湖南省娄底市中考名校联考数学试卷(附答案解析)
精品解析：2024年湖南省娄底市涟源市中考一模数学试题(解析版)
2024年上期初中会考科目质量检测试题（一）数学时量：120分钟 总分：120分温馨提示：数学试卷分为试题卷和答题卡两部分，本卷为试题卷，请在答题卡上按要求作答，书写在试题卷上的无效.考试结束时，请将试题卷和答题卡一并交回．一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的.请在答题卡中填涂符合题意的选项，本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1. 2024的相反数是（ ）A. 2024B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查相反数，掌握只有符号不同的两个数叫互为相反数是解题的关键．根据相反数的定义求解即可．【详解】解：2024的相反数是，故选B ．2. 下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判定即可．【详解】解：选项A ，是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；选项B ，是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；选项C ，是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；选项D ，是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意；故选：D3. 1978年是我国改革开放元年，我国的GDP 总量仅有3678.70亿元．2023年的GDP 达126万亿元，相比1978年增长了342倍．数据1260000000000000用科学记数法表示为（ ）A. B. C.D. 2024-1202412024-2024-151.2610⨯160.12610⨯161.2610⨯1412.610⨯【答案】A【解析】【分析】本题考查了科学记数法，解题关键是牢记科学记数法的定义，即将一个大于10的数用科学记数法进行表示，就是将它表示为的形式，其中，，n 等于原数的整数位数减去1．【详解】解：，故选：A4. 正五边形的外角和为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】本题考查了多边形的外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任意多边形的外角和都是．根据多边形的外角和等于解答．【详解】解：正五边形的外角和是，故选C ．5. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的除法，单项式的乘法，完全平方公式，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用相关法则对各项进行判定即可．【详解】解：选项A ：，正确，选项B ：，故错误，不符合题意，选项C ：，故错误，不符合题意，选项D ：，故错误，不符合题意，故选：A6. 如图①是由大小相同的小正方体搭成的几何体，将上层的小正方体平移后得到图②．关于平移前后几何体的三视图，下列说法正确的是（ ）10n a ⨯110a ≤<151260000000000000 1.2610=⨯72︒108︒360︒540︒360︒360︒360︒523a a a ÷=236236a a a ×=()325a a =()222ab a b +=+523a a a ÷=235236a a a =⋅()326a a =()2222a b a b ab +=++A. 主视图相同B. 左视图相同C. 俯视图相同D. 三种视图都不相同【答案】C【解析】【分析】根据三视图的相关概念解答即可．【详解】解：图①的主视图，左视图，俯视图分别为：图②的主视图，左视图，俯视图分别为：故选C ．【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是学生的观察能力和对几何体三种视图的空间想象能力．7. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A.B. C.D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集，即可求解．21310x x x -⎧≥⎪⎨⎪-<⎩【详解】解： 解不等式①得：，解不等式②得：，不等式组解集为：，不等式组的解集的解集在数轴上表示为：，故选：D ．8. 下列说法正确的是（ ）A. “天上掉馅饼”是一个随机事件B. “煮熟的鸭子飞了”是不可能事件C. 一组数据的中位数可能有两个D. 方差越大，数据越稳定【答案】B【解析】【分析】本题考查了随机事件、不可能事件的定义、中位数的定义、用方差判定等知识．利用以上相关概念等逐项判定即可．【详解】解：选项A ，“天上掉馅饼”是一个不可能事件，故选项错误，不符合题意；选项B ，“煮熟的鸭子飞了”是不可能事件，故选项正确，符合题意；选项C ，一组数据的中位数只能有一个，故选项错误，不符合题意；选项D ，方差越小，数据越稳定，故选项错误，不符合题意；故选：B9. 如图，一束光线先后经平面镜，反射后，反射光线与平行，当时，的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】的21310x x x -⎧≥⎪⎨⎪-<⎩①②1x ≥-1x <∴1<1x ≤-AB OM ON CD AB 40ABM ∠=︒DCN ∠40︒50︒60︒80︒【分析】过点B 作，过点C 作，与相交于点E ；根据余角性质计算得；根据平行线性质，得，结合角平分线性质，计算得；再根据余角性质计算，即可得到答案．【详解】如下图，过点B 作，过点C 作，与相交于点E∵，∴∴∵与平行∴∵，∴∴故选：B ．【点睛】本题考查了平行线、角平分线、垂线、余角的知识；解题的关键是熟练掌握平行线的性质，从而完成求解．10. 如图，在平面直角坐标系中，将边长为1的正方形绕点顺时针旋转45°后得到正方形，依此方式，绕点连续旋转2024次得到正方形，那么点的坐标是（）BE OM ⊥CE ON ⊥BE CE CBE ∠BCD ∠DCE ∠BE OM ⊥CE ON ⊥BE CE 40ABM ∠=︒CBE ABE ∠=∠9050CBE ABE ABM ∠=∠=︒-∠=︒100ABC ABE CBE ∠=∠+∠=︒CD AB 18080BCD ABC ∠=︒-∠=︒BCE DCE ∠=∠BCE DCE BCD∠+∠=∠1402BCE DCE BCD ∠=∠=∠=︒9050DCN DCE ∠=︒-∠=︒OABC O 111OA B C O 202420242024OA B C 2024AA. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，解答时，根据正方形绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形，求出，发现是8次一循环，即可得到点的坐标．【详解】∵四边形是正方形，且，∴，∵将正方形绕点O 逆时针旋转45°后得到正方形，∴，，，，，，，…，发现是8次一循环，所以，∴点的坐标为．故选：D ．二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）()1,0-()1,0()0,1-()0,1OABC 111OA B C 12345678,A A A A A A A A ⋯,,,,,,2024A OABC 1OA =()01A ，OABC 111OA BC 1A ()210A，3A ()401A -，5A ⎛ ⎝()610A -，7A ⎛ ⎝()801A ，20248253÷=2024A ()0,111.若代数式有意义，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】本题考查了分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件：分母不等于0是解题的关键．根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案．【详解】解：∵，∴，故答案为：．12. 如图，已知四边形是菱形，、交于点，请你添加一个条件，使菱形成为正方形.你添加条件是______.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题主要考查正方形的判定，熟练掌握正方形的判定定理是解题的关键．依据正方形的判定定理进行判断即可．【详解】解：四边形是菱形，当有一个内角是直角或对角线相等时，菱形为正方形，当或时，菱形为正方形，故答案为：或．13. 分解因式：______．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法是解题关键．利用提公因式法和公式法进行因式分解即可．的12x +x 2x ≠-20x +≠2x ≠-2x ≠-ABCD AC BD O ABCD AB BC ⊥ ABCD ∴ABCD ∴AB BC ⊥AC BD =ABCD AB BC ⊥AC BD =234x y y -=()()22y x y x y +-【详解】解：．故答案为：．14. 如图，已知四边形是的内接四边形，，则______.【答案】##130度【解析】【分析】此题考查的是圆周角定理，圆的内接四边形的性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形的性质．利用圆周角定理：“同弧所对的圆周角是圆心角的一半”，即可求出，再利用圆的内接四边形性质即可求出．【详解】解：∠，，四边形是的内接四边形，，，故答案为：．15. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点，则点在第______象限.【答案】二【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数图像上的点满足函数解析式是解答本题的关键．将点代入反比例函数中，求出，即可求解．【详解】解：将点代入反比例函数中，得：，，点在第二象限，()232244x y y y x y-=-()()22y x y x y =+-()()22y x y x y +-ABCD O 100AOC ∠=︒ADC ∠=130︒ABC ∠ADC ∠ 100AOC ∠=︒∴50ABC AOC ∠=∠=︒ ABCD O ∴180ABC ADC ∠+∠=︒∴180130ADC ABC ∠=︒-∠=︒130︒xOy 6y x=-()3,A m -A ()3,A m -6y x=-m ()3,A m -6y x=-623m =-=-∴()3,2A -∴A故答案为：二．16. 若、是方程的两个根，则______.【答案】【解析】【分析】本题考查了根与系数关系，完全平方公式，代数式求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．根据根与系数的关系：，是一元二次方程的两根时，，，求解即可．【详解】解：、是方程的两个根，，，，故答案为：．17. 当今，青少年视力水平的下降已引起全社会的关注，某初级中学为了了解名在校学生视力情况，抽调了名学生的视力，数据整理如下：视力人数正常的视力标准是大于等于，否则需要矫正．根据以上数据，请估计该校名在校学生中有______人需要矫正视力．【答案】【解析】【分析】本题考查了频数分布表，用样本估计总体，解题的关键是数形结合．根据表格求出样本中需要矫正视力的概率，即可求解．【详解】解：样本中需要矫正视力的概率：，该校名在校学生中需要矫正视力的有：（人），故答案为：．的1x 2x 2230x x +-=2212x x +=101x 2x ()200ax bx c a ++=≠12b x x a+=-12c x x a = 1x 2x 2230x x +-=∴12221+=-=-x x x x -==- 12331∴()()()22221212122·22310x x x x x x +=+-=--⨯-=10800500.4x <0.40.6x ≤<0.60.8x ≤<0.8 1.0x ≤< 1.0 1.5x ≤≤1568301.080032050302505-=80028003205⨯=32018. 如图，在中，点D 、E 分别在边和上，，，，则的长为______.【答案】3【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟练的利用相似三角形的性质建立方程是解本题的关键．证明可得从而可得答案．【详解】解：即， ，，∴，，而，，，经检验符合题意；故答案为：．三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19.【答案】【解析】ABC AB AC DE BC ∥2AD DB =2DE =BC ADE ABC ∽，AD DE AB BC=， 2AD DB =2AD DB =23∴=AD AB DE BC ∥ADE B ∠=∠AED C ∠=∠ADE ABC ∴ ∽，AD DE AB BC∴=，2DE =223BC ∴=3BC ∴=3()10120242cos303-⎛⎫--︒- ⎪⎝⎭2-【分析】本题主要考查了特殊三角函数值、零次幂、负指数幂及二次根式的运算，熟练掌握特殊三角函数值、零次幂、负指数幂及二次根式的运算是解题的关键．据特殊三角函数值、零次幂、负指数幂及二次根式的运算分别化简或运算，最后进行合并即可．【详解】解：原式20. 先化简，再求值：，其中，．【答案】，【解析】【分析】此题主要考查整式的化简求值，解题的关键是熟知整式的混合运算法则．先根据完全平方公式、平方差公式将多项式展开，再去括号、合并同类项，最后代入值计算即可．【详解】解：原式当，时，原式21. 某校随机抽取部分学生，开展了“书面作业完成时间”问卷调查，根据调查结果，绘制了如下不完整的统计图表：组别时间（分钟）频数A6B14C 123=+-13=-2=-()()()()22224x y x y x y x x y -+-+--=1x -2y =2243x y +16()()()()22224x y x y x y x x y -+-+--222224444x xy y x y x xy =-++--+2243x y =+=1x -2y =()224132=⨯-+⨯412=+16=x 020x ≤<2040x ≤<4060x ≤<mD8E 4请根据统计图表提供的信息，解答下列问题：（1）频数分布统计表中的______；（2）补全频数分布直方图；（3）小明说：“我的书面作业完成时间是此次问卷调查所得数据的中位数.”那么小明书面作业完成时间在哪个范围内？（4）若E 组有两名男生和两名女生，从中随机抽取两名学生了解情况，请用列表或画树状图的方法，求出抽取的两名同学恰好是一男一女的概率.【答案】（1）（2）见解析（3） （4）【解析】【分析】本题考查了用树状图法求概率、频数分布直方图、频数分布表和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．（1）由B 组的频数除以所占百分比得出抽取的总人数，即可解决问题；（2）由（1）的结果，补全频数分布直方图即可；（3）根据50个数的中位数是第25、26个数的平均数即可解决；（4）列表得出共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可．【小问1详解】解：抽取的总人数（人），，故答案为：；6080x ≤<80100x ≤≤m =184060x ≤<341428%50=÷=506148418m ∴=----=18m =【小问2详解】如图；【小问3详解】因为50个数的中位数是第25、26个数的平均数，第25、26个数在B 组，所以小明书面作业完成时间在范围内；【小问4详解】所画树状图如图所示，总共有12种等可能结果，其中抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，所以抽取的2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．22. 如图，在中，，，，求（1）的面积；（2）的长.（结果精确到0.1）【答案】（1）（2）.【解析】【分析】此题考查了解直角三角形，锐角三角函数，解题的关键是学会添加辅助线，构造直角三角形解决问题．（1）过点作的垂线，交的延长线于点，设，用x 分别表示，由，4060x ≤<83124P ==ABC 15A ∠=︒30B ∠=︒1BC =ABC AC 1.41≈ 1.73≈0.7ABC S ≈△1.9AC =A BC BC D AD x =BD CD ，BD CD BC -=求得，则求面积即可；（2）在中，利用正弦定义求即可.【小问1详解】如图，过点作的垂线，交的延长线于点，，，设，则在中，，在中，解得：【小问2详解】在中，，答：的长为1.9.23. 为响应乡村振兴号召，在外地创业成功的大学毕业生小姣毅然返乡当起了新农人，创办了果蔬生态种植基地．最近，为给基地蔬菜施肥，她准备购买甲、乙两种有机肥．已知甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元．（1）甲、乙两种有机肥每吨各多少元？（2）若小姣准备购买甲、乙两种有机肥共10吨，且总费用不能超过5600元，则小姣最多能购买甲种有机肥多少吨？【答案】（1）甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元（2）小妏最多能购买甲种有机用6吨【解析】【分析】（1）设甲种有机肥每吨x 元，乙种有机肥每吨y元，根据甲种有机肥每吨的价格比乙种有机肥每1.37x ≈Rt ACD △AC A BC BC D 15BAC ∠=︒ 30B ∠=︒45ACB ∴∠=︒AD x =Rt △ABD tan tan 30AD x BD B ===∠︒Rt ACD △tan tan 45AD x CD x ACD ===∠︒BD CD BC-=1x -=1.37x ≈111 1.370.6850.722ABC S BC AD ∴=⋅≈⨯⨯=≈ Rt ACD △ 1.37 1.9sin sin 45AD AC ACD =≈≈∠︒AC吨的价格多100元，购买2吨甲种有机肥和1吨乙种有机肥共需1700元列出二元一次方程组求解即可；（2）设沟买甲种有机肥m 呠，则购买乙种有机肥吨，根据总费用不能超过5600元列不等式求解即可．【小问1详解】设甲种有机肥每吨x 元，乙种有机肥每吨y 元，根据题意，得, 解得,答：甲种有机肥每吨600元，乙种有机肥每吨500元．【小问2详解】设沟买甲种有机肥m 呠，则购买乙种有机肥吨，根据题意，得，解得．答：小姣最多能购买甲种有机用6吨．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）正确找出等量关系，列出分式方程，（2）正确找出等量关系，列出不等式和一次函数关系式．24. 如图，已知四边形是矩形，于，于，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）根据四边形是矩形得到平行的边以及相等的角度，然后证明两个三角形全等，然后根据一组对边平行且相等可得到结果；（2）先根据勾股定理得到斜边长，再根据三角形的面积可得到结果．【小问1详解】证明：证明：四边形是矩形，，//，()10m -10021700x y x y -=⎧⎨+=⎩600500x y =⎧⎨=⎩()10m -()600500105600m m +-≤6m ≤ABCD BE AC ⊥E DF AC ⊥F DE BF BEDF 3AB =4BC =BE 2.4ABCD AB CD ∴=AB CD，又，，∴//，在和中，，（AAS ），，又//，四边形平行四边形；【小问2详解】解：四边形是矩形，，，，，，，答：的长为．【点睛】本题考查了矩形的性质、证明四边形为平行四边形、全等三角形的判定及性质、三角形的面积、勾股定理，准确找到边角之间的关系是解题的关键．25. 如图所示，的顶点A 、B 在上，顶点C 在外，边与相交于点D ，，连接、，已知．（1）求证：直线是的切线；（2）若线段与线段相交于点，连接．是BAE DCF ∴∠=∠BE AC ⊥ DFAC ⊥BE DF ABE CDF BAE DCF BEA DFC AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ABE CDF ∴△≌△BE DF ∴=BE DF ∴BEDF ABCD 90ABC ∴∠=︒3AB = 4BC =5AC ∴=1122ABC S AB BC AC BE =⋅=⋅ △345 2.4BE ∴=⨯÷=BE 2.4ABC O O AC O 45BAC ∠=︒OB OD ∥OD BC BC O OD AB E BD②若，求劣弧的长度（结果保留）.【答案】（1）见解析（2）①见解析；②【解析】【分析】本题主要考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练掌握切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质是解题的关键．（1）根据圆周角定理可得，再由，可得CB ⊥OB ，即可求证；（2）①根据，，可得，即可求证；②根据，可得，即，过点作交于，，则弧长可求．【小问1详解】，//，，又点在上，点是半径的外端.直线是的切线.【小问2详解】①，，.又8AB BE ⋅=BD ππ90BOD ∠=︒∥OD BC 90BOD ∠=︒OB OD =BDO BAC ∠=∠ABD DBE ∽28BD AB BE =⋅=BD =O OF BD ⊥BD D DF DB ==OD 45BAC ∠=︒ 90BOD =∴∠︒OD BC 180OBC BOD ︒∴∠+∠=90OBC ∴∠=︒B O B ∴OB ∴BC O OB OD = 90BOD ∠=︒45BDO BAC ∴∠=︒=∠ABD DBE∠=∠ ABD DBE∴∽，即.过点作交于，则在中，劣弧的长度26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，两点，直线与轴交于点，与抛物线交于点.（1）求抛物线的解析式；（2）在线段上是否存在点，使得是直角？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由.（3）点为抛物线上的动点，，过作轴的垂线交直线于点，求当点到直线的距离最大时的值.【答案】（1） （2）在线段上不存在点，使得是直角，见解析（3）的值为【解析】【分析】（1）将A 、B 两点代入函数解析式，得到方程组，解方程组即可．（2）设，则，由得出，代入数据，得到关于t 的一元二次方程，发现，故该方程无解，因此不存在．（3）过点P 作于Q ，由为等腰直角三角形，可得为等腰直角三角形，则::AB BD BD BE ∴=28BD AB BE =⋅=BD ∴=O OF BD ⊥BD D DF DB ==Rt ODF △2cos 45DF OD ==︒∴BD 902180180n R πππ⨯===2y ax x c =++()2,0A -()0,4B 3x =x C G OC F BFG ∠F (),P m n 03m <<P x BC D P BC m 2142y x x =-++OC F BFG ∠m 4918OF t =3FC t =-BOF FCG ∽△△BO OF FC CG=Δ0<PQ BC ⊥OBC △PQD △，因此的最大值转化为求的最大值，设，则，用m 的代数式表示出，再配方即可求出最大值．【小问1详解】解：抛物线经过，两点，∴ 解得抛物线的解析式为：．【小问2详解】解：由题意得：，若在线段上是存在点，使得是直角，则.，当时，，．设，则方程无解，即在线段上不存在点，使得是直角．【小问3详解】解：PQ PD =PQ PD 21,42P m m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭4,43D m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭PD 2y ax x c =++()2,0A -()0,4B 4204a c c -+=⎧⎨=⎩124a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴2142y x x =-++90GCF FOB ︒∠=∠=OC F BFG ∠GFC FBO ∠=∠Rt Rt BOF FCG ∴∽△△BO OF FC CG∴=()0,4B 4OB ∴=3x =21533422y =-⨯++=52CG ∴=OF t =3FC t=-4532t t ∴=-23100t t ∴-+=()2Δ34110940310=--⨯⨯=-=-< ∴OC F BFG ∠，点为抛物线B 、G 之间运动，过点P 作于Q ，由等腰直角三角形，可得为等腰直角三角形，∴，∴当的值最大时，点到直线的距离最大，，，设直线的解析式为，由题意得：解得直线的解析式为当时，，当时，有最大值．即：当点到直线的距离最大时的值为．【点睛】本题考查了二次函数待定系数法求解析式，相似三角形的判定与性质，二次函数求最值等问题，熟练利用转化思想和方程思想是解决函数综合题的关键．为03m << ∴(),P m n PQ BC ⊥OBC △PQD △PQ PD =PD P BC 2142n m m =-++ 21,42P m m m ⎛⎫∴-++ ⎪⎝⎭BC y kx b =+430b k b =⎧⎨+=⎩434k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴BC 443y x =-+x m =44433y y m =-=-+4,43D m m ⎛⎫∴-+ ⎪⎝⎭221417442323PD m m m m m ⎛⎫⎛⎫∴=-++--+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴()7033m m =<<PD 4918P BC m 4918。
2022年湖南省娄底市中考数学试卷(解析版)
2022年湖南省娄底市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）1．（3分）2022的倒数是()A ．2022B ．2022-C ．12022D ．12022-【分析】根据倒数的定义即可得出答案．【解答】解：2022的倒数是12022．故选：C ．2．（3分）下列式子正确的是()A ．325a a a ⋅=B ．235()a a =C ．22()ab ab =D ．325a a a +=【分析】根据幂的乘方与积的乘方，合并同类项，同底数幂的乘法法则，进行计算逐一判断即可解答．【解答】解：A 、325a a a ⋅=，故A 符合题意；B 、236()a a =，故B 不符合题意；C 、222()ab a b =，故C 不符合题意；D 、3a 与2a 不能合并，故D 不符合题意；故选：A ．3．（3分）一个小组10名同学的出生月份（单位：月）如下表所示：编号12345678910月份26861047887这组数据（月份）的众数是()A ．10B ．8C ．7D ．6【分析】根据众数的意义求出众数即可．【解答】解：这10名同学的出生月份出现次数最多的是8，共出现3次，因此众数是8，故选：B ．4．（3分）下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是()A ．B ．C ．D ．【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；B ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C ．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D ．是中心对称图形，故此选项符合题意；故选：D ．5．（3分）截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿吨．5000亿用科学记数法表示为()A ．105010⨯B ．11510⨯C ．120.510⨯D ．12510⨯【分析】根据5000亿500000000000=，再用科学记数法表示即可．【解答】解：5000 亿11500000000000510==⨯，故选：B ．6．（3分）一条古称在称物时的状态如图所示，已知180∠=︒，则2(∠=)A ．20︒B ．80︒C ．100︒D ．120︒【分析】根据平行线的性质和平角的定义可得结论．【解答】解：如图，由平行线的性质得：3180∠=∠=︒，23180∠+∠=︒ ，218080100∴∠=︒-︒=︒．故选：C ．7．（3分）不等式组3122x x -⎧⎨>-⎩的解集在数轴上表示正确的是()A ．B ．C ．D ．【分析】先求出不等式组的解集，再确定符合条件的选项．【解答】解：3122x x -⎧⎨>-⎩①②，解①，得2x ，解②，得1x >-．所以原不等式组的解集为：12x -<．故符合条件的选项是C ．故选：C ．8．（3分）将直线21y x =+向上平移2个单位，相当于()A ．向左平移2个单位B ．向左平移1个单位C．向右平移2个单位D．向右平移1个单位【分析】根据直线y kx b=+平移k值不变，只有b发生改变解答即可．【解答】解：将直线21y x=++，即=+向上平移2个单位后得到新直线解析式为：212y x=+．23y x由于232(1)1y x x=+=++，所以将直线21=+．y xy x=+向左平移1个单位即可得到直线23所以将直线21=+向左平移1个单位．y xy x=+向上平移2个单位，相当于将直线21故选：B．9．（3分）在古代，人们通过在绳子上打结来计数，即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了()A．1335天B．516天C．435天D．54天【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，所以从右到左的数分别为5，37⨯，⨯⨯⨯，然后把它们相加即可．⨯⨯和1777377【解答】解：孩子自出生后的天数是：⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯+1777377375=+++343147215=，516答：那么孩子已经出生了516天．故选：B．10．（3分）如图，等边ABC∆内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边ABC∆的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与ABC∆的面积之比是()A ．318B ．318C ．39D ．39【分析】根据题意和图形，可知圆中的黑色部分的面积是圆的面积的一半，然后即可计算出圆中的黑色部分的面积与ABC ∆的面积之比．【解答】解：作AD BC ⊥于点D ，作BE AC ⊥于点E ，AD 和BE 交于点O ，如图所示，设2AB a =，则BD a =，90ADB ∠=︒，AD ∴==，1333OD AD ∴==，∴圆中的黑色部分的面积与ABC ∆21)2π⨯⨯=故选：A．11．（3分）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点(,1)P m 、(1Q ，)(0m m >且1)m ≠，过点P 、Q 的直线与两坐标轴相交于A 、B 两点，连接OP 、OQ ，则下列结论中成立的有()①点P 、Q 在反比例函数my x=的图象上；②AOB ∆为等腰直角三角形；③090POQ ︒<∠<︒；④POQ ∠的值随m 的增大而增大．A ．②③④B ．①③④C ．①②④D ．①②③【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征即可判断①；根据P 、Q 点的坐标特征即可判断②③；求得直线OP 、OQ 的解析式，根据正比例函数的系数即可判断．【解答】解： 点(,1)P m 、(1Q ，)(0m m >且1)m ≠，则11m m m ⋅=⋅=，∴点P 、Q 在反比例函数my x=的图象上，故①正确；设直线PQ 为y kx b =+，则1mk b k b m +=⎧⎨+=⎩，解得11k b m =-⎧⎨=+⎩，∴直线PQ 为1y x m =-++，当0y =时，1x m =+；当0x =时，1y m =+，(1,0)A m ∴+，(0,1)B m +，OA OB ∴=，90AOB ∠=︒ ，AOB ∴∆为等腰直角三角形，故②正确； 点(,1)P m 、(1Q ，)(0m m >且1)m ≠，P ∴、Q 都在第一象限，090POQ ∴︒<∠<︒，故③正确； 直线OP 为1y x m=，直线OQ 为y mx =，∴当01m <<时，POQ ∠的值随m 的增大而减小，当1m >时，POQ ∠的值随m 的增大而增大，故④错误；故选：D ．12．（3分）若10x N =，则称x 是以10为底N 的对数．记作：x lgN =．例如：210100=，则2100lg =；0101=，则01lg =．对数运算满足：当0M >，0N >时，()lgM lgN lg MN +=．例如：3515lg lg lg +=，则2(5)522lg lg lg lg +⨯+的值为()A ．5B ．2C ．1D ．0【分析】首先根据定义运算提取公因式，然后利用定义运算计算即可求解．【解答】解：原式5(52)2lg lg lg lg =++5(52)2lg lg lg =⨯⨯+5102lg lg lg =+52lg lg =+10lg =1=．故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13．（3分）函数y =的自变量x 的取值范围是1x >．【分析】0)a ，以及分母不能为0，可得10x ->，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：10x ->，解得：1x >，故答案为：1x >．14．（3分）已知实数1x ，2x 是方程210x x +-=的两根，则12x x =1-．【分析】根据根与系数的关系解答．【解答】解： 方程210x x +-=中的1a b ==，1c =-，121cx x a∴==-．故答案是：1-．15．（3分）黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1~15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是715．【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到一共有多少种可能性，其中摸出编号是偶数的有多少种可能性，从而可以求得摸出的球编号为偶数的概率．【解答】解：由题意可得，从袋中随机摸出1个球，一共有15种可能性，其中摸出编号是偶数的有7种可能性，故摸出的球编号为偶数的概率是715，故答案为：715．16．（3分）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E 是AD 的黄金分割点，即0.618DE AD ≈．延长HF 与AD 相交于点G ，则EG ≈0.618DE ．（精确到0.001)【分析】根据黄金分割的定义可得0.618DE AEAD DE=≈，再根据题意可得EG AE =，即可解答．【解答】解： 点E 是AD 的黄金分割点，且0.618DE AD ≈，∴0.618DE AEAD DE=≈，由题意得：EG AE =，∴0.618EGDE≈，0.618EG DE ∴≈，故答案为：0.618．17．（3分）菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，点P 、Q 分别是BC 、BD 上的动点，CQ PQ +的最小值为【分析】连接AQ ，作AH BC ⊥于H ，利用SAS 证明ABQ CBQ ∆≅∆，得AQ CQ =，当点A 、Q 、P 共线，AQ PQ +的最小值为AH 的长，再求出AH 的长即可．【解答】解：连接AQ ，作AH BC ⊥于H ，四边形ABCD 是菱形，AB CB ∴=，ABQ CBQ ∠=∠，BQ BQ = ，()ABQ CBQ SAS ∴∆≅∆，AQ CQ ∴=，∴当点A 、Q 、P 共线，AQ PQ +的最小值为AH 的长，2AB = ，45ABC ∠=︒，AH ∴=CQ PQ ∴+，．18．（3分）如图，已知等腰ABC ∆的顶角BAC ∠的大小为θ，点D 为边BC 上的动点（与B 、C 不重合），将AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度时点D 落在D '处，连接BD '．给出下列结论：①ACD ABD ∆≅∆'；②ACB ADD ∆∆'∽；③当BD CD =时，ADD ∆'的面积取得最小值．其中正确的结论有①②③（填结论对应的应号）．【分析】由题意可知AC AB =，AD AD ='，CAD BAD ∠=∠'，即可根据SAS 判断ACD ABD ∆≅∆'；根据BAC D AD θ∠=∠'=，AC ABAD AD ='，即可判断ACB ADD ∆∆'∽；由ACB ADD ∆∆'∽，得出2(ADD ACB S AD S AC∆'∆=，根据等腰三角形三线合一的性质，当BD CD =，则AD BC ⊥时，AD 最小，ADD ∆'的面积取得最小值．【解答】解：由题意可知AC AB =，AD AD ='，CAD BAD ∠=∠'，ACD ABD ∴∆≅∆'，故①正确；AC AB = ，AD AD ='，BAC D AD θ∠=∠'=，∴AC ABAD AD ='，ACB ADD ∴∆∆'∽，故②正确；ACB ADD ∆∆' ∽，∴2(ADD ACB S AD S AC∆'∆=， 当AD BC ⊥时，AD 最小，ADD ∆'的面积取得最小值．而AB AC =，BD CD ∴=，∴当BD CD =时，ADD ∆'的面积取得最小值，故③正确；故答案为：①②③．三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19．（6分）计算：011(2022)()|12sin 602π--++-︒．【分析】先计算零次幂、负整数指数幂，再化简绝对值、代入特殊角的三角函数值算乘法，最后算加减．【解答】解：原式12122=++-⨯121=++2=．20．（6分）先化简，再求值：324(2)244xxx x x++÷--+，其中x是满足条件2x的合适的非负整数．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．【解答】解：原式23244()22(2) x xx x x-=+÷---223(2)2x xx x-=⋅-2xx-=，x≠且20x-≠，x∴≠且2x≠，1x∴=，则原式1211-==-．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21．（8分）按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩．某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间(:10A h以上，:8~10B h h，:6~8C h h，:6D h以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共200名；（2）a=，b=；（3）补全条形统计图．【分析】（1）根据D类人数以及所占的百分比即可求解；（2）根据总数以及A类、B类的人数即可求解；（3）根据C类所占的百分比，求出C类人数，即可补全条形统计图．【解答】解：（1）本次调查的学生共：105%200÷=（名)，故答案为：200；（2）6010030200a=⨯=，10010050200b=⨯=，故答案为：30，50；（3）C类人数为20015%30⨯=，补全条形统计图如图：22．（8分）“体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P 处，在无外力作用下，弹簧的长度为3cm ，即3PQ cm =．开始训练时，将弹簧的端点Q 调在点B 处，此时弹簧长4PB cm =，弹力大小是100N ，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q 调到点C 处，使弹力大小变为300N ，已知120PBC ∠=︒，求BC 的长．注：弹簧的弹力与形变成正比，即F k =⋅△x ，k 是劲度系数，△x 是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为0x ，在外力作用下，弹簧的长度为x ，则△0x x x =-．【分析】由题意可以先求出k 的值，然后即可求出PC 的长，再根据勾股定理即可得到PA 和AB 的长，由图可知：BC AC AB =-，代入数据计算即可．【解答】解：由题意可得，03x cm =，100(43)k =-，解得100k =，100F ∴=△x ，当300F =时，300100(3)PC =⨯-，解得6PC cm =，由图可得，90PAB ∠=︒，120PBC ∠=︒，30APB ∴∠=︒，4PB cm = ，2AB cm ∴=，)PA cm ==，5PC cm = ，)AC cm ∴==，2)BC AC AB cm ∴=-=，即BC 的长是2)cm ．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23．（9分）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg ，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg ．（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？【分析】（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg ，由题意：一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4mg ，一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg ．列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）由（1）的结果列式计算即可．【解答】解：（1）设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为x mg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为y mg ，由题意得：6224x y x y +=⎧⎨=-⎩，解得：4022x y =⎧⎨=⎩，答：一片银杏树叶一年的平均滞尘量为40mg ，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22mg ；（2）50000402000000()2mg kg ⨯==，答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．24．（9分）如图，以BC 为边分别作菱形BCDE 和菱形BCFG （点C ，D ，F 共线），动点A 在以BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上，连接EF 交BC 于点O ．设G θ∠=．（1）求证：无论θ为何值，EF 与BC 相互平分；并请直接写出使EF BC ⊥成立的θ值．（2）当90θ=︒时，试给出tan ABC ∠的值，使得EF 垂直平分AC ，请说明理由．【分析】（1）证明四边形DEGF 是平行四边形，可得结论；（2）当tan 2ABC ∠=时，EF 垂直平分线段AC ．证明//OJ AC ，可得结论．【解答】（1）证明： 四边形BCFG ，四边形BCDE 都是菱形，//CF BG ∴，//CD BE ，CB CF CD BG BE ====，D ，C ，F 共线，G ∴，B ，E 共线，//DF EG ∴，DF GE =，∴四边形DEGF 是平行四边形，EF ∴与BC 互相平分．当EF FG ⊥时，GF BG BE == ，2EG GF ∴=，30GEF ∴∠=︒，903060θ∴=︒-︒=︒；（2）解：当tan 2ABC ∠=时，EF 垂直平分线段AC ．理由：如图（2）中，设AC 交EF 于点J ．四边形BCFG是菱形，90G FCO∴∠=∠=︒，EF与BC互相平分，OC OB∴=，CF BC∴=，2FC OC∴=，tan tanFOC ABC∴∠=∠，ABC FOC∴∠=∠，//OJ AB∴，OC OB=，CJ AJ∴=，BC是直径，90BAC OJC∴∠=∠=︒，EF∴垂直平分线段AC．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25．（10分）如图，已知BD是Rt ABC∆的角平分线，点O是斜边AB上的动点，以点O为圆心，OB长为半径的O经过点D，与OA相交于点E．（1）判定AC与O的位置关系，为什么？（2）若3BC=，32 CD=，①求sin DBC∠、sin ABC∠的值；②试用sin DBC∠和cos DBC∠表示sin ABC∠，猜测sin2α与sinα、cosα的关系，并用30α=︒给予验证．∠=∠=︒，再根据圆的切线的判定定ODA COD BC，则90理证明AC是O的切线；（2）①根据三角函数定义可得结论；②计算cos DBC∠⋅∠的值，可得结论：DBC DBC∠的值，并计算2sin cosα=︒可得结论．ABC DBC DBCsin2sin cos∠=∠⋅∠；并用30【解答】解：（1）AC是O切线，理由如下：如图，连接OD，，=OD OBODB OBD∴∠=∠，BD是ABC∆的角平分线，OBD DBC∴∠=∠，∴∠=∠，ODB DBC∴，//OD BC90∴∠=∠=︒，ODA C⊥，OD是O的半径，且AC ODAC ∴是O 的切线；（2）①在Rt DBC ∆中，3BC = ，32CD =，BD ∴===32sin 352CD DBC BD ∴∠===如图2，连接DE ，OD ，过点O 作OG BC ⊥于G，90ODC C CGO ∴∠=∠=∠=︒，∴四边形ODCG 是矩形，32OG CD ∴==，BE 是O 的切线，90BDE ∴∠=︒，cos cos DBE CBD ∴∠=∠，∴BC BD BD BE=，∴2BE =，154BE ∴=，11528OB BE ∴==，342sin 1558OG ABC OB ∴∠===；②542sin cos 255352DBC DBC ∠⋅∠=⨯ ，sin 2sin cos ABC DBC DBC ∴∠=∠⋅∠；猜想：sin 22sin cos ααα=，理由如下：当30α=︒时，3sin 2sin 602α=︒=，1332sin cos 2222αα=⨯⨯=，sin 22sin cos ααα∴=．26．（10分）如图，抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．（1）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）点(P m ，)(06)n m <<在抛物线上，当m 取何值时，PBC ∆的面积最大？并求出PBC ∆面积的最大值．（3）点F 是抛物线上的动点，作//FE AC 交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）将0x =及0y =代入抛物线21262y x x =--的解析式，进而求得结果；（2）连接OP ，设点21(,26)2P m m m --，分别表示出POC S ∆，BOP S ∆，计算出BOC S ∆，根据PBC BOC PBOC S S S ∆∆=-四边形，从而得出PBC ∆的函数关系式，进一步求得结果；（3）可分为ACFE 和ACEF 的情形．当ACFE 时，点F 和点C 关于抛物线对称轴对称，从而得出F 点坐标；当ACED 时，可推出点F 的纵坐标为6，进一步求得结果．【解答】解：（1）当0x =时，6y =-，(0,6)C ∴-，当0y =时，212602x x --=，16x ∴=，22x =-，(2,0)A ∴-，(6,0)B ；（2）方法一：如图1，连接OP ，设点21(,26)2P m m m --，116322POC P S OC x m m ∆∴=⋅=⨯⋅=，211||3(26)22BOP P S OB y m m ∆=⋅=-++，11661822BOC S OB OC ∆=⋅=⨯⨯= ，PBC BOCPBOC S S S ∆∆∴=-四边形()POC POB BOCS S S ∆∆∆=+-2133(26)182m m m =+-++-2327(3)22m =--+，∴当3m =时，272PBC S ∆=最大；方法二：如图2，作PQ AB ⊥于Q ，交BC 于点D ，(6,0)B ，(0,6)C -，∴直线BC 的解析式为：6y x =-，(,6)D m m ∴-，2211(6)(26)322PD m m m m m ∴=----=-+，221113276(3)(3)22222PBC S PD OB m m m ∆∴=⋅=⨯⋅-+=--+，∴当3m =时，272PBC S ∆=最大；（3）如图3，当ACFE 时，//AE CF ， 抛物线对称轴为直线：2622x -+==，1F ∴点的坐标：(4,6)-，如图4，当ACEF 时，作FG AE ⊥于G ，6FG OC ∴==，当6y =时，212662x x --=，12x ∴=+，22x =-2(2F ∴+，6)，3(2F -，6)，综上所述：(4,6)F -或(2+，6)或(2-，6)．。
(中考精品卷)湖南省娄底市中考数学真题(解析版)
娄底市2022年初中毕业学业考试试题卷数学一、选择题（本大题共2小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应題号下的方框里）1. 2022的倒数是（ ） A. 2022B. 2022-C.12022D.12022-【答案】C 【解析】【分析】根据倒数的定义作答即可． 【详解】2022的倒数是12022， 故选：C ．【点睛】本题考查了倒数的概念，即乘积为1的两个数互为倒数，牢记倒数的概念是解题的关键．2. 下列式子正确的是（ ） A. 325a a a ⋅=B. ()325a a =C. ()22ab ab =D.325a a a +=【答案】A 【解析】【分析】根据同底数幂乘法可判断A ，根据幂的乘方可判断B ，根据积的乘方可判断C ，根据合并同类项可判断D ，从而可得答案． 【详解】解：325a a a ⋅=，故A 符合题意；()326a a =，故B 不符合题意；()222ab a b =，故C 不符合题意；32,a a 不是同类项，不能合并，故D 不符合题意；故选A【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法，幂的乘方运算，积的乘方运算，合并同类项，掌握以上基础运算是解本题的关键．3. 一个小组10名同学的出生年份（单位：月）如下表所示：的编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 月份 2 6 8 6 10 4 7 8 8 7 这组数据（月份）的众数是（）A. 10B. 8C. 7D. 6【答案】B【解析】【分析】根据众数的定义判断得出答案．【详解】因为8月份出现了3次，次数最多，所以众数是8．故选：B．【点睛】本题主要考查了众数的判断，掌握定义是解题的关键.即一组数据中出现次数最多的数是众数．4. 下列与2022年冬奥会相关的图案中，是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】中心对称图形定义：如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形回完全重合，那么这个答图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义逐项判定即可．【详解】解：根据中心对称图形定义，可知D符合题意，故选：D．【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解决问题的关键．5. 截至2022年6月2日，世界第四大水电站——云南昭通溪洛渡水电站累计生产清洁电能突破5000亿千瓦时，相当于替代标准煤约1.52亿吨，减排二氧化碳约4.16亿．5000亿用科学计数法表示为（）A. 105010⨯B. 11510⨯C. 120.510⨯D.12510⨯【答案】B 【解析】【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为10n a ⨯，其中110a ≤<，n 为整数，先将5000亿转化成数字，然后按要求表示即可．【详解】解：5000亿=500000000000，根据科学记数法要求5000000000005后面有11个0，从而用科学记数法表示为11510⨯， 故选：B ．【点睛】本题考查科学记数法，按照定义，确定a 与n 的值是解决问题的关键． 6. 一条古称在称物时的状态如图所示，已知180∠=︒，则2∠=（ ）A. 20︒B. 80︒C. 100︒D. 120︒【答案】C 【解析】【分析】如图，由平行线的性质可得80,BCD ∠=︒ 从而可得答案． 【详解】解：如图，由题意可得：,AB CD ∥ 180∠=︒，的180,BCD \Ð=Ð=° 218080100,\Ð=°-°=°故选C【点睛】本题考查是平行线的性质，邻补角的含义，掌握“两直线平行，内错角相等”是解本题的关键．7. 不等式组3122x x -≥⎧⎨-⎩＞的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】先求出不等式组的解集，再根据解集中是否含有等号确定圆圈的虚实，方向，表示即可．【详解】∵ 不等式组3122x x -≥⎧⎨-⎩①＞②中，解①得，x ≤2， 解②得，x ＞-1， ∴不等式组3122x x -≥⎧⎨-⎩①＞②的解集为-1＜x ≤2，数轴表示如下：的故选C ．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的解集的数轴表示方法，熟练掌握解不等式的基本要领，准确用数轴表示是解题的关键．8. 将直线21y x =+向上平移2个单位，相当于（ ） A. 向左平移2个单位 B. 向左平移1个单位 C. 向右平移2个单位 D. 向右平移1个单位【答案】B 【解析】【分析】函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，根据规律逐一分析即可得到答案． 【详解】解：将直线21y x =+向上平移2个单位，可得函数解析式为：23,y x =+直线21y x =+向左平移2个单位，可得()22125,y x x =++=+ 故A 不符合题意； 直线21y x =+向左平移1个单位，可得()21123,y x x =++=+ 故B 符合题意； 直线21y x =+向右平移2个单位，可得()22123,y x x =-+=- 故C 不符合题意； 直线21y x =+向右平移1个单位，可得()21121,y x x =-+=- 故D 不符合题意；故选B【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移，掌握一次函数图象的平移规律是解本题的关键．9. 在古代，人们通过在绳子上打结来计数．即“结绳计数”．当时有位父亲为了准确记录孩子的出生天数，在粗细不同的绳子上打结（如图），由细到粗（右细左粗），满七进一，那么孩子已经出生了（ ）A. 1335天B. 516天C. 435天D. 54天【答案】B 【解析】【分析】根据题意以及图形分析，根据满七进一，即可求解．【详解】解：绳结表示的数为0233573737175214937516⨯+⨯+⨯+⨯=++⨯+= 故选B【点睛】本题考查了有理数混合运算，理解“满七进一”是解题的关键．10. 如图，等边ABC 内切的图形来自我国古代的太极图，等边三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于等边ABC 的内心成中心对称，则圆中的黑色部分的面积与ABC 的面积之比是（ ）【答案】A 【解析】【分析】由题意，得圆中黑色部分的面积是圆面积的一半，令BC =2a ，则BD =a ，根据勾股定理，得出AD，同时在Rt △BOD 中，OD，进而求出黑色部分的面积以及等边三角形的面积，最后求出答案．【详解】解：令内切圆与BC 交于点D ，内切圆的圆心为O ，连接AD ，OB ， 由题可知，圆中黑色部分的面积是圆面积的一半， 令BC =2a ，则BD =a ， 在等边三角形ABC 中 AD ⊥BC ，OB 平分∠ABC ， ∴∠OBD =12∠ABC =30°， 由勾股定理，得AD， 在Rt △BOD 中，OD =tan30°×BDa ， ∴圆中的黑色部分的面积与ABC212π⎫⨯=． 故选：A ．的【点睛】本题考查了等边三角形的性质，内切圆的性质和面积，等边三角形的面积以及勾股定理求边长，正确地计算能力是解决问题的关键．11. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点(),1P m 、()1,Q m （0m >且1m ≠），过点P 、Q 的直线与两坐标轴相交于A 、B 两点，连接OP 、OQ ，则下列结论中成立的是（ ）①点P 、Q 在反比例函数my x=的图象上；②AOB 成等腰直角三角形；③090POQ ︒<∠<︒；④POQ ∠的值随m 的增大而增大．A. ②③④B. ①③④C. ①②④D. ①②③【答案】D 【解析】【分析】由反比例函数的性质可判断①，再求解PQ 的解析式，得到A ，B 的坐标可判断②，由P ，Q 而可得答案．【详解】解： 点(),1P m 、()1,Q m 的横纵坐标的积为,m∴ 点P 、Q 在反比例函数my x=的图象上；故①符合题意； 设过点(),1P m 、()1,Q m 的直线为：,y kx b =+1,mk b k b m ì+=ï\í+=ïî 解得：1,1k b m ì=-ïí=+ïî ∴ 直线PQ 为：1,y x m =-++当0x =时，1,y m =+ 当0y =时，1,x m =+ 所以：1,OA OB m ==+90,AOB ∠=︒所以AOB 是等腰直角三角形，故②符合题意；点(),1P m 、()1,Q m （0m >且1m ≠）， ∴ 点(),1P m 、()1,Q m 在第一象限，且P ，Q 不重合，090,POQ \°<Ð<° 故③符合题意；()(),1,1,,P m Q m Q ，而PQ 在直线1y x m =-++上，如图，显然POQ ∠是随m 的增大先减小，再逐渐增大，故④不符合题意； 故选D【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数的性质，等腰直角三角形的判定，熟练的利用数形结合解题是关键． 12. 若10x N =，则称x 是以10为底N 的对数．记作：lg x N =．例如：210100=，则2lg100=；0101=，则0lg1=．对数运算满足：当0M >，0N >时，()lg lg lg M N MN +=，例如：lg3lg5lg15+=，则()2lg 5lg 5lg 2lg 2+⨯+的值为（ ） A. 5 B. 2C. 1D. 0【答案】C 【解析】【分析】通过阅读自定义运算规则：()lg lg lg M N MN +=，再得到lg101,= 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案． 【详解】解： ()lg lg lg M N MN +=，∴ ()2lg 5lg 5lg 2lg 2+⨯+()lg 5lg 5lg 2lg 2=++lg 5lg10lg 2=+glg 5lg 2=+ lg10=1.=故选C【点睛】本题考查的是自定义运算，理解题意，弄懂自定义的运算法则是解本题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）13.函数y =x 的取值范围是_______． 【答案】1x > 【解析】10,x ->再解不等式可得答案．有意义可得：10,0x ì-³ïíïî即10,x -> 解得： 1.x > 故答案为：1x >【点睛】本题考查的是二次根式与分式有意义的条件，函数自变量的取值范围，理解函数自变量的取值范围的含义是解本题的关键．14. 已知实数12,x x 是方程210x x +-=的两根，则12x x =______． 【答案】1- 【解析】【分析】由一元二次方程根与系数的关系直接可得答案． 【详解】解： 实数12,x x 是方程210x x +-=的两根，1211,1x x -\==- 故答案为：1-【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，掌握“12cx x a=”是解本题的关键．15. 黑色袋子中装有质地均匀，大小相同的编号为1~15号台球共15个，搅拌均匀后，从袋中随机摸出1个球，则摸出的球编号为偶数的概率是_______． 【答案】715【解析】【分析】根据概率公式求解即可．【详解】解：由题意可知：编号为1~15号台球中偶数球的个数为7个， ∴摸出的球编号为偶数的概率7=15， 故答案为：715． 【点睛】本题考查概率公式，解题的关键是掌握利用概率的定义求事件概率的方法：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的n 种结果，那么事件A 发生的概率()m P A n=． 16. 九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点E 是AD 的黄金分割点，即0.618DE AD ≈．延长HF 与AD 相交于点G ，则EG ≈________DE .（精确到0.001）【答案】0.618 【解析】【分析】设每个矩形的长为x ，宽为y ，则DE ＝AD －AE ＝x －y ，四边形EFGM 是矩形，则EG ＝MF ＝y ，由0.618DE AD ≈得x －y ≈0.618x ，求得y ≈0.382x ，进一步求得EGDE，即可得到答案．【详解】解：如图，设每个矩形的长为x ，宽为y ，则DE ＝AD －AE ＝x －y ， 由题意易得∠GEM ＝∠EMF ＝∠MFG ＝90°， ∴四边形EFGM 是矩形， ∴EG ＝MF ＝y ，∵0.618DE AD ≈，∴x －y ≈0.618x ，解得y ≈0.382x ， ∴0.3820.6180.382EG y x DE x y x x=≈--≈， ∴EG ≈0.618DE ．故答案为：0.618．【点睛】此题考查了矩形的判定和性质、分式的化简、等式的基本性质、二元一次方程等知识，求得y ≈0.382x 是解题的关键．17. 菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，点P 、Q 分别是BC 、BD 上的动点，CQ PQ +的最小值为______．【解析】【分析】过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，在直角三角形BEC 中，勾股定理即可求解．【详解】解：如图，过点C 作CE ⊥AB 于E ，交BD 于G ，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE 为FG +CG 的最小值，当P 与点F 重合，Q 与G 重合时，PQ +QC 最小，菱形ABCD 的边长为2，45ABC ∠=︒，Rt BEC ∴ 中，EC BC ==∴PQ +QC【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键．18. 如图，已知等腰ABC 的顶角BAC ∠的大小为θ，点D 为边BC 上的动点（与B 、C 不重合），将AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度时点D 落在D ¢处，连接BD '．给出下列结论：①ACD ABD '≅△△；②ACB ADD ' △△；③当BD CD =时，ADD ' 的面积取得最小值．其中正确的结论有________（填结论对应的序号）．【答案】①②③【解析】【分析】依题意知，ABC 和ADD ' 是顶角相等的等腰三角形，可判断②；利用SAS 证明ADC AD B '≌△△， 可判断①；利用面积比等于相似比的平方，相似比为AD AC ，故最小时ADD ' 面积最小，即AD BC ⊥，等腰三角形三线合一，D 为中点时 .【详解】∵AD 绕点A 沿顺时针方向旋转θ角度得到AD '∴DAD θ'∠=，AD AD ='∴CAB DAD '∠=∠即CAD DAB DAB BAD '∠+∠=∠+∠∴CAD BAD '∠=∠∵CAD BAD AC AB AD AD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪='⎩'得：ADC AD B '≌△△（SAS ）故①对∵ABC 和ADD ' 是顶角相等的等腰三角形∴ACB ADD ' △△故②对 ∴2()AD D ABC S AD S AC'=△△ 即AD 最小时AD D S '△最小当AD BC ⊥时，AD 最小由等腰三角形三线合一，此时D 点是BC 中点故③对故答案为：①②③【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，手拉手模型，选项③中将面积与相似比结合是解题的关键 .三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）19. 计算：()10120221602π-⎛⎫-++-︒ ⎪⎝⎭． 【答案】-2【解析】【分析】分别计算零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，然后按照去括号、先乘除后加减的顺序依次计算即可得出答案．【详解】解：()-1012022-1602π⎛⎫+-+-︒ ⎪⎝⎭(1212=---121=--2=-．【点睛】此题考查实数的混合运算，包含零指数幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值．熟练掌握相关运算的运算法则以及整体的运算顺序是解决问题的关键．20. 先化简，再求值：3242244x x x x x ⎛⎫++÷ ⎪--+⎝⎭，其中x 是满足条件2x ≤的合适的非负整数． 【答案】2x x-， 1- 【解析】【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，在根据分式的性质化简，最后将1x =代入求解 【详解】解：原式＝()()()2322422x x x x x +-+-⨯-()2232442x x x x --+=⋅- 2x x -=； 2x ≤的非负整数，0,2x ≠∴当1x =时，原式＝1211-=- 【点睛】本题考查了分式的化简求值，不等式的整数解，正确的计算是解题的关键．四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）21. 按国务院教育督导委员会办公室印发的《关于组织责任督学进行“五项管理”督导的通知》要求，各中小学校积极行动，取得了良好的成绩．某中学随机抽取了部分学生对他们一周的课外阅读时间（A ：10h 以上，B ：8h ~10h ，C ：6h ~8h ，D ：6h 以下）进行问卷调查，将所得数据进行分类，统计了绘制了如下不完整的统计图．请根据图中的信息，解答下列问题：（1）本次调查的学生共_______名；（2）=a ________，b =________；（3）补全条形统计图．【答案】（1）200（2）30，50（3）画图见解析【解析】【分析】（1）由D 组有10人，占比5%，从而可得总人数；（2）由A ，B 组各自的人数除以总人数即可；（3）先求解C 组的人数，再补全图形即可．【小问1详解】解：105%=200¸（人），所以本次调查的学生共200人，故答案为：200【小问2详解】 60100%=30%,200´ 100100%=50%,200´ 所以30,50,a b ==故答案为：30，50【小问3详解】C 组有200601001030---=（人）， 所以补全图形如下：【点睛】本题考查的是从条形图与扇形图中获取信息，求解扇形图中某部分所占的百分比，补全条形图，掌握以上基础统计知识是解本题的关键．22. “体育承载着国家强盛、民族振兴的梦想”．墩墩使用握力器（如实物图所示）锻炼手部肌肉．如图，握力器弹簧的一端固定在点P 处，在无外力作用下，弹簧的长度为3 cm ，即 3 cm PQ =．开始训练时，将弹簧的端点Q 调在点B 处，此时弹簧长4 cm PB =，弹力大小是100N ，经过一段时间的锻炼后，他手部的力量大大提高，需增加训练强度，于是将弹簧端点Q 调到点C 处，使弹力大小变为300N ，已知120∠=︒PBC ，求BC 的长．注：弹簧的弹力与形变成正比，即F k x =⋅∆，k 是劲度系数，x ∆是弹簧的形变量，在无外力作用下，弹簧的长度为0x ，在外力作用下，弹簧的长度为x ，则0x x x ∆=-．【答案】2-【解析】【分析】利用物理知识先求解,k 再求解336,PC =+=再求解,,BM PM 再利用勾股定理求解MC ，从而可得答案．【详解】解：由题意可得：当100F =时，431,x =-=V100,k \= 即100,F x =gV 当300F =时，则3,x =V336,PC \=+=如图，记直角顶点为M ，120,90,PBC PMB Ð=°Ð=°Q30,BPM \Ð=° 而4,PB =2,BM PM \===MC \=2.BC MC BM \=-=【点睛】本题是跨学科的题，考查了正比例函数的性质，三角形的外角的性质，勾股定理的应用，含30°的直角三角形的性质，二次根式的化简，理解题意，建立数学函数模型是解本题的关键．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）23. “绿水青山就是金山银山”．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比2倍少4 mg ，若一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62 mg ．（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶．问这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约多少千克？【答案】（1）一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg ，40mg ． （2）这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．【解析】【分析】（1）设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x mg ，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为()24x -mg ，由一片国槐树叶与一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为62mg 列方程，再解方程即可；（2）列式500040´进行计算，再把单位化为kg 即可．【小问1详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x mg ，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为()24x -mg ，则2462,x x \+-=解得：22,x =2440,x \-=答：一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量分别为22mg ，40mg ．【小问2详解】5000040=2000000´（mg ），而2000000mg=2000g=2kg ，答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克．【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，有理数的乘法运算，设出合适的未知数，确定相等关系是解本题的关键．24. 如图，以BC 为边分别作菱形BCDE 和菱形BCFG （点C ，D ，F 共线），动点A 在以BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上，连接EF 交BC 于点O ．设G θ∠=．（1）求证：无论θ为何值，EF 相互平分；并请直接写出使EF BC ⊥成立的θ值．（2）当90θ=︒时，试给出tan ABC ∠的值，使得EF 垂直平分AC ，请说明理由．【答案】（1）见解析，60︒（2）2，理由见解析【解析】【分析】（1）、①连接BF 、CE ，证明四边形BFCE 为平行四边形即可，②由题意可知四边形BFCE 为菱形，进而可证明GBF 为等边三角形，即可求解；（2）、连接AF ，AO ，由垂直平分线的性质易证AOF COF ≌，从而可知90FAO ∠=︒，再由正方形的以及圆的相关性质可证得AOH OBA ∠=∠，设正方形边长为x ，在Rt FAO 中，由正切的定义即可求解．【小问1详解】证明：如图所示：连接BF 、CE ，∵菱形BCDE 和菱形BCFG （点C ，D ，F 共线），∴点G 、B 、E 共线，,FC BG FC BC BE ∴==∥ ，,FC BE FC BE ∴=∥ ，∴四边形BFCE 是平行四边形，∴EF 与BC 相互平分，即：无论θ为何值，EF 与BC 相互平分；又∵EF BC ⊥，∴四边形BFCE 是菱形，∴BE =BF ，又∵菱形BCDE 和菱形BCFG ，GF BG BF BE ∴=== ，GFB ∴ 为等边三角形，60G θ∴∠==︒；小问2详解】如图所示：连接AF ，AO ，设EF 与AC 交于点H ，∵EF 垂直平分AC,,90AF FC AO CO AHO ∴==∠=︒ ，由（1）知，O 为BC 的中点，∴动点A 在以O 为圆心，BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上，【90,BAC AO BO CO ∴∠=︒== ，OBA OAB ∴∠=∠ ，90OAB OAC AOH OAC ∠+∠=∠+∠=︒ ，AOH OAB OBA ∴∠=∠=∠ ，在AOF 和COF 中，AF CF AO CO FO FO =⎧⎪=⎨⎪=⎩，AOF COF ∴ ≌ ，FAO FCO ∴∠=∠ ，∵90θ=︒，菱形BCFG ，∴四边形BCFG 为正方形，90,FCO FC BC ∴∠=︒= ，90FAO FCO ∴∠=∠=︒，设FC BC x ==，则AF CF x == ，1122AO OC BC x === ， 在Rt FAO 中， tan 212AF x FOA AO x ∠===， AOH OBA ∠=∠ ，tan tan 2ABC FOA ∴∠=∠=．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，圆中的相关性质，直径所对的圆周角为90度，正切的定义等，熟练掌握以上知识点，并能综合运用是解题的关键．六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）25. 如图，已知BD 是Rt ABC 的角平分线，点O 是斜边AB 上的动点，以点O 为圆心，OB 长为半径的O 经过点D ，与OA 相交于点E ．（1）判定AC 与O 的位置关系，为什么？（2）若3BC =，32CD =， ①求sin DBC ∠、sin ABC ∠的值；②试用sin DBC ∠和cos DBC ∠表示sin ABC ∠，猜测sin 2α与sin α，cos α的关系，并用30α=︒给予验证．【答案】（1）相切，原因见解析（2）①sin DBC ∠=，4sin 5ABC ∠=；②sin 22sin cos ααα=，验证见解析 【解析】 【分析】（1）连接OD ，根据角之间的关系可推断出//OD BC ，即可求得ODA ∠的角度，故可求出圆与边的位置关系为相切；（2）①构造直角三角形，根据角之间的关系以及边长可求出sin DBC ∠，sin ABC ∠的值；②先表示出来sin DBC ∠、cos DBC ∠和sin ABC ∠的关系，进而猜测sin 2α与sin α，cos α的关系，然后将30α=︒代入进去加以验证．【小问1详解】解：连接OD ，如图所示∵BD 为ABC ∠的角平分线∴ABD CBD ∠=∠又∵O 过点B 、D ，设O 半径为r∴OB =OD =r∴ODB OBD CBD ∠=∠=∠∴//OD BC （内错角相等，两直线平行）∵OD AC ⊥∴AC 与O 的位置关系为相切．【小问2详解】①∵BC =3，32CD =∴BD ==∴sin CD DBC BD ∠== 过点D 作DF AB ⊥交于一点F ，如图所示∴CD =DF （角平分线的性质定理）∴BF =BC =3∴OF =BF -OB =3-r ，32OF CD ==∴222OD OF DF =+即2223(3)()2r r =-+ ∴158r = ∵//OD BC∴ABC FOD ∠=∠ ∴4sin sin 5DF ABC FOD OD ∠=∠==∴4sin 5DBC ABC ∠=∠=；②cos CB DBC BD ∠==∴2sin cos 5DBC DBC ∠⨯∠== ∴sin 2sin cos ABC DBC DBC ∠=∠⨯∠猜测sin 22sin cos ααα=当30α=︒时260α=︒∴sin 2sin 60α=︒=1sin sin 302α=︒=cos cos30α=︒=∴1sin 22sin cos 2sin 22αααα==⨯== ∴sin 22sin cos ααα=．【点睛】本题考查了圆与直线的位置关系、切线的判定、三角函数之间的关系，解题的关键在于找到角与边之间的关系，进而求出结果．26. 如图，抛物线21262y x x =--与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C ．（1）请直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）点()(),06P m n m <<在抛物线上，当m 取何值时，PBC 的面积最大？并求出PBC 面积的最大值．（3）点F 是抛物线上的动点，作FE //AC 交x 轴于点E ，是否存在点F ，使得以A 、C 、E 、F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()2,0A -，()6,0B ，()0,6C -；（2）3m =，PBC 面积的最大值272；（3）存在，()2+或()2-或()4,6-．【解析】【分析】（1）令0y =得到212602x x --=，求出x 即可求得点A 和点B 的坐标，令0x =，则6y =-即可求点C 的坐标；（2）过P 作PQ y ∥轴交BC 于Q ，先求出直线BC 的解析式，根据三角形的面积，当平行于直线BC 直线与抛物线只有一个交点时，点P 到BC 的距离最大，此时，PBC 的面积最大，利用三角形面积公式求解；（3）根据点F 是抛物线上的动点，作FE //AC 交x 轴于点E 得到AE CF ，设21,262F a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，当点F 在x 轴下方时，当点F 在x 轴的上方时，结合点6OC =，利用平行四边形的性质来列出方程求解．【小问1详解】解：令0y =， 则212602x x --=， 解得12x =-，26x =，∴()2,0A -，()6,0B ，令0x =，则6y =-，∴()0,6C -；【小问2详解】解：过P 作PQ y ∥轴交BC 于Q ，如下图．设直线BC 为()0y kx b k =+≠，将()6,0B 、()0,6C -代入得066k b b =+⎧⎨=-⎩， 解得16k b =⎧⎨=-⎩， ∴直线BC 为6y x =-，根据三角形的面积，当平行于直线BC 直线与抛物线只有一个交点时，点P 到BC 的距离最大，此时，PBC 的面积最大，∵()(),06P m n m <<， ∴21262P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ，()6Q m m -，， ∴()()221196263222PQ m m m m ⎛⎫=----=--+⎪⎝⎭， ∵102-<， ∴3m =时，PQ 最大为92， 而1192762222PBC C B S PQ x x =⋅-=⨯⨯= ， ∴PBC 的面积最大为272；【小问3详解】解：存在．∵点F 是抛物线上的动点，作FE //AC 交x 轴于点E ，如下图．∴AE CF ，设21,262F a a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭． 当点F 在x 轴下方时，∵()0,6C -，即6OC =， ∴212662a a --=-， 解得10a =（舍去），24a =，∴()4,6F -．当点F 在x 轴的上方时，令6y =， 则212662a a --= ，解得32a =+，42a =-∴()2F +或()2-．综上所述，满足条件的点F 的坐标为()2+或()4,6-或()2-． 【点睛】本题是二次函数与平行四边形、二次函数与面积等问题的综合题，主要考查求点的坐标，平行四边形的性质，面积的表示，涉及方程思想，分类思想等。
2023年湖南省娄底市中考数学真题(精品解析)【可编辑可打印】
B. 6 : 3 :2
C. 1: 2:3
D. 3 : 2 :1
【分析】首先根据长方体的性质， 得出相对面的面积相等， 再根据物体的压力不变， 结合反比例函数 的性质进行分析，即可得出答案.
【详解】解：∵长方体物体的一顶点所在A 、B、C 三个面的面积比是3 : 2 :1， ∴长方体物体的 A 、B 、C 三面所对的与水平地面接触的面积比也为3 : 2 :1，
∵P = ，F > 0 ，且F 一定，
∴P 随S 的增大而减小，
∴ PA
: PB
【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数的能力．注意找中位数的时候一定要先排 好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求； 如果是偶数个， 则找中间两位数的平均数.
5
5.
不等式组-x
2x
+3 -2
5的解集在数轴上表示正确的是(
0
)
A.
B.
C.
D.
【详解】解： 4430 万= 44300000 = 4.43 107 ， 故选： B.
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a 10n 的形式，其中1 a < 10 ， n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
4
4. 一个小组 7 名同学的身高（单位：cm ）分别为： 175 ，160，158 ，155，168，151，170 ．这组数 据的中位数是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】A 【解析】
【分析】先判断出 ， 3 9 是无理数，再根据概率公式进行计算即可. 【详解】解：∵ = 2 ，- = -2 ， ∴ ，3.1415926，3. ， 3& ， ，- ， 中无理数有： ， ， ∴从 ，3.1415926 ，3.3& ， ， ，- ， 3 9 故选 A 【点睛】本题考查的是求解一个数的算术平方根，立方根，无理数的含义，利用概率公式求解简单 随机事件的概率，掌握以上基础知识是解本题的关键.
湖南省娄底市中考数学试题(word版,含答案解析)
娄底市初中毕业学业考试数学试题卷一、选择题(本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出四个选项中，只有一个选项是符合题目要求，请把你认为符合题目要求选项填涂在答题卡上相应题号下方框里)1. 2018相反数是（）A. B. 2018 C. -2018 D.【答案】C【解析】【分析】根据只有符号不同两个数互为相反数进行解答即可得.【详解】2018与-2018只有符号不同，由相反数定义可得2018相反数是-2018，故选C.【点睛】本题考查了相反数定义，熟练掌握相反数定义是解题关键.2. 一组数据-3，2，2，0，2，1众数是（）A. -3B. 2C. 0D. 1【答案】B【解析】【分析】一组数据中次数出现最多数据是众数，根据众数定义进行求解即可得.【详解】数据数据-3，2，2，0，2，1中，2出现了3次，出现次数最多，其余都出现了1次，所以这组数据众数是2，故选B.【点睛】本题考查了众数定义，熟练掌握众数定义是解题关键.3. 随着我国综合国力提升，中华文化影响日益增强，学中文外国人越来越多，中文已成为美国居民第二外语，美国常讲中文人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】科学记数法表示形式为a×10n形式，其中1≤|a|<10，n为整数、确定n值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n绝对值与小数点移动位数相同、当原数绝对值>1时，n是正数；当原数绝对值<1时，n是负数、【详解】210万=2100000，2100000=2.1×106，故选B、【点睛】本题考查科学记数法表示方法、科学记数法表示形式为a×10n形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a值以及n值、4. 下列运算正确是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据同底数幂乘法、积乘方、完全平方公式、多项式乘法法则逐项进行计算即可得.【详解】A. ，故A选项错误，不符合题意；B. ，故B选项错误，不符合题意；C. ，故C选项错误，不符合题意；D. ，正确，符合题意，故选D.【点睛】本题考查了整式运算，熟练掌握同底数幂乘法、积乘方、完全平方公式、多项式乘法运算法则是解题关键.5. 关于一元二次方程根情况是（）A. 有两不相等实数根B. 有两相等实数根C. 无实数根D. 不能确定【答案】A【解析】【分析】根据一元二次方程根判别式进行判断即可.【详解】，△=[-(k+3)]2-4k=k2+6k+9-4k=(k+1)2+8，∵(k+1)2≥0，∴(k+1)2+8>0，即△>0，∴方程有两个不相等实数根，故选A.【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根判别式△=b2-4ac、当△＞0时，方程有两个不相等实数根；当△=0时，方程有两个相等实数根；当△＜0时，方程没有实数根、6. 不等式组最小整数解是（）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】分别求出不等式组中每一个不等式解集，然后确定出不等式组解集，即可求出最小整数解. 【详解】，解不等式①得，x≤2，解不等式②得，x>-1，所以不等式组解集是：-1<x≤2，所以最小整数解为0，故选B.【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，不等式组整数解，熟练掌握一元一次不等式组解法是关键.7. 下图所示立体图形俯视图是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到图形，根据俯视图是从物体上面看得到视图即可、【详解】从物体上面看可看到有两列小正方形，左边一列有1个，右边一列有两个，得到图形如图所示：故选B.【点睛】本题考查了几何体三视图，明确每个视图是从几何体哪一面看得到是解题关键.8. 函数中自变量取值范围是（）A. B. C. 且x≠3 D.【答案】C【解析】【分析】根据二次根式有意义条件、分式有意义条件进行求解即可得.【详解】由题意得：，解得：x≥2且x≠3，故选C.【点睛】本题考查了函数自变量范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负、9. 将直线向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得直线表达式为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据“上加下减”、“左加右减”原则进行解答即可、【详解】由“左加右减”原则可知，将直线y=2x-3向右平移2个单位后所得函数解析式为y=2(x-2)-3=2x-7，由“上加下减”原则可知，将直线y=2x-7向上平移3个单位后所得函数解析式为y=2x-7+3=2x-4，故选A.【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，熟知函数图象平移法则是解答此题关键、10. 如图，往竖直放置在处由软管连接粗细均匀细管组成“形装置中注入一定量水，水面高度为，现将右边细管绕处顺时针方向旋转到位置，则中水柱长度约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据旋转后两侧液面高度相等，而且软管中液体总长度与原来是一样，结合已知可知此时AB 中水柱长度为左边水柱长度2倍，据此即可得.【详解】如图，旋转后AB中水柱长度为AD，左侧软管中水柱长度为EF，由题意则有EF+AD=2×6=12cm，∵∠DAM=90°-60°=30°，∠AMD=90°，∴AD=2DM，∵EF=DM，∴AD=8cm，故选C.【点睛】本题主要考查了30度角所对直角边是斜边一半，旋转性质等，解本题关键是明确旋转前后软管中水柱长度是不变.11. 如图，由四个全等直角三角形围成大正方形面积是169，小正方形面积为49，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】设直角三角形直角边长分别为x、y（x>y），根据大正方形面积为169，小正方形面积为49可得关于x、y方程组，解方程组求得x、y值，然后利用正弦、余弦定义进行求解即可得.【详解】设直角三角形直角边长分别为x、y（x>y），由题意得，解得：或（舍去），∴直角三角形斜边长为13，∴sinα-cosα=，故选D.【点睛】本题考查了解直角三角形应用，根据题意求出直角三角形三边长是解题关键.12. 已知: 表示不超过最大整数，例: ，令关于函数(是正整数)，例：=1，则下列结论错误．．是（）A. B.C. D. 或1【答案】C【解析】【分析】根据新定义运算逐项进行计算即可做出判断.【详解】A. ==0-0=0，故A选项正确，不符合题意；B. ===，=，所以，故B选项正确，不符合题意；C. =，= ，当k=3时，==0，= =1，此时，故C选项错误，符合题意；D.设n为正整数，当k=4n时，==n-n=0，当k=4n+1时，==n-n=0，当k=4n+2时，==n-n=0，当k=4n+3时，==n+1-n=1，所以或1，故D选项正确，不符合题意，故选C.【点睛】本题考查了新定义运算，明确运算法则，运用分类讨论思想是解题关键.二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，满分18分)13. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，点是反比例函数图象上一点，轴于点，则面积为___________.【答案】1【解析】【分析】设P点坐标为（m，n），根据三角形面积公式以及点P在反比例函数图象上即可得.【详解】设P点坐标为（m，n），则有mn=2，OA=|m|，PA=|n|，S△POA=OA•PA=|m|•|n|=1，故答案为：1.【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k几何意义，有到知识为：在反比例函数图象上点横纵坐标积等于反比例函数比例系数、14. 如图，是内心，连接，面积分别为，则___________.(填“<”或“=”或“>”)【答案】＜【解析】【分析】根据点P是△ABC内心，可知点P到△ABC三边距离相等，设这个距离为h，根据三角形面积公式表示出S1、S2+S3，然后再根据三角形三边关系进行判断即可.【详解】∵点P是△ABC内心，∴点P到△ABC三边距离相等，设这个距离为h，∴S1=AB•h，S2+S3=BC•h+AC•h，∵AB＜BC+AC，∴S1＜S2+S3，故答案为：＜.【点睛】本题考查了三角形内心性质，三角形三边关系，熟知三角形内心到三角形三边距离相等是解本题关键.15. 从·2018·高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试.学生已选物理，还想从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科.若他选思想政治、历史、地理可能性相等，选化学、生物可能性相等，则选修地理和生物概率为___________.【答案】【解析】【分析】列表格得出所有等可能情况，然后再找出符合题意情况，根据概率公式进行计算即可得. 【详解】列表格：政治历史地理化学化学，政治化学，历史化学，地理生物生物，政治生物，历史生物，地理从表格中可以看出一共有6种等可能情况，选择地理和生物有1种情况，所以选择地理和生物概率是，故答案为：.【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比、16. 如图，中，，于点，于点，于点，，则__________.【答案】6【解析】【分析】由等腰三角形性质可得∠C ＝∠ABC， BD=DC=BC，再根据∠BED=∠CFB=90°，可证△BED∽△CFB，根据相似三角形对应边成比例即可求得.【详解】∵AB=AC，∴∠C ＝∠ABC ，又∵AD ⊥BC于D 点，∴ BD=DC=BC，又DE ⊥AB，BF ⊥AC，∴∠BED=∠CFB=90°，∴△BED∽△CFB，∴DE：BF=BD：BC=1：2，∴BF=2DE=2×3=6cm ，故答案为：6.【点睛】本题考查了等腰三角形性质、相似三角形判定与性质，得到△BED∽△CFB是解本题关键.17. 如图，已知半圆与四边形边都相切，切点分别为，半径，则___________.【答案】1【解析】【分析】连接OE，由切线长定理可得∠AOE=∠DOE，∠BOE=∠EOC，再根据∠DOE+∠EOC=180°，可得∠AOB=90°，继而可证△AEO∽△OEB，根据相似三角形对应边成比例即可得. 【详解】连接OE，∵AD、AB与半圆O 相切，∴ OE⊥AB，OA平分∠DOE，∴∠AOE=∠DOE，同理∠BOE=∠EOC，∵∠DOE+∠EOC=180°，∴∠AOE+∠BOE=90°，即∠AOB=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°，∵∠BAO+∠AOE=90°，∴∠ABO=∠AOE，∵∠OEA=∠BEO=90°，∴△AEO∽△OEB，∴AE：OE=OE：BE，∴AE•BE=OE²=1，故答案为：1.【点睛】本题考查了切线长定理、相似三角形判定与性质等，证得△AEO∽△OEB是解题关键. 18. 设是一列正整数，其中表示第一个数，表示第二个数，依此类推，表示第个数(是正整数)已知，.则___________.【答案】4035【解析】【分析】整理得，从而可得a n+1-a n=2或a n=-a n+1，再根据题意进行取舍后即可求得a n表达式，继而可得a2018.【详解】∵，∴，∴，∴a n+1=a n+1-1或a n+1=-a n+1+1，∴a n+1-a n=2或a n=-a n+1，又∵是一列正整数，∴a n=-a n+1不符合题意，舍去，∴a n+1-a n=2，又∵a1=1，∴a2=3，a3=5，……，a n=2n-1，∴a2018=2×2018-1=4035，故答案为：4035.【点睛】本题考查了完全平方公式应用、平方根应用、规律型题，解题关键是通过已知条件推导得出a n+1-a n=2.三、解答题19. 计算: .【答案】10【解析】【分析】先分别进行0次幂计算、负指数幂计算、二次根式以及绝对值化简、特殊角三角函数值，然后再按运算顺序进行计算即可.【详解】原式=1+9-+4=10-+=10.【点睛】本题考查了实数混合运算，涉及到0指数幂、负指数幂、特殊角三角函数值等，熟练掌握各运算运算法则是解题关键.20. 先化简，再求值: ，其中.【答案】原式==3+2【详解】原式===，当x=时，原式==3+2.【点睛】本题考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题关键.21. 为了取得扶贫工作胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识培训与测试，随机抽取了部分人员测试成绩作为样本，并将成绩划分为四个不同等级，绘制成不完整统计图如下图，请根据图中信息，解答下列问题；(1)求样本容量；(2)补全条形图，并填空: ；(3)若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为级人数为多少?【答案】(1)60；(2)10；(3)2000【解析】【分析】（1）根据B等级人数为18，占比为30%即可求得样本容量；（2）用样本容量减去A等级、B等级、D等级人数求得C等级人数，补全条形图，用D等级人数除以样本容量再乘以100%即可求得n；（3）用5000乘以A等级所占比即可求得.【详解】（1）样本容量为：18÷30%=60；（2）C等级人数为：60-24-18-6=12，补全条形图如图所示：6÷60×100%=10% ，所以n=10，故答案为：10；（3）估计本次测试成绩为级人数为：5000×=2000（人）.【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体，能从统计图中得到必要信息是解题关键.22. 如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼高达，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上第二高楼高，为了测量高楼上发射塔高度，在楼底端点测得仰角为α，，在顶端E测得A仰角为，求发射塔高度.【答案】AB高度为28米【解析】【分析】设AB高度为x米，过点E作EF⊥AC于F，则FC＝DE＝340米，继而可得BF＝112米，从而可得AF＝（112+x）米，在Rt△AEF中，根据等腰直角三角形性质可得EF＝AF＝CD＝（112+x）米，Rt△ACD中，由sinａ=，可得tanａ=，再由tanａ＝得到关于x方程，解方程即可求得AB长. 【详解】设AB高度为x米，过点E作EF⊥AC于F，则FC＝DE＝340米，∴BF＝452－340＝112米，∴AF＝（112+x）米，在Rt△AEF中，∠FAB＝∠AEF＝45°，∴EF＝AF＝CD＝（112+x）米，Rt△ACD中，sinａ==，设AC=24k，AD=25k(k>0)，由勾股定理则有CD==7k，∴tanａ==，Rt△ACD中，AC=（452+x）米，tanａ＝=，解得x=28，答：发射塔AB高度是28米..【点睛】此题主要考查了解直角三角形应用，解题关键是从题目中整理出直角三角形并正确利用边角关系求解、23. “绿水青山，就是金山银山”，某旅游景区为了保护环境，需购买两种型号垃圾处理设备共10台，已知每台型设备日处理能力为12吨；每台型设备日处理能力为15吨，购回设备日处理能力不低于140吨.(1)请你为该景区设计购买两种设备方案；(2)已知每台型设备价格为3万元，每台型设备价格为4.4万元.厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问:采用(1)设计哪种方案，使购买费用最少，为什么?【答案】（1）共有4种方案，具体方案见解析；（2）购买A型设备2台、B型设备8台时费用最少.（2）针对（1）中方案逐一进行计算即可做出判断.【详解】（1）设该景区购买设计A型设备为x台、则B型设备购买（10-x）台，其中0 ≤x ≤10，由题意得：12x+15（10－x）≥140，解得x≤，∵0 ≤x ≤10，且x是整数，∴x＝3，2，1，0，∴B型相应台数分别为7，8，9，10，∴共有4种方案：方案一：A型设备3 台、B型设备7 台；方案二：A型设备2 台、B型设备8 台；方案三：A型设备1 台、B型设备9 台；方案四：A型设备0 台、B型设备10 台.（2）方案二费用最少，理由如下：方案一购买费用: 3 ×3+4.4 ×7=39.8 （万元）＜40 （万元）∴费用为39.8（万元），方案二购买费用: 2 ×3+4.4 ×8=41.2 （万元）＞40 （万元）∴费用为41.2 ×90%=37.08（万元）方案三购买费用：3 ×1+4.4 ×9=42.6 （万元）＞40 （万元）∴费用为42.6 ×90%=38.34（万元）方案四购买费用：4.4 ×10=44 （万元）＞40 （万元）∴费用为44 ×90%=39.6（万元）∴方案二费用最少，即A型设备2台、B型设备8台时费用最少.【点睛】本题考查了一元一次不等式应用、最优购买方案，弄清题意，找到不等关系列出不等式是解题关键.24. 如图，已知四边形中，对角线相交于点，且，，过点作，分别交于点.(1)求证: ；(2)判断四边形形状，并说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）四边形BED是菱形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据对角线互相平分四边形是平行四边形，由已知可得四边形ABCD是平行四边形，继而可根据ASA证明ΔAOE≌ΔCOF；（2）由ΔAOE≌ΔCOF可得OE=OF，再根据OB=OD可得四边形BEDF是平行四边形，再根据对角线互相垂直平行四边形是菱形即可证得四边形BEDF是菱形.【详解】（1）∵OA=OC、OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，又∵∠AOE=∠COF，OA=OC，∴△AOE≌△COF（ASA）；（2）四边形BEDF是菱形，理由如下：∵△AOE≌△COF，∴OE=OF，又∵OB=OD，∴四边形DEBF是平行四边形，又∵EF⊥BD，∴平行四边形DEBF是菱形.【点睛】本题考查了平行四边形判定与性质、菱形判定，熟记平行四边形判定与性质定理、菱形判定定理是解本题关键.25. 如图，是以为直径上点，，弦交于点.(1)当是切线时，求证: ；(2)求证: ；(3)已知，是半径中点，求线段长.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）DE＝【解析】【分析】（1）由AB是直径，可得∠DAB+∠ABD＝90°，再根据PB是⊙O切线，可得∠ABD+∠PBD＝90°，根据同角余角相等即可证得∠PBD＝∠DAB；（2）证明△BCE∽△DCB，根据相似三角形对应边成比例可得BC2＝CE•CD，再根据CD=CE+DE 经过推导即可得BC2- CE2= CE•DE；(3) 连接OC，由，AB是直径，可得∠AOC=∠BOC=90°，根据勾股定理则有CE²=OE²+CO²， BC²=OB²+CO²，再根据OA=4 ，E 是半径OA 中点，继而可得BC=4，CE=2，再根据（2）中BC²-CE²=CE·DE，即可求得DE长.【详解】（1）∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，即∠DAB+∠ABD＝90°，又∵ PB是⊙O切线，∴PB⊥AB，∴∠ABP＝90°，即∠ABD+∠PBD＝90°，∴∠PBD＝∠DAB；（2）∵，∴∠BDC＝∠EBC，又∵∠BCE＝BCD，∴△BCE∽△DCB，∴BC：CE=CD：BC，∴BC2＝CE•CD，∴BC2＝CE(CE+DE)，∴BC2＝CE2+CE•DE，∴BC2- CE2= CE•DE；(3)连接OC，∵，AB是直径，∴∠AOC=∠BOC=90°，∴CE²=OE²+CO²， BC²=OB²+CO²，∵OA=4 ，E 是半径OA 中点，∴BC=4，CE=2，由（2）中BC²-CE²=CE·DE，所以DE=(BC²-CE²)÷CE=12÷2= ，故DE=.【点睛】本题是综合题，考查了切线性质、相似三角形判定与性质、圆周角定理等，解题关键是正确添加辅助线、熟练应用切线性质、相似三角形判定与性质是解题关键.26. 如图，抛物线与两坐标轴相交于点，是抛物线顶点，是线段中点.(1)求抛物线解析式，并写出点坐标;(2) 是抛物线上动点；①当时，求面积最大值；②当时，求点坐标.【答案】（1）y=-x2+2x+3，D(1,4)； (2) ①当x=2时，S最大值=1；②F（－，－2－２）或（2－，－2+2）【解析】【分析】（1）利用待定系数法可求得抛物线解析式，然后再配方成顶点式即可得点D坐标；（2）①由x＞1，y＞0，可以确定点F是直线BD上方抛物线上动点，F（x, -x2+2x+3），过点F作FH⊥x轴交直线BD于M，由B、D坐标易得y BD=-2x+6，继而得M（x，-2x+6），从而得到FM=-(x-2)2+1，再根据S△BDF=S△DFM+S△BFM，从而可得S△BDF=-(x-2)2+1，根据二次函数性质即可得；②分点F在x轴上方抛物线上，点F在x轴下方、y轴左侧抛物线上两种情况进行讨论即可得. 【详解】（1）抛物线与两坐标轴相交于点由题意得：，解得：，所以抛物线解析式为：y=-x2+2x+3，配方得y=-(x-1)2+4，∴抛物线顶点D坐标为（1，4）；（2）①∵x＞1，y＞0，∴点F是直线BD上方抛物线上动点，则F（x, -x2+2x+3），过点F作FH⊥x轴交直线BD于M，∵B（3，0）， D（1，4），∴y BD=-2x+6，则M（x，-2x+6），∴FM=-x2+2x+3-(-2x+6)= -x2+4x-3=-(x-2)2+1，∵S△BDF=S△DFM+S△BFM，∴S△BDF=FM•（x-1|）+FM•（3-x）=FM•(x-1+3-x)=FM =-(x-2)2+1，∴当x=2时，S最大值＝1；②当FE∥BD，且点F在x轴上方抛物线上时，设FE解析式为y=-2x+b，∵直线FE过点E（1，0），∴b=2，y FE=-2x+2，联立y=-2x+2与y=-x2+2x+3，解得F（2－，－2+2）；当F在x轴下方、y轴左侧抛物线上时，设直线EF与直线BD交于点N，∵∠AEF=∠NEB，又∵∠AEF＝∠DBE，∴∠NEB＝∠DBE，∴NE=NB，∴点N横坐标为2，又∵点N在直线y BD=-2x+6上，∴N（2，2），∴yＥN＝2x-2，联立y=2x-2与y=-x2+2x+3，解得F（－，－2－2），综上所述F（－，－2－2）或（2－，－2+2）.【点睛】本题是二次函数综合题，涉及到待定系数法、二次函数最值、解方程组、分类讨论等，解题关键是正确添加辅助线.。
娄底中考数学试题及答案
娄底中考数学试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项是正确的比例关系？A. 3:4 = 6:8B. 3:4 ≠ 6:8C. 3:4 = 6:9D. 3:4 = 6:7答案：A2. 一个数的平方根是它本身的数有几个？A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个答案：C3. 如果一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是多少平方厘米？A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：C4. 下列哪个选项是不等式2x - 3 < 5的解？A. x < 4B. x > 4C. x < 2D. x > 2答案：A5. 一个等腰三角形的底边长为6厘米，高为4厘米，它的周长是多少厘米？A. 12厘米B. 16厘米C. 18厘米D. 20厘米答案：D6. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5或-5B. 只有5C. 只有-5D. 都不是答案：A7. 一个等差数列的首项是2，公差是3，那么它的第五项是多少？A. 14B. 17C. 20D. 23答案：A8. 下列哪个函数的图像是一条直线？A. y = x^2B. y = 2x + 3C. y = 1/xD. y = sqrt(x)答案：B9. 一个长方体的长、宽、高分别是5厘米、3厘米和2厘米，它的体积是多少立方厘米？A. 30B. 45C. 60D. 75答案：A10. 一个二次函数的顶点是(2, -1)，且开口向上，那么它的对称轴是？A. x = 2B. x = -2C. x = 1D. x = 3答案：A二、填空题（每题3分，共30分）11. 一个数的立方根是它本身的数有__个。
答案：312. 如果一个三角形的两边长分别是4厘米和6厘米，那么第三边的长x的取值范围是__。
答案：2 < x < 1013. 一个数的相反数是-5，那么这个数是__。
答案：514. 一个数的倒数是1/3，那么这个数是__。
2024届湖南省娄底市名校中考押题数学预测卷含解析
2024届湖南省娄底市名校中考押题数学预测卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1．关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ） A ．6B ．7C ．8D ．92．若( )53-=-，则括号内的数是( ) A ．2-B ．8-C ．2D ．83．如图，点E 在△DBC 的边DB 上，点A 在△DBC 内部，∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE ，AB=AC ．给出下列结论： ①BD=CE ；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD ⊥CE ；④BE 1=1（AD 1+AB 1）﹣CD 1．其中正确的是（ ）A ．①②③④B ．②④C ．①②③D ．①③④4．已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）A ．图象必经过点（﹣1，2）B ．y 随x 的增大而增大C ．图象在第二、四象限内D ．若，则5．一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，投掷这样的骰子一次，向上一面点数是偶数的结果有（ ） A ．1种 B ．2种C ．3种D ．6种6．一、单选题如图： 在ABC ∆中，CE 平分ACB ∠，CF 平分ACD ∠，且//EF BC 交AC 于M ，若5CM =，则22CE CF +等于（ ）A．75 B．100 C．120 D．125 7．的倒数是（）A．B．C．D．8．由4个相同的小立方体搭成的几何体如图所示，则它的主视图是（）A．B．C．D．9．sin45°的值等于（）A．2B．1 C．32D．2210．如图,在△ABC中,AD是BC边的中线,∠ADC=30°,将△ADC沿AD折叠,使C点落在C′的位置,若BC=4,则BC′的长为()A．23B．2 C．4 D．3二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．12的相反数是______．12．甲、乙两个搬运工搬运某种货物．已知乙比甲每小时多搬运600kg，甲搬运5000kg所用的时间与乙搬运8000kg 所用的时间相等．设甲每小时搬运xkg货物，则可列方程为_____．13．如图，在4×4正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任选取一个白色的小正方形并涂黑，使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是_____．14．如图，已知ABC，D、E分别是边AB、AC上的点，且1.3AD AEAB AC==设AB a=，DE b=，那么AC=______.(用向量a、b表示)15．唐老师为了了解学生的期末数学成绩，在班级随机抽查了10名学生的成绩，其统计数据如下表：分数（单位：分）100 90 80 70 60人数 1 4 2 1 2则这10名学生的数学成绩的中位数是_____分．16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，点B的坐标分别为（0，2），（-1，0），将线段AB沿x轴的正方向平移，若点B的对应点的坐标为B'（2，0），则点A的对应点A'的坐标为___．17．用换元法解方程221231x xx x+-=+时，如果设21xyx+=，那么原方程化成以y为“元”的方程是________．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）2013年我国多地出现雾霾天气，某企业抓住商机准备生产空气净化设备，该企业决定从以下两个投资方案中选择一个进行投资生产，方案一：生产甲产品，每件产品成本为a元（a为常数，且40＜a＜100），每件产品销售价为120元，每年最多可生产125万件；方案二：生产乙产品，每件产品成本价为80元，每件产品销售价为180元，每年可生产120万件，另外，年销售x万件乙产品时需上交0.5x2万元的特别关税，在不考虑其它因素的情况下：（1）分别写出该企业两个投资方案的年利润y1（万元）、y2（万元）与相应生产件数x（万件）（x为正整数）之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；（2）分别求出这两个投资方案的最大年利润；（3）如果你是企业决策者，为了获得最大收益，你会选择哪个投资方案？19．（5分）山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．求二月份每辆车售价是多少元？为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？=，（8分）如图，P是半圆弧AB上一动点，连接PA、PB，过圆心O作OC//BP交PA于点C，连接CB.已知AB6cm 20．设O，C两点间的距离为xcm，B，C两点间的距离为ycm．小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行探究．下面是小东的探究过程，请补充完整：()1通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：x/cm0 0.5 1 1.5 2 2.5 3y/cm 3 3.1 3.5 4.0 5.3 6(说明：补全表格时相关数据保留一位小数)()2建立直角坐标系，描出以补全后的表中各对应值为坐标的点，画出该函数的图象；()3结合画出的函数图象，解决问题：直接写出OBC周长C的取值范围是______．21．（10分）如图1，二次函数y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．（1）求顶点D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）若以AD为直径的圆经过点C．①求抛物线的函数关系式；②如图2，点E是y轴负半轴上一点，连接BE，将△OBE绕平面内某一点旋转180°，得到△PMN（点P、M、N分别和点O、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MF⊥x轴于点F，若线段MF：BF＝1：2，求点M、N的坐标；③点Q在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、B两点，并且和直线CD相切，如图3，求点Q的坐标．22．（10分） 如图，在平面直角坐标系中，直线y 1＝2x+b 与坐标轴交于A 、B 两点，与双曲线2ky x= （x ＞0）交于点C ，过点C 作CD ⊥x 轴，垂足为D ，且OA ＝AD ，点B 的坐标为（0，﹣2）． （1）求直线y 1＝2x+b 及双曲线2ky x=（x ＞0）的表达式； （2）当x ＞0时，直接写出不等式2kx b x>+的解集； （3）直线x ＝3交直线y 1＝2x+b 于点E ，交双曲线2ky x=（x ＞0）于点F ，求△CEF 的面积．23．（12分）如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点． （1）观察猜想图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ； （2）探究证明把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由； （3）拓展延伸把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．24．（14分）某校组织了一次初三科技小制作比赛，有A．B．C，D四个班共提供了100件参赛作品. C班提供的参赛作品的获奖率为50%，其他几个班的参赛作品情况及获奖情况绘制在下列图l和图2两幅尚不完整的统计图中.(1)B班参赛作品有多少件？(2)请你将图②的统计图补充完整；(3)通过计算说明，哪个班的获奖率高？(4)将写有A，B，C，D四个字母的完全相同的卡片放入箱中，从中一次随机抽出两张卡片，求抽到A，B两班的概率.参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、C【解题分析】方程有实数根，应分方程是一元二次方程与不是一元二次方程，两种情况进行讨论，当不是一元二次方程时，a-6=0，即a=6；当是一元二次方程时，有实数根，则△≥0，求出a的取值范围，取最大整数即可．【题目详解】当a-6=0，即a=6时，方程是-1x+6=0，解得x=63 =84；当a-6≠0，即a≠6时，△=（-1）2-4（a-6）×6=201-24a≥0，解上式，得263a ≈1.6，取最大整数，即a=1．故选C．2、C【解题分析】根据有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数，可得答案．【题目详解】-=-，解：253故选：C．【题目点拨】本题考查了有理数的减法，减去一个数等于加上这个数的相反数．3、A【解题分析】分析：只要证明△DAB≌△EAC，利用全等三角形的性质即可一一判断；详解：∵∠DAE=∠BAC=90°，∴∠DAB=∠EAC∵AD=AE，AB=AC，∴△DAB≌△EAC，∴BD=CE，∠ABD=∠ECA，故①正确，∴∠ABD+∠ECB=∠ECA+∠ECB=∠ACB=45°，故②正确，∵∠ECB+∠EBC=∠ABD+∠ECB+∠ABC=45°+45°=90°，∴∠CEB=90°，即CE⊥BD，故③正确，∴BE1=BC1-EC1=1AB1-（CD1-DE1）=1AB1-CD1+1AD1=1（AD1+AB1）-CD1．故④正确，故选A．点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．4、B【解题分析】试题分析：根据反比例函数y=的性质，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大，即可作出判断．试题解析：A、（-1，2）满足函数的解析式，则图象必经过点（-1，2）；B、在每个象限内y随x的增大而增大，在自变量取值范围内不成立，则命题错误；C、命题正确；D、命题正确．故选B．考点：反比例函数的性质5、C【解题分析】试题分析：一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，掷一次这枚骰子，向上的一面的点数为偶数的有3种情况，故选C．考点：正方体相对两个面上的文字．6、B【解题分析】根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形，然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2，进而可求出CE2+CF2的值．【题目详解】解：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ACE=12∠ACB，∠ACF=12∠ACD，即∠ECF=12（∠ACB+∠ACD）=90°，∴△EFC为直角三角形，又∵EF∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠ECB=∠MEC=∠ECM，∠DCF=∠CFM=∠MCF，∴CM=EM=MF=5，EF=10，由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1．故选：B．【题目点拨】本题考查角平分线的定义（从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线），直角三角形的判定（有一个角为90°的三角形是直角三角形）以及勾股定理的运用，解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形．7、C【解题分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解．【题目详解】∵，∴的倒数是.故选C8、A【解题分析】试题分析：几何体的主视图有2列，每列小正方形数目分别为2，1.故选A．考点：三视图视频9、D【解题分析】根据特殊角的三角函数值得出即可．【题目详解】解：sin45°2故选：D．【题目点拨】本题考查了特殊角的三角函数的应用，能熟记特殊角的三角函数值是解此题的关键，难度适中．10、A【解题分析】连接CC′，∵将△ADC沿AD折叠，使C点落在C′的位置，∠ADC=30°，∴∠ADC′=∠ADC=30°，CD=C′D，∴∠CDC′=∠ADC+∠ADC′=60°，∴△DCC′是等边三角形，∴∠DC′C=60°，∵在△ABC中，AD是BC边的中线，即BD=CD，∴C′D=BD，∴∠DBC′=∠DC′B=12∠CDC′=30°，∴∠BC′C=∠DC′B+∠DC′C=90°，∵BC=4，∴BC′=BC•cos∠33故选A.【题目点拨】本题考查了折叠的性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识，准确添加辅助线，掌握折叠前后图形的对应关系是解题的关键．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、﹣12．【解题分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．【题目详解】1 2的相反数是12-.故答案为1 2 -.【题目点拨】本题考查的知识点是相反数，解题关键是熟记相反数的概念.12、5000x＝8000600+x【解题分析】设甲每小时搬运x千克，则乙每小时搬运（x+600）千克，根据甲搬运5000kg所用时间与乙搬运8000kg所用时间相等建立方程求出其解就可以得出结论．【题目详解】解：设甲每小时搬运x千克，则乙每小时搬运（x+600）千克，由题意得：5000x＝8000600+x．故答案是：5000x＝8000600+x．【题目点拨】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意找到等量关系是关键．13、5 13【解题分析】如图，有5种不同取法；故概率为 5 13. 14、3a b +【解题分析】在△ABC 中，AD AE AB AC =，∠A=∠A ，所以△ABC ~△ADE ，所以DE=13BC ，再由向量的运算可得出结果. 【题目详解】解：在△ABC 中，AD AE AB AC=，∠A=∠A ， ∴△ABC ~△ADE ，∴DE=13BC ， ∴BC =3DE =3b∴AC AB BC =+=3a b +，故答案为3a b +.【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质以及向量的运算.15、1【解题分析】根据中位数的概念求解即可．【题目详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为：60，60，70，80，80，90，90，90，90，100， 则中位数为：90802+=1． 故答案为：1．【题目点拨】本题考查了中位数的概念：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．16、（3，2）【解题分析】根据平移的性质即可得到结论．【题目详解】∵将线段AB 沿x 轴的正方向平移，若点B 的对应点B′的坐标为（2，0），∵-1+3=2，∴0+3=3∴A′（3，2），故答案为：（3，2）【题目点拨】本题考查了坐标与图形变化-平移．解决本题的关键是正确理解题目，按题目的叙述一定要把各点的大致位置确定，正确地作出图形．17、y-23y= 【解题分析】分析：根据换元法，可得答案． 详解：21x x +﹣221x x +=1时，如果设21x x +=y ，那么原方程化成以y 为“元”的方程是y ﹣2y =1． 故答案为y ﹣2y=1． 点睛：本题考查了换元法解分式方程，把21x x +换元为y 是解题的关键．三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）y 1=（120-a ）x （1≤x≤125，x 为正整数），y 2=100x-0.5x 2（1≤x≤120，x 为正整数）；（2）110-125a （万元），10（万元）；（3）当40＜a ＜80时，选择方案一；当a=80时，选择方案一或方案二均可；当80＜a ＜100时，选择方案二．【解题分析】（1）根据题意直接得出y 1与y 2与x 的函数关系式即可；（2）根据a 的取值范围可知y 1随x 的增大而增大，可求出y 1的最大值．又因为﹣0.5＜0，可求出y 2的最大值； （3）第三问要分两种情况决定选择方案一还是方案二．当2000﹣200a ＞1以及2000﹣200a ＜1．【题目详解】解：（1）由题意得：y1=（120﹣a）x（1≤x≤125，x为正整数），y2=100x﹣0.5x2（1≤x≤120，x为正整数）；（2）①∵40＜a＜100，∴120﹣a＞0，即y1随x的增大而增大，∴当x=125时，y1最大值=（120﹣a）×125=110﹣125a（万元）②y2=﹣0.5（x﹣100）2+10，∵a=﹣0.5＜0，∴x=100时，y2最大值=10（万元）；（3）∵由110﹣125a＞10，∴a＜80，∴当40＜a＜80时，选择方案一；由110﹣125a=10，得a=80，∴当a=80时，选择方案一或方案二均可；由110﹣125a＜10，得a＞80，∴当80＜a＜100时，选择方案二．考点：二次函数的应用．19、（1）二月份每辆车售价是900元；（2）每辆山地自行车的进价是600元．【解题分析】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价﹣进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．【题目详解】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据题意得：3000027000100x x=+，解得：x=900，经检验，x=900是原分式方程的解，答：二月份每辆车售价是900元；（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据题意得：900×（1﹣10%）﹣y=35%y，解得：y=600，答：每辆山地自行车的进价是600元．【题目点拨】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.20、（1）4.6（2）详见解析；（3）9C12≤≤.【解题分析】（1）动手操作，细心测量即可求解；（2）利用描点、连线画出函数图象即可；（3）根据观察找到函数值的取值范围，即可求得△OBC周长C的取值范围．【题目详解】()1经过测量，x2=时，y值为4.6()2根据题意，画出函数图象如下图：()3根据图象，可以发现，y的取值范围为：3y6≤≤，C6y=+，故答案为9C12≤≤.【题目点拨】本题通过学生测量、绘制函数，考查了学生的动手能力，由观察函数图象，确定函数的最值，让学生进一步了解函数的意义．21、（1）（1，﹣4a）；（2）①y=﹣x2+2x+3；②M（52，74）、N（32，154）；③点Q的坐标为（1，﹣61，﹣4﹣6．【解题分析】分析: （1）将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点D的坐标．（2）①以AD为直径的圆经过点C，即点C在以AD为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出△ACD是个直角三角形，且∠ACD＝90°，A点坐标可得，而C、D的坐标可由a表达出来，在得出AC、CD、AD的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出a的值．②将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，说明了PM正好和x轴平行，且PM＝OB＝1，所以求M、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据①的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：BF＝2MF作为等量关系进行解答即可．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，由C、D两点的坐标不难判断出∠CDQ＝45°，那么△QGD为等腰直角三角形，即QD ²＝2QG ²＝2QB ²，设出点Q的坐标，然后用Q点纵坐标表达出QD、QB的长，根据上面的等式列方程即可求出点Q的坐标．详解:（1）∵y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣1）2﹣4a，∴D（1，﹣4a）．（2）①∵以AD为直径的圆经过点C，∴△ACD为直角三角形，且∠ACD=90°；由y=ax2﹣2ax﹣3a=a（x﹣3）（x+1）知，A（3，0）、B（﹣1，0）、C（0，﹣3a），则：AC2=9a2+9、CD2=a2+1、AD2=16a2+4由勾股定理得：AC2+CD2=AD2，即：9a2+9+a2+1=16a2+4，化简，得：a2=1，由a＜0，得：a=﹣1，②∵a=﹣1，∴抛物线的解析式：y=﹣x2+2x+3，D（1，4）．∵将△OBE绕平面内某一点旋转180°得到△PMN，∴PM∥x轴，且PM=OB=1；设M（x，﹣x2+2x+3），则OF=x，MF=﹣x2+2x+3，BF=OF+OB=x+1；∵BF=2MF，∴x+1=2（﹣x2+2x+3），化简，得：2x2﹣3x﹣5=0解得：x1=﹣1（舍去）、x2=5 2 .∴M（52，74）、N（32，154）．③设⊙Q与直线CD的切点为G，连接QG，过C作CH⊥QD于H，如下图：∵C （0，3）、D （1，4），∴CH =DH =1，即△CHD 是等腰直角三角形，∴△QGD 也是等腰直角三角形，即：QD 2=2QG 2；设Q （1，b ），则QD =4﹣b ，QG 2=QB 2=b 2+4；得：（4﹣b ）2=2（b 2+4），化简，得：b 2+8b ﹣8=0，解得：b =﹣4±6 即点Q 的坐标为（1，426-+）或（1，426--）．点睛: 此题主要考查了二次函数解析式的确定、旋转图形的性质、圆周角定理以及直线和圆的位置关系等重要知识点；后两个小题较难，最后一题中，通过构建等腰直角三角形找出QD 和⊙Q 半径间的数量关系是解题题目的关键．22、（1）直线解析式为y 1＝2x ﹣2，双曲线的表达式为y 2＝4x（x ＞0）；（2）0＜x ＜2； （3）43【解题分析】（1）将点B 的代入直线y 1＝2x+b ，可得b ，则可以求得直线解析式；令y ＝0可得A 点坐标为（1，0），又因为OA ＝AD ，则D 点坐标为（2，0），把x ＝2代入直线解析式，可得y ＝2，从而得到点C 的坐标为（2，2），在把（2，2）代入双曲线y 2＝k x ，可得k ＝4，则双曲线的表达式为y 2＝4x（x ＞0）. （2）由x 的取值范围，结合图像可求得答案.（3）把x ＝3代入y 2函数，可得y ＝43 ；把x ＝3代入y 1函数，可得y ＝4，从而得到EF 83，由三角形的面积公式可得S △CEF ＝43. 【题目详解】解：（1）将点B 的坐标（0，﹣2）代入直线y 1＝2x+b ，可得﹣2＝b ，∴直线解析式为y 1＝2x ﹣2，令y ＝0，则x ＝1，∴A（1，0），∵OA＝AD，∴D（2，0），把x＝2代入y1＝2x﹣2，可得y＝2，∴点C的坐标为（2，2），把（2，2）代入双曲线y2＝kx，可得k＝2×2＝4，∴双曲线的表达式为y2＝4x（x＞0）；（2）当x＞0时，不等式kx＞2x+b的解集为0＜x＜2；（3）把x＝3代入y2＝4x，可得y＝43；把x＝3代入y1＝2x﹣2，可得y＝4，∴EF＝4﹣43＝83，∴S△CEF＝12×83×（3﹣2）＝43，∴△CEF的面积为43．【题目点拨】本题考察了一次函数和双曲线例函数的综合；熟练掌握由点求解析式是解题的关键；能够结合图形及三角形面积公式是解题的关键.23、(1)PM＝PN，PM⊥PN；(2)△PMN是等腰直角三角形，理由详见解析；(3)492．【解题分析】（1）利用三角形的中位线得出PM＝12CE，PN＝12BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM＝12BD，PN＝12BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；（3）方法1、先判断出MN最大时，△PMN的面积最大，进而求出AN，AM，即可得出MN最大＝AM+AN，最后用面积公式即可得出结论．方法2、先判断出BD最大时，△PMN的面积最大，而BD最大是AB+AD＝14，即可．【题目详解】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，∴PN∥BD，PN＝12 BD，∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝12 CE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，故答案为：PM＝PN，PM⊥PN，（2）由旋转知，∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN＝12BD，PM＝12CE，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC ＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形，（3）方法1、如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM+AN，连接AM，AN，在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝22，在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝52，∴MN最大＝22+52＝72，∴S△PMN最大＝12PM2＝12×12MN2＝14×（72）2＝492．方法2、由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝12 BD，∴PM最大时，△PMN面积最大，∴点D在BA的延长线上，∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，∴S△PMN最大＝12PM2＝12×72＝492【题目点拨】本题考查旋转中的三角形,关键在于对三角形的所有知识点熟练掌握.24、（1）25件；（2）见解析；（3）B班的获奖率高；（4）.【解题分析】试题分析：（1）直接利用扇形统计图中百分数，进而求出B班参赛作品数量；（2）利用C班提供的参赛作品的获奖率为50%，结合C班参赛数量得出获奖数量；（3）分别求出各班的获奖百分率，进而求出答案；（4）利用树状统计图得出所有符合题意的答案进而求出其概率．试题解析：（1）由题意可得：100×（1﹣35%﹣20%﹣20%）=25（件），答：B班参赛作品有25件；（2）∵C班提供的参赛作品的获奖率为50%，∴C班的参赛作品的获奖数量为：100×20%×50%=10（件），如图所示：；（3）A班的获奖率为：×100%=40%，B班的获奖率为：×100%=44%，C班的获奖率为：=50%；D班的获奖率为：×100%=40%，故C班的获奖率高；（4）如图所示：，故一共有12种情况，符合题意的有2种情况，则从中一次随机抽出两张卡片，求抽到A、B两班的概率为：=．考点：1．列表法与树状图法；2．扇形统计图；3．条形统计图．。
2024届湖南省娄底市涟源市市级名校中考四模数学试题含解析
2024届湖南省娄底市涟源市市级名校中考四模数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，点P 是∠AOB 内任意一点，OP=5cm ，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，△PMN 周长的最小值是5cm ，则∠AOB 的度数是（ ）．A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒2．不等式组312840x x ->⎧⎨-≤⎩的解集在数轴上表示为（ ） A ． B ． C ． D ．3．4的平方根是( )A ．2B ．2C ．±2D ．±24．如图，等腰直角三角形的顶点A 、C 分别在直线a 、b 上，若a ∥b ，∠1=30°，则∠2的度数为（ ）A ．30°B ．15°C ．10°D ．20° 5．将抛物线2y x 向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A ．2(2)3y x =+-B ．2(2)3y x =++C ．2(2)3y x =-+D ．2(2)3y x =--6．计算12-+的值（）A．1 B．1-C．3 D．3-7．下列方程中，两根之和为2的是（）A．x2+2x﹣3=0 B．x2﹣2x﹣3=0 C．x2﹣2x+3=0 D．4x2﹣2x﹣3=08．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE∥BC的是( )A．DEBC＝23B．DEBC＝25C．AEAC＝23D．AEAC＝259．-2的倒数是（）A．-2 B．12-C．12D．210．如图是一个空心圆柱体，其俯视图是( )A．B．C．D．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．已知菱形的周长为10cm，一条对角线长为6cm，则这个菱形的面积是_____cm1．12．若使代数式212xx-+有意义，则x的取值范围是_____．13．如图△EDB由△ABC绕点B逆时针旋转而来，D点落在AC上，DE交AB于点F，若AB=AC，DB=BF，则AF 与BF的比值为_____．14．因式分解：a3b﹣ab3=_____．15．已知一次函数y=ax+b的图象如图所示，根据图中信息请写出不等式ax+b≥2的解集为___________．16．若反比例函数y＝﹣6x的图象经过点A(m，3)，则m的值是_____．17．化简：=_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）在Rt△ABC中，∠BAC=,D是BC的中点，E是AD的中点．过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：△AEF≌△DEB；（2）证明四边形ADCF是菱形；（3）若AC=4，AB=5，求菱形ADCFD 的面积．19．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，连结AE、BD且AE=AB．求证：∠ABE=∠EAD；若∠AEB=2∠ADB，求证：四边形ABCD是菱形．20．（8分）请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）一个水瓶与一个水杯分别是多少元？（2）甲、乙两家商场同时出售同样的水瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打八折；乙商场规定：买一个水瓶赠送两个水杯，另外购买的水杯按原价卖．若某单位想要买5个水瓶和n（n＞10，且n为整数）个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．（必须在同一家购买）21．（10分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝55，求BD的长．22．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BF平分∠ABC交AD于点E，交AC于点F，求证：AE＝AF．23．（12分）如图，小明今年国庆节到青城山游玩，乘坐缆车，当登山缆车的吊箱经过点A到达点B时，它经过了200m，缆车行驶的路线与水平夹角∠α＝16°，当缆车继续由点B到达点D时，它又走过了200m，缆车由点B到点D的行驶路线与水平面夹角∠β＝42°，求缆车从点A到点D垂直上升的距离．(结果保留整数)(参考数据：sin16°≈0.27，cos16°≈0.77，sin42°≈0.66，c os42°≈0.74)24．（14分）如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．如图1，求C点坐标；如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，求证：PA＝CQ；在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、B【解题分析】试题分析：作点P 关于OA 对称的点P 3,作点P 关于OB 对称的点P 3,连接P 3P 3,与OA 交于点M,与OB 交于点N,此时△PMN 的周长最小．由线段垂直平分线性质可得出△PMN 的周长就是P 3P 3的长，∵OP=3，∴OP 3=OP 3=OP=3．又∵P 3P 3=3，,∴OP 3=OP 3=P 3P 3,∴△OP 3P 3是等边三角形, ∴∠P 3OP 3=60°，即3（∠AOP+∠BOP ）=60°，∠AOP+∠BOP=30°,即∠AOB=30°，故选B ．考点：3．线段垂直平分线性质；3．轴对称作图．2、A【解题分析】分别求得不等式组中两个不等式的解集，再确定不等式组的解集，表示在数轴上即可.【题目详解】312840x x ->⎧⎨-≤⎩①② 解不等式①得，x>1；解不等式②得，x>2；∴不等式组的解集为：x≥2，在数轴上表示为：故选A.【题目点拨】本题考查了一元一次不等式组的解法，正确求得不等式组中每个不等式的解集是解决问题的关键.3、D【解题分析】先化简4，然后再根据平方根的定义求解即可．【题目详解】∵4=2，2的平方根是±2，∴4的平方根是±2．故选D．【题目点拨】本题考查了平方根的定义以及算术平方根，先把4正确化简是解题的关键，本题比较容易出错．4、B【解题分析】分析：由等腰直角三角形的性质和平行线的性质求出∠ACD=60°，即可得出∠2的度数．详解：如图所示：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=90°，∠ACB=45°，∴∠1+∠BAC=30°+90°=120°，∵a∥b，∴∠ACD=180°-120°=60°，∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-45°=15°；故选B．点睛：本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的性质；熟练掌握等腰直角三角形的性质，由平行线的性质求出∠ACD的度数是解决问题的关键．5、A【解题分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-1），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【题目详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移1个单位，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-1），所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-1．故选A．6、A【解题分析】根据有理数的加法法则进行计算即可．【题目详解】12=1-+故选：A．【题目点拨】本题主要考查有理数的加法，掌握有理数的加法法则是解题的关键．7、B【解题分析】由根与系数的关系逐项判断各项方程的两根之和即可．【题目详解】在方程x2+2x-3=0中，两根之和等于-2，故A不符合题意；在方程x2-2x-3=0中，两根之和等于2，故B符合题意；在方程x2-2x+3=0中，△=（-2）2-4×3=-8＜0，则该方程无实数根，故C不符合题意；在方程4x2-2x-3=0中，两根之和等于--21=42，故D不符合题意，故选B．【题目点拨】本题主要考查根与系数的关系，掌握一元二次方程的两根之和等于-ba、两根之积等于ca是解题的关键．8、D根据平行线分线段成比例定理的逆定理,当AD AEDB EC=或AD AEAB AC=时,DE BD,然后可对各选项进行判断.【题目详解】解：当AD AEDB EC=或AD AEAB AC=时,DE BD,即23AEEC=或25AEAC=.所以D选项是正确的.【题目点拨】本题考查了平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理.9、B【解题分析】根据倒数的定义求解.【题目详解】-2的倒数是-1 2故选B【题目点拨】本题难度较低，主要考查学生对倒数相反数等知识点的掌握10、D【解题分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【题目详解】该空心圆柱体的俯视图是圆环，如图所示：故选D．【题目点拨】本题考查了三视图，明确俯视图是从物体上方看得到的图形是解题的关键.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、14根据菱形的性质，先求另一条对角线的长度，再运用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解．【题目详解】解：如图，在菱形ABCD中，BD＝2．∵菱形的周长为10，BD＝2，∴AB＝5，BO＝3，∴22534AO=-=，AC＝3．∴面积168242S=⨯⨯=．故答案为14．【题目点拨】此题考查了菱形的性质及面积求法，难度不大．12、x≠﹣2【解题分析】直接利用分式有意义则其分母不为零，进而得出答案．【题目详解】∵分式212xx-+有意义，∴x的取值范围是：x+2≠0，解得：x≠−2.故答案是：x≠−2.【题目点拨】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握分式有意义的条件.13、【解题分析】先利用旋转的性质得到BC＝BD，∠C＝∠EDB，∠A＝∠E，∠CBD＝∠ABE，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理证明∠ABD＝∠A，则BD＝AD，然后证明△BDC∽△ABC，则利用相似比得到BC：AB＝CD：BC，即BF：(AF＋BF)＝AF：BF，最后利用解方程求出AF与BF的比值.【题目详解】∵如图△EDB由△ABC绕点B逆时针旋转而来，D点落在AC上，∴BC＝BD，∠C＝∠EDB，∠A＝∠E，∠CBD ＝∠ABE，∵∠ABE＝∠ADF，∴∠CBD＝∠ADF，∵DB＝BF，∴BF＝BD＝BC，而∠C＝∠EDB，∴∠CBD＝∠ABD，∴∠ABC＝∠C＝2∠ABD，∵∠BDC＝∠A＋∠ABD，∴∠ABD＝∠A，∴BD＝AD，∴CD＝AF，∵AB＝AC，∴∠ABC ＝∠C＝∠BDC，∴△BDC∽△ABC，∴BC：AB＝CD：BC，即BF：(AF＋BF)＝AF：BF，整理得AF2＋BF∙AF－BF2＝0，∴AF＝BF，即AF与BF的比值为.故答案是.【题目点拨】本题主要考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的性质，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解题的关键.14、ab（a+b）（a﹣b）【解题分析】先提取公因式ab，然后再利用平方差公式分解即可．【题目详解】a3b﹣ab3=ab（a2﹣b2）=ab（a+b）（a﹣b），故答案为ab（a+b）（a﹣b）.【题目点拨】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．分解因式的步骤一般为：一提（公因式），二套（公式），三彻底.15、x≥1．【解题分析】试题分析：根据题意得当x≥1时，ax+b≥2，即不等式ax+b≥2的解集为x≥1．故答案为x≥1．考点：一次函数与一元一次不等式．16、﹣2【解题分析】∵反比例函数6yx=-的图象过点A（m，3），∴63m=-，解得=2-.17、－6【解题分析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可：【题目详解】,故答案为-6三、解答题（共7小题，满分69分）18、（1）证明详见解析；（2）证明详见解析；（3）1．【解题分析】（1）利用平行线的性质及中点的定义，可利用AAS 证得结论；（2）由（1）可得AF=BD ，结合条件可求得AF=DC ，则可证明四边形ADCF 为平行四边形，再利用直角三角形的性质可证得AD=CD ，可证得四边形ADCF 为菱形；（3）连接DF ，可证得四边形ABDF 为平行四边形，则可求得DF 的长，利用菱形的面积公式可求得答案．【题目详解】（1）证明：∵AF ∥BC ，∴∠AFE =∠DBE ，∵E 是AD 的中点，∴AE =DE ，在△AFE 和△DBE 中，AFE DBE FEA BED AE DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFE ≌△DBE （AAS ）；（2）证明：由（1）知，△AFE ≌△DBE ，则AF =DB ．∵AD 为BC 边上的中线∴DB =DC ，∴AF =CD ．∵AF ∥BC ，∴四边形ADCF 是平行四边形，∵∠BAC =90°，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，∴AD =DC =12BC ， ∴四边形ADCF 是菱形；（3）连接DF，∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形ABDF是平行四边形，∴DF=AB=5，∵四边形ADCF是菱形，∴S菱形ADCF=12AC▪DF=12×4×5=1．【题目点拨】本题主要考查菱形的性质及判定，利用全等三角形的性质证得AF=CD是解题的关键，注意菱形面积公式的应用．19、（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解题分析】（1）根据平行四边形的对边互相平行可得AD∥BC，再根据两直线平行，内错角相等可得∠AEB=∠EAD，根据等边对等角可得∠ABE=∠AEB，即可得证．（2）根据两直线平行，内错角相等可得∠ADB=∠DBE，然后求出∠ABD=∠ADB，再根据等角对等边求出AB=AD，然后利用邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．【题目详解】证明：（1）∵在平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴∠AEB=∠EAD．∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB．∴∠ABE=∠EAD．（2）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBE．∵∠ABE=∠AEB，∠AEB=2∠ADB，∴∠ABE=2∠ADB．∴∠ABD=∠ABE－∠DBE=2∠ADB－∠ADB=∠ADB．∴AB=AD．又∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是菱形．20、（1）一个水瓶40元，一个水杯是8元；（2）当10＜n＜25时，选择乙商场购买更合算．当n＞25时，选择甲商场购买更合算．【解题分析】（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果；（2）计算出两商场得费用，比较即可得到结果．【题目详解】解：（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意得：3x+4（48﹣x）＝152，解得：x＝40，则一个水瓶40元，一个水杯是8元；（2）甲商场所需费用为（40×5+8n）×80%＝160+6.4n乙商场所需费用为5×40+（n﹣5×2）×8＝120+8n则∵n＞10，且n为整数，∴160+6.4n﹣（120+8n）＝40﹣1.6n讨论：当10＜n＜25时，40﹣1.6n＞0，160+0.64n＞120+8n，∴选择乙商场购买更合算．当n＞25时，40﹣1.6n＜0，即160+0.64n＜120+8n，∴选择甲商场购买更合算．【题目点拨】此题主要考查不等式的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系与不等关系进行列式求解.21、BD＝【解题分析】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，由勾股定理得出AC2=AB2+BC2=25，求出AC2+CD2=AD2，由勾股定理的逆定理得出△ACD是直角三角形，∠ACD=90°，证出∠ACB=∠CDM，得出△ABC∽△CMD，由相似三角形的对应边成比例求出CM=2AB=6，DM=2BC=8，得出BM=BC+CM=10，再由勾股定理求出BD即可．【题目详解】作DM⊥BC，交BC延长线于M，连接AC，如图所示：则∠M＝90°，∴∠DCM+∠CDM＝90°，∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，∴AC 2＝AB 2+BC 2＝25，∵CD ＝10，AD ＝55 ， ∴AC 2+CD 2＝AD 2，∴△ACD 是直角三角形，∠ACD ＝90°，∴∠ACB+∠DCM ＝90°，∴∠ACB ＝∠CDM ，∵∠ABC ＝∠M ＝90°，∴△ABC ∽△CMD ，∴12AB CM =， ∴CM ＝2AB ＝6，DM ＝2BC ＝8，∴BM ＝BC+CM ＝10，∴BD ＝22BM DM +＝22108+＝241，【题目点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明由勾股定理的逆定理证出△ACD 是直角三角形是解决问题的关键．22、见解析【解题分析】根据角平分线的定义可得∠ABF=∠CBF ，由已知条件可得∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，根据余角的性质可得∠AFB=∠BED ，即可求得∠AFE=∠AEF ，由等腰三角形的判定即可证得结论．【题目详解】∵BF 平分∠ABC ，∴∠ABF=∠CBF ，∵∠BAC=90°，AD ⊥BC ，∴∠ABF+∠AFB=∠CBF+∠BED=90°，∴∠AFB=∠BED ，∵∠AEF=∠BED ，∴∠AFE=∠AEF ，∴AE=AF ．【题目点拨】本题考查了等腰三角形的判定、直角三角形的性质，根据余角的性质证得∠AFB=∠BED 是解题的关键．23、缆车垂直上升了186 m ．【解题分析】在Rt ABC △中，sin 200sin1654BC AB α=⋅=⨯︒≈米，在Rt BDF 中，sin 200sin42132DF BD β=⋅=⨯︒≈，即可求出缆车从点A 到点D 垂直上升的距离．【题目详解】解：在Rt ABC △中，斜边AB =200米，∠α=16°，sin 200sin1654BC AB α=⋅=⨯︒≈（m ）， 在Rt BDF 中，斜边BD =200米，∠β=42°，sin 200sin42132DF BD β=⋅=⨯︒≈，因此缆车垂直上升的距离应该是BC +DF =186（米）．答：缆车垂直上升了186米．【题目点拨】本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，锐角三角函数的定义，结合图形理解题意是解决问题的关键．24、（1）C （1，-4）．（2）证明见解析；（3）∠APB=135°，P （1，0）．【解题分析】（1）作CH ⊥y 轴于H ，证明△ABO ≌△BCH ，根据全等三角形的性质得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH ，得到C 点坐标；（2）证明△PBA ≌△QBC ，根据全等三角形的性质得到PA=CQ ；（3）根据C 、P ，Q 三点共线，得到∠BQC=135°，根据全等三角形的性质得到∠BPA=∠BQC=135°，根据等腰三角形的性质求出OP ，得到P 点坐标．【题目详解】（1）作CH ⊥y 轴于H ，则∠BCH+∠CBH=90°，∵AB ⊥BC ，∴∠A BO+∠CBH=90°，∴∠ABO=∠BCH ，在△ABO 和△BCH 中，ABO BCH AOB BHC AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABO ≌△BCH ，∴BH=OA=3，CH=OB=1，∴OH=OB+BH=4，∴C 点坐标为（1，﹣4）；（2）∵∠PBQ=∠ABC=90°，∴∠PBQ ﹣∠ABQ=∠ABC ﹣∠ABQ ，即∠PBA=∠QBC ，在△PBA 和△QBC 中，BP BQ PBA QBC BA BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA ≌△QBC ，∴PA=CQ ；（3）∵△BPQ 是等腰直角三角形，∴∠BQP=45°，当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135°，由（2）可知，△PBA≌△QBC，∴∠BPA=∠BQC=135°，∴∠OPB=45°，∴OP=OB=1，∴P点坐标为（1，0）．【题目点拨】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．。
湖南省娄底市名校2024届八年级数学第一学期期末联考试题含解析
湖南省娄底市名校2024届八年级数学第一学期期末联考试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．根据《居民家庭亲子阅读消费调查报告》中的相关数据制成扇形统计图，由图可知，下列说法错误．．的是（）A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子超过50%C．每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占20%D．每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是108°2．已知一组数据为2，3，5，7，8，则这组数据的方差为（）A．3 B．4.5 C．5.2 D．6出现3．如图是我市某景点6月份内110日每天的最高温度折线统计图，由图信息可知该景点这10天中，气温26C的频率是（）A．3 B．0.5 C．0.4 D．0.34．下列说法中正确的是（）A25±5 B．两个无理数的和仍是无理数C．-3没有立方根. D22-a b.5．下列图形中，是轴对称图形的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．如图，已知AD ＝CB ，添加下列条件还不能判定△ABC ≌△BAD 的是（ ）A ．AC ＝BDB ．∠DAB ＝∠CBAC ．∠CAB ＝∠DBAD ．∠C ＝∠D ＝90°7．如图，在等腰三角形ABC 中，AB AC =，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连接BD ，45A ∠=︒，则DBC ∠的度数为（ ）A ．22.5︒B ．25︒C ．27.5︒D ．308．下列各式中是完全平方式的是（ ）A ．214x x -+B ．21x -C ．22x xy y ++D ．221x x +-9．如图，AD 是△ABC 的中线，点E 、F 分别是射线AD 上的两点，且DE=DF ，则下列结论不正确的是（ ）A ．△BDF ≌△CDEB ．△ABD 和△ACD 面积相等C ．BF ∥CED ．AE=BF10．如图，在平面直角坐标系中，点1A ，2A ，3A ，和1B ，2B ，3B ，分别在直线15y x b =+和x 轴上，11OA B ∆，122B A B ∆，233B A B ∆，是以1A ，2A ，3A ，为顶点的等腰直角三角形．如果点()11,1A ，那么点2020A 的纵坐标是（ ）A ．201932⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．202032⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．201923⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．202023⎛⎫ ⎪⎝⎭二、填空题(每小题3分,共24分) 11．已知113-=a b ，则分式232a ab b a ab b+-=--__________． 12．已知点P （﹣10，1）关于y 轴对称点Q （a +b ，b ﹣1），则+a b 的值为_____．13．如图，在t R ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC cm =，10AB cm =，分别以点A ，B 为圆心，大于AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点P ，Q ，过P ，Q 两点作直线交BC 于点D ，则CD 的长是_______cm ．14．如图，在四边形ABCD 中，3AB =，13BC =，12CD =，4=AD ，且90A ∠=︒，则四边形ABCD 的面积是______.1553a +是最简二次根式，则最小的正整数a 为______. 1623a -5a 的值为________．17．如图，已知AB ∥CF ，E 为DF 的中点．若AB ＝13cm ，CF ＝7cm ，则BD ＝_____cm ．18．函数y x 2=+中，自变量x 的取值范围是 ．三、解答题(共66分)19．（10分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应运而生．为了解某小区居民使用共享单车的情况，某研究小组随机采访该小区的10位居民，得到这10位居民一周内使用共享单车的次数分别为：17，12，15，20，17，0，7，26，17，1．（1）这组数据的中位数是 ，众数是 ； （2）计算这10位居民一周内使用共享单车的平均次数；（3）若该小区有200名居民，试估计该小区居民一周内使用共享单车的总次数． 20．（6分）如图，直线//AC BD ，连接AB ，P 为一动点．（1）当动点P 落在如图(1)所示的位置时，连接PA PB 、，求证：APB PAC PBD ∠=∠+∠；（2）当动点P 落在如图(2)所示的位置时，连接PA PB 、，则APB PAC PBD ∠∠∠、、之间的关系如何，你得出的结论是 ．（只写结果，不用写证明）21．（6分）如图，点A 、D 、B 、E 在一条直线上，AD=BE ，∠C=∠F ，BC ∥EF. 求证：（1）△ABC ≌DEF ；（2）AC ∥DF22．（8分）计算（1）(-3x 2y 2)2·(2xy)3÷(xy)2 （2）8(x+2)2-(3x-1)(3x+1) （3） （π﹣3.14）03﹣2|21483-⎛⎫ ⎪⎝⎭． （4112438823．（8分）今年是“五四”运动100周年，为进一步弘扬“爱国、进步、民主、科学”的五四精神，引领广大团员青年坚定理想信念，某市团委、少先队共同举办纪念“五四运动100周年”读书演讲比赛，甲同学代表学校参加演讲比赛，7位评委给该同学的打分(单位：分)情况如下表： 评委 评委1评委2评委3 评委4 评委5 评委6 评委7打分6 8 78 5 78（1）直接写出该同学所得分数的众数与中位数； （2）计算该同学所得分数的平均数．24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，,A B 两点的坐标分别是点()0,A a ，点(),0Bb ，且,a b 满足：2102550a a b -++-=．（1）求ABO ∠的度数；（2）点D 是y 轴正半轴上A 点上方一点（不与A 点重合），以BD 为腰作等腰Rt BDC ∆，090DBC ∠=，过点C 作CE x ⊥轴于点E ．①求证：DBO BCE ∆≅∆；②连接AC 交x 轴于点F ，若4=AD ，求点F 的坐标．25．（10分）先化简再求值：2344111a a a a a -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭，再从0，-1，2中选一个数作为a 的值代入求值．26．（10分）（1148273-+（2）解方程组：231325x y x y +=⎧⎨-=-⎩参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【解题分析】根据扇形统计图中的百分比的意义逐一判断即可得．【题目详解】解：A．扇形统计图能反映各部分在总体中所占的百分比，此选项正确；B．每天阅读30分钟以上的居民家庭孩子的百分比为，超过，此选项正确；C.每天阅读1小时以上的居民家庭孩子占，此选项错误；D.每天阅读30分钟至1小时的居民家庭孩子对应扇形的圆心角是，此选项正确；故选：C．【题目点拨】本题主要考查扇形统计图，扇形统计图是用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．2、C【分析】先求出这组数据的平均数，再根据方差公式分别进行计算即可．【题目详解】解：这组数据的平均数是：（1+3+5+7+8）÷5＝5，则方差＝15[（1﹣5）1+（3﹣5）1+（5﹣5）1+（7﹣5）1+（8﹣5）1]＝5.1．故选C．【题目点拨】此题考查方差，掌握方差公式是解题关键．3、D【分析】通过折线统计图和频率的知识求解．【题目详解】解：由图知10天的气温按从小到大排列为：22.3，24，24，26，26，26，26.5，28，30，30，26有3个，因而26出现的频率是：3100%10=0.3.故选D.【题目点拨】本题考查了频率的计算公式，理解公式是关键．【分析】根据算术平方根和平方根的概念，无理数的概念立方根的概念，和二次根式的概念逐一判断即可．5=，故A 选项错误；0ππ-+=，故B 选项错误；-3=C 选项错误；D 选项正确；故选D ． 【题目点拨】本题考查了算术平方根和平方根的区别，无理数、二次根式和立方根的概念，题目较为综合，熟练掌握相关概念是本题的关键． 5、C【解题分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析． 【题目详解】解：第一个不是轴对称图形； 第二个是轴对称图形； 第三个是轴对称图形； 第四个是轴对称图形； 故是轴对称图形的个数是3个． 故选C ． 【题目点拨】此题主要考查了轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 6、C【分析】由全等三角形的判定可求解．【题目详解】当AC ＝BD 时，且AD ＝BC ，AB ＝AB ，由“SSS ”可证△ABC ≌△BAD ； 当∠DAB ＝∠CBA 时，且AD ＝BC ，AB ＝AB ，由“SAS ”可证△ABC ≌△BAD ； 当∠CAB ＝∠DBA 时，不能判定△ABC ≌△BAD ；当∠C ＝∠D ＝90°时，且AD ＝BC ，AB ＝AB ，由“HL ”可证Rt △ABC ≌Rt △BAD ； 故选C ． 【题目点拨】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．【分析】根据等腰三角形和线段垂直平分线的性质即可得出答案. 【题目详解】∵AB=AC ，∠A=45° ∴∠ABC=∠C=67.5° 又DM 是AB 的垂直平分线 ∴DA=DB∴∠A=∠DBA=45°∠DBC=∠ABC-∠DBA=22.5° 故答案选择A. 【题目点拨】本题考查的是等腰三角形和线段垂直平分线的性质，比较简单，需要熟练掌握相关基础知识. 8、A【分析】根据完全平方公式a 2±2ab+b 2=（a±b ）2进行分析，即可判断． 【题目详解】解：221142x x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，是完全平方公式，A 正确；其余选项不能配成完全平方形式，故不正确 故选：A ． 【题目点拨】本题考查完全平方公式，解题的关键是正确理解完全平方公式，本题属于基础题型． 9、D【解题分析】利用SAS 判定△BDF ≌△CDE ，即可一一判断； 【题目详解】解：∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD=CD ，∴S △ABD =S △ADC ，故B 正确， 在△BDF 和△CDE 中，BD DCBDF CDE ED DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BDF ≌△CDE （SAS ），故A 正确； ∴CE=BF ，∵△BDF ≌△CDE （SAS ）， ∴∠F=∠DEC ，∴FB ∥CE ，故C 正确； 故选D ． 【题目点拨】此题主要考查了全等三角形判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题. 10、A【分析】设点A 2，A 3，A 4…，A 2019坐标，结合函数解析式，寻找纵坐标规律，进而解题． 【题目详解】解：1(1,1)A 在直线15y x b =+， 45b ∴=， 1455y x ∴=+， 设22(A x ，2)y ，33(A x ，3)y ，44(A x ，4)y ，⋯，20202020(A x ，2019)y ，则有221455y x =+，331455y x =+，⋯，202020201455y x =+，又△11OA B ，△122B A B ，△233B A B ，⋯，都是等腰直角三角形，2122x y y ∴=+，312322x y y y =++，⋯，2020123201920202222x y y y y y =+++⋯++．将点坐标依次代入直线解析式得到： 21112y y =+，3121131222y y y =++=2y ，432y =3y ，⋯，2020201932y y =，又11y =，232y ∴=，233()2y =，343()2y =，⋯，201920203()2y =，故选：A ． 【题目点拨】此题主要考查了一次函数点坐标特点，等腰直角三角形斜边上高等于斜边长一半，解题的关键是找出规律．二、填空题(每小题3分,共24分) 11、34【分析】首先把113-=a b两边同时乘以ab ，可得3b a ab -= ，进而可得3a b ab -=-，然后再利用代入法求值即可．11∴3b a ab -= ， ∴3a b ab -=-，∴2323263334a b ab a ab b ab ab a ab ba babab ab故答案为：34【题目点拨】此题主要考查了分式化简求值，关键是掌握代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法．12、【分析】根据关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得，a+b=10，b-1=1，计算出a 、b 的值，【题目详解】解：∵点P （﹣10，1）关于y 轴对称点Q （a +b ，b ﹣1）， ∴a +b ＝10，b ﹣1＝1， 解得：a ＝8，b ＝2，＝，故答案为：． 【题目点拨】此题主要考查关于y 轴对称点的坐标特点以及二次根式的加法运算，关键是掌握关于y 轴对称点的坐标特点，即关于y 轴对称的两点：横坐标互为相反数，纵坐标不变． 13、74【分析】连接AD ，如图，先利用勾股定理计算出BC=8，利用基本作图得到PQ 垂直平分AB ，所以DA=DB ，设CD=x ，则DB=DA=8-x ，利用勾股定理得到x 2+62=（8-x ）2，然后解方程即可． 【题目详解】解：连接AD ，如图， ∵∠C=90°，AC=3，AB=5，∴=8， 由作法得PQ 垂直平分AB ， ∴DA=DB ，设CD=x ，则DB=DA=8-x ，在Rt △ACD 中，x 2+62=（8-x ）2，解得x=74， 即CD 的长为74. 故答案为：74.【题目点拨】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质和勾股定理.14、1【分析】连接BD ，如图，在△ABD 中，根据勾股定理可得BD 的长，然后根据勾股定理的逆定理可判断△BDC 是直角三角形，然后根据S 四边形ABCD =ABD BCD S S ∆∆+计算即可．【题目详解】解：连接BD ，如图，在△ABD 中，∵90A ∠=︒，3AB =，4=AD ，∴225BD AD AB =+=， ∵22222251216913BD CD BC +=+===，∴∠BDC =90°，∴S 四边形ABCD =11345126303622ABD BCD S S ∆∆+=⨯⨯+⨯⨯=+=． 故答案为：1．【题目点拨】本题考查了勾股定理及其逆定理以及三角形的面积等知识，属于基本题型，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解答的关键．15、1【分析】根据最简二次根式的定义求解即可.【题目详解】解：∵a 53a +∴当a=1=当a=1=，是最简二次根式，则最小的正整数a 为1，故答案为：1．【题目点拨】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．16、4【解题分析】根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方程求解．∴2a −3=5，解得：a =4.故答案为4.【题目点拨】考查最简二次根式与同类二次根式的概念，化为最简后被开方数相同的根式称为同类二次根式，17、6【分析】先根据平行线的性质求出∠ADE ＝∠EFC ，再由ASA 可求出△ADE ≌△CFE ，根据全等三角形的性质即可求出AD 的长，再由AB ＝13cm 即可求出BD 的长．【题目详解】解：∵AB ∥CF ，∴∠ADE ＝∠EFC ，∵E 为DF 的中点，∴DE=FE ，在△ADE 和△CFE 中，ADE CFE DE=FEAED=CEF ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△ADE ≌△CFE （ASA ），∴AD ＝CF ＝9cm ，∵AB ＝13cm ，∴BD ＝13﹣7＝6cm ．故答案为:6.【题目点拨】本题考查全等三角形的判定和性质，根据条件选择合适的判定定理是解题的关键.18、x2≥-．∴x20,+≥∴x2≥-故答案为x2≥-三、解答题(共66分)19、（1）16，17；（2）14；（3）2．【分析】（1）将数据按照大小顺序重新排列，计算出中间两个数的平均数即是中位数，出现次数最多的即为众数；（2）根据平均数的概念，将所有数的和除以10即可；（3）用样本平均数估算总体的平均数．【题目详解】（1）按照大小顺序重新排列后，第5、第6个数分别是15和17，所以中位数是（15+17）÷2＝16，17出现3次最多，所以众数是17，故答案为16，17；（2）10791215173202610⨯+++++⨯++=（）14，答：这10位居民一周内使用共享单车的平均次数是14次；（3）200×14＝2答：该小区居民一周内使用共享单车的总次数为2次．【题目点拨】本题考查了中位数、众数、平均数的概念以及利用样本平均数估计总体．抓住概念进行解题，难度不大，但是中位数一定要先将所给数据按照大小顺序重新排列后再求，以免出错．20、（1）见解析（2）∠APB+∠PAC+∠PBD＝360︒【分析】（1）延长AP交BD于M，根据三角形外角性质和平行线性质得出∠APB＝∠AMB＋∠PBD，∠PAC＝∠AMB，代入求出即可；（2）过P作EF∥AC，根据平行线性质得出∠PAC＋∠APF＝180︒，∠PBD＋∠BPF＝180︒，即可得出答案．【题目详解】（1）延长AP交BD于M，如图1，∵AC∥BD，∴∠PAC＝∠AMB，∵∠APB＝∠AMB＋∠PBD，∴∠APB＝∠PAC＋∠PBD；（2）∠APB+∠PAC+∠PBD＝360︒，如图2，过P作EF∥AC，∵AC∥BD，∴AC∥EF∥BD，∴∠PAC＋∠APF＝180︒，∠PBD＋∠BPF＝180︒，∴∠PAC＋∠APF＋∠PBD＋∠BPF＝360︒，∴∠APB＋∠PAC＋∠PBD＝360︒，∴∠APB+∠PAC+∠PBD＝360︒．【题目点拨】本题考查了平行线的性质和三角形外角性质的应用，解题的关键是熟知平行线的性质及三角形外角性质的应用．21、 (1)证明见解析；（2）证明见解析.【分析】(1)根据两直线平行,同位角相等,可求证∠CBA=∠FED,再根据线段和差关系证明AB=DE,然后利用AAS可判定△ABC≌△DEF.(2)利用全等三角形的性质可证得: ∠A=∠EDF,然后根据同位角相等两直线平行可判定AC∥DF.【题目详解】(1)∵BC∥EF,∴∠CBA=∠FED,∵AD=BE,∴AB=DE,在△ABC 和△DEF 中,C F CBA FED AB DE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝,∴△ABC ≌△DEF ,(2)∵△ABC ≌△DEF ,∴∠A =∠EDF ,∴AC ∥DF .22、（1）72x 5y 5；（2）-x 2+32x+33；（3）；(4) 【分析】（1）原式第一项利用积的乘方及幂的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可得到结果； （2）原式第一项利用完全平方公式展开，第二项利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果；（3）原式第一项利用零指数幂法则，第二项利用绝对值进行化简，第三项利用算术平方根定义计算，最后一项利用负整数指数幂化简，计算即可得到结果；（4）原式利用平方根的定义化简，合并即可得到结果；【题目详解】解：（1）原式=9x 4y 4•8x 3y 3÷x 2y 2=72x 7-2y 4+3-2=72x 5y 5； （2）原式=8（x 2+4x+4）-（9x 2-1）=8x 2+32x+32-9x 2+1=-x 2+32x+33；（3）原式=1+9．（4）原式=44⨯-=【题目点拨】此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，涉及的知识有：完全平方公式，平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．23、（1）众数为8，中位数为7；（2）7【分析】（1）将分数从低到高进行排列，出现次数最多的为众数，中间的分数为中位数；（2）将所有分数求和，再除以7即可得平均数．【题目详解】（1）将分数从低到高进行排列得：5，6，7，7，8，8，8∴众数为8，中位数为7；（2）平均数=()15677888=77++++++ 【题目点拨】本题考查了众数，中位数与平均数，熟记基本定义是解题的关键．24、（1）45°；（2）①见解析；②（﹣2，0）．【分析】（1）先根据非负数的性质求得a 、b 的值，进而可得OA 、OB 的长，进一步即可求出结果；（2）①根据余角的性质可得∠ODB =∠CBE ，然后即可根据AAS 证得结论；②根据全等三角形的性质和（1）的结论可得BO=CE 以及OE 的长，然后即可根据AAS 证明△AOF ≌△CEF ，从而可得OF=EF ，进而可得结果．【题目详解】解：（1）∵2102550a a b -++-=，即()2550a b -+-=， ∴a －5=0，b －5=0，∴a =5，b =5，∴AO=BO =5，∵∠AOB =90°，∴∠ABO =∠BAO =45°；（2）①证明：∵90DBC ∠=︒，∴∠DBO+∠CBE =90°，∵∠ODB +∠DBO =90°，∴∠ODB =∠CBE ，∵∠BOD =∠CEB =90°，BD=CB ，∴DBO BCE ∆≅∆（AAS ）；②∵DBO BCE ∆≅∆，∴DO=BE ，BO=CE ，∵AO=BO =5，AD =4，∴OE=AD =4，CE =5，∵∠AOF =∠CEF ，∠AFO =∠CFE ，AO=CE =5，∴△AOF ≌△CEF （AAS ），∴OF=EF ，∵OE =4，∴OF =2，∴点F 的坐标是（﹣2，0）．【题目点拨】本题以平面直角坐标系为载体，主要考查了非负数的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，属于常考题型，熟练掌握等腰直角三角形和全等三角形的判定与性质是解题关键．25、22+-a a，当0a =时，原式=1 【分析】先通分去括号，因式分解，变除为乘，约分得最简分式，然后确定a 不能取的数值，可取的值代入运算即可．【题目详解】解：2344111a a a a a -+⎛⎫-+÷ ⎪++⎝⎭ 23(1)(1)(2)+11a a a a a --+-=÷+ 2(2+)(2)11(2)a a a a a -+=⋅+- 22a a+=- ∵1,2a ≠-∴当0a =时，原式=20120+=-． 【题目点拨】本题考查了分式的化简求值，熟知相关运算是解题的关键．26、（1；（2）11x y =-⎧⎨=⎩ 【分析】（1）先化简二次根式，再进行加减运算即可；（2）利用加减消元法解方程组即可．【题目详解】（1）原式=33-+= （2）231325x y x y +=⎧⎨-=-⎩①② ①×2+②×3得，1313x =- 解得1x =-将1x =-代入①中，得1y =所以方程组的解为11x y =-⎧⎨=⎩【题目点拨】本题主要考查二次根式的加减运算及解二元一次方程组，掌握二次根式的化简和加减消元法是解题的关键．。
湖南省娄底市涟源市市级名校2022年中考联考数学试卷含解析
2021-2022中考数学模拟试卷请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。
写在试题卷、草稿纸上均无效。
2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．在0，-2，5，14，-0.3中，负数的个数是（ ）． A ．1B ．2C ．3D ．42．如图，在数轴上有点O ，A ，B ，C 对应的数分别是0，a ，b ，c ，AO ＝2，OB ＝1，BC ＝2，则下列结论正确的是（ ）A ．a c =B ．0ab >C ．1a c +=D ．1b a -=3．如图，一段抛物线：y=﹣x （x ﹣5）（0≤x≤5），记为C 1，它与x 轴交于点O ，A 1；将C 1绕点A 1旋转180°得C 2， 交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3， 交x 轴于点A 3；…如此进行下去，得到一“波浪线”，若点P （2018，m ）在此“波浪线”上，则m 的值为（ ）A ．4B ．﹣4C ．﹣6D ．64．有三张正面分别标有数字－2 ，3, 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后， 从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张， 则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（ ） A ．49B ．112C ．13D ．165．已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a+b ＞0；③b 2﹣4ac ＞0；④a ﹣b+c ＞0，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为20km ．他们前进的路程为s (km)，甲出发后的时间为t (h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是（ ）A ．甲的速度是4km/hB ．乙的速度是10km/hC ．乙比甲晚出发1hD ．甲比乙晚到B 地3h7．某区10名学生参加市级汉字听写大赛，他们得分情况如上表：那么这10名学生所得分数的平均数和众数分别是（ ） 人数 3 4 2 1 分数 8085 90 95A ．85和82.5B ．85.5和85C ．85和85D ．85.5和808．已知圆心在原点O ，半径为5的⊙O ，则点P （-3，4）与⊙O 的位置关系是（ ） A ．在⊙O 内 B ．在⊙O 上 C ．在⊙O 外 D ．不能确定9．如图所示的几何体，上下部分均为圆柱体，其左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，AD 是半圆O 的直径，AD ＝12，B ，C 是半圆O 上两点．若AB BC CD ==，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．6πB ．12πC ．18πD ．24π11．如图，矩形纸片ABCD 中，4AB =，6BC =，将ABC 沿AC 折叠，使点B 落在点E 处，CE 交AD 于点F ，则DF 的长等于（ ）A ．35B ．53C ．73D ．5412．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，在CD 上任取一点E ，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为_____．14．已知点()13,y -、()215,y -都在反比例函数()ky k 0x=≠的图象上，若12y y >，则k 的值可以取______(写出一个符合条件的k 值即可)． 15．已知1A n n =--，23B n n =---（3n ≥），请用计算器计算当3n ≥时，A 、B 的若干个值，并由此归纳出当3n ≥时，A 、B 间的大小关系为______.16．如图，已知点E 是菱形ABCD 的AD 边上的一点，连接BE 、CE ，M 、N 分别是BE 、CE 的中点，连接MN ，若∠A=60°，AB=4，则四边形BCNM 的面积为_____．17．三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，则三角形的周长是 ．18．我们知道方程组345456x y x y +=⎧⎨+=⎩的解是12x y =-⎧⎨=⎩，现给出另一个方程组3(23)4(2)54(23)5(2)6x y x y ++-=⎧⎨++-=⎩，它的解是____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）先化简，再求值：222221412()x x x x x x x x-+-+÷-+，且x 为满足﹣3＜x ＜2的整数． 20．（6分）今年义乌市准备争创全国卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍． （1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？21．（6分）A 、B 两辆汽车同时从相距330千米的甲、乙两地相向而行，s （千米）表示汽车与甲地的距离，t （分）表示汽车行驶的时间，如图，L 1，L 2分别表示两辆汽车的s 与t 的关系． （1）L 1表示哪辆汽车到甲地的距离与行驶时间的关系？ （2）汽车B 的速度是多少？（3）求L 1，L 2分别表示的两辆汽车的s 与t 的关系式． （4）2小时后，两车相距多少千米？ （5）行驶多长时间后，A 、B 两车相遇？22．（8分）如图，已知二次函数24y x 49=-的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，C 5P 为C 上一动点．()1点B ，C 的坐标分别为B(______)，C(______)； ()2是否存在点P ，使得PBC 为直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；()3连接PB ，若E 为PB 的中点，连接OE ，则OE 的最大值=______．23．（8分）如图，A，B，C 三个粮仓的位置如图所示，A 粮仓在 B 粮仓北偏东26°，180 千米处；C 粮仓在 B 粮仓的正东方，A 粮仓的正南方．已知A，B两个粮仓原有存粮共450 吨，根据灾情需要，现从 A 粮仓运出该粮仓存粮的35支援 C 粮仓，从B 粮仓运出该粮仓存粮的25支援 C 粮仓，这时A，B 两处粮仓的存粮吨数相等．（tan26°＝0.44，cos26°＝0.90，tan26°＝0.49）（1）A，B 两处粮仓原有存粮各多少吨？（2）C 粮仓至少需要支援200 吨粮食，问此调拨计划能满足 C 粮仓的需求吗？（3）由于气象条件恶劣，从 B 处出发到 C 处的车队来回都限速以每小时35 公里的速度匀速行驶，而司机小王的汽车油箱的油量最多可行驶 4 小时，那么小王在途中是否需要加油才能安全的回到 B 地？请你说明理由．24．（10分）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是．25．（10分）在“双十二”期间，,A B两个超市开展促销活动，活动方式如下：A超市：购物金额打9折后，若超过2000元再优惠300元；B超市：购物金额打8折．某学校计划购买某品牌的篮球做奖品，该品牌的篮球在,A B两个超市的标价相同，根据商场的活动方式：若一次性付款4200元购买这种篮球，则在B商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个，请求出这种篮球的标价；学校计划购买100个篮球，请你设计一个购买方案，使所需的费用最少．（直接写出方案）26．（12分）如图1，在菱形ABCD中，AB＝65，tan∠ABC＝2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α＝∠BCD），得到对应线段CF．（1）求证：BE＝DF；（2）当t＝秒时，DF的长度有最小值，最小值等于；（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？27．（12分）随着交通道路的不断完善，带动了旅游业的发展，某市旅游景区有A、B、C、D、E等著名景点，该市旅游部门统计绘制出2017年“五•一”长假期间旅游情况统计图，根据以下信息解答下列问题：2017年“五•一”期间，该市周边景点共接待游客万人，扇形统计图中A景点所对应的圆心角的度数是，并补全条形统计图．根据近几年到该市旅游人数增长趋势，预计2018年“五•一”节将有80万游客选择该市旅游，请估计有多少万人会选择去E景点旅游？甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中，同时选择去同一景点的概率是多少？请用画树状图或列表法加以说明，并列举所用等可能的结果．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1、B 【解析】根据负数的定义判断即可 【详解】解：根据负数的定义可知，这一组数中，负数有两个，即-2和-0.1． 故选B ． 2、C 【解析】根据AO=2,OB=1,BC=2,可得a=-2,b=1，c=3,进行判断即可解答. 【详解】解：∵AO ＝2，OB ＝1，BC ＝2， ∴a ＝－2，b ＝1，c ＝3，∴|a|≠|c|，ab ＜0，1a c +=，()123b a -=--=， 故选：C ． 【点睛】此题考查有理数的大小比较以及绝对值，解题的关键结合数轴求解. 3、C 【解析】分析：根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出m 的值，由2017÷5=403…2，可知点P （2018，m ）在此“波浪线”上C 404段上，求出C 404的解析式，然后把P （2018，m ）代入即可． 详解：当y =0时，﹣x （x ﹣5）=0，解得x 1=0，x 2=5，则A 1（5，0）， ∴OA 1=5，∵将C 1绕点A 1旋转180°得C 2，交x 轴于点A 2；将C 2绕点A 2旋转180°得C 3，交x 轴于点A 3；…；如此进行下去，得到一“波浪线”， ∴A 1A 2=A 2A 3=…=OA 1=5，∴抛物线C 404的解析式为y =（x ﹣5×403）（x ﹣5×404），即y =（x ﹣2015）（x ﹣2020）， 当x =2018时，y =（2018﹣2015）（2018﹣2020）=﹣1， 即m =﹣1． 故选C ．点睛：此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键． 4、C 【解析】 画树状图得：∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况， ∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：2163. 故选C.【点睛】运用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 5、D 【解析】由抛物线的对称轴的位置判断ab 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①∵抛物线对称轴是y 轴的右侧， ∴ab ＜0，∵与y 轴交于负半轴， ∴c ＜0， ∴abc ＞0， 故①正确； ②∵a ＞0，x=﹣2ba＜1， ∴﹣b ＜2a ，∴2a+b＞0，故②正确；③∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故③正确；④当x=﹣1时，y＞0，∴a﹣b+c＞0，故④正确．故选D．【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．6、C【解析】甲的速度是：20÷4=5km/h；乙的速度是：20÷1=20km/h；由图象知，甲出发1小时后乙才出发，乙到2小时后甲才到，故选C．7、B【解析】根据众数及平均数的定义，即可得出答案.【详解】解：这组数据中85出现的次数最多，故众数是85；平均数=110（80×3+85×4+90×2+95×1）=85.5.故选：B.【点睛】本题考查了众数及平均数的知识，掌握各部分的概念是解题关键.8、B.【解析】试题解析：∵，∴根据点到圆心的距离等于半径，则知点在圆上．故选B．考点：1.点与圆的位置关系；2.坐标与图形性质．9、C【解析】试题分析：∵该几何体上下部分均为圆柱体，∴其左视图为矩形，故选C．考点：简单组合体的三视图．10、A【解析】根据圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，根据扇形面积公式计算即可．【详解】∵AB BC CD==，∴∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.∴阴影部分面积=2606=6 360⨯ππ.故答案为：A.【点睛】本题考查的知识点是扇形面积的计算，解题关键是利用圆心角与弧的关系得到∠AOB=∠BOC=∠COD=60°.11、B【解析】由折叠的性质得到AE=AB，∠E=∠B=90°，易证Rt△AEF≌Rt△CDF，即可得到结论EF=DF；易得FC=FA，设FA=x，则FC=x，FD=6-x，在Rt△CDF中利用勾股定理得到关于x的方程x2=42+（6-x）2，解方程求出x即可．【详解】∵矩形ABCD沿对角线AC对折，使△ABC落在△ACE的位置，∴AE=AB，∠E=∠B=90°，又∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∴AE=DC，而∠AFE=∠DFC，∵在△AEF与△CDF中，AFE CFD E DAE CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ， ∴△AEF ≌△CDF （AAS ），∴EF=DF ；∵四边形ABCD 为矩形，∴AD=BC=6，CD=AB=4，∵Rt △AEF ≌Rt △CDF ，∴FC=FA ，设FA=x ，则FC=x ，FD=6-x ，在Rt △CDF 中，CF 2=CD 2+DF 2，即x 2=42+（6-x ）2，解得x ＝133， 则FD ＝6-x=53. 故选B ．【点睛】考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应边相等．也考查了矩形的性质和三角形全等的判定与性质以及勾股定理．12、B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A 、C 、D 都不是中心对称图形，只有B 是中心对称图形.故选B.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、53【解析】设CE=x ，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x ，DE=CD-CE=3-x ．在Rt △ABF 中利用勾股定理求出AF 的长度，进而求出DF 的长度；然后在Rt △DEF 根据勾股定理列出关于x 的方程即可解决问题．【详解】设CE=x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵将△BCE 沿BE 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处，∴BF=BC=5，EF=CE=x ，DE=CD-CE=3-x ．在Rt △ABF 中，由勾股定理得：AF 2=52-32=16，∴AF=4，DF=5-4=1．在Rt △DEF 中，由勾股定理得：EF 2=DE 2+DF 2，即x 2=（3-x ）2+12，解得：x=53， 故答案为53． 14、-1【解析】利用反比例函数的性质，即可得到反比例函数图象在第一、三象限，进而得出k 0<，据此可得k 的取值．【详解】 解：点()13,y -、()215,y -都在反比例函数()k y k 0x=≠的图象上，12y y >， ∴在每个象限内，y 随着x 的增大而增大，∴反比例函数图象在第一、三象限，k 0∴<，k ∴的值可以取1-等，(答案不唯一)故答案为：1-．【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．15、A B <【解析】试题分析：当n=3时，，B=1，A ＜B ；当n=4时，A=2≈0.2679，1≈0.4142，A ＜B ；当n=5时，2≈0.2631，，A ＜B ；当n=6时，A=65-≈0.2134，B=23-≈0.2679，A ＜B ；……以此类推，随着n 的增大，a 在不断变小，而b 的变化比a 慢两个数，所以可知当n≥3时，A 、B 的关系始终是A ＜B.16、33【解析】如图，连接BD ．首先证明△BCD 是等边三角形，推出S △EBC =S △DBC =34×42=43，再证明△EMN ∽△EBC ，可得EMN EBC S S ∆∆=（MN BC ）2=14，推出S △EMN =3，由此即可解决问题. 【详解】解：如图，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠BCD=60°，AD ∥BC ，∴△BCD 是等边三角形，∴S △EBC =S △DBC 3423 ∵EM=MB ，EN=NC ，∴MN ∥BC ，MN=12BC ， ∴△EMN ∽△EBC ，∴EMN EBC S S ∆∆=（MN BC ）2=14， ∴S △EMN 3，∴S 阴333故答案为3【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、三角形的中位线定理、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17、6或2或12【解析】首先用因式分解法求得方程的根，再根据三角形的每条边的长都是方程2680x x -+=的根，进行分情况计算．【详解】由方程2680x x -+=，得x =2或1．当三角形的三边是2，2，2时，则周长是6；当三角形的三边是1，1，1时，则周长是12；当三角形的三边长是2，2，1时，2+2=1，不符合三角形的三边关系，应舍去；当三角形的三边是1，1，2时，则三角形的周长是1+1+2=2．综上所述此三角形的周长是6或12或2．18、24x y =-⎧⎨=⎩【解析】观察两个方程组的形式与联系，可得第二个方程组中23122x y +=-⎧⎨-=⎩，解之即可. 【详解】 解：由题意得23122x y +=-⎧⎨-=⎩， 解得24x y =-⎧⎨=⎩. 故答案为：24x y =-⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，用整体代入法解决这种问题比较方便.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、-5【解析】根据分式的运算法则即可求出答案．【详解】原式=[2(1)(1)x x x --+(2)(2)(2)x x x x -++]÷1x =（1x x -+2x x-）•x=x ﹣1+x ﹣2=2x ﹣3 由于x≠0且x≠1且x≠﹣2，所以x=﹣1，原式=﹣2﹣3=﹣5【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．20、（1）温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）答案见解析【解析】（1）根据“购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元”，建立方程求解即可得出结论；（2）根据“费用不超过10000元和至少需要安放48个垃圾箱”，建立不等式即可得出结论．【详解】（1）设温情提示牌的单价为x 元，则垃圾箱的单价为3x 元，根据题意得，2x +3×3x =550， ∴x =50，经检验，符合题意，∴3x =150元，即：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；（2）设购买温情提示牌y 个（y 为正整数），则垃圾箱为（100﹣y ）个，根据题意得，意，()100485015010010000.y y y -≥⎧⎨+-≤⎩∴5052y ≤≤，∵y 为正整数，∴y 为50，51，52，共3中方案；有三种方案：①温馨提示牌50个，垃圾箱50个，②温馨提示牌51个，垃圾箱49个，③温馨提示牌52个，垃圾箱48个，设总费用为w 元W=50y +150（100﹣y ）=﹣100y +15000，∵k=-1000<，∴w 随y 的增大而减小∴当y =52时，所需资金最少，最少是9800元．【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组，一元一次方程的应用，正确找出相等关系是解本题的关键．21、（1）L 1表示汽车B 到甲地的距离与行驶时间的关系；（2）汽车B 的速度是1.5千米/分；（3）s 1=﹣1.5t+330，s 2=t ；（4）2小时后，两车相距30千米；（5）行驶132分钟，A 、B 两车相遇．【解析】试题分析：（1）直接根据函数图象的走向和题意可知L 1表示汽车B 到甲地的距离与行驶时间的关系；（2）由L 1上60分钟处点的坐标可知路程和时间，从而求得速度；（3）先分别设出函数，利用函数图象上的已知点，使用待定系数法可求得函数解析式；（4）结合（3）中函数图象求得120t =时s 的值，做差即可求解；（5）求出函数图象的交点坐标即可求解．试题解析：（1）函数图形可知汽车B 是由乙地开往甲地，故L 1表示汽车B 到甲地的距离与行驶时间的关系；（2）（330﹣240）÷60=1.5（千米/分）；（3）设L 1为1s kt b =+， 把点（0，330），（60，240）代入得1.5330.k b =-=， 所以1 1.5330s t ；=-+ 设L 2为2s k t ='，把点（60，60）代入得 1.k '=所以2.s t =（4）当120t =时，12150120.s s ==，330﹣150﹣120=60（千米）；所以2小时后，两车相距60千米；（5）当12s s =时， 1.5330,t t -+=解得132.t =即行驶132分钟，A 、B 两车相遇．22、（1）B （1，0），C （0，﹣4）；（2）点P 的坐标为：（﹣1，﹣2）或（115，225-）或（5﹣4）或（﹣﹣4）；（1 【解析】试题分析：（1）在抛物线解析式中令y =0可求得B 点坐标，令x =0可求得C 点坐标；（2）①当PB 与⊙相切时，△PBC 为直角三角形，如图1，连接BC ，根据勾股定理得到BC =5，BP 2的值，过P 2作P 2E ⊥x 轴于E ，P 2F ⊥y 轴于F ，根据相似三角形的性质得到2222P F CP P E BP = =2，设OC =P 2E =2x ，CP 2=OE =x ，得到BE =1﹣x ，CF =2x ﹣4，于是得到FP 2，EP 2的值，求得P 2的坐标，过P 1作P 1G ⊥x 轴于G ，P 1H ⊥y 轴于H ，同理求得P 1（﹣1，﹣2），②当BC ⊥PC 时，△PBC 为直角三角形，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论；（1）如图1中，连接AP ，由OB =OA ，BE =EP ，推出OE =12AP ，可知当AP 最大时，OE 的值最大． 试题解析：（1）在2449y x =-中，令y =0，则x =±1，令x =0，则y =﹣4，∴B （1，0），C （0，﹣4）； 故答案为1，0；0，﹣4；（2）存在点P ，使得△PBC 为直角三角形，分两种情况：①当PB 与⊙相切时，△PBC 为直角三角形，如图（2）a ，连接BC ，∵OB =1．OC =4，∴BC =5，∵CP 2⊥BP 2，CP 2∴BP 2=过P 2作P 2E ⊥x 轴于E ，P 2F ⊥y 轴于F ，则△CP 2F ∽△BP 2E ，四边形OCP 2B 是矩形，∴2222P F CP P E BP ==2，设OC =P 2E =2x ，CP 2=OE =x ，∴BE =1﹣x ，CF =2x ﹣4，∴324BE x CF x -=- =2，∴x =115，2x =225，∴FP 2=115，EP 2=225，∴P 2（115，﹣225），过P 1作P 1G ⊥x 轴于G ，P 1H ⊥y 轴于H ，同理求得P 1（﹣1，﹣2）； ②当BC ⊥PC 时，△PBC 为直角三角形，过P 4作P 4H ⊥y 轴于H ，则△BOC ∽△CHP 4，∴44P H P C CH OB OC BC ==，∴CH，P 4H=5，∴P 4（5﹣4）； 同理P 1﹣4）； 综上所述：点P 的坐标为：（﹣1，﹣2）或（115，225-﹣4﹣4）； （1）如图（1），连接AP ，∵OB =OA ，BE =EP ，∴OE =12AP ，∴当AP 最大时，OE 的值最大，∵当P 在AC 的延长线上时，AP 的值最大，最大值=5+，∴OE23、（1）A、B 两处粮仓原有存粮分别是270，1 吨；（2）此次调拨能满足C 粮仓需求；（3）小王途中须加油才能安全回到 B 地．【解析】（1）由题意可知要求A，B两处粮仓原有存粮各多少吨需找等量关系，即A处存粮+B处存粮=450吨，A处存粮的五分之二=B处存粮的五分之三，据等量关系列方程组求解即可；（2）分别求出A处和B处支援C处的粮食，将其加起来与200吨比较即可；（3）由题意可知由已知可得△ABC中∠A=26°∠ACB=90°且AB=1Km，sin∠BAC=BCAB，要求BC 的长，可以运用三角函数解直角三角形．【详解】（1）设A，B两处粮仓原有存粮x，y吨根据题意得：45032 (1)(1)55 x yx y +⎧⎪⎨--⎪⎩＝＝解得：x=270，y=1．答：A，B两处粮仓原有存粮分别是270，1吨．（2）A粮仓支援C粮仓的粮食是35×270=162（吨），B粮仓支援C粮仓的粮食是25×1=72（吨），A，B两粮仓合计共支援C粮仓粮食为162+72=234（吨）．∵234＞200，∴此次调拨能满足C粮仓需求．（3）如图，根据题意知：∠A=26°，AB=1千米，∠ACB=90°．在Rt△ABC中，sin∠BAC=BC AB，∴BC=AB•sin∠BAC=1×0.44=79.2．∵此车最多可行驶4×35=140（千米）＜2×79.2，∴小王途中须加油才能安全回到B地．【点睛】求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．24、（1）画图见解析，(2,-2)；（2）画图见解析，（1,0）；【解析】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，如图所示，找出所求点坐标即可．【详解】（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，-2）；（2）如图所示，以B为位似中心，画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是（1，0），故答案为（1）（2，-2）；（2）（1，0）【点睛】此题考查了作图-位似变换与平移变换，熟练掌握位似变换与平移变换的性质是解本题的关键．25、（1）这种篮球的标价为每个50元；（2）见解析【解析】（1）设这种篮球的标价为每个x元，根据题意可知在B超市可买篮球42000.8x个，在A超市可买篮球42003000.9x个，根据在B商场比在A商场多买5个列方程进行求解即可；（2）分情况，单独在A超市买100个、单独在B超市买100个、两家超市共买100个进行讨论即可得. 【详解】（1）设这种篮球的标价为每个x元，依题意，得420042003005 0.80.9x x+-=，解得：x=50，经检验：x=50是原方程的解，且符合题意，答：这种篮球的标价为每个50元；（2）购买100个篮球，最少的费用为3850元，单独在A超市一次买100个，则需要费用：100×50×0.9-300=4200元，在A超市分两次购买，每次各买50个，则需要费用：2（50×50×0.9-300）=3900元，单独在B超市购买：100×50×0.8=4000元，在A、B两个超市共买100个，根据A超市的方案可知在A超市一次购买：20000.950⨯=4449，即购买45个时花费最小，为45×50×0.9-300=1725元，两次购买，每次各买45个，需要1725×2=3450元，其余10个在B超市购买，需要10×50×0.8=400元，这样一共需要3450+400=3850元，综上可知最少费用的购买方案：在A超市分两次购买，每次购买45个篮球，费用共为3450元；在B超市购买10个，费用400元，两超市购买100个篮球总费用3850元.【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.26、（1）见解析；（2）t＝（），最小值等于12；（3）t＝6秒或△EPQ是直角三角形【解析】（1）由∠ECF＝∠BCD得∠DCF＝∠BCE，结合DC＝BC、CE＝CF证△DCF≌△BCE即可得；（2）作BE′⊥DA交DA的延长线于E′．当点E运动至点E′时，由DF＝BE′知此时DF最小，求得BE′、AE′即可得答案；（3）①∠EQP＝90°时，由∠ECF＝∠BCD、BC＝DC、EC＝FC得∠BCP＝∠EQP＝90°，根据AB＝CD＝tan∠ABC＝tan∠ADC＝2即可求得DE；②∠EPQ＝90°时，由菱形ABCD的对角线AC⊥BD知EC与AC重合，可得DE＝【详解】（1）∵∠ECF＝∠BCD，即∠BCE+∠DCE＝∠DCF+∠DCE，∴∠DCF＝∠BCE，∵四边形ABCD是菱形，∴DC ＝BC ，在△DCF 和△BCE 中，CF CE DCF BCE CD CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△DCF ≌△BCE （SAS ），∴DF ＝BE ；（2）如图1，作BE ′⊥DA 交DA 的延长线于E ′．当点E 运动至点E ′时，DF ＝BE ′，此时DF 最小，在Rt △ABE ′中，AB ＝65，tan ∠ABC ＝tan ∠BAE ′＝2，∴设AE ′＝x ，则BE ′＝2x ，∴AB ＝5x ＝65，x ＝6，则AE ′＝6∴DE ′＝65+6，DF ＝BE ′＝12，时间t=65+6，故答案为：65+6，12；（3）∵CE ＝CF ，∴∠CEQ ＜90°，①当∠EQP ＝90°时，如图2①，∵∠ECF ＝∠BCD ，BC ＝DC ，EC ＝FC ，∴∠CBD ＝∠CEF ，∵∠BPC ＝∠EPQ ，∴∠BCP＝∠EQP＝90°，∵AB＝CD＝65，tan∠ABC＝tan∠ADC＝2，∴DE＝6，∴t＝6秒；②当∠EPQ＝90°时，如图2②，∵菱形ABCD的对角线AC⊥BD，∴EC与AC重合，∴DE＝5∴t＝5综上所述，t＝6秒或5△EPQ是直角三角形．【点睛】此题是菱形与动点问题，考查菱形的性质，三角形全等的判定定理，等腰三角形的性质，最短路径问题，注意（3）中的直角没有明确时应分情况讨论解答.27、（1）50,108°，补图见解析；（2）9.6；（3）13．【解析】（1）根据A景点的人数以及百分表进行计算即可得到该市周边景点共接待游客数；先求得A景点所对应的圆心角的度数，再根据扇形圆心角的度数=部分占总体的百分比×360°进行计算即可；根据B景点接待游客数补全条形统计图；（2）根据E景点接待游客数所占的百分比，即可估计2018年“五•一”节选择去E景点旅游的人数；（3）根据甲、乙两个旅行团在A、B、D三个景点中各选择一个景点，画出树状图，根据概率公式进行计算，即可得到同时选择去同一景点的概率．【详解】解：（1）该市周边景点共接待游客数为：15÷30%=50（万人），A景点所对应的圆心角的度数是：30%×360°=108°，B景点接待游客数为：50×24%=12（万人），补全条形统计图如下：（2）∵E景点接待游客数所占的百分比为：650×100%=12%，∴2018年“五•一”节选择去E景点旅游的人数约为：80×12%=9.6（万人）；（3）画树状图可得：∵共有9种可能出现的结果，这些结果出现的可能性相等，其中同时选择去同一个景点的结果有3种，∴同时选择去同一个景点的概率=31 93 ．【点睛】本题考查列表法与树状图法；用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图．。
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2021年湖南省娄底市中考名校联考数学试卷
一．选择题（共12小题，满分36分）
1．﹣2020的倒数是（）
A．﹣2020B．2020C．D．﹣
2．下列计算正确的是（）
A．3a+2b＝5ab B．（﹣2a）2＝﹣4a2
C．（a+1）2＝a2+2a+1D．a3•a4＝a12
3．已知直线l1∥l2，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1＝85°，则∠2等于（）
A．35°B．45°C．55°D．65°
4．一组数据7，8，10，12，13的平均数和中位数分别是（）
A．7、10B．9、9C．10、10D．12、11
5．我国汽车工业迅速发展，国产汽车技术成熟，下列汽车图标是中心对称图形的是（）A．B．
C．D．
6．地球与月球平均距离约为384400千米，将数字384400用科学记数法表示为（）A．3.84×106B．3.84×105C．38.4×104D．38.4×105
7．正多边形的一个外角为60°，则这个多边形的边数为（）
A．5B．6C．7D．8
8．如图，一块直角三角板和一张光盘竖放在桌面上，其中A是光盘与桌面的切点，∠BAC ＝60°，光盘的直径是80cm，则斜边AB被光盘截得的线段AD长为（）
A．20cm B．40cm C．80cm D．80cm
9．反比例函数y＝在第一象限内的图象如图，点P是图象上一点，PQ⊥x轴，垂足为Q．若△POQ的面积为2，则k的值为（）
A．1B．2C．4D．
10．观察下列算式：a1＝＝5，a2＝＝11，a3＝＝19，…，它有一定的规律性，把第n个算式的结果记为a n，则+++…+的值是（）
A．B．C．D．
11．函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中存在零点的是（）A．y＝x2+x+2B．y＝+1C．y＝x+D．y＝|x|﹣1 12．若二次函数y＝ax2+bx﹣1的最小值为﹣2，则方程|ax2+bx﹣1|＝2的不相同实数根的个数是（）
A．2B．3C．4D．5
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
13．一元二次方程x2﹣2x+c＝0有两个相等的实数根，则c＝．
14．一口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是．
15．若＝＝（a≠c），则＝．。