线线平行与线面平行的判定及其性质

a
a A 记为a∩=A
有且只有一个交点
a
记为a//
没有交点
记为a
有无数个交点
思考：如何判定一条直线和一个平面平行呢？ 可以利用定义，即用直线与平面交点的个 数进行判定 但是由于直线是两端无限延伸，而平面也 是向四周无限延展的，用定义这种方法来判定 直线与平面是否平行是很困难的 那么，是否有简单 的方法来判定直线与平 面平行呢？
空间四边形：顺次连接不共面的四点 A、B、C、D所构成的图形， 叫做空间四边形. A
E B F C G H D
练习：课本P40 空间四边形ABCD中，E,F,G,H 分别是边AB,BC,CD,DA的中点， 求证：四边形EFGH是平行四边形。
空间直线与平面的位置关系有哪几种?
直线a在平面内 直线a与平面相交 直线a与平面平行
线面平行（线面平行的判定定理）
2、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为 DD1的中点，证明BD1∥平面AEC．
证明：连结BD交AC于O,连结EO 在∧BDD1中， ∵E,O分别为DD1与BD的中点 ∥ 1 BD1 ∴EO ＝ 2 而EO 平面AEC, BD1 平面AEC ∴BD1 ∥平面AEC
A A1 E D
O
D1 B1
C1
C
B
D’ A’ B’
C’
D A
B
C
a b a∥ a ∥b
3、证明直线与直线平行 （1）平行传递性；（2）线面平行的性质定理 （3）应用性质定理应注意的三个条件： ①线面平行；②线在面内；③面面相交
a//α a β α∩β=b
4、 线线平行 线面平行
a//b
线线平行（线面平行的性质定理）
对判定定理的再认识：
证明直线与平面平行，三个条件必须具 备，才能得到线面平行的结论． 三个条件中注意：“面外、面内、平行” a 线线平行 线面平行

b
a//
运用定理的关键是找平行线；
找平行线又经常会用到三角形中位线定理.
例题讲解：
例.空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的 中点，证明:直线EF与平面BCD平行
直线a在平面外 即直线a与平面可能相交或平行
2 ．直线a与直线b共面吗？
a与b共面于 ？(因为a∥b)
a b
3．假如直线a与平面 相交， 交点会在哪？ 在直线b上 即在平面与平面 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的交线上
a//
抽象概括
直线与平面平行的判定定理：
若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，
则该直线与此平面平行.
线线平行与线面平行
学习目标
1.理解线线平行、线面平行的概念，掌握线线平 行、线面平行的判定定理，并用这些定理来证明 它们的平行关系． 2．掌握线线平行、线面平行的性质定理，并能 用它们推证其它的结论． 3．理解并掌握等角定理，并能求一些简单的空 间角度．
一、两直线平行 1、平行直线的定义及平行公理 在平面几何中，我们把在同一平面内不相交的两条直线叫 做平行线． 2、过直线外一点有且只有一条直线和这条直线平行． 3、性质：平行于同一条直线的两条直线互相平行 4、等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分 别平行，并且方向相同，那么这两个角相等．
a b a//
仔细分析下，判定 定理告诉我们，判定直 线与平面平行的条件有 几个，是什么？
定理中必须的条件有三个，分别为：
a在平面外，即a (面外) (面内) b在平面内，即b a与b平行，即a∥b(平行)
a b
a a// b a∥ a ∥ b 简述为：线线平行线面平行
用符号语言可概括为：
思考：如何证明线面平行的判定定理呢？
已知 l α，m
α，l // m，
求证：l //α.
从正面思考这个问题， P 有一定的难度，不妨从 反面想一想。 如果一条直线l和平面α相交，则l和α一 定有公共点，可设l∩α=P。


再设l与m确定的平面为β，则依据平面 基本性质3，点P一定在平面α与平面β的 交线m上。 于是l和m相交，这和l // m矛盾。 所以可以断定l与α不可能有公共点。 即l // α.
证明：如右图，连接BD， 在△ABD中，E,F分别为AB，
A
AD的中点，即EF为中位线 ∴EF ∥BD,
又EF 平面BCD， BD 平面BCD, ∴EF ∥平面BCD
B
E
F
C
D
大图
练习
2、已知空间四边形ABCD中, E、F、G、H 分别是AB, BC , CD, AD的中点, 求证：BD//平面EFGH,AC//平面EFGH.
平面BC1 平面CD1
A
D1 B1
C1
D B
C
小结：
1.直线与平面平行的判定：
(1)运用定义； (2)运用判定定理： 线线平行线面平行
2.应用判定定理时,应当注意三个 不可或缺的条件，即： a在平面外，即a (面外)
b在平面内，即b
a
b a//
(面内) a与b平行，即a∥b(平行)
β，α∩β=m，

l m
证明：因为l //α，所以
l与α没有公共点，
又因为m在α内，所以l与m也没有公共点. 因为l和m都在平面β内，且没有公共点， 所以l //m. 这条定理，由“线面平行”去判断“线线平 行”
1、已知AB // 平面，AC//BD, 且AC,BD与 分别相交于点C,D 求证：AC=BD
思考：已知线面平行能否推出线线平行呢？ 需要哪些条件呢？
4. 直线和平面平行的性质定理 （1）文字语言：如果一条直线和一个平 面平行，经过这条直线的平面和这个平 面相交，那么这条直线就和交线平行.
a
（2）图形语言：

a//α （3） 符号语言： a β α∩β=b
b
a//b
已知：l //α，l 求证：l //m.
当堂检测:
1、在长方体ABCD- A1 B1 C1 D1各面中，
(1)与直线AB平行的平面有：平面CD1, 平面A1C1
∵ 面CD1, CD 面CD1, AB∥CD, ∴AB∥平面CD1 AB ∵AB面A1C1, A1B1 1C1, AB∥A1B1， 面A ∴AB∥平面A1C1
(2)与直线AA1平行的平面有： 1 A
实例探究：
1．门扇的两边是平行的，当门扇绕着一边 转动时，另一边与门框所在平面具有什么样 的位置关系？ 2．课本的对边是平行的，将课本的一边紧 贴桌面，沿着这条边转动课本，课本的上边 缘与桌面所在平面具有什么样的位置关系？ 你能从上述的 两个实例中抽象概 括出几何图形吗？
１．直线a在平面 内还是在平面 外？