平面曲线的方程
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例4 已知大圆半径为a ，小圆半径为b，设大圆不动， 而小圆在大圆内无滑动地滚动，求动圆周上某一定 点P 的轨迹方程
http://www.xxu.edu.cn
解析几何
解：设运动开始时动点P与大圆周上的点A重合，并取大圆中心O为原点，OA为x轴
过O点垂直于OA的直线为y轴，经过一段时间后，小圆与大圆的接触点为B，并设小
概括言之，曲线上的点和方程之间存在这一一对应的关系
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解析几何
例1 求圆心在原点，半径为R 的圆的方程
解：由圆的定义，任意一点M（x，y）在圆上的充要条件是M到 圆心O的距离等于半径R，即OMR，由两点间的距离公式可得
x2y2 R，
(1)
两边平方可得x2y2 R2.(2.1.1) 方程（1）与（2.1.1）完全同解，所以（2.1.1)即为所求圆的方程.
第二种参数方程以斜率 t
为参数：x b2 a2t2
y
2ab2t b2 a2t2
,t
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解析几何
2
2
又 因 为 O A A P a ， 所 以 O A a i，A C a j，
故 r a sin i a 1 cos j
即 为 所 求 P点 轨 迹 的 向 量 式 参 数 方 程 ， 其 中 （ )为 参 数 .
解析几何
设P点的坐标为（x，y），可得内旋轮线 的坐标式参数方程为
x y
（a （a
b）cos bcos a b b ，（
b)sin bsin a b
b
)
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圆的内摆线
解析几何
特殊地，当a4b时，应用公式cos34cos33cos， sin33sin4sin3， 内旋轮线的方程化为xyaascions33.，
（x 2）2 （y 2）2 （x 2）2 （y 2）2 4，（2） 移项得（x 2）2 （y 2）2 （x 2）2 （y 2）2 4， 两边平方整理得（x 2）2 （y 2）2 x y 2，（3） 再两边平方整理得xy=2，（4）
§2.1 平面曲线的方程
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解析几何
一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x , y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x , y 满足这个方程，
那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个方程 的图形。
解析几何
二、曲线的参数方程
定义2
若取 tat b 的一切可能取值
①由 r t x te 1 y te 2 a t b 表示的向径 r t 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值 t0at0 b 通过 r t x te 1 y te 2 a t b 完全决定, 那么就把 r t x te 1 y te 2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
b
b
ib cos a b jb sin a b ，
b
b
r
（ a
b）cos
b
cos
a
b
b
i
（ a
b) sin
b sin
a
b
b
j.
此式即为内旋轮线的向量式参数方程，
（ )为参数.
圆的内摆线
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类 似 可 得 圆 心 在 （ a ， b )半 径 为 R 的 圆 的 方 程 为 （ x -a )2 (y b )2 R 2 .
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例2 已知两点A2,2和 B 2, 2 ，求满足条件 MAMB4
的动点M 的轨迹方程
解：动点M（x，y）在轨迹上的充要条件是 MA MB 4，即
x Rcos sin
y
Rsin
cos
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（4）椭圆的参数方程
设椭圆的方程为
x2 y2 1 a2 b2
第一种参数方程以角度 为参数： xyabcsions,
a b2 a2t2
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为：
x y
xt ,a
yt
t
b
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例3 一个园在一直线上无滑动地滚动，求圆上一定点的轨迹
该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
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解 ： 取 直 角 坐 标 系 ， 设 半 径 为 a的 圆 在 x轴 上 滚 动 ， 开 始 时 点 P恰 好 在 原 点 O， 经 过 一 段 时 间 的 滚 动 ， 圆 与 x轴 的 切 点 移 到 A点 ， 圆 心 移 到 C点 ， 这 时 有
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方程（2）与（3）同解，而（4）与 （3）却不同解，但附加条件x y2 0 即x y 2后（4）与（3），（2）都是同
解的，所以方程xy=2（x y 2） 为所求动点M的轨迹方程.
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这样的内旋轮线称为四尖点星形线.
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四尖点星型线
解析几何
（2）一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个定点P的
运动轨迹称为外摆线（epicycloid）
参数方程为： xyR RrrcsoinsrrscionsRRrrrr,
特别地，当R=r时，得到心脏线
参数方程为：
x2Rcos(1cos) y2Rsin(1cos)
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（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上 解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆 的渐伸线或切展线（involute）
圆中心为C，则C一定在半径OB上，显然有r OP OC CP，
设 = （i，OC）， （CP，CB），则OC （i a-b）cos +（j a b）sin ，
且有a AB PB b，所以 = a ， （i，CP）= - = b a ，
பைடு நூலகம்
b
b
又 CP b，所以CP ib cos b a jb sin b a
r OP OA AC CP,
设 （ C P，C A） ， 于 是 （ i，C P） （ ） ， 2
则 C P ia c o（s ） ja sin（ ） = （ - a sin ）i （ - a c o s ）j.
)
取0 时，消去参数，可得P点轨迹
在0 时的普通方程为
x=aarccos a y 2ay y2 . a
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三、常见曲线的参数方程
(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
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解析几何
取 直 角 坐 标 系 ， 设 半 径 为 a的 圆 在 x轴 上 滚 动 ，
开 始 时 点 P恰 好 在 原 点 O ， 设 P点 的 坐 标 为 （ x， y） ，
可得P点的坐标式参数方程为
x y
a a
sin ，（ 1 cos
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解：设运动开始时动点P与大圆周上的点A重合，并取大圆中心O为原点，OA为x轴
过O点垂直于OA的直线为y轴，经过一段时间后，小圆与大圆的接触点为B，并设小
概括言之，曲线上的点和方程之间存在这一一对应的关系
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例1 求圆心在原点，半径为R 的圆的方程
解：由圆的定义，任意一点M（x，y）在圆上的充要条件是M到 圆心O的距离等于半径R，即OMR，由两点间的距离公式可得
x2y2 R，
(1)
两边平方可得x2y2 R2.(2.1.1) 方程（1）与（2.1.1）完全同解，所以（2.1.1)即为所求圆的方程.
第二种参数方程以斜率 t
为参数：x b2 a2t2
y
2ab2t b2 a2t2
,t
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2
2
又 因 为 O A A P a ， 所 以 O A a i，A C a j，
故 r a sin i a 1 cos j
即 为 所 求 P点 轨 迹 的 向 量 式 参 数 方 程 ， 其 中 （ )为 参 数 .
解析几何
设P点的坐标为（x，y），可得内旋轮线 的坐标式参数方程为
x y
（a （a
b）cos bcos a b b ，（
b)sin bsin a b
b
)
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圆的内摆线
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特殊地，当a4b时，应用公式cos34cos33cos， sin33sin4sin3， 内旋轮线的方程化为xyaascions33.，
（x 2）2 （y 2）2 （x 2）2 （y 2）2 4，（2） 移项得（x 2）2 （y 2）2 （x 2）2 （y 2）2 4， 两边平方整理得（x 2）2 （y 2）2 x y 2，（3） 再两边平方整理得xy=2，（4）
§2.1 平面曲线的方程
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一、曲线的方程
定义1 当平面上取定了坐标系之后，如果一个方程与一条曲线之
间有着关系：
①满足方程的 x , y 必是曲线上某一点的坐标；
②曲线上任何一点的坐标 x , y 满足这个方程，
那么这个方程就叫做这条曲线的方程，这条曲线叫做这个方程 的图形。
解析几何
二、曲线的参数方程
定义2
若取 tat b 的一切可能取值
①由 r t x te 1 y te 2 a t b 表示的向径 r t 的终点总在一条曲线上
②在这条曲线上的任意点，总对应着以它为终点的向径，而这向径可由 t
的某一值 t0at0 b 通过 r t x te 1 y te 2 a t b 完全决定, 那么就把 r t x te 1 y te 2 a t b 叫做曲线的向量式参数方程，
b
b
ib cos a b jb sin a b ，
b
b
r
（ a
b）cos
b
cos
a
b
b
i
（ a
b) sin
b sin
a
b
b
j.
此式即为内旋轮线的向量式参数方程，
（ )为参数.
圆的内摆线
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类 似 可 得 圆 心 在 （ a ， b )半 径 为 R 的 圆 的 方 程 为 （ x -a )2 (y b )2 R 2 .
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例2 已知两点A2,2和 B 2, 2 ，求满足条件 MAMB4
的动点M 的轨迹方程
解：动点M（x，y）在轨迹上的充要条件是 MA MB 4，即
x Rcos sin
y
Rsin
cos
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（4）椭圆的参数方程
设椭圆的方程为
x2 y2 1 a2 b2
第一种参数方程以角度 为参数： xyabcsions,
a b2 a2t2
其中 t 为参数。
其坐标式参数方程为：
x y
xt ,a
yt
t
b
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例3 一个园在一直线上无滑动地滚动，求圆上一定点的轨迹
该定点的轨迹为旋轮线或摆线（cycloid）
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解 ： 取 直 角 坐 标 系 ， 设 半 径 为 a的 圆 在 x轴 上 滚 动 ， 开 始 时 点 P恰 好 在 原 点 O， 经 过 一 段 时 间 的 滚 动 ， 圆 与 x轴 的 切 点 移 到 A点 ， 圆 心 移 到 C点 ， 这 时 有
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方程（2）与（3）同解，而（4）与 （3）却不同解，但附加条件x y2 0 即x y 2后（4）与（3），（2）都是同
解的，所以方程xy=2（x y 2） 为所求动点M的轨迹方程.
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（2）一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动，小圆周上一个定点P的
运动轨迹称为外摆线（epicycloid）
参数方程为： xyR RrrcsoinsrrscionsRRrrrr,
特别地，当R=r时，得到心脏线
参数方程为：
x2Rcos(1cos) y2Rsin(1cos)
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（3）把线绕在一个固定的圆周上，将线头拉紧后向反方向旋转，以把线从圆周上 解放出来，使放出来的部分成为圆的切线，则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆 的渐伸线或切展线（involute）
圆中心为C，则C一定在半径OB上，显然有r OP OC CP，
设 = （i，OC）， （CP，CB），则OC （i a-b）cos +（j a b）sin ，
且有a AB PB b，所以 = a ， （i，CP）= - = b a ，
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b
b
又 CP b，所以CP ib cos b a jb sin b a
r OP OA AC CP,
设 （ C P，C A） ， 于 是 （ i，C P） （ ） ， 2
则 C P ia c o（s ） ja sin（ ） = （ - a sin ）i （ - a c o s ）j.
)
取0 时，消去参数，可得P点轨迹
在0 时的普通方程为
x=aarccos a y 2ay y2 . a
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(1) 一个半径为r 的小圆在半径为R 的大圆内无滑动地滚动，小圆周上一 定点P 的运动轨迹称为内摆线(hypocycloid）
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解析几何
取 直 角 坐 标 系 ， 设 半 径 为 a的 圆 在 x轴 上 滚 动 ，
开 始 时 点 P恰 好 在 原 点 O ， 设 P点 的 坐 标 为 （ x， y） ，
可得P点的坐标式参数方程为
x y
a a
sin ，（ 1 cos