方法技巧练——运用分类法数图形的个数
小学奥数题—数复杂图形
• 先是单个单个的数
• 再是2个2个组合的
• 然Байду номын сангаас3个3个组合的数
• 数一数，下面图形中有多少个三角形？
3+2+1=6(个)
• 练习
下图中有几个三角形？
• 练习 下图中有几个三角形？
问题2
• 数一数，下面图形中有多少个长方形？
• 数长方形的个数：采用数线段的方法 如果所有长方形的边在同一条直线上，就可以采用数长边上总共有多
• 有层次的图形，可以把它分成不同的层数。 • 先数上面一层，再数中间一层，最后数下面一层，然后把多层合
在一起。
第一层：5 ×4 ÷2=10
第二层：5 ×4 ÷2=10
第三层：5 ×4 ÷2=10
总共：10 ×3=30个三角形
• 练习，下面图形中有多少个长方形？
第一层：5 ×4 ÷2=10
第二层：5 ×4 ÷2=10
少条线段，就有多少个长方形。
• 数线段
我发现了一个秘密，下图中
的三角形也可以用数线段的 方法来数有共几个三角形。
如果所有三角形有一个顶点在同一点上，边 在同一条直线上，就可以数线上总共有多少 条线段，就有多少个三角形。
我又发现了一个秘密！
线段总数=端点数× 基本线段数÷ 2
问题3
• 数一数，下面图形中有多少个三角形？
小学三年级奥数
数复杂图形
• 问题1 数三角形 • 问题2 数长方形 • 问题3 数多层图形
• 问题4 数复杂图形
问题1
• 数一数，下面图形中有多少个三角形？
• 数三角形的个数：采用分类法
先是单个单个的数，再是2个2个组合的数，然后3个3个组合的数……
为了便于观察，给各部分编上号,就可以把每个三角形都简单表示出来。
奥数试题
数 图 形A专题简析：小朋友，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
例题1 数出下面图中有多少条线段？思路导航：我们可以采用以线段左端点分数数的方法。
以A 点为左端点的线段有：AB 、AC 、AD 共3条；以B 点为左端点的线段有：BC 、BD 共2条；以C 点为左端点的线段有：CD 共1条。
所以，图中共有线段3＋2＋1=6条。
我们还可以这样想：把图中线段AB 、BC 、CD 看作基本线段来数，那么：由1条基本线段构成的线段：AB 、BC 、CD 共3条；由2条基本线段构成的线段：AC 、BD 共2条；由3条基本线段构成的线段：AD 只1条。
所以，图中共有3＋2＋1=6条线段。
例题2 数出下图中有几个角。
思路导航：数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
以AO 为一边的角有：∠AOB 、∠AOC 、∠AOD 三个；以BO 为一边的角有：∠BOC 、∠BOD 两个；以CO 为一边的角有：∠COD 一个。
所以图中共有3＋2＋1=6个角。
小朋友，如果把图中∠AOB 、∠BOC 、∠COD 看作基本角，那应该怎样数呢？动动脑筋。
例题3 数出下面图中共有多少个三角形。
DCBA O DCBA思路导航：数三角形的个数也可以采用按边分类的方法来数。
以AB 为边的三角形有：△ABC 、△ABD 、△ABE 三个；以AC 为边的三角形有：△ACD 、△ACE 二个；以AD 为边的三角形有：△ADE 一个。
所以图中共有三角形3＋2＋1=6个。
我们还发现，要数出图中三角形的个数，只需数出△ABE 的底边中包含几条线段就可以了，即3＋2＋1=6条。
所以图中共有6个三角形。
例题4 数出下图中有多少个长方形。
第3讲：分类数图形
（进士）春季备课教员：×××第三讲分类数图形一、教学目标：1、学会分类数图形的方法。
2、遵循不重复、不遗漏的原则，就能使数数的结果准确。
3、根据数的过程发现规律，培养有序思考问题的能力。
二、教学重点：学会分类数图形的方法。
遵循不重复、不遗漏的原则，就能使数数的结果准确。
三、教学难点：能够根据数的过程发现规律。
四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（8分)师：同学们，你们看老师手上拿的是什么？生：扑克牌。
师：老师今天要用这其中的十张牌来玩一个游戏，想玩吗？生：非常想。
师：看，这里的A代表1，另外的是2到10。
大家都认识吗？生：认识。
师：那我们就来玩一下“我抽你猜”的游戏。
也就是老师任意从这十张牌中抽一张，你们来说我抽的是几，好吗？生：好。
（游戏开始，开始按一定的顺序抽，然后故意打乱顺序，也可以重复地抽相同的牌。
）师：同学们，太厉害了，这些牌都认识了。
现在老师要考考大家，谁能说说老师刚才抽牌的顺序？第一张抽的是几？第二张抽的是几？……生：（学生试着说。
）师：同学们都觉得说出来会比较吃力，并且很容易出错，是吗？生：是的。
师：老师也记不住，因为抽的牌太多了，太乱了是吗？生：是的。
师：现在我们重新玩一次，准备好了吗？（游戏开始，按从左往右的顺序抽，1-10的顺序。
）师：现在谁能告诉老师刚才的抽牌顺序？生：1-10。
师：太棒了！为什么两次都是玩抽牌游戏，第二次比第一次的顺序好记呢？生：因为老师第二次是按1-10的顺序来抽牌的。
师：对，我们按照一定的顺序来抽牌，就不会重复，也不会遗漏，并且能准确地记住刚才抽牌的顺序，是吧？生：是的。
师：那我们在数图形的时候，也要做到有序，这样才会做到不重复，不遗漏。
所以我们要学习分类数图形。
（板书课题：分类数图形）二、探索发现授课（37分）（一）例题一：（13分）右图中共有多少个三角形？师：同学们，以前做过这样的数图形题目吗？生：做过。
2019中考数学《计数方法》专题复习考点讲解(含答案)
计数方法考点图解技法透析1．计数计数，通俗地说就是数数，即把我们研究的对象的个数数出来．在计数时应遵循的原则是：既不重复也不遗漏．2．计数问题中常运用的方法(1)穷举计数法：当研究对象比较简单数目也不大时，穷举法是最基本而又简单的方法，即把对象的所有可能一一列举出来，最后再求出总数．(2)分类计数法：将研究对象按一定标准分类，然后逐步计数，得出总数，这种方法要用到加法原理．(3)分步计数法：当研究对象较复杂时，为了有序而又正确地思维，我们需要将其分成若干步，然后将每一步的方法数相乘，便可得出总数，这种方法要用到乘法原理．(4)递推过渡法：当研究的对象数目较多又比较复杂时，我们常通过对较少数量对象的观察，采用从简单到复杂，从特殊到一般，探究其变化的规律，最后计算出总数．(5)加法原理和乘法原理：当研究的对象比较复杂，且数目较大时，计数时常常要用到如下两原理：①加法原理：完成一件事情，共有n类办法，第一类办法中又有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的方法，第三类办法中又有m3种不同的方法……，第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有：m1＋m2＋m3＋…＋m n种不同方法．②乘法原理：完成一件事情，共分n个步骤，第一步中又有m1种不同方法，第二步中又有m2种不同方法，第三步中又有m3种不同方法……．第n步中有m n种不同方法，那么完成这件事情共有：m1·m2·m3…·m n种不同方法．3．几何计数问题(1)简单图形个数的计算：这类问题中出现的图形的组成一般比较简单，没有过多的限制条件，但图形数量和计算量都很大，此类计数问题通常需要根据具体问题寻求一定的规律和运用一定的计数方法来解决．(2)条件图形个数的计算：这类问题的图形数目较多且较复杂，所求的是满足某种限制条件的几何图形的个数，解决此类问题的关键是对限制条件的分析，这些条件的要求往往决定了所求图形的不同情况和种类，此为分类计数的重要依据．(3)分割或包围图形个数的计算：它们是指用一类几何图形（如直线）去分割另一类几何图形（如平面或其他封闭图形），或者一类封闭图形包含另一类封闭图形，解决此类问题，除了掌握必要的分割与包含的几何知识之外，还需要借助有关统计的方法和技巧．名题精讲考点1 分类枚举法计数例1 在1到300这300个自然数中，不含有数字3的自然数有_______个．【切题技巧】利用分类枚举法，按数的位数分类；即不含有数字3的一位数有几个；不含数字3的两位数有几个；不含数字3的三位数有几个，最后求出总数．【规范解答】∵不含有数字3的一位数有8个；不含有数字3的两位数有72个；不含有数字3的三位数有162个．∴不含有数字3的自然数共有8＋72＋162＝242个．【借题发挥】分类枚举法就是将所研究对象按某一标准分类，然后把研究对象的各种可能一一列举出来，最后数出总数的方法，这种方法要用到加法原理．在运用枚举法时，必须无一重复，无一遗漏，且枚举法常与分类讨论结合运用，故称为分类枚举法．【同类拓展】1．在1000以内的自然数中，各位数字之和等于16的有多少个？考点2 分步法计数例2 某城市街道如图，一个居民要从A处前往B处，如果规定，只能沿从左向右或从上向下的方向走，那么该居民共有几条可选择的路线？【切题技巧】本例看起来复杂，但可以从简单情况入手寻找规律，按从上向下，从左向右的顺序，从简单情况分步来看复杂问题．如先考虑简单情况如图(1)中的正方形，可知以A到C的方法有2种，再考虑如图(2)中的情况，可以从A到D的方法共有3种……【规范解答】从简单情况入手，先考虑如图(1)中的小正方形，不难发现，从A到C共有2种方法；再考虑如图(2)中的情况，同样可知：从A到D共有3种方法……从而可总结出下述规律：到右下角终点的走法等于它所在小正方形右上角和左下角走法之和，故依次标出每个小正方形的走法不断累加，即可得到答案．由图(3)可知共有40种走法．【借题发挥】(1)分步计数法就是指当所研究对象较复杂时，为了有序而又正确地思维，将问题分成若干步，最后求出各步的总数．(2)在利用分步法计数时，要克服盲目性和随意性，一定要按照法则或顺序进行、从简单情况人手分步来思考复杂问题是解决问题的常用技巧．(3)分步法常与分类法结合求解．【同类拓展】2．在期中考试中，同学甲、乙、丙、丁分别获得第一、第二、第三、第四名，在期末考试中，他们又是班上的前四名，如果他们当中只有一位的排名与期中考试的排名相同，那么排名情况有_______种可能；如果他们排名都与期中考试中的排名不同，那么排名情况有_______种可能．考点3 递推过渡法计数例3 小美步行上楼的习惯是每次都只跨一级或两级，若她要从地面（0级）步行到第9级，问她共有多少种不同的上楼梯的方式．【切题技巧】因为楼梯台阶较多，我们可以先考虑以简单入手．(1)若只有1级台阶，则只有唯一上楼梯方式；(2)若有2级台阶，则有两种上楼梯的方式：①一级一级地上；②一步两级地上；(3)若有3级台阶，则有三种上楼梯的方式：①一级一级地上，②先一级后2级地上，③先2级后1级地上……如此类推．【规范解答】设小美上第n级楼梯有a n种上法，通过分析易知a1＝1，a2＝2，a4＝5，a n＋2＝a n＋1＋a n，n＝1，2，3，…，从而递推可得：a5＝8，a6＝13，a7＝21，a8＝34，a9＝55．所以小美共有55种不同的上楼梯的方式．【借题发挥】(1)当研究对象比较复杂时，要很自然地想到从特殊到一般的思维方式．即从特殊的简单的情况人手探索变化的规律，(2)用递推过渡法计数时先要从最简单情况和特殊情况入手分析，发挥观察、归纳猜想的思想方法，最终探索出变化规律，且在探索一般的规律时，应注意抓住问题的实质为最后计数提供依据．【同类拓展】3．平面上n个圆（n为正整数），最多能把平面分成多少个部分？考点4 加法原理和乘法原理法计数例4 观察如图所示的图形：根据图(1)、(2)、(3)的规律，则图(4)中三角形的个数为_______．【切题技巧】通过观察知：图(1)中三角形的个数为：1＋4＝5（个）；图(2)中三角形的个数为：1＋4＋3×4＝17（个）；图(3)中三角形的个数为1＋4＋3×4＋32×4＝53（个），由图(1)(2)(3)中三角形的个数的规律，可知图(4)中三角形的个数为1＋4＋3×4＋32×4＋33×4＝1＋4＋12＋36＋108＝161（个）【规范解答】 161个【借题发挥】(1)按本例中图(1)、(2)、(3)……的图形规律，则图（n）中三角形的个数为：1＋4＋3×4＋32×4＋33×4＋…＋3n－1×4（个）． (2)当研究对象为比较复杂的计数问题中，我们常需要用到加法原理与乘法原理，而且还需要对研究对象进行分析，从简单情形入手，通过观察、归纳、猜想，最后找出其变化规律，再依据规律计算其个数．【同类拓展】4．一个三角形最多将平面分成两部分，两个三角形最多将平面分成8个部分，10个三角形最多将平面分成多少个部分？n个三角形呢？例5 分正方形ABCD的每条边为四等分，取分点（不包括正方形的四个顶点）为顶点可以画出多少个三角形？【切题技巧】显然构成三角形的3个顶点不可能共线，即3个顶点不可能在正方形的同一边上，故最多有2个顶点在正方形的同一边上；又因为三角形顶点只能取分点，故必须在正方形的边上．因此只有两种情况：(1)三角形的顶点分别在正方形的三边长；(2)三角形的顶点分别在正方形的两条边上．【规范解答】分两类计算：(1)第一类：如图(1)三角形的顶点分别在正方形的在三条边上．首先，从4条边中取3条有4种取法；其次从每条边上取一点，各有3种取法，故总共计有4×3×3×3＝108（个）三角形．(2)第二类如图(2)，三角形的两个顶点位于正方形的一条边上，而第三个顶点在正方形的另一条边上．首先，从4条边取1条有4种取法，在这边3个分点中取2点，也有3种取法；其次，从其余3边中的9点中取1点，有9种取法，故共有4×3×9＝108（个）三角形．综上所述，两类合计，共有216个三角形．【借题发挥】(1)在使用加法原理和乘法原理时一定要明确两者的不同之处：在用加法原理时，完成一件事有n类方法，都能完成这件事，而用乘法原理时，完成一件事情可分为n步，只有每一步都完成了，这件事情才得以完成．(2)运用加法原理的关键在于合理适当地进行分类，使所分类既不重复又不遗漏；而运用乘法原理的关键在于分步骤，要正确地设计分步程序，使每步之间既互相联系，又彼此独立．【同类拓展】5．至少有两个数字相同的三位数共有( )个．A．280 B．180 C．252 D．396参考答案1．69个．2．9（种）．3．n2－n＋2（个部分）．4．10个三角形最多将平面分成272个部分，n个三角形最多将平面分成(3n2－3n＋2)个部分．5．C2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．若()220x +=，则xy 的值为（ ） A.5 B.6 C.﹣6 D.﹣82．如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，E ，F 为BD 所在直线上的两点，若∠EAF=135°，则下列结论正确的是（ ）A ．DE=1B ．tan ∠AFO=13C ．D ．四边形AFCE 的面积为943．已知4＜m ＜5，则关于x 的不等式组0420x m x -<⎧⎨-<⎩的整数解共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4．如图，在已知的△ABC 中，按以下步骤：（1）分别以B 、C 为圆心，大于12BC 的长为半径作弧，两弧相交M 、N ；（2）作直线MN ，交AB 于D ，连结CD ，若CD ＝AD ，∠B ＝20°，则下列结论：①∠ADC ＝40°②∠ACD ＝70°③点D 为△ABC 的外心④∠ACD ＝90°，正确的有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，在菱形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ．将菱形沿EF 折叠，使点C 与点O 重合．若在菱形ABCD 内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A ．23B ．35C ．34D ．586．在直角坐标平面内，已知点M(4，3)，以M 为圆心，r 为半径的圆与x 轴相交，与y 轴相离，那么r 的取值范围为( )A ．0r 5<<B ．3r 5<<C ．4r 5<<D ．3r 4<<7．若一个正九边形的边长为α，则这个正九边形的半径是( )A ．cos 20α︒ B ．sin 20α︒ C ．2cos 20α︒ D ．2sin 20α︒8．如图，已知直线y ＝34x ﹣6与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，A 是以D （0，2）为圆心，2为半径的圆上一动点，连结AC 、AB ，则△ABC 面积的最小值是（ ）A ．26B ．24C ．22D ．209．某校规定学生的学期数学成绩满分为100分，其中平时学习成绩占30%，期末卷面成绩占70%，小明的两项成绩（百分制）依次是80分，90分，则小明这学期的数学成绩是（ ）A ．83分B ．86分C ．87分D ．92.4分 10．若不等式组无解，则m 的取值范围是（ ） A. B. C. D.11．如图，在△ABC 中，∠B ＝70°，∠C ＝30°，分别以点A 和点C 为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为（ ）A.40°B.45°C.50°D.60°12．如图，正方形ABCD 和正方形CEFG 中，点D 在CG 上，BC ＝2，CE ＝6，H 是AF 的中点，那么CH 的长是（ ）A ．2.5B C D ．二、填空题 13．如图，点、是函数上两点，点为一动点，作轴，轴，下列结论：①≌；②；③若，则平分；④若，则．其中正确的序号是__________（把你认为正确的都填上）．14．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，AB =10，34tanA =，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为_____. 15．与点 P(3，4)关于y 轴对称的点的坐标为______；与点Q(－3，4)关于原点对称的点的坐标为______.16．（4分）如图，直线l1、l2、…l6是一组等距的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3、l6相交于点B、E、C、F．若BC=2，则EF的长是．17．使式子11x-有意义的x的取值范围是_____．18．把多项式m2（a﹣2）+m（2﹣a）分解因式等于_____．三、解答题19．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2ax+a2+2的顶点C，过点B(0，t)作与y轴垂直的直线l，分别交抛物线于E，F两点，设点E(x1，y1)，点F(x2，y2)(x1＜x2)．(1)求抛物线顶点C的坐标；(2)当点C到直线l的距离为2时，求线段EF的长；(3)若存在实数m，使得x1≥m﹣1且x2≤m+5成立，直接写出t的取值范围．20．振华书店准备购进甲、乙两种图书进行销售，若购进40本甲种图书和30本乙种图书共需1700元，若购进60本甲种图书和20本乙种图书共需1800元.()1求甲、乙两种图书每本进价各多少元；()2该书店购进甲、乙两种图书共120本进行销售，且每本甲种图书的售价为25元，每本乙种图书的售价为40元，如果使本次购进图书全部售出后所得利润不低于950元，那么该书店至少需要购进乙种图书多少本？21．下面是两个转盘，每个转盘分成几个相等的扇形，甲、乙两个人做游戏，游戏者同时转动两个转盘一次，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，则甲赢否则乙赢．（1）甲和乙获胜的概率分别是多少？（2）这个游戏对双方公平吗？说说你的理由．（3）如果你认为不公平，应怎样修改才能使游戏对双方公平？22．请在如图所示的正方形和等边三角形网格内，仅用无刻度的直尺完成下列作图，过点P向线段AB引平行线．23．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝8．(1)在BC上求作一点P，使PA+PB＝BC；(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)求BP的长．24．如图，AB为⊙O的直径，O过AC的中点D，DE为⊙O的切线，E在BC上．（1）求证：DE⊥BC；（2）如果DE＝m，tanC＝12，请你写出求AB长的解题思路．25．如图,根据要求画图(保留画图的痕迹,可以不写结论)(1)画线段AB；(2)画射线BC；(3)在线段AB上找一点P，使点P到A.B.C三点的距离和最小,并简要说明理由．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．②③14．15．(-3，4) (3，-4)16．x17．118．：m（a﹣2）（m﹣1）三、解答题19．(1)(a，2)；(2)EF＝；(3)2＜t≤11．【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，进而可得出顶点C的坐标；（2）由抛物线的开口方向及点C到直线l的距离为2，可得出直线l的解析式为直线y=4，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点E，F的坐标，进而可得出线段EF的长；（3）代入y=t可求出点E，F的坐标，进而可得出线段EF的长，结合存在实数m，使得x1≥m-1且x2≤m+5成立，可得出关于t的不等式组，解之即可得出t的取值范围．【详解】(1)∵y＝x2﹣2ax+a2+2＝(x﹣a)2+2，∴抛物线顶点C的坐标为(a，2)；(2)如图：∵1＞0，∴抛物线开口向上，又∵点C(a ，2)到直线l 的距离为2，直线l 垂直于y 轴，且与抛物线有交点， ∴直线l 的解析式为y ＝4． 当y ＝4时，x 2﹣2ax+a 2+2＝4， 解得：x 1＝a，x 2＝，∴点E 的坐标为(a，4)，点F 的坐标为，4)， ∴EF ＝﹣(a)＝； (3)当y ＝t 时，x 2﹣2ax+a 2+2＝t ， 解得：x 1＝ax 2＝∴EF ＝又∵存在实数m ，使得x 1≥m﹣1且x 2≤m+5成立，∴206t ->⎧⎪⎨⎪⎩，解得：2＜t≤11． 【点睛】本题考查了二次函数的三种性质、二次函数图象上点的坐标特征、两点间的距离公式以及解不等式组，解题的关键是：（1）利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征，求出点E ，F 的坐标；（3）由线段EF 长度的范围，找出关于t 的不等式组． 20．（1）30；（2）70 【解析】 【分析】（1）设每本甲种图书的进价为x 元，每本乙种图书的进价为y 元，得4030170060201800x y x y +=⎧⎨+=⎩，解方程组可得；（2）设该书店购进乙种图书a 本，购机甲种图书()120a -本.根据题意，得()()()25201204030950a a --+-≥，解不等式组可得. 【详解】（1）解：设每本甲种图书的进价为x 元，每本乙种图书的进价为y 元.根据题意 得4030170060201800x y x y +=⎧⎨+=⎩解得：2030x y =⎧⎨=⎩答：每本甲种图书的进价为20元，每本乙种图书的进价为30元. （2）解：设该书店购进乙种图书a 本，购机甲种图书()120a -本. 根据题意 得()()()25201204030950a a --+-≥ 解得70.a ≥答：该书店至少购进乙图书本70. 【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的运用，理解题意找出等量关系是解题的关键. 21．（1）1625，925 ；（2）不公平，理由见解析；（3）两次都转蓝色，甲赢；两次都转红色，乙赢． 【解析】 【分析】（1）根据题意，用列表法将所有可能出现的结果，再根据概率公式计算可得； （2）由（1）的结果，判断两人获胜的概率是否相等，得到结论不公平． （3）只要使甲、乙获胜的概率相等即可． 【详解】解：（1）列表如下：由表知，共有25种等可能结果，其中转盘A 转出了红色，转盘B 转出了蓝色有16种结果， ∴甲获胜的概率为1625， 则乙获胜的概率为925； （2）不公平，因为1625≠925；（3）两次都转蓝色，甲赢；两次都转红色，乙赢．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．22．见解析【解析】【分析】利用正方形网格以及等边三角形网格中，网格线的位置关系以及格点连线的位置关系进行作图即可．【详解】如图所示，PQ即为所求．【点睛】本题考查了平行线的判定以及等边三角形的性质的运用，解题时首先要理解题意，弄清问题中对所作图形的要求，结合对应几何图形的性质和基本作图的方法作图．23．(1)见解析；(2)3.【解析】【分析】（1）作AC的垂直平分线与BC相交于P；（2）根据勾股定理求解.【详解】(1)如图所示，点P即为所求．(2)设BP ＝x ，则CP ＝8﹣x ， 由(1)中作图知AP ＝CP ＝8﹣x ，在Rt △ABP 中，由AB 2+BP 2＝AP 2可得42+x 2＝(8﹣x)2， 解得：x ＝3， 所以BP ＝3． 【点睛】考核知识点：勾股定理和线段垂直平分线. 24．（1）详见解析；（2）详见解析． 【解析】 【分析】（1）证明：连结OD ，如图，先证明OD 为△ABC 的中位线得到OD ∥BC ，再根据切线的性质得到DE ⊥OD ，然后根据平行线的性质可判断DE ⊥BC ；（2）连结BD ，如图，先根据圆周角定理得到90ADB ∠=︒，再利用等腰三角形的判定得出AB BC ＝，接着根据正切的定义在Rt CDE △中计算出2CE DE =，在Rt △BDE 中计算出12BE DE =，然后利用OD 为△ABC 的中位线可求出OD ，从而得到圆的直径． 【详解】（1）证明：连接OD ． ∵DE 为⊙O 的切线， ∴OD ⊥DE ，∵D 为AC 中点，O 为AB 中点， ∴OD 为△ABC 的中位线， ∴OD ∥BC ，∴90ODE DEC ∠∠︒＝＝ ， ∴DE BC ⊥； （2）解：连接DB ， ∵AB 为⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°，∴DB ⊥AC ， ∴90CDB ∠=︒ ∵D 为AC 中点， ∴AB BC ＝， 在Rt △DEC 中，∵12DE m tanC ＝，＝ ， ∴2tan DEEC m C＝＝ ，由勾股定理得：DC ，在Rt △DCB 中，•BD DC tanC m ＝， 由勾股定理得：52BC m ＝ ， ∴52AB BC m ＝＝．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直． 25．（1）见解析（2）见解析（3）作CP ⊥AB 于P,此时P 到A.B.C 三点的距离和最 短，图见解析 【解析】 【分析】 (1)连接AB 即可 (2)作射线BC 即可;(3)过C 作CP ⊥AB 于P,即可得出答案 【详解】 (1)(2)如图所示:(3)如图所示:作CP⊥AB于P,此时P到A.B.C三点的距离和最理由是:根据两点之间线段最短,PA+PB此时最小,根据垂线段最短,得出PC最短,即PA+PB+PC的值最小,即点P到A.B.C三点的距离和最小。
奥数2年级图形计数
图形计数：计算某一图形的个数。
要求： 1、计数时不重复，即不能 把同一图
形计数两次。 2、不遗漏。 3、要按一定的顺序或按一某一个标
准统一分类去计算，即有规律地 计数。
图形计数方法： 1、线段端点法 2、基本图形数量法 3、分式法 4、分类法
典型例题 例1：下图中有多少条线段？
AB C
D
练习： 下图中有多少条线段？
练习： 下图中有多少条线段？
……
A C1 C2
C20 B
典型例题 例2：下图中有多少个三角形？
练习 下图中有多少个三角形？
典型例题 例3：下图中有多少个三角形？
A
D NM
BF E
CHale Waihona Puke 练习 下图中有多少个三角形？
典型例题 例4：下图中有多少个长方形？
练习 下图中有多少个长方形？
典型例题 例4：下图中有多少个正方形？
练习 下图中有多少个正方形？
从武汉到上海的客船，中途要停靠5 站，航运公司要为这艘客船准备多 少种不同的船票价？
有10个小朋友，每个小朋友都要和 其他小朋友拍手，这些小朋友一共 要拍多少次手？
二年级专题第四讲：数几何图形的个数
第四讲：数几何图形的个数“数几何图形的个数”是趣味图形问题的一种。
数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握方法和技巧。
一、数线段1. 数出下列每条线段上线段的总条数。
分析与解：数线段的时候一定按一定的顺序数，否则就会出现重复或遗漏。
数时可以先数最基本的小线段，再数两条基本线段组成的线段，再数三条基本线段组成的线段，……，最后把各种“线段”条数相加起来。
法一：照下面的方法数(以第2小题为例)：3+2+1=6（条）法二：(规律) 线段总条数都是从1开始的几个连续自然数的和，而且最后一个加数正好和最基本线段数相同。
（1）（条）（2）（条）（3）（条）二、数角2. 数出右图中总共有多少个角.分析与解：在∠AOB内有三条角分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条角分线分成4个基本角，那么∠AOB内总共有多少个角呢？首先有这4个基本角，其次是包含有2个基本角组成的角有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本角组成的角有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本角组成的角有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有角：4＋3＋2＋1＝10（个）.令狐老师注：数角的方法可以采用例1数线段的方法来数，就是角的总数等于从1开始的几个连续自然数的和，这个和里面的最大的加数是角分线的条数加1，也就是基本角的个数. 【巩固】数一数右图中总共有多少个角？分析与解：因为∠AOB内角分线OC1、OC2…OC9共有9条，即9+1=10个基本角.所以总共有角：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）.三、数三角形3. 如右图中，各个图形内各有多少个三角形？分析与解：方法一：(1)先数图中包含一个小三角形个数：△ABD、△ADE、△AEF、△AFC 共4个三角形.(2)再数由两个小三角形组合在一起的三角形个数：△ABE、△ADF、△AEC 共3个三角形，(3)以三个小三角形组合在一起的三角形：△ABF、△ADC 共2个三角形，(4)最后数以四个小三角形组合在一起的只有△ABC一个.所以图中三角形的个数总共有：4+3+2+1=10（个）.方法二：我们就可以把数三角形问题转化为数线段问题了。
二年级奥数：巧数图形
二年级奥数：巧数图形体系所属体系板块：第三级上能力培养：分类思考、数形结合思想体系对接：第一级下《有趣的平面图形》第三级下《飞速图形计数》预热知识一、分类法1、打枪法2、恰含法3、分大小【例】下图你能数出多少条线段？【例】下图共有多少个长方形？【解析】分类法（打枪法）【解析】分类数（恰含法）总：4+3+2+1=10（个）总：3+2+1=6（个）答：共10个。
答：共6个。
【例】下图你能数出多少个正方形？【解析】分类数（大小）1个小正方形：4个4个小正方形：1个总：4+1=5（个）答：共5个。
二、巧数图形（分层数）1、总数=每层个数相加每层个数=上层个数+看得见【例】下图中的小方块有几个？【解析】巧数图形（分层数）总：1+4+5=10（个）答：有10个。
课前思考1、正方形如何计数呢？2、小方块如何计数呢？3、如何利用学过的乘法来进行计数？4、一年级秋季要求背的1-10的三角形数还记得吗？数数中的枚举知识点精讲知识点总结一、数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9（共10个）数：由数字组成的（无数个）二、组数（最高位不为0）1.确定几位数2.确定从哪位开始写注：①“比”后为目标②“相差”：2种情况3.确定顺序（从小到大/从大到小）4.有无特殊要求反序数下降数（上升数）例题精讲1.根据条件组数——有序的排列（例2）你能根据下面的要求，写出所有符合条件的两位数吗？（1）十位上的数字比个位上的数字大2；（2）十位上的数字与个位上的数字相差2。
解析：（1）先确定要题目要求我们写的是两位数，再确定从哪一位开始写——通过比较，发现先写出“比”字后面的，再写前面的思考起来更容易，所以一般我们把“比”字后面的当做是目标。
在这里也就是“个位上的数字”为目标，先写出来个位可能是几，再寻找十位上比个位上大2的数字即可组成我们需要的两位数。
个位上可能是：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。
而十位上最大是9，十位上的数字比个位上的数字大2，所以个位上最大是7。
四年级数学思维训练练习题库
四年级数学思想训练练习题库作者：王肖峰文章本源：本站原创点击数：4701更新时间：2009-12-29一、数图形专题简析：我们已经认识了线段、角、三角形、长方形等基本图形，当这些图形重重叠叠地交叉在一起时就组成了复杂的几何图形。
要想正确地计数这类图形中所包含的某一种基本图形的个数，就需要认真地观察，灵便地运用有关的知识和思虑方法，掌握数图形的规律，才能获得正确的结果。
授课方法：①数图形常用的方法有列举法和分类法，列举时要依照必然的序次，前后要一致，否则很可能重复或遗漏；分类时要注意选择合适的分类标准。
②总的思虑方式是要点从基本图形下手，第一要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，尔后再数出由基本图形组成的新图形，并求出它们的和。
③一般常有的几何平面图形的计数能够依照“线段总条数=点数×（点数 -1 ）÷ 2”来计算。
④正确、有序、合理、迅速地数出几何图形。
例 1：数出下面图中有多少条线段。
思路导航：要正确解答这类问题，需要我们依照必然的序次来数，做到不重复，不遗漏。
方法一：从图中能够看出，从 A 点出发的不一样线段有 3 条： AB、AC 、 AD ；从 B 点出发的不一样线段有 2 条：BC、 BD ；从 C 点出发的不一样线段有1条： CD 。
因此，图中共有3+2+1=6 条线段。
方法二：由线段总条数=点数×（点数 -1 ）÷ 2 计算。
由于线段 AD 间有 4 个点，因此线段总条数 =4×（4－ 1）÷2例2：数一数以下列图中有多少个锐角。
思路导航：数角的方法和数线段的方法近似，图中的五条射线相当于线段上的五个点，因此，要求图中有多少个锐角，可依照公式 1+2+3 ??（总射线数－ 1）求得： 1+2+3+4=10 （个）例 3：数出下面图中共有多少个三角形。
思路导航：数三角形的个数也能够采用按边分类的方法来数。
以 AB 为边的三角形有：△ ABC 、△ ABD 、△ABE 三个；以 AC 为边的三角形有：△ ACD 、△ACE 二个；以AD 为边的三角形有：△ADE 一个。
奥数笔记一：数图形(20120909)
奥数一、数图形数线段方法1、打枪法：朝一个方向打，按照一定顺序打。
方法2、基本线段法【定义】直线上的端点数比基本线段数大1 。
问题一、一直线有9 个端点，能组成几条线段？题解：一直线有9 个端点，此直线上的基本线段数为8，所能组成的线段数为：8+7+6+5+4+3+2+1＝36（条）。
数图形【定义】基本图形法（基本图形：在图中最小的图形，不能再被分割）【要点】数图形就要先数基本图形。
问题二、求图中含有三角形的个数解题：上图含有3 个基本三角形，图中含有三角形个数为：3+2+1＝6（个）。
【要点】数图形的角就先数基本角。
问题三、求图中含有几个锐角解题：上图最大角为锐角，基本角有4个，图中含有锐角数量为：4+3+2+1＝10（个）分类法：分层法、分边法【分层法】当图形不是我们前面学过的基本图形，但通过观察可以发现里面包含有基本图形，并且是可以通过分层的方法来得到基本图形时，我们就用分层数的方法。
如上图，三角形中加一条横线，分成上下2 层，上层是三角形，下层为梯形，上、下合起来为三角形；上层2 个基本三角形，图形数为2+1＝3（个）,下层无三角形，三角形数为0 ,上、下组合时，有2 个基本三角形，图形数为2+1＝3（个），此图形中三角形总数为：3+0+3＝6（个）。
【分边法】将图形分为左、右2边来数，左边有2个基本三角形，图形数为：2+1＝3（个），右边有2个基本三角形，图形数为：2+1＝3（个），左、右合并后的图形如右图，图中含有2个三角形，本题图中含有三角形的总数为：3+3+2＝8（个）图中恰含1个三角形的有6个，分别：①、②、③、④、⑤、⑥恰含2个三角形的有3 个，分别：①②、③④、⑤⑥恰含3个三角形的有6个，分别：①②③、②③④、③④⑤、④⑤⑥、⑤⑥①、⑥①②恰含4、5个三角形的均为：0，恰含6个三角形的有：1个；此图中含有三角形的个数为：6+3+6+1+1＝16（个）。
二升三奥数衔接第三讲 分类计数复杂图形 (4)
龙文教育学科导学案教师:学生:王佳琦年级二日期: 5 星期:四时段: 3--5学情分析课题二升三奥数衔接第一讲找规律（数列）学习目标与二三年级奥数基础知识的掌握和基本能力的提高考点分析学习重点变式训练，常规解决问题的技巧学习方法探索为主，讲练结合学习内容与过程知识点；按一定次序排列的一列数叫数列。
例如（1）1，2，4，8，16，32。
（2）1，1，2，3，5，8，13，。
（3）11，12，14，18，26。
一个数列中从左往右的第几个数叫做这个数列的第几项。
例如数列（1）的第三项是4，数列（2）的第三项是2.数列中数的个数可以是有限个，如数列（2），也可以是无限个如数列（1）、（3）。
数列中的数是按一定规律排列的。
如数列（1）中后一项总是前一项的2倍，数列（2）中的前两项的和等于后一项。
常见的数列规律有这样几类；1.数列各项只与它的项数有关，或只与它的前一项有关。
如数列（1）。
2.前后几项为一组，以组为单元找关系才可以找到规律。
如数列（2）。
3.数列本身要与其他数列对比才能发现其规律。
如数列（3）。
对于比较简单的数列，一般从相邻两数的和、差、积、商中找排列规律稍复杂的数列要把数列合理的拆分成几个部分，分别考察它们的排列规律。
一要细心观察题目中数字的特征，二要灵活的运用整数的有关知识和加、减、乘、除的计算法则，以及它们之间的关系进行合理的推想。
认真分析题目中所给数据与未知数据的联系，从中发现规律，按规律填数，从而解决问题。
例一、（），36 ，25 ，16 ，（），（），1分析；观察数列我们不难发现数列中的第2，3，4项分别是6×6，5×５，４×4，由此我们可以推想数列第1项7×7，即是49，数列第5、6项就是3×3、2×2就是9和4心领神会（1）——老师相信你能根据所学知识快速完成下面题目，加油！(1)31、27、23、19、（）、( )(2)3、15、5、13、7、11、( )、( )(3)5、9、13、17、21、（）（4）2、8、32、128、（）（5）42、30、20、（）、6、2（6)90、56、30、（）、2例二、8、3、9、4、10、5、（）、（）分析；仔细观察数列不难发现---第1、3、5项是8、9、10，即是由8为基数的连续自然数列，而第2、4、6项是3、4、5，即是由3为基数的连续自然数列，这样就不难填出空格部分了，应填11、6心领神会（2）下面的题目相信你能做出来，加油！你最棒！（1）6、1、8、3、10、5、（ ) 、（）（2）3、4、7、9、11、14、（ ) 、（ )(3) 1、2、4、4、9、8、16、16、（ ) 、（ )(4) 10、98、15、94、20、90、（ ) 、( )(5) 50、25、60、36、70、49、（）、（）（6）7、8、15、23、38、（）、( )(7)10、98、15、94、20、90、（）、（ )(8)()(),2313,159,96,54（9）、、、、、43322920171276例三、体育馆正在进行单打、双打比赛，双打比赛的运动员比单打的运动员多4名，比赛的乒乓球台共有13张，那么双打比赛的运动员有（）名分析；单打的时候一张球桌是两名运动员，双打的时候一张球桌是四名运动员，双打的运动员比单打的运动员多4个人，多的人数正好是双打的一张球桌的人数，故把13张球桌去掉一张就是12张球桌，在12张球桌中双打的人数和胆大的人数一样多，那么，单打所占球桌就是双打球桌的2倍，即单打8张，双打4张，还有一张加上去就是5张心领神会（3）：加把劲，老师相信你能快速填出下面各题，你最棒！（1）3、4、7、12、19、28、（）、（）（2）1、2、3、6、7（3）18、9、10、5、6、（）、（）（4）11、100、13、90、15、80、（）、（）（5）1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=( ）（６）８、１５、２２、（）、３６（７）１、５、３、７、５、９、７、（）、（）、１３、１１。
小班数学教案：学习用图形表示数量
小班数学教案：学习用图形表示数量在小班数学教学中，学生们需要学习如何用图形来表示数量，这不仅有助于他们更好地理解数学概念，还可以帮助他们在日常生活中更好地应用数学知识。
一、教学目标1.掌握用图形表示数量的基本方法，包括计数、组织和比较。
2.能够使用不同类型的图形来表示不同的数量，并解释它们之间的关系。
3.能够在日常生活中应用所学知识，例如计算购物清单、评估房屋大小等。
二、教学方法1.实践操作教师可以通过实践操作的方式来引导学生理解如何用图形表示数量。
例如，老师可以给学生一些图形卡片，然后要求他们按照数量编组，或者将卡片放在不同的位置上，以展示数量。
2.游戏式学习游戏式学习可以激发学生的兴趣和参与度。
老师可以设计一些游戏来帮助学生更好地掌握用图形表示数量的方法。
例如，老师可以设计一个名为“猜食物”的游戏，让学生根据图形猜猜这是什么食物。
3.分组互动让学生分组互动也是一种有效的教学方法。
老师可以让学生自己找出一些物品，并在小组内对物品进行数量统计，然后将统计结果用图形表示出来，以展示他们的工作成果。
三、教学内容1.计数教师应该首先向学生介绍计数的方法，例如，计数时可以用手指或者计数器，要求学生数出数量并将这个信息用图形来表示。
2.组织学生需要学习如何将物品分组，并将每组中的数量用图形表示出来。
例如，叶子可以按照颜色分组，然后用图形来表示每组中的叶子数量。
3.比较学生需要学习如何用图形表示数量的大小。
例如，用不同颜色的圆形来表示不同大小的苹果，然后让学生选择哪个苹果更大。
四、教学案例教师可以设计一些案例来帮助学生更好地掌握用图形表示数量的方法。
案例1：计算购物清单小明去超市购物，他需要购买2个苹果、3个西红柿和4个香蕉。
请学生使用图形来表示这些物品的数量，并计算出总共需要花费多少钱。
案例2：评估房屋大小小芳想要卖掉她的房子，她想要了解自己房子的大小。
请学生用图形来表示她的房子的大小，例如长宽高等。
以上是小班数学学习用图形表示数量的一些教案，希望能对您有所帮助。
小学奥数讲座标准教案-学案-三年级第5讲 图形个数
第5讲 图形个数计算： 308+203-399-97同学们，你想学会数图形的方法吗？要想不重复也不遗漏地数出线段、角、三角形、长方形……那就必须要有次序、有条理地数，从中发现规律，以便得到正确的结果。
要正确数出图形的个数，关键是要从基本图形入手。
首先要弄清图形中包含的基本图形是什么，有多少个，然后再数出由基本图形组成的新的图形，并求出它们的和。
【例题1】数出下图中有多少条线段？【思路导航】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。
以A 点为左端点的线段有：AB 、AC 、AD 3条；以B 点为左端点的线段有：BC 、BD 2条；以C 点为左端点的线段有：CD 1条。
所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。
方法二：把图中线段 AB 、BC 、CD 看做基本线段来数，那么，由1条基本线段构成的线段有：AB 、BC 、CD 3条；由2条基本线段构成的线段有:AC 、BD 2条；由3条基本线段构成的线段有：AD 1条。
所以，图中一共有3+2+1=6（条）线段。
（1）数出下图中有多少条线段？ （2）数出下图中有几个长方形？【例题2】数出图中有几个角？EA B C D DABCODC BA【思路导航】数角的个数可以采用与数线段相同的方法来数。
方法一：以OA 为一边的角有：∠AOB 、∠AOC 、∠AOD 3个；以OB 为一边的角还有： ∠BOC 、∠BOD 2个；以OC 为一边的角还有：∠COD 1个。
所以，图中共有角3+2+1=6（个）。
方法二：把图中∠AOB 、∠BOC 、∠COD 看做基本角来数，那么，由1个基本角构成的角有：∠AOB 、∠BOC 、∠COD 3个；由2个基本角构成的角有: ∠AOC 、∠BOD 2个；由3个基本角构成的角有：∠AOD 1个。
所以，图中一共有3+2+1=6（个）角。
练习2：数出图中有几个角？（1） （2）【例题3】数出右图中共有多少个三角形？【思路导航】方法一：我们可以采用按边分类数的方法。
第06讲-分类数图形(教)(教案教学设计导学案)
二、解题策略
要准确、迅速地计数图形必须注意以下几点：
1.弄清被数图形的特征和变化规律。
2.要按一定的顺序数，做到不重复，不遗漏。
考点一：基本图形
例1、数出下图中有多少条线段？
【解析】方法一：我们可以采用以线段左端点分类数的方法。以A点为左端点的线段有：AB、AC、AD 3条；以B点为左端点的线段有：BC、BD 2条；以C点为左端点的线段有：CD 1条。所以，图中共有线段3+2+1=6（条）。
长方形的总数=长边线段的总数×宽边线段的总数：
（3+2+1）×（2+1）=18（个）
例5、数一数，下图中有多少个正方形？（每个小方格是边长为1的正方形）
【解析】图中边长为1个长度单位的正方形有3×3=9个，边长为2个长度单位的正方形有2×2=4个，边长为3个长度单位的正方形有1×1=1个。所以图中的正方形总数为：1+4+9=14个。
2、数出图中有几个角？
【解析】以OA为一边的角有2个；以OB为一边;1=3（个）。
3、数出图中共有多少个三角形？
【解析】我们可以采用按边分类数的方法。以BA为边的三角形有4个；以AC为边的三角形还有3个；以AD为边的三角形还有2个，以AE为边的三角形还有1个。所以，图中共有三角形4+3+2+1=10（个）。
经进一步分析可以发现，由相同的n×n个小方格组成的几行几列的正方形其中所含的正方形总数为：1×1＋2×2＋…＋n×n。
图形计数的方法
２ ． 数角．
至 Ｅ宦
是９ Ｏ 一１ ８ ＝ ７ ２ ．
田 田
在使用分类计数法时 ， 一定要注意是 正 方形 ： 如左 、 中、 右 三图 ， 各 包含 多
否有遗漏或重复计 数的 ！
少 个 正 方 形？
数 角与数线段相似 ， 角 图形 中的边类 似 于线段 图形 中的点．
由分 类法知 Ｄ Ｅ上有 １ ５条线 段 ， 每
条线段 的两端点 与点 Ａ相连 ， 可构成一个 Ｂ Ｃ上 的三 角形也有 １ ５ 个， 所 以图中共有
３ ０个 三 角形 ．
如最右侧 的图形 中也有 ３ ０ 个平行 四
是３ Ｘ ３ ０ ＝ ９ ０ ７
那么原图 中平行四边形 的个数是 否 三 角形 ，共有 ｌ ５个三角形 ，同样一边在 边形 ，
合计有 ５ ＋ ４ ＋ ３ ＋ ２ ＋ １ ＝ １ ５ （ 条） 如 果一条线段上有 ｎ ＋１个点 （ 包括 两个端点 ） （ 或含 有 ｎ个 “ 基本线段 ” ） ， 那 么这 ｎ ＋１个点 把这 条线段分成 的线段总 数为 ， ＋ （ ｎ 一 １ ） ＋ ． ． ． ＋ ２ ＋ １ ；旦
ＤＯ Ｅ共 １个
四边 形 ） ， 若其横边 上共有 ｎ条线段 ， 纵 边
上共 有 ｍ条线段 ， 则图 中共 有长方形 （ 平
行 四 边形 ） ｍｎ个 ．
套 计数的方法 ，否则越数头绪越杂乱 ，
很难得 出准确 的结果． 本文就谈谈 简单的 图形计数的方法． 关键词 ： 图形
一
合计有 ４ ＋ ３ ＋ ２ ＋ｉ ＝ １ ０ （ 个）
假设 分为如下图所示的两块 ， 那么每 块中的平行四边形 的个数都是 ２ Ｏ 个．
夜晚 ， 我如往常一样认认真真地做着 的一种思想——转化思想的运用． 数学题 目．正 当进 行得一帆风顺 的时候 ， 我 却被 一道 图形 计数 的题 目难倒 了 ： “ 这 始 翻阅各种 书籍 ， 搜寻解答此类题型 的种
几何图形的计数解读
学习计数方法不仅仅使我们获得一定的数学知识和方法，更重要的是使我们
成就测试答案 1．3+2+1=6，∠A1OA4． 2．6+5+4+3+2+1=21． A 3．(4+3+2+1)×（4+3+3+1）=100． 4．4×1+3×2+2×3+1×4=20 5． 3 经过AB到F的有▁▁种爬法 3 经过AE到F的有▁▁种爬法 3 经过AD到F的有▁▁种爬法 所以共9种爬法 6．如图，图中的长方体和正方体共有多少个？ 说出你是怎样数的． 与数长方形和正方形的方法类似 (3+2+1)×(2+1)×(2+1)=54 长方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个 正方体有▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁▁个 3×2×2+2×1×1=14 D D E G F F E C
基础训练5 下图中共有
个三角形
A
顶点为O，且 一边在AB上的三角形有3×4÷2=6（个）； 一边在BC上的三角形有4×5÷2=10（个）； 一边在AC上的三角形有 3×4÷2=6（个）， 再加△ABC，所以共有23个三角形．
O B A E G B M P Q N D F H C C
（四）数长方形、平行四边形和正方形
例7
你打算怎样数图中的三角形？ F
A
B 5 第1类：与三角形ABE形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第2类：与三角形ABF形状有某些相似的三角形有▁▁个 10 第3类：与三角形ABG形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第4类：与三角形ACD形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第5类：与三角形AFL形状有某些相似的三角形有▁▁个 5 第6类：与三角形AGD形状有某些相似的三角形有▁▁个 所以图中的三角形共有35个 这里所采用的方法是分类法中的另一种，是： （4）按照图形的形状分类 也可以说是 （5）按照图形所处的位置分类
几何图形的计数
E1 D1
C1 B1
O
B 4×(4+1)÷2 =10
A1 A
（三）数三4个角基形本角可的用和数=线9段0°的；方两法个数相如邻图基所本示角的组三成角的形3对个应角法的
和本=9三=角0°9因与三个个组0°+为点角,相成1所+3DA形邻的54以相E°5,基1°同图上个连+本=样中1有角,31可角一共531=°55构组9边有°条0+成成°在3；9线00一的，个B°段个C2所三=,上个每4三以角5的角条0角所形°三的线形有.．角和段,共角形=的有的1也两315和有端5°个1点；5 4个相邻基
边长为2的正方形的个数是 边长为3的正方形的个数是 边长为4的正方形的个数是
4×3+3×2+2×1=20个 6×4=24 5×3=15 4×2=8 3×1=3
所以中图中共有正方形 6×4+5×4+4×2+3×1=50个
如果一横行有m个小正方形,一竖行有n个假设m≥n小正方形, 那么图中正方形的个数是mn+m–1n–1+…+m–n+1n–n+1
例7 你打算怎样数图中的三角形 第1类：与三角形ABE形状有某些相似的三角形有▁▁5 个 B 第2类：与三角形ABF形状有某些相似的三角形有▁▁5 个 第3类：与三角形ABG形状有某些相似的三角形有▁1▁0 个
A
FLE
G
K
CHD
第4类：与三角形ACD形状有某些相似的三角形有▁▁5 个 第5类：与三角形AFL形状有某些相似的三角形有▁▁5 个 第6类：与三角形AGD形状有某些相似的三角形有▁▁5 个
2第二大的三角形有 3第三大的三角形有
1+2=3个 1+2+3=6个
一年级《分类整理》奥数课件
绩 ，
八
分
方
法
。
愿
全
天
下
所
有
父
母
我们，还在路上……
分类
方法 语文 数学 美术 音乐 体育 品生 空堂
数量
9
4
2243源自4校本 2练习四
下面是某小学一班的课程表：
节次 星期
1
2
3
4
一
语文
数学
美术
音乐
二
数学
语文
语文
体育
三
语文
数学
体育
音乐
四
语文
语文
语文
品生
五
语文
语文
数学
体育
（2）语文和数学一共有多少节？ 9+4=13(节）
答：语文和数学一共有13节。
5 体育 品生 品生
空堂 美术
6 空堂 空堂
校本 心理健康
校本 社团活动
空堂
总结
学会选择不同的标准进行分类，掌握 分类的方法，并能对分类的结果进行简单 的整理。
都二
能分
运浇
用灌
好，
“八
二分
八等
定待
律；
”二
，分
我管
们教
一，
起八
，分
静放
待手
花；
开二
。分
成
➢ Pure of heart， life is full of sweet and joy!
数量
8个
三 绿角 色形 正黄方色形 圆棕柱色体 蓝正色方体
6个
10个 9个
7个
练习四
下面是某小学一班的课程表：
巧数图形
16个
四个基本三角形组成的△： 7个
九个基本三角形组成的△： 3个
十六个基本三角形组成的△： 1个
共有：
16+7+3+12=7 个
模仿提升3 数一数，下图中有几个三角形
8个 4个 4个
共有： 8+4+4=16 个
动动你的小脑筋，下图中有多少个三角形？
可以这样数： 看成由3个这个图形的组合，单独一个有16个三角形。 组合后增加8个三角形。
但这种方法只适合于数同一顶点上的角！
数一数，下图中有(
)个角
提示：先按角的顶点分类， 再数出每个顶点上的角
以A顶点的角：3+2+1 个 以B或E为顶点的角： 1个
A
１２３
以C或D为顶点的角： 2个
共有：6+1×2+2×2=12 个角B C D E 两招合一，轻松解决这一题！
休息一下，马上回来>>
所以，图中共有：
3+2+1=6 个三角形
BC DE
例1 数一数，下图中一个有几三角形？
第二招：基本图形组合法 将图中由黄、绿、蓝三色标示 A
的三角形看作基本三角形
基本三角形：
3个
由两个基本角组成的△： 2个
由三个基本角组成的△： 1个
共有：3+2+1 个三角
BC DE
形
模仿提升2 数一数，下图中有几个三角形
基本三角形：
4个 A
两个基本三角形组成的△： 3个 三个基本三角形组成的△： 2个
B
1 2C
四个基本三角形组成的△： 1个
3D
共有：5+4+3+2+1 个 Ｏ
《数图形的学问》(教案)-四年级上册数学北师大版
教案：《数图形的学问》-四年级上册数学北师大版教学目标：1. 让学生掌握图形的计数方法，能够准确地数出各种图形的数量。
2. 培养学生的观察能力和逻辑思维能力，提高他们对数学问题的解决能力。
3. 培养学生对数学的兴趣，激发他们主动探索和学习的积极性。
教学重点：1. 图形的计数方法。
2. 图形的分类和特征。
教学难点：1. 对复杂图形的计数。
2. 对图形的分类和特征的理解。
教学准备：1. 教学课件或黑板。
2. 图形的教具或图片。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾已学的图形知识，如正方形、长方形、三角形等。
2. 提问学生：你们知道如何数图形吗？有没有什么方法可以准确地数出图形的数量？二、探究图形的计数方法（10分钟）1. 出示一些简单的图形，如正方形、长方形、三角形等，引导学生观察并数出它们的数量。
2. 引导学生总结出图形的计数方法，如按照边数、角度等特征进行分类计数。
3. 出示一些复杂的图形，如组合图形、嵌套图形等，引导学生运用计数方法进行计数。
三、探究图形的分类和特征（10分钟）1. 引导学生观察图形，提出问题：这些图形有什么共同的特征？它们可以分为哪些类别？2. 引导学生总结出图形的分类和特征，如按照边数、角度、对称性等进行分类。
3. 出示一些图形，引导学生运用分类和特征的知识进行观察和分析。
四、巩固练习（10分钟）1. 出示一些图形题目，让学生独立完成计数和分类的任务。
2. 引导学生互相交流解题思路和方法，共同解决问题。
五、总结和拓展（5分钟）1. 引导学生总结本节课的学习内容，如图形的计数方法、分类和特征等。
2. 提问学生：你们还能想到其他的方法来数图形吗？还有其他的图形分类和特征吗？3. 引导学生思考如何运用图形的知识解决实际问题，如设计图案、计算面积等。
教学反思：本节课通过引导学生观察、思考和总结，让学生掌握了图形的计数方法、分类和特征。
在教学过程中，要注意引导学生主动参与，积极思考，提高他们的观察能力和逻辑思维能力。
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方法技巧练——运用分类法数图形的个数
1.在下图中找出平行四边形和梯形。
每种图形各有几个?
有6个平行四边形、8个梯形。
想:数图形的个数时,要按照一定的顺序分类列举,才能做到不重复、不遗漏。
分析:
2.下图中有几个平行四边形?几个梯形?
平行四边形有5个,梯形有9个。
【提示】用分类法数图形。
根据平行四边形的一条边所在位置找:①边是GF的有:平行四边形GFED,平行四边形GFDC;②边是HG的有:平行四边形ABGH,平行四边形BCGH;③边是HF的有:平行四边形BDFH。
根据梯形上底所在位置找:①上底是GF的梯形有:梯形GFEC,梯形GFEB,梯形GFDB;②上底是HG的梯形有:梯形ACGH,梯形ADGH,梯形BDGH;③上底是HF的梯形有:梯形AEFH,梯形BEFH,梯形ADFH。
3.下面的图形中,有几个平行四边形?有几个梯形?。