高等数学理论及解题方法的归纳与总结1-4
大学高等数学复习要点总结
大学高等数学复习要点总结第一章1）洛必达法则求极限，最常用，要熟练；2）无穷小代换求极限，在解题中非常有用，几个等价公式要倒背如流；3）求含参数的极限，关键是把握常量变量的关系，求解过程体现你极限计算的基本功；4）1的∞次方的极限是重点，多练几个题；5）函数连续计算中要会对点进行修改定义、补充定义，看看书上怎么写的，给你说句话你体会一下，“连续的概念是逐点概念”，所以问题就是围绕特殊点展开的，这是数学思想了；6）闭区间连续函数性质四定理非常重要，把它们背下来，然后结合例题搞定；7）记住趋向不同，结果就大不一样的极限；8）两个重要极限、两个基本极限把它们的推倒过程多写写，记住；关键还是刚才的要点，一个是用e的抬头法，一个是注意“趋向不同，结果就大不一样的极限”，还有注意ln某的定义域>0;9）要注意存在与任意的关系，存在就是说只要有一个符合就成立，任意是说只要有一个不符合就不成立，你体会体会。
例题：无穷大无穷小有界变量无界变量；10）注意夹逼定理的条件很强，不要漏掉要点；11）“见根号差，用有理化”！！这是思维定势，很管用；第二章1）导数的概念非常重要！！一定会在解答题（主观题）中让你展现出你对它的理解是透彻的，所以这里不要用什么特殊化思想，就是严格按照定义来演算推理；2）导数公式倒背如流的要求不算过分吧呵呵；3）连续可导的要求一个弱一个强，只要改变条件的强弱就会有截然不同的做法，你做题的时候一定要总结一下，回顾一下，看看条件的强弱问题，然后在每个题上标记出来，便于以后再复习；4）由于有些函数求导会出现某在分母上出现，所以要知道：即使不是分段函数，有时也要用定义去求导，而且乘积中一些因子在特定点不可导，但乘积在该点也可能可导；5）中值定理的难点在于构造辅助函数，构造函数是根据题目的要求来的，除了陈文灯等人写的方法外，关键是多看例题，熟练了，自然就会了（我上次给同学们说的是“微分方程法”和“凑”法，这两个掌握了就足够了）；6）函数性态部分是基本功，一定要耐心的按照函数作某某某的几大步骤认真做几个题，这样就可以把函数的各种性态串起来了，方法：抄例题，然后背下来，自己默一遍；9）这部分的经济应用题不难，关键是仔细一些，对弹性等概念理解好，你经济学的好的多了，我就不说了：）；第三章1）一元函数积分是高等数学中最重要的部分之一，一元函数的积分不学扎实，后面的多元函数的积分就是空中楼阁，要熟练掌握各种积分方法和几种常见的积分类型，如有理函数，三角函数的有理式和简单无理函数的积分；2）一个经验：如果在一个函数或者积分等中的函数，当它是同一个某的函数时，比如f(某)g(某)的形式，可以对其中的任何一个进行放大缩小或者变形，而另一个可以不动，这样的处理往往是需要的，很有用，当你作不下去时，想想我说的这个。
《高等数学》各章知识点总结——第1章
《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。
集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。
集合中的元素无序，不重复。
2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。
(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。
(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。
(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。
(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。
3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。
(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。
(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。
4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。
(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。
通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。
5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。
(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。
(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。
(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。
(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。
总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。
理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。
在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。
高数答题技巧总结
高数答题技巧总结高等数学作为大学本科数学专业的一门重要课程，对于学生来说常常是一道难以逾越的难题。
然而，只要我们掌握一些高数答题的技巧，就能够在考试中取得更好的成绩。
本文将为大家总结一些高数答题的技巧，希望对广大学生有所帮助。
一、了解题型特点掌握高数各种常见题型的特点是解题的关键所在。
在学习高数的过程中，我们常会遇到求导、积分、极值等各种类型的题目。
对于不同的题型，我们需要采取不同的策略进行解答。
例如，对于求导题，我们需要熟悉各种基本导数公式，灵活运用链式法则和求导法则；对于积分题，我们需要掌握不同积分方法的适用范围，善于化简和变形等等。
只有了解了不同题型的特点，才能更好地应对考试中的各种题目。
二、熟悉重要公式和定理高数中有很多重要的公式和定理，熟悉它们对于解题非常有帮助。
例如，指数函数的导数公式、对数函数的积分公式、极限的四则运算法则等等。
掌握这些公式和定理，能够大大提高解题的效率。
在平时的学习过程中，我们应该将这些重要的公式和定理牢记于心，并在习题中不断加以应用，从而达到熟练掌握的程度。
三、注意题目中的关键词和条件解答高数题目时，题目中常常会含有一些关键词和条件，我们需要抓住这些关键信息，选择合适的方法进行解题。
例如，当题目中出现“最大”、“最小”等关键词时，我们可以通过求导和极值判定定理来解答相关的问题；当题目中出现“满足某条件”或“在某区间内”等条件时，我们需要对题目提供的条件进行约束，选择合适的方法进行求解。
因此，要想在高数答题中取得好成绩，我们必须要仔细阅读题目，理解题目中的意思，抓住关键信息。
四、创造性思维和灵活运用高数课程中的许多问题都需要我们进行创造性思维和灵活运用。
有时，我们需要通过变形、代换等方法将题目转化为我们熟悉的题型，再进行解答。
有时，我们需要借助图像、几何意义等方面的知识来理解问题，在解决中运用抽象知识。
因此，在学习高数的过程中，我们要培养自己的创造性思维，提高自己的问题解决能力。
高等数学1-4-无穷小与无穷大
说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中 为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量 定义1 . 若 则称函数 例如 : 函数 函数 为当 函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。） 为当 时为无穷小;
时为无穷小;
为当 时为无穷小.
定义1. 若 则称函数 为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷 小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。 推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0
高等数学学习方法技巧总结
高等数学学习方法技巧总结数学分为高等数学，概率论与数理统计和线性代数三个科目，一般而言线性代数都会认为比较简单，概率论的比例次于高等数学，重头戏就是高等数学了。
下面是小编为大家整理的关于高数学习方法，希望对您有所帮助!复习高等数学的四点诀窍第一，要理解概念数学中有很多概念。
概念反映的是事物的本质，弄清楚了它是如何定义的、有什么性质，才能真正地理解一个概念。
所有的问题都在理解的基础上才能做好。
第二，要掌握定理定理是一个正确的命题，分为条件和结论两部分。
对于定理除了要掌握它的条件和结论以外，还要搞清它的适用范围，做到有的放矢。
第三，在弄懂例题的基础上作适量的习题要特别提醒学习者的是，课本上的例题都是很典型的，有助于理解概念和掌握定理，要注意不同例题的特点和解法在理解例题的基础上作适量的习题。
作题时要善于总结——不仅总结方法，也要总结错误。
这样，作完之后才会有所收获，才能举一反三。
第四，理清脉络要对所学的知识有个整体的把握，及时总结知识体系，这样不仅可以加深对知识的理解，还会对进一步的学习有所帮助。
高等数学中包括微积分和立体解析几何，级数和常微分方程。
其中尤以微积分的内容最为系统且在其他课程中有广泛的应用。
微积分的理论，是由牛顿和莱布尼茨完成的。
(当然在他们之前就已有微积分的应用，但不够系统)数学备考一定要有一个复习时间表，也就是要有一个周密可行的计划。
按照计划，循序渐进，切忌搞突击，临时抱佛脚。
其实数学是基础性学科，解题能力的提高，是一个长期积累的过程，因而复习时间就应适当提前，循序渐进。
大致在三、四月分开始着手进行复习，如果数学基础差可以将复习的时间适当提前。
复习一定要有一个可行的计划，通过计划保证复习的进度和效果。
一般可以将复习分成四个阶段，每个阶段的起止时间和所要完成的任务考生应给予明确规定，以保证计划的可行性。
第一个阶段是按照考试大纲划分复习范围，在熟悉大纲的基础上对考试必备的基础知识进行系统的复习，了解考研数学的基本内容、重点、难点和特点。
《高等数学》 各章知识点总结——第4章
第4章 不定积分总结1、原函数如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数.2、原函数存在定理如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有F '(x )=f (x ).3、不定积分在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作 ⎰dx x f )(.4、基本积分表(1)C kx kdx +=⎰(k 是常数), (2)C x dx x ++=+⎰111μμμ, (3)C x dx x +=⎰||ln 1, (4)C e dx e x x +=⎰, (5)C aa dx a x x +=⎰ln , (6)C x xdx +=⎰sin cos , (7)C x xdx +-=⎰cos sin , (8)C x xdx dx x +==⎰⎰tan sec cos 122, (9)C x xdx dx x+-==⎰⎰cot csc sin 122, (10)C x dx x +=+⎰arctan 112, (11)C x dx x +=-⎰arcsin 112, (12)C x xdx x +=⎰sec tan sec , (13)C x dx x +-=⎰csc cot csc ,5、不定积分的性质⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([. ⎰⎰=dx x f k dx x kf )()((k 是常数, k ≠0).6、换元积分法（1）第一类换元法⎰⎰⎰+=+==='C x F C u F du u f x d x f dx x x f )]([)()()()]([)()]([ϕϕϕϕϕ .（2）第二类换元法设x =ϕ(t )是单调的、可导的函数, 并且ϕ'(t )≠0. 又设f [ϕ(t )]ϕ'(t )具有原函数F (t ), 则有换元公式C x F t F dt t t f dx x f +=='=-⎰⎰)]([)()()]([)(1ϕϕϕ.其中t =ϕ-1(x )是x =ϕ(t )的反函数.（i ）22x a -t a t a a cos sin 222=-=, dx =a cos tdt . (ii)22a x +t a a 222tan +==a sec t , dx =a sec 2t dt , (iii)22a x -222sec a t a -=1sec 2-=t a =a tan t .(16)C x xdx +-=⎰|cos |ln tan ,(17)C x xdx +=⎰|sin |ln cot ,(18)C x x xdx ++=⎰|tan sec |ln sec ,(19)C x x xdx +-=⎰|cot csc |ln csc , (20)C a x a dx x a +=+⎰arctan 1122,(21)C a x a x a dx a x ++-=-⎰||ln 21122, (22)C a x dx x a +=-⎰arcsin 122,(23)C a x x a x dx +++=+⎰)ln(2222, (24)C a x x a x dx +-+=-⎰||ln 2222. 7、分部积分法⎰⎰'-='vdx u uv dx v u , 或⎰⎰-=vdu uv udv ,适用分部积分法 ⎰xdx x cos , ⎰dx xe x , dx e x x ⎰2;⎰xdx x ln , ⎰xdx arccos , ⎰xdx x arctan ;xdx e x sin ⎰, ⎰xdx 3sec .2222⋅⋅⋅===⎰⎰⎰du e dx e dx xe u x x , 2222⋅⋅⋅=-==⎰⎰⎰dx e e x de x dx e x x x x x .8、有理函数的积分有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数, 即具有如下形式的函数:mm m m n n n n b x b x b x b a x a x a x a x Q x P ++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=----11101110)()(, 其中m 和n 都是非负整数; a 0, a 1, a 2, ⋅ ⋅ ⋅ , a n 及b 0, b 1, b 2, ⋅ ⋅ ⋅ , b m 都是实数, 并且a 0≠0, b 0≠0. 当n <m 时, 称这有理函数是真分式; 而当n ≥m 时, 称这有理函数是假分式.假分式总可以化成一个多项式与一个真分式之和的形式.三角函数有理式的积分三角函数有理式是指由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数, 其特点是分子分母都包含三角函数的和差和乘积运算. 由于各种三角函数都可以用sin x 及cos x 的有理式表示, 故三角函数有理式也就是sin x 、cos x 的有理式.用于三角函数有理式积分的变换:把sin x 、cos x 表成2tan x 的函数, 然后作变换2tan x u =: 222122tan 12tan 22sec 2tan 22cos 2sin 2sin u u x xx x x x x +=+===, 222222112sec 2tan 12sin 2cos cos u u x xx x x +-=-=-=. 变换后原积分变成了有理函数的积分.简单无理函数的积分无理函数的积分一般要采用第二换元法把根号消去.。
高等数学解题方法技巧归纳
高等数学解题方法技巧归纳高等数学是一门抽象性较强的学科，解题方法技巧的掌握对于学习效果和解决实际问题具有重要意义。
以下是对高等数学解题方法技巧的归纳和详细介绍：一、方程求解技巧1. 建立方程：根据实际问题，找出未知数，建立相应的数学方程。
2. 化简方程：对方程进行化简，消除不必要的项，便于求解。
3. 分离变量：将方程中的变量分离，使其易于求解。
4. 换元法：对方程进行换元，简化方程结构，便于求解。
5. 迭代法：对于某些方程，可以通过迭代方法求解。
二、极限求解技巧1. 直接求极限：对于一些直接求极限的题目，可以直接计算极限值。
2. 夹逼法：利用函数的单调性、有界性等性质，通过夹逼法求解极限。
3. 分解法：将函数分解为多个部分，分别求解极限。
4. 代换法：利用代换技巧，将函数转换为易于求解的形式。
三、微分与积分技巧1. 微分：对于函数的微分，可以利用导数定义、公式等求解。
2. 积分：对于函数的积分，可以利用积分定义、公式、换元法等求解。
3. 微分方程：对于微分方程，可以利用分离变量法、换元法等求解。
四、级数求解技巧1. 收敛性判断：利用级数的定义、性质等判断级数的收敛性。
2. 求和法：对于收敛的级数，可以利用求和公式求解。
3. 错位相减法：对于某些级数，可以利用错位相减法求解。
五、空间解析几何技巧1. 坐标转换：利用坐标转换公式，将空间点、线、面转换为坐标形式。
2. 向量运算：利用向量的加减法、点积、叉积等运算，解决问题。
3. 方程组求解：利用方程组求解方法，求解空间几何问题。
六、概率论与数理统计技巧1. 概率计算：利用概率公式、组合数等计算概率。
2. 随机变量：利用随机变量的定义、性质等解决问题。
3. 数理统计：利用统计量、置信区间、假设检验等方法解决问题。
七、数值计算技巧1. 插值法：利用插值公式，求解函数值。
2. 数值积分：利用数值积分方法，求解定积分。
3. 数值解方程：利用数值解方程方法，求解方程的解。
高数解题技巧总结
高数解题技巧总结近年来，高等数学作为大学生必修的一门课程，占据着学生们课程表中的重要位置。
然而，高等数学的学习对许多同学来说却充满了挑战。
面对繁琐抽象的数学公式和题目，很多同学感到头疼不已。
为了帮助大家更好地应对高等数学的学习，本文将总结一些高数解题的技巧，并为大家提供一些实用的建议。
第一，要掌握基本概念。
在学习高等数学时，基本概念是我们理解和掌握其他知识点的基础。
比如，在学习微积分时，我们需要清楚地理解导数和微分的概念，并能够准确地应用到具体的问题中。
因此，我们需要将大量的精力放在学习和理解基本概念上，这样才能够在解决问题时游刃有余。
第二，要培养数学思维。
高等数学强调的是抽象思维和逻辑推理能力。
因此，我们需要培养良好的数学思维方式。
在解题过程中，我们要学会建立逻辑链条，整体把握问题的结构和要点。
并且，我们还应该注重问题的实际应用，灵活运用数学方法解决实际生活中的问题。
第三，要善于归纳总结。
在解决高等数学问题时，我们常常会遇到一些类型相似的题目。
这时，我们可以借鉴前人的经验，总结解题的方法和技巧。
通过归纳总结，我们可以更快、更准确地解决问题，并提高解题的效率。
第四，要多进行练习。
练习是提高解题能力的关键。
只有通过大量的练习，我们才能熟悉不同类型的题目和解题方法，逐渐提高解题的速度和准确性。
同时，在练习过程中，我们还可以发现和巩固自己的薄弱环节，及时进行补充和强化。
第五，要注重思维拓展。
高等数学不仅仅是一个知识体系，更是一种思维方式的培养。
因此，在学习数学的同时，我们要有意识地进行思维拓展。
可以通过参加数学建模比赛、参与数学研究等方式，扩展自己的数学思维和解题能力。
第六，要善于利用工具。
在现代高等数学的学习中，我们有幸拥有许多先进的数学工具。
比如计算机和数学软件可以帮助我们快速进行计算和绘图，提高解题的效率。
因此，我们应该善于利用这些工具，将其作为我们学习和解题过程中的有效辅助手段。
最后，要保持良好的心态。
6高数1-5 1-4极限的四则运算法则
1 1 1 1,
n
lim
n
n lim n2 1 n
1
1,
1
1 n2
由夹逼定理得
lim( 1 1 1 ) 1.
n n2 1 n2 2
n2 n
方法点击:关键找到辅助的两个数列.使得夹逼准则条件成立.
高等数学
Higher mathematics
1
1
lim (
x2
2x x2
4
x
1
) 2
?
lim
x2
x2 x2 4
lim 1 1 x2 x 2 4
高等数学
Higher mathematics
7.
型 ——无穷小因子分出法
例9 . 求
=0
解:
时,分母
分子
则 原式
33x lxilxmlxiimm5 5
高等数学
Higher mathematics
6. ( 型 ) 通分——约零因子
3
1
例8求
lim(
x1
x
3
1
x
) 1
解:
原式
lim
x1
3
(x2 (x3
x 1)
1)
(x 2)(x 1)
lim x1
(x3 1)
(x 2)
lim
x1
x2
x
——不能求和就用夹逼准则
例10
求
lim(1
n
1 2
)(1
高等数学解题方法技巧归纳
高等数学解题方法技巧归纳强化学习，熟悉考题中的各种题型，掌握选择题、填空题和解答题等不同题型的解题方法与解题技巧。
对基本公式、基本方法、基本技能要进行适度、适量的学习，在做题的过程中熟悉运算公式和运算法则，在学习的过程中强化理解与记忆。
理解和记忆是相辅相承的，在理解中加深记忆，记忆有助于更深入地理解，理解愈深，记忆愈牢。
学习中应注意分析与类比，掌握思索问题和解决问题的正确方法。
学会总结与归纳，寻求一般性的解题规律及解题方法，提升解题能力。
讲究学习方法，追求学习效益。
要强化学习，注重解题思路和解题技巧的训练，对基本概念、基本理论、基本性质进行多侧面、多层次、由此及彼、由表及里的辨析。
如由导数与微分的概念推广到偏导数与全微分的概念，由不定积分与定积分的概念推广到二重积分的概念，比较它们之间的异同，分析它们之间的内在联系与本质区别。
只要把这些关系理清，则可从掌握导线与微分的运算上升到掌握偏导数与全微分的运算，从掌握不定积分与定积分的运算上升到二重积分的运算。
学习无穷级数时要注意以极限为工具，推断无穷级数的收敛性是以limnSn是否存在为依据的，数项级数收敛的必要条件是limnun=0.此外，正项级数收敛性的判定，极限形式的比较判别法、达朗贝尔比值法，以及求幂级数的收敛半径、收敛区间，都涉及到极限的计算。
常微分方程可看作是积分的应用，求解可分开变量的微分方程时，在分开变量后必须两边同时积分，用公式法或常数变易法求解一阶线性微分方程时也必须求不定积分。
2高等数学解题方法一如果复习时间充分，如一年或半年，则可先看高等数学课本，毕竟教科书是一切考试题的源泉(历年都有考题是依据课本课后习题或例题转变而成)。
如果时间不够充分，如两个月左右，建议选择一家权威辅导机构的辅导资料(一般是基础课程的教材，本人当时选用的是启航的高等数学基本课程18讲，例题为主，讲解较少，但是很容易进入复习状态。
)如果基础较为薄弱，可选择一些辅导机构的基础课程听一听(不建议购买全程的辅导课，浪费时间，浪费金钱，很容易打乱个人的复习节奏)。
高等数学1_4无穷小量与无穷大量
解:
( x) 1 cos x 1 2 由于 lim lim 1; 所以 1 cos x x . x 0 ( x) x 0 1 2 2 x
2
并且 1 cos x 是当 x 0 时的二阶无穷小.
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由上例中(2)(3)(4)可得,当x→0时,
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三、 无穷大量(绝对值无限趋大的变量)
定义3 . 设
lim 是一个函数,若 xx f ( x) , 即
0
当 定义3’ . 设
时,恒有
则称函数f(x)是当 x x0时的无穷大量,简称无穷大 . 是一个函数,若 lim f ( x) , 即
x
证明提示:
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例3. 利用无穷小等价代换定理求以下极限
1 2 x2 1 (1) lim x 0 x x arcsin arctan 2 3
2
0 ( ) 0
1 解: 因为 1 2 x 1 2x 2 x 2 2 x x (u arcsin ) arcsin u 2 2 lim lim 1 x 0 x u 0 sin u 2 x x x x 所以 arcsin ,同理 arctan . 2 2 3 3
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例4 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 的一切 x , 有
1 只要取 , 则对满足 M
所以 说明: 若 为曲线 则直线 x x 0 的铅直渐近线 . 铅直渐近线
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数学解题方法总结与归纳
数学解题方法总结与归纳数学作为一门逻辑严谨、思维训练的学科，对于学生而言常常是一座难以逾越的高山。
面对一个个看似复杂的数学题目，许多学生常常感到无从下手，甚至丧失信心。
然而，只要我们正确掌握一些数学解题方法，就能在数学的道路上行得更远。
本文将对一些常见的数学解题方法进行总结与归纳，希望能给同学们提供一些有益的参考。
一、代数解题方法代数是数学中的一支重要学科，也是许多数学问题的解题利器。
在代数解题中，我们常常将未知数用变量表示，通过方程的运算来求解。
在代数解题中，常见的方法有方程运算、代入法、消元法等。
以方程运算为例，我们可以通过等式的加减乘除运算来逐步推导出未知数的值，从而得出答案。
代入法则是通过将已知条件代入方程中进行验证，从而确认解的正确性。
而消元法则是用代数运算的方法将未知数逐渐消除，得到最终解。
这些代数解题方法在解决方程、不等式等问题上都有很大的应用空间。
二、几何解题方法几何是数学的一支重要分支，它研究空间和形状的属性以及它们之间的关系。
在几何解题中，我们需要通过观察图形的性质来寻找解题线索。
常见的几何解题方法有相似性、勾股定理、角平分线等。
以相似性为例，我们可以通过观察两个相似图形的对应边长比例，从而得出一些未知边长的值。
又如勾股定理，我们可以通过边长关系来判断三角形的形状。
角平分线则可以帮助我们确定角的大小，从而得到解答。
几何解题需要运用空间想象力，善于观察图形特点，灵活运用相关定理和公式。
三、概率与统计解题方法概率与统计是数学中的另一个重要分支，用来描述和分析与随机现象相关的情况，并且进行相关的数据处理。
在概率与统计解题中，我们需要通过已知的数据和假设，来推测事件发生的可能性。
常见的解题方法有频率比、条件概率、抽样调查等。
以频率比为例，我们可以通过计算某个事件发生次数与总次数的比值来得到概率。
条件概率则是在给定某些前提条件下，求解特定事件发生的概率。
抽样调查则是用来获取数据样本，通过对样本数据的分析来推断总体的特征。
【高等数学基本理论及解题方法归纳与总结】第一章 函数与极限
第一章
函数与极限
一、求极限常用的方法
（1）利用极限四则运算法则求极限； （2）利用两个“重要极限公式”求极限； （3）利用“无穷小等价代换”求极限； （4）利用“有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小” 以及“夹逼准则”求极限； （5）利用连续性及连续的充要条件求极限； （6）利用“洛必达法则”+（2）+（3）求极限。
四、证明函数方程 ( f ( x)其根的方法 . 0)
1、存在性：根据所证的 结论(式子)变形构造 相应的函数F ( x), 如果F ( x)在[a, b]上连续且在 端点处F (a )、F (b)异号, 则由“零点定理”必有 根存在.。 难题则通常综合运用“ 零点定理 Lagrange 定理.”或“积分中值定理 Rolle 定理”来证明。
x 0
初等函数在其定义区间 内连续.
2、分段函数的分段点处 用连续的充要条件 (或用连续定义 )加以讨论 .
三、讨论函数间断点方法
1、凡使初等函数无定义的点为函数的间断点 （通常是：分母为0的点或分子、分母无定 义的点）；分段函数分段点是否为间断点 则用定义或连续的充要条件加以判定； 2、若是间断点，再判别是第一类间断点（跳 跃间断点、可去间断点）还是第二类间断 点（无穷间断点、振荡间断点等单侧极限 不存在的点）。
洛必达法则的模型
0 lim f ( x) lim f ( x) 0 x x0 0 x x0 基本型 0 、 ( x ) F ( x) ( x ) F ( x) 0 0 lim f ( x) x x0 ( x ) . (分子、分母求导后要及 时化简). F ( x )
2019高等数学理论及解题方法的归纳与总结1-4.ppt
2.分部积分法 . udv uv vdu. 此法关键是恰当选择 u 和v, 其原则
(1)v容易求得 ; (2) vdu比 udv容易积出 .
1 p( x) sin xdx , p( x) cos xdx 和 p( x) e 型, 令u p( x).
ax
2 p( x) arcsin xdx, p( x) arccosxdx, p( x) arct anxdx型 :
令u 反三角函数;
3 p( x) ln(ax b)dx型, 令u ln(ax b)
3、要掌握简单的有理函 数和无理函数的积分 . 有理函数的积分要掌 握把有理函数分解成部 分分式(最简分式)之和的方法 .
４、常见的凑微分公式
1 1 1 1 dx 2d ( x ), 2 dx d ( )， dx d (ln x), x x x x 1 1 dx d (tan x), 2 dx d ( cot x), 2 cos x sin x 1 1 2 dx d (arctanx) dx d (arcsin x)等. 2 1 x 1 x
第一换元法的一些规律：
，则先配方，然后凑微 分。 1 若根号内是二次三项式
0
Байду номын сангаас
2
0
dx 形如 2 ax bx c
(1)b 2 4ac 0, 配方后代公式 (2)b 2 4ac 0, 分解为部分分式 (3)b 2 4ac 0, 凑微分
3 形如 sin mx cos nxdx , sin mx sin nxdx , cos mx cos nxdx 型
第四章
不定积分
一、基本概念及理论
高数知识点的归纳总结技巧
高数知识点的归纳总结技巧高等数学中的知识点如同一座庞大的迷宫，每一个方程、定理和公式都是这座迷宫中的一扇门。
要在这迷宫中找到通向出口的路径，归纳总结技巧显得尤为关键。
归纳总结不仅能帮助你掌握每一个知识点，更能将它们有机地联系起来，构建出一幅完整的知识体系。
首先，归纳总结的第一步是对所学知识进行分类。
就像整理书架一样，将所有的知识点按照不同的主题进行分类，例如线性代数、微积分、概率论等。
每个主题下面，再将相关的定理、公式和性质归纳到一起。
通过这种分类，可以清晰地看到各个知识点之间的关系和差异，避免混淆。
接下来，要对每个分类进行详细的归纳。
比如，线性代数中的向量、矩阵、行列式等概念可以归纳为“线性运算”的一部分。
每个概念下面，可以列出其定义、性质、常用公式以及应用场景。
这种详细的归纳不仅帮助记忆，还能让你在解决问题时迅速找到所需的知识点。
在归纳过程中，归纳总结的技巧之一是使用“知识树”法。
将知识点按层级关系绘制成一棵知识树，树的根部是基础概念，枝干是相关的定理和公式。
这样不仅能帮助理解各个知识点的基本概念，还能将它们在实际应用中的联系清晰地展示出来。
这种方法特别适合于处理复杂的数学主题，能有效避免遗漏重要知识点。
进一步，定期复习也是归纳总结的一个重要方面。
知识点的记忆并非一劳永逸，定期的复习能巩固记忆并加深理解。
可以制定一个复习计划，按照主题进行轮流复习。
每次复习时，除了回顾基础知识，还要尝试解决一些相关的问题，检验自己的理解和掌握程度。
此外，将所学知识应用到实际问题中也是非常有效的总结方法。
高等数学的知识不仅仅是理论上的，更有着广泛的实际应用。
在解决实际问题时，能帮助你理解知识的实际意义和应用场景。
例如，运用微积分知识解决物理中的运动问题，或者用线性代数中的矩阵运算处理工程中的数据问题。
这种实际应用能够深化对知识的理解，同时提升解决问题的能力。
在归纳总结的过程中，记录和整理是必不可少的。
可以保持一个笔记本，将每次学习的重点、难点、总结以及个人的理解写下来。
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d (ln
x),
1 c os2
x
dx
d
(tan
x),
1 sin 2
x
dx
d
(
c
ot
x),
1 1 x2
dx
d (arctanx)
1 dx d (arcsinx)等. 1 x2
第一换元法的一些规律：
10 若根号内是二次三项式，则先配方，然后凑微分。
(1)b2 4ac 0,配方后代公式
(1)当m、n中至少有一奇数时，
4 sinm x cosn xdx( 2) 当化m、成n幂都函为数偶( 折数开时凑，微用分倍）角 公式变形后再积分
第二换元法： (1) f (n ax b)dx,令n ax b t, (n为正整数）
(2) f ( a2 x2 )dx,令x a sin t, (3) f ( a2 x2 )dx,令x a tan x,
(4) f ( x2 a2 )dx,令x asect.(5) f (ex )dx,令ex t.
注意：求出不定积分的结果勿忘加任意常数 c.
第四章 不定积分
一、基本概念及理论
1.若F(x) f (x)(x I ), 则F (x)是f (x)在I上的一个原函数, f (x)的原函数一般表达式F (x) c称为f (x)的不定积分 f (x)dx F (x) c.
2.性质（微分与积分是互 逆运算） （1）[ f (x)dx] f (x)或d f (x)dx f (x)dx
2.分部积分法. udv易求得;(2) vdu比 udv容易积出.
1 e p(x)sin xdx, p(x) cosxdx和 p(x) ax型,令u p(x).
2 p(x) arcsinxdx, p(x) arccosxdx, p(x) arctanxdx型 :
(2) [ f (x)]dx f (x) c或 df (x) f (x) c
(3) [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
(4) kf (x)dx k f (x)dx(k 0为常数)
二、基本方法 求不定积分的思路：先试用凑微分法，再
20
形如
ax2
dx bx
c
(2)b2 4ac 0,分解为部分分式 (3)b2 4ac 0,凑微分
30形如 sin mxcosnxdx, sin mxsin nxdx, cosmxcosnxdx型
(1)当m n时，利用倍角公式； (2)当m n时，利用积化和差公式.
令u 反三角函数;
3 p(x) ln(ax b)dx型,令u ln(ax b)
3、要掌握简单的有理函数和无理函数的积分. 有理函数的积分要掌握把有理函数分解成部 分分式(最简分式)之和的方法.
４、常见的凑微分公式
1 dx 2d( x
x
),
1 x2
dx
d (
1 )， 1 dx xx
试用分部积分法；如果前二种方法都行不通， 且含有根式，则考虑变量替换，消去根式后再 积分；如果是有理式，则要化为部分分式后再 积分。
1.换元法
（ 1）凑微分法 f [(x)](x)dx f [(x)]d(x) f [(x)] c (2)第二换元法(消去根式） f (x)dx x (t) f [(t)](t)dt G(t) c t 1(x) G[ 1(x)] c