菲涅耳公式与薄膜光学
1光学薄膜特性计算
各向同性、均匀介质物质方程： D =ε E B =μ H j = σE
D JD t
不导电的均匀介质：
0
可得电磁波在介质中的波动方程
2 2 E 1 E 2 E 2 2 t v 2t 2 2 H 1 H 2 H 2 2 2 t v t
n ( E2 E1 ) 0 n ( H 2 H1 ) n ( D2 D1 ) n ( B2 B1 ) 0
D E B H j E
麦克斯韦方程组
E——电场强度
D——电位移矢量 H——磁场强度 B——磁感应强度 μ——磁导率
j——电流密度矢量
薄膜与基板组合的等效光学导纳Y与介质薄膜及基底结构参 数之间的定量关系分析 等效界面两侧：
H2 Y (k E2 )
H2 H0 ,
E2 E0
（电磁场的边界条件）
H0 Y (k E0 )
E0 E0 E0 E11 E11
H0 H0 H0 1E11 1E11
有 故得
Ei Er Et
Y0 Ei Y0 Er Y1Et
Er Y0 Y1 N 0 N1 r Ei Y0 Y1 N 0 N1
Et 2Y0 2 N0 t Ei Y0 Y1 N0 N1
振幅反射系数
Er Y0 Y1 N 0 N1 r Ei Y0 Y1 N 0 N1
菲涅尔公式
斜入射
引进有效导纳 ，用0和 1代替 N 0和
N1
H t
S0 Et
S0 Et
Fresnel(菲涅尔)公式
d=z=
2π
λ0
n12 sin2 i1 − n22 ；(3)波矢常数： k2 sin i2 > k2 。
应用：近场光学
15
1.3 反射率和透射率
W1
=
I1σ
cos i1
=
n1 2
ε0 μ0
A1 2 cos i1
W1′ =
I1′σ
cos i1
=
n1 2
ε0 μ0
A1′ 2 cos i1
W2
=
I2σ
cos i2
2.4
2.2
n =1.33 1
n =1
2.0
2
r
r
s
p
1.8
t
t
s
p
1.6
1.4
1.2
i
c
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
i
B
0.0
-0.2 0
10
20
30
40
50
60
i
1
12
全内反射的应用： 1、导波光学 Waveguide / Optical fiber
n 1
n <n , n <n 12 32
n 2
1
Stocks 公式：
A
Ar
Att'
Ar
Arr
Art
At
Atr'
At
Arr + Att′ = A 可知： Art + Atr′ = 0
r2 + tt′ = 1 r + r′ = 0
2
1.2 振幅反射(透射)比 相位跃变(相移) 1、透射比与相位跃变
Fresnel(菲涅尔)公式
=
n22 cos i1 − in1 n22 cos i1 + in1
n12 sin2 i1 − n22 n12 sin2 i1 − n22
= exp
−iδ p
结论： rs = rp = 1 表示反射比为 1，光能量完全反射回介质 1，因此称作全内反射。
11
Phase Shift r,r ,t,t
s psp
i <i
1B
i
n
1
1
n 2
n 3
n <n <n 123
i >i
1B
i
n
1
1
n 2
n 3
n >n >n 123
i >i
1B
10
3、全反射现象
在 内 反 射 情 况 下 ( 即 n1 > n2 ) ， 根 据 折 射 定 律 n1 sin i1 = n2 sin i2 ，存在
ic
=
arcsin
n2 n1
-0.6
-0.8
-1.0 0
30
60
90
i
1
光密→光疏
2.8
2.6
2.4
2.2
n =1.33 1
n =1
2.0
2
r
r
s
p
1.8
t
t
s
p
1.6
1.4
1.2
i
c
1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
i
B
0.0
-0.2 0
10
20
30
40
50
60
i
一、 菲涅耳公式(Fresnel formula)
1
4
紫光的散射强度大约是红光的10倍。
4． 偏振性
O z
y p B’
y D A’ B
AP z
x
D’ 实验 自然光入射到散射物质中，观察到：
正侧方（z）线偏振 斜方向（C）部分偏振 对着x方向（x）自然光
解释 用电偶极子次级辐射可解释 实验现象
分解成 +
被微粒散射时，各方向上的振幅可看成以上 两个分振动的合成。 退偏振 线偏振光照射某些气体或液体，从侧向 观察时，散射光变成部分偏振的，称为退偏 振。其机理是介质分子本身是各向异性的。
2．正交棱镜法
研究色散，目的是寻找 n f ( )的函数形式。 正交棱镜装置
三棱镜P1→AH（光谱） P1 P2→A’H’（光谱） n f ( ) ——弯曲光谱的形状。
3．正常色散与反常色散（Normal dispersion and abnormal dispersion）
正常色散曲线的信息
dut余虹一菲涅耳公式fresnelformula第三章光通过各向同性介质及其界面所发生的现象1光在各向同性介质界面上的反射和折射布儒斯特角线偏振光四用反射和折射法获得偏振光布儒斯特定律玻璃片堆要提高反射线偏振光的强度可利用玻璃片堆的多次反射
第三章光通过各向同性介质及其界面所发生的现象 §1 光在各向同性介质界面上的反射和折射 一、 菲涅耳公式（Fresnel formula）
dI Idx dI a Idx I dI d I I 0 a dx a 为吸收系数 I I 0 e a d ，
0
d
a AC ，式中A是一个与浓度无关 稀溶液：
的常量，C为溶液的浓度。
§ 3 光的色散（Dispersion of Light） 1．色散的特点
Fresnel(菲涅尔)公式
i1
−1
−
ωt
⎞⎤ ⎟⎟⎠⎥⎦⎥
=
exp
⎛ ⎜⎜⎝
∓k2
z
n12 n22
sin2
i1
⎞ − 1 ⎟⎟⎠
⋅ exp
⎡⎣i
( k2 x
sin
i2
−
ωt
)⎤⎦
因此，透射场具有如下形式：
⎛
( ) E 2
S P
(r, t )
=
( ) A 2
S P
exp
⎡⎣i
(k2
⋅r
−ωt )⎤⎦
=
( ) A 2
S P
exp ⎜⎜⎝
在全反射情况下的相移为：
δs = 2 arctan
n12 sin2 i1 − n22 n1 cos i1
δ p = 2 arctan n1
n12 sin2 i1 − n22 n22 cos i1
180
150
n =1.33 1
120
n =1 2
δ
s
δ
90
p
60
30
0
i
B
i
c
0
30
60
90
i
1
2.8
2.6
2、介于垂直入射和掠入射之间时，入射光线与反射光线之间有一定的夹角，很难判定反射光线 p 分
量的振动方向是否与入射光线 p 分量振动方向一致或者相反。
8
(3) 平行平面薄膜(适合于小角度入射情况)： 折射率中间大、二侧小
折射率中间小、二侧大
i
n
1
1
n 2
n 3
n <n 12
n <n 32
菲涅耳公式——精选推荐
§1-6 菲涅耳公式一．菲涅耳公式电磁波通过不同介质的分界面时会发生反射和折射，在电动力学中将讲到入射、反射和折射三束波在分界面上振幅的大小和方向之间的关系，这一关系可由菲涅耳公式表达出来，上节提到的在反射过程中发生的半波损失问题，就可以用这个公式来解释，这一公式对以后讲到的许多光学现象，都能圆满地加以说明。
菲涅耳公式的内容说明如下：在任何时刻，我们都可以把入射波、反射波和折射波的电矢量分成两个分量，一个平行于入射面，另一个垂直于入射面。
有关各量的平等分量与垂直分量依次用指标P 和S 来表示。
以1i 、'1i 和2i 分别表示入射角、反射角和折射角，它们确定了各波的传播方向（在大多数情况下，只要注意各波的磁场矢量即可，因为知道了各个波的传播方向，各波的磁场矢量就可按右螺旋关系确定）。
以1A 、'1A 和2A 来依次表示入射波、反射波和折射波的电矢量的振幅，它们的分量相应就是1P A 、1'P A 、2P A 和1s A 、1's A 、2s A 。
由于三个波的传播方向各不相同，必须分别规定各分量的某一个方向作为正方向，这种规定当然是任意的。
但是只要在一个问题材的全部讨论过程中始终采取同一种正方向的选择，由此得到的各个关系式就具有普遍的意义，(a)(b)(图1-16)图1-16中xy 平面为两介质的分界面，z 轴为法线方向，xz 平面为入射面，规定电矢量的s 分量以沿着y +方向的为正，这对于入射、反射和折射三个波都相同，图中III II I 、、三个面依次表示入射、反射和折射三个波的波面。
电矢量的P 分量沿着这三个波面与入射面的交线，它们的正方向分别规定为如图1-16)()(b a 、所示，且S 分量、P 分量和传播方向三者构成右螺旋关系。
在传播过程中，电矢量的方向是在不断变化的，我们所注意的仅是在反射、折射过程这一瞬时的变化，所以菲涅耳公式所表示的有关各量的方向都是指紧靠两介质分界面O 点处而言的（在图中为清楚起见，将通过O 点的三个波面画III II I 、、画在离开O 点较远之处）。
菲涅尔方程式
菲涅尔方程式
菲涅耳方程式（Fresnel Equations）是用来描述光在两种介质界面上反射和透射的现象和规律的方程式。
它由奥古斯汀·菲涅耳（Augustin-Jean Fresnel）在19世纪提出，并成为光学领域中的重要理论工具。
菲涅耳方程式分为反射方程和透射方程，分别描述了光在界面上的反射和折射（透射）行为。
这些方程式基于电磁波的传播和边界条件，可以通过麦克斯韦方程和边界条件进行推导。
反射方程描述了入射光波在介质界面上的反射行为。
对于垂直入射的光，反射系数（反射光强与入射光强之比）可以通过下述菲涅耳反射方程计算：
r = (n1 - n2) / (n1 + n2)
其中，n1和n2分别是两种介质的折射率，r是反射系数。
透射方程描述了入射光波通过介质界面的折射行为。
同样对于垂直入射的光，透射系数（透射光强与入射光强之比）可以通过下述菲涅耳透射方程计算：
t = 2n1 / (n1 + n2)
其中，n1和n2分别是两种介质的折射率，t是透射系数。
需要注意的是，菲涅耳方程式仅适用于垂直入射的光，并且忽略了光在界面上的散射和吸收行为。
在实际应用中，还需要考虑光的入射角度、极化状态和表面特性等因素，并结合其他衍射、干涉等现象来对界面上的光行为进行更全面的描述。
菲涅耳方程式在材料科学、光学器件设计和表面反射控制等领域中具有广泛的应用，并能解释和预测光在界面上的反射和透射现象。
菲尼尔公式
菲涅尔公式是描述光在两种介质交界面上反射和折射现象的一组公式，由法国物理学家菲涅尔在19世纪提出。
该公式包含了入射光线的角度、两种介质的折射率以及反射和折射光线的角度等因素。
菲涅尔公式可以用来计算反射和透射光线的强度和相对方向，是光学研究中非常重要的工具。
它的表达式形式较为复杂，包括两个方程式：一个是描述垂直入射光线的情况，另一个是描述斜入射光线的情况。
具体表达式如下：
垂直入射光线：
反射系数R = ((n1-n2)/(n1+n2))²
透射系数T = 1-R
斜入射光线：
反射系数R = ((n1cosθ1 - n2cosθ2)/(n1cosθ1 + n2cosθ2))²
透射系数T = 1-R
其中，n1和n2表示两种介质的折射率，θ1和θ2表示入射光线和反射/折射光线的夹角（取决于光线从哪种介质入射），cos表示夹角的余弦值。
- 1 -。
光学薄膜基础理论
n0 cos1 N1 cos0 n0 cos1 N1 cos0
可见rs、rp都是复数，rs rs eis 和rp rp ei p的
辐角是反射的位相变化，反射率由模的平方确定
波长为 546nm的 光入射到金 属Ag和Cu 上的情形
第二种介质为吸收时的情况
不管入射角如何，反射光的位相变化不 再是00或1800而是它们中间的某一角度, 同时s—分量和P—分量之间有一个不为0的 相对位相差, 因而当入射光为线偏振光在吸 收介质上反射后通常成为椭圆偏振光， 正 是基于这种认识，利用反射光的椭圆偏振 测量就可确定吸收介质的光学常数。
η2/Y。由于λ/2和λ/4的光学厚度的膜层组成的膜系比较简
单，所以膜系设计常常用指定波长1/4的倍数来表示，一般
只用两种或三种不同的膜料构造膜系， λ/4光学厚度的常用
缩写符号是H、M、L分别表示高、中、低折射率。
λ/2和λ/4的光学厚度
当膜层的光学厚度为λ/2时
cos
i sin
i
sin cos
sin0
ik1
可 见1为 复 数， 除0 1 0时 ，1不 再 为折 射 角 ；
当0
1
0时 ，rp
rs
n0 n1 ik1 n0 n1 ik
第二种介质为吸收时的情况
当0 0时情况要复杂的多
rs
rs
eis
n0 cos0 n0 cos0
N1 cos1 N1 cos1
rp
rp
ei p
负向行进的波位相因子应乘以ei
单层膜的反射
在膜层内E和H在边界a上的值为：
E1a
E1bei ,即k
E1a
1 2
Hb
1
光在介质膜界面的反射率
光在介质膜界面的反射率一、光垂直入射介质界面时的反射率光在介质界面反射、折射时的菲涅耳公式为:式中r s 、r p 分别为s分量、p分量振幅反射系数, t s 、t p 分别为s分量、p分量振幅透射系数.二、单层膜的反射率首先计算单层膜反射率的多光束干涉形式. 也就是说, 上述计算单层薄膜反射率的双光束干涉形式仅是近似的处理方法.如图, 假定在折射率为n 2 的光学基板上有一层厚度均匀的薄膜, 膜折射率为n 1 , 膜的几何厚度为d 1 , 入射介质的折射率为n 0 , 当光束照射到薄膜上表面时, 光束在薄膜两表面上要多次反射, 因而产生一组反射光束1, 2, 3,……, 和一组透射1’,2’,3’,……，如果入射光的振幅为E 0 , 则各反射光束的振幅为这里的分别表示在两个界面上的反射系数和透射系数(图2).由斯托克斯定律可知, .式(1)中的为膜的位相厚度,即两相邻光束间的位相差为.反射光的合振幅E R 为于是我们得到单层膜的反射系数为从上式可见, 单层膜的反射系数是一个复数,故上式可写成上式中可通过菲涅尔公式求得为膜的位相厚度. 为反射光相移,表示反射光波的位相落后于入射光波的值.单层膜的反射率R 为从上面的结果我们可以看出,单层膜的两个界面可以用一个等效界面来代替.如图3所示,膜的折射率为nk,入射介质的折射率为nk-1,出射介质(或基板玻璃)的折射率为nk+1,膜的位相厚度是k,设单层膜上界面的反射系数为rk,下界面的反射系数为rk+1,于是这个单层膜的等效界面的反射系数为,综上求得:三、多层膜的反射率经过这样处理和理解以后, 我们可以将单层膜的反射率计算推广应用到多层膜场合. 首先从与基片相邻的底层膜开始, 将底层膜的两个界面等效成一个界面, 然后再将这个等效界面与上一个界面等效为一个界面, 依次往上递推到膜系的顶层的第一个界面, 如图由之前的结果可知：根据折射定律, 有因此可以得到各层膜中光的入射和折射角i对各层膜有，根据菲涅尔公式计算出各层的菲涅尔系数，对p分量，对s分量最后求出反射率四、增透膜，增反膜为了减少光在光学元件表面上的反射损失,可利用薄膜上、下表面反射光的相消干涉来减少反射光. 因此常在光学元件的表面镀制介质薄膜———增透膜.为了提高反射率, 常在玻璃上镀制增反膜, 增反膜的折射率比玻璃的高, 称为高膜。
光学薄膜技术-02光学特性(3)
E0 E11, E0 E11 E0 E0 E0 E11 E11 E11
H 0
H
0
H
0
H11
H11
H11
于是，可得：k0
E0
k0
( E11
E11 )
H 0 (H11 1 (k0 E11) 1(k0 E11) 1(k0 E11 k0 E11)
（2）在界面1，2的内侧，不同纵坐标、相同横坐标的两点，只要改变波的位相因子，
a）
b)
当膜的光学厚度取 0 4 的偶数倍时，反射率也是极 值，且视它们的折射率而定， 只是情况恰巧相反，如图所 4示。
图4 单层介质膜的反射率随其光学厚度的变化关系，其
中n0=1,n2=1.5,膜的折射率为n1，入射角 0 0。
20
单层介质膜的光学特性
注意：
（1）因为R是 的函数，所以，这里所说的“极值”、“虚
系和基底的参数N1 、 N2、d1等有关)；
➢基于等效界面思想，建立 E0与E2 '、H0与H2的' 联系，又有等效介 质的等效光学导纳Y和介质2的光学导纳的定义式，最终建立Y与 膜系和基底的参数的关系。
9
等效介质的等效光学导纳
（1）用E和H的切 向分量在界面两侧连 续的 边界条件写出在界面1上：
'
2
E0 ,将其带入上式可得：H 0
Y (k0 E0 )；
将H
2
和H
0带入（4）的矩阵k
0 H
E0
0
c os 1
i1 sin 1
i
1 c
sin 1 os1
k
0
H
E2
2
，即可得
Y
菲涅耳公式汇总.
根据电磁场边界条件，得
cos i1 E2 cos i2 E1 cos i1 E1
H2 H1 H1
n2 E2 n1E1 n1E1
E1(n2 cos i1 n1 cos i2 ) E1 (n2 cos i1 n1 cos i2 ) 0
P光的振幅反射系数（reflectionion cofficient）
O
Y
i2
H2
1s 2 s 1s 2 s
s 光反射与折射时的电磁矢量
S光的等效折射率 s n cos i S光的振幅透射系数（transmission cofficient）
E2 2n1 cos i1 ts E1 n1 cos i1 n2 cos i2
菲涅耳公式
第五章 菲涅耳公式 与薄膜光学
一、菲涅耳公式（Fresnel formula） 电磁场边界条件：
（1）电场强度E 在界面上的平行分量连续。
（2）若界面上没有表面电流，即电流密度 j0 =0 ，磁场强度H 在界面上的平行 分量连续。 （3）磁感应强度B 在界面上的垂直分量连续。 （4）若界面上没有表面电荷，即电荷密度 ρ0 =0 ，电位移矢量D 在界面上的垂 直分量连续。
q
解： tg i 1= 1.33 1 tg i 2= 1.50 1.33
i1
i 1= 53.60 i 2= 48.440
n 1=1
r
n =1.33
2
i2
q
r = 900 i 1 = 36.940
因为三角形内角之和为 1800 ∴ q + ( 900+ r )+ ( 900 i 2 ) =1800
n 3 =1.50
第三章 薄膜光学基础理论1
S
D ds d
S
B ds 0
B ds L E dl t S D j ds L H dl t S
波动方程的解
麦克斯韦方程的微分形式：
(1) (2) (3) (4)
对4式两端对时间求导数，则
N 2 H =i E (13) 2 c
(15)
H z H y ( H ) x = y z 2 N 2 N = i s0 y H z i s0 z H y
2 N = i (S0 H ) x
2 N (S0 H ) y
N 2 将(13)式 H =i E 代入(16)式， 2 c
i t 2 nx
说明在导电介质（ 0，因而k 0）是一个衰减波， 消光系数k 是介质吸收电磁波能量的度量。 时，振幅衰减到原来的1 e 2 k 【介质内产生的电流将波的能量转换为热能】 当x =
光学导纳
对 E E0 e
2 kx
e
i t 2 nx
S EH
E E0e
H H 0e
i t x
= E eit x E eit
0 0
i t
:电振动的初相；实数部分 E E0 cos(t ) : 磁振动的初相；实数部分 H H 0 cos(t )
坡印廷矢量：
瞬时值忽大忽小 一个周期的平均值是定值 定义坡印廷矢量的平均值为光强度I
1 T I E0 H 0 cos(t ) cos(t ) d t T 0 1 = E0 H 0 cos( ) 2 ( EH * )的实数部分为 Re( EH * )= Re E0 eit H 0 e it E0 H 0 cos( ) I 1 Re( EH * ) 2
菲涅尔公式工程光学
实验名称 菲涅尔公式的认识一、实验目的:加深理解菲涅尔公式，对给出的反射波或折射波与入射波振幅的相对变化进行分析，以及对相位变化进行分析。
二、实验原理:任一方位振动的光矢量E 都可以分解成互相垂直的两个分量称平行于入射面振动的分量为光矢量的p 分量，记为EP 。
称垂直于入射面振动的分量为光矢量的s 分量，记为ES 。
1.菲涅耳公式:表示反射波、折射波与入射波的振幅和位相关系。
（1）S 波（垂直于入射面分量）的菲涅耳公式s r ——S 波的振幅反射系数 s t ——S 波的振幅透射系数（2）P 波（平行于入射面分量）的菲涅耳公式p r ——P 波的振幅反射系数 p t ——P 波的振幅透射系数2.光从光疏介质入射到光密介质（如空气射向玻璃）当 时，即垂直入射时， 都不为零，表示存在反射波和折射波。
当 时，即掠入射时， 即没有折射光波。
s t 、p t 随1θ的增大而减小；s r 随1θ的增大而增大，直到等于1；221122112121s 1s 1s n n n n A A r θθθθθθθθcos cos cos cos )sin()sin('+-=+--==2211112121s 1s 2s n n n 22A A t θθθθθθθcos cos cos )sin(sin cos +=+==211221122121p 1p1p n n n n tg tg A A r θθθθθθθθcos cos cos cos )()('+-=+-==211211212112p1p 2p n n n 22A A t θθθθθθθθθcos cos cos )cos()sin(cos sin +=-+==p s p s t t r r 、、、01=θ901=θ0t t 1r r p s p s ====,p r 值在() 902B B 1=+=θθθθ时，有0r p =，即反射光波中没有p 波，只有s 波，产生全偏振现象。
菲涅耳公式与薄膜光学
n1 n1
/ /
cos i1 cos i1
0.0085 0.85%
Rs1
rs21
n0 n0
cos i0 cos i0
n1 n1
cos i1 cos i1
2
0.092
9.2%
玻璃-水界面上的反射率为
Rp2
rp22
n1 n1
/ cos i1 / cos i1
X
H2
s 光反射与折射时的电磁矢量
S光的等效折射率 s n cosi
S光的振幅透射系数（transmission cofficient）
ts
E2 E1
2n1 cos i1 n1 cos i1 n2 cos i2
菲涅耳公式
rp
tg(i2 tg(i2
i1) i1)
tp
sin(
optical waveguide）中的光波耦合问题， 必需研究光子隧穿效应；
光子显微镜利用光子隧穿效应来研究 表面物理现象。
例题： 一方形玻璃缸（n1=1.5)中盛有水 （n2=1.3)的水，问自然光以45°入射时，能 透入水中的光强为入射光强的百分之几？
解： 由折射定律得玻璃中的折射角
i1
arcsin
临界角（critical angle） ic arcsin n2 / n1
布氏角（Brewster angle） iB arctgn2 / n1 iB iC 当入射角从零逐渐增大时，P光
的反射率先在布氏角处降低到零，再到临 界角处上升到100%
例：若入射光是振动面平行入射面的
薄膜光学习题与解答
二、证明：1.光学厚度为入M2的膜层，在其中心波长处为虚设层。
2.证明：在边界处E与H的切向分量连续。
3.试证明所谓的薄膜系统的不变性：即当薄膜系统的所有折射率都乘以一个相同的常数，或用它们的倒数替代时，膜系的反射率和透过率没有任何变化。
三、设计问题：1.分析并设计一个应用于太阳能集热器的膜系，注意阳光的色温为5800K,黑体辐射为750Ko（查找资料获得阳光辐射曲线和照体辐射曲线，利用TFCalc设计膜系）。
2.计算一个简单周期规整膜系A|（LH）6 7 8|S的截止波长位置、带宽、截止深度及其在截止波长处的反射率（H:T6 n=2.3； L:SiO2, n=1.45； A:空气，S:K9）。
3.设计一款宽带高反射膜，H:T I O2, n=2.3： L:S I O2, n=1.45,需要考虑那些主要问题？4.设计一个覆盖可见光波段的宽带全介质高反射膜，叙述其设计思想与设计步骤。
5.设计一个可见光区的减反射膜，要求如下：波长区间400〜700nm,平均反射率＜0.4%,最人反射率＜0.6%。
10•请设计棱镜分色系统所需要的所有膜系6 设计一个可见光区的高反射膜，要求如下：波长区间400〜700nm,平均反射率＞99%,最小反射率＞98%。
7 在空气中自然光入射到金属材料铝和银时，用TFCale软件分析两种材料反射光偏振效应最大值出现的角度与数值的步骤。
（入=500nm, Al： 0.64-/5.50, Ag： 0.050-/2.87）8 请设计CCD使用的IR-CUT膜系9.请设计冷光镜11.设计投影机用X棱镜中的两个膜系12.设计泰曼干涉仪的金属（A1）分光镜（光源为He-Ne激光），要求到达接收平面的干涉图对比度最好。
13.试在玻璃基底（n=1.52）上设计一诱导透射滤光片，中心波长为500nin,要求峰值透过率大于70%,在400mii〜1500nm的波长范围内背景透过率小于0.1%,整个多层膜与合适的吸收玻璃胶合。
菲涅尔公式教学
该公式由法国物理学 家奥古斯丁·菲涅尔 在19世纪初提出， 是光学领域的基础理 论之一。
背景
STEP 4
定义
公式重要性及应用领域
菲涅尔公式是理解光的传播、反射、折射等现 象的关键，对于光学设计、光电子器件、光通 信等领域具有重要意义。
重要性 广泛应用于光学薄膜设计、偏振光学、光纤通 信、激光技术、光学仪器制造等领域。
当光线从一个介质射向另一个介质时，在两 种介质的分界面上，光线会部分或全部返回 到原介质中的现象。
反射定律
反射光线、入射光线和法线在同一平面内； 反射光线与入射光线分别位于法线两侧；反 射角等于入射角。
镜面反射与漫反射
镜面反射是指反射光线平行，形成清晰像； 漫反射是指反射光线不平行，形成模糊像。
折射现象及定律
菲涅尔公式教学
目录
菲涅尔公式简介 反射与折射基本概念 菲涅尔公式推导过程 菲涅尔公式中参数解析 菲涅尔公式应用实例分析 实验验证与误差分析 课程总结与回顾
ONE
1
菲涅尔公式简介
定义与背景
STEP 1
STEP 2
STEP 3
菲涅尔公式（ Fresnel Equations）描述 了光在两种不同介质 之间的反射和折射行 为，特别是与光的偏 振状态有关的现象。
03
参数间的综合影响
菲涅尔公式中的参数（入射角、折射角和折射率）相互关联，共同 决定了光在不同介质间的行为。通过对这些参数的精确测量和计算 ，可以准确预测光在不同条件下的反射、折射和透射等现象，为光 学设计和应用提供重要依据。
ONE
5
菲涅尔公式应用实例分析
光学薄膜设计中的应 用
增反膜设计
与增透膜相反，通过调整薄膜参数，使得特 定波长的光在薄膜表面发生强烈反射，用于 制作反射镜、滤光片等光学元件。
光学薄膜反射率的计算
光的能流反射率 R =
W1′ W1
、 透射率 T =
W2 W1
分别指
的是反射光 、 折射光相对入射光能量流之比 . 由于 入射光和反射光是在同一种介质中传播 , 设 S1 和
S1分别为入射和反射光束的横截面积 ′ , 光在反射
时 , 光束横截面积不变 , S1 = S1′ , 以 A1 、 A1′ 表示入射 光、 反射光的振幅 , 自然光入射时 , A1 s = A1 p , 因此 ,
2. 3% , 都比不镀膜时降低较多 , 但可见光范围内的
′ 2 ′ 2
为薄膜上 、 下 表 面 的 振 幅 反 射 率 的 绝 对 值 , t1 =
2 n0 2n ,1 t′ = 分别为光在薄膜上表面由外向内 n0 + n n + n0
和由内向外折射的振幅透射率 . 欲使 A1′ = A2′ , 即使 r1 = t1 r2 1 t′ ,有
U =
2
∑
k
U k = A1
r 1 + r 2 e
φ i φ i ,
2
1 + r1 r2 e
3
k = 1, 2, 3, …
2
反射光强为 : I′ = U ・U
2
×
n - ng n + ng
A1 = ( 12 )
为了减少光在光学元件表面上的反射损失 , 可 利用薄膜上 、 下表面反射光的相消干涉来减少反射 光 . 因此常在光学元件的表面镀制介质薄膜 — — — 增 透膜 . 图 1 所示为单层增透膜 . 图 1 中 n 为介质薄膜 的折射率 , 要使薄膜完全透明 (即 R = 0 ) , 薄膜须满 足一定的厚度条件和折射率条件 , 即使经薄膜上 、 下表面的反射光的振幅相等 、 相位相反 , 使二者在 膜上空间相干叠加时的合振幅接近于零 , 从而实现 完全干涉相消 . 设入射光的振幅为 A1 , 上表面的反 射光线 1 的振幅 A1′ = r1 A1 , 经下表面反射的光线 2
菲涅尔方程式
菲涅尔方程式
摘要：
1.菲涅尔方程式简介
2.菲涅尔方程式推导过程
3.菲涅尔方程式在物理中的应用
4.菲涅尔方程式的重要性和意义
正文：
菲涅尔方程式是描述光在物质中传播的一个基本方程。
它描述了光在物质中的吸收和散射现象，是研究光学现象的重要工具。
菲涅尔方程式可以推导出来。
首先，我们需要知道物质的线性吸收系数α和散射系数σ。
然后，我们可以得到物质的复折射率n，它由n = 1 + (k - 1)/2 * (α + iσ)^2求得。
其中k是物质的阶数，对于第一阶物质，k = 2。
最后，我们可以得到菲涅尔方程式：P = (1 - R) * I = (1 - e^(-2 * α * L)) * I，其中P是透射光强，R是反射光强，I是入射光强，L是光在物质中的传播距离，e是自然对数的底数。
菲涅尔方程式在物理中有广泛的应用。
例如，它可以用来解释光在空气和玻璃中的传播，也可以用来研究光在生物组织中的传播。
通过菲涅尔方程式，我们可以了解光的吸收和散射对光传播的影响，从而更好地理解和利用光。
菲涅尔方程式在光学研究中具有重要意义。
它提供了一个理论框架，可以帮助我们理解光在物质中的传播规律。
同时，菲涅尔方程式也为光学技术的应用提供了理论支持，如光学通信、光学成像和光学传感等。
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1 上无反射，试问 n3 为多少时，在界面 2
上也无反射？
解：界面 1 无反射 tg io = n2 /n1
io + = 90o
界面 2 也无反射
界面 1 界面 2
io
n1
n2
n3
n3 /n2 = tg = tg (90o － io)= ctg io= n1/n2
故：n3 = n1
例题：如图所示，一块折射率n =1.50
X
H2
s 光反射与折射时的电磁矢量
S光的等效折射率 s n cosi
S光的振幅透射系数（transmission cofficient）
ts
E2 E1
2n1 cos i1 n1 cos i1 n2 cos i2
菲涅耳公式
rp
tg(i2 tg(i2
i1) i1)
tp
sin(
E1 cosi1 E1 cosi1 E2 cosi2 H1 H1 H2 n1E1 n1E1 n2E2
E1(n2 cosi1 n1 cosi2) E1(n2 cosi1 n1 cosi2) 0
P光的振幅反射系数（reflectionion cofficient）
2sin i2 cos i1 i1 i2 ) cos(i1
i2 )
rs
sin( i2 sin( i2
i1) i1)
ts
2 sin sin(
i2 cos i1 i1 i2 )
二、对菲涅耳公式进行讨论
（1）布儒斯特定律
当 i2 i1 / 2 时， tg(i2 i1)
Z
tp
E2 E1
2n1 cos i1 n1 cos i2 n2 cos i1
S光的振幅反射系数为
rs
E1 E1
n1 n1
cos i1 cos i1
n2 n2
cos i2 cos i2
1s 2s 1s 2s
.E1
E1.´
n1 H1 i1 i1
H1 ´
n2
O
Y
. i2 E2
菲涅耳公式 与薄膜光学
一、菲涅耳公式（Fresnel formula）
电磁场边界条件：
（1）电场强度E 在界面上的平行分量连续。
（2）若界面上没有表面电流，即电流密度
j0 =0 ，磁场强度H 在界面上的平行
分量连续。
（3）磁感应强度B 在界面上的垂直分量连续。
（4）若界面上没有表面电荷，即电荷密度
ρ0 =0 ，电位移矢量D 在界面上的垂
直分量连续。
当一束自然光照射到两种介质的界 面上时，可分解为光矢量在入射面内的偏 振光（P光）和光矢量与入射面垂直的偏 振光（S光）。
Et1 Et2 , Ht1 Ht2
Dn1 Dn2 , Bn1 Bn2
在入射介质中
Et1 E1 cos i1 E1 cos i1 Ht1 H1 H1
的平面玻璃浸在水中，已知一束光入射到水 面上时反射光是完全偏振光，若要使玻璃表 面的反射光也是完全偏振光，则玻璃表面与
水平面的夹角q 应是多大?
q
（2）斯托克斯定律
1 rp2 t ptp
1 rs2 tsts
（3）反射光的相位关系
tp
2sin i2 cos i1 sin( i1 i2 ) cos(i1 i2 )
rp 0
当 n1 n2 , i1 i2 时
rp 0
rs 0 rs 0
接近正入射(i1 < iB )
S .P
n1 > n2
S. P
rs 0 rp 0
无相位突变
S .P P S rs 0
n1 < n2
rp 0
有相位突变
接近掠入射(i1 > iB )
rs 0
.P
P
rp 0
.
S
S
无相位突变
rs 0
.P
S rp 0
S
P
有相位突变
半波损失产生的条件 当光从光疏介质向光密介质入射时，反
射光相位发生变化。但只有入射角接近0°或 90°，即垂直入射或掠射时，反射光相位发 生π的突变。
薄膜干涉中额外程差产生的条件 当光在薄膜两界面上反射时，由于两界
P光的反射系数
rp
tg(i2 tg(i2
i1) i1)
0
[例]
玻璃对空气的折射率为：n
tg i 0= 1.50 ... i 0= 560
21
=1.50
利用玻璃堆获得偏振光 自然光
入射 . . .. . .. . . .. . . .. . . . . . .
. .
线偏振光
外腔式激光器之布儒斯特窗
ts
2sin i2 cos i1 sin( i1 i2 )
0i /2
tp 0 ts 0
rp
tg(i2 tg(i2
i1) i1)
rs
sin( i2 sin( i2
i1) i1)
rs rp可正可负。振幅的正负号改变， 即相位改变π。（半波损失）
讨论：
A i1 iB
临界角（critical angle） ic arcsin n2 / n1
布氏角（Brewster angle） iB arctgn2 / n1 iB iC 当入射角从零逐渐增大时，P光
的反射率先在布氏角处降低到零，再到临 界角处上升到100%
例：若入射光是振动面平行入射面的
线偏振光，则以布儒斯特角入射时，在界面
i1 i2 / 2
当 n1 n2 , i1 i2时
rp 0 rs 0
当 n1 n2 , i1 i2 时
rp 0 rs 0
当光从光疏介质向光密介质入射时， 反射光发生相位突变。
B i1 iB
i1 i2 / 2
当 n1 n2 , i1 i2时
在折射介质中
Et2 E2 cos i2
P 光反射与折射时的电磁矢量
Z
E1
. n1 H1
i1 i1
H1 ´ E1 ´
n2
O
Y
X
. i2
E2
H2
H 0r E 0r
Ht2 H2
在非铁磁质中， r 1, n rr r
H nE
n1E1 n1E1 n2E2
根据电磁场边界条件，得
rp
E1 E1
n1 n1
cos i2 cos i2
n2 n2
cos i / cos i2 1p 2 p n1 / cos i1 n2 / cos i2 1p 2 p
P光的有效折射率 p n / cos i
P光的振幅透射系数为