公平的席位分配

二、合理的假设与变量说明
三、模型的建立：
p P
= i (i = 1, 2,3...n ) ，其中 ∑ N i = N
∑
P = P
公平的席位分配
姓名：仇嘉程 班级：数学与应用数学（2）班 学号：0907022010
摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部 门都能解决实际的问题。

席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、 等的具体座位。

本文讨论了席位公平分配问题以使席位分配方案达到最公平状 态。

我主要根据各系人数因素对席位获得的影响，首先定义了公平的定义及相 对不公平度的定义，采用了最大剩余法模型和 Q 值法模型，通过检验 2 种模型 的相对不公平度来制定比较合理的分配方案。

关键词：不公平度指标、Q 值法、最大剩余法 一、问题的提出：
某学校有 3 个系共 200 名学生，其中甲系 100 名，乙系 60 名，丙系 40 名。

问题一：若学生代表会议设 20 个席位，如何公平席位分配？
问题二：丙系有 6 名学生转入甲乙两系，其中甲系转入 3 人，乙系转入 3 人， 又将如何公平的分配 20 个学生代表会议席位？
模型 1——比例分配法，若使得公平席位分配，最公平简单且常用的席位分配 办法是按学生人数比例分配：
某单位席位分配数 = 某单位总人数比例⨯总席位
即：
N N i i =1
n
n
i =1
i
但是在实际生活中，若按模型 1 来计算，由于席位数不同，很难使得到的结果 为整数，因此模型 1 难以成立，即绝对公平难以成立，我们需要寻求可能相对 公平的分配方案。

模型2——最大剩余法，如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。

这种分配方法公平吗？由书上给出的案例，我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的，是不公平的。

某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。

它的最初学生人数及学生代表席位为
系名甲乙丙总数学生数1006040200学生人数比例100/20060/20040/200
席位分配106420
后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为
系名甲乙丙总数学生数1036334200学生人数比例103/20063/20034/200
按比例分配席位10.3 6.3 3.420按惯例席位分配106420
由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。

为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。

重新按惯例分配席位,有
系名甲乙丙总数
学生数1036334200
学生人数比例103/20063/20034/200
按比例分配席位10.815 6.615 3.5721
按惯例席位分配117321
这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。

这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，我们需要建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。

模型3——Q值法
先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设
- 2
- 2
= 1 2 - 1 - 1
单位 人数 席位数 每席代表人数
p 1 单位 A
p 1 n 1
单位 B
p 2
n 2
n 1 p 2 n 2
p 1 p 2
要公平，应该有 n 1 = n 2 ， 但这一般不成立。

注意到等式不成立时有
p 1 p 2
若
n 1 > n 2 ，则说明单位 A 吃亏(即对单位 A 不公平 )
p 1 若 n 1 < p 2
n 2 ，则说明单位 B 吃亏 (即对单位 B 不公平 )
因此可以考虑用算式 p =
p 1 n 1 p n 2
来作为衡量分配不公平程度，不过此公式有
不足之处（绝对数的特点），如：
某两个单位的人数和席位为 n 1 =n 2 =10 ， p 1 =120， p 2=100， 算得 p =2
另两个单位的人数和席位为 n 1 =n 2 =10 ， p 1 =1020，p 2=1000, 算得 p =2
虽然在两种情况下都有 p=2，但显然第二种情况比第一种公平。

下面采用相对标准，对公式给予改进，定义席位分配的相对不公平标准公 式：
若
p 1 n 1
>
p 2 n 2
则称
p 1 n 1 p 2 p n 2
p n p 2n 1
为对 A 的相对不公平值， 记为
n 2
r A (n 1 , n 2 )
若
p 1 n 1 <
p 2 n 2
则称
p 2 n 2 p 1 p
n 1 = p 2n 1
p 1n 2 - 1
为对 B 的相对不公平值 ，记为
n 1
r B (n 1 , n 2 )
由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用
p 1 2p 2 k
使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。

确定分配方案：
p 1 p 2
使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设 n 1 > n 2 ，即对单位 A 不公
平，再分配一个席位时，关于 n 1 , n 2 的关系可能有
1.
2.
3. p 1 p 2
n 1 +1 > n 2 p 1 p 2
n 1 +1 < n 2 p 1 p 2 n 1 > n 2 +1
,说明此一席给 A 后,对 A 还不公平;
,说明此一席给 A 后,对 B 还不公平,
,说明此一席给 B 后,对 A 不公平,
p 1 p 2 4. n 1 < n 2 +1
,不可能
上面的分配方法在第 1 和第 3 种情况可以确定新席位的分配，但在第 2 种情 况时不好确定新席位的分配。

用不公平值的公式来决定席位的分配，对于新的 席位分配，若有
r B (n 1 + 1, n 2 ) < r A (n 1 , n 2 + 1)
则增加的一席应给 A
，反之应给 B 。

对不等式 r B (n 1 + 1, n 2 ) < r A (n 1 , n 2 + 1)
进 行简单处理，可以得出对应不等式
p 2 n 2 (n 2 + 1) <
p 1
n 1 (n 1 + 1)
引入公式
Q k =
p 2 (n k +1)n k
于是知道增加的席位分配可以由 Q k 的最大值决定，且它可以推广到多个组的一 般情况。

用 Q k 的最大值决定席位分配的方法称为 Q 值法。

对多个组（m 个组）的席位分配 Q 值法可以描述为：
1．先计算每个组的 Q 值：
Q k,k=1,2,…,m
2．求出其中最大的Q值Q i（若有多个最大值任选其中一个即可）
3．将席位分配给最大Q值Q i对应的第i组。

四、模型的求解
用Q值法分配，很容易编写出MATLAB程序，以n1=n2=n3=1逐次增加一席的方法，求每一次的Q值，可得到最后的席位分配方案（MATLAB程序见附录）
第20席的分配，计算Q值
Q1=1032/(10⨯11)=96.45;Q2=632/(6⨯7)=94.5;Q3=342/(3⨯4)=96.33
因为Q1最大，因此第20席应该给甲系;对第21席的分配，计算Q值
Q1=1032/(11⨯12)=80.37;Q2=632/(6⨯7)=94.5;Q3=342/(3⨯4)=96.33
因为Q3最大，因此第21席应该给丙系
最后的席位分配为：甲11席乙6席丙4席
五、模型的优缺点分析
5.1、优点：
模型比较简单却较合理的解决了实际问题，用比例模型和Q值法模型就解决了席位的公平分配问题。

由相对不公平值的计算可知两种模型的公平程度都还比较符合要求。

模型1的计算过程简单却是公平度比较高的一种模型，操作起来比较方便。

模型2可以避免所得席位名额含有小数点的情况。

5.2、缺点：
模型1的建立比较简单，计算的结果含有小数点，通过四舍五入所得的结果会使公平性变差。

模型2的建立相对比较复杂，计算过程比较繁琐，最后得到的结果的公平性相对较差。

六、模型的改进
由于以上模型都是站在绝对公平的角度上来解决席位的公平分配问题。

实际上，每个系自身对席位的意愿不同，可以考虑征求各系自身的意见来分配席位以做
到席位的公平分配。

同时在建立模型时，使得得到的结果既不含有小数点，计算过程又不是太复杂，公平性又是相对比较强的。