两个随机变量函数的分布

2
1 z2
fZ (z) 2 e 4
et2 dt
1 z2
e4
2
1
2
( z 0)2
e 2
2
2
2
结论:
设X ,Y独立，X
~
N (1,12 ),Y
~
N
(2
,
2 2
)
则：Z
X
Y
~
N (1
2
,
2 1
2 2
)
例2:设随机变量X与Y独立同分布，X的概率密
度为：
1, 0 x 1
f
(
x)
0,
其它
量,其概率密度为：
xe x , x 0
f ( x)
0,
x0
若各周的销售量是相互独立的，试求两周销售量 的概率密度.
解 ： 用X和Y分 别 表 示 第 一 周 与 第 二
周 的 销 售 量 ， 利 用 卷 积公 式 得 ：
fZ z
fX x fY
z
xdx
为 使 被 积 函 数 不 为 零 ，x与z应 满 足 ：
这里积分区域 D : x y z 是直线x+y=z左下方的半平面 (如图),化成累次积分,得
FZ z
z y
f
x, y dxdy
固定z和y, 对积分 z y f ( x, y)dx
作变量代换，令x u y得
z y
xu y
f x, y dx
z
f u y, ydu
z
x 0 x 0
z
x
0
z
x
zx
0
x
fZ (z)
z xe x (z x)e(z x)dx,
0
当z 0
fZ (z) ez
z
x(z x)dx
0
fZ (z) ez
z (zx x2 )dx
0
z3ez 6
,
z0
0, z 0
作业中的问题
习题二 P70
5. (1) 设随机变量X的分布律为
注意到：FX ( y ) 0
FY ( y) FX (
y)
0, y 1,
1,
y 1 1 y 2 y2
0, y 1
FY ( y)
y 1,
1 y4
1, y 4
fY
(
y)
FY (
y)
2
1
y
,
0,
1 y4 其他
2
1
y
,
1 y4
0, 其它
例3:设某种商品每周的销售量X是一个随机变
（1）X ~ U (a,b); （2）指数分布；
（3）X ~ N(, 2 ); X ~ N(0,1);
6、二维离散型与连续型随机变量的概率 分布问题
7、随机变量函数的分布 8、二维随机变量的独立性 9、二维随机变量的条件分布
考试题型:
1、设一维随机变量X的概率
密度为:
Ae2x , x 0 f (x)
(1)先求出Y的分布函数与X的分布 函数之间的关系：
FY ( y) P(Y y) P(g(X ) y) P(X g 1( y)) FX (g 1( y))
(2)再两边同时对y求导:
fY ( y) f X (g 1( y))(g 1( y))'y
0
10
z10 10 x 0 50
10 ( x 50
z) dx,
10
z
0
fZ (z)
10 10 x 10 ( x z)
dx,
z 50
50
0
z
10
0, 其 它
fZ
(
z)
(10
z)(200 10z z2 ) , 15000
2000 300z z3 , 0 15000 0, 其它
P((X,Y )G)
f ( x, y)dxdy
G
(2) fZ (z) FZ (z)
下面我们仅就几个具体的函数来讨论
1. Z X Y 2. Z X Y 3. M Max{ X ,Y };N Min{ X ,Y }
１．Z=X+Y的分布
FZ z P(Z z)
P(X Y z)
f x, ydxdy D:x yz
为在条件Y = y下X的条件概率密度。
同理称
称为在 X x条件下Y的条件概率密度。
二、随机变量函数的分布
1、离散型随机变量函数分布律的求法
已知X的分布律P(X xk ) pk ,Y是X的函 数Y g(X ),求Y的分布律P(Y yk ).
2、连续型随机变量函数概率密度的求法
已知X的概率密度fX (x),Y是X的函数 Y g(X ),求Y的概率密度fY ( y).
§5 两个随机变量函数的分布
Z g( X ,Y ), 求Z的分布
前提条件: (1) g(x, y) 为连续函数
(2) (X,Y) 的分布已知
内容
二. 二维随机变量函数的分布 1. (X,Y)离散 Z g( X ,Y )离散 : z1, z2, , zk , P(Z zk ) P( g( X ,Y ) zk ) P((X ,Y ) G)
1
x2
e 2,
x
2
1
y2
e 2,
y
2
求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
z
x dx
1
x2 zx2
e 2 e 2 dx
2
( x2 zx z2 ) ( x z )2 z2
2
24
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令x z t
例1：设系统L由两个相互独立的子系统L1，L2联接 而成，联接方式分别为: (1)串联;(2)并联;(3)备用(当
L1损坏时，L2开始工作)，如图所示。
（1）
（2）
（3）
L1，L2的寿命分别用X，Y表示，已知它们的概率密
度分别为:
e
x
,
x
0
2e2 y , y 0
f
X
(
x)
0,
x0
fY ( y) 0,
1 e3z，z 0
0, z 0
Z的概率密度为:
3e3z , z 0
fmin (z)
0,
z0
（2）并联的情况：Z=max(X,Y)
Z = max (X,Y)的分布函数为：
Fmax ( z) FX ( z)FY ( z)
(1 ez )(1 e2z ), z 0
0,
z0
Z的概率密度为:
P( X z)P(Y z)
FX (z)FY (z)
(2) N=min(X,Y)的分布函数为：
Fmin (z) P( N z) 1 P(N z) 1 P(X z,Y z) 1 P（X z） P（Y z）
1 1 P( X z)1 P(Y z) 1 1 FX (z)1 FY (z)
求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
z
x dx
x的积分范围 被积函数不为0的x范围
0
0
z
x
x
1
1
z
0
x 1
1 x
z
0
1
z
dx z,
0
0 z1
fZ (z)
1
dx
z 1
2 z, 1 0, 其 它
z
2
2. Z=X-Y
类似与Z=X+Y的情形,可知
10 z
z 10
0
3. M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布 设X,Y是两个相互独立的随机变量,它们
的分布函数分别为FX(x)和FY(y)。 由于
现在来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的 分布函数。
(1)M=max(X,Y)的分布函数为：
Fmax (z) P( M z) P(X z,Y z)
的联合分布律为：
P{ X xi ,Y y j } pij , i, j 1,2,
称P{ X
xi
Y
yj}
pij P• j
为在 Y=yi 的条件下X的条件分布律.
称P{Y
yj
X
xi }
pij Pi
为在 X=xi 的条件下随机变量Y的条件分布律.
2、称
f (x, y) f X /Y ( x / y) fY ( y)
P{X k} a , k 1,2, , N
试确定常数a；
N
(2) 设随机变量X的分布律为
P{X
k} b
2
k
,
k
1,2,
3
试确定常数b；
5. (3) 设随机变量X的分布律为
P{X k} c k , k 0,1,2, , 0
k!
试确定常数c。
为常数，
解：（1）因为
N
Na a
P{X k}
如, G ( xi1 , yi1 ), ( xi2 , yi2 ), ( xim , yim )
加法 使 g( X ,Y ) zk对应的(X,Y)的那些可能 值的概率之和
例1:设二维随机变量(X,Y)的分布律为:
X0
Y
10
12 3 3/8 3/8 0
3 1/8 0 0 1/8
求Z=X+Y的分布律. 解:Z的所有取值为: 1, 2, 3, 4, 5, 6.
N a1
k 1
源自文库k1 N N
所以 a=1.
（2）因为
P{X
k}
b
2
k
b
2 3
2b 1
k 1
k1 3
1
2 3
所以
b1 2
(3) 因为
P{X k} c k c k ce 1
k 0
k0 k! k0 k!
所以，c e .
7. (P71) 解: 设X表示在同一时刻供水设备被使用的台数,则 X~b( 5 , 0.1 ).于是,
特别地,当X和Y相互独立时,有
例3:设随机变量X与Y独立同分布,X的概率密度为：
f
(x)
10 50
x
,
0
x
10
0, 其 他
求Z=X-Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
x
z
dx
x的积分范围 被积函数不为0的x范围
0
0
x
x
z
10 10
z
0
x
x
z
10 10
（2） 概 率P( X 2Y 0)
例5： 设X的 分 布 函 数 为 ：
0,
FX
(
x)
x
1,
1,
x1 1 x2 x2
求Y X 2的 分 布 函 数 及
概率密度。
解 ：FY ( y) P(Y y) P( X 2 y) P( y X y)
FX ( y ) FX ( y ), y 0
于是FZ z
z
f u
y,
ydudy
z
f
u
y,
ydydu
由概率密度的定义可得Z的概率密度为：
固定
由x与y的对称性，fZ (z)又可写作：
特别地，当X和Y相互独立时，上述两式变为 （称为卷积公式）：
例1:设X和Y是两个相互独立的随机变量, 它们都服从N(0,1),即有
fX (x) fY ( y)
P(Z 1) P( X 0,Y 1) 0
P(Z 2) P( X 1,Y 1) 3 8
P(Z 3) P(X 2,Y 1) P(X 0,Y 3)
314 88 8
Z123456 pk 0 3/8 4/8 0 0 1/8
例: (P73) 泊松分布的可加性
若X,Y相互独立, X~P(
证明Z=X+Y~P( 1 2
)1,Y~P(
).
解：依题意
), 2
i=0,1,2,…
由卷积公式
j=0,1,2,…
k=0,1，… Z=X+Y~P( 1 2 ).
2. (X,Y)连续型 Z g( x, y)为连续函数,
Z g( X ,Y )为一维连续性随机变量，求f Z (z)
方法: 分布函数法 (1) FZ (z) P(Z z) P( g( X ,Y ) z)
0, x 0
试求：（1）系数A；
（2）概率P(0 X 1)
考试题型:
2、 二 维 随 机 变 量( X ,Y )在 区 域 R : 0 x 1,0 y x上 服 从 均 匀 分 布 ，
即
2, ( x, y) R f ( x, y) 0, ( x, y) R
求 ： （1） 边 缘 分 布 ；
y0
试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.
解:(1)串联的情况: Z = min (X,Y) X,Y的分布函数分别为：
1 e x , x 0
FX
(
x)
0,
x 0,
1 e2 y , y 0
FY
(
y)
0,
y0
Z = min (X,Y)的分布函数为：
Fmin (z) 1 [1 FX (z)][1 FY (z)]
(1)
P{X 2} C52 0.120.93 0.0729
(2) P{X 1} 1 P{X 1} 1 P{X 0} 0.40951 (3) P{X 3} 1 P{X 3}
1 P{X 4} P{X 5} 0.99954
复习: 一、二维随机变量的条件分布
1、当（X，Y）为离散型随机变量时，设（X，Y）
0 , z 0 0 , z 0
复习:
第二章
1、随机变量及分布函数
F(x) P(X x)
2、离散型随机变量的分布律
pk P( X xk )
3、几种重要的离散型分布
X ~ b(n, p); X ~ ()
4、连续型随机变量的概率密度
x
F (x) f (t)dt
5、几种重要的连续型分布
ez 2e2z 3e3z , z 0
fmax (z)
0, z 0
（3）备用的情况：Z=X+Y
Z的概率密度为:
f Z (z) f X ( x) fY (z x)dx
z ex 2e2(z x)dx, z
0
0
0 , z 0
2e 2 z
z exdx,
0
z 0 2 ez e2z , z 0