平面几何难题及解答
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平面几何难题及解答Prepared on 21 November 2021
平面几何
经典难题(一)
1、已知:如图,O 是半圆的圆心,C 、E 是圆上的两点,CD ⊥AB ,EF ⊥AB ,EG ⊥CO .
求证:CD =GF .
2、已知:如图,P 是正方形ABCD 内一点,∠
求证:△PBC 是正三角形.
3、如图,已知四边形ABCD 、A 1B 1C 1D 1AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点.
求证:四边形A 2B 2C
2D 2是正方形.(初二)
4、已知:如图,在四边形ABCD 中,AD =BC 点,AD 、BC 的延长线交MN 于E 、F 求证:∠DEN =∠F .
经典难1、已知:△ABC 中,H 于M .
(1)求证:AH =2OM ;
(2)若∠BAC =600,求证:AH =AO .(初二)
2、设MN 是圆O 外一直线,过O 作OA ⊥MN 于A ,自圆于B 、C 及D 、E ,直线EB 及CD 分别交MN 于P 、求证:AP =AQ .(初二)
B
3、如果上题把直线MN 由圆外平移至圆内,则由此可得以下命题:
设MN 是圆O 的弦,过MN 的中点A 分别交MN 于P 、Q . 求证:AP =AQ .(初二)
4、如图,分别以△ABC 的AC 和BC 和正方形CBFG ,点P 是EF 的中点.
求证:点P 到边AB 的距离等于AB 经典难1、如图,四边形ABCD 为正方形,
DE ∥AC ,求证:CE =CF 2、如图,四边形ABCD 长线于F .
求证:AE =AF 3、设P 是正方形ABCD 求证:PA =PF 4、如图,PC 切圆O 于C ,PO 相交于B 、D .求证:1、已知:△ABC 求:∠APB 2、设P 是平行四边形ABCD 求证:∠PAB =∠PCB
3、设ABCD 为圆内接凸四边形,求证:AB ·CD +AD ·BC =AC ·BD .(初三)
4、平行四边形ABCD 中,设E 、F 分别是BC 、AB 上的一点,AE 与CF 相交于P ,且
AE =CF .求证:∠DPA =∠DPC .(初二)
经典难题(五)
1、设P 是边长为1的正△ABC 内任一点,L =PA +PB +PC ,求证:
≤L <2.
2、已知:P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点,求PA +PB +PC 的最小值.
3、P 为正方形ABCD 内的一点,并且PA =a ,PB =2a ,PC =3a ,求正方形的边长.
4、如图,△ABC 中,∠ABC =∠ACB =800,D 、E 分别是AB 、AC 上的点,∠DCA =300,∠EBA =200
,求∠BED 的度数. 经典难题解答:
经典难题(一)
1.如下图做GH ⊥AB,连接EO 。由于GOFE 四点共圆,所以∠GFH =∠OEG,
即△GHF ∽△OGE,可得EO GF =GO GH =CO
CD ,又CO=EO ,所以CD=GF 得证。
2. 如下图做△DGC 使与△ADP 全等,可得△PDG 为等边△,从而可得 △DGC ≌△APD ≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG =150
P A
D
C B C
B D
A F
P
D
E C
B
A
A
P
C
B A
C B
P
D E
D
C B
A
A
C B
P
D
所以∠DCP=300 ,从而得出△PBC是正三角形
3.如下图连接BC
1和AB
1
分别找其中点F,E.连接C
2
F与A
2
E并延长相交于Q点,
连接EB2并延长交C2Q于H点,连接FB2并延长交A2Q于G点,
由A2E=1
2A
1
B
1
=1
2
B
1
C
1
= FB
2
,EB
2
=1
2
AB=1
2
BC=F C1 ,又∠GFQ+∠Q=900和
∠GE B2+∠Q=900,所以∠GE B2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2,
可得△B2FC2≌△A2EB2,所以A2B2=B2C2,
又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2 ,
从而可得∠A2B2 C2=900 ,
同理可得其他边垂直且相等,
从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。
4.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得∠QMF=∠F,∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM,从而得出∠DEN=∠F。
经典难题(二)
1.(1)延长AD到F连BF,做OG⊥AF,
又∠F=∠ACB=∠BHD,
可得BH=BF,从而可得HD=DF,
又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM
(2)连接OB,OC,既得∠BOC=1200,
从而可得∠BOM=600,
所以可得OB=2OM=AH=AO,
得证。
3.作OF⊥CD,OG⊥BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,OQ。