0 高等流体力学-第3章 2016.4.28

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一维不定常等熵流控制方程组
∂ρ ∂ + ( ρV ) = 0 （1） 连续： ∂t ∂x 动量： ∂ V + V ∂ V + 1 ∂ p = 0 （2） ∂t ∂x ρ ∂x
能量:
dp ∂p ∂p ∂ρ 2 dρ 2 ∂ρ =a +V = a ( + V ) （4） 即: ∂t ∂x ∂t ∂x dt dt ∂p ∂p 2 ∂V （1）代入（4）： +V + a ρ = 0 (5) ∂t ∂x ∂x
~ a
Ⅰ族,右行,Γ+
A
压缩 膨胀
B
C
i
Ⅱ族,左行, Γ-
D
① 状态面特征线方程(14)不含 x, t，与具体问题无关， 适用于一切一维等熵不定常流。
~ V
② 状态面上，斜率为正是左行波，斜率为负是右行波。 ③ 状态面上，向上变化为压缩波，向下变化为膨胀波。 ④ 理想流体γ 为常数， 特征线为两族直线。
平面称为状态平面.
Q1 Q2 Q3
~ V
式（15）为状态平面内两条直线，即: 状态平面的特征线或相容方程。
由同一初始状态i点，可有四种波： iA:左行压缩波 iB:右行压缩波 iC:左行膨胀波 iD:右行膨胀波 说明：
{
2 a +V = P γ −1
右行,Γ+ 左行, Γ-
2 a −V = Q γ −1
§ 3.3 微弱扰动波前后气流参数关系
1.右向压缩波
取固定在波面上的运动坐标系，
Vw = V + a ，则新坐标系中：
dV > 0 波后 波前
V +a
波前：V1 = V −Vw = −a 波后：V2 = (V + dV ) − Vw = −(a − dV ) 对于包围波面的控制体： 连续：ρaA= (ρ + dρ)(a − dV) A
∂u ∂u dy du =( + ) （3） dx ∂x ∂y dx
若想把(2)沿某曲线化成常微分方程，则需要：
∂u G ∂ u ( + ) ∂x F ∂y
du dx
则该曲线(特征线)的斜率： k =
dy G = dx F
特征线方程
∂u G ∂u F( + ) = H ( 2) ∂x F ∂y ∂u G ∂ u du ∂u G ∂ u du ( + ) 将：( ∂x + F ∂y ) = dx 代入到(2)式， ∂x F ∂y dx
dp a = dρ
2
2 d p = a ⋅ dρ （3） ⇒
（2）与（5）构成以V 和p 为因变量的基本方程组.
8
∂V ∂V 1 ∂p +V + = 0 (2) ∂t ∂x ρ ∂x
二、一维不定常等熵流特征线方程
∂p ∂p 2 ∂V +V +a ρ = 0 (5) ∂t ∂x ∂x
把偏微分方程化为沿特征线的全微分方程。 推导思路：
15
V >a
dp ± ρadV = 0 (11)
2 理想气体的状态平面——相容关系(V-a平面)
思路：对理想气体，相容性方程(11)可得出封闭解， 用音速a代替p(等熵)，建立音速a与V的相容关系，即 构成状态平面。
p = γRT 2 ⇒a =γ ρ 状态： p = ρRT
音速： a
2
}
等熵：
p γ = C ⇒ρ =( ) γ ρ C
a′
b) 解析性质(可能)不相同区域的拼合线。 c) 沿其上偏微分方程可化为全微分方程。
ϕB
ϕ A b′
注意
① Ch 线具有双重含义
o
a
y
A B
b
x
跨越 Ch 线：函数连续,导数可能不连续。 沿着 Ch 线：函数及其导数均连续， 偏微→全微。 ② 导数不连续只是潜在的可能性，在特定条件下才能 成为现实。
将： ρσ 1 × Eq ( 2) + σ 2 × Eq (5) = 0 展开得：
∂p ∂p 2 ∂V +V +a ρ =0 (5) ∂t ∂x ∂x
∂V ρσ1 ∂V ∂p σ2 ∂p (ρVσ1 + ρa2σ2 )( + ) + ( σ + V σ )( + ) = 0（6） 1 2 2 ∂x ρVσ1 + ρa σ2 ∂t ∂x σ1 +Vσ2 ∂t
{
2 a +V = P γ −1
Ⅰ族,右行,Γ+ Ⅱ族,左行,Γ-
2 a −V = Q γ −1
以未扰区音速 a1 ,作无量纲化，得: ~ a Γ+ 2 ~ ~ a ± V = Const （15） P3 γ −1 P
~= 其中：a
~ ~ (V , a )
a , a1
V ~ V = a1
P 1
2
Γ−
}
（7）
∂V ρσ1 ∂V ∂p σ2 ∂p (ρVσ1 + ρa σ2 )( + ) + (σ1 +Vσ2 )( + ) = 0（6） 2 ∂x ρVσ1 + ρa σ2 ∂t ∂x σ1 +Vσ2 ∂t
2
对比(6)和(7)，欲使(6)成为全微分方程，只须
dp （ Ι ）= dx dV = （Π ） dx
x
①
V −a
在物理平面(x,t )上，特征线 斜率之倒数即扰动波速。 ②
dV > 0
V +a
M
V +a
V −a
dV < 0
扰动波传播的速度分析
t
dV > 0
V −a
V +a
t
c
t0
−
扰动区
c
+
c
t0
−
c
+
t
c−来自百度文库
c+
未扰区
x
x
x0
t0
x
x0
0 <V < a
x0
V =a
特点： ① 不论气体流速为亚或超音速，均存在两根特征线. ② M < 1，两道波异向传播; M > 1，两道波同向传播; M = 1，一道波顺流向传，另一道静止。
a
a2 = γ
p
{
2 a +V = P γ −1
Ⅰ族,右行—— Γ+ Ⅱ族,左行—— Γ−
da 1− γ = dV 2 da γ −1 = dV 2
2 a −V = Q γ −1
其中：P，Q称为黎曼(Riemann)不变量. 一般：P、Q 沿一条特征线是常数； 对不同特征线数值不同。
~ ~ 状态平面性质——(V , a )平面
第三章 一维不定常可压缩流
§3.1 二维一阶偏微分方程的特征线法 §3.2 一维不定常等熵流的数学分析 §3.3 微弱扰动波前后气流参数关系 §3.4 微弱扰动波的反射与相交 §3.5 激波管简介
§3.1 二维一阶偏微分方程的特征线法
一、特征线理论回顾
特征线的数学意义 ——针对拟线性偏微分方程 拟线性方程 方程对未知函数最高阶偏导数而言是线性的， 但其系数和非齐次项是自变量和未知函数的函数。 例如：柯西问题（一阶拟线性偏微分方程）
二、二维一阶偏微分方程的特征线法
柯西问题:
∂u ∂u F ( x, y , u ) + G ( x, y , u ) = H ( x, y , u )（1） ∂x ∂y
F( 方程变形：
∂u G ∂u + )=H ∂ x F ∂y
（2）
∂u ∂u 由全微分定义：du = ( dx + dy ) ∂x ∂y
{
dp γdV = (17 ) p a
2 a + V = P 右行 γ −1
2 a −V = Q 左行 γ −1
(14)
2 2 a − V = Const = Q da − dV = 0 即： （右向压缩波） − 1 γ γ −1
上式与（14）式完全一致。 说明: “跨越右向压缩波气流参数的变换，等价于 沿着左行特征线的参数变化”。 即： “跨越右向波=沿着左向波”
6
§ 3.2 一维不定常等熵流的数学分析
一、一维不定常等熵流的基本方程
条件： 等截面: dA = 0
无功: δ W = 0
{
无摩擦: δFf = 0
无热交换: δQ = 0 忽略重力: gdz = 0
举例：涡轮机、喷气发动机在启动、停车及短时间 运转过程；往复式活塞式机械装置中的气体 运动，爆炸波、激波管内的流动。 对象：大扰动波或有限振幅波传播，属非线性问题。
∂u ∂u F ( x, y , u ) + G ( x, y , u ) = H ( x, y , u ) ∂x ∂y
其中 u = u ( x, y ) ，是 x,y 的连续函数。
F ( x, y , u )
∂u ∂u + G ( x, y , u ) = H ( x, y , u ) ∂x ∂y
由(8)得：
ξ =
{
dt 1 = (10 ) dx V ±a
(Vξ − 1)σ1 + a 2 ξσ 2 = 0
求解
ξσ1 + (Vξ −1)σ 2 = 0
σ 1 = ± aσ 2
将结果代入到（9）可消去 σ 1，σ 2 得：
（± ρVa + ρa ）dV + (±a + V )dp = 0
2
即： dp ± ρadV = 0 （11） 方程(11)是相容性方程，或状态面上特征线方程. (10)(11)是一维不定常等熵流特征线理论基本方程
2 2 2
a 2ξ
ξ
Vξ −1
=0
dt 1 ξ = = （10） dx V ± a
说明： ① 方程（10）即为物理面特征线方程。
dx =V ± a ② 物理意义： dt
扰动以音速相对当地流体向两端传播。
(ρVσ1 + ρa2σ 2 )dV + (σ1 +Vσ 2 )dp = 0 (9)
3.相容性方程
dρ dV = ρ a
V2
V1
（16）
动量： [( p + dp) − p]A = ρaA[− (a − dV ) − (− a)]
dp γ dV = p a （17）
dρ
dV = ρ a
(16 )
γ dT dp dρ 2γ da ∵ =γ = = p ρ γ −1 T γ −1 a
代入到（16）或（17）式得：
1. 待定参数法建立方程：
① 综合考虑因变量V , p , 引入待定参数σ1, σ2; ② 将方程（2）与（5）合并成一个偏微分方程; ③ 将组合后的偏微分方程化成全微分方程; ④ 由条件确定待定参数σ1, σ2. 建立偏微分方程： ρσ 1 × Eq(2) + σ 2 × Eq(5) = 0
9
∂V ∂V 1 ∂p +V + = 0 (2) ∂t ∂x ρ ∂x
ρσ1 σ2 dt = =ξ = 即： （8） （特征线) 2 ρVσ1 + ρa σ 2 σ1 + Vσ 2 dx
物理面上
将(6)变形为： （沿特征线） (ρVσ1 + ρa σ2 )dV + (σ1 +Vσ2 )dp = 0 （9）
2
ξ为特征线斜率。 方程（8）是特征线方程，
方程（9）是相容性方程。
三、物理平面和状态平面
活塞在管中产生的扰动波 ① dV >0: 右向压缩波, 左向膨胀波。 ② dV <0: 左向压缩波, 右向膨胀波。
1
ξ
=
dx =V ±a dt
M 迹线
1.物理平面——微弱扰动波(x - t 平面)
t
t1
c
−
扰动区
未扰区
c
+
t0
1 dt = <0 dx V − a
dt 1 = >0 dx V + a
（II） （I） 根据全微分的定义，由 p( x, t ), V ( x, t ) 可知：
∂V ∂V dV = dx + dt ∂x ∂t
⇒
dV ∂V ∂V = +ξ dx ∂x ∂t
dp ∂p ∂p ∂p ∂p ⇒ = + ξ dp = dx + dt dx ∂x ∂t ∂x ∂t 其中： ξ = dt dx
弱间断线(特征线) 对u的拟线性偏微分方程而言，未知函数u本 身沿着该曲线是连续的，但其法向导数可能是间 断的，又称为方程的特征线。 例如： 两垂直平面的交界线；扇子上的折痕线。 弱间断线的数学意义
特征线是平面上的一种曲线族，可用特征线方程描述。 沿着特征线，可以把偏微分方程简化为常微分方程。 这种常微分方程称为相容性方程。 “特征线方程” 和“相容性方程”构成新的方程组，可代 替原来的偏微分方程，有利于流场求解。
p
1
}
消ρ
p a = γ ⋅ p( ) C
2
−
1
γ
= C′⋅ p
γ −1 γ
,
取对数后微分 2 da = γ −1 dp
a
γ
p
将上式代入到(11)得： p 2γ da ± ρadV = 0 （12） a γ −1 a
p 2γ da ± ρadV = 0 (12) a γ −1 a
(12)式两侧同乘 ρ ，并用 代入，可得： ρ 2 da ± dV = 0 （13） γ −1 积分得： （14）
得特征线上未知函数 u 应满足关系式：
du =H F dx
∂u G ∂u F( + ) = H ( 2) ∂x F ∂y
dy G k= = dx F
或： Fdu = Hdx
⇔
{
dy G k= = dx F
特征线方程 相容性方程
du F =H dx
a) 函数导数(可能)不连续点之轨迹。
特征线的性质——数学上的弱间断线 ϕ (x, y )
11
dt ρσ1 σ2 (8) = =ξ = 2 dx ρVσ 1 + ρa σ 2 σ 1 + Vσ 2
2.物理面特征线方程
由（8）得：
{
(Vξ − 1)σ1 + a 2 ξσ 2 = 0
ξσ1 + (Vξ −1)σ 2 = 0
Vξ − 1
其非零解条件是系数行列式为零： 即： (Vξ −1) − a ξ = 0