第十九章含参量积分

第十九章 含参量积分
§1 含参量正常积分 1 ． 设 f (x, y) = sgn(x − y) ,( 这 个 函 数 在 x = y 时 不 连 续 ), 试 证 由 含 参 量 积 分
∫ F ( y) = 1 f (x, y)dx 所确定的函数在 (−∞,+∞) 上连续, 并作函数 F ( y) 的图象. 0 证: 由于 x ∈[0,1] , 因此
∫ ∫ I / (b) =
π 2 0
2 b cos2 x
a2
sin
2
x
+
b2
cos2
dx x
=
2 b
π 2
1
dx = π ,
0 1+ ( a tan x)2
a+b
b
∫ 由于 I (0) =
π
2 ln(a2 sin2
x)dx
=π
ln
a
，因此
0
2
∫ I (b) = b π dt + π ln a = π ln a + b
1
x2 + α 2 dx =
1
lim
x2 + α 2 dx =
1
x dx = 1.
α →0 −1
−1 α →0
−1
(2) 由于 f (x,α ) = x2 cosαx 在[0,2]× [−1,1] 上连续, 据定理 19.1 有
∫ ∫ ∫ lim 2 x2 cosα xdx = 2 lim x2 cosα xdx = 2 x2dx = 8 .
∫ ∫ ∫ ∫ I =
1
g(x)dx =
1
[
b sin(ln 1 )x ydy]dx
(
b x ydy = xb − xa )
0
0a
x
a
ln x
令
f
(x,
y)
=
⎪⎧sin(ln ⎨
1)x y x
0<
x ≤1
,
则
f (x, y) 在[0,1]×[a,b] 连续,据定理 19.5 有
⎪⎩0
x=0
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 1
x
x
4．应用对参量的微分法,求下列积分:
π
∫ (1) 2 ln(a2 sin2 x + b2 cos2 x)dx ; 0
∫ (2) π ln(1− 2a cos x + a2)dx . 0
解 (1) 若 a = 0 ，则 b > 0 , 所以
π
π
π
∫ ∫ ∫ 2 ln(a2 sin2 x + b2 cos2 x)dx = 2 ln(b2 cos2 x)dx = π ln b + 2 2 ln(cos x)dx
sin(ln
1
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)
xb
−
xa
dx(b
>
a
>
0)
0
x ln x
∫ (2)
1
cos(ln
1
)
xb
−
xa
dx(b
>
a
>
0)
0
x ln x
解
(1)
令
g(x) =
1 xb sin(ln )
− xa
.
因 为 lim g(x) = 0 , lim g(x) = 0 , 补 充 定 义
x ln x
x→0+
x→1−
g(0) = 0 , g(1) = 0 后, g(x) 在[0,1]上连续, 因此有
α →0 0
0 α →0
0
3
∫ 3．设 F (x) = x2 e−xy2dy ，求 F ′(x) . x
解: 应用定理 19.4,
∫ ∫ F ′(x) = x2 (− y2e−xy2 )dy + e−x(x2 )2 ⋅ 2x − e−x⋅x2 = 2xe−x5 − e−x3 − x2 y2e−xy2 dy .
0
0
0
1
b = π ln
2 同理, 当 b = 0 时, 则 a > 0 , 从而
∫π 2
ln(a2 sin2
x + b2 cos2
x)dx
=π
ln
a
0
2
π
∫ 下设 a > 0 , b > 0 , 令 I (b) = 2 ln( a 2 sin2 x + b 2 cos2 x)dx ，由定理 19.3 知: 0
为连续函数, 且具有连续导数, 于是
∫ ∫ I / (a) =
π
2a − 2cos x
dx = 1
π
[1 +
a2 −1
]dx
0 1− 2a cos x + a2
a 0 1− 2a cos x + a2
∫ = π + a2 −1 ⋅ 1
a a2 1+ a2
π 0
1
1
+
−2a 1+ a2
dx
=
0
从而, I (a) 恒等于常数, 根据 I (0) = 0 知: I (a) = 0( a < 1)
2
π
∫ (Ⅲ) 当 a = 1时,有 I (1) = ln(2 − 2cos x)dx = 0 ，同理， I (−1) = 0 0
⎧ 0, a ≤ 1 综上所述,得知 I (a) = ⎩⎨2π ln a , a > 1
注：(1)可以由(2)推出. 5．应用积分号下的积分法,求下列积分:
∫ (1)
1
(Ⅱ)当 a > 1时,令 b = 1 ,则 b < 1, 于是有 I (b) = 0 , a
∫ ∫ ∫ I (a) = I (1) =
b
π 0
ln(1
−
2 b
cos
x
+
1 b2
)dx
=
π ln(b2 − 2b cos x +1)dx −
0
π ln b2dx
0
= I (b) − 2π ln b = 2π ln a
1
∫ Ⅰ) 当 y > 1时, F ( y) = (−1)dx = −1 0
当 y < 0 时, F ( y) = 1 .
∫ ∫ ∫ 1
y
1
Ⅱ) 当 0 ≤ y ≤ 1时, F ( y) = f (x, y)dx = f (x, y)dy + f (x, y)dy = 1− 2 y .
0
0
y
⎧1, − ∞ < y < 0 于是 F ( y) = ⎪⎨1 − 2 y , 0 ≤ y ≤ 1 ,显然 F ( y) 在 (−∞,+∞) 上连续.
0 a +t
2
2
∫ 从而当 a 2 + b2 ≠ 0 时，
π
2 ln(a2 sin2
x
+ b2
cos2
x)dx
=
π
ln
a
+
b
.
0
2
∫ (2) 令 I (a) = π ln(1− 2a cos x + a2)dx 0
(Ι) 当 a < 1 时, 1 − 2a cos x + a 2 ≥ 1 − 2 a + a 2 > 0 ,因而, ln(1 − 2a cos x + a 2 )
[
b sin(ln 1 )x ydy]dx =
b
dy
1
sin(ln
1 )x ydx
=
b
dy
+∞ e−( y+1)t sin tdt (令 x = e−t )
⎪⎩−1, 1 < y < +∞
2．求下列极限
∫ ∫ (1) lim 1 x2 + α 2 dx ; (2) lim 2 x2 cosα xdx .
α →0 −1
α →0 0
解: (1)由于 f (x,α ) = x 2 + α 2 在[−1,1]×[−1,1]上连续, 据定理 19.1 有
∫ ∫ ∫ lim