综合法求空间角专题
2023年高考数学----空间角问题规律方法与典型例题讲解
2023年高考数学----空间角问题规律方法与典型例题讲解【规律方法】1、用综合法求空间角的基本数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得．求解的一般步骤为：（1）作图：作出空间角的平面角．（2）证明：证明所给图形是符合题设要求的． （3）计算：在证明的基础上计算得出结果． 简称：一作、二证、三算．2、用定义作异面直线所成角的方法是“平移转化法”，可固定一条，平移另一条；或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．3、求直线与平面所成角的常见方法（1）作角法：作出斜线、垂线、斜线在平面上的射影组成的直角三角形，根据条件求出斜线与射影所成的角即为所求．（2）等积法：公式θ=sin hl，其中θ是斜线与平面所成的角，h 是垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可构造三棱锥，利用等体积法来求垂线段的长．（3）证垂法：通过证明线面垂直得到线面角为90°． 4、作二面角的平面角常有三种方法（1）棱上一点双垂线法：在棱上任取一点，过这点分别在两个面内作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角，就是二面角的平面角．（2）面上一点三垂线法：自二面角的一个面上一点向另一面引垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即垂足），斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角，即为二面角的平面角．（3）空间一点垂面法：自空间一点作与棱垂直的平面，截二面角得两条射线，这两条射线所成的角就是二面角的平面角．【典型例题】例19．（2022·浙江金华·高三期末）已知正方体1111ABCD A B C D −中，P 为1ACD △内一点，且1113PB D ACD S S =△△，设直线PD 与11AC 所成的角为θ，则cos θ的取值范围为（ ）A ．⎡⎢⎣⎦B ．⎤⎥⎣⎦C ．10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】如图1，设1B D 与平面1ACD 相交于点E ，连接BD 交AC 于点O ，连接11B D ， ∵1BB ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，则1BB AC ⊥，AC BD ⊥，1BD BB B ⋂=，1,BD BB ⊂平面11BDD B∴AC ⊥平面11BDD B ，由1B D ⊂平面11BDD B ，则1AC B D ⊥， 同理可证：11AD B D ⊥， 1AD AC A =，1,AD AC ⊂平面1ACD ，∴1B D ⊥平面1ACD ，∵111111AC AD CD AB B D B C =====，由正三棱锥的性质可得：E 为1ACD △的中心， 连接1OD ，∵O 为AC 的中点，∴1OD 交1B D 于点E ，连接PE ，由1B D ⊥平面1ACD ，PE ⊂平面1ACD ，则1B D PE ⊥，即PE 是1PB D 的高，设AB a =，PE d =，则1,B D AC =，且1ACD △的内切圆半径r OE ==，则1112PB D S B D PE =⋅=△，))1212ACD S =⨯=△，∵1113PB DACD S S =△△213=，则13d a r =<， ∴点P 的轨迹是以E 为圆心，13a 为半径的圆.∵1B D ⊥平面1ACD ，1OD ⊂平面1ACD ，则11B D OD ⊥，∴DE ， 故PD 为底面半径为13a，高为=DE 的圆锥的母线，如图2所示，设圆锥的母线与底面所成的角α，则3tan 13a α== 所以π3α=，即直线PD 与平面1ACD 所成的角为π3. 直线AC 在平面1ACD 内，所以直线PD 与直线AC 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，因为11AC AC ∥，所以直线PD 与直线11AC 所成角的取值范围为ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即ππ,32θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以10cos 2θ≤≤. 故选：C.例20．（2022·浙江·效实中学模拟预测）在等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===，AC 交BD 于O 点，ABD △沿着直线BD 翻折成1A BD ，所成二面角1A BD C −−的大小为θ，则下列选项中错误的是（ ）A ．1A BC θ∠≤B ．1AOC θ∠≥ C ．1A DC θ∠≤ D ．11A BC A DC θ∠+∠≥【答案】C【解析】等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，12AB AD CD BC ===,可知：30,ACB ACD BD DC ∠=∠=⊥取BD 中点N ,BC 中点M 连接1,A N NM ,则1A N BD ⊥，NM BC ⊥,所以1A NM ∠为 二面角1A BD C −−的平面角，即1A NM θ∠=设122AB AD CD BC ====，则1111,1,2,2A N MN A B A D ==== 2222211111111cos 1222A N NM A M A M A M A N NM θ+−+−∴===−⋅,2222222111111221cos 122228A B BM A M A M A BC A M A B BM +−+−∴∠===−⋅⨯⨯,因为在[]0,π上余弦函数单调递减，又2211111111cos cos 82A M A M A BC A BC θθ−≥−⇒∠≥⇒∠≤，故A 对. 2222222111111221cos 122228A D DC AC AC A DC AC A D CD +−+−∴∠===−⋅⨯⨯222122221111153cos 2416AC AO OC AC AOC AC AO OC +−+−∴∠===−⋅ 当0θ=时,1A 与M 重合,此时160A DC ∠=,故C 不对. 1A DC ∠在翻折的过程中，角度从120减少到60 1AOC ∠在翻折的过程中，角度从180减少到30BD 选项根据图形特征及空间关系，可知正确.. 故选:C例21．（2022·浙江·湖州中学高三阶段练习）如图，ABC 中，90C ∠=︒，1AC =，BC D 为AB 边上的中点，点M 在线段BD （不含端点）上，将BCM 沿CM 向上折起至'B CM △，设平面'B CM 与平面ACM 所成锐二面角为α，直线'MB 与平面AMC 所成角为β，直线MC 与平面'B CA 所成角为γ，则在翻折过程中，下列三个命题中正确的是（ ）①tan βα，②γβ≤，③γα>. A ．① B ．①② C ．②③ D ．①③【答案】B 【解析】如图，设直线BN 与直线CM 垂直相交于点N ，在折叠图里，线段B T '与平面ACM 垂直相交于点T ，,(0,30)BCM θθ∠=∈，由图像知：;B NT B MT αβ''∠=∠=，B N BN θ=='， ()sin ;/sin 30B T B M θαθθ=*='︒+'，cos NT θα*，()tan 60MN θθ=*︒−，()()2sin 30CM θ=︒+，①tan β==，tan β=≤≤，所以tan βα；② ()Δ1sin 902ACM S CM CA θ=*︒−= 设ACB δ∠'=，则()()()2cos cos cos 90sin sin 90cos cos 0.5sin2δθθθθααθ=*︒−+*︒−=*，Δsin ACB S δ'== 由ΔΔ1133ACM M ACB ACB B T S d S −''**=**'，得M ACB d −'=()sin sin 30sin M ACB d B TMC B M γβθα'−====︒+*''，则()()sin sin 2tan 21sin 2sin 30cos 22sin 30γθθβθθθ=≤=≤︒+︒+， 由sin sin γβ≤得γβ≤； ③sin sin sin γγα=⇒，则sin sin 2tan 2sin 2cos 22γθθαθ≤=<sin γα<，所以sin sin γα<，则γα<.故选：B例22．（2022·浙江·高三专题练习）已知等边ABC ，点,E F 分别是边,AB AC 上的动点，且满足EF BC ∥，将AEF △沿着EF 翻折至P 点处，如图所示，记二面角P EF B −−的平面角为α，二面角P FC B −−的平面角为β，直线PF 与平面EFCB 所成角为γ，则（ ）A ．αβγ≥≥B ．αγβ≥≥C ．βαγ≥≥D ．βγα≥≥【答案】A【解析】在等边ABC 中，取BC 边中点D ，连接AD ，交EF 于O ，连接PO ， 则,EF PO EF DO ⊥⊥，=PO DO O ⋂，PO ⊂平面POD ，DO ⊂平面POD 故EF ⊥平面POD ，又EF ⊂平面EFCB ，则平面POD ⊥平面EFCB 在POD 中，过P 做PM 垂直于OD 于M ，则PM ⊥平面EFCB ，连接MF ， 在等边ABC 中，过M 做MN 垂直于AC 于N ，连接PN.由,EF PO EF DO ⊥⊥，则POM ∠为二面角P EF B −−的平面角即POM α∠=， 由PM ⊥平面EFCB ，MN AC ⊥，则PNM ∠为二面角P FC B −−的平面角即PNM β?由PM ⊥平面EFCB ，则PFM ∠直线PF 与平面EFCB 所成角，即PFM γ?，设AO ，则PO ，=FO a ，sin PM α，cos MO αFM ，)1=cos (1cos )2MN αα+=+， 则有FM OM >，FM NM >由cos MO MN α-(1cos )(cos 1)0αα-+=-<可得MO MN <，则有FM MN OM >>，则111FM MN OM<< 又tan tan ,tan PM PM PMOM NM FMαβγ，=== 故tan tan tan αβγ>>，又0,2παβγ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、、故αβγ>> 故选：A例23．（2022·全国·高三专题练习）设三棱锥V ABC −的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与平面ABC 所成的角为β，二面角P AC B −−的平面角是γ则三个角α，β，γ中最小的角是（ ） A ．α B ．β C ．γD ．不能确定【答案】B【解析】如图，取BC 的中点 D ，作VO ⊥平面ABC 于点O ， 由题意知点O 在AD 上，且AO =2OD .作PE //AC ，PE 交VC 于点E ，作PF ⊥AD 于点F ，连接BF ，则PF ⊥平面ABC 取AC 的中点M ，连接BM ，VM ，VM 交 PE 于点H ， 连接BH ，易知BH ⊥PE ， 作于点G ，连接FG ，由PG ⊥AC ，PF ⊥AC ，PG PF =P ，由线面垂直判定定理可得AC ⊥平面PGF ，又FG ⊂平面PGF ∴ FG ⊥AC , 作FN ⊥BM 于点N . ∵ PG ∥VM ，PF ∥VN∴ 平面PGF ∥平面VMB ， 又 PH ∥FN , 四边形PFNH 为平行四边形， 所以PH =FN因此，直线PB 与直线AC 所成的角=BPE α∠， 直线PB 与平面ABC 所成的角PBF β=∠， 二面角P -AC -B 的平面角PGF γ=∠， 又cos cos PH FN BFPB PB PBαβ==<=又,[0,]2παβ∈，∴ αβ> 因为 tan =tan PF PFGF BF γβ>= ,(0,)2πβγ∈∴ γβ>综上所述，,,αβγ中最小角为β，故选 B.。
立体几何综合复习——空间角(完整版)
立体几何专题复习-----空间角的求法（一）异面直线所成的角：定义：已知两条异面直线,a b ，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关，把,a b ''所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上理解说明：（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
（2）异面直线所成的角的范围：]2,0(π（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线,a b 垂直，记作a b ⊥． （4）求异面直线所成的角的方法：法1：通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；法2;找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求(5).向量法： CDAB CD AB →→=.cos θ（二）直线和平面所成的角1．线面角的定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角2、记作：θ；3、范围：[0，2π]； 当一条直线垂直于平面时，所成的角θ＝2π，即直线与平面垂直；1.二面角的平面角：（1）过二面角的棱上的一点O 分别在两个半平面内作棱的两条垂线,OA OB ，则AOB ∠叫做二面角lαβ--的平面角（2）一个平面垂直于二面角l αβ--的棱l ，且与两半平面交线分别为,,OA OB O 为垂足，则AOB ∠也是l αβ--的平面角说明：（1）二面角的平面角范围是[0,180]；（2）二面角的平面角为直角时，则称为直二面角，组成直二面角的两个平面互相垂直 （3）二面角的平面角的特点：1）角的顶点在棱上 ；2）角的两边分别在两个面内 ；3）角的边都要垂直于二面角的棱。
2、作二面角的平面角的常用方法：①、点P 在棱上——作垂直于棱的直线（如图1） ；②、点P 在一个半平面——三垂线定理法；（如图2） ③、点P 在二面角内——垂面法。
高考数学复习、高中数学 综合法求空间角与距离附答案解析
第7节 综合法求空间角与距离课程标准：1.运用直观感知、操作确认、推理论证、度量计算等认识和探索空间图形的性质，建立空间概念；2.借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义等。
【知识梳理】文字语言 图形表示 范围1.异面直线所成角(1)(2)2.直线与平面所成角(3)3.二面角的平面角4.点到面的距离5.直线到平面的距离6.两个平行平面间的距离[微点提醒]1. 两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时，容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角，也可能等于其补角；2. 当两异面直线所成的角为时，可以通过证明线面垂直达到求异面直线所成角的目 90标；3. 点到面的距离的求法：（1）直接作出距离并计算；（2）转化求解（利用等积法、利用比例、利用线面平行关系换点）；4. 作二面角的平面角的常用方法：（1）定义法（2）“三垂线”法.A B 1C 1D 1基础自测疑误辨析1. 判断下列结论的正误（在括弧内打“√”或“×”） （1）不在同一平面内的两直线叫异面直线（ ）（2）二面角的大小为，，且与所成角为，则（ ） βα-l -θβα⊂⊂b a ,a b ϕϕθ≥（3）线面角是直线与平面内所有直线所成角的最小角（ ） （4）正方体12条棱中有48对异面直线（ ） 教材衍化2. （必修2 P148人教A3改编）如图在长方体中，''''D C B A ABCD -,则直线和所成角的余弦值为（ ）2,32'===AA AD AB 'CD ''C A A.B. C. D. 334346363. (必修2 P152人教A 例4）如图在正方体中，则直线和''''D C B A ABCD -B A '''DCB A 所成角为（ ）A. B. C. D. ︒30︒60︒45︒90 考题体验4. （2010全国Ⅰ卷）正方体-中，与平面所成角的余弦值为ABCD 1111A B C D 1BB 1ACD （ ）C. 235. 已知四棱锥的侧棱长都为4，底面为矩形，且,ABCD O -ABCD 6,AB BC ==则四棱锥的体积为 . O ABCD -【考点聚焦突破】考点一 空间位置关系背景下的角与距离的计算 角度1 利用定义构造几何图形【例1-1】已知二面角中，βα-l -l AD l BC A B l D l C ⊥⊥∈∈∈∈,,,,,αβ（1）若,求二面角的大小；2,1====AB BC DC AD βα-l -（2）若二面角为，求异面直线与所成角及线段βα-l -︒60,1===BC DC AD AB CD AB 长；（3）在（2）的条件下，求直线与平面所成角的正弦值。
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。
求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。
思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。
转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。
（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。
则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。
高考数学重点难点复习(27)：求空间的角
高考数学重点难点复习(27)：求空间的角求空间的角空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想.●难点磁场(★★★★★)例如图，α―l―β为60°的二面角，全等直角三角形mpn的直角顶点p在l上，m∈α,n∈β,且mp与β阿芒塔的角等同于np与α阿芒塔的角.(1)澄清：mn分别与α、β阿芒塔角成正比；(2)谋mn与β阿芒塔角.●案例探究［基准1］在棱长为a的正方体abcd―a′b′c′d′中，e、f分别就是bc、a′d′的中点.(1)求证：四边形b′edf是菱形；(2)求直线a′c与de所成的角；(3)谋直线ad与平面b′edf阿芒塔的角；(4)求面b′edf与面abcd阿芒塔的角.命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属★★★★★级题目.科学知识充分利用：位移法Geaune面直线阿芒塔的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角.错解分析：对于第(1)问，若仅由b′e=ed=df=fb′就断定b′edf是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明b′、e、d、f四点共面.技巧与方法：谋线面角关键就是并作垂线，打听射影，Geaune面直线阿芒塔的角使用位移法.谋二面角的大小也可以应用领域面积射影法.5(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得b′e=ed=df=fb′=2a,下证b′、e、d、f四点共面，挑ad中点g，联结a′g、eg，由eg边形.∴b′e∥a′g,又a′fdg,∴a′gdf为平行四边形.aba′b′言，b′ega′就是平行四∴a′g∥fd，∴b′、e、d、f四点共面故四边形b′edf就是菱形.(2)解：如图所示，在平面abcd内，过c作cp∥de，交直线ad于p，则∠a′cp(或补角)为异面直线a′c与de阿芒塔的角.513在△a′cp中，易得a′c=3a，cp=de=2a,a′p=2a15由余弦定理得cosa′cp=1515故a′c与de所成角为arccos15.(3)求解：∵∠ade=∠adf,∴ad在平面b′edf内的射影在∠edf的平分线上.如下图右图.又∵b′edf为菱形，∴db′为∠edf的平分线，故直线ad与平面b′edf所成的角为∠adb′在rt△b′ad中，ad=2a，ab′=2a,b′d=2a3则cosadb′=33故ad与平面b′edf所成的角是arccos3.(4)求解：例如图，联结ef、b′d，处设o点，似乎o为b′d的中点，从而o为正方形abcd―a′b′c′d的中心.作oh⊥平面abcd，则h为正方形abcd的中心，再作hm⊥de，垂足为m，连结om，则om⊥de，故∠omh为二面角b′―de′―a的平面角.235在rt△doe中，oe=2a,od=2a,斜边de=2a,od?oe30?10a则由面积关系得om=deoh30?6在rt△ohm中，sinomh=om30故面b′edf与面abcd阿芒塔的角为arcsin6.［例2］如下图，已知平行六面体abcd―a1b1c1d1中，底面abcd是边长为a的正方形，侧棱aa1长为b,且aa1与ab、ad的夹角都是120°.谋：(1)ac1的长；(2)直线bd1与ac所成的角的余弦值.命题意图：本题主要考查利用向量法去化解立体几何问题，属于★★★★★级题目.科学知识充分利用：向量的提、减及向量的数量内积.错解分析：注意＜aa1,ab＞=＜aa1,ad＞=120°而不是60°,＜ab,ad＞=90°.技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用.求解:(1)|ac1|2?ac1?ac1?(aa1?ac)(aa1?ac)?(aa1?ab?ad)(aa1?ab?ad)?|aa1|2?|ab|2?|ad| 2?2aa1?ab?2aa1?ad?2ab?ad由未知得:|aa1|2?b2,|ab|2?|ad|2?a2?aa1,abaa1,ad??120?,?ab,ad??90?11?aa1?ab?b?acos120ab,aa1?ad?b?acos120ab,ab?ad?0,22?|ac1|2?2a2?b2?2ab,?|ac1|?2a2?b2?2ab.( 2)依题意得,|ac|?2a,ac?ab?adbd1?ad?ba?aa1?ad?ab?ac?bd1?(ab?ad)(aa1?ad?ab)?ab?aa1?ad?aa1 abadad2ab2abadab|bd1|2bd1bd1(aa1adab)(aa1adab)|aa1|2|ad|2|ab |2?2aa1?ad?2ab?ad?2aa1?ab?2a2?b2|bd1|2a2b2cos?bd1,ac??bd1?ac|bd1||ac|??b4a2?2b2b22∴bd1与ac所成角的余弦值为4a?2b.●锦囊妙计空间角的计算步骤：一作、二证、三算1.异面直线阿芒塔的角范围：0°＜θ≤90°方法：①位移法；②迁调形法.2.直线与平面所成的角范围：0°≤θ≤90°方法：关键是作垂线，找射影.3.二面角方法：①定义法；②三垂线定理及其逆定理；③垂面法.备注：二面角的排序也可以利用射影面积公式s′=scosθ去排序●击溃难点训练一、选择题1.(★★★★★)在正方体abcd―a1b1c1d1中，m为dd1的中点，o为底面abcd的中心，p为棱a1b1上任意一点，则直线op与直线am所成的角是()a.6b.4c.3d.22.(★★★★★)设立△abc和△dbc所在两平面互相横向，且ab=bc=bd=a,∠cba=∠cbd=120°,则ad与平面bcd阿芒塔的角为()a.30°b.45°c.60°d.75°二、填空题3.(★★★★★)未知∠aob=90°,过o点惹来∠aob所在平面的斜线oc，与oa、ob分别成45°、60°，则以oc为棱的二面角a―oc―b的余弦值等同于_________.4.(★★★★)正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为2∶3,则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为_________.三、解答题5.(★★★★★)未知四边形abcd为直角梯形，ad∥bc，∠abc=90°,pa⊥平面ac，且pa=ad=ab=1,bc=2(1)谋pc的长；(2)求异面直线pc与bd所成角的余弦值的大小；(3)求证：二面角b―pc―d为直二面角.6.(★★★★)设立△abc和△dbc所在的两个平面互相横向，且ab=bc=bd，∠abc=∠dbc=120°求：(1)直线ad与平面bcd所成角的大小；(2)异面直线ad与bc所成的角；(3)二面角a―bd―c的大小.7.(★★★★★)一副三角板拆成一个四边形abcd，例如图，然后将它沿bc卷成直二面角.(1)求证：平面abd⊥平面acd；(2)求ad与bc所成的角；(3)求二面角a―bd―c的大小.8.(★★★★★)设d就是△abc的bc边上一点，把△acd沿ad折，并使c点所处的新边线c′在平面abd上的射影h恰好在ab上.(1)求证：直线c′d与平面abd和平面ahc′所成的两个角之和不可能超过90°；(2)若∠bac=90°，二面角c′―ad―h为60°，求∠bad的正切值.。
立体几何空间角 专题
PCDBA立体几何空间角 专题空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090θ<≤（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CE BD==PE==∴由余弦定理得222c o s 26PC CE PE PCE PC CE +-∠==-⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC 中点。
求异面直线1AB 与1BC A 1C 1【答案】125直线与平面所成角的范围：090θ≤≤方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上，的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,4OD OP AB===CD OC ∴===在RtOCP ∆中，tan 13OP OCP OC∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
用综合法求空间角课件-+2024届高三数学一轮复习
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 90°
【分析】 利用线线平行，将异面直线所成的角转化为相交直线所成
的角，在三角形中求解即可．
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【解析】 如图，连接DB，A1B，A1D，则B1C∥A1D.因为E，F分别 是AB，AD的中点，所以DB∥EF，所以∠A1DB是异面直线B1C与EF所成 的角．又△A1DB是等边三角形，所以∠A1DB＝60°.
a，所以侧棱与底面所成角∠EAF 的正切值为EAFF＝
2 2
a ＝
10－ 2
2 .
2a
【答案】 A
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2. (2023常州高级中学高一校考期末)在正四面体ABCD中，异面直线
AB与CD所成的角为α，侧棱AB与底面BCD所成的角为β，侧面ABC与底面
BCD所成的锐二面角为γ，则下列结论中正确的是( )
A. θ1＋θ3＝2θ2 B. sinθ1＋sinθ3＝2sinθ2 C. cosθ1＋cosθ3＝2cosθ2 D. tanθ1＋tanθ3＝2tanθ2
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【分析】 如图，连接OF，过边A1B1的中点E作EG⊥OF，垂足为G， 则∠GFE就是漏壶的侧面与底面所成锐二面角的一个平面角，记为θ.设漏 壶上口宽为a，下底宽为b，高为h，在 Rt△EFG中，根据等差数列即可求 解．
第七章 立体几何与空间向量
第四节 用综合法求空间角
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学习目标 核心体系 活动方案 备用题
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1. 理解空间角的概念，理解空间内的平行与垂直关系.2. 掌握 用综合法求空间内异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面 角的常见方法．
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异面直线所成的角定 平义 移及 为角 平的 面范 中围 两条直线所成的角 空间角直线与平面所成的角定 利义 用及 线角 面的 垂范 直围 找直线在平面内的射影
综合法求空间角专题
DCBAC 1B 1D 1A 1教学过程 一、【历次错题讲解】 二、【基础知识梳理】高考要求:空间角的计算在高考中通常有一道解答题，题目为中等难度，这是作为立体几何中重点考查的内容之一，解题时要注意计算与证明相结合． 知识与方法整理： 空间角异面直线所成的角直线和平面所成的角二面角定义范围图示求空间角的一般步骤是：（一“作”；二“证”；三“求”） (1)找出或作出有关的图形（将空间角转化为平面上的角研究）； (2)证明此角为所求角； (3)计算。
三、【例题讲解】 （一）异面直线夹角问题例1、（1）如图,正棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为(2) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA=90，点D 1、F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成的角的余弦值_________（3）如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，E 分别为BC 的中点， 直线C A 1与DE 所成的角等于小结：线线角抓平行线 要求异面直线夹角，关键是将两条直线平移到同一平面上，将空间角转化为平面角。
异面直线所成的角求法：①平移法 ②割补法（二）线面夹角问题例2、（1）直线a 是平面α的斜线，直线b 在平面α内，当a 与b 成60O 的角，且b 与a 在α内的射影成45O 的角时，a 与α所成的角为( )学习札记(A)60O (B)45O (C) 90O (D)30O（2）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．（I ）求证：CM EM ⊥；（II ）求CM 与平面CDE 所成的角．小结：线面角抓面垂线（定射影）要求直线与平面所成的角，关键是找到直线在此平面上的射影，为此，必须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线。
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现， 也是历年来高考命题者的热点， 几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0° < 90°、0°< < 90°、0° < 180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转 化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正 余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体 ABCD A i BiGD i 中，已知AB 4 , AD 3, AA 2。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且EB FB 1。
求直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，uuu uuu把EC i 与FD i 所成角看作向量 EC 与FD 的夹角，用向量法求 解。
思路二：平移线段C i E 让C i 与D i 重合。
转化为平面角，放到 三角形中，用几何法求解。
（图I ）uuu uju umr解法一：以A 为原点，ABAD'AA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的•••直线EC i 与FD i 所成的角的余弦值为 --- I4解法二： 延长 BA 至点 E i ,使 AE i =I ，连结 E i F 、DE i 、D i E i 、DF , 有D i C i //E i E , D i C i =E i E ,则四边形 D i E i EC i 是平行四边形。
则 E i D i //EC i 于是/ E i D i F 为直线EC i 与FD i 所成的角。
在 Rt △ BE i F 中， E i F -J E i F 2 BF 2「5 2 i 2 「‘莎。
求空间角难点的深度解析
求空间角难点的深度解析作者：彭建开来源：《广东教育·高中》2014年第05期立体几何学习中，求空间角、尤其是二面角的难点有哪一些，并如何突破这些难点，本文将对这个问题做较深入的分析.1. 用综合法的难点分析.用综合法求空间角的难点是不能根据定义法和三垂线法作出平面角，这是因为我们平时的解答中过多依靠向量法，造成了同学们看图、识图困难，空间想象能力不强.例1.（2014年上海市高三二模）在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD 是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD.（1）证明：AB⊥平面VAD；（2）求二面角A-VD-B的余弦值.解析：本题既可用向量法，也可用综合法，难度都不大，但计算量不一样.解题方法小结：①不能根据定义法和三垂线法作出平面角，这是因为我们平时的解答中过多依靠向量法，造成了同学们看图、识图困难，空间想象能力不强；后阶段毫无疑问要对综合法解二面角进行突破，②如何用综合法求二面角，关键是作图，有两种方法，一是是定义法，在交线上做两条垂线，得到二面角的平面角；二是是三垂线法，如果在一个平面中有一条直线与另一个平面垂直，就只要再做交线的垂线，再连接垂足和已知垂线的端点就得到二面角的平面角（要证明），如例1.这需要能在各种变式图形中发现垂线，或者垂面，比如本题中的面AHB就是二面角A-VD-B的一个垂面.2. 用向量法时建系的难点分析.（1）求证：PD∥平面AEC；（2）求二面角A-CE-P的余弦值.解析：从已知能推就推，能算就算，可得AD⊥AC，又因为PA⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以现在建系有三种选择，一是用A作为原点，AD、AC、AP分别做为x轴、y 轴，还有一种是以A为原点，AP、AB作为z轴、y轴，由A点向CD作垂线作为x轴，第三种是以B点为原点，AB、BC分别作为y轴、x轴，另外作一条z轴，如下图所示：解题方法小结：建系的方法：要利用已知的线线、线面、面面垂直建系，有时候需要作一条或两条坐标轴，建系时要使得尽量有最多的点在坐标轴上，使得各相关线段尽量与坐标轴平行，这样求点的坐标就容易.3. 用向量法求平面法向量的难点分析.用向量法求平面的法向量时，最大的难点是个别点的坐标难以表示.（Ⅰ）证明： A1C⊥平面BB1D1D；（Ⅱ）求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角？兹的大小.解析：本题建系较易，图形中已经有三条互相垂直的线，所以O点为原点，OA、OB、OA1做为x轴、y轴、z轴，下底面的各点坐标易知，O（0，0，0）， A（1，0，0）， B （0，1，0）， C（-1，0，0），D（0，解题方法小结：可利用向量共线求某些点的坐标，如果在直观图中，有些点的坐标坐标不易观察计算，可采取将其中的平面图形单独画出来，便于观察，例如例2中的第一种建系方法，求B点的坐标，我们可以画出右边的平面图形.这样，计算起B点的坐标就一目了然了，特别是一些复杂的图形，这个方法很有效.4. 逆向解题中的计算难点分析.逆向法即已知线线、线面、面面角求其中的某些线段长，或点的位置，难点有两个，一是方法不熟，步骤不清，第二是计算错误，这是因为做得少、计算不熟练造成的.例4.（广州2014届十校联考）在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB//CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2.（1）求证：BE//面PAD；（2）求证：面PBC⊥面PBD；解析：对第（3）问进行分析解答：已知二面角，求E点的位置，我们把这种题型叫逆向运算，这种题型向量法和综合法都可以解，但向量法更有优势，更易想，但计算量较大，若计算不过关，就难以算对，解题的步骤应当是先设二面角中相关的未知量，再根据求二面决定的一般过程进行计算，最后得到未知量的结果，具体如下：解题方法小结：从上面的计算过程看出，逆向法解题，其实就是运用方程思想，通过给的已知条件，得到方程求未知数；由于有参数引入，导致计算量较大，计算较难，是相对要求较高的题，如果不熟练，就很难避免不出错. 此种类型广东高考还没有考过，广州及各地的模拟都有考过这种类型，外省的考题更是非常普遍，要引起重视.在2014年高考试题将趋向于增加难度的背景下，有必要增加对立体几何的备考复习：估计立体几何的最后一问，还是求二面角（广东省近四年都是求二面角），但应当会较前几年的试题有些变化；这些变化可能有以下几方面：（1）仍然是求空间角，或者求二面角的可能性大一点，并且两种方法都能解，但会有点偏向综合法，并且计算量增大. 像我们2014年一模的综合法，要用到余弦定理、面积公式或相似三角形去计算边长，并且有三次这样的计算，那么计算能力的要求就高了. 计算能力不强的人，肯定会在这个中间中断他的解题，例如广州一模的试题如果用综合法解就较难.（2）向量法，可能建系较难，像2013年的高考题那样，或者某些坐标难求，或者跟我们的模拟考和外省的考题一样，进行逆向求解，增加计算量和思维量.求空间角，尤其是二面角，要树立一种解题意识，就是应当综合法优先，这是因为综合法一般来说计算量相对较少，而向量法计算量都较大并且易出错，如果能用综合法做的时候，你去选择了向量法就不合算了；还有因为不能局限于什么题都去想向量法，这种思维模式就会导致往一个方向走，这就是我们广东省2011年高考的立体几何给我们的教训：如果先考虑综合法，又快又好就解出来，结果很多同学一定要去建系，很难建，导致得分不高. 当然说综合法优先，不是一定要用综合法解，如果觉得困难，并且题目有较明显的坐标系，则马上转为向量法解就行了.下面提供两题作为预测题给同学们练习：。
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
空间角的求法方法归纳
在数学和物理学中，空间角是一种非常重要的概念。
物体在空间中的角度关系经常被用到各种计算和分析中。
因此，求解空间角的方法也变得尤为重要。
本文将按类划分，总结空间角的求法方法。
立体角的求法
立体角是三维空间中用来描述四面体的角度大小的量，并且与其各个顶点相对应。
求解四面体的立体角可以通过以下公式进行计算：
V5 = 1/3(arccos(A1) + arccos(A2) + arccos(A3) - π )
其中V5指四面体的立体角，A1、A2、A3为三个向量的夹角余弦，pi 为圆周率。
平面角的求法
平面角是在二维平面中两个射线之间的角度大小，于是端点重合，两条射线叫做角的顶点，并记为O。
平面角的计算公式如下：
cosθ = a·b / |a||b|
其中，a和b分别表示两个向量，|a|和|b|表示向量的模，lala和lblb都为0，则cosθ没有定义。
球面角的求法
球面角是指在球面上相互靠近的两条弧（或线）之间的角度大小。
求解球面角需要先计算其对应的球面扇形的面积，然后进行换算即可，具体公式如下：
S = R²θ
其中R表示球体半径，θ表示对应的球面角。
总结
空间角的求法方法主要包括立体角、平面角和球面角三种。
其中立体角的求解需要根据四面体的三个向量夹角余弦值计算，平面角的计算需要先计算两个向量的点积并除以其模，而球面角的求解则需要先计算出对应的球面扇形面积。
这些空间角的求法方法可以帮助我们更准确地分析并解决各类问题。
第7节 综合法求空间角与距离
第7节 综合法求空间角与距离知识梳理1.设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点o 作直线'a ∥a ，'b ∥b ，把'a 与'b 所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)；]90,0︒︒（2.（1）直线平行于平面或直线在平面内则直线与平面所成角为︒0;(2)直线垂直于平面时直线与平面所成角为︒90(3)平面的一条斜线和它在平面上的射影所成角，叫做这条直线与这个平面所成角;）（︒︒90,0.3.在二面角βα-l -的棱上任取一点o ，以o 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的AOB ∠叫做二面角的平面角,]180,0[︒︒4. 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.5.一条直线与一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离5. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离相等，我们把它叫做两平行平面的距离. 基础自测 1. (1)× (2)× (3)√ (4)×,2.C ;3.A ;4.D ;5.38考点聚焦突破[例题1-1]解（1）过点A 作直线平行与l ，过点C 作直线垂直于l 设两直线交于'C 点，连接'BC ,'l CC ⊥l BC ⊥，'BCC ∠∴为二面角的平面角 ,l AD ⊥,'l CC ⊥ββ⊂⊂AD CC ,'AD CC //'∴又CD AC //''ADCC ∴为平行四边形''//,CC CD AD CC AD CD ⊥∴⊥ ⊥∴''//AC AC CD BC ,''CC AC ⊥∴C CC CB =' ⊥∴'AC 平面'BCC ，''BC AC ⊥∴'ADCC 为平行四边形∴1'==CD AC 12'=∴=BC AB BC CC ==1' 'BCC ∆∴为正三角形，'BCC ∠∴为︒60。
第43讲 用综合法求角与距离(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
第43讲：用综合法求角与距离一、课程标准1、 理解空间角的概念，理解空间内的平行与垂直关系．2、掌握用传统方法求空间内异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角的常见方法． 二、基础知识回顾 知识梳理1. 异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a′∥a ，b′∥b ，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)．②范围：⎝⎛⎦⎤0，π2. 2. 线面角平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，当一条直线垂直于平面时，规定它们所成的角是直角． 3. 二面角以二面角的公共直线上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于公共直线的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．4. 点到平面的距离从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫做这个点到这个平面的距离 三、自主热身、归纳总结1、已知正四面体ABCD 中，E 是AB 的中点，则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( )A. 16B. 36C. 13D. 33 【答案】 B【解析】 如图，取AD 的中点F ，连结EF ，CF.因为E 为AB 的中点，所以EF ∥DB ，则∠CEF 为异面直线BD 与CE 所成的角．在正四面体ABCD 中，因为E ，F 分别为AB ，AD 的中点，所以CE ＝CF.设正四面体的棱长为2a ，则EF ＝a ，CE ＝CF ＝（2a ）2－a 2＝3a.在△CEF 中，由余弦定理得cos ∠CEF ＝CE2＋EF2－CF22CE·EF＝a22×3a2＝36.2、如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为( )A. 15B.25C.35D.45【答案】D.【解析】如图，连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角．连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，易得A1C1＝2，A1B＝BC1＝5，故cos∠A1BC1＝5＋5－22×5×5＝45，即异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为45. 故选D.3、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为( )A . 13B . 23C . 12D . 223 【答案】 A【解析】 连接A 1C 1，则∠AC 1A 1为AC 1与平面A 1B 1C 1D 1所成的角.∵AB ＝BC ＝2，∴A 1C 1＝AC ＝22，又AA 1＝1，∴AC 1＝3，∴sin ∠AC 1A 1＝AA 1AC 1＝13. 故选A .4、如图，已知在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，CC 1＝2，则直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为( )A.32 B.52 C.105 D.1010【答案】 C【解析】 设A 1C 1交B 1D 1于点O ，连结BO.因为在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝4，所以C 1O ⊥B 1D 1.又因为DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，所以DD 1⊥C 1O.因为DD 1∩D 1B 1＝D 1，DD 1⊂平面DBB 1D 1，D 1B 1⊂平面DBB 1D 1，所以C 1O ⊥平面DBB 1D 1，所以直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角为∠OBC 1.在Rt △BOC 1中，C 1O＝22，BC 1＝25，所以sin ∠OBC 1＝105，即直线BC 1和平面DBB 1D 1所成角的正弦值为105.故选C.5、 如图，在正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，各棱长都相等，则二面角A 1BCA 的平面角的正切值为________．【答案】2 33【解析】 设棱长为a ，BC 的中点为E ，连结A 1E ，AE ，由正三棱柱ABCA 1B 1C 1中，各棱长都相等，可得A 1E ⊥BC ，AE ⊥BC ，故二面角A 1BCA 的平面角为∠A 1EA.在Rt △ABE 中，AE ＝32a ，所以tan ∠A 1EA ＝AA 1AE ＝a 32a ＝2 33，即二面角A 1BCA 的平面角的正切值为233.四、例题选讲考点一 异面直线所成的角例1 在长方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝1，AA 1＝3，则异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为( )A. 15B. 56C. 55D. 22 【答案】 C【解析】 用一个与原长方体相同的长方体拼到原来长方体的前面，如图所示，则B 1P ∥AD 1，则∠DB 1P 是异面直线AD 1，DB 1所成的角．连结DP ，易求得DB 1＝DP ＝5，B 1P ＝2，在△B 1DP 中过D 作B 1P 上的高，可得cos ∠DB 1P ＝15＝55.变式1、如图，在底面为正方形的四棱锥PABCD 中，侧面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，PA ＝AD ，则异面直线PB 与AC 所成的角为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90° 【答案】 C【解析】 因为平面PAD ⊥底面ABCD ，PA ⊥AD ，平面PAD∩平面ABCD ＝AD，PA ⊂平面PAD ，所以PA⊥平面ABCD.分别过点P ，D 作AD ，AP 的平行线交于点M ，连结CM ，AM.因为PM ∥AD ，AD ∥BC ，PM ＝AD ，AD ＝BC ，所以四边形PBCM 是平行四边形，所以PB ∥CM ，所以∠ACM(或其补角)就是异面直线PB 与AC 所成的角．因为四边形PADM ，底面ABCD 均为正方形，设PA ＝AD ＝a ，在三角形ACM 中，AM ＝2a ，AC ＝2a ，CM ＝2a ，所以三角形ACM 是等边三角形，所以∠ACM 等于60°，即异面直线PB 与AC 所成的角为60°.故选C.方法总结：用平移法求异面直线所成的角的步骤：一作，即据定义作平行线，作出异面直线所成的角；二证，即证明作出的角是异面直线所成的角；三求，解三角形，求出作出的角，如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.考点二 直线与平面所成的角例2 如图，在三棱锥ABCD 中，侧面ABD ⊥底面BCD ，BC ⊥CD ，AB ＝AD ＝4，BC ＝6，BD ＝4 3，则直线AC 与底面BCD 所成角的大小为( )A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】 A【解析】 因为平面ABD ⊥底面BCD ，AB ＝AD ，取DB 的中点O ，连结AO ，CO ，则AO ⊥BD ，则AO ⊥平面BCD ，所以∠ACO 就是直线AC 与底面BCD 所成的角．因为BC ⊥CD ，BC ＝6，BD ＝43，所以CO ＝23.在Rt △ADO 中，OA ＝AD 2－OD 2＝2，在Rt △AOC 中，tan ∠ACO ＝AO OC ＝ 33，故直线AC与底面BCD 所成角的大小为30°.故选A.变式1、在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的正弦值为( )A.23 B.33 C. 23 D.63【答案】 B【解析】 因为BB 1∥DD 1，所以BB 1与平面ACD 1所成角即为DD 1与平面ACD 1所成角．设点D 到平面ACD 1的距离为h ，正方体的边长为a ，则VD 1ADC ＝13×12×a×a×a ＝16a 3，VDAD 1C ＝13× 34⎝⎛⎭⎫ 2a 2h ＝ 36a 2h ，所以16a 3＝ 36a 2h ，得h ＝33 a.设BB 1与平面ACD 1所成角为θ，则sinθ＝h DD 1＝33.故选B. 变式2、 [2019·杭州模拟]在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC ＝120°，AB ＝AC ＝1，PA ＝2，则直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值为( )A .255 B . 223 C . 55 D . 13【答案】D【解析】 ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，即∠PAB ＝∠PAC ＝90°，又∵AB ＝AC ＝1，PA ＝PA ＝2， ∴△PAB ≌△PAC ，∴PB ＝PC. 取BC 的中点D ，连接AD ，PD ，∴PD ⊥BC ，AD ⊥BC ，又∵PD∩AD ＝D ，∴BC ⊥平面PAD ，∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PAD ⊥平面PBC ，过A 作AO ⊥PD 于O ，易得AO ⊥平面PBC ，∴∠APD 就是直线PA 与平面PBC 所成的角. 在Rt △PAD 中，AD ＝12，PA ＝2，则PD ＝PA 2＋AD 2＝32，则sin ∠APD ＝AD PD ＝13. 故选D .变式3、如图，在三棱台ABC －DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，AC ＝3.(1)求证：BF ⊥平面ACFD ；(2)求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．【证明】 (1)证明：延长AD ，BE ，CF 相交于一点K ，如图所示．∵平面BCFE ⊥平面ABC ，且AC ⊥BC ，∴AC ⊥平面BCK ， ∴BF ⊥AC. 又∵EF ∥BC ，BE ＝EF ＝FC ＝1，BC ＝2，∴△BCK 为等边三角形，且F 为CK 的中点，则BF ⊥CK. ∴BF ⊥平面ACFD. (2) ∵BF ⊥平面ACK ，∴∠BDF 是直线BD 与平面ACFD 所成的角． 在Rt △BFD 中，BF ＝3，DF ＝32，得cos ∠BDF ＝217，∴直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值为217. 方法总结：求直线与平面所成角的关键是寻找斜线在平面上的射影，要善于根据题意寻找平面的垂线，通常方法：一、利用题设中的线线垂直关系转换为线面垂直；二、找已知平面的垂面，再利用面面垂直的性质转化为线面垂直．有时作面的垂线较繁杂，可以不作面的垂线，利用空间的数量关系直接求点到面的距离，进而在直角三角中直接求线面角．常见求解步骤是先作图，证明垂直关系，交代所求角，再在直角三角形中求得所求角．其易错点是平面的斜线与平面所成角是锐角考点三二面角例3如图，已知在三棱锥SABC中，SA＝SB＝CA＝CB＝3，AB＝2，SC＝2，则二面角SABC的平面角的大小为()A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°【答案】C【解析】取AB的中点O，连结SO，CO.由SA＝SB＝CA＝CB可得AB⊥SO，AB⊥CO.又SO∩CO＝O，所以AB⊥平面SOC，所以二面角SABC的平面角是∠SOC.在△SOA中，SO＝SA2－AO2＝2，同理CO＝ 2.在△SOC中，SO＝CO＝SC＝2，所以∠SOC＝60°，即二面角SABC的平面角的大小为60°.变式1、如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1⊥平面ABC，∠BAC＝90°，AC＝AB＝AA1，E是BC的中点．(1) 求证：AE⊥B1C；(2) 求异面直线AE与A1C所成的角的大小；(3) 若G为C1C的中点，求二面角CAGE的正切值．【解析】(1) 因为BB1⊥平面ABC，AE⊂平面ABC，所以AE⊥BB1.由AB＝AC，E为BC的中点，得AE⊥BC.因为BC∩BB1＝B，BC，BB1⊂平面BB1C1C，所以AE⊥平面BB1C1C.又因为B1C⊂平面BB1C1C，所以AE⊥B1C.(2) 取B1C1的中点E1，连结A1E1，E1C，则AE∥A1E1，所以∠E 1A 1C 是异面直线AE 与A 1C 所成的角． 设AC ＝AB ＝AA 1＝2，则由∠BAC ＝90°，可得A 1E 1＝AE ＝2，A 1C ＝22，E 1C 1＝EC ＝12BC ＝2，所以E 1C ＝E 1C 21＋C 1C 2＝6.在△E 1A 1C 中，cos ∠E 1A 1C ＝2＋8－62×2×22＝12，所以异面直线AE 与A 1C 所成的角为π3.(3) 设P 是AC 的中点，过点P 作PQ ⊥AG 于点Q ，连结EP ，EQ ，则EP ⊥AC. 又因为平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，平面ABC∩平面ACC 1A 1＝AC ，EP ⊂平面ABC ， 所以EP ⊥平面ACC 1A 1. 因为AG ⊂平面ACC 1A 1， 所以AG ⊥EP.又PQ ⊥AG ，EP ，PQ ⊂平面EPQ ，EP∩PQ ＝P ， 所以AG ⊥平面EPQ. 又因为EQ ⊂平面EPQ ， 所以EQ ⊥AG ，所以∠PQE 是二面角CAGE 的平面角． 由(2)假设知EP ＝1，AP ＝1， Rt △ACG ∽Rt △AQP ，PQ ＝CG·AP AG ＝15， 故tan ∠PQE ＝PEPQ ＝5，所以二面角CAGE 的正切值是 5.变式2 如图，锐二面角αlβ的棱上有A ，B 两点，直线AC ，BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB ＝4，AC ＝BD ＝6，CD ＝8，则锐二面角αlβ的平面角的余弦值是( )A. 14B. 13C. 23D. 34【答案】 B【解析】 过点B 作BE ∥AC ，且BE ＝AC.因为AC ⊥AB ，所以BE ⊥AB.因为BD ⊥AB ，BD∩BE ＝B ，所以∠DBE 是二面角αlβ的平面角，且AB ⊥平面DBE ，所以AB ⊥DE ，所以CE ⊥DE.因为AB ＝4，CD ＝8，所以DE ＝CD 2－CE 2＝82－42＝43，所以cos ∠DBE ＝BE 2＋BD 2－DE 22BE·BD ＝36＋36－482×6×6＝13.故选B.变式3、如图，在四棱锥A －BCDE 中，平面BCDE ⊥平面ABC ，BE ⊥EC ，BC ＝2，AB ＝4，∠ABC ＝60°.(1)求证：BE ⊥平面ACE ；(2)若直线CE 与平面ABC 所成的角为45°，求二面角E －AB －C 的余弦值．【证明】 (1)证明：在△ACB 中，由余弦定理得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB·BC ＝12，解得AC ＝23，∴AC 2＋BC 2＝AB 2，∴AC ⊥BC.又∵平面BCDE ⊥平面ABC ，平面BCDE∩平面ABC ＝BC ，AC ⊂平面ABC ， ∴AC ⊥平面BCDE.又BE ⊂平面BCDE ，∴AC ⊥BE.又BE ⊥EC ，AC ，CE ⊂平面ACE ，且AC∩CE ＝C ， ∴BE ⊥平面ACE.(2)∵直线CE 与平面ABC 所成的角为45°，平面BCDE ⊥平面ABC ， 平面BCDE∩平面ABC ＝BC ，∴∠BCE ＝45°，∴△EBC 为等腰直角三角形． 取BC 的中点F ，连接EF ，过点F 作FG ⊥AB 于点G ，连接EG ，则∠EGF 为二面角E －AB －C 的平面角. 易得EF ＝BF ＝1，FG ＝32. 在Rt △EFG 中，由勾股定理，得EG ＝EF 2＋FG 2＝72，∴cos ∠EGF ＝＝217， ∴二面角E －AB －C 的余弦值为217.变式4、如图，在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，顶点D 1在底面ABCD 内的射影恰为点C.(1)求证：AD 1⊥BC ；(2)若直线DD 1与直线AB 所成的角为π3，求平面ABC 1D 1与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦值．【证明】 (1)连接D 1C ，则D 1C ⊥平面ABCD ，∴D 1C ⊥BC.在等腰梯形ABCD 中，连接AC ，∵AB ＝2，BC ＝CD ＝1，AB ∥CD ，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面AD 1C ，∴AD 1⊥BC.(2) ∵AB ∥CD ，∴∠D 1DC ＝π3，∵CD ＝1，∴D 1C ＝ 3. 在底面ABCD 中作CM ⊥AB ，连接D 1M ，则D 1M ⊥AB ，∴∠D 1MC 为平面ABC 1D 1与平面ABCD 所成角的一个平面角．在Rt △D 1CM 中，CM ＝32，D 1C ＝3， ∴D 1M ＝CM 2＋D 1C 2＝152，∴cos ∠D 1MC ＝55， 即平面ABC 1D 1与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦值为55. 方法总结：求二面角方法一：利用定义作出二面角的平面角，转换为在三角形中来求．方法二：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角考点四 点到平面的距离例4、若正四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 所成角的大小为60°，则A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A. 33B. 1C. 2D. 3 【答案】 D【解析】 由题意得∠B 1AB ＝60°，所以B 1B ＝ABtan60°＝ 3.又A 1C 1∥平面ABCD ，所以A 1C 1到底面ABCD 的距离为B 1B ＝ 3.变式1、已知正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为6，P 是AA 1的中点，Q 是△BDC 1内的动点，若PQ ⊥BC 1，则点Q 到平面A 1B 1C 1D 1的距离的取值范围是( )A. [3，5]B. ⎣⎡⎦⎤92，6C. [4，5]D. [23，6]【答案】 B【解析】 如图，在正方体中取BB 1、BD 中点P 1、O ，及BC 1的四等分点M ，因为PP 1⊥BC 1，P 1M ⊥BC 1，P 1M∩PP 1＝P 1，P 1M ，PP 1⊂平面PP 1M ，所以BC 1⊥平面PP 1M ，则BC 1⊥PM.又OM ⊥BC 1，OM∩PM ＝M ，故BC 1⊥平面POM ，所以当点Q 在线段OM 上时，PQ ⊥BC 1，则点Q 到平面A 1B 1C 1D 1的距离最大为6，最小为6×34＝92，所以点Q 到平面A 1B 1C 1D 1的距离的取值范围为⎣⎡⎦⎤92，6.故选B.变式2、如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，且AD ＝2，AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E ，F 分别是线段AB ，BC 的中点．(1)证明：PF ⊥FD ；(2)若PA ＝1，求点E 到平面PFD 的距离．【解】 (1)证明：连接AF ，则AF ＝2，又DF ＝2，AD ＝2，∴DF 2＋AF 2＝AD 2，∴DF ⊥AF. ∵PA ⊥平面ABCD ，∴DF ⊥PA ，又PA∩AF ＝A ，∴DF ⊥平面PAF ，又PF ⊂平面PAF ，∴DF ⊥PF.(2)连接EP ，ED ，EF.∵S △EFD ＝S 矩形ABCD －S △BEF －S △ADE －S △CDF ＝2－54＝34， ∴V 三棱锥P －EFD ＝13S △EFD ·PA ＝13×34×1＝14. 设点E 到平面PFD 的距离为h ，则由V 三棱锥E －PFD ＝V 三棱锥P －EFD 得13S △PFD ·h ＝13×62·h ＝14，解得h ＝64，即点E 到平面PFD 的距离为64. 变式3、如图所示的五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，EA ＝ED ＝AB ＝2EF ＝2，EF ∥AB ，M 为BC 的中点．(1)求证：FM ∥平面BDE ；(2)若平面ADE ⊥平面ABCD ，求点F 到平面BDE 的距离．【解析】 (1)证明：取BD 的中点O ，连接OM ，OE ，∵O ，M 分别为BD ，BC 的中点，∴OM ∥CD ，且OM ＝12CD.∵四边形ABCD为菱形，∴CD∥AB，又EF∥AB，∴CD∥EF，又AB＝CD＝2EF，∴EF＝12CD，∴OM∥EF，且OM＝EF，∴四边形OMFE为平行四边形，∴MF∥OE.又OE⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE.(2)由(1)得FM∥平面BDE，∴点F到平面BDE的距离等于点M到平面BDE的距离．取AD的中点H，连接EH，BH，∵EA＝ED，四边形ABCD为菱形，且∠DAB＝60°，∴EH⊥AD，BH⊥AD.∵平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，EH⊂平面ADE，∴EH⊥平面ABCD，∴EH⊥BH，易得EH＝BH＝3，∴BE＝6，∴S△BDE＝12×6×22－⎝⎛⎭⎫622＝152. 设点F到平面BDE的距离为h，连接DM，则S△BDM＝12S△BCD＝12×34×4＝32，连接EM，由V三棱锥E－BDM＝V三棱锥M－BDE，得13×3×32＝13×h×152，解得h＝155，即点F到平面BDE的距离为155.方法总结：求点到平面的距离，方法一：根据面面垂直的性质直接作出距离求解，方法二：利用等体积法换顶点来求解．五、优化提升与真题演练1、（2018·全国Ⅱ高考）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为( )A. 15B.56C.55D.22第1题图【答案】C【解析】 如图，将长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1补成长方体ABCD －A 2B 2C 2D 2，使AA 1＝A 1A 2，易知AD 1∥B 1C 2，∴∠DB 1C 2或其补角为异面直线AD 1与DB 1所成的角．易知B 1C 2＝AD 1＝2，DB 1＝12＋12＋（3）2＝5，DC 2＝DC 2＋CC 22＝12＋232＝13.在△DB 1C 2中，由余弦定理，得cos ∠DB 1C 2＝DB 21＋B 1C 22－DC 222DB 1·B 1C 2＝5＋4－132×5×2＝－55， ∴异面直线AD 1与DB 1所成角的余弦值为55. 故选C . 2、（2018·天津高考）如图，在四面体ABCD 中，△ABC 是等边三角形，平面ABC ⊥平面ABD ，点M 为棱AB 的中点，AB ＝2，AD ＝23，∠BAD ＝90°.(1)求证：AD ⊥BC ；(2)求异面直线BC 与MD 所成角的余弦值；(3)求直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值．【解】 (1)证明：由平面ABC ⊥平面ABD ，平面ABC∩平面ABD ＝AB ，AD ⊥AB ，可得AD ⊥平面ABC ，故AD ⊥BC.(2)如图，取棱AC 的中点N ，连接MN ，ND.又∵M 为棱AB 的中点，∴MN ∥BC.∴∠DMN(或其补角)为异面直线BC 与MD 所成的角．在Rt △DAM 中，AM ＝1，故DM ＝AD 2＋AM 2＝13.∵AD ⊥平面ABC ，∴AD ⊥AC.在Rt △DAN 中，AN ＝1，故DN ＝AD 2＋AN 2＝13.在等腰三角形DMN 中，MN ＝1，可得cos ∠DMN ＝12MN DM ＝1326. ∴异面直线BC 与MD 所成角的余弦值为1326. (3)如图，连接CM. ∵△ABC 为等边三角形，M 为边AB 的中点，∴CM ⊥AB ，CM ＝ 3.又∵平面ABC ⊥平面ABD ，而CM ⊂平面ABC ，故CM ⊥平面ABD ，∴∠CDM 为直线CD 与平面ABD 所成的角．在Rt △CAD 中，CD ＝AC 2＋AD 2＝4.在Rt △CMD 中，sin ∠CDM ＝CM CD ＝34. ∴直线CD 与平面ABD 所成角的正弦值为34. 3、（2018·全国Ⅱ高考）如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝BC ＝22，PA ＝PB ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点．(1)证明：PO ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱BC 上，且MC ＝2MB ，求点C 到平面POM 的距离．【解】 (1)证明：∵PA ＝PC ＝AC ＝4，O 为AC 的中点，∴PO ⊥AC ，且PO ＝2 3.连接OB ，∵AB ＝BC ＝22AC ，∴△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB ＝12AC ＝2. ∴PO 2＋OB 2＝PB 2，∴PO ⊥OB. 又∵AC∩OB ＝O ，∴PO ⊥平面ABC.(2)如图，作CH ⊥OM ，垂足为H ，又由(1)可得PO ⊥CH ，且PO∩OM ＝O ，∴CH ⊥平面POM.故CH 的长为点C 到平面POM 的距离. 由题设可知OC ＝12AC ＝2，MC ＝23BC ＝423，∠ACB ＝45°，∴OM ＝253，CH ＝OC·MC·sin ∠ACB OM ＝455. ∴点C 到平面POM 的距离为455. 4、直四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E 、M 、N 分别是BC 、BB 1、A 1D 的中点．(1) 证明：MN ∥平面C 1DE ；(2) 求点C 到平面C 1DE 的距离．【解析】 (1) 连结B 1C ，ME.因为M ，E 分别为B 1B ，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C. 又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D ， 所以ME ＝ND ，ME ∥ND ，所以四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥DE.又MN ⊄平面C 1DE ，DE ⊂平面C 1DE ，所以MN ∥平面C 1DE.(2) 过点C 做C 1E 的垂线，垂足为H. 由已知可得DE ⊥BC ，DE ⊥CC 1， 易证DE ⊥平面CC 1E ，故DE ⊥CH ，从而易证CH ⊥平面C 1DE ，故CH 的长即为点C 到平面C 1DE 的距离． 由已知可得CE ＝1，CC 1＝4， 所以C 1E ＝17，故CH ＝41717.。
空间角的求法
(3)求直线PD与平面PAC所成角的余弦值.
P
解:(3)连结DB,交AC于点O, ∵ ………… ∴ AC⊥平面 PBD 又∵AC ⊂平面PACHຫໍສະໝຸດ DOAC B
∴ 平面PDB ⊥平面 PAC 连结PO,过D作DH⊥PO于点H, ∵ …………
∴ DH ⊥平面 PAC
∴PH是直线PD在平面PAC的射影
∴∠DPH是直线PD与平面PAC所成的角
在PBM中, cosPBM 5 ∴直线AC与PB所成角的余弦值为 5 5
5
M
“作” “证” “算” “答”
【方法点评】求异面直线所成的角,最关键的就是通过 平移把异面直线转化为相交直线,即空间问题平面化.
而平移的方法通常是通过构造平行四边形或三角形的 中位线等,平移到端点处或中点处相交.
跟踪训练5．(1)
D1
C1
A1
B1
D
C
M
H
A
F
B
∠HMB是二面角B－FC1－C的平面角
(2)
P
MH
C
B
A (i)∠PCB
P
C
B
A
【方法点评】求直线与平面所成的角,最关键的就是要
找出斜线在平面内的射影, 而要找到射影也就是要找到该 平面的垂线,有时还要利用面面垂直来构造线面垂直, 从而找到该平面的垂线.
跟踪训练2.(1)
P
A
C
OD
B
∠PAO
跟踪训练2.(2)
C
H
S
B
M
A
平面SCM ⊥平面 ABC SH ⊥平面 ABC ∠SCH
空间角的求法
例1.四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为矩 形,且PD=DC=2AD,求直线AC与PB所成角的余弦值。
专题57 运用综合法解决空间角的问题(原卷版)
专题57 运用综合法解决空间角的问题一、题型选讲题型一 、运用综合法研究线面角例1、【2018年高考浙江卷】如图，已知多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．（1）证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；（2）求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．例2、【2019年高考浙江卷】如图，已知三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. （1）证明：EF BC ⊥；（2）求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.例3、（2021·浙江台州市·高三期末）如图，在三梭柱中，侧面，均为菱形，，，为的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.111ABC A B C -11AA B B 11AAC C 12AA =1160ABB ACC ∠=∠=︒DAB 1//AC 1CDB 60BAC ∠=︒1AC 11BB C C题型二、运用综合法研究面面角例4、（河北省“五个一名校联盟”2021届高三上学期第一次诊断考试）如图，在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是菱形，AB＝2，AA'＝3，且∠A'AB＝∠A'AD＝∠BAD＝60°．（1）求证：平面A'BD⊥平面ABCD；（2）求二面角B-A'C'-D的余弦值．例5、（河北省石家庄市高中毕业班教学质量检测）在直四棱柱ABC D－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形,M为AA 1的中点，BC=BD=1，AB=AA1=2．(1)求证：M D⊥平面BDC1；(2)求二面角M－BC1－D的余弦值．例6、（江苏南京2020—2021学年第一学期11月六校联合调研试题）在四棱锥P—ABCD中，已知PC⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2,，AD＝CD＝1，BC＝PC ,E是PB的中点.（1）求证: PB⊥平面EAC（2）求二面角P—AC—E的大小.题型三、综合性问题例7、（2021·江苏省新海高级中学高三期末）如图直角梯形中，，，，为中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且则（ ）A ．平面平面B ．C ．二面角的大小为D ．与平面所成角的正切值为 例8、（湖北省九师联盟2021届高三联考）如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1DD 上一点，且2,DEF =为棱11C D 的中点，点G 是线段1BC 上的动点，则（ ）A ．无论点G 在线段1BC 上如何移动，都有11A GB D ⊥B ．四面体A BEF -的体积为24C ．直线AE 与BF所成角的余弦值为15D ．直线1A G 与平面1BDC 所成最大角的余弦值为13例9、（江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试）（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABEF 为正方形，平面ABEF ⊥平面CDFE ，CD ∥EF ，DF ⊥EF ，EF ＝2CD ＝2．（1）若DF ＝2，求二面角A －CE －F 的正弦值；ABCD //AB CD AB BC ⊥112BC CD AB ===E AB DE ADE AP PC=PED ⊥PCD PC BD ⊥P DC B --3πPCPED2（2）若平面ACF ⊥平面BCE ，求DF 的长．二、达标训练1、（2021·江苏南通市·高三期末）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M 是边CD 的中点，将沿AM 翻折到，连结PB ，PC ，在翻折到的过程中，下列说法正确的是（ ）A ．四棱锥B ．当面平面时，二面角C ．存在某一翻折位置，使得D ．棱PB 的中点为N ，则CN 的长为定值 2、（福建省泉州市2021届高三联考）如图,正方形ABCD 中,EF 、分别是AB BC 、的中点将,,ADE CDF BEF ∆分别沿DE DF EF 、、折起,使、、A B C 重合于点P .则下列结论正确的是（ ）ADM △PAM △ADM △PAM △P ABCM -PAM ⊥ABCM PAB C AM PB ⊥A ．PD EF ⊥B ．平面PDE PDF ⊥平面C ．二面角P EFD --的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是DEF ∆的外心3、（辽宁省沈阳市2020-2021学年高三联考）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -，中，E 为棱1CC 上的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F ，B ，E ，G ，H 为过三点B ，E ，F 的平面BMN 与正方体1111ABCD A B C D -的棱的交点，则下列说法正确的是（ ）A ．//HF BEB ．三棱锥的体积14B BMN V -=C ．直线MN 与平面11A B BA 所成的角为45︒D ．11:1:3D G GC =4、（湖北师大附中2021届高三上学期联合测评）（本题满分12分）如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，底面正ABC ∆的边长为2，侧棱E D AA ,,31=分别为CB CC ,1的中点，设平面DE A 1与AB 交于F 点．(1)求平面DE A 1与底面111C B A 所成二面角的余弦值；(2)求线段AF 的长．5、（江苏省苏州市2021届高三第二学期期初学业质量阳光指标调研卷）（本小题满分12分）如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．（1）证明：∠PAD＝∠PBC；（2）当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．6、（湖北师大附中2021届高三上学期名校联考）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA=BD=3 AB=23．且PB=PD.(1) 证明：平面PAC⊥平面ABCD;(2)若PA⊥AC,棱PC上一点M满足BM⊥MD，求直线BD与平面ABM所成角的正弦．7、（江苏扬州市2020- 2021 学年度第一学期期中检测试题）如图，在三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，四边形AB B 1A 1和A A 1C C 1均为菱形，棱平面AB B 1A 1⊥平面A A 1C C 1. ∠A 1AC =π3，∠A 1AB=π4，E 为A A 1上一点，BE⊥A A 1.(1)求证: BE⊥ A 1C(2)设AB=2,求二面角B- C C 1-A 的余弦值.8、（2020·浙江高考真题）如图，三棱台DEF —ABC 中，面ADFC ⊥面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．（I ）证明：EF ⊥DB ；（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．9、（2021·浙江湖州市·高三期末）如图，三棱柱所有的棱长均为1，且四边形为正方形，又.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线和平面所成角的正弦值.10、（2021·浙江嘉兴市·高三期末）如图，四棱锥中，△为正三角形，，，，.111ABC A B C -11C B BC 1AB B C⊥111A B AC ⊥AB 11A ACC -P ABCD PAD //AB CD 122AD DC AB ===BC =3PC=（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值.11、（2021·浙江温州市·高三期末）如图，已知在三棱锥中，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，若直线与平面所成的角为．（Ⅰ）若，求证：平面平面；（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值．12、（2021·浙江杭州市·高三期末）在三棱锥中，为等腰直角三角形，点，分别是线段，的中点，点在线段上，且.若，AD PC ⊥AB PAD P ABC -ABC PAC △AC PB ABC 6πPB PC >PAC ⊥ABC PB PC <AB PAC A BCD -BCD △E G BD CD F AB 2BF FA =1AD =AB =CB CD ==11（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成的角.13、（2021·浙江绍兴市·高三期末）如图，在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，平面，点M 、N 分别为、的中点，点P 为线段上一点，且平面．（1）求证：；（2）求直线与平面所成角的正弦值．//AG CEF AD CEF A BCD -ABC CD CB =CD ⊥ABC AC CD BD //BMAPN BM AN ⊥AP ABC。
综合法求空间角专题
数学个性化教学教案1、让学生掌握用综合法求线线角，线面角和二面角；?2、通过空间角的专题复习，让学生进一步体会空间角的数学本质;3、通过课堂教学，让学生积极参与课堂，实现方法的提炼和能力的提高. L 求异面直线所成的角；2、求直线与平面所成的角；3.求二面角• 一、【历次错题讲解】 二、【基础知识梳理】 高考要求：空间角的计算在高考中通常有一道解答题，题目为中等难度，这是作为 立体几何中重点考查的内容之一，解题时要注意计算与证明相结合・ 知识与方法整理：(1) 找出或作出有关的图形(将空间角转化为平面上的角研究)；(2) 证明此角为所求角；(3) 计算。
三、【例题讲解】(一)异面直线夹角问题例 1、(1)如图,正棱柱 ABCD-A I BGD 冲,AA l =2AB,则异面直线AB 与AD 所成角的余弦值为 _____________ 教学过程 空间角 异面直线所成的角 直线和平面所成的角 二面角 定义 范围 图示 授课时间： ______ 年—易 ______ 日备课时间 ______ 年 ____ 月 _____ 日高年级 学科 数学 课时 2 h 学生姓名 授课主题综合法求空间角专题 授课教师 教学目标教学重点教学难点U 空间角的作法与求法・⑵如图，在直三棱柱ABCfBG中，ZBCΛ= 909,点爪人分别是M必和/11的中点，若BC=CA=CC H求BDl与AF】所成的角的余弦值（3）如图，在棱长为α的正方体ABCD-A i B i C i D i9 E分小结：线线角抓平行线要求异面直线夹角，关键是将两条克别为Be的中点，直线AlC与DE所成的角等于线平移到同一平面上，将空间角转化为平面角。
（二）线面夹角问题例2、（1）直线α是平面0的斜线, 直线〃在平面◎内, 当α与方成60°的角，且方与异面直线所成的角求法：①平移法②割补法"在◎内的射影成45'的角时, 4与Q所成的角为（(Λ) 60⑻45°(C) 90°(D)（2）在如图所示的几何体中，EA丄平面ABC.AC = BC = BD = IAE9 M 是AB 的中点•（II）求CM与平面CDE所成的角.小结：线面角抓面垂线（定射影）要求直线与平面所成的角，关键是找到直线在此平面上的射影，为此，必须在这条直线上的某一点处作一条（或找一条）平面的垂线。
高考数学专题57 运用综合法解决空间角的问题(原卷版)
专题57 运用综合法解决空间角的问题一、题型选讲题型一 、运用综合法研究线面角例1、【2021年高考浙江卷】如图，多面体ABCA 1B 1C 1，A 1A ，B 1B ，C 1C 均垂直于平面ABC ，∠ABC =120°，A 1A =4，C 1C =1，AB =BC =B 1B =2．〔1〕证明：AB 1⊥平面A 1B 1C 1；〔2〕求直线AC 1与平面ABB 1所成的角的正弦值．例2、【2021年高考浙江卷】如图，三棱柱111ABC A B C -，平面11A ACC ⊥平面ABC ,90ABC ∠=︒，1130,,,BAC A A AC AC E F ∠=︒==分别是AC ，A 1B 1的中点. 〔1〕证明：EF BC ⊥；〔2〕求直线EF 与平面A 1BC 所成角的余弦值.例3、〔2021·浙江台州市·高三期末〕如图，在三梭柱中，侧面，均为菱形，，，为的中点.〔Ⅰ〕求证：平面；〔Ⅱ〕假设，求直线与平面所成角的正弦值.111ABC A B C -11AA B B 11AACC 12AA =1160ABB ACC ∠=∠=︒DAB 1//AC 1CDB 60BAC ∠=︒1AC 11BB C C题型二、运用综合法研究面面角例4、〔河北省“五个一名校联盟〞2021届高三上学期第一次诊断考试〕如图，在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是菱形，AB＝2，AA'＝3，且∠A'AB＝∠A'AD＝∠BAD＝60°．〔1〕求证：平面A'BD⊥平面ABCD；〔2〕求二面角B-A'C'-D的余弦值．例5、〔河北省石家庄市高中毕业班教学质量检测〕在直四棱柱ABC D－A1B1C1D1中，四边形ABCD为平行四边形,M为AA1的中点，BC=BD=1，AB=AA1=2．(1)求证：M D⊥平面BDC1；(2)求二面角M－BC1－D的余弦值．〔江苏南京2021—2021学年第一学期11月六校联合调研试题〕在四棱锥P—ABCD中，PC⊥底面ABCD，例6、AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2,，AD＝CD＝1，BC＝PC ,E是PB的中点.〔1〕求证: PB⊥平面EAC〔2〕求二面角P—AC—E的大小.题型三、综合性问题例7、〔2021·江苏省新海高级中学高三期末〕如图直角梯形中，，，，为中点．以为折痕把折起，使点到达点的位置，且那么〔〕A．平面平面B．C．二面角的大小为D．与平面例8、〔湖北省九师联盟2021届高三联考〕如图，在棱长为6的正方体1111ABCD A BC D-中，E为棱1DD 上一点，且2,DE F=为棱11C D的中点，点G是线段1BC上的动点，那么〔〕A．无论点G在线段1BC上如何移动，都有11AG B D⊥B．四面体A BEF-的体积为24C．直线AE与BFD．直线1AG与平面1BDC所成最大角的余弦值为13例9、〔江苏省盐城市、南京市2021届高三第一次模拟考试〕〔本小题总分值12分〕如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABEF为正方形，平面ABEF⊥平面CDFE，CD∥EF，DF⊥EF，EF＝2CD＝2．〔1〕假设DF＝2，求二面角A－CE－F的正弦值；ABCD//AB CD AB BC⊥112BC CD AB===E AB DE ADE A P PC= PED⊥PCD PC BD⊥P DC B--3πPC PED〔2〕假设平面ACF ⊥平面BCE ，求DF 的长．二、达标训练1、〔2021·江苏南通市·高三期末〕如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点M 是边CD 的中点，将沿AM 翻折到，连结PB ，PC ，在翻折到的过程中，以下说法正确的选项是〔 〕A ．四棱锥B ．当面平面时，二面角的正切值为C ．存在某一翻折位置，使得D ．棱PB 的中点为N ，那么CN 的长为定值 2、〔福建省泉州市2021届高三联考〕如图,正方形ABCD 中,E F 、分别是AB BC 、的中点将,,ADE CDF BEF ∆分别沿DE DF EF 、、折起,使、、A B C 重合于点P .那么以下结论正确的选项是〔 〕ADM △PAM △ADM △PAM △P ABCM -PAM ⊥ABCM PAB C 4AM PB ⊥A ．PD EF ⊥B ．平面PDE PDF ⊥平面C ．二面角P EFD --的余弦值为13D ．点P 在平面DEF 上的投影是DEF ∆的外心3、〔辽宁省沈阳市2021-2021学年高三联考〕如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -，中，E 为棱1CC 上的中点，F 为棱1AA 上的点，且满足1:1:2A F FA =，点F ，B ，E ，G ，H 为过三点B ，E ，F 的平面BMN 与正方体1111ABCD A BC D -的棱的交点，那么以下说法正确的选项是〔 〕A ．//HF BEB ．三棱锥的体积14B BMN V -=C ．直线MN 与平面11A B BA 所成的角为45︒D ．11:1:3DG GC = 4、〔湖北师大附中2021届高三上学期联合测评〕〔此题总分值12分〕如图，在正三棱柱111C B A ABC -中，底面正ABC ∆的边长为2，侧棱E D AA ,,31=分别为CB CC ,1的中点，设平面DE A 1与AB 交于F 点．(1)求平面DE A 1与底面111C B A 所成二面角的余弦值；(2)求线段AF 的长．5、〔江苏省苏州市2021届高三第二学期期初学业质量阳光指标调研卷〕〔本小题总分值12分〕如图，四棱锥P—ABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝PB＝3．〔1〕证明：∠PAD＝∠PBC；〔2〕当直线PA与平面PCD所成角的正弦值最大时，求此时二面角P—AB—C的大小．6、〔湖北师大附中2021届高三上学期名校联考〕如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形，PA=BD=3 AB=23．且PB=PD.(1) 证明：平面PAC⊥平面ABCD;(2)假设PA⊥AC,棱PC上一点M满足BM⊥MD，求直线BD与平面ABM所成角的正弦．7、〔江苏扬州市2021- 2021 学年度第一学期期中检测试题〕如图，在三棱柱ABC- A 1B 1C 1中，四边形AB B 1A 1和A A 1C C 1均为菱形，棱平面AB B 1A 1⊥平面A A 1C C 1. ∠A 1AC =π3，∠A 1AB=π4，E 为A A 1上一点，BE⊥A A 1.(1)求证: BE⊥ A 1C(2)设AB=2,求二面角B- C C 1-A 的余弦值.8、〔2021·浙江高考真题〕如图，三棱台DEF —ABC 中，面ADFC ⊥面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ．〔I 〕证明：EF ⊥DB ；〔II 〕求DF 与面DBC 所成角的正弦值．9、〔2021·浙江湖州市·高三期末〕如图，三棱柱所有的棱长均为1，且四边形为正方形，又.〔Ⅰ〕求证：；〔Ⅱ〕求直线和平面所成角的正弦值.10、〔2021·浙江嘉兴市·高三期末〕如图，四棱锥中，△为正三角形，，，，.111ABC A B C -11C B BC 1AB B C⊥111A B AC ⊥AB 11A ACC -P ABCD PAD //AB CD 122AD DC AB ===BC =3PC=〔1〕求证：；〔2〕求与平面所成角的正弦值.11、〔2021·浙江温州市·高三期末〕如图，在三棱锥中，是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，假设直线与平面所成的角为．〔Ⅰ〕假设，求证：平面平面；〔Ⅱ〕假设，求直线与平面所成角的正弦值．12、〔2021·浙江杭州市·高三期末〕在三棱锥中，为等腰直角三角形，点，分别是线段，的中点，点在线段上，且.假设，AD PC ⊥AB PAD P ABC -ABC PAC △AC PB ABC 6πPB PC >PAC ⊥ABC PB PC <AB PAC A BCD -BCD △E G BD CD F AB 2BF FA =1AD =AB =CB CD ==〔Ⅰ〕求证：平面；〔Ⅱ〕求直线与平面所成的角.13、〔2021·浙江绍兴市·高三期末〕如图，在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，平面，点M 、N 分别为、的中点，点P 为线段上一点，且平面．〔1〕求证：；〔2〕求直线与平面所成角的正弦值．//AG CEF AD CEF A BCD -ABC CD CB =CD ⊥ABC AC CD BD //BMAPN BM AN ⊥AP ABC。
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D
C
B
A
C 1
B 1
D 1
A 1
教学过程
一、【历次错题讲解】 二、【基础知识梳理】
高考要求:空间角的计算在高考中通常有一道解答题，题目为中等难度，这是作为立体几何中重点考查的内容之一，解题时要注意计算与证明相结合．
知识与方法整理： 空间角 异面直线所成的
角 直线和平面所成的
角 二面角
定义
范围
图示
求空间角的一般步骤是：（一“作”；二“证”；三“求”） (1)找出或作出有关的图形（将空间角转化为平面上的角研究）； (2)证明此角为所求角； (3)计算。
三、【例题讲解】 （一）异面直线夹角问题
例1、（1）如图,正棱柱1111ABCD A B C D -中,12AA AB =,则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为
(2) 如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA=
90，点D 1、
F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，求BD 1与AF 1所成的角
的余弦值_________
（3）如图，在棱长为a 的正方体1111D C B A ABCD -，E 分别为BC 的中点， 直线C A 1与DE 所成的角等于
小结：线线角抓平行线 要求异面直线夹角，关键是将两条直线平移到同一平面上，将空间角转化为平面角。
异面直线所成的角求法：①平移法 ②割补法
（二）线面夹角问题
O
(A)60O (B)45O (C) 90O (D)30O
（2）在如图所示的几何体中，EA ⊥平面ABC ，DB ⊥平面ABC ，AC BC ⊥，且
2AC BC BD AE ===，M 是AB 的中点．
（I ）求证：CM EM ⊥； （II ）求CM 与平面CDE 所成的角．
小结：线面角抓面垂线（定射影）要求直线与平面所成的角，关键是找到直线在此平面上的射影，为此，必须在这条直线上的某一点处作一条(或找一条)平面的垂线。
斜线与平面所成的角求法：定义法
（三）二面角问题
例3、（1）四边形ABCD 是正方形，P 是平面ABCD 外一点，且⊥PA 平面ABCD ，PA=AB=a ，则二面角D PC B --的大小为 。
（2）在二面角βα--l 的一个平面α内有一条直线AB ，它与棱的夹角为︒45，AB 与平面β所成的角为︒30，则二面角的大小为 ；
（3）二面角βα--l 是锐角，空间一点P 到βα,和棱的距离分别是22，4和
24，则这个二面角的度数为（ ）
A 、︒30或︒45
B 、︒15或︒75
C 、︒30或︒60
D 、︒15或︒60 （4）如图，△ABC 中,∠ABC=
30,PA⊥平面ABC,PC⊥BC ,PB 与平面ABC 成45°角，①求证：平面PBC ⊥平面PAC ；②求二面角A —PB —C 的正弦值。
例4、如图，平面PCBM ⊥平面ABC ，90PCB ∠=︒，//PM BC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°，又1AC =，22BC PM ==，90ACB ∠=︒．
（Ⅰ）求证：AC BM ⊥；
（Ⅱ）求二面角M AB C --的正切值； （Ⅲ）求多面体PMABC 的体积．
小结：面面角抓棱垂线要求二面角，关键是找到二面角的平面角，使得平面角的顶点在棱上，两边分别在两个半平面上，且两边与棱垂直。
二面角的求法：
①在棱上取一点A ，然后在两个平面内分别作过棱上A 点的垂线。
有时也可以在两个平面内分别作棱的垂线，再过其中的一个垂足作另一条垂线的平行线；
②先找到一个平面的垂线，再过垂足作棱的垂线，连结两个垂足即得二面角的平面角 ；
③垂面法：作与棱垂直的平面，则垂面与二面角两个面的交线所成的角就是二面角的平面角
【同步达纲练习】
1、已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AA =2AB ，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所形成角的余弦值为（ ） （A ）1010 (B) 15 (C) 31010 (D) 35
2、已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射
B C B C A 11
1
A D
课堂练习 （A ）34 （B ）54 （C ）7
4
(D) 34
3、如右图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E,F,G,H 分别为1AA ，AB ，1BB ，
11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于
4、在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( )
A ．30
B ．45
C ．60
D ．90
5、如右图，若A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．
的是( ) （A ）若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面
（B ）若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线 (C) 若AB=AC ，DB=DC ，则AD=BC (D) 若AB=AC ，DB=DC ，则AD ⊥BC
6、如右图，四面体ABCD 中，E 、F 分别是AC 、BD 的中点，若CD ＝2AB ＝2，EF ⊥AB ，求直线EF 与CD 所成的角．
7、如图，矩形ABCD 中，32,6==BC AB ，沿对角线BD 将ABD ∆向上折起，使点A 移至点P ，且P 在平面BCD 的射影O 在DC 上。
（1）求二面角C DB P --的平面角的余弦值。
（2）求直线DC 与平面PBD 所成角的正弦值。
A B
D
C
Ａ
8、如图,在底面为直角梯形的四棱锥,//,BC AD ABCD P 中-,90︒=∠ABC
PA ⊥平面ABCD,32,2,3===AB AD PA ,BC =6.
(1)求证:;PAC BD 平面⊥(2)求二面角A BD P --的大小.
9、如图，在Rt AOB △中，π
6
OAB ∠=，斜边4AB =．Rt AOC △可以通过Rt AOB △以直线AO 为轴旋转得到，且二面角B AO C --是直二面角．动点D 的斜边AB 上．
（1）求证：平面COD ⊥平面AOB ；
（2）当D 为AB 的中点时，求异面直线AO 与CD 所成角的正切值； （3）求CD 与平面AOB 所成角最大时的正切值．
10、如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OA
OB OC ，，两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点．
（1）求O 点到面ABC 的距离；
（2）求异面直线BE 与AC 所成角的余弦值； （3）求二面角E AB C --的余弦值．。