七年级数学全等三角形(培优)
人教版初中数学全等三角形培优教学设计
初中数学试卷一、综合题（共32题；共413分）1、如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB，AE（AB＜AE）在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE，DG．(1)当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；(2)如图3，如果α=45°，AB=2，AE=3 ．①求BE的长；②求点A到BE的距离；(3)当点C落在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数．2、（恩施州）矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转，当旋转到如图所示的位置时，边BE交边CD于M，且ME=2，CM=4． (1)求AD的长；(2)求阴影部分的面积和直线AM的解析式；(3)求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；(4)在抛物线上是否存在点P，使S△PAM=？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．3、（安徽）如图1，A，B分别在射线OA，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．(1)求证：△PCE≌△EDQ；(2)延长PC，QD交于点R．①如图1，若∠MON=150°，求证：△ABR为等边三角形；②如图3，若△ARB∽△PEQ，求∠MON大小和的值．4、（成都）如图①，△ABC中，∠ABC=45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH=CH，连结BD．(1)求证：BD=AC；(2)将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE．①如图②，当点F落在AC上时，（F不与C重合），若BC=4，tanC=3，求AE的长；②如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由．5、（重庆）在△ABC中，∠B=45°，∠C=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，在AG上取点F，连接DF．延长DA至E，使AE=AF，连接EG，DG，且GE=DF．(1)若AB=2 ，求BC的长；(2)如图1，当点G在AC上时，求证：BD= CG；(3)如图2，当点G在AC的垂直平分线上时，直接写出的值．6、（达州）△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF．(1)观察猜想如图1，当点D在线段BC上时，①BC与CF的位置关系为：________．②BC，CD，CF之间的数量关系为：________；（将结论直接写在横线上）(2)数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE．若已知AB=2 ，CD= BC，请求出GE 的长．7、（舟山）我们定义：有一组邻角相等的凸四边形叫做“等邻角四边形”(1)概念理解：请你根据上述定义举一个等邻角四边形的例子；(2)问题探究；如图1，在等邻角四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC，AD，BC的中垂线恰好交于AB边上一点P，连结AC，BD，试探究AC 与BD的数量关系，并说明理由；(3)应用拓展；如图2，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠C=∠D=90°，BC=BD=3，AB=5，将Rt△ABD绕着点A顺时针旋转角α（0°＜∠α＜∠BAC）得到Rt△AB′D′（如图3），当凸四边形AD′BC为等邻角四边形时，求出它的面积．8、（贵港）如图1，在正方形ABCD内作∠EAF=45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，过点A作AH ⊥EF，垂足为H． (1)如图2，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG．①求证：△AGE≌△AFE；②若BE=2，DF=3，求AH的长．(2)如图3，连接BD交AE于点M，交AF于点N．请探究并猜想：线段BM，MN，ND之间有什么数量关系？并说明理由．9、（义乌）对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位，再向上平移2的单位，这种点的运动称为点A 的斜平移，如点P（2，3）经1次斜平移后的点的坐标为（3，5），已知点A的坐标为（1，0）．(1)分别写出点A经1次，2次斜平移后得到的点的坐标．(2)如图，点M是直线l上的一点，点A关于点M的对称点的点B，点B关于直线l的对称轴为点C．①若A、B、C三点不在同一条直线上，判断△ABC是否是直角三角形？请说明理由．②若点B由点A经n次斜平移后得到，且点C的坐标为（7，6），求出点B的坐标及n的值．10、（衢州）如图1，在直角坐标系xoy中，直线l：y=kx+b交x轴，y轴于点E，F，点B的坐标是（2，2），过点B分别作x轴、y轴的垂线，垂足为A、C，点D是线段CO上的动点，以BD为对称轴，作与△BCD或轴对称的△BC′D．(1)当∠CBD=15°时，求点C′的坐标．(2)当图1中的直线l经过点A，且k=﹣时（如图2），求点D由C到O的运动过程中，线段BC′扫过的图形与△OAF重叠部分的面积．(3)当图1中的直线l经过点D，C′时（如图3），以DE为对称轴，作于△DOE或轴对称的△DO′E，连结O′C，O′O，问是否存在点D，使得△DO′E与△CO′O相似？若存在，求出k、b的值；若不存在，请说明理由．11、（葫芦岛）如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．(1)请直接写出线段AF，AE的数量关系________；(2)将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；(3)在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．12、在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．(1)如图1，若A，B两点的坐标分别是A（0，4），B（﹣2，0），求C点的坐标；(2)如图2，作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D，过C点作CE⊥BD于点E，求证：CE= BD；(3)如图3，点P是射线BA上A点右边一动点，以CP为斜边作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，点Q为∠FPC与∠PFC的角平分线的交点，当点P运动时，点Q是否恒在射线BD上？若在，请证明；若不在，请说明理由． 13、如图，已知△ABC中，AB=AC=6cm，∠B=∠C，BC=4cm，点D为AB的中点．(1)如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？(2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，则经过________后，点P与点Q第一次在△ABC的________边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）14、如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．（提示：正方形的四条边都相等，四个角都是直角）(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图2，线段CF，BD所在直线的位置关系为________，线段CF，BD的数量关系为________；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；(2)如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足________条件时，CF⊥BC（点C，F不重合），不用说明理由．15、如图，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．(1)当A，B，C三点在同一直线上时（如图1），求证：M为AN的中点；(2)将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），求证：△ACN为等腰直角三角形；(3)将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时，（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由．16、已知：等腰△ABC中，AB=AC，点D是直线AC上一动点，点E在BD的延长线上，且AB=AE，∠CAE的角平分线所在的直线交BE于F，连结CF．(1)如图1，当点D在线段AC上时，求证：∠ABE=∠ACF；(2)如图2，当∠ABC=60°且点D在线段AC上时，求证：AF+EF=FB．（提示：将线段FB拆分成两部分）(3)①如图3，当∠ABC=45°其点D在线段AC上时，线段AF、EF、FB仍有（2）中的结论吗？若有，加以证明；若没有，则有怎样的数量关系，直接写出答案即可．②如图4，当∠ABC=45°且点D在CA的延长线时，请你按题意将图形补充完成．并直接写出线段AF、EF、FB的数量关系．17、（金华）在平面直角坐标系中，点O为原点，点A的坐标为（﹣6，0）．如图1，正方形OBCD的顶点B在x轴的负半轴上，点C在第二象限．现将正方形OBCD绕点O顺时针旋转角α得到正方形OEFG．(1)如图2，若α=60°，OE=OA，求直线EF的函数表达式．(2)若α为锐角，tanα= ，当AE取得最小值时，求正方形OEFG的面积．(3)当正方形OEFG的顶点F落在y轴上时，直线AE与直线FG相交于点P，△OEP的其中两边之比能否为：1？若能，求点P的坐标；若不能，试说明理由18、在图中，正方形AOBD的边AO，BO在坐标轴上，若它的面积为16，点M从O点以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向运动，当M到达B点时，运动停止．连接AM，过M作AM⊥MF，且满足AM=MF，连接AF交BD于E点，过F作FN⊥x轴于N，连接ME．设点M运动时间为t（s）．(1)直接写出点D和M的坐标（可用含t式子表示）；(2)当△MNF面积为时，求t的值；(3)△AME能否为等腰三角形？若不能请说明理由；若能，求出t的值． 19、如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点（不与点A、点D重合）将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH．(1)求证：∠APB=∠BPH；(2)当点P在边AD上移动时，△PDH的周长是否发生变化？并证明你的结论；(3)设AP为x，四边形EFGP的面积为S，求出S与x的函数关系式，试问S是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．20、已知点P是Rt△ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F．(1)如图1，当点P为AB的中点时，连接AF，BE．求证：四边形AEBF是平行四边形；(2)如图2，当点P不是AB的中点，取AB的中点Q，连接EQ，FQ．试判断△QEF的形状，并加以证明．21、图1是边长分别为4 和2的两个等边三角形纸片ABC和OD′E′叠放在一起（C与O重合）．(1)操作：固定△ABC，将△ODE绕点C顺时针旋转30°，后得到△ODE，连接AD、BE、CE的延长线交AB于F（图2）：探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论．(2)在（1）的条件下将△ODE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR，当点P与点F重合时停止运动（图3）．探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围．(3)将图1中△ODE固定，把△ABC沿着OE方向平移，使顶点C落在OE的中点G处，设为△ABG，然后奖△ABG绕点G顺时针旋转，边BG交边DE于点M，边AG交边DO于点N，设∠BGE=α（30°＜α＜90°）（图4）．探究：在图4中，线段ON•EM的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出ON•EM的值，如果有变化，请你说明． 22、如图（1），在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，P是AD的中点，N是BC延长线上一点，连结PN，过点P作PN 的垂线，交AB于点E，交CD的延长线于点F，连结EN，FN，设CN=x，AE=y．(1)求证：PE=PF；(2)当0＜x＜时，求y关于x的函数表达式；(3)若将“矩形ABCD”变为“菱形ABCD”，如图（2），AB=BC=4，∠B=60°，当0＜x＜3时，其它条件不变，求此时y关于x的函数表达式．23、分别以▱ABCD（∠CDA≠90°）的三边AB，CD，DA为斜边作等腰直角三角形，△ABE，△CDG，△ADF．(1)如图1，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连接GF，EF．请判断GF与EF的关系（只写结论，不需证明）；(2)如图2，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接GF，EF，（1）中结论还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 24、如图1，等边△ABC边长为6，AD是△ABC的中线，P为线段AD（不包括端点A、D）上一动点，以CP为一边且在CP左下方作如图所示的等边△CPE，连结BE．(1)点P在运动过程中，线段BE与AP始终相等吗？说说你的理由；(2)若延长BE至F，使得CF=CE=5，如图2，问：①求出此时AP的长；②当点P在线段AD的延长线上时，判断EF的长是否为定值，若是请直接写出EF的长；若不是请简单说明理由．25、如图1，已知正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E是AC上一点，连结EB，过点A作AM⊥BE，垂足为M，AM交BD于点F．(1)试说明OE=OF；(2)如图2，若点E在AC的延长线上，AM⊥BE于点M，交DB的延长线于点F，其它条件不变，则结论“OE=OF”还成立吗？如果成立，请给出说明理由；如果不成立，请说明理由．26、如图1，在平面直角坐标系中，△AOB为等腰直角三角形，A（4，4）(1)求B点坐标；(2)如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角△ACD，∠ACD=90°连OD，求∠AOD的度数；(3)如图3，过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式AM=FM+OF是否成立？若成立，请证明：若不成立，说明理由．27、如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连接AD、AG．(1)求证：AD=AG；(2)AD与AG的位置关系如何，请说明理由．28、如图1，C是线段BE上一点，以BC、CE为边分别在BE的同侧作等边△ABC和等边△DCE，连结AE、BD．(1)求证：BD=AE；(2)如图2，若M、N分别是线段AE、BD上的点，且AM=BN，请判断△CMN的形状，并说明理由．29、已知A（0，2），B（4，0）．(1)如图1，连接AB，若D（0，﹣6），DE⊥AB于点E，B、C关于y轴对称，M是线段DE上的一点，且DM=AB，连接AM，试判断线段AC与AM之间的位置和数量关系，并证明你的结论；(2)如图2，在（1）的条件下，若N是线段DM上的一个动点，P是MA延长线上的一点，且DN=AP，连接PN交y 轴于点Q，过点N作NH⊥y轴于点H，当N点在线段DM上运动时，△MQH的面积是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．30、如图，在△ABC中，∠BAD=∠DAC，DF⊥AB，DM⊥AC，AF=10cm，AC=14cm，动点E以2cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以1cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t．(1)求证：在运动过程中，不管t取何值，都有S△AED=2S△DGC．(2)当t取何值时，△DFE与△DMG全等．31、如图，在平面直角坐标系中，A，B，C为坐标轴上的三点，且OA=OB=OC=4，过点A的直线AD交BC于点D，交y轴于点G，△ABD的面积为8．过点C作CE⊥AD，交AB交于F，垂足为E．(1)求D点的坐标；(2)求证：OF=OG；(3)在第一象限内是否存在点P，使得△CFP为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．32、在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，点O在原点，现将正方形OABC绕O点顺时针旋转，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N（如图）．(1)旋转过程中，当MN和AC平行时，求正方形OABC旋转的角度；(2)试证明旋转过程中，△MNO的边MN上的高为定值；(3)折△MBN的周长为p，在旋转过程中，p值是否发生变化？若发生变化，说明理由；若不发生变化，请给予证明，并求出p的值．二、填空题（共8题；共8分）33、（贺州）如图，在△ABC中，AB=AC=15，点D是BC边上的一动点（不与B，C重合），∠ADE=∠B=∠α，DE 交AB于点E，且tan∠α=，有以下的结论：①△ADE∽△ACD；②当CD=9时，△ACD与△DBE全等；③△BDE为直角三角形时，BD为12或；④0＜BE≤，其中正确的结论是________（填入正确结论的序号）.34、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BC=CD=12，∠ABE=45°，点E在DC上，AE，BC的延长线相交于点F，若AE=10，则S△ADE+S△CEF的值是________ .35、（宜宾）如图，在边长为4的正方形ABCD中，P是BC边上一动点（不含B、C两点），将△ABP沿直线AP翻折，点B落在点E处；在CD上有一点M，使得将△CMP沿直线MP翻折后，点C落在直线PE上的点F处，直线PE交CD于点N，连接MA，NA．则以下结论中正确的有________（写出所有正确结论的序号）①△CMP∽△BPA；②四边形AMCB的面积最大值为10；③当P为BC中点时，AE为线段NP的中垂线；④线段AM的最小值为2 ；⑤当△ABP≌△ADN时，BP=4 ﹣4．36、如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB 于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是________．37、已知：如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，点B，D，E在同一直线上，AF⊥BE 于点F，那么线段BE，CE，AF三者之间的数量关系是________．38、如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，过点G作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点G 作GD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BGC=90°+ ∠A；③点G到△ABC各边的距离相等；④设GD=m，AE+AF=n，则S△AEF=mn．其中正确的结论是________．39、如图，直线l1∥l2∥l3，且l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3．把一块含有45°角的直角三角板如图放置，顶点A、B、C恰好分别落在三条直线上，则△ABC的面积为________．40、如图，在△ABC中，∠B=45°，∠ACB=30°，点D是BC上一点，连接AD，过点A作AG⊥AD，点F在线段AG上，延长DA至点E，使AE=AF，连接EG，CG，DF，若EG=DF，点G在AC的垂直平分线上，则的值为________三、解答题（共10题；共50分）41、如图，在正方形ABCD中，AB=2，点P是边BC上的任意一点，E是BC延长线上一点，连结AP，作PF AP 交DCE的平分线CF上一点F，连结AF交边CD于点G．（1）求证：AP=PF；（2）设点P到点B的距离为x，线段DG的长为y，试求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）当点P是线段BC延长线上一动点，那么（2）式中y与x的函数关系式保持不变吗？如改变，试直接写出函数关系式．42、（2014•本溪）如图，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC+∠EAD=180°，△ABC不动，△ADE绕点A旋转，连接BE、CD，F为BE的中点，连接AF．（1）如图①，当∠BAE=90°时，求证：CD=2AF；（2）当∠BAE≠90°时，（1）的结论是否成立？请结合图②说明理由．43、（2014•朝阳）已知Rt△ABC中，AC=BC=2．一直角的顶点P在AB上滑动，直角的两边分别交线段AC，BC于E．F 两点（1）如图1，当=且PE⊥AC时，求证：=；（2）如图2，当=1时（1）的结论是否仍然成立？为什么？（3）在（2）的条件下，将直角∠EPF绕点P旋转，设∠BPF=α（0°＜α＜90°）．连结EF，当△CEF的周长等于2+时，请直接写出α的度数．44、（2014•大连）如图1，△ABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点，且DF=FE．（1）图1中是否存在与∠BDE相等的角？若存在，请找出，并加以证明，若不存在，说明理由；（2）求证：BE=EC；（3）若将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”和“点F是DE与AC的交点，且DF=FE”分别改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”和“点F是ED的延长线与AC的交点，且DF=kFE”，其他条件不变（如图2）．当AB=1，∠ABC=a时，求BE的长（用含k、a的式子表示）．45、（2014•丹东）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△C1OD1，旋转角为θ（0°＜θ＜90°），连接AC1、BD1， AC1与BD1交于点P．（1）如图1，若四边形ABCD是正方形．①求证：△AOC1≌△BOD1．②请直接写出AC1与BD1的位置关系．（2）如图2，若四边形ABCD是菱形，AC=5，BD=7，设AC1=kBD1．判断AC1与BD1的位置关系，说明理由，并求出k 的值．（3）如图3，若四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=10，连接DD1，设AC1=kBD1．请直接写出k的值和AC12+（kDD1）2的值．46、（2014•阜新）已知，在矩形ABCD中，连接对角线AC，将△ABC绕点B顺时针旋转90°得到△EFG，并将它沿直线AB向左平移，直线EG与BC交于点H，连接AH，CG．（1）如图①，当AB=BC，点F平移到线段BA上时，线段AH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想；（2）如图②，当AB=BC，点F平移到线段BA的延长线上时，（1）中的结论是否成立，请说明理由；（3）如图③，当AB=nBC（n≠1）时，对矩形ABCD进行如已知同样的变换操作，线段AH，CG有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你的猜想．47、（2014•锦州）（1）已知正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，如图① ，将△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，OC′与CD交于点M，OB′与BC交于点N，请猜想线段CM与BN的数量关系，并证明你的猜想．（2）如图② ，将（1）中的△BOC绕点B逆时针旋转得到△BO′C′，连接AO′、DC′，请猜想线段AO′与DC′的数量关系，并证明你的猜想．（3）如图③ ，已知矩形ABCD和Rt△AEF有公共点A，且∠AEF=90°，∠EAF=∠DAC=α，连接DE、CF，请求出的值（用α的三角函数表示）．48、（2014•辽阳）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O点，过点O的直线l与边AB、CD 分别交于点E、F，绕点O旋转直线l，猜想直线l旋转到什么位置时，四边形AECF是菱形．证明你的猜想．（2）若将（1）中四边形ABCD改成矩形ABCD，使AB=4cm，BC=3cm，①如图2，绕点O旋转直线l与边AB、CD分别交于点E、F，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A与点C重合，点D的对应点为D′，连接DD′，求△DFD′的面积．②如图3，绕点O继续旋转直线l，直线l与边BC或BC的延长线交于点E，连接AE，将矩形ABCD沿AE折叠，点B 的对应点为B′，当△CEB′为直角三角形时，求BE的长度．请直接写出结果，不必写解答过程．49、（2014•盘锦）已知，四边形ABCD是正方形，点P在直线BC上，点G在直线AD上（P、G不与正方形顶点重合，且在CD的同侧），PD=PG，DF⊥PG于点H，交直线AB于点F，将线段PG绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，连结EF．（1）如图1，当点P与点G分别在线段BC与线段AD上时．①求证：DG=2PC；②求证：四边形PEFD是菱形；（2）如图2，当点P与点G分别在线段BC与线段AD的延长线上时，请猜想四边形PEFD是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．50、（2014•铁岭）如图，四边形ABCD为菱形，∠BAD=60°，E为直线BD上的动点（点E不与点B和点D重合），直线CE绕C点顺时针旋转60°与直线AD相交于点F，连接EF．（1）如图①，当点E在线段BD上时，∠CEF=度；（2）如图②，当点E在BD延长线上时，试判断∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系，并说明理由；（3）如图③，若四边形ABCD为平行四边形，∠DBC=∠DCB=45°，E为直线BD上的动点（点E不与点B和点D重合），射线CE绕C点顺时针旋转45°与直线AD相交于点F，连接EF，探究∠DEF+∠DFE与∠CEF度数之间的关系．（直接写出结果）答案解析部分一、综合题1、【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAE+∠EAD=90°，又∵四边形AEFG是正方形，∴AE=AG，∠EAD+∠DAG=90°，∴∠BAE=∠DAG．在△ABE与△ADG中，∵，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴BE=DG（2）解：①如图1，作BN⊥AE于点N，∵∠BAN=45°，AB=2，∴AN=BN= ．在△BEN中，∵BN= ，NE=3 ﹣，∴BE= ；②如图1，作AM⊥BE于点M，则S△ABE= AE•BN= ×3 ×= ．又∵S△ABE= BE•AM= ××AM= ，∴AM= ，即点A到BE的距离（3）解：解：①如图2，连接AC，AF，CF，∵四边形ABCD与AEFG是正方形，∴∠ACD=∠AFE=45°，∵∠DCE=90°∴点A，C，E，F四点共圆，∵∠AEF是直角，∴AF是直径，∴∠ACF=90°，∵∠ACD=45°，∴∠FCD=45°②如图3，连接AC，AF，FG，CG由（1）知∵△ABE≌△ADG，∴∠ABE=∠ADG=90°，∴DG和CG在同一条直线上，∴∠AGD=∠AGC=∠BAG，∵四边形ABCD与AEFG是正方形，∴∠BAC=∠FAG=45°，∴∠BAG+∠GAC=45°，∠BAG+∠BAF=45°，∴∠AGD+∠GAC=45°，∴∠BAG+∠BAF+∠AGD+∠GAC+∠AGF=180°，∴点A，C，G，F四点共圆，∵∠AGF是直角，∴AF是直径，∴∠ACF=90°，∴∠FCD=90°+45°=135°综上所述，∠FCD的度数为45°或135°．【考点】全等三角形的应用，旋转的性质【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°，再根据余角的性质，可得∠BAE=∠DAG，然后利用“SAS”证明△ABE≌△ADG，根据全等三角形对应边相等证明即可；（2）①作BN⊥AE于点N，根据勾股定理得出AN=BN= ，在△BEN中，根据勾股定理即可得出结论；②作AM⊥BE于点M，根据S△ABE= AE•BN= BE•AM=3即可得出结论；（3）分两种情况：①E在BC的右边，连接AC，AF，CF，利用点A，C，E，F 四点共圆求解，②E在BC的左边，连接AC，AF，FG，CG，首先确定DG和CG在同一条直线上，再利用点A，C，G，F 四点共圆求解．2、【答案】（1）解：作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，∵矩形AOCD绕顶点A（0，5）逆时针方向旋转得到矩形ABEF，∴AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，∵∠PBQ=90°，∴∠ABP=∠MBQ，∴Rt△ABP∽Rt△MBQ，∴，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，BM=x+y﹣2，∴，∴PB•MQ=xy，∵PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，∴（PB﹣MQ）2=1，即PB2﹣2PB•MQ+MQ2=1，∴52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得x+y=7，∴BM=5，∴BE=BM+ME=5+2=7，∴AD=7；（2）解：∵AB=BM，∴Rt△ABP≌Rt△MBQ，∴BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，∵BQ2+MQ2=BM2，∴（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，∴BQ=7﹣3=4，∴S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM=×（4+7）×4﹣×4×3=16；设直线AM的解析式为y=kx+b，把A（0，5），M（7，4）代入得，解得，∴直线AM的解析式为y=﹣x+5；（3）解：设经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，∵AP=MQ=3，BP=DQ=4，∴B（3，1），而A（0，5），D（7，5），∴，解得，∴经过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=x2﹣x+5；（4）解：当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2 设P（x，﹣x+5），则K（x，﹣x+5），则KP=﹣+x，根据三角形面积公式可得到•（﹣x2+x）•7=，解得x1=3，x2=，于是得到此时P点坐标为（3，1）、（，）；再求出过点（3，1）与（，）的直线l的解析式为y=﹣x+，则可得到直线l与y轴的交点A′的坐标为（0，），所以AA′=，然后把直线AM向上平移个单位得到l′，直线l′与抛物线的交点即为P点，由于A″（0，），则直线l′的解析式为y=﹣x+，再通过解方程组得P点坐标为(3,1)、（）、（）、（）．【考点】一次函数图象与几何变换，二次函数图象与几何变换【解析】【解答】（1）作BP⊥AD于P，BQ⊥MC于Q，如图1，根据旋转的性质得AB=AO=5，BE=OC=AD，∠ABE=90°，利用等角的余角相等得∠ABP=∠MBQ，可证明Rt△ABP∽Rt△MBQ得到，设BQ=PD=x，AP=y，则AD=x+y，所以BM=x+y﹣2，利用比例性质得到PB•MQ=xy，而PB﹣MQ=DQ﹣MQ=DM=1，利用完全平方公式和勾股定理得到52﹣y2﹣2xy+（x+y﹣2）2﹣x2=1，解得x+y=7，则BM=5，BE=BM+ME=7，所以AD=7；（2）由AB=BM可判断Rt△ABP≌Rt△MBQ，则BQ=PD=7﹣AP，MQ=AP，利用勾股定理得到（7﹣MQ）2+MQ2=52，解得MQ=4（舍去）或MQ=3，则BQ=4，根据三角形面积公式和梯形面积公式，利用S阴影部分=S梯形ABQD﹣S△BQM进行计算即可；然后利用待定系数法求直线AM的解析式；（3）先确定B（3，1），然后利用待定系数法求抛物线的解析式；（4）当点P在线段AM的下方的抛物线上时，作PK∥y轴交AM于K，如图2设P（x，﹣x+5），则K（x，﹣x+5），则KP=﹣+x，根据三角形面积公式得到•（﹣x2+x）•7=，解得x1=3，x2=，于是得到此时P点坐标为（3，1）、（，）；再求出过点（3，1）与（，）的直线l的解析式为y=﹣x+，则可得到直线l与y轴的交点A′的坐标为（0，），所以AA′=，然后把直线AM向上平移个单位得到l′，直线l′与抛物线的交点即为P点，由于A″（0，），则直线l′的解析式为y=﹣x+，再通过解方程组得P点坐标．【分析】此题考查了一次函数和二次函数与几何变换，涉及图形旋转，相似三角形，待定系数法求解析式等相关知识点。
七年级数学全等三角形(培优)
八年级培劣班数教齐等三角形复习题之阳早格格创做1．如图1，已知正在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 取BE 相接于P ，则∠APE 的度数是.2．如图2，面E 正在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，图中有对于齐等三角形.3．如图3，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 等于度.4．如图4所示的2×2圆格中，对接AB 、AC ，则∠1＋∠2＝度.5．如图5，底下四个条件中，请您以其中二个为已知条件，第三个为论断，推出一个精确的命题.（）①AE ＝AD ；②AB ＝AC ；③OB ＝OC ；④∠B ＝∠C.6．如图6，正在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延少BA 到面D ，使AD ＝21AB ，面E 、F 分别为边BC 、AC 的中面.（1）供证：DF ＝BE ；（2）过面A 做AG ∥BC ，接DF 于面G ，供证：AG ＝DG.7．如图7，正在四边形ABCD 中，对于角线AC 仄分∠BAD ，AB ＞AD ，下列论断精确的是（）A.AB －AD ＞CB －CDB.AB －AD ＝CB －CDC.AB －AD ＜CB －CDD.AB －AD 取CB －CD 的大小闭系没有决定8．如图9，正在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一面，∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的少是.aa c 丙︒72︒50 乙︒50甲a ︒507250︒︒︒58c b a C B A 9．如图10，已知BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 战AB 上的下，面P 正在BD 的延少线上，BP ＝AC ，面Q 正在CE 上，CQ ＝AB. 供证：（1）AP ＝AQ ；（2）AP ⊥AQ.11．如图11，正在△ABC 中，∠C ＝60°，AC ＞BC ，又△ABC ´、△BCA ´、△CAB ´皆是△ABC 形中的等边三角形，而面D 正在AC 上，且BC ＝DC.（1）道明：△C ´BD ≌△B ´DC ；（2）道明：△AC ´D ≌△DB ´A ；12．如图12，正在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的面，若△ADB ≌EDB ≌EDC ，则∠C 的度数为.13．如图13，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中战△ABC 齐等的图形是. 14．如图14，正在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂脚分别为D 、E ，AD 、CE 接于H 面，请您增加一个适合的条件：，使△AEH ≌△CEB.15．如图15，正在△ABC 中，已知AB ＝AC ，要使AD ＝AE ，需要增加的一个条件是.16．有一腰少为5㎝，底边少为4㎝的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪启，得到二个齐等的曲角三角形纸片，用那二个曲角三角形纸片拼成的仄里图形中有个分歧的四边形.17．如图16，△ABF 战△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻合180°产生的，图11若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α的度数为.18．如图17，已知CE ⊥AD 于E ，BF ⊥AD 于F ，您能道明△BDF 战△CDE 齐等吗？若能，请您道明缘由；若没有克没有及，正在没有必减少辅帮线的情况下，请增加其中一个适合的条件，那个条件是，去道明那二个三角形齐等，并写出道明历程.19．如图19，正在△ABC 中，AB ＝AC ，过面A做GE ∥BC ，角仄分线BD 、CF 相接于面H ，它们的延少线分别接GE 于面E 、G.试正在图中找出3对于齐等三角形，并对于其中一对于齐等三角形给出道明. 20．如图20，正在△AFD 战△BEC 中，面A 、E 、F 、C 正在共背去线上，有底下四个论断：①AD ＝CB ；②AE ＝CF ；③∠B ＝∠D ；④AD ∥BC.请用其中有一个动做条件，余下的一个动做论断，编一讲数教问题，并写出解问历程.21．如图21－①，小明剪了一个等腰梯形ABCD ，其中AD ∥BC ，AB ＝DC ；又剪了一个等边△EFG ，共桌的小华拿过去拼成如图②的形状，她创造AD 取FG 恰佳实足沉合，于是她用图17B C 图19G E图20AC 图21②①FD (G )A (F )透明胶戴将梯形ABCD 取△EFG 粘正在所有，并沿EB 、EC 剪下.小华得到的△EBC 是什么三角形？请您做出推断并道明缘由.22．如图22，正在△ABC 取△DEF 中，给出以下六个条件：①AB ＝DE ；②BC ＝EF ；③AC ＝DF ；④∠A ＝∠D ；⑤∠B ＝∠F ；⑥∠A ＝∠D ，以其中三个条件动做已知，没有克没有及推断△ABC 取△DEF 齐等的是（）A.①⑤②B.①②③C.④⑥①D.②③④23．如图23（1），正在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中面，将△ADE 沿线段DE 背下合叠，得到图23（2），下列闭于图23（2）的四个论断中，纷歧定创造的是（）A.面A 降正在BC 边的中面B.∠B ＋∠1＋∠C ＝180°C ．△∥BC24．如图24，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝∠NDC ，下列没有克没有及判决△ABM ≌△CDN 的条件是（）A.∠M ＝∠∥CN25．如图25，正在△ABC 中，面D 正在AB 上，面E 正在BC 上，BD ＝BE.（1）请您再增加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出道明，您增加的条件是：.并给出道明.（2）根据您增加的条件，再写出图中的一对于齐等三角形：（只央供写出一对于齐等三角形，没有再增加其余线段，没有再标注或者使用其余字母，没有必写出道明历程）. 图25B C26．如图26，正在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 于D 面，E 正在AD 上，且DE ＝CD ，供证：BE ＝AC.27．已知：如图27，给出下列三个式子：①EC ＝BD ；②∠BDA ＝∠CEA ；③AB ＝AC ；请将其中的二个式子动做题设，一个式子动做论断，形成一个实命题（形式：如果……，那么……），并给出道明.28．如图28，正在四边形ABCD 中，对于角线AC 、BD 相接于面O ，已知∠ADC ＝∠BCD ，AD ＝BC ，供证：AO ＝BO.29．如图29，正在△ABC 战△DEF 中，B 、E 、C 、F 正在共背去线上，底下有四个条件，请您正在其中选3个动做题设，余下一个动做论断，写一个实命题，并加以道明.①AB ＝DE ；②AC ＝DF ；③∠ABC ＝∠DEF ；④BE ＝CF.30．如图30，已知△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别正在边BC 、CA 、AB 上，且△DEF 也是等边三角形.（1）除已知相等的边以中，请您预测另有哪些相等线段，并道明您的预测是精确的；（2）您所道明相等的线段，不妨通过何如的变更料到得到？写出变更历程.B图27B 图28D C31．如图31，面B 正在AE 上，∠CAB ＝∠DAB ，要使△ABC ≌△ABD ，可补充的一个条件是：（写一个即可）.并给出道明.32．如图32，AC 接BD 于面O ，请您从底下三项中选出二个动做条件，另一个为论断，写出一个实命题，并加以道明.①OA ＝OC ；②OB ＝OD ；③AB ∥DC.33．如图33，要正在湖的二岸A 、B 间修一座瞅赏桥，由于条件节造，无法间接度量A 、B 二面间的距离.请您用教过的数教知识按以下央供安排一丈量规划.（1）绘出丈量图案；（2）写出丈量步调（丈量数据用字母表示）；（3）安排AB 的距离（写出供解或者推理历程，截止用字母表示）.34．如图34，正在△ABC 中，D 是AB 上一面，DF 接AC 于面E ，DE ＝FE ，AE ＝CE ，AB 取CF 有什么位子闭系？道明您的论断.35．如图35，OP 是∠AOC 战∠BOD 的仄分线，OA ＝OC ，OB ＝OD.供证：AB ＝CD. 36．如图36，已知AB ＝AC ，（1）若CE ＝BD ，供证：GE ＝GD ；（2）若DE ＝mBD （m 为正数），试预测GE 取GD 有何闭系.（只写论断，没有道明）图34D E C B 图32O A B37．复习“齐等三角形”知识时，皆是安插了一讲做业题：“如图37（1），已知正在△ABC 中，AB ＝AC ，P 是△ABC 内任性一面，将AP 绕面A 顺时针转动至AQ ，使∠QAP ＝∠BAC ，对接BQ 、CP ，则BQ ＝CP.”小明是个爱动脑筋的共教，他通过图（2）的分解，道明白△ABQ ≌△ACP ，进而证得BQ ＝CP ，之后，他将面P 移到等腰三角形ABC除中，本题中其余条件没有变，创造“BQ ＝CP ”仍旧创造，请您便图（2）给出道明. 38．文文战彬彬正在道明“有二个角相等的三角形是等腰三角形”那一命题时，绘出图形，写出“已知”“供证”（如图38），她们对于各自所做的辅帮线形貌如下：文文：“过面A 做BC 的中垂线AD ，垂脚为D ”；彬彬：“做△ABC 的角仄分线AD ”.数教教授瞅了二位共教的辅帮线做法后道：“彬彬的做法是精确的，而文文的做法需要订正.”（1） 请您简要道明文文的辅帮线做法错正在哪里；（2） 根据彬彬的辅帮线做法，完毕道明历程. 39．将二块齐等的含30°角的三角尺如图39（1）晃搁正在所有，它们的较短曲角边少为3. 图37(2)(1)Q B E 图38已知：如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C 。
七年级数学全等三角形(培优)
八年级培优班数学全等三角形复习题之相礼和热创作1．如图1，已知在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，则∠APE 的度数是.2．如图2，点E 在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，图中有对全等三角形.3．如图3，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 等于度.4．如图4所示的2×2方格中，连接AB 、AC ，则∠1＋∠2＝度.5．如图5，上面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题.（）①AE ＝AD ；②AB ＝AC ；③OB ＝OC ；④∠B ＝∠C.6．如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延伸BA 到点D ，使AD ＝21AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点.（1）求证：DF ＝BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG ＝DG.7．如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC 中分∠BAD ，AB ＞AD ，下列结论正确的是（）A.AB －AD ＞CB －CDB.AB －AD ＝CB －CDC.AB －AD ＜CB －CDD.AB －AD 与CB －CD 的大小关系不确定8．如图9，在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点，∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是.aa c 丙︒72︒50 乙︒50甲a ︒507250︒︒︒58c b a C B A 9．如图10，已知BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延伸线上，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：（1）AP ＝AQ ；（2）AP ⊥AQ.11．如图11，在△ABC 中，∠C ＝60°，AC ＞BC ，又△ABC ´、△BCA ´、△CAB ´都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC ＝DC.（1）证明：△C ´BD ≌△B ´DC ；（2）证明：△AC ´D ≌△DB ´A ；12．如图12，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，若△ADB ≌EDB ≌EDC ，则∠C 的度数为.13．如图13，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是. 14．如图14，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于H 点，请你添加一个得当的条件：，使△AEH ≌△CEB.15．如图15，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，要使AD ＝AE ，必要添加的一个条件是.16．有一腰长为5㎝，底边长为4㎝的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的立体图形中有个分歧的四边形.17．如图16，△ABF 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°构成的，图11若∠1：∠2：∠3＝28：5：3，则∠α的度数为.18．如图17，已知CE ⊥AD 于E ，BF ⊥AD 于F ，你能阐明△BDF 和△CDE 全等吗？若能，请你阐明理由；若不克不及，在不必添加辅助线的状况下，请添加其中一个得当的条件，这个条件是，来阐明这两个三角形全等，并写出证明过程.19．如图19，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A作GE ∥BC ，角中分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延伸线分别交GE 于点E 、G.试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明.20．如图20，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同不停线上，有上面四个结论：①AD ＝CB ；②AE ＝CF ；③∠B ＝∠D ；④AD ∥BC.请用其中有一个作为条件，余下的一个作为结论，编一道数学成绩，并写出解答过程.21．如图21－①，小明剪了一个等腰梯形ABCD ，其中AD ∥BC ，AB ＝DC ；又剪了一个等边△EFG ，同桌的小华拿过来拼成如图②的外形，她发现AD 与FG 恰恰完全重合，于是她用通明胶带将梯形图17B C 图19G E图20A C图21②①FD (G )A (F )ABCD 与△EFG 粘在一同，并沿EB 、EC 剪下.小华得到的△EBC 是什么三角形？请你作出判别并阐明理由.22．如图22，在△ABC 与△DEF 中，给出以下六个条件：①AB ＝DE ；②BC ＝EF ；③AC ＝DF ；④∠A ＝∠D ；⑤∠B ＝∠F ；⑥∠A ＝∠D ，以其中三个条件作为已知，不克不及判别△ABC 与△DEF 全等的是（）A.①⑤②B.①②③C.④⑥①D.②③④23．如图23（1），在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，将△ADE 沿线段DE 向下折叠，得到图23（2），下列关于图23（2）的四个结论中，纷歧定成立的是（）A.点A 落在BC 边的中点B.∠B ＋∠1＋∠C ＝180°C ．△∥BC24．如图24，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝∠NDC ，下列不克不及断定△ABM ≌△CDN 的条件是（）A.∠M ＝∠∥CN25．如图25，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E在BC 上，BD ＝BE.（1）请你再添加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明，你添加的条件是：.并给出证明.（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形：（只需求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或运用其他字母，不必写出证明过程）. 图25B C26．如图26，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 于D 点，E 在AD 上，且DE ＝CD ，求证：BE ＝AC.27．已知：如图27，给出下列三个式子：①EC ＝BD ；②∠BDA ＝∠CEA ；③AB ＝AC ；请将其中的两个式子作为题设，一个式子作为结论，构成一个真命题（方式：假如……，那么……），并给出证明.28．如图28，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知∠ADC ＝∠BCD ，AD ＝BC ，求证：AO ＝BO.29．如图29，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同不停线上，上面有四个条件，请你在其中选3个作为题设，余下一个作为结论，写一个真命题，并加以证明. ①AB ＝DE ；②AC ＝DF ；③∠ABC ＝∠DEF ；④BE ＝CF.30．如图30，已知△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且△DEF 也是等边三角形.（1）除已知相称的边以外，请你猜测还有哪些相称线段，并证明你的猜测是正确的；（2）你所证明相称的线段，可以经过怎样的变更想到得到？写出变更过程.31．如图31，点B 在AE 上，∠CAB ＝∠DAB ，要使△ABC ≌△B图27B 图28D CABD ，可补偿的一个条件是：（写一个即可）.并给出证明.32．如图32，AC 交BD 于点O ，请你从上面三项中选出两个作为条件，另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明.①OA ＝OC ；②OB ＝OD ；③AB ∥DC.33．如图33，要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件限定，无法直接度量A 、B 两点间的距离.请你用学过的数学学问按以下要求计划一丈量方案.（1）画出丈量图案；（2）写出丈量步调（丈量数据用字母暗示）；（3）计划AB 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母暗示）.34．如图34，在△ABC 中，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，AE ＝CE ，AB 与CF 有什么地位关系？证明你的结论.35．如图35，OP 是∠AOC 和∠BOD 的中分线，OA ＝OC ，OB ＝OD.求证：AB ＝CD. 36．如图36，已知AB ＝AC ，（1）若CE ＝BD ，求证：GE ＝GD ；（2）若DE ＝mBD （m 为负数），试猜测GE 与GD 有何关系.（只写结论，不证明）37．复习“全等三角形”学问时，都是安插了一道作业题：“如图37（1），已知在△ABC 中，AB ＝AC ，P 是△ABC 内恣意图34D E C B 图32O A B一点，将AP 绕点A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP ＝∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ ＝CP.”小亮是个爱动脑筋的同砚，他经过图（2）的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ ＝CP ，之后，他将点P 移到等腰三角形ABC之外，原题中其他条件不变，发现“BQ ＝CP ”依然成立，请你就图（2）给出证明. 38．文文和彬彬在证明“有两个角相称的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，写出“已知”“求证”（如图38），她们对各自所作的辅助线描绘如下：文文：“过点A 作BC 的中垂线AD ，垂足为D ”；彬彬：“作△ABC 的角中分线AD ”.数学老师看了两位同砚的辅助线作法后说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法必要订正.”（1） 请你简要阐明文文的辅助线作法错在那里；（2） 根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程. 39．将两块全等的含30°角的三角尺如图39（1）摆放在一同，它们的较短直角边长为3.（1）将△ECD 沿直线l 向左平移到图（2）的地位，使E 点落在AB 上，则CC ´＝； 图37(2)(1)Q B E 图38已知：如图，在△ABC 中，∠B＝∠C 。
全等三角形 培优讲义
第6讲 全等三角形一、全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
全等三角形的性质：全等三角形的对应角相等、对应边相等。
对应角：∠A=∠A ′∠B=∠B ′∠C=∠C ′△ AB C ≌'''A B C ∆ AB=''A B对应边： BC =''B C AC =''A C 二、全等三角形的判定：1、两边及夹角对应相等的两个三角形全等。
AB=''A B∠B=∠B ′ △AB C ≌'''A B C ∆ （SAS ）BC =''B C（1）、已知：如图，AD ∥BC ，AD ＝CB ，你能说明△ADC ≌△CBA 吗？ 证明： ∵AD ∥BC （已知）∴∠=∠（两直线平行，内错角相等）在 中，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∠=∠（公共边）＝（已证）（已知）＝ ∴ ≌ （ ）A B C A ′B ′C ′ACBDA BCA ′B ′C ′（2）、如图，AB＝AC ，AD平分∠BAC，你能证明△ABD≌△ACD？证明：∵AD平分∠BAC（）∴∠＝∠（角平分线的定义）在△ABD和△ACD中∴△ABD △ACD（）（3）、如图（五--1），点B、F、C、E在同一条直线上，FB=CE，AB∥ED ，AC=FD ，求证：AB=DE（4）、如图，已知AB＝AC，AE＝AD，∠1＝∠2，你能说明△ABD≌△ACE吗？（5）、求证：等腰三角形的两底角相等。
2、三边对应相等的两个三角形全等。
AB CA′B′C′AB CD图五—1BEADCFAB CDE12AB=''A BBC =''B C △AB C ≌'''A B C ∆ （SSS ）AC =''A C（1）、如图，已知AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，你能说明AD 是角平分线吗？ 证明：∵AD 是BC 边上的中线（已知）∴ ＝ （中线的定义） 在 中∴ ≌ （ ）∴ ＝ （全等三角形的对应角相等） ∴AD 是角平分线（ ）（2）．如图，已知：AC=AD ，BC=BD 求证：∠1=∠2 (泉州)证明：（3）、已知AB=DE ，AC=DF ，BF=EC ， 求证：∠B=∠F证明：3、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等。
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知识回顾：
包括直角三角形
一般三角形 全等的条件：
1.定义（重合）法；
种解 方题
2.SSS；
法 中 3.SAS；
常 用
4.ASA；
不包括其它形 状的三角形
的 5.AAS.
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直角三角形 全等特有的条件：HL.
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总结：
边边边：三边对应相等的两个三角形全等 （“SSS”)
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5.已知：如图：在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB 两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线 上截取CG=AB，连结AD、AG。
求证：△ ADG 为等腰直角三角形。
2021/7Biblioteka 26276.已知：如图21，AD平分∠BAC，DE⊥AB 于E，DF⊥AC于F，DB=DC， 求证：EB=FC
2.如图，已知E在AB上，∠1=∠2， ∠3=∠4，
那么AC等于AD吗？为什么？
C
3
AE
1 2
4
解：AC=AD
B
理由：在△EBC和△EBD中
∠1=∠2 ∠3=∠4 EB=EB
D
∴ △EBC≌△EBD (AAS)
∴ BC=BD
在△ABC和△ABD中
AB=AB
∠1=∠2
BC=BD
∴ △ABC≌△ABD (SAS)
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全等三角形
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1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变 化可以得到它的全等形？
能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角 形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。
全等三角形问题培优
全等三角形问题培优在初中数学学习中，全等三角形是一个很重要的概念。
全等三角形指的是具有相等边长和相等内角的两个三角形。
在解决问题时，我们常常要运用全等三角形的性质。
本文将从这一角度出发，介绍全等三角形问题的培优方法。
一、全等三角形的定义和性质全等三角形是指具有相等边长和相等内角的两个三角形。
在解决问题时，我们可以利用全等三角形的性质来简化计算过程和证明过程。
1. 边边边（SSS）全等条件：如果两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
2. 边角边（SAS）全等条件：如果两个三角形的一个边和其夹角分别相等，并且另一边也相等，则这两个三角形全等。
3. 角边角（ASA）全等条件：如果两个三角形的两个角和夹在两个角之间的边分别相等，则这两个三角形全等。
利用这些全等条件，我们可以在解决问题过程中找到相应的全等三角形，从而得出答案。
二、全等三角形的应用1. 边长和角度比较在问题中，经常会出现两个或多个三角形的边长或内角需要进行比较的情况。
利用全等三角形的性质，我们不需要逐一计算每个边长或者每个内角的数值，只需要通过观察边长和角度的关系，找到全等三角形，就可以简化计算过程。
例如，已知三角形ABC和三角形DEF的三个内角分别相等，我们可以得出这两个三角形全等。
如果已知三角形ABC的一条边的长度为a，而三角形DEF的相应边的长度为b，那么我们就可以直接得出三角形DEF的边长与a的比较结果。
2. 证明问题在几何证明中，全等三角形是常常被用到的工具。
通过找到一个或多个全等三角形，我们可以得到所求证的结论。
例如，我们需要证明两条线段相等，可以通过构造两个全等三角形，使得所求线段等于全等三角形中的某条边。
然后，利用全等三角形的性质，我们可以得到所求线段等于另一条边，从而得到所需要证明的结论。
3. 问题求解在解决具体问题时，全等三角形也是一个很有用的工具。
通过观察问题中的几何关系，我们可以找到并利用全等三角形来简化问题的求解过程。
全等三角形培优
全等三角形培优关键信息项1、培优课程的目标和预期成果明确学生在全等三角形知识方面的掌握程度提升目标预期学生在相关考试和竞赛中的表现提升2、教学内容和方法涵盖全等三角形的定义、性质、判定定理等核心知识点采用讲解、练习、讨论、案例分析等多种教学方法3、教学时间和进度安排总课时数每周的上课时间和时长每个阶段的教学重点和进度计划4、学生的学习要求和责任按时参加课程，完成作业和练习积极参与课堂讨论和互动主动提出问题和寻求帮助5、教师的职责和教学质量保障具备专业知识和教学经验及时批改作业和答疑解惑定期进行教学评估和改进6、费用和退费政策课程费用的具体金额和支付方式退费的条件和流程7、保密和知识产权对教学资料和学生学习成果的保密规定知识产权的归属11 课程目标和预期成果111 本全等三角形培优课程旨在帮助学生深入理解全等三角形的概念、性质和判定方法，提高学生运用全等三角形知识解决复杂几何问题的能力。
通过本次培优课程，学生应能够熟练掌握全等三角形的各种证明技巧，能够准确快速地识别全等三角形，并能够运用全等三角形的知识解决综合性的几何难题。
112 预期成果方面，学生在完成本课程后，在学校的数学考试中有关全等三角形的题目得分率应显著提高，能够在数学竞赛中灵活运用所学知识取得较好的成绩。
同时，学生应具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力，为后续学习更高级的几何知识打下坚实的基础。
12 教学内容和方法121 教学内容将全面涵盖全等三角形的各个方面，包括但不限于：全等三角形的定义、性质和判定定理（SSS、SAS、ASA、AAS、HL）的详细讲解和应用举例。
全等三角形与其他几何图形（如等腰三角形、直角三角形）的综合应用。
全等三角形在证明线段相等、角相等以及求解图形面积等问题中的应用。
复杂图形中全等三角形的识别和构造。
122 教学方法将多样化，以满足不同学生的学习需求：课堂讲解：由教师系统地讲解全等三角形的知识点，确保学生理解基本概念和原理。
全等三角形专题培优(带答案)
全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（）A.与互为余角B.C.D.4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B.C. D.6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（）A.个B.个C.个D.个7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图，是的角平分线，则等于（）A. B.C. D.9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（）A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（）A.都是锐角B.有一个是直角C.有一个是钝角D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得第1页，共7页第2页，共7页………外………○……………………○……………………○※※请※※不※※答※※题※………内………○……………………○……………………○到线段（旋转角为），连接．特例分析：如图．若，则图中与全等的一个三角形是________，的度数为________．类比探究：请从下列，两题中任选一题作答，我选择________题． ：如图，当时，求的度数； ：如图，当时，①猜想的度数与的关系，用含的式子表示猜想的结果，并证明猜想；②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”，其余条件不变，请直接写出的度数（用含的式子表示，不必证明）12.如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为________．13.在中，为的平分线，于，于，面积是，，，则的长为________．14.在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于________．15.如图，平分，于，于，，则图中有________对全等三角形．16.如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． 当________时，；请添加一个条件：________，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：；②如图，当点运动到线段之外时，其它条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．17.如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，．如果，，那么弦的长是________．18.如图，在中，，，是的平分线，平分交于，则________．19.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图，在中，，平分，， 求的长．小聪思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这样很容易得到，经过推理能使问题得到解决（如图）． 请回答：是________三角形．的长为________．参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图，已知中，，，平分，，．求的长．20.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：________．三、解答题（共 7 小题 ，每小题 10 分 ，共 70 分 ）21.如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，，求证：为等边三角形．22.尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）如图，作①的平分线；②边上的中线；22.一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块，请你用尺规作图作一个三角形，使所得的三角形和原来的三角形全等．（不要求写作法，保留作图痕迹．不能在原图上作三角形）22.如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列画图（只能借助于网格）：①画出中边上的高（需写出结论）．②画出先将向右平移格，再向上平移格后的．23.平行四边形中，，点为边上一点，连结，点在边所在直线上，过点作交于点．如图，若为边中点，交延长线于点，，，，求；如图，若点在边上，为中点，且平分，求证：；如图，若点在延长线上，为中点，且，问中结论还成立吗？若不成立，那么线段、、满足怎样的数量关系，请直接写出结论．24.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与直线关于轴对称，已知直线的解析式为，求直线的解析式；过点在的外部作一条直线，过点作于，过点作于，请画出图形并求证：；沿轴向下平移，边交轴于点，过点的直线与边的延长线相交于点，与轴相交于点，且，在平移的过程中，①为定值；②为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．25.如图：，，过点，于，于，．求证：．第3页，共7页第4页，共7页26.如图，点，在上，，，，与交于点．求证：；试判断的形状，并说明理由．27.如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、吗？为什么？是的垂直平分线吗？为什么？ 答案 1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11.[ “”, “” ][ “” ] 12.[ “” ] 13.[ “” ] 14.[ “或” ]15.[ “” ] 16.[ “；” ][ "添加一个条件，可得为等边三角形； 故答案为：；①∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴；②成立，理由如下； ∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴．" ] 17.[ “” ] 18.[ “” ]19.[ "解：是等腰三角形， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴是等腰三角形；" ][ "的长为， ∵中，，， ∴， ∵平分， ∴，在边上取点，使，连接， 则，∴， ∴， ∴，在边上取点，使，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，∴．" ]\"go题库\"20.[ “” ]21.证明：∵为等边三角形，∴，，即，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，又，∴，∴为等边三角形．22.解：如图所示：；如图所示：即为所求；；①如图所示：即为所求；②如图所示：即为所求；．．23.解：如图，在平行四边形中，，∴，∵在中，为的中点，，∴，又∵，∴，故可设，，则中，，解得，∴，又∵，，∴为的中点，∴；如图，延长交的延长线于点，则，∵，∴，又∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，又∵为的中点，∴，∴，∴，∵，∴；第5页，共7页第6页，共7页…○…………装订…………○…※※请※※不※※内※※答※※题※※…○…………装订…………○…若点在延长线上，为中点，且，则中的结论不成立，正确结论为：． 证明：如图，延长交的延长线于点，则，∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．24.解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，，∵直线与直线关于轴对称， ∴∴直线的解析式为：；如图．．∵直线与直线关于轴对称， ∴，∵与为象限平分线的平行线， ∴与为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，，∴；①对，过点作轴于，直线与直线关于轴对称∵，， 又∵， ∴， 则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴．25.证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，∴．26.证明：∵，∴，即．又∵，，∴，∴．解：为等腰三角形理由如下：∵，∴，∴，∴为等腰三角形．27.解：．理由：∵是的平分线，且，，∴，∴；是的垂直平分线．理由：∵，在和中，，∴，∴，由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点，从而是线段的垂直平分线．第7页，共7页。
初一全等三角形培优材料
FE DCBA1．如图，AB ＝AD ，CB ＝CD ．△ABC 与△ADC 全等吗？为什么？２．如图，C 是AB 的中点，AD ＝CE ，CD ＝BE ．求证△ACD ≌△CBE ．３．如图，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB =DE ，AC =DF ，BE =CF ． 求证∠A =∠D ．４．已知，如图，AB=AD ，DC=CB ．求证：∠B=∠D 。
５．如图, AD ＝BC, AB ＝DC, DE ＝BF. 求证：BE ＝DF.AD C B1．如图，AC 和BD 相交于点O ，OA =OC ，OB =OD ．求证DC ∥AB ．2．如图，△ABC ≌△A B C '''，AD ，A D ''分别是△ABC ，△A B C '''的对应边上的中线，AD 与A D ''有什么关系？证明你的结论．3．如图，已知AC ⊥AB ，DB ⊥AB ，AC ＝BE ，AE ＝BD ，试猜想线段CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论．4．已知：如图，AD ∥BC ，AD=CB ，求证：△ADC ≌△CBA ．5．已知：如图AD ∥BC ，AD=CB ，AE=CF 。
求证：△AFD ≌△CEB ．6．已知，如图，AB=AC ，AD=AE ，∠1=∠2。
求证：△ABD ≌△ACE ．AC EDBAE B CFD A BC D 2 AC B ED1A BCDEPQNM３～４．三角形全等的判定三、四（ASA 、AAS ）1．如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，FB =CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ．求证AB =DE ，AC =DF ．2．如图，∠ACB =90°，AC =BC ，BE ⊥CE ，AD ⊥CE 于D ，AD =2.5cm ，DE =1.7cm ． 求BE 的长．3．已知，D 是△ABC 的边AB 上的一点，DE 交AC 于点E ，DE=FE ，FC ∥AB 。
三角形全等(旋转、一线三等角)七年级下数学培优
三角形全等：旋转复习：已知∠ BAC的平分线与BC的垂直平分线DG相交于点D，DE⊥AB，DF⊥ AC，垂足分别为E、F，（1）连接CD、BD，求证：△ CDF≌△BDE；2．（4分）如图，在锐角△ABC 中，AC=7cm，S△ABC=14cm2，AD 平分∠BAC ，M 、N分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是___________ cm．例 1．如图 1，C 是线段 BE 上一点，以 BC 、CE 为边分别在 BE 的同侧作等边△ ABC 和等边△ DCE ， 连结 AE 、BD ．（ 1）求证： BD=AE ；（2）如图 2，若 M 、N 分别是线段 AE 、BD 上的点，且 AM=BN ，请判断△ CMN 的形状，并说 明理由．例 2（1）在图 1中，AC 与 BD 相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。
COD 均是等腰直角三角形，∠ AOB ＝∠ COD ＝ 90o ， （2）若△ COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗，还具有那种位置 关系吗？为什么？（ 3）若△ COD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后， 到达图 3的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗？还具有上问中的 位置关系吗？为什么？．如图 1、图 2、图 3，△ AOB ，△3、在等边ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为VABC外一点，且MDN 60 ,BDC 120 ,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN 之间的数量关系及AMN 的周长Q 与等边ABC 的周长L的关系．图 1 图 2 图3I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是；此时；L （II）如图2，点M、N 边AB、AC上，且当DM DN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（III）如图3，当M、N 分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=x ，则Q=（用x 、L 表示）．4 如图①，点M为锐角三角形ABC内任意一点，连接AM、BM、CM．以AB 为一边向外作等边三角形△ ABE，将BM绕点 B 逆时针旋转60 °得到BN，连接EN．（1）求证：△ AMB≌△ ENB；（2）若AM+BM+C的M值最小，则称点M为△ ABC的费尔马点．若点M为△ ABC的费尔马点，试求此时∠ AMB、∠BMC、∠ CMA的度数；（3）小翔受以上启发，得到一个作锐角三角形费尔马点的简便方法：如图②，分别以△ABC的AB、AC为一边向外作等边△ ABE和等边△ ACF，连接CE、BF，设交点为M，则点M即为△ ABC的费尔马点．试说明这种作法的依据．5．（1）如图（1），已知：在△ ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE=BD+CE．（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m 上，并且有∠ BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m 上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠ BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△ DEF的形状．6．如图①，已知，在△ ABC 中，∠ ACB=90°，AC=BC ，点 D 是AB 边上的中点，点 M 和点 N 是 动点，分别从 A ，C 出发，以相同的速度沿 AC ，CB 边上运动．（1）判断 DM 与 DN 的关系，并说明理由；（ 2）若 AC=BC=2，请直接写出四边形 MCND 的面积；（3）如图②，当点 M 运动到 C 点后，将改变方向沿着 CB 运动，此时，点N 在 CB 延长线上，过M 作 ME ⊥CD 于点 E ，过点 N 作NF ⊥DB 交DB 延长线于 F ，求证：7．（ 12分）已知两个全等的等腰直角 △ABC 、 △DEF ，其中∠ACB= ∠ DFE=90 °，E 为 AB 中点，△DEF 可 绕顶点 E 旋转，线段 DE ，EF 分别交线段 CA ，CB （或它们所在直线）于 M 、N ．（1）如图 l ，当线段 EF 经过△ABC 的顶点 C 时，点N 与点 C 重合，线段 DE 交 AC 于M ，求证：AM=MC ； （2）如图 2，当线段 EF 与线段 BC 边交于 N 点，线段 DE 与线段 AC 交于 M 点，连 MN ，EC ，请探究 AM ， MN ， CN 之间的等量关系，并说明理由；（3）如图 3，当线段 EF 与 BC 延长线交于 N 点，线段 DE 与线段 AC 交于 M 点，连 MN ，EC ，请猜想 AM ， MN ， CN 之间的等量关系，不必说明理由．ME=NF ．8．【感知】如图①，△ ABC是等边三角形，CM 是外角∠ ACD的平分线，E是边BC中点，在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF．易证：△ AEF是等边三角形（不需要证明）．【探究】如图②，△ ABC是等边三角形，CM是外角∠ ACD的平分线，E是边BC上一点（不与点B、C重合），在CM上截取CF=BE，连接AE、EF、AF．求证：△ AEF是等边三角形．【应用】将图②中的“E是边BC上一点”改为“E是边BC延长线上一点”，其他条件不变．当四边形ACEF是轴对称图形，且AB=2时，请借助备用图，直接写出四边形ACEF的周长．21、 若m 2 m 1 0, 则m 3 2m 2 322、如图， AE ⊥AB 且 AE=AB ，BC ⊥ CD 且 BC=CD ，请按照图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积 S 是．27、在△ ABC 中，点 D 、E 分别为 BC 、AD 的中点， F 为 CE 的三等分点，则 S BFE 。
北师大版七年级下册数学《全等三角形》培优复习讲义
全等三角形（一）SSS【知识要点】1．边边边定理（sss）：三边对应相等的两个三角形全等.【典型例题】1、已知：如图，A、B、E、F在一条直线上，且AC=BD，CE=DF，AF=BE。
求证：△ACE≌△BDF2、已知：如图，B、E、C、F在一条直线上，且BE=CF，AB=DE，AC=DF。
求证：△AB C≌△DEF。
3、如图，△ABC中，D是BC边的中点，AB=AC，求证：∠B=∠C。
4、已知：如图，AB=DC，AD=BC，求证：∠A=∠C。
D CBDDBFCEB全等三角形（二）SAS【知识要点】1．边角边定理（SAS）：有两边及其夹角对应相等的两个三角形全等.【典型例题】例1 、已知：AB＝AC、AD＝AE、∠1＝∠2(图4)。
求证：△ABD≌△ACE。
练习：1、已知：如图，AB＝AC，F、E分别是AB、AC的中点。
求证：△ABE≌△ACF。
2、已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．ABC D E3、已知：如图AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE，求证：△ABD≌△ACE4、已知：如图，AD∥BC，CBAD=，CFAE=。
求证：CEBAFD∆≅∆。
5、已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上，DBAC=，DFAE=，ADEA⊥，ADFD⊥，垂足分别是A、D。
求证：FDCEAB∆≅∆全等三角形（三）AAS和ASA【知识要点】1．角边角定理（ASA）：有两角及其夹边对应相等的两个三角形全等.2．角角边定理（AAS）：有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.【典型例题】例1．如图，AB∥CD，AE=CF，求证：AB=CDAD CFO例2．如图，已知：AD=AE ，ABE ACD ∠=∠，求证：BD=CE.例3．如图，已知：ABD BAC D C ∠=∠∠=∠.，求证：OC=OD.例4．如图已知：AB=CD ，AD=BC ，O 是BD 中点，过O 点的直线分别交DA 和BC 的延长线于E ，F.求证：AE=CF.直角三角形全等HL 【知识要点】斜边直角边公理：有斜边和直角边对应相等的两个直角三角形全等. 【典型例题】例1 如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AE ⊥BC ，DF ⊥BC ，AB=DC ，BE=CF ，试判断AB 与CD 的位置关系. 例2 已知 如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，AB=DC ，求证：AD ∥BC.AFD90，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，例3．如图，在△ABC中，∠ACB=求证：DE=AD+BE.ACE N。
初中几何全等三角形培优系列
【例2】 如图，点 M 为正三角形 ABD 的边 AB 所在直线上的任意一点(点 B 除外)，作 ∠DMN = 60° ，射线 MN 与 ∠DBA 外角的平分线交于点 N ， DM 与 MN 有怎样的数量关系?
1 / 25
D
D
G
N
N
A
MB
EA
MB
E
【解析】猜测 DM = MN .过点 M 作 MG ∥ BD 交 AD 于点 G ， AG = AM ，∴ GD = MB
M N
C
M
K
N P
4 / 25
A
BA
B
从而 ΔMPN ≌ ΔMKN .
进而有 ∠PMN = ∠KMN ， ∠NMB = 1 ∠KMP = 30° . 2
C
【另解】如图所示，在 AC 上取点 D ，使得 ∠ABD = 20° ，
由 ∠C = 20° 、 AC = BC 可知 ∠BAC = 80° .
A
A
F
B
EB
E
C
D
C
D
【解析】延长 DE 至 F，使得 EF=BC，连接 AC.
∵∠ABC+∠AED=180°，∠AEF+∠AED=180°
∴∠ABC=∠AEF
∵AB=AE，BC=EF
∴△ABC≌△AEF
∴EF=BC，AC=AF
∵BC+DE=CD
∴CD=DE+EF=DF
∴△ADC≌△ADF
∴∠ADC=∠ADF
拆分成两段，之后再利用三角形全等亦可，此思路也是十分自然的.需要说明的是，无论采取哪种方法，
都体现出关于角平分线“对称”的思想.
上述方法我们分别称之为“补短法”和“截长法”，它们是证明等量关系时优先考虑的方法.
全等三角形经典培优题型(含答案)
全等三角形经典培优题型(含答案)1.已知三角形ABC中，AB=4，AC=2，D是BC的中点，AD是整数，求AD的长度。
解：由题意可得AD=AB-DB，又BD=DC=AC/2=1，故AB=AD+DB=AD+1，代入AB=4得AD=3.2.已知四边形BCDE中，BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD的中点，证明∠1=∠2.解：由于BC=DE，且∠B=∠E，所以△BCE≌△EDC，从而∠1=∠BCE=∠EDC=∠2.3.已知四边形ABCD中，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，证明EF=AC。
解：由于EF//AB，所以△EFC∼△ABC，从而EF/AC=FC/BC，而CD=DE，所以FC=CD，代入得EF/AC=CD/BC，又由于∠1=∠2，所以△BCD∼△ECD，从而CD/BC=ED/AC，代入得EF/AC=ED/AC，即EF=AC。
4.已知三角形ABC中，AD平分∠BAC，AC=AB+BD，证明∠B=2∠C。
解：由于AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD，从而∠B=∠BAD+∠ABD=∠CAD+∠ACD，又由于AC=AB+BD，所以BD=AC-AB，代入得∠B=∠CAD+∠ACD=∠CAD+∠ABC，又由于∠CAD=∠CAB，所以∠B=∠CAB+∠ABC=2∠C。
5.已知三角形ABC中，AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，证明AE=AD+BE。
解：由于AC平分∠BAD，所以∠CAD=∠CAB，从而△ABE∼△DCE，所以AE/AD=BE/CD，又由于∠B+∠D=180°，所以CD=AB，代入得AE/AD=BE/AB，即AE=AD·(BE/AB)，又由于CE⊥AB，所以△CEB为直角三角形，从而BE/AB=CE/AC，代入得AE=AD·(CE/AC)，又由于AC平分∠BAD，所以△ACD∼△ABC，从而CE/AC=CD/AB，代入得AE=AD·(CD/AB)，又由于CD=AB-BD，所以AE=AD·((AB-BD)/AB)，即AE=AD+BE·(AB/AD-1)，又由于AB>AD，所以AB/AD-1<AB/AD，从而AE<AD+BE·(AB/AD)，即AE<AD+BE。
七年级数学全等三角形(培优)
八年级培优班数学全等三角形复习题1．如图1，在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，如此∠APE 的度数是。
图1图2BA图32．如图2，点E 在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，图中有对全等三角形。
3．如图3，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，如此∠BED 等于度。
4．如图4所示的2×2方格中，连接AB 、AC ，如此∠1＋∠2＝度。
图4C B A图5AB D图6EC5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。
〔 〕①AE ＝AD ； ②AB ＝AC ； ③OB ＝OC ； ④∠B ＝∠C 。
6．如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝21AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。
〔1〕求证：DF ＝BE ；〔2〕过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG ＝DG 。
7．如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，如下结论正确的答案是〔 〕A.AB －AD ＞CB －CDB. AB －AD ＝CB －CDC.AB －AD ＜CB －CDD.AB －AD 与CB －CD 的大小关系不确定图7BD图9AB图10B8．如图9，在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点， ∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，如此线段AO 的长是。
9．如图10，BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB 。
求证：〔1〕AP ＝AQ ；〔2〕AP ⊥AQ 。
11．如图11，在△ABC 中，∠C ＝60°，AC ＞BC ，又△ABC ´、△BCA ´、△CAB ´都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC ＝DC 。
初一下数学培优辅导7(全等三角形 )
CD EBAODB EACEDCBA初一下数学培优辅导7全等三角形（1）典型例题：例1、我们知道，任何一个三角形的三条内角平分线相交于一点，如图，若ΔABC 的三条内角平分线相交于点I ，过I 作DE ⊥AI 分别交AB 、AC 于点D 、E 。
试写出∠BIC 与∠BDI 之间有何数量关系，并说明其中的道理。
例2、如图已知，AB 交CD 于O ，且，OA=OC,EA=EC,你能证明A C ∠=∠吗？点O 在AEC ∠的平分线上吗？例3、如图在ABC ∆中，C ∠=090,AD=AC,DE=CE,试猜想ED 与AB 的位置关系，并说明理由。
例4、如图所示。
ABC ∆绕顶点A 顺时针旋转，若0030,40,B C ∠=∠=问：(1) 顺时针旋转多少度时，旋转后的 的顶点D 与原ABC ∆的顶点B 和A 在同一直线上。
(2) 再继续旋转多少度时C,A,D 在同一直线上。
（原ABC ∆始指开始位置）例5、如图：在 △ABC 中AB=AC ，∠BAC=90°，分别过B 、C 作过A 点的直线的垂线，垂足为D 、E ，。
求证：ED=CE+BDABCDIE ABCDECNMF B ECFB DOA AGF D BCE21DCBAGFEDCBA15题图一选择题：1.如果一个三角形的三条高线的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定2.三角形的三个内角中( )A.至少有一个等于090 B.至少有一个大于090 C.可能只有一个小于090 D.不可能都小060 3.直角三角形两锐角平分线交成的角的度数为:( )A.045 B. 0135 C. 045 或0135 D 以上都不对 4.三角形的三边长分别为2,,2a a a -+,则a 的取值范围是( )A. 0a ≠B. 2a <C. 4a <D. 4a >5.将一个平行四边形分成两个全等的图形法方有( )种.A.3种B.4种C.6种D.无数种6.如图ABCADE ∆≅∆,则1∠等于（ ）A BAC ∠ B. DAC ∠ C. BCA ∠ D .CAE ∠7.已知等腰三角形的两边,a b 满足2|2|(2311)0a b a b -+++-=，则此等腰三角形的周长为（ ）A.7B.5C.8D.7或58.在ABC ∆中A B ∠=∠,若在与ABC ∆全等的三角形中有一个角为0120，则ABC ∆中等于120的角是（ ）A.A ∠B.B ∠C.C ∠ D. A ∠或C ∠9.如图所示, BEF MEF ∆≅∆ ,E 点为直线BC 上一点,EN 是MEC ∠ 9题图 的平分线,则FEN ∠为( )A. 060B. 080C. 090D. 010010.如图, ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着AB,AC 翻折0180形成的,若BAC ∠=0150 则EGF ∠的度数是( )A.030B. 050C.060 D. 9011.下列说法正确的个数有（ ） (1)两个叠合后重合的图形是全等图形（2）两个形状相同的图形是全等图形 10题图 （3）全等图形的面积相等（4）两个面积相等的图形是全等图形A.1个B.2个C.3个D.4个12.如图,AOB ∆中,<B=030,将AOB ∆绕点O 顺时针旋转052得到DOF ∆,边DF 与边OB 交于点C(D 不在OB 上)，则求DCO <的度数为（ ）A. 022B. 052C. 060D. 082 12题图13.如图，∠ACB=90º，CD ⊥AB ，垂足为D ，下列结论错误的是（ ） A 、 图中有三个直角三角形B 、∠1=∠2C 、∠1和∠B 都是∠2的余角 13题图D 、∠2=∠A14.一个三角形的最大角为060则此三角形为（ ）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形 D 钝角三角形 15.如图ABC ∆,G 为ABC ∆三条中线的交点，已知与ABC ∆全等的一个 三角形面积为36,则AGE ∆面积为（ ）A.4B.5 B.6 D8DCEAB16题图EDCBA DCBADBEC ACDBAEFEBCDFA1．有四条线段的长分别是4cm, 5cm, 6cm , 8cm ,用其中的三条线可以组成____________个三角形。
全等三角形培优(含答案解析)
三角形培优练习题1已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，AD 是整数，求AD2已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠23已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC4已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠C AD BCB ACD F2 1 E5已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE6 如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。
求证：BC=AB+DC。
7已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C8.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB<AC-ABCDBAB CDA9已知，E 是AB 中点，AF=BD ，BD=5，AC=7，求DC10．如图，已知AD ∥BC ，∠PAB 的平分线与∠CBA 的平分线相交于E ，CE 的连线交AP 于D ．求证：AD +BC =AB ．11如图，△ABC 中，AD 是∠CAB 的平分线，且AB =AC +CD ，求证：∠C =2∠B12如图：AE 、BC 交于点M ，F 点在AM 上，BE ∥CF ，BE=CF 。
P D A C B FA E D CB P E DC BA D CB A求证：AM是△ABC的中线。
13已知：如图，AB=AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F。
求证：BE=CD．14在△ABC中，︒=∠90ACB，BCAC=，直线MN经过点C，且MNAD⊥于D，MNBE⊥于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证：①ADC∆≌CEB∆；②BEADDE+=；(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.15如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。
《全等三角形》培优题型全集
《全等三角形》培优题型全集题型一：倍长中线（线段）造全等1、已知：如图，AD 是△ABC 的中线，BE 交AC 于E ，交AD 于F ，且 AE=EF ，求证：AC=BFC2、如图，△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是______.DCBA3、在△ABC 中,AC=5,中线AD=7，则AB 边的取值范围是( ) A 、1<AB<29 B 、4<AB<24C 、5<AB<19D 、9<AB<194、已知：AD 、AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA=BD ， 求证：AE=21AC CE5、已知：如图，在ABC ∆中，AC AB ≠，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作BA DF //交AE 于点F ，DF=AC. 求证：AE 平分BAC ∠ABFDEC题型二：截长补短1、已知，四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠1＝∠2，∠3＝∠4。
求证：BC ＝AB ＋CD 。
2、已知：如图，在△ABC 中，∠C ＝2∠B ，∠1＝∠2， 求证：AB=AC+CD.3、如图，在△ABC 中，∠BAC=60°， AD 是∠BAC 的平分线，且AC=AB+BD ，求∠ABC 的度数DCBA4、已知ABC ∆中，60A ∠=，BD 、CE 分别平分ABC ∠和.ACB ∠，BD 、CE 交于点O ，试判断BE 、CD 、BC 的数量关系，并加以证明．DOECB ADCB A 12题型三：角平分线上的点向角两边引垂线段1、如图，在四边形ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，求证：∠BAD+∠C=180°DCBA2、如图，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E ，AD+AB=2AE，则∠B与∠ADC互补，为什么？3、如图，△ABD和△ACD，BD=CD，∠ABD=∠ACD,求证AD平分∠BAC.4、已知，AB＞AD，∠1＝∠2，CD＝BC。
七年级数学全等三角形(培优)
八年级培优班数学全等三角形复习题1.如图1,已知在等边△ ABC 中，BD = CE AD 与BE 相交于P ,则/ APE 的度数是 _________5. 如图5,下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确 的命题。
( ［① AE - AD ; ②AB - AC ; ③0B= OC ; ④/ B =Z C 。
16. 如图6,在厶ABC 中，/ BAC -90°，延长BA 到点D ,使AD -— AB ,点E 、F 分别为边2BC AC 的中点。
(1) 求证：DF - BE (2)过点 A 作 AG// BC,交 DF 于点 G ,求证：AG - DG 。
7. 如图7,在四边形ABCD 中，对角线AC 平分/ BAD , AB >AD ,下列结论正确的是() —AD >CB- CD B. AB- AD - CB- CD —AD V CB- CD — AD 与CB- CD 的大小关系不确定图1图2图32.如图2,点E 在AB 上, AC = AD , BC - BD,图中有 _______________ 对全等三角形A13. 如图13,已知△ ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ ABC 全等的图 形是一o14. 如图14，在△ ABC 中，AD 丄BC, CE 丄AB ,垂足分别为 D 、E, AD 、CE 交于H 点，请 你添加一个适当的条件： ，使△ AEH^A CEB图7图98 .如图 9,在厶 ABC 中，AC = BO 5,Z AC 吐 80°, / OAB = 10°,/ OBA= 30°,则线段 AO 的长是_ 9.如图10,已知BD CE 分别是△ ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP =AC,点 Q 在 CE 上, CQ= AB 。
求证：(1) A= AQ ;( 2) AP I AQ 。
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八年级培优班数学全等三角形复习题1．如图1，已知在等边△ABC 中，BD ＝CE ，AD 与BE 相交于P ，则∠APE 的度数是 。
图1图2BA图32．如图2，点E 在AB 上，AC ＝AD ，BC ＝BD ，图中有 对全等三角形。
3．如图3，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∠O ＝60°，∠C ＝25°，则∠BED 等于 度。
4．如图4所示的2×2方格中，连接AB 、AC ，则∠1＋∠2＝ 度。
图4CB A图5ABD图6EC5．如图5，下面四个条件中，请你以其中两个为已知条件，第三个为结论，推出一个正确的命题。
（ ）①AE ＝AD ； ②AB ＝AC ； ③OB ＝OC ； ④∠B ＝∠C 。
6．如图6，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，延长BA 到点D ，使AD ＝21AB ，点E 、F 分别为边BC 、AC 的中点。
（1）求证：DF ＝BE ；（2）过点A 作AG ∥BC ，交DF 于点G ，求证：AG ＝DG 。
7．如图7，在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD ，AB ＞AD ，下列结论正确的是（ ） A.AB －AD ＞CB －CD B. AB －AD ＝CB －CDC.AB －AD ＜CB －CDD.AB －AD 与CB －CD 的大小关系不确定图7BD图9AB图10B8．如图9，在△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点，∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是 。
9．如图10，已知BD 、CE 分别是△ABC 的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB 。
求证：（1）AP ＝AQ ；（2）AP ⊥AQ 。
11．如图11，在△ABC 中，∠C ＝60°，AC ＞BC ，又△ABC ´、△BCA ´、△CAB ´都是△ABC 形外的等边三角形，而点D 在AC 上，且BC ＝DC 。
（1）证明：△C ´BD ≌△B ´DC ； （2）证明：△AC ´D ≌△DB ´A ；图11a ac丙︒72︒50 乙︒50甲a︒507250︒︒︒58c aCB A12．如图12，在△ABC 中，D 、E 分别是AC 、BC 上的点，若△ADB ≌EDB ≌EDC ，则∠C 的度数为 。
图12CB13．如图13，已知△ABC 的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC 全等的图形是 。
14．如图14，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于H 点，请你添加一个适当的条件： ，使△AEH ≌△CEB 。
图14图15图16C15．如图15，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，要使AD ＝AE ，需要添加的一个条件是 。
16．有一腰长为5㎝，底边长为4㎝的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有 个不同的四边形。
17．如图16，△ABF 和△ADC 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的， 若∠1：∠2：∠3＝28 ：5 ：3，则∠α的度数为 。
18．如图17，已知CE ⊥AD 于E ，BF ⊥AD 于F ，你能说明△BDF 和△CDE 全等吗？若能，请你说明理由；若不能，在不用增加辅助线的情况下，请添加其中一个适当的条件，这个条件是 ，来说明这两个三角形全等，并写出证明过程。
19．如图19，在△ABC 中，AB ＝AC ，过点A 作GEBCG∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的延长线分别交GE 于点E 、G 。
试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明。
20．如图20，在△AFD 和△BEC 中，点A 、E 、F 、C 在同一直线上，有下面四个论断：①AD ＝CB ；②AE ＝CF ；③∠B ＝∠D ；④AD ∥BC 。
请用其中有一个作为条件，余下的一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程。
21．如图21－①，小明剪了一个等腰梯形ABCD ，其中AD ∥BC ，AB ＝DC ；又剪了一个等边△EFG ，同桌的小华拿过来拼成如图②的形状，她发现AD 与FG 恰好完全重合，于是她用透明胶带将梯形ABCD 与△EFG 粘在一起，并沿EB 、EC 剪下。
小华得到的△EBC 是什么三角形？请你作出判断并说明理由。
22．如图22，在△ABC 与△DEF 中，给出以下六个条件：①AB ＝DE ；②BC ＝EF ；③AC ＝图20AC图21②①FD (G )A (F )DF ；④∠A ＝∠D ；⑤∠B ＝∠F ；⑥∠A ＝∠D ，以其中三个条件作为已知，不能判断△ABC 与△DEF 全等的是（ ） A.①⑤② B.①②③ C.④⑥① D.②③④23．如图23（1），在△ABC 中，D 、E分别是AB 、AC 的中点，将△ADE 沿线段DE 向下折叠，得到图23（2），下列关于图23（2）的四个结论中，不一定成立的是（ ）A.点A 落在BC 边的中点B.∠B ＋∠1＋∠C ＝180° C ．△DBA 是等腰三角 D.DE ∥BC24．如图24，已知MB ＝ND ，∠MBA ＝∠NDC ，下列不能判定△ABM ≌△CDN 的条件是（ ） A.∠M ＝∠N B.AB ＝CD C.AM ＝CN D.AM ∥CN25．如图25，在△ABC 中，点D 在AB 上，点E 在BC 上，BD ＝BE 。
（1）请你再添加一个条件，使得△BEA ≌△BDC ，并给出证明，你添加的条件是： 。
并给出证明。
（2）根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形： （只要求写出一对全等三角形，不再添加其他线段，不再标注或使用其他字母，不必写出证明过程）。
26．如图26，在△ABC 中，∠ABC ＝45°，AD ⊥BC 于D 点，E 在AD 上，且DE ＝CD ，图22FEB图23(2)(1)BB图24D A图25BC求证：BE ＝AC 。
27．已知：如图27，给出下列三个式子：①EC ＝BD ；②∠BDA ＝∠CEA ；③AB ＝AC ；请将其中的两个式子作为题设，一个式子作为结论，构成一个真命题（形式：如果……，那么……），并给出证明。
28．如图28，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知∠ADC ＝∠BCD ，AD ＝BC ，求证：AO ＝BO 。
29．如图29，在△ABC 和△DEF 中，B 、E 、C 、F 在同一直线上，下面有四个条件，请你图26B图27B图28DC在其中选3个作为题设，余下一个作为结论，写一个真命题，并加以证明。
①AB ＝DE ；②AC ＝DF ；③∠ABC ＝∠DEF ；④BE ＝CF 。
30．如图30，已知△ABC 为等边三角形，D 、E 、F 分别在边BC 、CA 、AB 上，且△DEF 也是等边三角形。
（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的； （2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化想到得到？写出变化过程。
31．如图31，点B 在AE 上，∠CAB ＝∠DAB ，要使△ABC ≌△ABD ，可补充的一个条件是： （写一个即可）。
并给出证明。
图31AE32．如图32，AC 交BD 于点O ，请你从下面三项中选出两个作为条件，图29FB 图30BC另一个为结论，写出一个真命题，并加以证明。
①OA＝OC；②OB＝OD；③AB∥DC。
33．如图33，要在湖的两岸A、B间建一座观赏桥，由于条件限制，无法直接度量A、B 两点间的距离。
请你用学过的数学知识按以下要求设计一测量方案。
（1）画出测量图案；（2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）设计AB的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）。
34．如图34，在△ABC中，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，AE＝CE，AB与CF有什么位置关系？证明你的结论。
EDB图3435．如图35，OP是∠AOC和∠BOD的平分线，OA＝OC，OB＝OD。
求证：AB＝CD。
36．如图36，已知AB ＝AC ，（1）若CE ＝BD ，求证：GE ＝GD ；（2）若DE ＝mBD （m 为正数），试猜想GE 与GD 有何关系。
（只写结论，不证明）37．复习“全等三角形”知识时，都是布置了一道作业题：“如图37（1），已知在△ABC 中，AB ＝AC ，P 是△ABC 内任意一点，将AP 绕点A 顺时针旋转至AQ ，使∠QAP ＝∠BAC ，连接BQ 、CP ，则BQ ＝CP 。
”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过图（2）的分析，证明了△ABQ ≌△ACP ，从而证得BQ ＝CP ，之后，他将点P 移到等腰三角形ABC 之外，原题中其他条件不变，发现“BQ ＝CP ”仍然成立，请你就图（2）给出证明。
38．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，图35CAB图37(2)(1)QBE写出“已知”“求证”（如图38），她们对各自所作的辅助线描述如下：文文：“过点A 作BC 的中垂线AD ，垂足为D ”；彬彬：“作△ABC 的角平分线AD ”。
数学老师看了两位同学的辅助线作法后说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要订正。
”（1） 请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里； （2） 根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程。
39．将两块全等的含30°角的三角尺如图39（1）摆放在一起，它们的较短直角边长为3。
图39(4)(3)(2)(1)ll（1）将△ECD 沿直线l 向左平移到图（2）的位置，使E 点落在AB 上，则CC ´＝ ； （2）将△ECD 绕点C 逆时针旋转到图（3）的位置，使点E 落在AB 上，则△ECD 绕点C旋转的度数＝ ；（3）将△ECD 沿直线翻折到图（4）的位置，ED ´与AB 相交于F ，求证：AF ＝FD ´。
40．已知：点O 至△ABC 的两边AB 、AC 所在直线的距离相等，且OB ＝OC 。
（1）如图40（1），若点O 在边BC 上，求证：AB ＝AC ； （2）如图（2），若点O 在△ABC 的内部，求证：AB ＝AC ； （3）若点O 在△ABC 的外部，AB ＝AC 成立吗？请画图表示。
图40(2)(1)BB41．下列条件中，能判定两个直角三角形全等的是（ ） A.两个锐角相等 B.两条边对应相等C.一条边与一个锐角对应相等D.斜边与一个锐角对应相等42．如图43，AD 是△ABC 的中线，E 、F 分别在AB 、AC 上，且DE ⊥DF ，则（ ） A.BE ＋CF ＞EF B.BE ＋CF ＝EFC.BE ＋CF ＜EFD.BE ＋CF 与EF 的大小关系不确定图43B图44A图45B43．如图44，在△ABC 中，E 、D 分别是边AB 、AC 上的点，BD 、CE 交于F ，AF 的延长线交BC 于H 点，若∠1＝∠2，AE ＝AD ，则图中的全等三角形共有（ ）对。