线性规划与基本不等式
二元一次不等式组与简单的线性规划问题、基本不等式(均值不等式)教师教案
0 A 0） 0 A 0） 不等式 Ax By C （ 表示直线 Ax By C （ 左方的平面区域.
（三）二元一次不等式组表示的平面区域的简单应用 【例 4】 要将两种大小不同的钢板截成 A,B,C 三种规格,每张钢板可同时截得三种规格 的小钢板的块数如下表所示: 钢板类型 规格类型 A 规格 2 1 B 规格 1 2 C 规格 1 3
2.不等式 3x 2 y 6 0 表示的平面区域是（ D ）
3.画出不等式 x 1 表示的平面区域. 解:所求作 x 1 表示的平面区域如图 6 所示：
图6
4.画出不等式 4 x 3 y 12 表示的平面区域. 解：所求作 4 x 3 y 12 表示的平面区域 如图 7 所示：
图1
如图 2：设点 P( x, y1 ) 是直线 l 上的点，选取点
A( x, y2 ) 使它的坐标满足 x y 6 ，完成下表
图2
思考 2：当点 A 与点 P 有相同的横坐标时，它们的纵坐标有什么关系？据此说说直线 l 左 上方点的坐标与不等式 x y 6 有什么关系？直线 l 右下方点的坐标呢？ 点 A 的纵坐标大于点 P 的纵坐标. 我们发现，在平面直角坐标系中，以二元一次不等式 x y 6 的解为坐标的点都在直 线 x y 6 的左上方；反之，直线 x y 6 左上方点的坐标都满足不等式 x y 6 . 直线 x y 6 右下方点的坐标满足不等式 x y 6 .
y 2 0 ;在 x 2 y 4 0 的右下方，所以 x 2 y 4 0 .
6
赫章一中集体备课资料
则用不等式组可表示为:
x y 0 x 2y 4 0 y 2 0
不等式与线性规划问题解析
基本不等式1． 若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________．解析 由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81， 当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81.2． 已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．3． 已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2y的最小值是_____________．解析 因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋2y ＝4＋y x ＋4xy ≥4＋2y x ·4x y ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝14时成立． 4． (2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( )A.245B.285C ．5D ．6解析 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝⎛⎭⎫1y ＋3x ＝15⎝⎛⎭⎫3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝⎛⎭⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)， ∴3x ＋4y 的最小值为5.5． 圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤－∞，14B.⎝⎛⎦⎤0，14C.⎝⎛⎭⎫－14，0D.⎝⎛⎭⎫－∞，14 解析 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14 (a ＝b 时取等号)．故ab 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，14.题型一 利用基本不等式证明简单不等式 例1 已知x >0，y >0，z >0.求证：⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8. 证．证明 ∵x >0，y >0，z >0，∴y x ＋z x ≥2yz x >0，x y ＋z y ≥2xz y >0，x z ＋y z ≥2xyz >0，∴⎝⎛⎭⎫y x ＋z x ⎝⎛⎭⎫x y ＋z y ⎝⎛⎭⎫x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8. 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明 ∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋cc＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9， 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，取等号．题型二 利用基本不等式求最值例2 (1)已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1y的最小值为________；(2)当x >0时，则f (x )＝2xx 2＋1的最大值为________． 解析 (1)∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋yy＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2.当且仅当y x ＝2xy时，取等号．(2)∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x≤22＝1，当且仅当x ＝1x ，即x ＝1时取等号．(1)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( )A ．3B ．4C.92D.112(2)已知a >b >0，则a 2＋16b (a －b )的最小值是________．解析 (1)依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9，∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2(x ＋1)(2y ＋1)＝6，即x ＋2y ≥4.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝2y ＋1，x ＋2y ＋2xy ＝8，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时等号成立．∴x ＋2y 的最小值是4.(2)∵a >b >0，∴b (a －b )≤⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，当且仅当a ＝2b 时等号成立．∴a 2＋16b (a －b )≥a 2＋16a 24＝a 2＋64a 2≥2a 2·64a2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立． ∴当a ＝22，b ＝2时，a 2＋16b (a －b )取得最小值16.题型三 基本不等式的实际应用1.(2010·惠州模拟)某商场中秋前30天月饼销售总量f (t )与时间t (0<t ≤30)的关系大致满足f (t )＝t 2＋10t ＋16，则该商场前t 天平均售出(如前10天的平均售出为f (10)10)的月饼最少为( )A ．18B ．27C ．20D ．16解析：平均销售量y ＝f (t )t ＝t 2＋10t ＋16t ＝t ＋16t＋10≥18.当且仅当t ＝16t，即t ＝4∈等号成立，即平均销售量的最小值为18.答案：A2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．解析：设仓库建在离车站d 千米处，由已知y 1＝2＝k 110，得k 1＝20，∴y 1＝20d ，y 2＝8＝k 2·10，得k 2＝45，∴y 2＝45d ，∴y 1＋y 2＝20d ＋4d5≥220d ·4d 5＝8，当且仅当20d ＝4d5，即d ＝5时，费用之和最小．(2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )A ．60件B ．80件C ．100件D ．120件答案 B解析 设每件产品的平均费用为y 元，由题意得y ＝800x ＋x8≥2800x ·x8＝20. 当且仅当800x ＝x8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B.A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2011·陕西)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b答案 B解析 ∵0<a <b ，∴a <a ＋b2<b ，A 、C 错误；ab －a ＝a (b －a )>0，即ab >a ，D 错误，故选B. 2． (2012·福建)下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z )C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R ) D.1x 2＋1>1(x ∈R ) 答案 C解析 当x >0时，x 2＋14≥2·x ·12＝x ，所以lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x (x >0)，故选项A 不正确； 而当x ≠k π，k ∈Z 时，sin x 的正负不定，故选项B 不正确； 由基本不等式可知，选项C 正确；当x ＝0时，有1x 2＋1＝1，故选项D 不正确．3． 设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y的最大值为( )A ．2B.32C ．1D.12答案 C解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y＝log 3a＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值为1.4． 已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( )A.13B.12C.34D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0.∴x (3－3x )＝3x (1－x )≤3⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1－x 22＝34.当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．二、填空题(每小题5分，共15分)5． 已知x ，y ∈R ＋，且满足x 3＋y 4＝1，则xy 的最大值为________．答案 3解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y4时取等号． 6． (2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2·⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2的最小值为________． 答案 9解析 ⎝⎛⎭⎫x 2＋1y 2⎝⎛⎭⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y2＋4x 2y 2 ≥5＋21x 2y2·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2＝12时“＝”成立．7． 某公司一年需购买某种货物200吨，平均分成若干次进行购买，每次购买的运费为2万元，一年的总存储费用数值(单位：万元)恰好为每次的购买吨数数值，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次购买该种货物的吨数是_______． 答案 20解析 设每次购买该种货物x 吨，则需要购买200x 次，则一年的总运费为200x ×2＝400x ，一年的总存储费用为x ，所以一年的总运费与总存储费用为400x＋x ≥2400x·x ＝40，当且仅当400x ＝x ，即x ＝20时等号成立，故要使一年的总运费与总存储费用之和最小，每次应购买该种货物20吨． 三、解答题(共22分)8． (10分)已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ，∵a ＋b ＝1，a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． (2)方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋ba ，同理，1＋1b ＝2＋a b，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ⎝⎛⎭⎫2＋ab ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9.∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 ⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(1)知，1a ＋1b ＋1ab≥8，故⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab≥9. B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． 不等式a 2＋b 2≥2|ab |成立时，实数a ，b 一定是( )A ．正数B ．非负数C ．实数D ．不存在答案 C解析 原不等式可变形为a 2＋b 2－2|ab |＝|a |2＋|b |2－2|ab |＝(|a |－|b |)2≥0，对任意实数都成立．2． 如果0<a <b <1，P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，那么P ，Q ，M 的大小顺序是( )A ．P >Q >MB ．Q >P >MC ．Q >M >PD ．M >Q >P答案 B解析 因为P ＝log 12a ＋b 2，Q ＝12(log 12a ＋log 12b )，M ＝12log 12(a ＋b )，所以只需比较a ＋b 2，ab ，a ＋b 的大小，显然a ＋b 2>ab .又因为a ＋b2<a ＋b (因为a ＋b >(a ＋b )24，也就是a ＋b4<1)，所以a ＋b >a ＋b2>ab ，而对数函数当底数大于0且小于1时为减函数，故Q >P >M .3． 函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为( )A ．2B ．4C ．8D ．16答案 C解析 点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1.所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )⎝⎛⎭⎫1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时等号成立．二、填空题(每小题5分，共15分)4． 若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．答案 18解析 由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)， 即(xy )2－22xy －6≥0，∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18.∴xy 的最小值为18.5． 已知m 、n 、s 、t ∈R ＋，m ＋n ＝2，m s ＋n t ＝9，其中m 、n 是常数，且s ＋t 的最小值是49，满足条件的点(m ，n )是圆(x －2)2＋(y －2)2＝4中一弦的中点，则此弦所在的直线方程为__________．解析 因(s ＋t )⎝⎛⎭⎫m s ＋n t ＝m ＋n ＋tm s ＋snt ≥m ＋n ＋2mn ，所以m ＋n ＋2mn ＝4， 从而mn ＝1，得m ＝n ＝1，即点(1,1)，而已知圆的圆心为(2,2)，所求弦的斜率为－1， 从而此弦的方程为x ＋y －2＝0.6．已知关于x 的不等式2x ＋2x －a≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．解析：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2 2(x －a )·2x －a＋2a ＝2a＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32.线性规划【母题一】已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的取值范围为( )A ．[7，23]B ．[8，23]C ．[7，8]D ．[7，25]求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－abx＋z b ，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z 的最值． 【解析】画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥3，x －y ≥－1，2x －y ≤3，表示的平面区域如图中阴影部分所示，由目标函数z ＝2x ＋3y 得y ＝－23x ＋z 3，平移直线y ＝－23x 知在点B 处目标函数取到最小值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以B (2,1)，z min ＝2×2＋3×1＝7，在点A 处目标函数取到最大值，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝－1，2x －y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5，所以A (4,5)，z max ＝2×4＋3×5＝23．【答案】A【母题二】变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，(1)设z ＝y2x －1，求z 的最小值；(2)设z ＝x 2＋y 2，求z 的取值范围；(3)设z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13，求z 的取值范围． ．【解析】(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，x ≥1，作出(x ，y )的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，3x ＋5y －25＝0，解得A ⎝⎛⎭⎫1，225．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x －4y ＋3＝0，解得C (1,1)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)． ∵z ＝y2x －1＝y －0x －12×12∴z 的值即是可行域中的点与⎝⎛⎭⎫12，0连线的斜率，观察图形可知z min ＝2－05－12×12＝29． (2)z ＝x 2＋y 2的几何意义是可行域上的点到原点O 的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到原点的距离中， d min ＝|OC |＝2，d max ＝|OB |＝29．∴2≤z ≤29．(3)z ＝x 2＋y 2＋6x －4y ＋13＝(x ＋3)2＋(y －2)2的几何意义是： 可行域上的点到点(－3,2)的距离的平方． 结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中， d min ＝1－(－3)＝4，d max ＝(－3－5)2＋(2－2)2＝8 ∴16≤z ≤64．1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by ．求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋zb ，通过求直线的截距zb的最值，间接求出z 的最值．(2)距离型：形一：如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离；形二：z ＝(x －a )2＋(y －b )2，z ＝x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点的距离的平方．(3)斜率型：形如z ＝y x ，z ＝ay －b cx －d ，z ＝ycx －d ，z ＝ay －b x ，此类目标函数常转化为点(x ,y )与定点所在直线的斜率．【提醒】 注意转化的等价性及几何意义．角度一：求线性目标函数的最值1．(2014·新课标全国Ⅱ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －3y ＋1≤0，3x －y －5≥0，则z ＝2x －y 的最大值为( )A ．10B ．8C ．3D ．2【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x －y 得y ＝2x －z ，作出直线y ＝2x ，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A (5,2)时，对应的z 值最大．故z max ＝2×5－2＝8． 【答案】B3．(2013·高考陕西卷)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域，则2x －y 的最小值为( )A ．－6B ．－2C ．0D ．2【解析】如图，曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域如图中阴影部分，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，作直线y ＝2x ，在封闭区域内平行移动直线y ＝2x ，当经过点(－2,2)时，z 取得最小值，此时z ＝2×(－2)－2＝－6．【答案】A角度二：求非线性目标的最值4．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( )A ．2B ．1C ．－13D ．－12【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点M 与点A 重合时直线OM 的斜率最小，由直线方程x ＋2y －1＝0和3x ＋y －8＝0，解得A (3，－1)，故OM 斜率的最小值为－13．【解析】C5．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧0≤x ≤2，y ≤2，x ≤2y ，则z ＝2x ＋y －1x －1的取值范围 ． 【解】由不等式组画出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝2x ＋y －1x －1＝2＋y ＋1x －1的取值范围可转化为点(x ，y )与(1，－1)所在直线的斜率加上2的取值范围，由图形知，A 点坐标为(2，1)，则点(1，－1)与(2，1)所在直线的斜率为22＋2，点(0,0)与(1，－1)所在直线的斜率为－1，所以z 的取值范围为(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)．【答案】(－∞，1]∪[22＋4，＋∞)6．(2015·郑州质检)设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2y －x ≤2，y ≥1，则x 2＋y 2的取值范围是( )A ．[1，2]B ．[1，4]C ．[2，2]D ．[2，4]【解析】如图所示，不等式组表示的平面区域是△ABC 的内部(含边界)，x 2＋y 2表示的是此区域内的点(x ，y )到原点距离的平方．从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离，其值为1；最远的距离为AO ，其值为2，故x 2＋y 2的取值范围是[1,4]．【答案】B7．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．【解析】作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1＝255，故最小距离为255．【答案】255角度三：求线性规划中的参数 9．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域被直线y ＝kx ＋43分为面积相等的两部分，则k 的值是( )A ．73B ．37C ．43D ．34【解析】不等式组表示的平面区域如图所示．由于直线y ＝kx ＋43过定点⎝⎛⎭⎫0，43．因此只有直线过AB 中点时，直线y ＝kx ＋43能平分平面区域．因为A (1,1)，B (0,4)，所以AB 中点D ⎝⎛⎭⎫12，52．当y ＝kx ＋43过点⎝⎛⎭⎫12，52时，52＝k 2＋43，所以k ＝73．【解析】A10．(2014·高考北京卷)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k的值为( )A ．2B ．－2C ．12D ．－12【解析】D作出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ＞0时，如图①所示，此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k ＜－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1＜k ＜0时，如图②所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12．【答案】D11．(2014·高考安徽卷)x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为( )A ．12或－1B ．2或12C ．2或1D ．2或－1【解析】法一：由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示，可知A (0,2)，B (2,0)，C (－2，－2)，则z A ＝2，z B ＝－2a ，z C ＝2a －2，要使目标函数取得最大值的最优解不唯一，只要z A＝z B＞z C或z A＝z C＞z B或z B＝z C＞z A，解得a＝－1或a＝2．法二：目标函数z＝y－ax可化为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，平移l0，则当l0∥AB或l0∥AC 时符合题意，故a＝－1或a＝2．【答案】D。
一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用
contents
目录
• 一元二次不等式 • 线性规划 • 基本不等式 • 一元二次不等式、线性规划、基本不等
式的综合应用
01 一元二次不等式
一元二次不等式的定义与性质
定义
形如ax^2+bx+c>0或 ax^2+bx+c<0的不等式，其中 a≠0。
性质
与一元二次方程具有相同的根的判 别式Δ=b^2-4ac，并且不等式的 解集与方程的根有密切关系。
一元二次不等式的解法
判别式法
根据Δ的大小，判断不等式的解集。 当Δ>0时，不等式有两个实根；当 Δ=0时，不等式有一个重根；当Δ<0 时，不等式无实根。
因式分解法
配方法
将不等式左边进行配方处理，然后根 据配方的结果判断不等式的解集。
基本不等式的定义与性质
定义
基本不等式是数学中一个重要的不等式，它反映了两个正数的平方和与它们的 平均数的平方之间的关系。
性质
基本不等式具有传递性、加法性质、乘法性质等。
基本不等式的证明
证明方法
利用数学归纳法、反证法、放缩法等证明方法来证明基本不 等式。
证明过程
通过对不等式的变形、化简等操作，逐步推导出基本不等式 的证明过程。
将不等式左边进行因式分解，然后根 据因式的正负判断不等式的解集。
一元二次不等式的应用
解决实际问题
一元二次不等式在解决实际问题中有 着广泛的应用，如经济问题、工程问 题等。
在数学领域中的应用
一元二次不等式是数学中的基础知识 点，对于后续学习其他数学分支有着 重要的铺垫作用。
02 线性规划
线性规划的基本概念
线性规划常见题型及解法 均值不等式(含答案)
线性规划常见题型及解法一．基础知识：(一)二元一次不等式表示的区域二元一次不等式0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 某一侧的所有点组成的区域，把直线画成虚线表示不包括边界， 0≥++C By Ax 所表示的区域应包括边界，故边界要画成实线.由于在直线0=++C By Ax 同一侧的所有点（x,y ）,把它的坐标（x,y ）代入C By Ax ++，所得的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（0,0y x ），从C By Ax ++00的正负即可判断0≥++C By Ax 表示直线哪一侧的平面区域。
通常代特殊点（0，0）。
（二）线性规划(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z =A x +B y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z =A x +B y 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.(2)一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.(3)那么，满足线性约束条件的解（x ,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得;而求最优整数解必须首先要看它们是否在可行(4)用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.2.设z =0，画出直线l 0.3.观察、分析，平移直线l 0，从而找到最优解.4.最后求得目标函数的最大值及最小值. (5) 利用线性规划研究实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域，在可行域内求得使目标函数取得最值的解. 最后，还要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.线性规划是新教材中新增的内容之一，由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下常见题型。
专题三第1讲基本不等式与线性规划
第1讲 基本不等式与线性规划高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解.真 题 感 悟1.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240. 答案 302.(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，那么x 2＋y 2的取值范围是________.解析 作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2＋y 2即为可行域内的点(x ，y )到原点O 的距离的平方.由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B 到原点O 的距离最远.点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝|0－2|12＋22＝255，则(x 2＋y 2)min ＝45；点B 为直线x －2y ＋4＝0与3x －y －3＝0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2＋y 2)max ＝13.综上，x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，133.(2016·江苏卷)已知函数f (x )＝2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，则实数m 的最大值为________.解析 由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2. ∵f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， ∴m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立.又（f （x ））2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0）＝4，∴m ≤4，故实数m 的最大值为4. 答案 44.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________.解析 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 等式两边同时除以cos B cos C ， 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C . 又因为tan A ＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1，所以tan A tan B tan C －tan A ＝2tan B tan C ， 即tan B tan C (tan A －2)＝tan A .因为A ，B ，C 为锐角，所以tan A ，tan B ，tan C >0， 且tan A >2，所以tan B tan C ＝tan A tan A －2，所以原式＝tan 2Atan A －2.令tan A －2＝t (t >0)，则tan 2A tan A －2＝（t ＋2）2t ＝t 2＋4t ＋4t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝2，即tan A ＝4时取等号. 故tan A tan B tan C 的最小值为8. 答案 8考 点 整 合1.利用基本不等式求最值(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值).(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值).2.简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.热点一 利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2017·山东卷)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.(2)(2017·苏州调研)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________.解析 (1)∵直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)， ∴1a ＋2b ＝1(a >0，且b >0)，则2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4a b ＝8.当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时上式等号成立. 因此2a ＋b 的最小值为8.(2)设x ＋2＝m ，y ＋1＝n ，m >2，n >1， 则m ＋n ＝x ＋2＋y ＋1＝4，4x ＋2＋1y ＋1＝4m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋n 4＝54＋n m ＋m 4n ≥54＋2n m ·m 4n ＝94，当且仅当n m ＝m 4n ，m ＝83，n ＝43时取等号，故4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94. 答案 (1)8 (2)94探究提高 1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错. 【训练1】 (1)(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________.(2)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________. 解析 (1)∵a ，b ∈R ，ab >0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. (2)依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab ，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立.∵1a ＋2b＝ab，∴ab ≥22ab ，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2. 答案 (1)4 (2)2 2热点二 简单的线性规划问题 [命题角度1] 求线性目标函数的最值【例2－1】 (1)(2017·天津卷改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为________.(2)(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________.解析 (1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B (0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，求z 的最小值，即求直线y ＝32x －z2的纵截距的最大值，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，纵截距最大，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得A 点坐标为(－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5. 答案 (1)3 (2)－5[命题角度2] 求非线性目标函数的最值【例2－2】 (2017·徐州、宿迁、连云港模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋y ≥2，则y x 的取值范围是________.解析 不等式组对应的平面区域是以点(3，－1)，(3，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12为顶点的三角形及其内部，设z ＝yx ，则z 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率，则当z ＝y x 经过(3，－1)时取得最小值－13，经过点(3，2)时取得最大值23，故yx 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23[命题角度3] 线性规划中的含参问题【例2－3】 (2017·南京师大附中模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，若目标函数z ＝ax ＋y 的最小值为－2，则a ＝________.解析 约束条件对应的可行域是以点(1，1)，(1，3)和(2，2)为顶点的三角形及其内部.当a ≥－1时，当目标函数y ＝－ax ＋z 经过点(1，1)时，z 取得最小值，则z min ＝a ＋1＝－2，即a ＝－3(舍去)；当a <－1时，当目标函数y ＝－ax ＋z 经过点(2，2)时，z 取得最小值，则z min ＝2a ＋2＝－2，即a ＝－2，符合题意，故a ＝－2. 答案 －2探究提高 1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2.对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【训练2】 (1)(2017·山东卷改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x＋2y 的最大值是________.(2)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m ＝________.解析 (1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z ＝x ＋2y 经过点C (－3，4)时取最大值z max ＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，可知目标函数的最优解过点A ，由⎩⎨⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，∴－52＝m2－3，解得m ＝1. 答案 (1)5 (2)11.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法. 2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.一、填空题1.(2017·全国Ⅱ卷改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________.解析 可行域如图阴影部分所示，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，所求最小值为－15.答案 －152.若0<x <1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时x 的值为________.解析 因为0<x <1，所以f (x )＝x (4－3x )＝13×3x (4－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时取等号. 答案 233.(2017·海门中学检测)已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________.解析 由题意知ab ＝1，所以m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，所以m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号. 答案 44.(2017·宿迁调研)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值是________.解析 由xy ＋3x ＝3可得y ＋3＝3x ，又0<x <12，则y ＋3>6，y >3，所以3x ＋1y －3＝y＋3＋1y －3＝(y －3)＋1y －3＋6≥2（y －3）·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4时取等号，故3x ＋1y －3的最小值是8.答案 85.(2017·无锡期末)设不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围为________.解析 平面区域M 是以点(1，1)，(1，3)和(2，2)为顶点的三角形区域(含边界)，直线y ＝kx －2，即k ＝y ＋2x 表示区域M 内的点(x ，y )与点(0，－2)连线的斜率.当经过点(2，2)时，k 取得最小值2；当经过点(1，3)时，k 取得最大值5，故实数k 的取值范围为[2，5]. 答案 [2，5]6.已知x ，y ∈R ，且x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围是________.解析 因为2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，所以6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y22，所以x 2＋4y 2≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号，又因为(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，所以z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12.综上可得4≤x 2＋4y 2≤12. 答案 [4，12]7.(2017·北京卷)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________. 解析 法一 ∵x ≥0，y ≥0且x ＋y ＝1.∴2xy ≤x ＋y ＝1，从而0≤xy ≤14，因此x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝1－2xy ，所以12≤x 2＋y 2≤1.法二 可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围，AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，18.(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元，则⎩⎨⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎨⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为z ＝2 100x ＋900y .作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域. 由图可知当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点M 时，z 取得最大值.联立方程组⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，得M 的坐标为(60，100)，所以当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000 二、解答题9.设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求实数m 的取值范围. 解 先根据约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0画出可行域(图略)， 要使可行域存在，必有m <－2m ＋1，要求可行域包含直线y ＝12x －1上的点，只要边界点(－m ，1－2m )在直线y ＝12x －1的上方，且(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方，故得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m <－2m ＋1，1－2m >－12m －1，m <－12m －1，解之得m <－23. 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.10.(1)当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，求3x ＋27y ＋2的最小值； (2)已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值.解 (1)由x ＋3y －4＝0，得x ＋3y ＝4，所以3x ＋27y ＋2＝3x ＋33y ＋2≥23x ·33y ＋2＝23x ＋3y ＋2＝234＋2＝20， 当且仅当3x ＝33y 且x ＋3y －4＝0，即x ＝2，y ＝23时取等号，此时所求的最小值为20.(2)由x ＋y －3xy ＋5＝0，得x ＋y ＋5＝3xy ， 所以2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy ， 所以3xy －2xy －5≥0， 所以(xy ＋1)(3xy －5)≥0， 所以xy ≥53，即xy ≥259，当且仅当x ＝y ＝53时取等号，故xy 的最小值是259.11.(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大. 又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大.解方程组⎩⎨⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.。
2015届高考数学(文)二轮专题课件：4.2线性规划、基本不等式与不等式证明
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而 a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0，∴D 错．故选 C. 解法二(特殊值法) ∴取 a＝2，b＝－1. ∵a，b∈R 且 a－|b|＞0，
高考热 点突破
则 b－a＝－1－2＝－3＜0，∴A 错． a3＋b3＝8－1＝7＞0，∴B 错． a2－b2＝22－(－1)2＝3＞0，∴D 错．故选 C. (2)解法一 ∵a＞b＞0 且 ab＝1，
最大，此时z取最大值，即zmax＝2×4＋2＝10.
故选C.
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主干考 点梳理
4．(2014· 重庆卷)若 log4(3a＋4b)＝log2 ab，则 a ＋b 的最小值是( D ) A．6＋2 3 C．6＋4 3 B．7＋2 3 D．7＋4 3
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主干考 点梳理
解析：
0，b＞0.
a ，b＞0 ． (1)基本不等式成立的条件： ________ a＝b 时取等号． (2)等号成立的条件：当且仅当 ________
(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值 ______．两个正
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最大值 ． 数的和为常数时，它们的积有________
2．几个重要的不等式．
2ab (1)a2＋b2≥________(a ，b∈R)．
随堂讲义· 第一部分
知识复习专题
专题四
第二讲
不
等
式
线性规划、基本不等式与不等式 的证明
预测2015年高考中一定有线性规划小题，利用不等式性
质与基本不等式的小题也一般情况都会考到，而基本不
等式也可能在大题中求最值问题中用到．但由于现有导 数方法研究函数最值问题，故直接利用基本不等式求最 值机会变小，但仍然有考到的可能，特别是在小题中可 能性很大．
基本不等式、线性规划
基本不等式与线性规划问题1．基本不等式 ab b a 2≥+ （积定和最小）注意：①a 、b 均为正实数 ②ab 为定值 ③a 、b 相等时取等号例1．⑴若x 为正数，求函数xx x f 1)(+=的最小值； ⑵若x 为非零实数，求函数xx x f 1)(+=的值域例2．当x ＞-1时，求函数11)(++=x x x f 的最小值例3．⑴已知x ＞0，y ＞0，且191=+yx ，求y x +的最小值⑵设a 、b 均为正实数，且2=+b a ，求ba 11+的最小值⑶已知135=+yx ，其中x ＞0，y ＞0，求xy 的最小值例4．⑴如果2lg lg =+y x ，求yx 11+的最小值⑵如果13=+y x ，求yx82+的最小值⑶如果4log log 33≥+n m ，求n m +的最小值例5．分别求下列函数的值域⑴．123)(2--+=x x x x f ，（其中x ＞1）⑵．45)(22++=x x x f⑶．1)(+=x x x f2．基本不等式 2)2(b a ab +≤ （和定积最大） 例1．已知)4,0(∈x ，求函数)4()(x x x f -=的最大值，并求此时x 的取值范围例2．已知x ＞1，y ＞1，且,4lg lg =+y x 求y x lg lg 的最大值例3．设a ＞b ＞1，b a P lg lg =，)lg (lg 21b a Q +=，2lg b a R +=，试比较P 、Q 、R 的大小例4．已知x 、y 均为正实数，且14=+y x ，求xy 的最大值例5．若正数a 、b 满足条件3++=b a ab ，求ab 的取值范围3．二元一次不等式（组）与平面区域例1．不在不等式y x 23+＜6表示的平面区域内的点是（ ）A ．（0，2）B ．（1，1）C ．（0，-2）D ．（2，0）例2．分别画出下列不等式（组）表示的平面区域⑴．42+-y x ＞0 ⑵．⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x例3．点A （3，1）和B （-4，6）在直线023=+-a y x 的两侧，求实数a 的取值范围例4．分别求下列不等式组所表示的平面区域的面积⑴． ⎪⎩⎪⎨⎧≥+--≥≤02210y x y x ⑵． ⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x4．简单的线性规划求最值问题例1．已知x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x ，求目标函数y x z -=的最值例2．若x 、y 满足约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+--≥-≥3634123443y x y x y x⑴．求目标函数y x z 32+=的最大值 ⑵．求目标函数2434-+-=y x z 的最小值例3．已知x 、y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+-≤-1255334x y x y x ，y x z +=2，求z 的最大值和最小值5．线性规划应用题解线性规划应用题的七个步骤: ①设变量x 、y ②列目标函数③写线性约束条件（不等式组） ④画可行域⑤把区域顶点代入目标函数计算,或画平行线观察计算. ⑥观察确定最值,找到最优解 ⑦作答例1．某工厂家具车间造A 、B 型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成，已知木工做一张A 、B 型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A 、B 型桌子分别需要3小时和1小时，又知木工和漆工每天工作不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A 、B 型桌子分别获利润2千元和3千元。
第1讲 基本不等式与线性规划
第1讲 基本不等式与线性规划高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)基本不等式是C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用；(2)线性规划的要求是A 级，理解二元一次不等式对应的平面区域，能够求线性目标函数在给定区域上的最值，同时对一次分式型函数、二次型函数的最值也要有所了解.真 题 感 悟1.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ×4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240. 答案 302.(2016·江苏卷)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，那么x 2＋y 2的取值范围是________.解析 作出实数x ，y 满足的可行域如图中阴影部分所示，则x 2＋y 2即为可行域内的点(x ，y )到原点O 的距离的平方.由图可知点A 到原点O 的距离最近，点B 到原点O 的距离最远.点A 到原点O 的距离即原点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离d ＝|0－2|12＋22＝255，则(x 2＋y 2)min＝45；点B 为直线x －2y ＋4＝0与3x －y －3＝0的交点，即点B 的坐标为(2，3)，则(x 2＋y 2)max ＝13.综上，x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，133.(2016·江苏卷)已知函数f (x )＝2x＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，若对于任意x ∈R ，不等式f (2x )≥mf (x )－6恒成立，则实数m 的最大值为________.解析 由条件知f (2x )＝22x ＋2－2x ＝(2x ＋2－x )2－2＝(f (x ))2－2. ∵f (2x )≥mf (x )－6对于x ∈R 恒成立，且f (x )>0， ∴m ≤（f （x ））2＋4f （x ）对于x ∈R 恒成立.又（f （x ））2＋4f （x ）＝f (x )＋4f （x ）≥2f （x ）·4f （x ）＝4，且（f （0））2＋4f （0）＝4，∴m ≤4，故实数m 的最大值为4. 答案 44.(2016·江苏卷)在锐角三角形ABC 中，若sin A ＝2sin B sin C ，则tan A tan B tan C 的最小值是________.解析 因为sin A ＝2sin B sin C ，所以sin(B ＋C )＝2sin B sin C ， 所以sin B cos C ＋cos B sin C ＝2sin B sin C ， 等式两边同时除以cos B cos C ， 得tan B ＋tan C ＝2tan B tan C . 又因为tan A ＝－tan(B ＋C )＝tan B ＋tan Ctan B tan C －1，所以tan A tan B tan C －tan A ＝2tan B tan C ， 即tan B tan C (tan A －2)＝tan A .因为A ，B ，C 为锐角，所以tan A ，tan B ，tan C >0， 且tan A >2，所以tan B tan C ＝tan A tan A －2，所以原式＝tan 2Atan A －2.令tan A －2＝t (t >0)，则tan 2A tan A －2＝（t ＋2）2t ＝t 2＋4t ＋4t ＝t ＋4t ＋4≥8，当且仅当t ＝2，即tan A ＝4时取等号. 故tan A tan B tan C 的最小值为8. 答案 8考 点 整 合1.利用基本不等式求最值(1)如果x >0，y >0，xy ＝p (定值)，当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记为：积定，和有最小值).(2)如果x >0，y >0，x ＋y ＝s (定值)，当x ＝y 时，xy 有最大值14s 2(简记为：和定，积有最大值).2.简单的线性规划问题解决线性规划问题首先要找到可行域，再根据目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域上的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.热点一 利用基本不等式求最值【例1】 (1)(2017·山东卷)若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.(2)(2017·苏州调研)已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为________.解析 (1)∵直线x a ＋yb ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)， ∴1a ＋2b ＝1(a >0，且b >0)，则2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4a b ＝8.当且仅当b a ＝4ab ，即a ＝2，b ＝4时上式等号成立. 因此2a ＋b 的最小值为8.(2)设x ＋2＝m ，y ＋1＝n ，m >2，n >1， 则m ＋n ＝x ＋2＋y ＋1＝4，4x ＋2＋1y ＋1＝4m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4m ＋1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 4＋n 4＝54＋n m ＋m 4n ≥54＋2n m ·m 4n ＝94，当且仅当n m ＝m 4n ，m ＝83，n ＝43时取等号，故4x ＋2＋1y ＋1的最小值为94. 答案 (1)8 (2)94探究提高 1.利用基本不等式求最值，要注意“拆、拼、凑”等变形，变形的原则是在已知条件下通过变形凑出基本不等式应用的条件，即“和”或“积”为定值，等号能够取得.2.特别注意：(1)应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，则应结合函数的单调性求解.(2)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则会出错. 【训练1】 (1)(2017·天津卷)若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________.(2)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________. 解析 (1)∵a ，b ∈R ，ab >0， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. (2)依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab ＝22ab ，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝”成立.∵1a ＋2b ＝ab ，∴ab ≥22ab ，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2. 答案 (1)4 (2)2 2热点二 简单的线性规划问题 [命题角度1] 求线性目标函数的最值【例2－1】 (1)(2017·天津卷改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋y ≥0，x ＋2y －2≥0，x ≤0，y ≤3，则目标函数z ＝x ＋y 的最大值为________.(2)(2017·全国Ⅰ卷)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝3x －2y 的最小值为________.解析 (1)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝x ＋y 得y ＝－x ＋z ，作出直线y ＝－x ，平移使之经过可行域，观察可知，最优解在B (0，3)处取得，故z max ＝0＋3＝3.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，由z ＝3x －2y 得y ＝32x －z 2，求z 的最小值，即求直线y ＝32x －z2的纵截距的最大值，当直线y ＝32x －z2过图中点A 时，纵截距最大，由⎩⎨⎧2x ＋y ＝－1，x ＋2y ＝1解得A 点坐标为(－1，1)，此时z ＝3×(－1)－2×1＝－5. 答案 (1)3 (2)－5[命题角度2] 求非线性目标函数的最值【例2－2】 (2017·徐州、宿迁、连云港模拟)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤x －1，x ≤3，x ＋y ≥2，则y x 的取值范围是________.解析 不等式组对应的平面区域是以点(3，－1)，(3，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12为顶点的三角形及其内部，设z ＝yx ，则z 表示平面区域内的点与原点连线所在直线的斜率，则当z ＝y x 经过(3，－1)时取得最小值－13，经过点(3，2)时取得最大值23，故yx 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，23[命题角度3] 线性规划中的含参问题【例2－3】 (2017·南京师大附中模拟)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤4，y ≥x ，x ≥1，若目标函数z ＝ax ＋y 的最小值为－2，则a ＝________.解析 约束条件对应的可行域是以点(1，1)，(1，3)和(2，2)为顶点的三角形及其内部.当a ≥－1时，当目标函数y ＝－ax ＋z 经过点(1，1)时，z 取得最小值，则z min ＝a ＋1＝－2，即a ＝－3(舍去)；当a <－1时，当目标函数y ＝－ax ＋z 经过点(2，2)时，z 取得最小值，则z min ＝2a ＋2＝－2，即a ＝－2，符合题意，故a ＝－2. 答案 －2探究提高 1.线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.2.对于线性规划中的参数问题，需注意：(1)当最值是已知时，目标函数中的参数往往与直线斜率有关，解题时应充分利用斜率这一特征加以转化.(2)当目标函数与最值都是已知，且约束条件中含有参数时，因为平面区域是变动的，所以要抓住目标函数及最值已知这一突破口，先确定最优解，然后变动参数范围，使得这样的最优解在该区域内即可.【训练2】 (1)(2017·山东卷改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋3≤0，3x ＋y ＋5≤0，x ＋3≥0，则z ＝x＋2y 的最大值是________.(2)若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋2≥0，2x ＋y －6≤0，0≤y ≤3，且z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，则m ＝________.解析 (1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z ＝x ＋2y 经过点C (－3，4)时取最大值z max ＝－3＋2×4＝5.(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，z ＝mx －y (m <2)的最小值为－52，可知目标函数的最优解过点A ，由⎩⎨⎧y ＝3，2x －y ＋2＝0，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，∴－52＝m2－3，解得m ＝1. 答案 (1)5 (2)11.多次使用基本不等式的注意事项当多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法. 2.基本不等式除了在客观题考查外，在解答题的关键步骤中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先变换形式才能应用.3.解决线性规划问题首先要作出可行域，再注意目标函数表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决.一、填空题1.(2017·全国Ⅱ卷改编)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧2x ＋3y －3≤0，2x －3y ＋3≥0，y ＋3≥0，则z ＝2x ＋y 的最小值是________.解析 可行域如图阴影部分所示，当直线y ＝－2x ＋z 经过点A (－6，－3)时，所求最小值为－15.答案 －152.若0<x <1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时x 的值为________.解析 因为0<x <1，所以f (x )＝x (4－3x )＝13×3x (4－3x )≤13×⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋4－3x 22＝43，当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23时取等号. 答案 233.(2017·海门中学检测)已知a >0，b >0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，则m ＋n 的最小值是________.解析 由题意知ab ＝1，所以m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，所以m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝1时取等号. 答案 44.(2017·宿迁调研)若实数x ，y 满足xy ＋3x ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <12，则3x ＋1y －3的最小值是________.解析 由xy ＋3x ＝3可得y ＋3＝3x ，又0<x <12，则y ＋3>6，y >3，所以3x ＋1y －3＝y＋3＋1y －3＝(y －3)＋1y －3＋6≥2（y －3）·1y －3＋6＝8，当且仅当y ＝4时取等号，故3x ＋1y －3的最小值是8.答案 85.(2017·无锡期末)设不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M 内的点，则实数k 的取值范围为________.解析 平面区域M 是以点(1，1)，(1，3)和(2，2)为顶点的三角形区域(含边界)，直线y ＝kx －2，即k ＝y ＋2x 表示区域M 内的点(x ，y )与点(0，－2)连线的斜率.当经过点(2，2)时，k 取得最小值2；当经过点(1，3)时，k 取得最大值5，故实数k 的取值范围为[2，5]. 答案 [2，5]6.已知x ，y ∈R ，且x 2＋2xy ＋4y 2＝6，则z ＝x 2＋4y 2的取值范围是________.解析 因为2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，所以6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，所以x 2＋4y 2≥4，当且仅当x ＝2y 时取等号，又因为(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，所以z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12.综上可得4≤x 2＋4y 2≤12. 答案 [4，12]7.(2017·北京卷)已知x ≥0，y ≥0，且x ＋y ＝1，则x 2＋y 2的取值范围是________. 解析 法一 ∵x ≥0，y ≥0且x ＋y ＝1.∴2xy ≤x ＋y ＝1，从而0≤xy ≤14，因此x 2＋y 2＝(x ＋y )2－2xy ＝1－2xy ，所以12≤x 2＋y 2≤1.法二 可转化为线段AB 上的点到原点距离平方的范围，AB 上的点到原点距离的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1，则x 2＋y 2的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，18.(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 kg ，乙材料1 kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 kg ，乙材料0.3 kg ，用3个工时.生产一件产品A 的利润为2 100元，生产一件产品B 的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg ，乙材料90 kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元.解析 设生产产品A 、产品B 分别为x 件、y 件，利润之和为z 元，则⎩⎨⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，即⎩⎨⎧3x ＋y ≤300，10x ＋3y ≤900，5x ＋3y ≤600，x ∈N ，y ∈N ，目标函数为z ＝2 100x ＋900y .作出不等式组表示的平面区域为图中阴影部分内(包括边界)的整点，即可行域. 由图可知当直线z ＝2 100x ＋900y 经过点M 时，z 取得最大值.联立方程组⎩⎨⎧10x ＋3y ＝900，5x ＋3y ＝600，得M 的坐标为(60，100)，所以当x ＝60，y ＝100时，z max ＝2 100×60＋900×100＝216 000(元). 答案 216 000 二、解答题9.设关于x ，y 的不等式组⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求实数m 的取值范围. 解 先根据约束条件⎩⎨⎧2x －y ＋1>0，x ＋m <0，y －m >0画出可行域(图略)， 要使可行域存在，必有m <－2m ＋1，要求可行域包含直线y ＝12x －1上的点，只要边界点(－m ，1－2m )在直线y ＝12x －1的上方，且(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方，故得不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m <－2m ＋1，1－2m >－12m －1，m <－12m －1，解之得m <－23. 故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－23.10.(1)当点(x ，y )在直线x ＋3y －4＝0上移动时，求3x ＋27y ＋2的最小值； (2)已知x ，y 都是正实数，且x ＋y －3xy ＋5＝0，求xy 的最小值.解 (1)由x ＋3y －4＝0，得x ＋3y ＝4，所以3x ＋27y ＋2＝3x ＋33y ＋2≥23x ·33y ＋2＝23x ＋3y ＋2＝234＋2＝20， 当且仅当3x ＝33y 且x ＋3y －4＝0，即x ＝2，y ＝23时取等号，此时所求的最小值为20.(2)由x ＋y －3xy ＋5＝0，得x ＋y ＋5＝3xy ， 所以2xy ＋5≤x ＋y ＋5＝3xy ， 所以3xy －2xy －5≥0， 所以(xy ＋1)(3xy －5)≥0， 所以xy ≥53，即xy ≥259，当且仅当x ＝y ＝53时取等号，故xy 的最小值是259.11.(2017·天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告.已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍.分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数.(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解 (1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y ≤600，5x ＋5y ≥30，x ≤2y ，x ≥0，y ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y ≤60，x ＋y ≥6，x －2y ≤0，x ≥0，y ≥0，该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分：(2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y .考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－125x ＋z 25，这是斜率为－125，随z 变化的一族平行直线，z 25为直线在y 轴上的截距，当z25取得最大值时，z 的值最大. 又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距z25最大，即z 最大.解方程组⎩⎨⎧7x ＋6y ＝60，x －2y ＝0，得点M 的坐标为(6，3).所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多.。
试论高中数学基本不等式解题技巧
龙源期刊网 试论高中数学基本不等式解题技巧作者：刘金兰来源：《学习与科普》2019年第29期摘要：高中数学有着较强的逻辑性，自身它就是一个相对较难的学科，学生在学习的过程中需要面对各种类型的知识整合，其中不等式的应用相对较难，而且高考中不等式会占据较大的分值，在试题中常常和其他内容结合出新的题型，想要对其进行解析并非一件容易事情。
本文对高中不等式的解题思路与技巧进行分析，并加以案例说明，以供相关人士参考。
关键词：高中数学;基本不等式;解题技巧引言：基本不等式作为高中数学重要的一类不等式来讲，其能够贯穿高中数学众多的知识点，学生合理的掌握解题技巧才能有效提高自身的综合能力。
然而部分学生虽然掌握不等式的特性，但是仍然无法正确地将习题解答，导致這种现象的主要原因就是学生没有完全掌握不等式的本质，同时在日常学习的过程中没有高效的应用不等式，所以无法提高解题的效率。
一、线性规划中的不等式问题在考试题中，基本不等式最多的运用就是线性规划问题，而且这种类型题的出现通常都会与它其他知识混合在一起，这也使得学生们在解题的过程中经常难以下手。
这就说明通常情况下，线性不等式的问题考察的内容相对较多，包括一些特殊数值的计算与方法包括面积运算等，而且通常情况会利用最大值去求最小值，或最小值去求最大值。
还有一些例题会提升一个难度通过图像或函数来建立相应的关系去求相应的数值。
学生需要对相应范围的参数进行计算并获得相应的参数来进行求值。
在解题的过程中学生不仅要明确相关知识，还要懂得其理念和性质，才能将相应的题目进行解析。
例如，已知a>0，且x，y满足x≥2x+y≤4y≥a（x-4），目标函数为z=2x+y的最小值为2，求参数a的取值。
这一题中，解题的主要思路在于坐标中的直线，再加上题目中我们已知条件以轴为中心形成三角形进行计算，但与以往不大相同的是，这道例题在解题的过程中学生需要运用逆向思维来进行推理，根据已给的已知条件进行调整，同时还要注重大于等于号的使用。
高考数学第3讲 不等式性质与线性规划、基本不等式
大二轮复习 数学（文）
得 f(2a)－12(2a＋2)2＜f(12－a)－12(12－a＋2)2， 即 g(2a)＜g(12－a)，所以 2a＞12－a，所以 a＞4， 又 2a＞－2，12－a＞－2，所以 4＜a＜14. 故选 B.
核心知识 核心考点 高考押题 限时规范训练
核心知识 核心考点 高考押题 限时规范训练
大二轮复习 数学（文）
考点一 不等式性质及求解
——清楚条件，等价转化
(1)[考题打磨]设 a＝2ln 3，b＝2－0.1，c＝ln 8，则 a，b，c
的大小关系是( A )
A．a＞c＞b
B．a＞b＞c
C．b＞a＞c
D．c＞a＞b
解析：选 A.a＝2ln 3＝ln 9＞ln 8＞1. b＝2－0.1＜1，∴a＞c＞b，选 A.
的最大值为 的最小值为
___2__S______．
核心知识 核心考点 高考押题 限时规范训练
大二轮复习 数学（文）
3．不等式 y>kx＋b 表示直线 y＝kx＋b 上方的区域；y<kx＋b 表示 直线 y＝kx＋b 下方的区域．
4．绝对值不等式：|x|＞a(a＞0)⇔ __x_＞__a__或__x_＜__－__a___， |x|＜a(a＞0)⇔ _－__a_＜__x_＜__a__.
(5)形如 y＝ax＋bx(a>0，b>0)，x∈(0，＋∞)取最小值时，ax＝bx⇒x b
＝______a_____，即“对号函数”单调变化的分界点；
__P2__2_(6_)_a_>_0_，_ ；b>若0，a若b ＝a
＋b＝P，当且仅当 S，当且仅当 a＝
a b
第9讲 简单的线性规划和基本不等式
第9讲 简单的线性规划和基本不等式知识要点1、二元一次不等式的解及其几何意义)0( A0 C By Ax ++表示： 0≥++C By Ax 表示： 0 C By Ax ++表示： 0≤++C By Ax 表示：首先 ，然后 2、处理线性规划的一般思路 第一步： 第二步： 第三步：3、分式不等式的解法提醒 第一步： 第二步： 第三步： 第四步：4、均值不等式及推论：2,,abb a R b R a ≥+∈∈++（当且仅当a=b 时等号成立）（要求口诀： ） n n n n a a a n a a a R a 2121,≥++∈+（当且仅当n a a a === 21时等号成立）基础题演练1.已知n m ，则（ ）A.22n m B.n mC.22nx mxD.x n x m ++2、不等式022-+-x x 的解集是3、集合A={}0342+-x x x ,B={}0)5)(2( --x x x x ，则B A ⋂=4、点P （m ，n ）不在不等式0145 -+y x 表示的平面区域内，则m ，n 满足的条件是 。
5、若实数x ，y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-≥+0422y x y x y x ，则2x+3y 的最小值是 。
6、已知0 a ，求aa 9+的最小值及此时a 的值。
考点、热点、难点突破题型一 解二次不等式【例1】解关于x 的不等式01)1(2 ++-x a ax变式训练1已知a 为常数，解关于x 的不等式：022a x ax +-题型二 利用不等式的性质【例2】若b a =+=+ββααπβαcos sin ,cos sin ,4，则（ ）A 、b aB 、b aC 、1 abD 、2 ab题型三 解二次不等式【例3】解关于x 的不等式01)1(2 ++-x a ax 变式训练2已知a 为常数，解关于x 的不等式：022a x ax +-题型四 利用线性规划求值求范围【例4】1、已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-≥+3022y y x y x ，若目标函数ax y z -=仅在点（5，3）处取得最小值，则实数a 的取值范围为 。
巧解：基本不等式与线性规划综合
试卷第1页，总2页 巧解：基本不等式与线性规划综合一、 温故知新（1）线性规划中的基本概念约束条件：由变量x ，y 组成的不等式组.线性约束条件：由x ，y 的线性不等式(或方程)组成的不等式组；目标函数：关于x ，y 的函数(,)f x y ，如z ＝2x ＋3y 等；线性目标函数：关于x ，y 的线性目标函数.可行解：满足线性约束条件的解.可行域：所有可行解组成的平面区域.最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题（2）．基本不等式：ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)．二、 典例精讲 典例1．在260202x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≥⎩条件下，目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为40，则51a b+的最小值是（ ） A ．74 B ．94 C ．52 D ．21．B 【详解】如图所示，画出可行域和目标函数，根据图像知：当8,10x y ==时，810z a b =+有最大值为40，即81040z a b =+=，故4520a b +=. ()(511511254194525252020204b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 当254b a a b =，即104,33a b ==时等号成立. 故选：B .三、归纳总结先由线性规划求出最值，再代入利用基本不等式求出最值。
四、迎接挑战挑战题：1．设x，y满足约束条件8401040x yx yx y--≤⎧⎪++≥⎨⎪-≥⎩，目标函数z＝ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为2，则11a b+的最小值为（）A．5 B．52C．92D．92．,x y满足约束条件3620x yx yxy-≤⎧⎪-+≥⎪⎨≥⎪⎪≥⎩,若目标函数(0,0)z ax by a b=+>>的最大值为12，则23a b+的最小值为()A．256B．25C．253D．5试卷第2页，总2页。
4—简单的线性规划基本不等式
4—简单的线性规划、基本不等式知识块一:求目标函数的最值归纳起来常见的命题角度有:(1)求线性目标函数的最值;(2)求非线性目标的最值;(3)求线性规划中的参数、角度一:求线性目标函数的最值1.设x,y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x＋y－7≤0x－3y＋1≤03x－y－5≥0则z＝2x－y的最大值为()A.10B.8C.3D.2解析:选B作出可行域如图中阴影部分所示,由z＝2x－y得y＝2x－z,作出直线y＝2x,平移使之经过可行域,观察可知,当直线经过点A(5,2)时,对应的z值最大.故z max＝2×5－2＝8、2.若x,y满足⎩⎪⎨⎪⎧y≤1x－y－1≤0x＋y－1≥0则z＝3x＋y的最小值为________、解析:根据题意画出可行域如图,由于z＝3x＋y对应的直线斜率为－3,且z与x正相关,结合图形可知,当直线过点A(0,1)时,z取得最小值1、答案:1角度二:求非线性目标的最值3.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组⎩⎨⎧2x－y－2≥0x＋2y－1≥03x＋y－8≤0所表示的区域上一动点,则直线OM斜率的最小值为()A.2B.1C.－13 D.－12解析:选C已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示,显然当点M与点A 重合时直线OM 的斜率最小,由直线方程x ＋2y －1＝0与3x ＋y －8＝0,解得A (3,－1),故OM 斜率的最小值为－13、4.设实数x ,y 满足不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤2y －x ≤2y ≥1则x 2＋y 2的取值范围就是( )A.[1,2]B.[1,4]C.[2,2]D.[2,4]解析:选B 如图所示,不等式组表示的平面区域就是△ABC 的内部(含边界),x 2＋y 2表示的就是此区域内的点(x ,y )到原点距离的平方.从图中可知最短距离为原点到直线BC 的距离,其值为1;最远的距离为AO ,其值为2,故x 2＋y 2的取值范围就是[1,4].角度三:求线性规划中的参数 5.若x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0kx －y ＋2≥0y ≥0且z ＝y －x 的最小值为－4,则k 的值为( )A.2B.－2 C 、12D.－12解析:选D作出线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0kx －y ＋2≥0y ≥0的可行域.当k ＞0时,如图①所示,此时可行域为y 轴上方、直线x ＋y －2＝0的右上方、直线kx －y ＋2＝0的右下方的区域,显然此时z ＝y －x 无最小值.当k ＜－1时,z ＝y －x 取得最小值2;当k ＝－1时,z ＝y －x 取得最小值－2,均不符合题意.当－1＜k ＜0时,如图②所示,此时可行域为点A (2,0),B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 0,C (0,2)所围成的三角形区域,当直线z ＝y －x经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－2k 0时,有最小值,即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4⇒k ＝－12、故选D 、6.x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0、若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一,则实数a 的值为( )A 、12或－1 B.2或12C.2或1D.2或－1解析:选D 法一:由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知A (0,2),B (2,0),C (－2,－2),则z A ＝2,z B＝－2a ,z C ＝2a －2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要z A ＝z B >z C 或z A ＝z C >z B 或z B ＝z C >z A ,解得a ＝－1或a ＝2、法二:目标函数z ＝y －ax 可化为y ＝ax ＋z ,令l 0:y ＝ax ,平移l 0,则当l 0∥AB 或l 0∥AC 时符合题意,故a ＝－1或a ＝2、一、选择题1.已知点(－3,－1)与点(4,－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧,则a 的取值范围为( ) A.(－24,7) B.(－7,24)C.(－∞,－7)∪(24,＋∞)D.(－∞,－24)∪(7,＋∞)解析:选B根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0、 即(a ＋7)(a －24)＜0,解得－7＜a ＜24、2.已知O 为坐标原点,A (1,2),点P 的坐标(x ,y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋|y |≤1x ≥0则z ＝OA ·OP 的最大值为( ) A.－2 B.－1 C.1 D.2解析:选D 如图作可行域,z ＝OA ·OP ＝x ＋2y ,显然在B (0,1)处z max ＝2、故选D 、3.设动点P (x ,y )在区域Ω:⎩⎨⎧x ≥0y ≥xx ＋y ≤4上,过点P 任作直线l ,设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ,则以AB 为直径的圆的面积的最大值为( )A.πB.2πC.3πD.4π解析:选D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示,则根据图形可知,以AB 为直径的圆的面积的最大值S ＝π×⎝⎛⎭⎫422＝4π,故选D 、4.变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥－1x －y ≥23x ＋y ≤14若使z ＝ax ＋y 取得最大值的最优解有无穷多个,则实数a 的取值集合就是( )A.{－3,0}B.{3,－1}C.{0,1}D.{－3,0,1}解析:选B 作出不等式组所表示的平面区域,如图所示.易知直线z ＝ax ＋y 与x －y ＝2或3x ＋y ＝14平行时取得最大值的最优解有无穷多个,即－a ＝1或－a ＝－3,∴a ＝－1或a ＝3、故选B 、5.设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥ax －y ≤－1且z ＝x ＋ay 的最小值为7,则a ＝( )A.－5B.3C.－5或3D.5或－3解析:选B 法一:联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝ax －y ＝－1解得⎩⎨⎧x ＝a －12y ＝a ＋12代入x ＋ay ＝7中,解得a ＝3或－5,当a ＝－5时,z ＝x ＋ay 的最大值就是7;当a ＝3时,z ＝x ＋ay 的最小值就是7,故选B 、法二:先画出可行域,然后根据图形结合选项求解.当a ＝－5时,作出不等式组表示的可行域,如图(1)(阴影部分).图(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝－5得交点A (－3,－2), 则目标函数z ＝x －5y 过A 点时取得最大值. z max ＝－3－5×(－2)＝7,不满足题意,排除A,C 选项. 当a ＝3时,作出不等式组表示的可行域,如图(2)(阴影部分).图(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1x ＋y ＝3得交点B (1,2),则目标函数z ＝x ＋3y 过B 点时取得最小值.z min ＝1＋3×2＝7,满足题意. 答案:46.设D 为不等式组⎩⎨⎧x ≥02x －y ≤0x ＋y －3≤0所表示的平面区域,区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________.解析:作出可行域,如图中阴影部分所示,则根据图形可知,点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小,d ＝|2×1－0|22＋1＝255,故最小距离为255、答案:2557.设x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0y ≥0x 3a ＋y4a≤1若z ＝x ＋2y ＋3x ＋1的最小值为32,则a 的值为________.解析:∵x ＋2y ＋3x ＋1＝1＋2(y ＋1)x ＋1,而y ＋1x ＋1表示过点(x ,y )与(－1,－1)连线的斜率, 易知a >0,∴可作出可行域,由题意知y ＋1x ＋1的最小值就是14,即⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋1x ＋1min ＝0－(－1)3a －(－1)＝13a ＋1＝14⇒a ＝1、 答案:18.若x ,y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1x －y ≥－12x －y ≤2、(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值;(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值,求a 的取值范围.解:(1)作出可行域如图,可求得A (3,4),B (0,1),C (1,0).平移初始直线12x －y ＋12＝0,过A (3,4)取最小值－2,过C (1,0)取最大值1、所以z 的最大值为1,最小值为－2、(2)直线ax ＋2y ＝z 仅在点(1,0)处取得最小值,由图象可知－1＜－a2＜2,解得－4＜a ＜2、故所求a 的取值范围为(－4,2).知识块二:基本不等式考点一 利用基本不等式证明不等式1.基本不等式ab ≤a ＋b2,成立的条件:一正、二定、三相等 2.几个重要的不等式:(1)a 2＋b 2≥2ab (a ,b ∈R ).(2)b a ＋ab ≥2(a ,b 同号).(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ). (4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ,b ∈R ).[典题例析]设a ,b ,c 都就是正数,求证:bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c 、证明:∵a ,b ,c 都就是正数, ∴bc a ,ca b ,abc都就是正数.∴bc a ＋cab≥2c ,当且仅当a ＝b 时等号成立, ca b ＋abc≥2a ,当且仅当b ＝c 时等号成立, ab c ＋bca≥2b ,当且仅当a ＝c 时等号成立. 三式相加,得2⎝⎛⎭⎫bc a ＋ca b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c ),即bc a ＋ca b ＋abc≥a ＋b ＋c ,当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立. [类题通法]利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式就是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.[演练冲关]设a ,b 均为正实数,求证:1a 2＋1b 2＋ab ≥22、证明:由于a ,b 均为正实数, 所以1a 2＋1b2≥21a 2·1b 2＝2ab, 当且仅当1a 2＝1b 2,即a ＝b 时等号成立,又因为2ab＋ab ≥22ab·ab ＝22, 当且仅当2ab ＝ab 时等号成立,所以1a 2＋1b 2＋ab ≥2ab＋ab ≥22,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a 2＝1b 22ab ＝ab即a ＝b ＝42时取等号.考点二 利用基本不等式求最值已知x >0,y >0,则:(1)如果积xy 就是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,x ＋y 有最小值就是2p 、(简记:积定与最小) (2)如果与x ＋y 就是定值p ,那么当且仅当x ＝y 时,xy 有最大值就是p 24、(简记:与定积最大)[一题多变][典型母题][题点发散1] 本例的条件不变,则⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b 的最小值为________. 解析:⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4＝9、当且仅当a ＝b ＝12时,取等号.答案:9[题点发散2] 本例的条件与结论互换即:已知a ＞0,b ＞0,1a ＋1b ＝4,则a ＋b 的最小值为________.解析:由1a ＋1b ＝4,得14a ＋14b＝1、∴a ＋b ＝⎝⎛⎭⎫14a ＋14b (a ＋b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ＋a4b＝1、 当且仅当a ＝b ＝12时取等号.答案:1[题点发散3] 若本例条件变为:已知a >0,b >0,a ＋2b ＝3,则2a ＋1b 的最小值为________.解析:由a ＋2b ＝3得13a ＋23b ＝1,∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫13a ＋23b ⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝43＋a 3b ＋4b3a ≥43＋2a 3b ·4b 3a ＝83、当且仅当a ＝2b ＝32时,取等号. 答案:83[题点发散4] 本例的条件变为:已知a ＞0,b ＞0,c ＞0,且a ＋b ＋c ＝1,则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________.解析:∵a ＞0,b ＞0,c ＞0,且a ＋b ＋c ＝1,∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋bc ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9、当且仅当a ＝b ＝c ＝13时,取等号.答案:9[题点发散5] 若本例变为:已知各项为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5,若存在两项a m ,a n ,使得a m ·a n ＝22a 1,则1m ＋4n的最小值为________.解析:设公比为q (q ＞0),由a 7＝a 6＋2a 5⇒a 5q 2＝a 5q ＋2a 5⇒q 2－q －2＝0(q ＞0)⇒q ＝2、a m ·a n ＝22a 1⇒a 12m －1·a 12n －1＝8a 21⇒2m －1·2n －1＝8⇒m ＋n －2＝3⇒m ＋n ＝5,则1m ＋4n ＝15⎝⎛⎭⎫1m ＋4n (m ＋n )＝15⎣⎡⎦⎤5＋⎝⎛⎭⎫n m ＋4m n ≥15(5＋24)＝95, 当且仅当n ＝2m ＝103时等号成立.答案:95考点三 基本不等式的实际应用[典题例析]某厂家拟在2014年举行促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数),如果不搞促销活动,则该产品的年销售量只能就是1万件.已知2014年生产该产品的固定投入为8万元.每生产一万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1、5倍(产品成本包括固定投入与再投入两部分资金).(1)将2014年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数; (2)该厂家2014年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大？ 解:(1)由题意知,当m ＝0时,x ＝1(万件), ∴1＝3－k ⇒k ＝2,∴x ＝3－2m ＋1,每件产品的销售价格为1、5×8＋16xx (元),∴2014年的利润y ＝1、5x ×8＋16xx－8－16x －m＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0).(2)∵m ≥0时,16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8,∴y ≤－8＋29＝21,当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时,y max ＝21(万元).故该厂家2014年的促销费用投入3万元时,厂家的利润最大为21万元. 1.已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0),则f (x )有 ( )A.最大值为0B.最小值为0C.最大值为－4D.最小值为－4解析:选C ∵x ＜0,∴f (x )＝－ ⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4,当且仅当－x ＝1－x ,即x ＝－1时取等号.2.已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ,y 恒成立,则正实数a 的最小值就是( ) A.2 B.4 C.6D.8解析:选B (x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋axy ≥1＋a ＋2a ,∴当1＋a ＋2a ≥9时不等式恒成立,故a ＋1≥3,a ≥4、3.若a ,b 均为大于1的正数,且ab ＝100,则lg a ·lg b 的最大值就是( ) A.0 B.1 C.2D 、52解析:选B ∵a >1,b >1,∴lg a >0,lg b >0、 lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24＝1、当且仅当a ＝b ＝10时取等号.4.设OA ＝(1,－2),OB ＝(a ,－1),OC ＝(－b,0)(a ＞0,b ＞0,O 为坐标原点),若A ,B ,C 三点共线,则2a ＋1b 的最小值就是( ) A.4 B 、92C.8D.9解析:选D ∵AB ＝OB －OA ＝(a －1,1), AC ＝OC －OA ＝(－b －1,2),若A ,B ,C 三点共线, 则有AB ∥AC ,∴(a －1)×2－1×(－b －1)＝0, ∴2a ＋b ＝1,又a ＞0,b ＞0,∴2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ·(2a ＋b ) ＝5＋2b a ＋2a b ≥5＋2 2b a ×2a b＝9, 当且仅当⎩⎨⎧ 2b a ＝2a b 2a ＋b ＝1即a ＝b ＝13时等号成立.故选D 、 5.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值就是( )A.23＋2 B.23－2C.2 3 D.2 解析:选A ∵x >1,∴x －1>0、∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝x 2－2x ＋1＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝x －1＋3x －1＋2 ≥2 (x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －1＋2＝23＋2、 当且仅当x －1＝3x －1,即x ＝1＋3时,取等号. 6.已知a ,b ∈R ,且ab ＝50,则|a ＋2b |的最小值就是________.解析:依题意得a ,b 同号,于就是有|a ＋2b |＝|a |＋|2b |≥2|a |·|2b |＝22|ab |＝2100＝20,当且仅当|a |＝|2b |＝10时取等号,因此|a ＋2b |的最小值就是20、 答案:207.当x ＞1时,不等式x ＋1x －1≥a 恒成立,则实数a 的最大值为________. 解析:因为x ＞1,所以x －1＞0、又x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3,当且仅当x ＝2时等号成立,所以a 的最大值为3、答案:38.已知x ＞0,y ＞0,且2x ＋8y －xy ＝0,求(1)xy 的最小值;(2)x ＋y 的最小值.解:(1)由2x ＋8y －xy ＝0,得8x ＋2y＝1, 又x ＞0,y ＞0,则1＝8x ＋2y≥2 8x ·2y ＝8xy, 得xy ≥64,当且仅当x ＝16,y ＝4时,等号成立. 所以xy 的最小值为64、(2)由2x ＋8y －xy ＝0,得8x ＋2y＝1, 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ·(x ＋y )＝10＋2x y ＋8y x ≥10＋2 2x y ·8y x ＝18、 当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立, ∴x ＋y 的最小值为18、。
专题7 线性规划与基本不等式(培优)
专题7-1线性规划归类【题型一】三大基础题型：截距，斜率与距离（圆系）【典例分析】若实数x ，y 满足{x ≤4y ≤33x +4y ≥12，则x 2+y 2的取值范围是___【提分秘籍】基本规律1.线性，注意Z 与截距之间的正反比例关系，如变式22.斜率型，要写层标准的斜率公式形式，如变式13.距离型，注意圆与直线（线段）的位置关系：点到线的垂直关系还是点到点的关系，如典例分析【变式演练】1.设,x y 满足约束条件20{230 0x y x y x y --≤-+≥+≤，则46y x ++的取值范围是 ( ) A. []4,1- B. 33,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C. (][),31,-∞-⋃+∞D. []3,1-2.若实数x ，y 满足约束条件{x ≥2,x +y ≤6,x −y ≤0,则目标函数z =2x −3y 的最大值是__________．3.设点(),Px y 是平面区域0{10 220x x y x y ≤++≤++≥内的任意一点，则224x y x +-的最小值为 A. 12 B. 1 C. 92D. 5【题型二】 由参数确定图像形状【典例分析】若不等式组0220x y x y y x y a -≥⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪+≤⎩，表示的平面区域是一个三角形区域，则a 的取值范围是（ ）A.43a ≥B.01a <≤C.413a ≤≤ D.01a <≤或43a ≥【提分秘籍】基本规律分类讨论，动图研究【变式演练】1.设不等式组4,0,10,x y y x x +≤⎧⎪-≥⎨⎪-≥⎩表示的平面区域为D ，若圆222:(1)(1)(0)C x y r r +++=>不经过区域D 上的点，则r 的取值范围是A ．22,25⎡⎣B ．(22,32]C ．(22,25]D ．(0,22)(25,)+∞2.不等式组表示的是一个对称四边形围成的区域，则 .3.已知圆的方程为224x y +=，P 是圆O 上的一个动点，若OP 的垂直平分线总是被平面区域||||x y a +≥覆盖，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1a ≥B ．1a ≤C ．01a <≤D ．0a ≤【题型三】 含参线性规划【典例分析】给出平面区域如图所示，其中A （1，1），B （2，5），C （4，3），若使目标函数(0)Z ax y a =->取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值是A ．B ．1C ．4D ．【提分秘籍】基本规律含参型，注意区分参数所在位置而采取的不同处理方法。
基本不等式与线性规划答案
基本不等式与线性规划1.若x >0，y >0，且log 3x +log 3y =1，则11x y+的最小值是 .【答案】【解析】由log 3x +log 3y =1，得x ·y =3，所以1x +1y ≥.2.函数y2的最小值为 .【答案】52【解析】设tt ≥2)，易知y =t +1t 在[2，+∞)上是单调增函数，所以当t=2，即x =0时，y min =52.3.设x >1-，则函数()()521x x y x ++=+的最小值为.【答案】9【解析】y =27101x x x +++=x +1+41x ++5，因为x >-1，所以y =x +1+41x ++5≥9，当且仅当x =1时取等号.4.若实数x ，y 满足约束条件2022x y x y +-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩的最小值为 .【解析】画出图象，可知最小值为原点到直线x+y-2=05.(1)设实数x，y满足x2+2xy-1=0，则x2+y2的最小值是.【分析】(1) 注意到条件与所求均含有两个变量，从简化问题的角度来思考，消去一个变量，转化为只含有一个变量的函数，从而求它的最小值.注意题中消去y较容易，所以应消去y.(2) 由所求的结论x2+y2想到将条件应用基本不等式，构造出x2+y2，然后将x2+y2求解出来.【答案】【解析】方法一：由x2+2xy-1=0得y=21-2xx，从而x2+y2=x2+221-2xx⎛⎫⎪⎝⎭=254x+214x-12≥2-12=，当且仅当x=.方法二：由x2+2xy-1=0得1-x2=2xy≤mx2+ny2，其中mn=1(m，n>0)，所以(m+1)x2+ny2≥1，令m+1=n，与mn=1联立解得m=，n=，从而x2+y2≥2=.(2)若a>0，b>0，且11121a b b+=++，则a+2b的最小值为.【答案】【解析】由已知等式得2a+2b+1=2ab+2a+b2+b，从而a=2-12b bb+，a+2b=2-12b bb++2b=12+32b+12b≥12=，故有最小值.(3)若实数x，y满足x>y>0，且log2x+log2y=1，则22x yx y+-的最小值为.【答案】4【解析】因为log2x+log2y=log2xy=1，所以xy=2.因为x>y>0，所以x-y>0，所以22-x y x y +=2(-)2-x y xy x y +=x -y +4-x y ≥，当且仅当x -y =2时取等号.(4)如图，已知函数y =a x +b (b >0)的图象经过点P(1，3)，则411a b+-的最小值为.(第5题)【答案】92【解析】方法一：(基本不等式法)由图可知a >1，点(1，3)在函数y =a x +b 的图象上，所以a +b =3，且1<a <3，0<b <2，所以4-1a +1b =12×241-1a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=12[(a -1)+b ]41-1a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=141521b a a b -⎛⎫++ ⎪-⎝⎭≥92.当且仅当4-1b a =-1a b ，即a =73，b =23时取等号.所以4-1a +192b的最小值为. 方法二：(三角代换法)由方法一可知a +b =3，且1<a <3，0<b <2，所以-12a +2b =1.令-12a =cos 2θ，2b =sin 2θ，所以4-1a +1b =22cos θ+212sin θ=2(1+tan 2θ)+21112tan θ⎛⎫+ ⎪⎝⎭=52+2tan 2θ+212tan θ≥92.以下同方法一.(5)设,0,5a b a b >+=,________.23(6) 已知,a b 为正实数，且2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为 . 222211211++=++++-++a b a b a b a b答案：23+(7)已知,x y 为正实数，且2x y +≤，则213x y x y++-的最小值为 .2121213222222+=+≥++-+++-+-x y x y x y y x y y y y答案：34+ (8)设,x y 均为正实数，且33122x y +=++，则xy 的最小值为 . 2,2x a y b +=+=, 则331a b+=，即3()ab a b =+(2)(2)2()44=--=-++=++xy a b ab a b a b答案：166(1).若x ，y 满足约束条件20020x y x y x y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪+≥⎩则目标函数z =2x +y 的最大值为.(例2)【答案】6【解析】作出约束条件表示的平面区域如图中阴影部分所示，则当目标函数过点A(4，-2)时，取得最大值z =2x +y =2×4-2=6.(2)若实数x ，y 满足x +y -4≥0，则z =x 2+y 2+6x -2y +10的最小值为.(变式1)【答案】18【解析】先作出不等式x +y -4≥0表示的平面区域如图所示，则z =(x +3)2+(y -1)2表示不等式x +y -4≥0表示的平面区域内的点(x ，y )与定点(-3，1)距离的平方，可求z min=2=18.(3).已知实数x ，y 满足 x 2+y 2≤1，则|2x +y -4|+|6-x -3y |的最大值是 .【答案】15【解答】当x ，y 满足x 2+y 2≤1时，2x +y -4<0，6-x -3y >0，设z =|2x +y -4|+|6-x -3y |，则z =-2x -y +4+6-x -3y =-3x -4y +10，即3x +4y +z -10=0.由题意可知，|-10|5z ≤1，即|z -10|≤5，所以5≤z≤15，故所求最大值为15. (4)（11年江苏14）设集合},,)2(2|),{(222R y x m y x my x A ∈≤+-≤=, },,122|),{(R y x m y x m y x B ∈+≤+≤=,若,φ≠⋂B A 则实数m 的取值范围是______________解析：当0m ≤时，集合A 是以（2，0）为圆心，以m 为半径的圆，集合B 是在两条平行线之间，(102m m +=+> ，因为,φ≠⋂B A 此时无解；当0m >时，集合A 是以（2，0m 为半径的圆环，集合B 是在两条平行线之间，必有m112m ≤≤.又因为2m 1,122m m ≤∴≤≤(5)【2012高考江苏14】（5分）已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则ba的取值范围是 ▲ ． 【答案】[] 7e ，。
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线性规划及基本不等式
一、知识梳理
（一）二元一次不等式表示的区域
1、对于直线0=++C By Ax (A>0)，斜率K=__________,与x 轴的交点为________与y 轴的交点为___________
2、 当B>0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 上方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的下方区域.
当B<0时, 0>++C By Ax 表示直线0=++C By Ax 下方区域; 0<++C By Ax 表示直线0=++c By Ax 的上方区域.
3、问题1:画出不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x 表示的平面区域 问题2：求z=x-3y 的最大值和最小值
注、(1)不等式组是一组对变量x 、y 的约束条件，由于这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.z=Ax+By 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，我们把它称为目标函数.由于z=Ax+By 又是关于x 、y 的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.满足线性约束条件的解（x,y ）叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（11,y x ）和（22,y x ）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.
（2）、用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：
1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.
2.设z=0，画出直线l0.
3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.
4.最后求得目标函数的最大值及最小值.
（3）、线性目标函数的最值常在可行域的顶点处取得
（二）基本不等式
1.基本形式:,a b R ∈,则222a b ab +≥;0,0a b >>,
则a b +≥,当且仅当a b =时等号成
立2.、已知x 为正数，求2x+x 1
的最小值
3、 已知正数x 、y 满足x+2y=1，求x 1+y 1
的最小值.（提示：1的替换）
二、高考链接
1、（08山东）16．设x y ，满足约束条件20510000x y x y x y ⎧-+⎪--⎪⎨⎪⎪⎩，，，
，≥≤≥≥则2z x y =+的最大值为 ．
2、(福建)已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，
≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．
3、（09山东）.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B 两类产品,甲种设备每天能
生产A 类产品5件和B 类产品10件,乙种设备每天能生产A 类产
品6件和B 类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为200元,
设备乙每天的租赁费为300元,现该公司至少要生产A 类产品50件
,B 类产品140件,所需租赁费最少为__________元.
4、（07山东）已知,x y R +
∈，且满足134x y +=，则xy 的最大值为___________ 5、函数y=a x -1 (a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx +ny -1=0上，其中mn >0,则n m 21+的最小值为 .
6、（2007山东）本公司计划2008年在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，规定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司事来的收益分别为0.3万元和0.2万元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司的收益最大，最大收益是多少万元？
三、抢分演练
1、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是( )
A 、22a b <
B 、22a b ab <
C 、2211ab a b <
D 、b a
a b <
2、下面给出四个点中，位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，
表示的平面区域内的点是（ ）
Ａ．(02)， Ｂ．(20)-， Ｃ．(02)-， Ｄ．(20)，
3、.满足线性约束条件23,
23,
0,
0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是 （ ）
（A ）1. （B ）3
2. （C ）2. （D ）
3.
4、若变量x,y 满足约束条件1
325x y x
x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩ 则z=2x+y 的最大值为
（A ）1 (B)2 (C)3 (D)4
5、设x,y 满足24
1,22x y x y z x y
x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则
（A ）有最小值2，最大值3 （B ）有最小值2，无最大值
（C ）有最大值3，无最小值 （D ）既无最小值，也无最大值
6、设变量x ，y 满足约束条件3,
1,
1,x y x y y +≤⎧⎪-≥-⎨⎪≥⎩则目标函数z=4x+2y 的最大值为
（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）2
7、若不等式组502x y y a x -+0⎧⎪⎨⎪⎩≥，
≥，
≤≤表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是（
）
Ａ．5a < Ｂ．7a ≥ Ｃ．57a <≤ Ｄ．5a <或7a ≥
8、不等式组所表示的平面区域的面积等于
A. B. C. D.
9.在平面直角坐标系中，若不等式组1010
10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等
于2，则a 的值为 A. -5 B. 1 C. 2 D. 3
10、若实数x 、y 满足10,0,2,x y x x -+≤⎧⎪⎨⎪≤⎩则y x 的取值范围是
A.（0，2）
B.（0，2）
C.(2,+∞)
D.[2，+∞)
11、某公司有60万元资金，计划投资甲、乙两个项目，按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的32
倍，且对每个项目的投资不能低于5万元，对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润，对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润，该公司正确提财投资后，在两个项目上共可获得的最大利润为
A.36万元
B.31.2万元
C.30.4万元
D.24万元
12、2z x y =+中的x y ，满足约束条件250300x y x x y -+=⎧⎪-⎨⎪+⎩，≥，
≥，则z 的最小值是____________ ．
13、设变量x ，y 满足约束条件：31
23x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩.则目标函数z=2x+3y 的最小值为______
14、已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，
≤≤，则2z x y =-的取值范围是________．
15、若0x >，则2x x +的最小值为______________
16、（2007江苏）在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,)|1,A x y x y =+≤且0,0}x y ≥≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈的面积为
A ．2
B ．1
C ．12
D ．1
4
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）。