=+-m mmx y 是一次函数，且y 随x 的增大而减小，则m= 。

2. 在确定函数解析式中的运用【例3】已知点P （2，-1）在双曲线ky x=（k ≠0）上，则k= 。

【例4】如图，一次函数y=kx+n 的图象与x 轴和y 轴分别相交于点A(6，0)，B （0，3AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，交AB 于点D 。

（1）试确定这个一次函数的解析式；（2）求过A ，B ，C 三点的抛物线的函数关系式。

3. 在列方程（组）中的运用【例5】已知某项工程由甲，乙两队共同完成需要12天，共需工程费用13800元，乙队单独完成这项工程所需的时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天，且甲队每天的工程费用比乙队多150元。

（1）求甲，乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？（2）若工程主管部门决定由这两个工程队之一单独完成此项工程，从节约资金的角度考虑，应选择哪家工程队？请说明理由。

【例6】甲问乙今年多少岁？乙对甲说：“等你到我这样的岁数时，我已经是60岁的老头，而当我像你一样大时，你还是个6岁的顽童。

”则甲今年多少岁？4. 在几何计算中的运用【例7】如图，在河边有一座小山，从山顶A处测得河对岸观测点C的俯角为30°，河岸观测点D的俯角为45°，河宽CD为50米，现需从山顶到河对岸C点拉一条笔直的缆绳AC，求所需要的缆绳的长。

方程思想总结知识点

方程思想总结知识点方程作为数学中的重要概念，贯穿于数学的各个领域中，是数学研究的核心内容之一。

方程思想的内涵非常丰富，涉及多个领域和学科，广泛应用于自然科学、工程技术、经济管理等领域。

方程思想的研究，既是数学发展的重要方向，也是数学教育中重要的教学内容。

一、方程思想的概念和发展方程思想是指人们用字母或符号来表示未知数，并通过代数运算关系这些未知数的平等关系，在解决实际问题中用公式来表述已知和未知量之间的数量关系。

方程思想的萌发可以追溯到古代文明时期，比如，古希腊的毕达哥拉斯学派发现了勾股定理，从而得到了一元二次方程的解法。

中国古代的《九章算术》也提出了方程的解法，为方程思想的发展奠定了基础。

到了十七世纪，代数学的产生使方程思想真正得到了发展和深化。

代数学家文森特·Radon （Vincent Ranconte）在其著作《代数测量广义》中第一次提出了现代代数方程的概念。

这本书是对代数学的完整系统化的介绍，标志着方程思想作为独立学科的确立。

在此后的发展中，代数学成为了数学研究的核心内容之一，方程思想的研究也逐渐得到了发展。

二、方程思想的基本内容方程思想的基本内容包括了方程的基本概念、解方程的基本方法和方程应用三个方面。

1.方程的基本概念方程是指用字母或符号来表示未知量，并通过代数运算关系这些未知数的平等关系。

方程由等式构成，等式的左边称为方程的左式，等式的右边称为方程的右式。

一般地，一个代数式和0的关系式称为方程。

方程的特点：方程的特点是含有未知数，并且要求未知数满足特定的关系。

方程一般包括一个或多个未知数，并且未知数可以是实数、复数、矢量等。

2.解方程的基本方法解方程是方程思想的核心内容。

解方程的基本方法有方程的直接解法、消元法和代换法三种。

（1）方程的直接解法：方程的直接解法是指根据方程的特点，利用代数运算法则进行变形和化简，从而得到方程的解。

例如，对于一元一次方程ax+b=0，我们可以通过移项变形得到方程的解x=-b/a。

数学思想之——方程思想1

中考数学思想之：方程思想方程思想是一种极为重要的数学思想，是中考数学中必考基本数学思想之一。

方程思想就是一种思想意识，通俗地讲就是当你遇到无法求值的量，如线段的长度，角度等等涉及大小求值的时候，能够主动地设未知数（用字母表示），寻找等量关系，建立方程，通过解方程求出结果的一种思想意识。

通过下面一些题，看看你有没有建立起来方程思想吧。

1. 有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的两倍”．乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了。

问两个牧童各有几只羊？2. 下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为2cm 时，这个六边形的周长为（）cm ．3. 如图，是一个长方形分成大小不等的6个小正方形，已知中间的最小的正方形的边长为1厘米，求这个长方形的面积多少？4. 古代河图，由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行，每一列以及每一对角线上的三个点图的点之和均相等，右图给出了部分，请推算出P 处所对应的点图是＿＿＿＿。

5. 如图3，正方形是由k 个相同的矩形组成，上下各有2个水平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k= ________。

6. 把矩形ABCD 沿AE 对折，点B 刚好落在CD 边上，已知AD ＝6，AB ＝10，求BE 的长。

图37. 如图，测量塔的高度，在B 点测得塔顶A 的仰角为30°，向前走了30米到达D 点，测得塔顶A 的仰角为45°，求塔高AC 。

8. 有一个铁球，尺寸如图所示，求铁球的直径。

9. 如图，P 是⊙O 外一点，PA 是⊙O 的切线，A 是切点，PO 交⊙O 于B 点，PA ＝8，PB ＝4，求⊙O 的半径。

10. 有一张直角三角形纸片，两直角边AC ＝6㎝，BC ＝8㎝，将△ABC 折叠，使点B 与点A 重合，折痕为DE ，则CD 等于多少？A BEBD CA164E11. 王华同学在晚上由路灯AC 走向路灯BD ，当他走到点P 时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC 的底部。

数学思想有哪些

数学思想有哪些数学思想包括：函数思想、数形结合思想、分类讨论思想、方程思想、整体思想、化归思想、隐含条件思想、类比思想、建模思想等。

数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人们的意识之中，经过思维活动而产生的结果。

1、函数方程思想：指用函数的概念和性质去分析问题和解决问题。

例如：等差、等比数列中，前n项和的公式，都可以看成n的函数。

2、数形结合思想：利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。

例如：求根号（(a-1)^2+(b-1)^2）+根号(a^2+(b-1)^2)+根号((a-1)^2+b^2)+根号(a^2+b^2)的最小值。

3、分类讨论思想：问题因为某种量或图形的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论。

例如：解不等式|a-1|>4的时候，就要分类讨论a的取值情况。

4、方程思想：一个问题可能与某个等式建立关联时，可以构造方程并对方程的性质进行研究以解决这个问题。

例如：证明柯西不等式的时候，就可以把柯西不等式转化成一个二次方程的判别式。

5、整体思想：从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征。

例如：叠加叠乘处理、整体运算、几何中的补形等都是整体思想。

6、化归思想：在于将未知的问题通过演绎归纳转化为已知的，熟悉的，简单的问题。

例如：三角函数，几何变换。

7、隐含条件思想：没有明文表述出来或者是没有明文表述，但是该条件是真理。

例如：一个等腰三角形，一条过顶点的线段垂直于底边，那么这条线段所在的直线也平分底边和顶角。

8、类比思想：把两个不同的数学对象进行比较，发现它们在某些方面有相同或类似之处，就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。

9、建模思想：为了更具科学性可重复性地描述一个实际现象，采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象。

专题知识突破六：数学思想方法(方程思想函数思想数形结合思想)(二)

专题知识突破六数学思想方法（二）（方程思想、函数思想、数形结合思想）一、中考专题诠释数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是解决数学问题的根本策略。

数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质，是沟通基础知识与能力的桥梁，是数学知识的重要组成部分。

数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的过程中。

抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．二、解题策略和解法精讲数学思想方法是数学的精髓，是读书由厚到薄的升华，在复习中一定要注重培养在解题中提炼数学思想的习惯，中考常用到的数学思想方法有：整体思想、转化思想、函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等．在中考复习备考阶段，教师应指导学生系统总结这些数学思想与方法，掌握了它的实质，就可以把所学的知识融会贯通，解题时可以举一反三。

三、中考考点精讲考点四：方程思想从分析问题的数量关系入手，适当设定未知数，把所研究的数学问题中已知量和未知量之间的数量关系，转化为方程或方程组的数学模型，从而使问题得到解决的思维方法，这就是方程思想。

用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组)。

这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。

例4 （2014•莱芜）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；（2）求EF•EC的值；（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值．思路分析：（1）连结OC、OE，OE交AB于H，如图1，由E是弧AB的中点，根据垂径定理的推论得到OE⊥AB，则∠HEF+∠HFE=90°，由对顶相等得∠HFE=∠CFD，则∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，所以∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是根据切线的判定定理得直线DC与⊙O相切；（2）由弧AE=弧BE，根据圆周角定理得到∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，于据勾股定理，在Rt △OAH 中有222A H x r += ；在Rt △EAH 中由函数思想是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。

数学的方程思想

数学的方程思想一、方程思想的特点：初中阶段的方程和方程组，有一元一次方程、一元二次方程、二元（三元）一次方程组和分式方程，方程和方程组是解决应用题、实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识，应用范围非常广泛。

很多数学问题，包括一些实际应用问题，特别是几何题的计算问题，就需要用方程或方程组的知识来解决。

近几年中考题以考察学生解决问题的能力为主，这种方程思想就显得尤其重要了。

在解决问题时，把某一个未知量或几个未知量用字母来表示，根据已知的条件或有关的性质、定理或公式，建立起未知量和已知量之间的等量关系，列出方程或方程组，通过解方程或方程组，来达到解决问题的目的，这种方法就是方程思想。

初中数学学习期间，不但要掌握所有的知识点，更要多多地了解常用的数学思想，这不但对我们解决问题有帮助，更有利于培养我们的思维能力，提高我们解决问题的能力。

具有了方程思想，我们就能够很好地求得问题中的未知元素或未知量，这对解决和计算有关的数学问题，特别是综合题，是非常需要的。

二、方程思想的方法：纵观初中阶段的所有列方程或方程组解应用题，所用方法和步骤都一样，通过“①审题，②用字母表示未知数，③根据等量关系布列方程或方程组，④解方程或方程组，求未知数的值，⑤检验、答题”这五个步骤来完成。

审题是关键，在审题过程中，要带着问题去分析题意，找出题目中的已知量、未知量以及它们之间的等量关系尤其重要。

而设未知数也不可小视，应选择那些具有代表性的未知量，权且称之为“牛鼻子”，以达到“牵一发而动全身”的目的。

未知数选择的准，其它有关的代数式并可用这个字母表示，对列方程或方程组起着简便的作用。

再补充一句：“未知数设的多，相对来说方程好列但难解；未知数设的少，相对来讲方程难列但列出的方程好解。

”在应用方程思想解决问题时，还要注意和不等式、函数相联系，这对于解决综合性问题很有帮助。

三、例题精讲：P30米l1、（08江西中考题）甲、乙两同学玩“托球赛跑”游戏，商定：用球拍托着乒乓球从起跑线起跑，绕过P点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者胜．结果：甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学则顺利跑完．事后，乙同学说：“我俩所用的全部时间的和为50秒，捡球过程不算在内时，甲的速度是我的1.2倍”．根据图文信息，请问哪位同学获胜？解法一：设乙同学的速度为米/秒，则甲同学的速度为米/秒，根据题意，得，解得．经检验，是方程的解，且符合题意．甲同学所用的时间为：（秒），乙同学所用的时间为：（秒）．∵26＞24，乙同学获胜．解法二：设甲同学所用的时间为秒，乙同学所用的时间为秒，根据题意，得解得经检验，是方程组的解，且符合题意．∵x＞y，乙同学获胜．2、（08湖北中考题）某车间要生产220件产品，做完100件后改进了操作方法，每天多加工10件，最后总共用4天完成了任务．求改进操作方法后，每天生产多少件产品？解：设改进操作方法后每天生产件产品，则改进前每天生产件产品．依题意有．整理得．解得或．当=5时，，舍去．．答：改进操作方法后每天生产60件产品．他不知道他家乡离北京有多远，问列车员得知单程铁道部门共设计了28种不同的车票，你知道这次列车中间共停几站吗？解：设单程共有x个车站，由题意得：x（x－1）=28，解一元二次方程得：x=－7或8，经检验，x=－7不符合题意，应舍去，∴x=8。

高中数学6种数学思想

高中数学6种数学思想1.函数与方程思想函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。

所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。

而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。

2.数形结合思想数与形在一定的条件下可以转化。

如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。

因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。

解题类型：①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。

③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。

3.分类讨论思想分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。

原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。

解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。

常见的类型：类型1：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；类型2：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；类型3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；类型4：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。

类型5：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。

(数学思想篇)数学方程思想典型题型汇总

数学思想篇：二、方程思想【思想指导】在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元，寻找已知与未知之间的等量关系，构造方程或方程组，然后求解方程完成未知向已知的转化，这种解决问题的思想称为方程思想。

【范例讲析】：1方程思想在几何中的应用1.1基于几何定理的数量关系，利用方程解决所研究几何图形的数量关系中学数学几何中的许多定理都蕴含了图形数量上的相等关系，例如常见勾股定理、垂径定理等。

在很多情况下，若能根据这些定理反映的数量关系，合理设出未知数并建立方程，可以从容解决问题。

例1.如图1，折叠矩形的一边AD，点D落在BC边的点F处，已知AB=8,BC=10 ，求DE的长。

例2.如图2，已知点E在直角△ABC的斜边AB上，以AE为直径的⊙O与直角边BC相切于点D。

（1）求证：AD平分BAC∠；（2）若BE=2，BD=4，求⊙O的半径．1.2对三角函数所体现的数量关系，借助方程思想解直角三角形例3．如图3，某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30︒，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB的高度为米.2方程思想在代数中的应用2.1整式与方程思想在中学数学中，我们要接触许许多多的定义、性质、规律等理论性知识，那么这些知识往往本身就直接或间接的体现着方程关系，如：单项式与同类二次根式的定义、不同类型的方程的定义、非负数的性质等。

例4．若nmm ba322+与832ba n-的和仍是一个单项式，则m与n的值分别是（）（A）1，2 （B）2，1 （C）1，1 （D）1，3例5．已知(221)(37)(37)(13)x x x x-----，可分解因式为(3)()x a x b++，其中a b、均为整数，则求3a b+=ab=。

2.2用方程思想解决实际问题例6．小林准备如下操作实验：把一根长为40cm的铁丝剪成两段，并把每一段各围成一个正方形。

常见的数学思想方法

1x y 2=常见的数学思想方法一、中考考点：1.方程（组）是解决应用题、实际问题和许多方面数学问题的重要基础知识。

在解决问题时，把某个未知量设为未知数，根据有关的性质、定理或公式，建立起未知数和已知数间的等量关系，列出方程（组）来解决，这就是方程思想。

2. 数形结合思想是一种重要的数学思想方法。

通过图形，探究数量关系，再由数量关系研究图形特征，使问题化难为易，由数想形、由形知数，这就是一种数形结合思想。

3. 所谓化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．通过一定的策略和手段，使复杂的问题简单化，陌生的问题熟悉化，抽象的问题具体化。

转化的内涵非常丰富，已知与未知、数量与图形、概念与概念之间、图形与图形之间都可以通过转化，来获得解决问题的转机。

二、基础练习：（一）整体思想 1.如果代数式1322+-x x 的值为2，那么代数式x x 322-的值等于( )A ．21 B ．3 C ．6 D ．9 2.某公园计划砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（） A ．图（1）需要的材料多 B ．图（2）需要的材料多 C ．图（1）、图（2）需要的材料一样多 D ．无法确定（二）方程思想 3.如图，已知点A 是一次函数x y =的图象与反比例函数的图象在第一象限内的交点，点B 在x 轴的负半轴上，且OA=OB ，那么△AOB 的面积为（）A ．2 B ．22C ．2D ．22 （三）数形结合思想4.如图，A 是硬币圆周上一点，硬币与数轴相切于原点OA （A 与O 点重合）．假设硬币的直径为1个单位长度，若将硬币沿数轴正方向滚动一周，点A 恰好与数轴上点A′重合，则点A′对应的实数是___________．5.函数)0(≠=k xky 的图象如图所示，那么函数k kx y -=的图象大致是（）（四）化归思想 6.如图，当半径为30cm 的转动轮转过60°角时，传送带上的物体A 移动的距离为________cm ．（计算结果不取近似值）7.将边长为8cm 的正方形ABCD 的四边沿直线l 向右滚动（不滑动），当正方形滚动两面三刀周时，正方形的顶点A 所经过的路线的长是__________cm ．8.在图中，所有多边形的每条边的长都大于2，每个扇形的半径都是1．则第n 个多边形中，所有扇形的面积之和是__________．（五）数学建模思想9.如图，在电线杆上的C 处引拉线CE 、CF 固定电线杆，拉线CE 和地面成60°角．在离电线杆6米的B 处安置测角仪，在A 处测得电线杆上C 处的仰角为30°，已知测角仪高AB 为1.5米，求拉线CE 的长．（结果保留根号）（六）函数思想10.某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品．生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：煤的价格为400元/吨．生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元．现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x 吨，乙产品m 吨，公司获得的总利润为y 元．（1）写出m 与x 之间的关第式；（2）写出y 与x 的函数表达式（不要求写自变量的范围）；（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？最大利润是多少？（七）统计思想11．某地区有一条长100千米,宽0.5千米的防护林.有关部门为统计该防护林的树木量，从中选出5块防护林（每块长1千米,宽0.5千米）进行统计，每块防护林的树木树量如下（单位：棵）：65100、63200、64600、64700、67400．那么根据以上数据估算这一防护林总共约有_________棵树． 12．甲袋中放着19只红球和6只黑球、乙袋则放着170只红球、67只黑球和13只白球，这些球除了颜色外没有其他区别，两袋中的球都已经搅匀．如果只给一次机会，蒙上眼睛从一个口袋中摸出一只球，摸到黑球即获奖，那么选哪个口袋摸球获奖的机会大？请说明理由．三、典型例题：例1、如图，△ABC 中，∠C=90°，BE 是角平分线，DE ⊥BE 交AB 于D ，半圆O 是△BDE 的外接半圆。

初中数学八大思想

初中数学八大思想一、整体思想整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，把某些式⼦或图形看成⼦个整体，把握它们之间的关联，进⼦有⼦的的、有意识的整体处理。

二、方程思想⼦程思想是指在确定变量后，找到它们之间的关系，将实际问题转化成⼦程或不等式，通过建⼦⼦程模型来解决实际问题，它可以让我们更加直观，清晰明了地了解题目。

三、函数思想函数的思想是⼦运动和变化的眼光，分析和研究数学中的数量关系，从⼦建⼦函数模型，如⼦次函数、反⼦例函数、⼦次函数等，解决实际问题。

比如当路程一定时，时间和速度成反比例关系；抛出的球时间和高度成二次函数关系，在解决一些问题时，借助函数图像，可以帮助我们快速地解决问题四、分类讨论思想分类讨论就是把研究对象按同⼦分类标准分成⼦个部分或⼦种情况，然后逐个解决，最后予以总结做出结论的思想⼦法，其实质是化整为零，各个击破，化⼦难为⼦难的策略，许多大题就会运用到这种思想比如这道题五、转换思想转化思想是指把我们遇到的问题由陌生知识转化为已学知识，化繁为简，化未知为已知，从而解决实际问题。

六、类比思想把两个（或两类）不同的数学对象进行对比，如果发现它们有共同特质，可以根据其中一个数学对象的特征来推出另一个对象的特征。

例如通过研究正比例函数的图象、性质及应用，类比研究反比例函数的图象、性质及应用。

七、分类讨论思想所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出结论，最后整合结论得到完整解答。

分类时要做到不重不漏。

八、数形结合思想数形结合思想，其实质是将抽象的数学符号语言与直观图形结合起来。

可以“以形助数”，也可以“以数辅形”。

使代数问题和几何问题互化，达到精确和直观的统一。

九、方程与函数思想方程与函数是两种数学模型。

实际中的很多问题都可以用这两种模型加以解决。

十、转化与化归思想这是将待解决的问题通过变换使之转化为已解决的或更简单的问题，从而使问题得到解决。