第九章 振动

A1 sin 1 A2 sin 2 A A 2 A1 A2 cos(2 1 ) ， tg A1 cos1 A2 cos 2
结论：同方向、同频率简谐振动的合成仍 然是简谐振动。合成振幅随着位相的变化 出现极大和极小现象在光学中称为干涉现 象。
可得， x0 A cos
联立确定
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A,
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《力学》电子教案
例 9.1.2-1
一弹簧振子由倔强系数为 k 的弹簧和质量为 m0 的物块组成，将
弹簧的一端与顶板相连，如例 9.1.2-1 图所示。开始时物块静止，一颗质量 为
m ，速度为 v0 的子弹由下而上射入物块，并停留在物块中。
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5. 扭摆
设悬丝没有扭曲时为平衡位置，规定角θ向右（增加）为正，当扭 摆转动角为θ时，一力矩 M 作用在盘上。 K为扭转系数 M k 实验表明：
转动定律得： 令 整理得：
。 M k J
0 0
ห้องสมุดไป่ตู้
k J 2
2 0
结论：在回复力或回复力矩作用下，以平衡位置为坐标原 点，简谐振动的标准微分方程为：
0t 6. 相位：
7. 初相位:
t0
时对应的位相，规定 :
0 2
8. 由初始条件确定:
A,
t 0 时，由系统实际的初始状态判断
x x0
v v0
v0 A sin
当 t 0 时，由系统简谐振动的运动学方程 x A cos(0 t )
表示，如图 9.1.3-1 所示。在讨论振动的合成时会用到。
其对应关系为： 半径
A 振幅 A ；
初始位置角 角速度
初位相
；
圆频率 。
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同方向同频率
同方向不同频率
简谐振动合成
垂直方向同频率
垂直方向不同频率
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对于较小幅度的摆动，sin

g l
g l
2 0
整理得：
2 0 0
4. 复摆（转动定律）
对于较小幅度的摆动，
mgrC sin J
sin
令
整理得：
mgrC J 2 0 0
2 0
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即
所以，等效关系为： leff
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gJ J 称为复摆的 mgrc mrc （9.1.2-9） ，
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等值摆长。
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11. 等值摆长与打击中心
如图 9.1.2-1 所示，
x 为何值时， o 处不受水平力？参考第
七章的例 7.4.3-1 求解方法有：
F mac ， F x J ， ac ( rc ) 0
因此系统的振动周期为： T
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1 2 E k lsx 2
2
l
0
2
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l 2g
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《力学》电子教案
简谐振动的运动学方程及特征物理量描述
简谐振动微分方程的解为： 其中，Ａ和
0
x A cos(0t )
是任意常数，针对具体问题，由初始条件确定。
简谐振动、阻尼振动和受迫振动，
定性介绍二自由度线性振动现象，
简介非线性振动中常见的部分现象。
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《力学》电子教案
简谐振动的动力学方程
运动学方程及其特征物理量
简谐振动
简谐振动的几何描述
简谐振动的四种方式合成
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振动物理学中的一个重要的研究领域，从广义上说， 振动是指：系统状态的参量（如位移、角度、电压等） 在其基准值上交替变化的过程。 狭义的振动指机械振动，即力学系统的振动。 电磁振动习惯上称为振荡。 机械振动实际上是一各非常复杂的运动状态，但由 傅立叶变换可知，复杂的振动不过是一系列简单简谐振 动的合成。因此我们清楚地了解简谐振动规律，也就是 为研究其它任何周期性运动奠定基础。 简谐振动：机械振动是振动的一种形式，它是物体 在平衡位移附近，在同一路线上来回往复的周期运动。 如果描述这种来回往复的物理量（如：位移、角度等） 随时间变化成余弦（或正弦）的函数形式，则这种振动 称为简谐振动。
k 1 2 2 E kA sin (t ) k 已知 ，则 m 2 1 2 1 2 2 E kx kA cos (t ) 势能： P 2 2
2
1 2 1 2 2 E E E k A m A C k P 机械能： 2 2
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绕质心转动：
Ff r J ' '
2 mr 2 ' 5
r ' 0 接触点纯滚动： ( R r )
小幅度振动条件：
sin
其中
2 2
联立得：
2 0 0
T
02
5g 7( R r )
因此小球的振动周期：
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1 1 1 E p ( xs g ) x ( xs g ) x 2(h x) s g [ (h x) x] 2 2 2 (l 2h) s gh ( x 2 h 2 lh)s g
1 2 2 2 E E ls x ( x h lh)s g C p 系统机械能守恒： k 2 2g 2 2 x 0 x 0 0 上式对时间求导数有：
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第九章 振动
本章知识内容提要 一、简谐振动
二、阻尼振动
三、受迫振动 本章知识单元与知识点小结
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《力学》电子教案
本章知识内容提要
振动：线性振动；非线性振动
线性振动：质量不变、弹性力和阻尼力与运动参数成线性关系， 其数学描述为线性常系数常微分方程。 非线性振动：非线性系统，其数学描述为非线性微分方程。 线性振动理论是对振动现象的近似描述。 本章主要介绍机械振动中三种比较简单的线性振动形式，即，
1. 位移x：振子运动到某位置（弧、线、角）的坐标，有正负 之分。通常以平衡位置为坐标原点。
2. 振幅：振子离开平衡位置的最大位移的绝对值，总是正的 。 3. 圆频率 ：
0 4. 频率 ： 2
5. 周期T： T
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0
1 2


0
1赫兹（Hz）=1/秒
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《力学》电子教案
简谐振动的微分方程 如何从动力学的角度判断一个系统是否是简谐振动？
1. 水平振动的弹簧振子
2 x 0 x0 kx mx
， ，
2 0
k m
2. 竖直振动的弹簧振子 以弹簧的原长为坐标原点：x’重物相对弹簧原长的坐标。
' kx ' mg mx
Ff 2 Ff 1 mac
1 2 Ff 1r Ff 2 r J mr 2
柱与板接触点纯滚动： 柱与地面接触点纯滚动： 联立可得：
x ac r
0 ac r 2 x 0 x 0
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因此，板作简谐振动，振动周期为：
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3m 4m0 2 T 2 0 8k
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系统碰撞前后动量守恒：
0 (M m)V0 mv0
kx0 Mg
物块碰撞前振子的平衡位置：
物块和子弹碰撞后的新平衡位置： kx1 (M m) g
碰后系统动力学方程：
(M m) g k ( x1 x) (M m) x
k ( M m) ，系统作简谐振动。
0
7( R r ) 5g
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例9.1.1-3 在一竖直放置的、横截面均匀的U形管内装有一段长为的液
体，由于某一小扰动使管内的液体发生振动，若不计粘滞阻力和毛细作 用，求振动周期。
解：液体静止时的水平面为坐标原点，向上为正方向，以整个液体为研
究对象，系统机械能守恒。设横截面积为s，坐标原点处为势能零点。
以平衡位置为坐标原点：x0为振子平衡时相对 弹簧原长的位移。
k ( x x0 ) mg mx
kx0 mg ，
2 x 0 x0
2 0
k m
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3. 单摆（转动定律） ml 2 lmg sin J J
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10. 等值摆长
g l 0 T 2 单摆的动力学方程为： ， 周期 。 对于复摆， l g
mgrc J 0 ，周期为 T 2 mgrc 。 J
如果将此复摆的周期与单摆的周期相比， 相当于摆长为多少的 单摆呢？
J l 2 2 mgrc ， g
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9. 简谐振动的能量
以弹簧振子为例， x
A cos(t ) ， A sin(t ) vx
以平衡位置为势能零点有：
1 2 1 2 2 2 E m x mA sin (t ) 动能： k 2 2
（1）求振子以后的振动振幅 A 与周期 T ； （2）求物块从初始位置运动到最高点所需的时间 t 。
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解：以物块和子弹为研究对象，以系统碰撞后的平衡位置为坐标原点， 向下为正方向。 设物块碰前，物块的平衡位置记为 x0 ，其相对弹簧原长形变量也记 为 x0 ，碰后，物块和子弹构成系统的平衡位置记为 x1 ，相对弹簧原长 的形变量也记为 x1 ，忽略碰撞期间子弹的重力。
A0 sin
k M m
2 v0 kv0 mg 解得： A k 1 ( M m) g 2 ， tan g
物块达到最高点时： A
A cos(0t )
k )] M m
(M m) 1 v0 [ tg ( 则： t ( ) k g 0 1
2 2 x x 0 0 整理得： ，其中， 0
振动周期为： T
2
(M m) 2 0 k
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系统的运动学方程为：
x A cos(0t ) ， v A0 sin(0t )
初始条件： ( x1 x0 ) A cos ， V0
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1. 同方向、同频率的简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1 ) ， x2 A2 cos(t 2 )
合振动应为： x
x1 x2 ，借助矢量图示法求解 x 。
合成后的振动可表示为： x
解得： A
2 1 2 2
A cos(t )
J J J 解得： x F m r mr （9.1.2-10） c c
此点称为打击中心或振动中心。比较(9.1.2-9)和(9.1.2-10) 式可以看出，打击中心的长度恰为复摆的等值摆长。
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简谐振动的几何描述
简谐振动的表达式是
x ~ t 关系，可以通过一个参考图形象
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例9.1.1-2 半径为r的均匀重球，可以在一半径R为的球形碗底部作纯滚
动。求圆球在平衡位置附近做小振动的周期。
解：建立如例9.1.1-2图所示的坐标系，以小球为研究对象，为平面平行运动。
质心运动： Ff (R r) mg (R r )sin J m(R r )2
2
d 2x 2 0x 0 2 dt
0
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为系统振动的固有圆频率，
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T
0 为系统的振动周期
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例9.1.1-1 如例9.1.1-1图所示的系统，木板质量为m0，水平放在两相同
的柱体（质量为m，半径为r）上，板两端用两个弹性系数为k的轻弹簧连接，
弹簧水平地挂在两固定点上。当系统作振动时，柱与板以及柱与地面间均 作纯滚动。问：系统是否作简谐振动，如果是，求振动周期。 解：以板为研究对象，应用牛顿第二定律有： 2kx 2Ff 1 m0 x 以其中一个柱为研究对象，作平面平行运动。 质心运动： 绕质心转动：