数列中项数问题

（2） bn
(m 3，m N) 成等差数列？若存在，求出 t 和 m 的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1) an 2n 1, Sn n2 (2) 当 t 2 时， m 7 ；当 t 3 时， m 5 ；当 t 5 时， m 4 ．
【解析】（1） an 2n 1, Sn n2
前 63 组之和为 2016，用 2013 个数剔除 an 中的项即可
6.设等差数列 {an} 的前 n 项和为 Sn，且 a5 a13 34，S3 9 ．
（1）求数列{an} 的通项公式及前 n 项和公式；
（2）设数列 {bn }
的通项公式为 bn

an an
t
，问：是否存在正整数 t，使得 b1，b2，bm
5
Ćo
Ć
Ć logĆo =o o Ć
Ć logĆo Ć t ，
依题意 ⺁ Ć ，
o o Ć Ć logĆo Ć t ⺁ Ć Ćo
，
即oĆ t 5Ćo t Ć Ć logĆo Ć ⺁ ，
o t Ć6 Ć 4 Ć logĆo ⺁ 4.
当 logĆo 时，即 o 时， o t Ć6 Ć 4 Ć logĆo 6Ć9


2 3
r


2 3
t
即： 2s1t3ts 3tr 2tr 由于 r s t ，所以上式左边为偶数，右边为奇数，故上式不可能成立，导致矛盾．
因此数列bn 中任意三项不可能成等差数列．
5.已知等比数列{an} 的首项是1，公比为 2，等差数列{bn}的首项是1，公差为1，把{bn}中的各项按照如下
2(1 an ) 1 an1
，
an an 1

0(n

1)
，数列 {bn } 满足：
bn

a2 n1
an2 (n
1)
．
（1）求数列{an} ，{bn}的通项公式；
（2）证明：数列 {bn } 中的任意三项不可能成等差数列．
【答案】(1)
an (1)n1
1
3 4
( 2)n1 3
的公比为
q
，且
0

q

1 2
.在数列 {an }
中是否存在三项，使其成等差数
列？说明理由；
【答案】见解析
【解析】由 an

0, 0

q

1 2
知，数列{an} 是递减数列，
假设存在 ak , am , an 成等差数列，不妨设 k m n ，则 2am ak an ，即 2a1qm1 a1qk1 a1qn1 即
规则依次插入到{an} 的每相邻两项之间，构成新数列{cn} ：a1,b1, a2 ,b2 ,b3, a3,b4 , b5 , b6 , a4 ，……，即在 an
和 an1 两项之间依次插入{bn}中 n 个项，则 c2013 ____________. 【答案】1951 【解析】对数列{cn} 分组(a1), (b1,a2),(b2,b3,a3),(b4, b5 , b6 , a4 )，……，前 n 组的个数之和靠近 2013 即可，可能
(q2 pr) (2q p r) 2 0 p，q，r N ，

q2 2q

pr 0， p r 0，

pr 2
2

pr，( p
r)2

0，
p

r
．
与 p r 矛盾．
所以数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成等比数列．
（3）设
，试问是否存在正整数 p，q(其中 1<p<q)，使 b1，bp，bq 成等比数列？若存在，求出所
有满足条件的数组(p，q)；若不存在，说明理由．
【答案】（1）0（2）an=n－1（3）
，
【解析】（1）令 n=1，则 a1=S1=
=0．
（2）由
，即
，
①
得
．
②
②－①，得
．
③
于是，
．
④
③+④，得
2qmk 1 qnk
而 2qmk 2q 1 ，1 qnk 1 ，故矛盾．
因此在数列{an} 中不存在三项成等差数列．
3.设 cn 2n ，试问数列 cn中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，求出这三项；若不存在，
说明理由． 【答案】见解析
【解析】解：假设数列 cn中存在三项，它们可以够成等差数列；不妨设为第 p, r, q ( p r q) 项，
数列中项数问题
数列中项数问题，不仅是存在性问题，而且是整数解问题. 会利用整除性质、奇偶分析法、“范围”控制解决， 常用到分类讨论思想．
类型一 整数解问题
ຫໍສະໝຸດ Baidu
典例 1. 已知集合 䘐൰䘐 Ćo o
， 䘐൰䘐 Ćot o
,
．对于数列 o ， ，
且对于任意 o Ć，o ，有 o min 䘐 ൰䘐 ⺁ ot ．记 o为数列 o 的前 o 项和.
模拟：
1.公差 d≠0 的等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 a1＝2＋ 2，S3＝12＋3 2． （1）求数列{an}的通项公式 an 及其前 n 项和 Sn； （2）记 cn＝Snn，试问：在数列{cn}中是否存在三项 cr，cs，ct(r＜s＜t，r,s,t∈N*)恰好成等比数列？若存在， 求出此三项；若不存在，请说明理由.
4，不合题意；
当 logĆo 时，即 o Ć 时， o t Ć6 Ć 4 Ć logĆo Ć4Ć
4，不合题意；
当 logĆo Ć 时，即 4 o 时， o t Ć6 Ć 4 Ć logĆo ĆĆĆ 6
4，不合题意；
当 logĆo 时，即 o 5 时， o t Ć6 Ć 4 Ć logĆo
o . ot o Ć
（III）若 o ，
，有 Ćo ，
令Ć t Ćo，
，解得 t logĆ Ćo ，即
logĆo Ć，
得 max logĆo Ć logĆo Ć，其中 logĆo Ć 表示不超过logĆo Ć 的最大整数，
所以
o max o logĆo Ć o logĆo
.
59
Ćo
䘐൰䘐 Ćot o
Ć 4 6 Ć Ćot
，
Ć 45 9
56 .
因为 ，且对于任意 o Ć o ， o min 䘐 ൰䘐 ⺁ ot ，
所以 Ć Ć 4 4 5 5 6
9.
（II）对于任意 o Ć，o ，有 o min 䘐 ൰䘐 ⺁ ot ，
<0，故数列{
1 3

q 3q
}(
，即
时，
)为递减数列，
又当 时，
，故无正整数 q 使得
成立．
解法 2：同上有，
，且数列{ }(
)为递减数列，
当 时，
成立；当 时，
，
因此，由
得， ，此时
类型三 否定性问题
典例 3 等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn，a1 1 2，S3 9 3 2 ．
【答案】（1） an 2n 2 ， Sn n2 ( 2 1)n （2）见解析 【解析】（1） a1 2 2 ， S3 3a1 3d 12 3 2 ， d 2 所以 an 2n 2 ， Sn n2 ( 2 1)n （2）易知 cn n 2 1 ，假设存在三项 cr , cs , ct 成等比数列，则 cs2 cr ct ， 即[s ( 2 1)]2 [r ( 2 1)][t ( 2 1)] ,
整理得(2s r t) 2 rt r t s2 2s
2s r t 0 且 rt r t s2 2s 0 ，
2s
s2 rt rt
,解得
0
r

t
,这与
r

t
矛盾.
综上所述，不存在满足题意的三项 cr , cs , ct
2.已知各项均为正数的等比数列 {an }
又当 o 5 时， 5 t Ć6 Ć 4 Ć logĆ5 5 ⺁ 4；
所以 o logĆo
5 logĆ5
5 5
综上所述，符合题意的 的最小值为 5
5 .
类型二 存在性问题
典例 2 已知数列{an}中，a2=1，前 n 项和为 Sn，且
．
（1）求 a1；
（2）证明数列{an}为等差数列，并写出其通项公式；
（1）求数列{an} 的通项 an 与前 n 项和 Sn ；
（2）设 bn

Sn n
(n N)
，求证：数列 {bn } 中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
【答案】（1） an 2n 1 2，Sn n(n 2) ．（2）见解析
【解析】（1）由已知得 a1 2 1，
，即
．
又 a1=0，a2=1，a2－a1=1， 所以，数列{an}是以 0 为首项，1 为公差的等差数列． 所以，an=n－1． （3）解法 1：假设存在正整数数组(p，q)，使 b1，bp，bq 成等比数列，则 lgb1，lgbp，lgbq 成等差数列，于
是，
．
时， 时，
，
<0，故数列{ }(
)为递减数列，
，故 1
an2

3 4
( 2 )n1 3

an2
1
3 4

2 3
n1 ，又
a1

1 2

0，
an an1

0
故 an (1)n1
1
3 4
( 2)n1 3
， bn

1 4
( 2 )n1 ． 3
（2）假设数列 bn 存在三项 br ,bs ,bt
(r

s
即 t Ć Ć ，
4t Ć ，
5 t 4 ĆĆ ，
…………
o t ot Ćot
，
所以当 o 时，
有 o t Ć Ć Ć ĆĆ
Ćot
otĆ
tĆotĆ tĆ
o t Ć ĆotĆ o t o
，
所以 o ĆotĆ o t o
.
又 ， Ć Ć， 数列 o 的通项公式为： o ĆotĆ
所以对于任意 o Ć，o
，有 o ⺁ ot ，
即数列 o 为单调递增数列.
因为对于任意 o
，存在 o
，使 o Ćot ，
所以
Ć
┅ o ┅．
因为 o Ćot ， o Ćo，所以对于任意 o
ĆotĆot Ć
ĆotĆ ，
，有 ，Ć Ć， 4，所以，当 o Ć 时，有 o t o
， bn

1 4
( 2 )n1 ．(2)见解析 3
【解析】（1）由题意可知， 1
a2 n1

2 3
(1
an2 )
令
cn 1 an2 ，则
cn1

2 3
cn
又
c1
1
a12

3 4
，则数列
cn
是首项为
c1

3 4
，公比为
2 3
的等比数列，即
cn

3 4

2 3
n1
Ć4
4，不合题意；
当 logĆo 4 时，即 6 o
时， o t Ć6 Ć 4 Ć logĆo
Ć4 6
4，不合题意；
当 logĆo 5 时，即 Ć o 6 时，
由 o t Ć6 Ć 4 Ć logĆo
Ć 4 Ć 49 49 ⺁ 4
此时， o t Ć6 Ć ⺁ 5 6.
而 o 5 时， o t Ć6 Ć 5 6.所以 o ⺁ 5 .
，d 2 ，
3a1 3d 9 3 2
故 an 2n 1 2，Sn n(n 2) ．
（2）由（1）得 bn

Sn n

n
2．
假设数列{bn}中存在三项 bp，bq，br （ p，q，r 互不相等）成等比数列，则 bq2 bpbr ．
即 (q 2)2 ( p 2)(r 2) ．
t) 按某种顺序成等差数列，由于数列bn 是首项为
1 4
，公比
为
2 3
的等比数列，于是有 br
bs

bt
，则只有可能有 2bs

br
bt
成立
2
1 4

2 3
s 1

1 4

2 3
r 1

1 4

2 3
t 1
，即
2

2 3
s
由⑴得 bn n ，∴ cn 2n ，∴ 2 2r 2 p 2q ， ∴ 2r 1 p 1 2q p
又 2r 1 p 为偶数，1 2q p 为奇数．故不存在这样的三项，满足条件．
4.已知数列{an} 满足：
a1

1 2
,
3(1 1
an 1 ) an

(Ⅰ)写出 ， 的值；
(Ⅱ)数列 o 中，对于任意 o
，存在 o
，使 o Ćot ，求数列 o 的通项公式；
(Ⅲ)数列 o 中，对于任意 o ，存在
，有 Ćo .求使得 ⺁ Ć 成立的 的最小值．
【答案】(1) =8, =9 (2) o ĆotĆ o t o
(3)57
【解析】
（I） 䘐൰䘐 Ćo o