第01招 函数的定义域常见求法(新高考数学一轮复习资料)

【知识要点】

一、函数的定义域的定义

函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围. 二、求函数的定义域的主要依据

1、分式的分母不能为零.

2(2,)n x n k k N *=∈其中中0,x ≥奇次方根

(21,)n x

n k k N *=+∈其中中，x R ∈.

3、指数函数x

y a =的底数a 必须满足01,a a x R >≠∈且.

4、对数函数log a y x =的真数x 必须大于零，底数a 必须满足01a a >≠且.

5、零次幂的底数不能为零，即0x 中0x ≠.

6、正切函数tan y x =的定义域是{|,}2

x x k k z π

π≠+∈.

7、复合函数的定义域的求法

（1）已知原函数()f x 的定义域为(,)a b ，求复合函数[()]f g x 的定义域：只需解不等式()a g x b <<，不等式的解集即为所求函数的定义域.

（2）已知复合函数[()]f g x 的定义域为(,)a b ，求原函数()f x 的定义域：只需根据a x b <<求出函数

()g x 的值域，即得原函数()f x 的定义域.

8、求函数()()y f x g x =+的定义域

一般先分别求函数()y f x =和函数()y g x =的定义域A 和B ，再求A B I ，则A B I 就是所求函数的定义域.

9、求实际问题中函数的定义域

不仅要考虑解析式有意义，还要保证满足实际意义. 三、函数的定义域的表示

函数的定义域必须用集合表示，不能用不等式表示.函数的定义域也可以用区间表示，因为区间实际上

是集合的一种特殊表示形式.

四、求函数的定义域常用的方法有直接法、求交法、抽象复合法和实际法.

五、函数的问题，必须遵循“定义域优先”的原则.

研究函数的问题，不管是具体的函数，还是抽象的函数，不管是简单的函数，还是复杂的函数，必须优先考虑函数的定义域.之所以要做到这一点，不仅是为了防止出现错误，有时还会为解题带来方便. 【方法讲评】

方法一直接法

使用情景函数的结构比较简单.

解题步骤直接列出不等式解答，不等式的解集就是函数的定义域.

【例1】求函数2

253

y x x

=+-的定义域.

【点评】对于类似例题的结构单一的函数，可以直接列出不等式再解答即得到函数的定义域.

【反馈检测1】求函数

2

1

x

y

x

+

=

+

.

方法二求交法

使用情景函数是由一些函数四则运算得到的，即函数的形式为()()()

f x

g x

h x

=+型.

解题步骤

一般先分别求函数()

g x和()

h x的定义域A和B,再求A B

I,A B

I就是函数()

f x的定义

域.

【例2】求函数2

25

y x

=-

3

log cos x的定义域.

【解析】由题得

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

∈

+

<

<

-

≤

≤

-

∴

⎩

⎨

⎧

>

≥

-

z

k

k

x

k

x

x

x

2

2

2

2

5

5

cos

252

π

π

π

π

∴}5

2

3

2

2

2

3

5

|

{≤

<

<

<

-

-

<

≤

-x

x

x

xπ

π

π

π或

或

所以函数的定义域为}5

2

3

2

2

2

3

5

|

{≤

<

<

<

-

-

<

≤

-x

x

x

xπ

π

π

π或

或

【点评】（1）求函数()()

y f x g x

=+的定义域，一般先求()

y f x

=和函数()

y g x

=的定义域A和B，再求A B

I，则A B

I就是所求函数的定义域.（2）该题中要考虑偶次方根的被开方数是非负数，对数函数的真数大于零，列不等式求函数的定义域时，必须考虑全面，不能漏掉限制条件.（3）解不等式cos0

x>时，主要是利用余弦函数的图像解答.（4）求

55

22

22

x

k x k k z

ππ

ππ

-≤≤

⎧

⎪

⎨

-<<+∈

⎪⎩

的解集时，只需给参数k赋几个整数值，再通过数轴求交集.（5）注意等号的问题，其中只要有一个错误，整个解集就是错误的，所以要仔细认真. 学科#网

【例3】求函数0

2

)2

3(

3

|3

|

)

lg(

-

+

-

+

-

=x

x

x

x

y的定义域.

【点评】（1）该题中要考虑真数大于零，分式的分母不能为零，零次幂的底数不能为零，考虑要全面，不要遗漏.（2）求不等式的交集一般通过数轴完成.

【例4】求函数log(1)(01)

x

a

y a a a

=->≠

且的定义域.

【解析】由题得0

101=

x x

a a a

->∴>

1

a>

当时，x>0;当0

1{

a

∴>

当时，函数的定义域为x|x>0},

1{

a<

当0<时，函数的定义域为x|x<0}.

【点评】（1）求含有参数的函数的定义域时，注意在适当的地方分类讨论.（2）对于指数函数和对数函数，如果已知条件中，没有给定底数a的取值范围，一般要分类讨论.

【反馈检测2】求函数

2

ln1)

23

x

y a

x x

=-+

--+

（的定义域.