3.4指派问题(经典运筹学)
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1 2 34 人
1 3 5 45 2 67 6 8
3 8 9 8 10
4 10 10 9 11
x21 x31
x22 x32
x23 x33
x24 x34
1 1
x41 x42 x43 x44 1
s.t
x11 x12
x21 x22
x31 x32
x41 x42
1 1
解：
xij
1 0
第i人做第j 件事 第i人不做第j 件事
i=1,2, 3,4; j=1,2, 3,4
x13
x23
x33
x43
1
x14 x24 x34 x44 1
xij i
0,1 1,2,
,
n
j 1,2,, n
右表。 请为该市制定一个
最节省的最计优划值
5 27 17 27 15 0 14 6 20 10 21 25 14 0
布点问题模型：
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6
解：xi
1Z=2在第i个地区建站
0
不在第i个地区建站
i=1,2, …,6
Z表示全区消防站总数
s.t
x1 x2 1 x1 x2 x6 1
i=1,2, …,n; j=1,2, …,n
Z表示总费用
12…j …n
1 c11 c12 c1 j c1n 2 c21 c22 c2 j c2n … i ci1 ci2 cij cin …
n cn1 cn2 cnj cnn
指派问题模型：
min Z
cij xij
一、决策问题与0-1变量
决策变量xi 是否做第i件事 i 1,2,, n
1 做第i件事
xi
0 不做第i件事 n件事中必须做k件并只做k件事 x1 x2 xn k n件事中最多做k件事 x1 x2 xn k n件事中至少做k件事 x1 x2 xn k 做第i件事的充要条件是做第j件事 xi x j 做第i件事的充要条件是不做第j件事 xi 1 x j 只在做了第i件事前提下才考虑是否做第j件事 x j xi
xi1 xi2 j i xij xin 1
s.t
x1
j
x2
j
i=1,2, …,n
xij xnj
j=1,2, …,n
1
xij 0,1 i 1,2,,n; j 1,2,,n
min Z
j
i
cij xij
c11x11 c12 x12 c1n x1n
c21x21
c22 x22
（0 0 0） 0
4x2 x3 6
x1, x2, x3 0或1
（0 0 1） -2 （0 1 0） 5
（1 0 0） 3
运算次数： 21
约束条件
过滤条件
（1）（2）（3）（4）
√√ √ √
Z≥0
√√ √ √
Z≥5
枚举法：
检验可行解： 32次运算 计算目标 函数值：8次
（1 0 1） 1
（1 1 0） 8 × （0 1 1） 3 （1 1 1） 6 √ √ √ √
xnj
xi1
x2n
xnn
xn1
1
1
1
x12 x22 xi2 xn2 1
x1n x2n xin xnn 1
当n=4时，有16变量，8个约束方程
例：现有4份工作，4个人应聘，由 Z表示总费用
于各人技术专长不同，他们承担 max Z 3x11 5x12 4x13 5x14
c2n x2n
cn1xn1 cn2 xn2 cnn xnn
s.t
xi1 x1
xi2
j x2
xij xin 1
i=1,2, …,n
j xij xnj 1
j=1,2, …,n
x11 x12 x1j x1n 1
来自百度文库
s.t
x21
xn1
x11
x22
xn2
x21
x2 j
市政府希望设置的消防站最少， 1
2
但必须满足在城市任何地区发
生火火警时最，优消解防车要在15分
3 4
0 10 16 28 27 20 10 0 24 32 17 10 16 24 0 12 27 21 28 32 12 0 15 25
钟内赶到x现2=场1,。x4据=1实地测定，
各区之间消防车行驶的时间见
各项工作所需费用如下表所示， 且规定每人只能做一项工作，每 一项工作只能由一人承担，试求 使总费用最小的分派方案。
6x21 7x22 6x23 8x24 8x31 9x32 8x33 10x34 10x41 10x42 9x43 11x44
x11 x12 x13 x14 1
工作
例1投（资投资项问目题模）型华：美公司有5个项目被列入投资计
划m，ax每Z个项15目0的x1投 资21额0x和2 期 6望0的x3投资80收x4益见18下0表x5： 该公 2司10只x有1 63000万x资2 金10可0用x3 于 1投30资x4，由26于0技x5 术 上60的0 原s.t因 ，xxxx投1231i35、 、 、资在 项 项 在x0xx受2,411项 目 目满到目 35x1足以和被3i1上下选、41只1述,约中22能和,条束的选3件：前中,5中下提必一选是须项择项有一目一个1项被最被选好选中的中;投如资何
最 最优 优值 解Z：x16 1，x2 1，x3 1
三、指派问题与匈牙利法
1、指派问题的数学模型
设有n个工作，要由 n个人来承 担，每个工作只能由一个人承 担，且每个人只能承担一个工 作。cij表示第i个人做第j件事 的费用,求总费用最低的指派 方案。
解：xij
1
0
第i个人做第j 人件事 第i个人不做第j 人件事
方 案，使投资收益最大
解：设xi为决策变量（i 1,2,,5)
1 xi
0
投资第i个项目 不投资第i个项目
Z表示投资效益
项目
1 2 3 4 5
投资额 投资收益 （万元） （万元）
210
150
300
210
100
60
130
80
260
180
例2（布点问题）某城市共有6个 地 1 2 3 4 5 6
区，每个区都可以建消防站。 区
x3 x4 1
x3 x4 x5 1 x2 x5 x6 1
xi 0,1 i 1,2,,6
二、过滤隐枚举法 （适合于变量个数较少的0-1规划）
例：求max Z 3x1 5x2 2x3
x1 2x2 x3 2
s.t x1x14xx22
x3
42 3
（x1 x2 x3) Z值
1 3 5 45 2 67 6 8
3 8 9 8 10
4 10 10 9 11
x21 x31
x22 x32
x23 x33
x24 x34
1 1
x41 x42 x43 x44 1
s.t
x11 x12
x21 x22
x31 x32
x41 x42
1 1
解：
xij
1 0
第i人做第j 件事 第i人不做第j 件事
i=1,2, 3,4; j=1,2, 3,4
x13
x23
x33
x43
1
x14 x24 x34 x44 1
xij i
0,1 1,2,
,
n
j 1,2,, n
右表。 请为该市制定一个
最节省的最计优划值
5 27 17 27 15 0 14 6 20 10 21 25 14 0
布点问题模型：
min Z x1 x2 x3 x4 x5 x6
解：xi
1Z=2在第i个地区建站
0
不在第i个地区建站
i=1,2, …,6
Z表示全区消防站总数
s.t
x1 x2 1 x1 x2 x6 1
i=1,2, …,n; j=1,2, …,n
Z表示总费用
12…j …n
1 c11 c12 c1 j c1n 2 c21 c22 c2 j c2n … i ci1 ci2 cij cin …
n cn1 cn2 cnj cnn
指派问题模型：
min Z
cij xij
一、决策问题与0-1变量
决策变量xi 是否做第i件事 i 1,2,, n
1 做第i件事
xi
0 不做第i件事 n件事中必须做k件并只做k件事 x1 x2 xn k n件事中最多做k件事 x1 x2 xn k n件事中至少做k件事 x1 x2 xn k 做第i件事的充要条件是做第j件事 xi x j 做第i件事的充要条件是不做第j件事 xi 1 x j 只在做了第i件事前提下才考虑是否做第j件事 x j xi
xi1 xi2 j i xij xin 1
s.t
x1
j
x2
j
i=1,2, …,n
xij xnj
j=1,2, …,n
1
xij 0,1 i 1,2,,n; j 1,2,,n
min Z
j
i
cij xij
c11x11 c12 x12 c1n x1n
c21x21
c22 x22
（0 0 0） 0
4x2 x3 6
x1, x2, x3 0或1
（0 0 1） -2 （0 1 0） 5
（1 0 0） 3
运算次数： 21
约束条件
过滤条件
（1）（2）（3）（4）
√√ √ √
Z≥0
√√ √ √
Z≥5
枚举法：
检验可行解： 32次运算 计算目标 函数值：8次
（1 0 1） 1
（1 1 0） 8 × （0 1 1） 3 （1 1 1） 6 √ √ √ √
xnj
xi1
x2n
xnn
xn1
1
1
1
x12 x22 xi2 xn2 1
x1n x2n xin xnn 1
当n=4时，有16变量，8个约束方程
例：现有4份工作，4个人应聘，由 Z表示总费用
于各人技术专长不同，他们承担 max Z 3x11 5x12 4x13 5x14
c2n x2n
cn1xn1 cn2 xn2 cnn xnn
s.t
xi1 x1
xi2
j x2
xij xin 1
i=1,2, …,n
j xij xnj 1
j=1,2, …,n
x11 x12 x1j x1n 1
来自百度文库
s.t
x21
xn1
x11
x22
xn2
x21
x2 j
市政府希望设置的消防站最少， 1
2
但必须满足在城市任何地区发
生火火警时最，优消解防车要在15分
3 4
0 10 16 28 27 20 10 0 24 32 17 10 16 24 0 12 27 21 28 32 12 0 15 25
钟内赶到x现2=场1,。x4据=1实地测定，
各区之间消防车行驶的时间见
各项工作所需费用如下表所示， 且规定每人只能做一项工作，每 一项工作只能由一人承担，试求 使总费用最小的分派方案。
6x21 7x22 6x23 8x24 8x31 9x32 8x33 10x34 10x41 10x42 9x43 11x44
x11 x12 x13 x14 1
工作
例1投（资投资项问目题模）型华：美公司有5个项目被列入投资计
划m，ax每Z个项15目0的x1投 资21额0x和2 期 6望0的x3投资80收x4益见18下0表x5： 该公 2司10只x有1 63000万x资2 金10可0用x3 于 1投30资x4，由26于0技x5 术 上60的0 原s.t因 ，xxxx投1231i35、 、 、资在 项 项 在x0xx受2,411项 目 目满到目 35x1足以和被3i1上下选、41只1述,约中22能和,条束的选3件：前中,5中下提必一选是须项择项有一目一个1项被最被选好选中的中;投如资何
最 最优 优值 解Z：x16 1，x2 1，x3 1
三、指派问题与匈牙利法
1、指派问题的数学模型
设有n个工作，要由 n个人来承 担，每个工作只能由一个人承 担，且每个人只能承担一个工 作。cij表示第i个人做第j件事 的费用,求总费用最低的指派 方案。
解：xij
1
0
第i个人做第j 人件事 第i个人不做第j 人件事
方 案，使投资收益最大
解：设xi为决策变量（i 1,2,,5)
1 xi
0
投资第i个项目 不投资第i个项目
Z表示投资效益
项目
1 2 3 4 5
投资额 投资收益 （万元） （万元）
210
150
300
210
100
60
130
80
260
180
例2（布点问题）某城市共有6个 地 1 2 3 4 5 6
区，每个区都可以建消防站。 区
x3 x4 1
x3 x4 x5 1 x2 x5 x6 1
xi 0,1 i 1,2,,6
二、过滤隐枚举法 （适合于变量个数较少的0-1规划）
例：求max Z 3x1 5x2 2x3
x1 2x2 x3 2
s.t x1x14xx22
x3
42 3
（x1 x2 x3) Z值