高考数学(浙江版,理)课件：9.2 导数的应用

B. f(sin A)>f(cos B) D. f(sin A)<f(cos B)
答案 D 因为A,B为锐角三角形的内角,所以有0<A<2 ,0<B<2 ,0<π-A-B
< ,则有sin A,sin B,cos A,cos B∈(0,1), <A+B<π⇒0< -A<B< ,又y=cos
C.(-∞,0] D.(0,+∞)
答案 D 对函数f(x)=ex-x求导得f '(x)=ex-1,
由f '(x)>0得ex-1>0,即x>0.故选D. c
3.若f(x)= ln x ,e<a<b,则 ( )
x
A.f(a)>f(b) B.f(a)=f(b)
C.f(a)<f(b) D.f(a)f(b)>1
2.求函数f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点处的函数值f(a), f(b); (3)将函数f(x)的各极值与f(a), f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的 一个为最小值.
2-1 (2013浙江,21,15分)已知a∈R,函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax. (1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2, f(2))处的切线方程; (2)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值. 解析 (1)当a=1时, f '(x)=6x2-12x+6,所以f '(2)=6. 又因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x-8. (2)记g(a)为f(x)在闭区间[0,2|a|]上的最小值.
1.函数f(x)的定义域为R,导函数 f ‘(x)的图象如图所示,则函数f(x) ( )
A.无极大值点,有四个极小值点 B.有三个极大值点,两个极小值点 C.有两个极大值点,两个极小值点 D.有四个极大值点,无极小值点
答案 C 设f '(x)的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1、x
1.函数的单调性 对于在(a,b)内可导的函数f(x), f '(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0, 则
① f '(x)≥0 ⇒f(x)为增函数; ② f '(x)≤0 ⇒f(x)为减函数.
2.函数的极值
(1)设函数f(x)在点x0附近有定义,如果对x0附近的所有的点,都有f(x)<f(x0),
f
'(x)>0,
∴f(x)在 ,
1 3

上单调递增,在 13 ,1
上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.
∴f(x)的极大值为f 13
= 4 +t,极小值为f(1)=t.
27

∵f(x)=x3-2x2+x+t在R上有三个零点,∴
f

1 3

2、x3、x4, 当x<x1时, f '(x)>0, f(x)为增函数, 当x1<x<x2时, f '(x)<0, f(x)为减函数, 则x=x1为极大值点, 同理,x=x3为极大值点, x=x2,x=x4为极小值点,故选C.
2.函数f(x)=ex-x的单调递增区间是 ( ) A.(-∞,1] B.[1,+∞)
所以F(a)=f(0)=0.
综上,F(a)=10, a3a,13a.
1 3
,
1.求函数极值的步骤 (1)确定函数的定义域; (2)求方程f '(x)=0的根; (3)用方程f '(x)=0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间,并形成 表格; (4)由f '(x)=0根的两侧导数的符号来判断f '(x)在这个根处取极值的情况.

0,
所以实数t的取值范围为- 247<t<0.
f (1) 0,
解得-2 47 <t<0.
(2)因为f(x)=x3-3ax,所以f '(x)=3x2-3a.
①若a≤0,则f '(x)≥0,即f(x)在[0,1]上单调递增,所以F(a)=f(1)=1-3a.
②若a>0,由f '(x)=0知x=± a .f(0)=0, f(1)=1-3a.
>0,即a· 8 -3· 4
a3 a2
+1>0,解得a>2或a<-2,又因为a<0,故a的取值范围为(-∞,-2).选C.
(2)①f '(x)=3ax2+6x+3, f '(x)=0的判别式Δ=36(1-a). (2分)
(i)若a≥1,则f '(x)≥0,且当且仅当a=1,x=-1时f '(x)=0.故此时f(x)在R上是增
答案 A f '(x)=x2-8x+6,∴a1+a4 027=c8⇒a2 014=4⇒log2a2 014=2,选A.
5.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,若△ABC为锐角三角形,则下列 不等式一定成立的是 ( )
A. f(sin A)>f(cos A) C. f(cos A)<f(cos B)
若a<0,则当x∈(-∞,x1)或(x2,+∞)时, f '(x)<0,故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上是减
函数,
当x∈(x1,x2)时, f '(x)>0,故f(x)在(x1,x2)上是增函数. (6分) ②当a>0,x>0时, f '(x)=3ax2+6x+3>0,故当a>0时, f(x)在区间(1,2)上是增函

上单调递减.
所以g(x)max=g
4 9

= 32
243
,所以t≥ 32
243
,即实数t的取值范围是 23423
,


.
1-2 (2015浙江名校(衢州二中)交流卷自选模块(四),03(2))已知函数f(x)=
aln x-ax-3,a∈R,若函数f(x)的图象在点(2, f(2))处的切线的倾斜角为45°,
数. (9分)
当a<0时, f(x)在区间(1,2)上是增函数当且仅当f '(1)≥0且 f '(2)≥0,解得-5
4
≤a<0.
综上,a的取值范围是 54 ,0 ∪(0,+∞). (12分)
求函数单调区间的方法步骤 (1)确定函数f(x)的定义域; (2)求f '(x),令f '(x)=0,求出它在定义域内的一切实数根; (3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按 由小到大的顺序排列起来,然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干
2
2
2
2
x在区间 0, 2

上是单调递减的,所以1>cos 2
A

>cos
B>0⇒1>sin
A>cos
B>0,由f(x)的导函数图象可得到f(x)在区间(0,1)上是单调递减的,所以f(sin
A)<f(cos B),故选D.
6.函数f(x)= x3 +x2-3x-4在[0,2]上的最小值是
个小区间; (4)确定f '(x)在各个开区间内的符号,根据f '(x)的符号判定函数f(x)在每个 相应小开区间内的增减性.
1-1 (2015浙江台州高三调研,03(2))已知函数f(x)=x3-x2+tln x在(0,+∞)上
单调递增,求实数t的取值范围.
解析 因为f(x)=x3-x2+tln x在(0,+∞)上单调递增,
函数.
(ii)由于a≠0,故当a<1时, f '(x)=0有两个根:
x1= 1
1 a a
,x2= 1
1 a a
.
若0<a<1,则当x∈(-∞,x2)或x∈(x1,+∞)时, f '(x)>0,
故f(x)在(-∞,x2),(x1,+∞)上是增函数,
当x∈(x2,x1)时, f '(x)<0,故f(x)在(x2,x1)上是减函数;
.
3
答案 - 17
3
解析 f '(x)=x2+2x-3,当f '(x)=0,x∈[0,2]时,只有x=1.比较f(0)=-4, f(1)=1-7 , f
3
(2)=- 10 可知最小值为- 17 .
c
3
3
利用导数研究函数的单调性 典例1 (1)(2014课标Ⅰ,11,5分)已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的 零点x0,且x0>0,则a的取值范围是 ( ) A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1) (2)(2014大纲全国,21,12分)函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0). ①讨论f(x)的单调性; ②若f(x)在区间(1,2)是增函数,求a的取值范围. 答案 (1)C

上为减函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f(0)<0,即1<0,不成立.
当a<0时, a2 <0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在 ,
2 a

和(0,+∞)上为减函数,在
a2 ,
0

上为增函数,因为f(x)存在唯一零点x0,且x0>0,则f a2
则f(x0)是函数f(x)的一个③ 极大值
,记作y极大值=f(x0);如果对x0附近的所
有的点,都有f(x)>f(x0),则f(x0)是函数f(x)的一个④极小值
,记作y极小值=f
(x0).极大值与极小值统称为极值.
(2)判断f(x0)是极值的方法
一般地,当函数f(x)在x=x0处连续时,
(a)如果在x0附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,那么 f(x0)是极大值;
'(1) 0, '(2) 0,
m 5 0,
即2m 18
0,
解得- 37 <m<-9.
g '(3) 0, 3m 37 0,
3
利用导数研究函数的极值与最值
典例2 (1)(2015浙江六校联考,03(2))函数f(x)=x3-2x2+x+t在R上有三个零
点,求实数t的取值范围;
解析 (1)①当a=0时,显然f(x)有两个c零点,不符合题意.
②当a≠0时, f '(x)=3ax2-6x,令f '(x)=0,解得x1=0,x2=a2 .
当a>0时, a2 >0,所以函数f(x)=ax3-3x2+1在(-∞,0)与 a2 ,

上为增函数,在
0, a2
(i)若0<a≤1,
0
(0, a )
a
( a ,1)
1
f '(x)
-
0
+
f(x)
0
单调递减
极小值
单调递增
1-3a
所以F(a)=max{f(0),
f(1)}=
1
3a

0

a

1 3

,
0
1 3

a

1.
(ii)若a>1,则f(x)在[0,1]上单调递减,
对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2 f '(x)

m 2
在区间(t,3)上不是单调函
数,求m的取值范围.
解析 ∵f '(x)=a -a ,∴由f '(2)=-a =tan 45°,得a=-2,则f(x)=-2ln x+2x-3, f '(x)
x
2
=- 2 +2.
x
∴g(x)=x3+ m2
所以f '(x)=3x2-2x+t ≥0.
x
于是有t≥-3x3+2x2.
c
设g(x)=-3x3+2x2(x>0),
则g'(x)=-9x2+4x=-9x x
4 9

,
由g'(x)>0得0<x<4 ,由g'(x)<0得x>4 ,
9
9
故g(x)在 0, 94

上单调递增,在 94 ,
(2)设函数f(x)=x(x2-3a),求f(x)在[0,1]上的最大值F(a).
解析 (1)∵f(x)=x3-2x2+x+t,∴f '(x)=3x2-4x+1.
令f '(x)=3x2-4x+1=0,解得x=1或x=1 .
3
当x< 1 时,
3
f
'(x)>0;当1 <x<1时,
3
f
'(x)<c0;当x>1时,
(b)如果在x0附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0,那么 f(x0)是极小值.
3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值; (2)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,先求f(x)在(a,b)内的极值;再将f (x)的各极值与f(a)、 f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最 小值.
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
x2-2x,则g'(x)=3x2+(m+4)x-2.
∵g(x)在区间(t,3)上不是单调函数,t∈[1,2],∴g'(x)在区间(t,3)上的值有正
有负.
又g‘(x)的图象是开口向上的抛物线,且g’(0)=-2,∴
g g
'(t) '(3)
0, 0.
g
由题意知,对于任意t∈[1,2],g'(t)<0恒成立,所以g
答案 A f '(x)=1 ln x ,当x>e时, f '(x)<0,则f(x)在(e,+∞)上为减函数,∴f
x2
(a)>f(b).故选A.
c
4.等差数列{an}中的a1、a4 027是函数f(x)= 13 x3-4x2+6x-1的极值点,则log2a2 014
= ( ) A.2 B.3 C.4 D.5