中山大学2008数学分析解答

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2008高考广东数学理科试卷含详细解答(全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(理科)全解析广东佛山南海区南海中学钱耀周一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，则z 的取值范围是（ C ） A ．(15)， B ．(13)，C．D．【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z2．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若112a =，420S =，则6S =（ D ） A ．16B ．24C ．36D ．48【解析】20624=+=d S ，3=∴d ，故481536=+=d S3．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ C ）A ．24B ．18C ．16D ．12 表1【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为2:3:3，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为168264=⨯4．若变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥则32z x y =+的最大值是（ C ）A ．90B ．80C ．70D ．40 【解析】画出可行域,利用角点法易得答案C.5．将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（ A ）【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.6．已知命题:p 所有有理数都是实数，命题:q 正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（ D ）A ．()p q ⌝∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()()p q ⌝∨⌝【解析】不难判断命题p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有()()p q ⌝∨⌝ 为真命题E F DIA H GBC EF D AB C侧视图1图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．图37．设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ） A ．3a >-B ．3a <-C ．13a >-D ．13a <-【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有正根。

2008年考研数学一真题及解析

∑
∑1
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= �∫∫∫ ydV + ∫∫ x2dxdy ．
Ω
x2 + y2 ≤ 4
∫∫ ∫ ∫ 1
= 0+
( x2 + y2 )dxdy = 1
2π
dθ
2 r2 • rdr = π i 16 = 4π ．
2 x2 + y2 ≤ 4
20
0
4
(13) 设 A 为 2 阶矩阵， α1 ,α2 为线性无关的 2 维列向量， Aα1 = 0 ， Aα2 = 2α1 + α2 ．则 A
的非零特征值为___________. 【答案】应填 1．
【详解】根据题设条件，得
A(α1 ,α2
)
=
(
Aα1 ,
Aα2
)
=
(0, 2α1
定理，知 f ′(x) 至少有一个零点．
又
f ′′(x)
=
2 ln(2 + x 2) +
4x2 2 + x2
>
0 ，恒大于零，所以
f
′(x)在 (−∞, +∞) 上是单调递增
的．又因为 f ′(0) = 0 ，根据其单调性可知， f ′(x)至多有一个零点．
故 f ′(x) 有且只有一个零点．故应选(B).
相同的特征值．
λ −2
因为| λE − B |=
= λ( λ −1) ， λ = 0 ， λ = 1 ．故 A的非零特征值为 1．
0 λ−1
{ } (14) 设随机变量 X 服从参数为 1 的泊松分布，则 P X = EX 2 = ____________．

2008年中山大学考研真题之一元微积分

【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：1考研高分学姐总结出的考研政治选择题解题技巧考研政治的试题分为两大部分，在答题的时候也有不同的方法。

在历年的研究生考试中，各位考研高人得出各种各样的解题方法，都是值得借鉴的。

在经历考研并且成功之后，针对这类问题结合我的经历，我总结出两类题型的解答技巧，与大家分享。

题型1评价分析型题型特点：评价分析型选择题一般以引文作为材料，引文的内容不正确或不完全正确，该类题目注重考查考生的理解和判断能力。

这类题在马克思主义哲学部分出现最多，所考查的知识点本身并不难，但对考生理解能力的要求较高。

这就要求考生在平时的学习中，不仅要扎实掌握政治课本中的基本概念和基本原理，还要注重“腹有诗书气自华”的文学素质的培养以及审美素养的提高。

解题诀窍：对这种类型选择题，考生要能够理解引文中蕴涵着哪些观点，这些观点正确与否，引文中的错误是什么，错误原因又是什么。

要特别注意：(1)如果题目是考查考生对引文的理解，那么判断备选项是否正确并不是以这个备选项所显露的“事实”正确与否为依据，而是以该备选项的观点是否蕴涵在材料中为依据。

即使这个观点是错误的，也可能选。

(2)如果题目是考查分析引文中作者的观点是否错误及其原因，要注意分析的角度，是站在“我们”的角度，还是站在材料的作者或漫画中的人物的角度。

题型2因果关系型【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：2题型特点：因果关系型选择题主要是分析政治、经济、社会现象的原因、目的、影响。

一般包括两种情况，一是知道结果考原因，题干为果，选项为因。

可以是一因一果，也可以是多因一果或是一因多果。

常用引导语是“因为”、“其原因是”、“之所以”。

另一种是知道原因考结果，其引导语是“目的是”、“是为了”、“结果是”、“影响是”、“因此”、“所以”等。

其中在考查原因时又有根本原因、直接原因、主要原因、客观原因、主观原因等。

解题诀窍1.要分清是考查原因还是考查结果。

2008考研数一真题答案及详细解析

nx
2
=1-- 六3 -.I,-
41记10=70 1
(—1y+1 n2
cos
nx,
0� 正女．
令x = O,有
2
穴
,=(-l)n+l
f(O) = l--3 +4n�= l n 2
,
又f(O)=l, 所以 (20)证 (I) r(A)=r(a矿+PJJT)
I:=(-l)n -1
ne=l
n"
2
=— 1穴2"
a2 2a l
矿 2a,,,
以下用数学归纳法证明D n =Cn+Da气
当n = l时， D 1 = 2a, 结论成立．
2a 当n = 2时，几=
a
1 = 3a2 ，结论成立．
2a
假设结论对小于n的情况成立．将D n 按第1行展开，得矿1
0 2a 1
D ,, = 2aD n_l -
矿 2a 1
尸 2-2z 2= 0,
2x+3z = 5,
解得
(� — x= — 5,
1
x= l,
5, 或{y�],
之 = 5,
之 = 1.
根据几何意义，曲线 C 上存在距离 xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为( — 5' — 5,5)
和(1,1,1).
08) CI) 证
对任意的x, 由于J是连续函数，所以
所以所求微分方程为
y/f/ -y"+4y'-4y=O.
(4) B
解若{xn }单调，则由f(x)在(— =, 十=)内单调有界知，订(xn )}单调有界，因此

2008年中山大学考研真题答案精解之数学分析与高等代数

【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：12008年中山大学考研真题答案精解之数学分析与高等代数【育明教育】中国考研考博专业课辅导第一品牌育明教育官方网站：22015考研英语写作七大误区词汇与语法错误考研英语写作让很多同学都很头痛，有两点原因：一为词汇，二为语法。

因为英语与汉语的区别是一词多义，非常讲究用词准确而且正式。

同时，英语的词汇非常丰富，一个词语通常都有许多同义词和近义词。

考生如果平时注意积累并加以练习，就能够在考试中熟练地加以运用。

英文写作也同样非常讲究语法，尤其是考研作文作为正式文体，需要注意以下几点小细节：(1)尽量少用缩写形式。

如don't,can't,won't 应写为do not,cannot,will not 等。

(2)用更加正式的否定形式。

如not…any 应写为no,not…much 写为little,not many 写做few 等。

(3)尽量少用"etc.","and so on"等表达方式。

例如：Activities include dancing,singing,etc 。

Activities include dancing,singing,and other fun stuff 。

◎中文式思维模式很多考生在考试过程中把一些中文的成语、谚语翻译成英文，这种做法导致的结果就是文章不仅行文不符合英文的规律，读起来也让人觉得非常不舒服。

纠正中文思维习惯的关键依然在于培养英文语感，同时考生在平时的练习中也要尽量让自己用英文来思考。

如果考生需要用到谚语，名句等，最好的办法是直接掌握英文的谚语、名句，并灵活运用到文章中。

◎注意字数与标点考研英语作文一分钟平均7～8个字，字数多少算个够?自己目测一下，以大作文为例，中等大小一行15字，最起码写到12，13位置,因为阅卷人做的第一件事情就是看你的字数，就看你的位置到没有到。

2008年普通高等学校招生全国统一考试数学卷广东理含详解

2008年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1•答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上•用 2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上•将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案•答案不能答在试卷上.3 •非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须填写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液•不按以上要求作答的答案无效.4•作答选做题时，请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号(或题组号)对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5 •考生必须保持答题卡的整洁•考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.参考公式：如果事件 A B 互斥，那么P(A B) =P(A) • P(B).已知 n 是正整数，则 a n -b n =(a-b)(a n ，• a n 'b V ab n _ b n ‘).一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，满分40分•在每小题给出的四个选项中，只有项是符合题目要求的.1 •已知0 ca v2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z|的取值范围是( )A . (1,5)B . (1,3)C . (1,岛D . (1,73)3 .某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表 1.已知在全校学生中随机抽取 1名，抽到二年级女生的概率是 0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取 64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为( ) A . 24B . 18C . 16D . 122x + y W 40, x + 2 v W 504.若变量x , y 满足'则z = 3x • 2y 的最大值是()x > 0,y >0,2 .记等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 1-,S 4 =20，则 S 6 =( 2A . 16B . 24C . 36D . 48一年级二年级三年级:女生 373xy男生377370zA . 90B . 80C . 70D . 40、填空题：本大题共 7小题，考生作答 6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~12题）9.阅读图3的程序框图，若输入 m=4 , n=6,则输出 a , \ = ___________ . （注：框图中的赋值符号“”也可以写成“-”或“：二”）i =110.已知（1 kx2）6（ k 是正整数）的展开式中， x 8的系数小于 120」k = ____________1a = i2 211 .经过圆x 2x y =0的圆心C ，且与直线x • y = 0垂直的直线方程是 _____________________-输出a, i12 .已知函数 f （x ）=（sinx-cosx ）sinx , x ，R ，贝y f （x ）的最小正周期是 __________结束5. 将正三棱柱截去三个角（如图1所示A , B , C 分别是A GHI 三边的中点）得到几何体如图 2,则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）&在平行四边 J?BCD 中,AC 与BD 交于点O , E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点 F .若 AC 二 a , BD 二 b ，则 AF 二（）1 12 11 11 2A. -a x —b B . —a ； —bC . -a ；—bD. -a -b 4 23 3 24 3 36 •已知命题p:所有有理数都是实数，命题是（）q:正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的A . (—p) qB . p qC . (—p) (—q)D • (—p) (—q)7 •设 a R ，若函数 y =e ax • 3x , A .B . a ：：： -3x R 有大于零的极值点，则（）C .1 a ：：：…开始、选做题（13—15题，考生只能从中选做两题）13 .（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C, C 2的极坐标方程分别为TCOSV -3 , 一（ n ）『=4cosv 》0,0 W ，则曲线C ,与C 2交点的极坐标为I 2丿2114.（不等式选讲选做题）已知a R ,若关于x 的方程x 2+x + a — — + a= 0有实根，则a 的 4取值范围是 .15.（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O 的切线，切点为 A , PA=2 .AC 是圆O 的直径,PC 与圆O 交于点B , PB =1，则圆O 的半径R.三、解答题：本大题共 6小题，满分80分.解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分）已知函数 f （x ） = Asin （ x J （ A • 0,0 ：：：「：：： u ）,（1 ）求 f （x ）的解析式;17. （本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品 200件，经质检，其中有一等品 126件、二等品50件、三等品20件、次品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为 6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元.设1件产品的利润（单位：万元）为 . （1 ）求的分布列；（2 ）求1件产品的平均利润（即的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为 1%, 一等品率提高为 70%.如果此时要求1件产品的平均利润不小于 4.73万元，则三等品率最多是多少？x • R 的最大值是1 ,其图像经过点(2)已知:,叫0日，且3 = |12f (:) ，求 f (:• - ：)的值.13418. (本小题满分14分)图4所示，过点F(0, b ・2)作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F ,.(1) 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；(2) 设A, B 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ,使得△ ABP 为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)19. (本小题满分14分)［丄,X<1设 k € R ，函数 f(x)=<1—x, F(x) = f(x)—kx , R ，试讨论函数 F(x)的单-x/^1, x > 1调性.20. (本小题满分14分)如图5所示，四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是半径为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，.ABD =60； , . BDC =45； , PD 垂直底面 ABCD , PD =2、,2R , E , F 分别是PE DFPB , CD 上的点，且，过点E 作BC 的平行线交PC 于G .EB FC(1 )求BD 与平面ABP 所成角二的正弦值； (2)证明：△ EFG 是直角三角形；PE 1(3)当时，求△ EFG 的面积.EB 221. (本小题满分12分)设p, q 为实数，〉，：是方程x 2-px ，q =0的两个实根，数列｛x n ｝满足x^ - p ,2x2= P -q , X n 二 pX n4-qX n, ( n = 3,4,…).(1)证明：「•- - p ，「- - q ； (2)求数列｛x n ｝的通项公式；设b 0，椭圆方程为2 22b 2 b 22=1，抛物线方程为x =8(y-b).如图4GADF1(3)若p =1 , q ，求｛X n｝的前n项和S n .4绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科）参考答案一、选择题：C D C C A D B B 1.C 【解析】z 二 a 21，而 0 ：：： a ：：： 2，即 1 ：：： a 2 T ：：： 5 ,-/52. D 【解析】S 4 =2 6d =20 , d =3，故 S^3 15^ 48 3 . C 【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是2000 - 373 - 377 - 380 - 370 = 500，即总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层抽2样中应在三年级抽取的学生人数为 64 2 =1684. C5. A6. D 【解析】不难判断命题 p 为真命题，命题q 为假命题，从而上述叙述中只有（一p ）（一q ）为真命题 7.B 【解析】f '（x ） =3 ae ax ,若函数在 x R 上有大于零的极值点，即f '（x ） =3 ae ax =0有13正根。

2008CMO试题及解答

2008中国数学奥林匹克解答第一天1. 设锐角 △ 的三边长互不相等. 为其外心, 点ABC O A ′在线段的延长线上, 使得 . 过点AO BA A CA A ′∠=∠′A ′分别作1A A AC ′⊥, 2A A AB ′⊥, 垂足分别为1A , . 作, 垂足为. 记△的外接圆半径为2A A AH BC ⊥A H 12A H A A A R , 类似地可得B R , C R . 求证:1112A B C R R R R++=, 其中R 为△的外接圆半径.（熊斌提供）ABC 证明首先, 易知,,,A B O C ′四点共圆.事实上，作△BOC 的外接圆，设它与AO 相交于点P 不同于A ′，则，于是，△BPA BCO CBO CPA ∠=∠=∠=∠PA C ′≅△PA B ′，可得，故，矛盾。

A B A C ′′=AB AC =所以01802BCA BOA C ′′∠=∠=−∠, 1A CA C ′∠=∠.22cos sin A H A AA A AA C AC AA ′==∠=∠′, 22A A AH A ACB π′∠=∠=−∠. 所以△∽△. 同理, △∽△2A A AH A AC ′1A A H A A BA ′. 所以, 则21,A A A H A ACA A H A ABA ′′∠=∠∠=∠12212A A A H A A H A A H A A π∠=−∠−∠2ACA ABA π′′=−∠−∠22A A A ππ⎛⎞=∠+−∠=−∠⎜⎟⎝⎠.所以,1212122sin 2sin AA RR R A A A A R A A H A ∠==∠2sin 2sin R A RAA A AA ∠==′′∠. 作AA ′′⊥，垂足为A C ′A ′′，因为1ACA A CA C ′′′∠=∠=∠，所以，于是A AA AH ′′=()02sin cos cos sin 90ABC A AS AH AH AA AA AA C A a AA ′′′====′∠∠∠−∠ ,故()1cos cos 11cot cot sin sin A ABC a A A B C R S R B C R∠∠===−∠∠∠ ∠, 同理,()111cot cot B C A R R =−∠∠, ()111cot cot C A B R R=−∠∠, 注意到 cot cot cot cot cot cot 2A B B C C A ∠∠+∠∠+∠∠=,所以1112A B C R R R R++=. 2. 给定整数. 证明: 集合3n ≥{}21,2,3,,X n n =−L 能写成两个不相交的非空子集的并, 使得每一个子集均不包含个元素n 1212,,,,n n a a a a a a <<<L L , 满足112k k k a a a −+≤+−, .（冷岗松提供） 2,,1k n =L 证明定义{}{}2221,,,1,,k k S k k k T k k k 2=−+=++L L , 1,2,,1k n =−L . 令, . 下面证明即为满足题目要求的两个子集.11n k k S S −==U 11n k k T −==U T ,S T 首先, S T =∅I , 且S T X =U .其次, 如果中存在个元素S n 1212,,,,,n n a a a a a a <<<L L 满足112k k k a a a −++≤, 2,,1k n =−L . 则11,2,,1k k k k a a a a k n −+−≤−=−L . (*)不妨设. 由于1i a S ∈1n S −n <, 故1i n <−. 这个数中至少有12,,,n a a a L n i n S n i −=−个在中. 根据抽屉原理, 必有某个中含有其中至少两个数, 设最小的一个为, 则1i S +ULU 1n S −)(j S i j n <<k a 1,k k j a a S +∈, 而11k j a S S 1−−∈ULU . 于是111k k j a a S j +−≤−=−, 111k k j a a T −−−≥+=j .所以11k k k k a a a a +−−<−, 与(*)矛盾.故中不存在个元素满足题中假设.S n 同理, 中亦不存在这样的个元素. 这表明即为满足题中要求的两个子集.T n ,S T3. 给定正整数n , 及实数1212,,n n x x x y y y ≤≤≤≥≥≥L L 满足11n ni ii i ix iy===∑∑.证明: 对任意实数α, 有[][]11n niii i x i y i αα==≥∑∑.这里, []β表示不超过实数β的最大整数.（朱华伟提供）证明1 我们先证明一个引理, 对任意实数x 和正整数n , 有[][]111.2n i n i n αα−=−≤∑ 引理证明只需要将[][][]()i n i n ααα+−≤对1,2,,1i n =−L 求和即得. 回到原题, 我们采用归纳法对n 进行归纳, 当1n =时显然正确.假设时原命题成立, 考虑n k =1n k =+. 令1122,i i k i i k a x x b y y k k ++=+=+, 其中显然我们有 , 并且通过计算得知, 由归纳假设知1,2,,.i =L k i12,k a a a ≤≤≤L 12k b b b ≥≥≥L 11k kii i ia ib===∑∑[][]11k kiii i a i b i αα==≥∑∑.又1k k 1x y ++≥, 否则若11k k x y +<+1, 则12112k k x x x y y y ++≤≤<≤≤≤L L 1111k k iii i ix iy++===,∑∑, 矛盾.≤从而[][]111k ki i i i x i a i αα+==−∑∑()[]1121k k i x k i kαα+=⎧⎫=+−⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭∑ ()[][][]1111121,k k i k ki i i i y k i ky i b i αααα+=+==⎧⎫≥+−⎡⎤⎨⎬⎣⎦⎩⎭=−∑∑∑ 由此可得[][]1111k k i i i i x i y i αα++==≥∑∑. 由归纳法知原命题对任意正整数均成立.n证明2 记i i z x y i =−, 则120n z z z ≤≤≤≤L 且10ni i iz ==∑, 只需要证明[]10ni i z i α=≥∑. (1)令11221,,,n n n z z z z z 1−Δ=Δ=−Δ=−L , 则(11ii j j z i =)n =Δ≤≤∑, 所以11110n n i n i j i i j j i iz i i ======Δ=Δ∑∑∑∑∑nj j=,从而 121nnnj j i ji i===Δ=Δ∑∑∑i j. (2)于是[][][]1111nninn iji i j j i jz i i i ααα======Δ=Δ∑∑∑∑∑[]22nnn nn j j j i j j i ji i iα=====⎛⎞=Δ−Δ⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑∑1i [][]21nnnnnnj j i j i ji ji i i i i i αα======⎛⎞=Δ⋅−⎜⎟⎝⎠∑∑∑∑∑∑1i , 故(1)转化为证明对任意的,2j n ≤≤[][]11n n n i ji j i i i i i αα===≥ni =∑∑∑∑. (3)而[][][][]11111111(3)j j j nn nn i ji ji i i i i i i i i i i i i αααα−−−−=======⇔≥⇔≥∑∑∑∑∑∑∑∑11j i =. 故只需要证明对任意的, 有 1k ≥ [][]11111k k k i i i i i i αα++===≥∑∑∑∑1ki i =,而上述不等式等价于[][]()[]()()11(1)211kki i k ki k i k i ααααα==+⋅≥⇔+−−+−≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑∑0.注意到[][][]x y x y +≥+对任意实数,x y 成立, 上述不等式显然成立. 从而(3)得证.第二天4. 设A 是正整数集的无限子集, 是给定的整数. 已知: 对任意一个不整除n 的素数, 集合1n >p A 中均有无穷多个元素不被整除. （余红兵提供）p 证明: 对任意整数, 1m >(),m n 1=, 集合A 中均存在有限个不同元素, 其和满足(mod ), 且 (mod ).S 1S ≡m 0S ≡n 证明1 设p m α, 则集合A 中有一个无穷子集, 其中的元素都不被整除. 由抽屉原理知, 集合有一个无穷子集, 其中的元素都1A p 1A 2A a ≡(mod ), 是一个不被整除的数.mn a p 因(, 故),m n =1,mn p p αα⎛⎞1=⎜⎟⎝⎠. 由中国剩余定理, 同余方程组1(mod )0(mod x a p mn x p αα−⎧≡⎪⎨≡⎪⎩(1)有无穷多个整数解. 任取其中一个正整数解x , 并记p B 是中前2A x 项的集合, 则p B 中的元素之和, 再由(1)可知(mod )p S ax mn ≡1(mod )p S ax p α≡≡, 0(mod)p mnS p α≡. 设11k k m p p αα=L , 并设对每个(11)i p i k ≤≤−已选出了A 的有限子集i B , 其中11\i i B A B B −⊂∪∪L i , 使得B 中的元素和满足i p S , 1(mod )i i p i S p α≡0(modi ip imnS p α≡. (2) 考虑集合1ki i B B ==U , 则B 的元素和1ki i S ==S ∑. 根据(2), 我们有1(mod )i i S p α≡,(1i k ≤≤), 且0(mod )S n ≡.所以B 即满足题目要求.证明2 考虑A 中的数除以的余数, 设出现无穷多次的余数依次为mn 12,,,k αααL .首先证明(12,,,,1k m ααα)=L . (1) 反证法. 反设有某个素数()12,,,,k p m αααL , 则由(),1m n =知不整除; 又根据p n 12,,,k ααL α的定义, A 中只有有限个数不是p 的倍数, 这与题设矛盾.于是(1)获证. 从而存在正整数12,,,,k x x x L y , 使得11221k k x x x ym ααα+++−=L . 再取合适的正整数使得r 1(mod )rn m ≡. 则()()()1122k k rnx rnx rnx rn rmny ααα+++=+L .于是从A 中依次取出个模的余数为i rnx mn i α的数()1,2,,i =L k 即满足题目要求.5. 求具有如下性质的最小正整数: 将正边形的每一个顶点任意染上红, 黄, 蓝三种颜色之一, 那么这个顶点中一定存在四个同色点, 它们是一个等腰梯形的顶点.（冷岗松提供）n n n 解所求的最小值为17.n 首先证明时, 结论成立.17n = 反证法. 反设存在一种将正17边形的顶点三染色的方法, 使得不存在4个同色顶点是某个等腰梯形的顶点.由于171163−⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦, 故必存在某6个顶点染同一种颜色, 不妨设为黄色. 将这6个点两两连线, 可以得到2615C =条线段. 由于这些线段的长度只有1782⎡⎤=⎢⎥⎣⎦种可能, 于是必出现如下的两种情况之一:(1) 有某3条线段长度相同.注意到3 17, 不可能出现这3条线段两两有公共顶点的情况. 所以存在两条线段, 顶点互不相同. 这两条线段的4个顶点即满足题目要求, 矛盾.(2) 有7对长度相等的线段.由假设, 每对长度相等的线段必有公共的黄色顶点, 否则能找到满足题目要求的4个黄色顶点. 再根据抽屉原理, 必有两对线段的公共顶点是同一个黄色点. 这4条线段的另4个顶点必然是某个等腰梯形的顶点, 矛盾.所以, 时, 结论成立.17n =再对构造出不满足题目要求的染色方法. 用表示正边形的顶点(按顺时针方向), 16n ≤12,,,n A A A L n 12,,3M M M 分别表示三种颜色的顶点集.当时, 令16n ={}15813141,,,,6M A A A A A =,{}23671115,,,,M A A A A A =,{}312491012,,,,,M A A A A A A =. 对于1M , 到另4个顶点的距离互不相同, 而另4个点刚好是一个矩形的顶点. 类似于14A 1M , 可验证2M 中不存在4个顶点是某个等腰梯形的顶点. 对于3M , 其中6个顶点刚好是3条直径的顶点, 所以任意4个顶点要么是某个矩形的4个顶点, 要么是某个不等边4边形的4个顶点.当时,令15n ={}112358,,,,M A A A A A =,{}269131415,,,,M A A A A A =, {}347101112,,,,M A A A A A =, 每个i M 中均无4点是等腰梯形的顶点.当时, 令14n ={}11381014,,,,M A A A A A =,{}24571112,,,,M A A A A A =,{}326913,,,M A A A A =, 每个i M 中均无4点是等腰梯形的顶点.当时, 令13n ={}15671,,,0M A A A A =,{}2181112,,,M A A A A =,{}3234913,,,,M A A A A A =, 每个i M 中均无4点是等腰梯形的顶点.在上述情形中去掉顶点, 染色方式不变, 即得到13A 12n =的染色方法; 然后再去掉顶点, 即得到的染色方法; 继续去掉顶点, 得到的染色方法.12A 11n =11A 10n =当时, 可以使每种颜色的顶点个数小于4, 从而无4个同色顶点是某个等腰梯形的顶点.9n ≤上面构造的例子表明不具备题目要求的性质. 16n ≤总上所述, 所求的n 的最小值为17.6. 试确定所有同时满足223mod n n q p ++≡（)n n , 223(mod )n n p q ++≡的三元数组(, 其中为奇素数, 为大于1的整数.（陈永高提供）,,)p q n ,p q n 解易见()均为满足要求的数组. 假设3,3,(2,3,)n n =L (),,p q n 为其它满足要求的一数组, 则. 不妨设.,3,p q p q ≠≠≠35q p >≥如果, 则2n =2443q p −, 即22222(3)(3q p p −+)2. 由于q 不同时整除和, 故223p −23p +2223q p −或2223q p +. 但22032p q <−<, 2221(3)2p p +<<2q , 矛盾.因此. 由3n ≥22223,3n n n n n n p q q p ++++−−知222223,3n n n n n n n n p p q q p q ++++++−+−2+.又, 为素数, 故p q <,p q 223n n n n n p q p q 2+++−+2. (1)因此得22232n n n n n n p q p q q +++≤+−<+, 从而22n p q <.由223n n n q p ++−及知3p >223n n n n q p p 2++≤−<+, 从而21nq p+<, 结合22n p q <有44232nnnp pp++<<. 因此43n n<+, 故3n =. 这样 3553553,3p q q p −−.且由易知. 由55532111−=××35p >3553p q −知53p q 5−. 由费马小定理知13p p p q −−1−, 因此(5,1)(5,1)3p p p q −−−.如果(, 则)5,11p −=3p q −, 由5543223443333353(mod 3q q q q q p q −=+⋅+⋅+⋅+≡×−) 以及知5p ≥p 5533q q −−. 因此33p q −. 由3553q p −知()5535553333q p p pq ≤−<=<,矛盾.所以()5,11p −≠, 即51p −, 类似可得5q 1−. 由 q 3p −(因)及7q p >≥3553q p −知55333p qp −−, 从而5534322333333p q p p p p p −≤=+⋅+⋅+⋅−43+.由51p −及51q −知, . 因此11p ≥31q ≥2343433331q p p p p p ⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎛⎞⎜⎟≤++++⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝⎠44111381p p p<⋅≤−. 从而1344811p q ⎛⎞>⎜⎟⎝⎠. 因此3555224133334311118p q p q p q q p q +−⎛⎞<+<+<⎜⎟⎝⎠1,这与(1), 即335553p q p q +−矛盾.综上, 即为所有满足要求条件的三元数组.()3,3,(2,3,)n n =L。

中山大学2008高代解答

3a − 3 0 −2
(2) + (1) 0 a−1 → 1 1
2 − a − a2 1−a a
3a − 3 0 −2
当a = 1时，方程组有无穷解，其解集为(−2, 0, 0) + k1 (1, −1, 0) + k2 (1, 0, −1). 五、(10分) 在F n 中，设αi = (ai1 , ai2 , · · · , ain ), i = 1, 2, · · · , m, β = (b1 , b2 , · · · , bn ). 证明：如果线性方程组 a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn a x + a x + ··· + a x 21 1 22 2 2n n · · · am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = = = 0 0 0

0 0
列变 → 1 0 0 1 −1 0
λ3 − cλ2 − bλ − a 0 0
,
解法2：直接计算矩阵的不变因子为D3 = λ3 − cλ2 − bλ − a, D2 = 1 (因为以所求极小多项式为D3 ÷ D2 = λ3 − cλ2 − bλ − a.
λ −1
= 1), 所
七、(10分) 设A为实对称矩阵，B 为实反对称矩阵，A − B 可逆，且AB = BA. 证明：(A + B )(A − B )−1 是正交矩阵。证明：由已知条件可得 ( (A + B )(A − B )−1 )′ ( )′ −1 = (A − B )−1 (A + B )′ = ((A − B )′ ) (A + B )′

2008考研数学一真题及答案解析

2008年全国硕士研究生入学统一考试数学试题参考答案和评分参考数学（一）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.) （1）设函数2()ln(2)x f x t dt =+⎰，则()f x '的零点个数为（B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 （2）函数(,)arctanxf x y y=在点（0，1）处的梯度等于（A ）（A ）i （B ）i - （C ）j （D ）j -（3）在下列微分方程中，以123cos2sin 2x y C e C x C x =++（123,,C C C 为任意常数）为通解的是（D ）（A ）044=-'-''+'''y y y y . （B ）044=+'+''+'''y y y y （C ）044=+'-''-'''y y y y . （D ）044=-'+''-'''y y y y（4）设函数()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（B ）（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛. (B) 若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛. (C) 若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛. (D) 若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛. （5）设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若03=A ，则（C ）（A ）E A -不可逆，E A +不可逆. （B ）E A -不可逆，E A +可逆.（C ）E A -可逆，E A +可逆. （D ）E A -可逆，E A +不可逆（6）设A 为3阶非零矩阵，如果二次曲面方程(,,)1x x y z A y z ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭在正交变换下的标准方程的图形如图，则A 的正特征值个数为（B ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（7）随机变量X ，Y 独立同分布，且X 的分布函数为F(x)，则Z=max{X, Y}分布函数为（A ）（A ）)(2x F ；（B ）)()(y F x F ；（C ）2)](1[1x F --；（D ）)](1)][(1[y F x F -- （8）随机变量~(0,1),~(1,4)X N Y N ，且相关系数1XY ρ=，则（D ）（A ）{21}1P Y X =--= （B ）{21}1P Y X =-= （C ）{21}1P Y X =-+= （D ）{21}1P Y X =+=二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.）(9) 微分方程'0xy y +=满足条件(1)1y =的解是=y x/1(10) 曲线sin()ln()xy y x x +-=在点（0，1）处的切线方程是1+=x y .(11) 已知幂级数(2)nnn a x ∞=+∑在0x =处收敛，在4x =-处发散，则幂级数(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(]5,1(12) 设曲面∑是z =⎰⎰∑++dxdy x xdzdx xydydz 2=π4(13) 设A 为2阶矩阵，21,αα为线性无关的2维列向量，12120,2Aa Aa a a ==+则A 的非零特征值为__1___(14) 设随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2EX X P ==e21三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分）求极限40[sin sin(sin )]sin limx x x xx →-解： ()[]()3040sin sin sin lim sin sin sin sin limx x x x x x x x x -=-→→ ……2分＝()()20203sin cos 1lim 3cos sin cos cos lim xx x x x x x x -=-→→ ……6分 613sin lim 22210==→x x x ……9分 (16)（本题满分9分）计算曲线积分2sin 22(1)Lxdx x ydy +-⎰，其中L 是曲线sin y x =上从点（0，0）到点(,0)π的一段.解法1：()()[]⎰⎰⋅-+=-+π22cos sin 122sin 122sin dx x x x x ydy x xdx Ldx x x⎰=π22sin ……4分⎰+-=ππ0022c o s 2c o s 2x d x x x x ……6分 22s i n 212s i n 222002ππππ-=-+-=⎰x d x x x ……9分解法2：取1L 为x 轴上从点()0,π到点()0,0的一段，D 是由L 与1L 围成的区域()⎰⎰⎰-+--+=-++11)1(22sin )1(22sin 122sin 222L L L Lydy x xdx ydy x xdx ydy xxdx ……2分⎰⎰⎰--=02sin 4πxdx xydxdy D……5分⎰⎰⎰⎰--=-=--=ππππ0020sin 00)2cos 1(sin 22cos 214dx x x xdx x x xydy dx x22sin 212sin 2220002ππππ-=-+-=⎰xdx x x x ……9分 (17)（本题满分11分）已知曲线22220:35x y z C x y z ⎧+-=⎨++=⎩，求C 上距离xOy 面最远的点和最近的点.解：点),,(z y x 到xOy 面的距离为z ，故求C 上距离xOy 面最远点和最近点的坐标，等价于求函数2z H =在条件02222=-+z y x 与53=++z y x 下的最大值点和最小值点. ……3分令)53()2(),,,,(2222-+++-++=z y x z y x z z y x L μλμλ ……5分由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=-+=+-==+==+=530203*********'''z y x z y x z z L y L x L z y x μλμλμλ ……7分得y x =，从而⎩⎨⎧=+=-53202222z x z x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=555z y x 或⎪⎩⎪⎨⎧===111z y x ……10分根据几何意义，曲线C 上存在距离xOy 面最远的点和最近的点，故所求点依次为)5,5,5(--和)1,1,1( ……11分(18)（本题满分10分）设()f x 是连续函数， (I) 利用定义证明函数⎰=x dt t f x F 0)()(可导，且()()F x f x '=；(II) 当()f x 是以2为周期的周期函数时，证明函数⎰⎰-=2)()(2)(dt t f x dt t f x G x 也是以2为周期的周期函数.(I) 证：对任意的x ，由于()f x 是连续函数，所以xdt t f x dtt f dt t f x x F x x F xx xx x xx x x ∆=∆-=∆-∆+⎰⎰⎰∆+→∆∆+→∆→∆)(lim )()(lim )()(lim 00000 ……2分 )(lim )(lim 00ξξf xx f x x →∆→∆=∆∆= （其中ξ介于x 与x x ∆+之间）由)()(lim 0x f f x =→∆ξ，可知函数)(x F 在x 处可导，且)()('x f x F = ……5分(II) 证法1：要证明)(x G 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有)()2(x G x G =+，记)()2()(x G x G x H -+=，则()()222()2()(2)()2()()x x H x f t dt x f t dt f t dt x f t dt +'''=-+--⎰⎰⎰⎰0)()(2)()2(222=+--+=⎰⎰dt t f x f dt t f x f ……8分又因为00)(2)(2)0()2()0(2020=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎰⎰dt t f dt t f G G H 所以0)(=x H ，即)()2(x G x G =+ ……10分证法2：由于()f x 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有⎰⎰⎰⎰++-+-=-+220)()(2)()2()(2)()2(x xx dt t f x dt t f dt t f x dt t f x G x G⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰+x xx x dt t f du u f dt t f dt t f dt t f dt t f 002002022)()2(2)()()()(2……8分[]0)()2(20=-+=⎰x dt t f t f即)(x G 是以2为周期的周期函数. ……10分(19)（本题满分11分）将函数21)(x x f -=，)0(π≤≤x 展开成余弦级数，并求级数121(1)n n n +∞=-∑的和.解：由于⎰-=-=πππ220322)1(2dx x a ……2分,2,1,)1(4cos )1(21202=-=-=+⎰n nnxdx x a n n ππ……5分所以nx n nx a a x f n n n n cos )1(431cos 2)(121210∑∑∞=+∞=-+-=+=π，π≤≤x 0， ……7分令0=x ，有∑∞=+-+-=1212)1(431)0(n n n f π，又1)0(=f ，所以12)1(2121π=-∑∞=-n n n ……11分(20)（本题满分10分）设βα,为3维列向量，矩阵,T T A ααββ=+其中Tα，Tβ为α，β的转置. 证明： (I) 秩()2r A ≤；(II) 若,αβ线性相关，则秩() 2.r A < 证：(I) ()()T T r A r ααββ=+()()T T r r ααββ≤+ ……3分2)()(≤+≤βαr r ……6分(II) 由于βα,线性相关，不妨设βαk =，于是21)())1(()()(2<≤≤+=+=βββββααr k r r A r T T T ……10分(21)（本题满分12分）设n 元线性方程b Ax =，其中A =2222212121212n na a a a a a a a a ⨯⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ,12n x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ ，100b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭ (I) 证明行列式na n A )1(+=；(II) 当a 为何值时，该方程组有唯一解，并求1x ； (Ⅲ) 当a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解.(I) 证法1：记n D A ==2222212121212na a a a aa a a a当1=n 时，a D 21=，结论成立，当2=n 时，2223212a aa a D ==，结论成立 ……2分假设结论对小于n 的情况成立，将n D 按第1行展开得2122n n n D aD a D --=-n n n a n a n a ana )1()1(2221+=--=--，即na n A )1(+= ……6分证法2：2222122222121321012211212212122nna a a a a a aa aA r ar a a a a aa a a =-……2分3222221301240123321212na a a r ar a a a a a a -=……4分nnn n a n a n n a n n a a a ar nn r )1(111013412301211+=+----……6分(Ⅱ) 解：当0≠a 时，方程组系数行列式0≠n D ，故方程组有唯一解. 由克莱姆法则，将n D 第1列换成b ，得行列式为22112222111210212121212122n n n na a a aaaD na a a aa a a aa ---===所以，an nD D x n n )1(11+==- ……9分(Ⅲ) 解：当0=a 时，方程组为 12101101001000n n x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1-n ，所以方程组有无穷多解，其通解为()()01001000TTx k =+ ,其中k 为任意常数 ……12分(22)（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 概率分布为1{}(1,0,1)3P X i i ===-，Y 的概率密度为101()0Y y f y ≤≤⎧=⎨⎩，其它记 Y X Z += (I) 求1{0}2P Z X ≤=； (II) 求Z 的概率密度)(z f z . 解：(I) ⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤+=⎭⎬⎫⎩⎨⎧=≤021021X Y X P X Z P 2121=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤=Y P ……4分(II) {}{}z Y X P z Z P z F Z ≤+=≤=)({}{}{}1,0,1,=≤++=≤++-=≤+=X z Y X P X z Y X P X z Y X P {}{}{}1,10,1,1=-≤+=≤+-=+≤=X z Y P X z Y P X z Y P {}{}{}{}{}{}11011=-≤+=≤+-=+≤=X P z Y P X P z Y P X P z Y P{}{}{}[]1131-≤+≤++≤=z Y P z Y P z Y P [])1()()1(31-+++=z F z F z FY Y Y ……7分 []13()()(1)()(1)Z Z Y Y Y f z F z f z f z f z '==+++- ……9分 ⎩⎨⎧<≤-=其他,021,31z ……11分 (23)（本题满分11分）设12,,,n X X X 是总体为2(,)N μσ的简单随机样本，记∑==n i i X n X 11，212)(11∑=--=n i iX X n S ，221S nX T -= (I) 证明T 是2μ的无偏估计量； (II) 当0,1μσ==时，求DT.(I) 证：因2222221)(1)1(ES nX D X E ES n X E S n X E ET -+=-=-= ……4分2222μσσμ=-+=nn所以T 是2μ的无偏估计量 ……7分(II) 解：当0=μ，1=σ时，由于X 与2S 独立，有)1(22S n X D DT -=2221DS nX D += ……9分 []22222)1()1(11)(1S n D n n X n D n --⋅+= )1(21112)1(2)1(11212222-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⋅-⋅+⋅=n n n n n n n n ……11分数学（二）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.)（1）设函数2()(1)(2)f x x x x =--，则()f x '的零点个数为（D ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3（2）如图，曲线段的方程为()y f x =，函数在区间[0,]a 上有连续导数，则定积分()axf x dx '⎰等于（C ）（A ）曲边梯形ABCD 面积. （B ）梯形ABCD 面积.（C ）曲边三角形ACD 面积. （D ）三角形ACD 面积. （3）【同数学一（3）题】（4）判断函数x x x x f sin 1ln )(-=，则)(x f 有（A ）（A ）1个可去间断点，1个跳跃间断点；（B ）1个跳跃间断点，1个无穷间断点.（C ）2个跳跃间断点；（D ）2个无穷间断点（5）【同数学一（4）题】（6）设函数f 连续，若dxdy yx y x f v u F vu D ⎰⎰++=2222)(),(，其中区域uv D 为图中阴影部分，则Fu∂=∂ （A ）（A ）)(2u vf （B ）)(2u f u v （C ） )(u vf （D ）)(u f uv（7）【同数学一（5）题】（8）设1221A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则在实数域上与A 合同的矩阵为（D ）（A ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112 （B ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2112 （C ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2112 （D ）⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1221二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 已知函数()f x 连续，且1)()1()](cos[1lim2=--→x f ex xf x x ，则=)0(f 2. (10) 微分方程0)(2=-+-xdy dx e x y x 的通解是=y )(x e C x --.(11) 【同数学一（10）题】 (12) 曲线32)5(x x y -=的拐点坐标为)6,1(--.(13) 已知xyy z x ⎛⎫=⎪⎝⎭，则=∂∂)2,1(xz)12(ln 22-.(14) 设3阶矩阵A 的特征值是λ,3,2，若行列式482-=A ，则=λ1-.三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分）【同数学一（15）题】 (16)（本题满分10分）设函数)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧+==⎰20)1ln()(t du u y t x x 确定，其中)(t x 是初值问题⎪⎩⎪⎨⎧==-=-020t xx te dt dx 的解，求22dx y d . 解：由02=--x te dtdx得tdt dx e x 2=，积分并由条件00==t x ，得21t e x +=，即)1ln(2t x += ……4分)1ln()1(122)1ln(2222t t t t t t dt dxdt dydx dy ++=+⋅+== ……7分[][]1)1ln()1(122)1ln(2)1ln()1()(22222222+++=+++=++==t t t t t t t dt dx t t dt ddx dy dx d dxy d ……10分(17)（本题满分9分）计算21⎰.解：由于+∞=--→2211arcsin lim x xx x ，故dx xx x ⎰-10221arcsin 是反常积分令t x =arcsin ，有t x sin =，[0,)2t π∈⎰⎰⎰==-120202222sin cos cos sin 1arcsin ππtdt t tdt ttt dx xx x ……3分⎰+-=202022sin 4142sin 16πππtdt t t ……7分 41162cos 81162202+=-=πππt ……9分 (18)（本题满分11分）计算{}⎰⎰Ddxdy xy 1,max ，其中{}20,20),(≤≤≤≤=y x y x D .解：曲线1=xy 将区域D 分成如图所示的两个区域1D 和2D ……3分{}⎰⎰⎰⎰⎰⎰+=211,m ax D D Ddxdy xydxdy dxdy xy ……5分⎰⎰⎰⎰⎰⎰++=x xdy dx dy dx xydy dx 102212021021221 ……8分2ln 4192ln 212ln 415+=++-=……11分 (19)（本题满分11分）设)(x f 是区间[)+∞,0上具有连续导数的单调增加函数，且1)0(=f ，对任意的[)+∞∈,0t ，直线t x x ==,0，曲线)(x f y =以及x 轴围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数)(x f 的表达式.解：旋转体的体积⎰=t dx x f V 02)(π，侧面积⎰+=tdx x f x f S 02')(1)(2π，由题设条件知⎰⎰+=t t dx x f x f dx x f 02;02)(1)()( ……4分上式两端对t 求导得：)(1)()(2'2t f t f t f +=，即y '=……6分由分离变量法解得12)1ln(C t y y +=-+，即 t Ce y y =-+12 ……9分将1)0(=y 代入知1=C ，故t e y y =-+12，)(21t t e e y -+=于是所求函数为)(21)(x x e e x f y -+== ……11分(20)（本题满分11分）(I) 证明积分中值定理：若函数)(x f 在闭区间[]b a ,上连续，则至少存在一点[]b a ,∈η，使得)()()(a b f dx x f ba-=⎰η；(II) 若函数)(x ϕ具有二阶导数，且满足)1()2(ϕϕ>，⎰>32)()2(dx x ϕϕ，则至少存在一点)3,1(∈ξ，使得()0ϕξ''<证：(I) 设M 与m 是连续函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值，即M x f m ≤≤)(，[]b a x ,∈由积分性质，有⎰-≤≤-ba ab M dx x f a b m )()()(，即M dx x f a b m ba ≤-≤⎰)(1……2分由连续函数介值定理，至少存在一点[]b a ,∈η，使得⎰-=badx x f a b f )(1)(η，即))(()(a b f dx x f ba-=⎰η ……4分(II) 由 (I) 知至少存在一点[]3,2∈η，使)()23)(()(32ηϕηϕϕ=-=⎰dx x ……6分又由)()()2(32ηϕϕϕ=>⎰dx x 知，32≤<η，对)(x ϕ在]2,1[和],2[η上分别应用拉格朗日中值定理，并注意到)1()2(ϕϕ>，)()2(ηϕϕ>，得21,012)1()2()('11<<>--=ξϕϕξϕ，32,02)2()()('22≤<<<--=ηξηϕηϕξϕ ……9分在],[21ξξ上对导函数()x ϕ'应用拉格朗日中值定理，有211221()()()0,(,)(1,3)ϕξϕξϕξξξξξξ''-''=<∈⊂- ……11分(21)（本题满分11分）求函数222z y x u ++=在约束条件22y x z +=和4=++z y x 下的最大值与最小值.解：作拉格朗日函数)4()(),,,,(22222-+++-++++=z y x z y x z y x z y x F μλμλ……3分令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-++==-+==+-==++==++=04002022022'22''''z y x F z y x F z F y y F x x F z y x μλμλμλμλ ……6分解方程组得)2,1,1(),,(111=z y x ，)8,2,2(),,(222--=z y x ……9分故所求的最大值为72，最小值为6. ……11分(22)（本题满分12分）【同数学一（21）题】 (23)（本题满分10分）设A 为3阶矩阵，12,αα为A 的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量3α满足323A ααα=+，(I) 证明123,,ααα线性无关；（Ⅱ）令123{,,}P ααα=，求1P AP -.证明: (I) 设存在数321,,k k k ，使得0332211=++αααk k k ○1 用A 左乘○1的两边，并由11αα-=A ，22αα=A ，得：0)(3323211=+++-αααk k k k ○2 ……3分 ○1－○2得：022311=-ααk k ○3 因为21,αα是A 的属于不同特征值的特征向量，所以21,αα线性无关，从而031==k k 代入○1得，022=αk ，又由于02≠α，所以02=k ，故123,,ααα线性无关. ……7分（Ⅱ）由题设，可得),,(),,(321321ααααααA A A A AP ==⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=100110001100110001),,(321P ααα由(I)知，P 为可逆矩阵，从而⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-1001100011AP P ……10分数学（三）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.)（1）设函数()f x 在区间]1,1[-上连续，则x=0是函数0()()xf t dtg x x=⎰的（B ）（A ）跳跃间断点. （B ）可去间断点. （C ）无穷间断点. （D ）振荡间断点.（2）【同数学二（2）题】（3）已知(,)f x y =则（B ）（A ）)0,0(x f '，)0,0(y f '都存在（B ）)0,0(x f '不存在，)0,0(y f '存在（C ）)0,0(x f '存在，)0,0(y f '不存在（D ）)0,0(x f ' )0,0(y f '都不存在（4）【同数学二（6）题】（5）【同数学一（5）题】（6）【同数学二（8）题】（7）【同数学一（7）题】（8）【同数学一（8）题】二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.）(9) 设函数21,()2,x x c f x x cx ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在(,)-∞+∞内连续，则=c 1.(10) 函数3411x x f x x x +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭，求积分⎰=222)(dx x f 3ln 21. (11) 设{}1),(22≤+=y x y x D ，则⎰⎰=-Ddxdy y x )(24/π.(12) 【同数学一（9）题】(13) 设3阶矩阵A 的特征值是1, 2, 2，E 为3阶单位矩阵，则E A --14= _3___ . (14) 【同数学一（14）题】三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分）计算201sin limlnx xx x→. 解：原式＝20lnsin ln lim x x x x →-=xx xx x x sin 2sin cos lim 20-→ ……4分 302sin cos lim x x x x x -=→206sin limx xx x -=→ ……7分 61-= ……9分 (16)（本题满分10分）设(,)z z x y =是由方程22()x y z x y z ϕ+-=++所确定的函数，其中ϕ具有二阶导数且1ϕ'≠-，(I) 求 dz ； (II) 记 1(,)()z z u x y x y x y ∂∂=--∂∂，求ux∂∂. 解法1：(I) 设)(),,(22z y x z y x z y x F ++--+=ϕ则2x F x ϕ'=-，2y F y ϕ''=-，1z F ϕ''=-- ……3分由公式x z F z x F '∂=-∂'，y zF z y F '∂=-∂'，得 21z x x ϕϕ'∂-='∂+，21z y y ϕϕ'∂-='∂+ 所以[]1(2)(2)1z z dz dx dy x dx y dy x y ϕϕϕ∂∂''=+=-+-'∂∂+ ……7分 (II) 由于2(,)1u x y ϕ='+，所以 2322(21)(1)(1)(1)u z x x x ϕϕϕϕ'∂-∂+''=+=-''∂+∂+ ……10分解法2：(I) 对等式)(22z y x z y x ++=-+ϕ两端求微分,得22()xdx ydy dz dx dy dz ϕ'+-=⋅++ ……5分解出dz 得 2211x y dz dx dy ϕϕϕϕ''--=+''++ ……7分(II) 同解法1 ……10分 (17)（本题满分11分）【同数学二（18）题】 (18)（本题满分10分） ()f x 是周期为2的连续函数， (I) 证明对任意实数t ，有⎰⎰=+22)()(dx x f dx x f t t；(II) 证明⎰⎰+-=xt tdt ds s f t f x G 02])()(2[)(是周期为2的周期函数.证法1：(I) 由积分的性质知对任意的实数t ，⎰⎰⎰⎰++++=022202)()()()(tt t tdx x f dx x f dx x f dx x f ……2分令2-=x s ，则有⎰⎰⎰⎰-==+=+0022)()()2()(tttt dx x f ds s f ds s f dx x f所以⎰⎰⎰⎰⎰=-+=+222)()()()()(dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f ttt t……5分(II) 由 (I) 知对任意的t 有⎰⎰=+22)()(ds s f ds s f t t记a ds s f =⎰20)(，则ax dt t f x G x-=⎰0)(2)(因为对任意的x ，ax dt t f x a dt t f x G x G xx +-+-=-+⎰⎰+020)(2)2()(2)()2(a dt t f x x 2)(22-=⎰+ ……8分02)(22=-=⎰a dt t f所以)(x G 是周期为2的周期函数. ……10分证法2：(I) 设 ⎰+=2)()(t tdx x f t F ，由于0)()2()('=-+=t f t f t F ， ……2分所以)(t F 为常数，从而有)0()(F t F = 而⎰=20)()0(dx x f F ，所以⎰=20)()(dx x f t F ，即⎰⎰=+22)()(dx x f dx x f t t……5分(II) 由 (I) 知对任意的t 有⎰⎰=+22)()(ds s f ds s f t t记a ds s f =⎰2)(，则ax dt t f x G x -=⎰0)(2)(，⎰++-=+20)2()(2)2(x x a dt t f x G ……7分由于对任意x ，((2))2(2)2()G x f x a f x a '+=+-=-，(())2()G x f x a '=- 所以((2)())0G x G x '+-=，从而)()2(x G x G -+是常数，即有0)0()2()()2(=-=-+G G x G x G ，所以)(x G 是周期为2的周期函数. ……10分(19)（本题满分10分）设银行存款的年利率为05.0=r ，并依年复利计算，某基金会希望通过存款A 万元实现第一年提取19万元，第二年提取28万元，…，第n 年提取)910(n +万元，并能按此规律一直提取下去，问A 至少应为多少万元？解：设n A 为用于第n 年提取)910(n +万元的贴现值，则)910()1(n r A n n ++=-故∑∑∞=∞=++==11)1(910n nn n r nA A ……3分 ∑∑∑∞=∞=∞=++=+++=111)1(9200)1(9)1(110n nn n n n r nr n r ……6分设∑∞==1)(n nnxx S ，)1,1(-∈x因为21()()()1(1)n n x x S x x x x x x ∞=''===--∑，)1,1(-∈x ……9分所以42005.1111=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+S r S （万元）故39804209200=⨯+=A （万元），即至少应存入3980万元. ……10分(20) ( 本题满分12分 ) 【同数学一（21）题】 (21) ( 本题满分10分 ) 【同数学二（23）题】 (22) ( 本题满分11分 ) 【同数学一（22）题】 (23) ( 本题满分11分 ) 【同数学一（23）题】数学（四）一．选择题 ( 1 ～ 8小题，每小题4分，共32分.) （1）设0a b <<，则=+--∞→nnn n b a1)(lim （B ）（A ）a . （B ）1-a . （C ）b . （D ）1-b . （2）【同数学三（1）题】（3）设()f x 是连续的奇函数，()g x 是连续的偶函数，区域},10),{(x y x x y x D ≤≤-≤≤=则以下结论正确的是（A ）（A ）()()0.Df yg x dxdy =⎰⎰ （B ）()()0.Df xg y dxdy =⎰⎰（C ）[()()]0.Df xg y dxdy +=⎰⎰ （D ）[()()]0Df yg x dxdy +=⎰⎰（4）【同数学二（2）题】（5）【同数学一（5）题】（6）【同数学二（8）题】（7）【同数学一（7）题】（8）【同数学一（8）题】二、填空题：（9～14小题，每小题4分，共24分.） (9) 【同数学三（9）题】 (10) 已知函数()f x 连续且0()lim2x f x x→=，则曲线()y f x =上对应0x =处切线方程是xy 2= .(11)=⎰⎰121ln xdy x dx y2/1.(12) 【同数学二（10）题】(13) 设3阶矩阵A 的特征值互不相同，且行列式0A =，则A 的秩为___2___. (14) 【同数学一（14）题】三、解答题 ( 15 ～ 23小题，共94分. ) (15)（本题满分9分）【同数学三（15）题】 (16)（本题满分10分）设函数dt x t t x f ⎰-=10)()()10(<<x ，求()f x 的极值、单调区间及曲线)(x f y =的凹凸区间.解：31231)()()(310+-=-+-=⎰⎰x x dt x t t dt t x t x f xx……4分令21()02f x x '=-=，得22,22-==x x （舍去）因()20f x x ''=>（10<<x ） ……5分故22=x 为()f x 的极小值点，极小值)221(31)22(-=f ，且曲线)(x f y =在)1,0(内是凹的. ……8分由21()2f x x '=-知，()f x 在)22,0(内单调递减，在)1,22(内单调递增. ……10分(17)（本题满分11分）【同数学二（21）题】 (18)（本题满分10分）【同数学三（16）题】 (19)（本题满分10分）【同数学三（18）题】 (20)（本题满分12分）【同数学一（21）题】 (21)（本题满分10分）【同数学二（23）题】 (22)（本题满分11分）【同数学一（22）题】 (23)（本题满分11分）设某企业生产线上产品合格率为0.96，不合格产品中只有34产品可进行再加工，且再加工合格率为0.8，其余均为废品，每件合格品获利80元，每件废品亏损20元，为保证该企业每天平均利润不低于2万元，问企业每天至少应生产多少件产品？解：进行再加工后，产品的合格率984.08.075.004.096.0=⨯⨯+=p ……4分记X 为n 件产品中的合格产品数，)(n T 为n 件产品的利润，则n np EX p n B X 984.0),,(~== ……8分 )(2080)(X n X n T --=，()1002078.4ET n EX n n =-= ……10分要20000)(≥n ET ，则256≥n ，即该企业每天至少应生产256件产品. ……11分。

2008数学三答案解析

类似， z 对 y 在 P(x0 , y0 ) 点处的偏导数定义为：
∂z ∂y
P
= lim ∆y →0
f (x0 , y0 + ∆y) − ∆y
f (x0 , y0 ) = lim y→ y0
f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) y − y0
—2—
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∆x→0
f
(∆x, 0) −
∆x
f
( 0, 0)
= lim e ∆x −1 = ∆x→0 ∆x
lim
∆x→0
∆x ∆x
不存在，
f
′
y
(
0,
0
)
=
lim
∆y →0
f
(0, ∆y) −
∆y
f
( 0, 0)
= lim e(∆y)2 −1 = ∆y→0 ∆y
( ∆y )2
lim ∆x→0 ∆y
= 0 存在，
（C） E − A 可逆， E + A 可逆
（D） E − A 可逆， E + A 不可逆 [ ]
【分析】从 A3 = O 入手.
( ) 【详解】 A3 = O ⇒ A3 + E = E ⇒ ( A + E ) A2 − A + E = E ，所以 A + E 可逆，
( ) A3 = O ⇒ A3 − E = −E ⇒ ( E − A) A2 + A + E = E ，所以 E − A 可逆，
【详解】因为
A
=
⎡1 ⎢⎣2
2⎤ 1⎥⎦
为实对称矩阵，
A
的特征值为
−1,

2008年高考文科数学试题及参考答案(广东卷)

案例一：李科长的烦恼案例：李平（女），大学某工科专业毕业后，分配到一个中型工业企业，在车间任技术员。

李平工作认真负责，一年后经厂领导同意，又考上同专业的硕士研究生，三年后研究生毕业，应原厂的要求，再回原厂工作。

该厂技术科科长前一年退休，技术科暂由王副科长负责。

王副科长及其他技术员虽然资历较长，但均为本科以下学历。

此时正是企业急需开发一些新产品的时期，而李平的硕士毕业论文正是有关这方面的课题，而且该厂的领导对其以前的工作有良好的印象，于是，企业决定任命李平为技术科科长。

正式任命之前，厂长在与李平谈话中指出：要与科里的其他老同志团结，她的工作一方面是负责技术科的全面领导，另一方面的重点是负责新产品的开发工作。

该厂技术科目前现有两个副科长，均为男性：王副科长现已56岁，中专毕业，建厂初期就进厂工作，已有30余年，对该厂的各项技术工作都十分熟悉，工作经验很丰富，与现有各位厂领导关系都很好，但考虑到其学历较低，不适应当前科学技术发展的要求，没有任命为正科长。

夏副科长40岁，本科学历，十年前调入该厂，五年前曾参与当时的一系列新产品开发，获得成功，其中部分产品成为目前该厂的主导产品，但考虑到其现有技术知识结构，与当前正在开发的新产品不适应，而且他与王副科长关系不很融洽，所以，也没有任命为科长，技术科还有其他7名技术员，除一位是去年分配来的女大学生外，其余都是男性，年龄均在35——50之间。

由于这批新产品的开发是相当复杂的工作，开发成功与否，对企业有重大的影响，所以，该厂成立新产品开发领导小组，由一位副厂长任组长，李平科长任副组长，但由李平具体负责，小组成员还包括夏副科长、两名技术人员，销售科和供应科各一名副科长。

李平感到自己虽然有较多的专业知识，但技术科的两位副科长和其他技术员都是自己的老前辈，有较多的工作经验。

因此，在分配工作任务、确定技术措施、进行产品设计等方面，李平都通过各种会议征求大家的意见，充分民主，共同商定。

2008高考广东数学文科试卷含详细解答(全word版)

2008年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）(文科)全解析广东佛山南海区南海中学钱耀周一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。

1.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A ={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B ={参加北京奥运会比赛的男运动员}。

集合C ={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是A.A ⊆BB.B ⊆CC.A ∩B =CD.B ∪C =A【解析】送分题呀!答案为D.2.已知0＜a ＜2，复数z a i =+(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是B. (1,C.(1,3)D.(1,5) 【解析】12+=a z ，而20<<a ，即5112<+<a ，51<<∴z ,选B.3.已知平面向量(1,2)a =，(2,)b m =-，且a //b ，则23a b +＝（）A 、(5,10)--B 、(4,8)--C 、(3,6)--D 、(2,4)--【解析】排除法:横坐标为2(6)4+-=-,选B.4.记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（）A 、2B 、3C 、6D 、7【解析】4224123S S S d d --==⇒=,选B.5.已知函数2()(1cos 2)sin ,f x x x x R =+∈，则()f x 是（） A 、最小正周期为π的奇函数 B 、最小正周期为2π的奇函数 C 、最小正周期为π的偶函数 D 、最小正周期为2π的偶函数【解析】222211cos 4()(1cos 2)sin 2cos sin sin 224x f x x x x x x -=+===,选D. 6.经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是（）A 、10x y ++=B 、10x y +-=C 、10x y -+=D 、10x y --=【解析】易知点C 为(1,0)-，而直线与0x y +=垂直，我们设待求的直线的方程为y x b =+，将点C 的坐标代入马上就能求出参数b 的值为1b =，故待求的直线的方程为10x y -+=,选C.(或由图形快速排除得正确答案.)7.将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为【解析】解题时在图2的右边放扇墙(心中有墙),可得答案A.8. 命题“若函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数，则log 20a <”的逆否命题是（）A 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数B 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内不是减函数C 、若log 20a ≥，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数D 、若log 20a <，则函数()log (0,1)a f x x a a =>≠在其定义域内是减函数【解析】考查逆否命题,易得答案A.9、设a R ∈，若函数x y e ax =+，x R ∈，有大于零的极值点，则（）A 、1a <-B 、1a >-C 、1a e <-D 、1a e>-【解析】题意即0x e a +=有大于0的实根,数形结合令12,x y e y a ==-,则两曲线交点在第一象限,结合图像易得11a a ->⇒<-,选A.10、设,a b R ∈，若||0a b ->，则下列不等式中正确的是（）A 、0b a ->B 、330a b +<C 、220a b -< D 、0b a +>【解析】利用赋值法:令1,0a b ==排除A,B,C,选D.二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分.（一）必做题（11-13题）11.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为[)45,55，[)[)[)55,65,65,75,75,85，[)85,95由此得到频率分布直方图如图3，则这20名工人中一天生产该产品数量在[)55,75的人数是 .【解析】20(0.06510)13⨯⨯=,故答案为13.12.若变量x ，y 满足240,250,0,0,x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩则z =3x +2y 的最大值是________。

2008—数三真题、标准答案及解析

1
（22）（本题满分 11 分）设随机变量 X 与 Y 相互独立， X 的概率分布为 P X i
1 i 1, 0,1 ， Y 的概率密度为 3
1 0 y 1 fY y ，记 Z X Y 0 其它
（1）求 P Z
梅花香自苦寒来，岁月共理想，人生齐高飞！第 - 2 - 页共 14 页
（1）证明对任意实数 t ，有（2）证明 G x

t 2
t
f x dx f x dx ；
0
2

x
0
2 f t t 2 f s ds dt 是周期为 2 的周期函数． t
所以 f y (0, 0) 存在．故选 B . (4)【答案】 A 【详解】用极坐标得
02 y 4
1
y
e y 1 y2 lim lim 0 y 0 y 0 y y
2
F u, v
D
f u 2 v2 u 2 v2
dudv dv
0
v
u f (r2 ) r 1
2 2
dxdy ，其中 Duv 为图中阴影部分，则
（D）
F （ u
）
（A） vf (u )
2
（B）
v f (u 2 ) u
（C） vf (u )
3
v f (u ) u
）
（5）设 A 为阶非 0 矩阵 E 为阶单位矩阵若 A 0 ，则（
A E A 不可逆， E A 不可逆. C E A 可逆， E A 可逆.
x c
x c x c
2 2 x c

2008年考研数学试题答案与解析(数学一)

2008年考研数学试题答案与解析（数学一）一、选择题 (1)【答案】B【详解】2()[ln (2)]2f x x x '=+⋅，(0)0f '=，即0x =是()f x '的一个零点又2224()2ln (2)02xf x x x''=++>+，从而()f x '单调增加（(,)x ∈-∞+∞）所以()f x '只有一个零点. (2)【答案】A 【详解】因为2211x y f xy'=+，2221y x y f xy-'=+，所以(0,1)1x f '=，(0,1)0y f '=所以 (0,1)10f =⋅+⋅=g ra d i j i (3)【答案】D【详解】由微分方程的通解中含有xe 、co s 2x 、sin 2x 知齐次线性方程所对应的特征方程有根1,2r r i ==±，所以特征方程为(1)(2)(2)0r r i r i --+=，即32440r r r -+-=. 故以已知函数为通解的微分方程是40y y y ''''''-+-= (4)【答案】B【详解】因为()f x 在(,)-∞+∞内单调有界，且{}n x 单调. 所以{()}n f x 单调且有界. 故{()}n f x 一定存在极限(5)【答案】C【详解】23()()E A E A A E A E -++=-=，23()()E A E A A E A E +-+=+= 故,E A E A -+均可逆． (6)【答案】B【详解】图示的二次曲面为双叶双曲面，其方程为2222221x y z abc'''--=，即二次型的标准型为222222x y z f abc'''=--，而标准型的系数即为A 的特征值.(7)【答案】A【详解】()(){}{}()()()()()2m ax ,Z Z Z Z F z P Z z P X Y z P X z P Y z F z F z F z =≤=≤=≤≤==(8)【答案】D【详解】用排除法. 设Y aX b =+，由1X Y ρ=，知道,X Y 正相关，得0a >，排除()A 、()C 由~(0,1),~(1,4)X N Y N ，得0,1,E X E Y ==所以 ()()E Y E a X b a E X b =+=+01,a b ⨯+= 所以1b =. 排除()B . 故选择()D 二、填空题 (9) 【答案】1x 【详解】由dy y dxx-=，两端积分得1ln ln y x C -=+，所以1x C y=+，又(1)1y =，所以1y x=.(10) 【答案】1y x =+【详解】设(,)sin ()ln ()F x y xy y x x =+--，则1c o s ()11c o s ()x y y x y F d y y xd xF x x y y x--'-=-=-'+-，将(0)1y =代入得1x d y d x==，所以切线方程为10y x -=-，即1y x =+(11)【答案】(1,5]【详解】幂级数0(2)nn n a x ∞=+∑的收敛区间以2x =-为中心，因为该级数在0x =处收敛，在4x =-处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(4,0]-，即222x -<+≤时级数收敛，亦即0nn n a t ∞=∑的收敛半径为2，收敛域为(2,2]-. 则0(3)nn n a x ∞=-∑的收敛半径为2，由232x -<-≤得15x <≤，即幂级数0(3)nn n a x ∞=-∑的收敛域为(1,5](12)【答案】4π【详解】加221:0(4)z x y ∑=+≤的下侧，记∑与1∑所围空间区域为Ω，则2xyd yd z xd zd x x d xd y ∑++⎰⎰1122x y d y d z x d z d x x d x d y x y d y d z x d z d x x d x d y ∑+∑∑=++-++⎰⎰⎰⎰2222222441()0()2x y x y y d x d y d z x d x d y x y d x d y Ω+≤+≤=--=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰223142d r d r πθπ==⎰⎰(13)【答案】1【详解】1212121202(,)(,)(0,2)(,)01A A A αααααααα⎛⎫==+=⎪⎝⎭记12(,)P αα=，0201B ⎛⎫=⎪⎝⎭，则A P P B = 因为12,αα线性无关，所以P 可逆. 从而1B P A P -=，即A 与B 相似. 由2||(1)001E B λλλλλ--==-=-，得0λ=及1λ=为B 的特征值.又相似矩阵有相同的特征值，故A 的非零特征值为1. (14)【答案】12e【详解】由22()D X E X E X =-，得22()E XD XE X =+，又因为X 服从参数为1的泊松分布，所以1D X E X ==，所以2112E X =+=，所以 {}21111222P X e e--===！三、解答题 (15) 【详解】方法一：43[sin sin (sin )]sin sin sin (sin )limlimx x x x xx x xx→→--=22221s in c o s c o s (s in )c o s 1c o s (s in )12limlimlim 3336x x x x x x xx x xx→→→--====方法二：331sin ()6x x x o x =-+ 331sin (sin )sin sin (sin )6x x x o x =-+444440[s in s in (s in )]s in s in (s in )1limlim 66x x x x xx o x xx x →→⎡⎤-∴ =+=⎢⎥⎣⎦(16) 【详解】方法一：（直接取x 为参数将对坐标的曲线积分化成定积分计算）222222s in 22(1)[s in 22(1)s in c o s ]s in 21c o s 2c o s 2s in 2s in 222222Lx d x x y d yx x x x d x x x d xxx xx x d x xx d x ππππππππ+-=+-⋅==-+=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰方法二：（添加x 轴上的直线段用格林公式化成二重积分计算）取1L 为x 轴上从点(,0)π到点(0,0)的一段，D 是由L 与1L 围成的区域11222sin 222s in 22(1)s in 22(1)s in 22(1)14s in 24c o s 22s in21(1c o s 2)s in 2s in 22222LL L L xDx d x x y d yx d x x y d y x d x x y d yx y d x d y x d xd x x y d y xx x d xxx x x d x xx d x πππππππππ++-=+--+-=--=--=-=--=-+-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰方法三：（将其拆成2sin 222LLx d x y d y x y d y -+⎰⎰，前者与路径无关，选择沿x 轴上的直线段积分，后者化成定积分计算）2212sin 22(1)sin 222LL Lxd x x yd y xd x yd y x yd y I I +-=-+=+⎰⎰⎰对于1I ，因为0P Q yx∂∂==∂∂，故曲线积分与路径无关，取(0,0)到(,0)π的直线段积分10s in 20I x d x π==⎰2222202222122s in c o s s in 2c o s 221111c o s 22c o s 2s in 222221111s in 2c o s 22222LI x y d y x x x d x x x d x x d xx xx x d x x d xx x x ππππππππππ====-=-+=-+⎡⎤=-++=-⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰所以，原式212π=-(17) 【详解】点(,,)x y z 到x O y 面的距离为||z ，故求C 上距离x O y 面的最远点和最近点的坐标，等价于求函数2H z =在条件22220x y z +-=与35x y z ++=下的最大值点和最小值点.令 2222(,,,,)(2)(35)L x y zz x y z x yzλμλμ=++-+++-所以 22220(1)20(2)2430(3)20(4)35(5)x y z L x L y L z z x y z x y z λμλμλμ'=+=⎧⎪'=+=⎪⎪'=-+=⎨⎪+-=⎪++=⎪⎩ 由(1)(2)得x y =，代入(4)(5)有 22235x z x z ⎧-=⎨+=⎩，解得555x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩ 或 111x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩(18)【详解】(I) 对任意的x ，由于f 是连续函数，所以00()()()()limlimx xxx x f t d t f t d tF x x F x xx+→→-+-=⎰⎰()()limlimlim ()x xxx x x f t d tf x f xxξξ+→→→===⎰，其中ξ介于x 与x x + 之间由于0lim ()()x f f x ξ→= ，可知函数()F x 在x 处可导，且()()F x f x '=.(II)方法一：要证明()G x 以2为周期，即要证明对任意的x ，都有(2)()G x G x +=，()(2)()H x G x G x =+-，则()()()()()()()()22222()2(2)22(2)2()0x xH x ft d t x ft d tft d t x ft d tf x ft d t f x ft d t+'''=-+--=+--+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰又因为 ()()()22(0)(2)(0)2200H G G f t d t f t d t =-=--=⎰⎰所以 ()0H x =，即(2)()G x G x +=方法二：由于f 是以2为周期的连续函数，所以对任意的x ，有()()()()222(2)()2(2)2x xG x G x ft d tx ft d t ft d tx ft d t ++-=-+-+⎰⎰⎰⎰()()()()222202x xft d t ft d t ft d t ft d t +⎡⎤=+--⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰ ()()()()000222[2]0xxxft d t fu d u f t ft d t ⎡⎤=-++=+-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰即()G x 是以2为周期的周期函数.(19)【详解】由于 220022(1)23a x d x πππ=-=-⎰21224(1)c o s (1)1,2,n n a x n x d x n nππ+=-=- =⎰所以 210211(1)()c o s 14c o s 023n n n n a f x a n x n x x nππ+∞∞==-=+=-+ ≤≤∑∑令0x =，有 2121(1)(0)143n n f nπ+∞=-=-+ ∑又(0)1f =，所以1221(1)12n n nπ+∞=- =∑(20)【详解】(I) ()()()()()()2TTTTr A r r r r r ααββααββαβ=+≤+≤+≤(II) 由于,αβ线性相关，不妨设k αβ=. 于是()2()()(1)()12TTTr A r r k r ααβββββ=+=+≤≤<(21)【详解】(I)证法一：2222122212132101221221122aa a a a aa aa A r a r aaaa=-=121301240134(1)2(1)3231(1)0nn n a a a n a a n ar a r a n a nnn an--+-=⋅⋅⋅=++证法二：记||n D A =，下面用数学归纳法证明(1)nn D n a =+．当1n =时，12D a =，结论成立．当2n =时，2222132a D a aa==，结论成立．假设结论对小于n 的情况成立．将n D 按第1行展开得2212102121212n n aa aa D a D aa-=-21221222(1)(1)n n nn n a D a D a n aa n an a ---- =-=--=+故 ||(1)nA n a =+证法三：记||n D A =，将其按第一列展开得 2122n n n D a D a D --=-，所以 211212()n n n n n n D a D a D a D a D a D ------=-=-222321()()n nn n a D a D aD a D a ---=-==-=即 12122()2n n n n n n n n D a a D a a a a D a a D ----=+=++=++2121(2)(1)nn nn n aaD n aaD --==-+=-+1(1)2(1)nn nn a aa n a -=-+⋅=+(II)因为方程组有唯一解，所以由A x B =知0A ≠，又(1)nA n a =+，故0a ≠．由克莱姆法则，将n D 的第1列换成b ，得行列式为2221122(1)(1)112102121221122n n n nn n aa a a aa aa D n aaaaa--⨯-⨯-===所以 11(1)n nD n x D n a-==+(III)方程组有无穷多解，由0A =，有0a =，则方程组为12101101001000n nx x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为1n -，所以方程组有无穷多解，其通解为()()100100,TTk k +为任意常数．(22)【详解】(I) 1201(0,)11112(0)(0)()122(0)22P X Y P Z X P X Y X P Y d y P X =≤≤==+≤===≤===⎰(II) (){}{}Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤{,1}{,0}{,1}P X Y z X P X Y z X P X Y z X =+≤=-++≤=++≤= {1,1}{,0}{1,1}P Y z X P Y z X P Y z X =≤+=-+≤=+≤-= {1}{1}{}{0}{1}{1}P Y z P X P Y z P X P Y z P X =≤+=-+≤=+≤-=[]1{1}{}{1}3P Y z P Y z P Y z =≤++≤+≤-[]1(1)()(1)3Y Y Y F z F z F z =+++-所以 []1()(1)()(1)3Z Y Y Y f z f z f z f z =+++-1,1230,z ⎧-≤<⎪=⎨⎪⎩其它 (23) 【详解】(I) 因为2(,)X N μσ ，所以2(,)X N nσμ ，从而2,E X D X nσμ= =．因为 221()()E T E XS n=-221()E X E S n=-221()()D X E X E S n=+-222211nnσμσμ=+-=所以，T 是2μ的无偏估计(II)方法一：22()()D T E T E T =-，()0E T =，22()1E S σ==所以2()D T E T=442222()S E X XSnn=-⋅+4224221()()()()E X E X E S E S nn=-+因为(0,1)X N ，所以1(0,)X N n，有10,E X D X n==，()221E XD XE Xn=+=所以22422221()()()()()E X D X E X D D X E X⎛⎡⎤=+=++ ⎣⎦⎝(2221()DD X n⎡⎤=+⎣⎦2221132n n n ⎛⎫=⋅+= ⎪⎝⎭()2422222()1E SE S D S E S D S ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦因为2222(1)(1)(1)n SW n Sn χσ-==-- ，所以2(1)D W n =-，又因为22(1)D W n D S =-，所以22(1)D S n =-,所以4211(1)1n E S n n +=+=--所以 2223211111n E Tnnnnn +=-⋅⋅+⋅-2(1)n n =-.方法二：当0,1μσ==时221()()D T D XS n=-(注意X 和2S 独立)(222222221111(1)(1)D XD S DD n S nnnn ⎡⎤=+=+⋅-⎣⎦- 222111222(1)(1)(1)n nnn n n =⋅+⋅⋅-=--。

中山大学数学分析考研试题(1999-2010

0,
y
0, z
0, a
0, b
0, c
0) 所围
几何体之体积，其中 a, b, c 为正常数.
第 1页
中山大学历年考研试题-数学分析（1999-2010）
六、（16
分）求幂级数
n1
n2 1 n!2n x
n
的收敛范围，并求其和函数.
七、（16 分）设 u f (r) ，其中 r
x2
y2
z2
（4）求 1 x a exdx ， a 1 ； 1
（5）设 z uv sin t ， u et ， v cos t ，求 dz ； dt
（6）设 u (x ( y)) ，其中、二阶可微， x 、 y 为自变量，求 d 2u ；
（7）求级数 cosn
n1
x 在收敛域上的和函数；
中山大学 2009 年硕士研究生入学考试试题
考试科目：数学分析科目代码：650
一、（每小题 6 分，共 48 分）
（1）求 lim(x ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 ln(1 1 )) ；
x
x
x cos t 2
dy
（2）
y
t2 sin u du ，求 dx ； 0u
（3）求
1 ln xdx ； ln2 x
四、（16 分）计算 x2dydz y2dzdx z2dxdy ，其中为曲面 x2 y2 z2 介于平面 z 0
和 z h(h 0) 之间的部分取下侧.
五、（16 分）设 f (x) 在[1, ) 连续，f (x) 0 ，f (1)=2 ，f (1) 3 . 证明 f (x)=0 在 (1, )
点 P(x, y)(x 0) 处的切线斜率与直线 OP 的斜率之差等于 ax （ a 0 为常数）. （1）求曲线 L 的方程；（2）如果 L 与直线 y ax 所围成的平面图形的面积为 8，确定 a 的值.

2008年考研数学一真题与答案解析

2008年考研数学一真题一、选择题（18小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)设函数,则的零点个数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】B。

【解析】且，则是唯一的零点综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—一元函数积分学—积分上限的函数及其导数(2)函数在点处的梯度等于(A)(B)(C)(D)【答案】A。

【解析】所以综上所述，本题正确答案是A。

【考点】高等数学—多元函数微分学—方向导数和梯度(3)在下列微分方程中，以为任意常数为通解的是(A)(B)(C)(D)【答案】D。

【解析】由通解表达式可知其特征根为可见其对应特征方程为故对应微分方程为综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—常微分方程—高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程(4)设函数在内单调有界，为数列，下列命题正确的是(A)若收敛，则收敛(B)若单调，则收敛(C)若收敛，则收敛(D)若单调，则收敛【答案】B。

【解析】【方法一】由于单调，单调有界，则数列单调有界，根据单调有界准则知数列收敛。

【方法二】排除法：若取,,则显然单调，收敛，但，为偶数，显然不收敛，排除A。

为奇数若取,显然收敛且单调，但不收敛，排除C和D。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则(5)设为阶非零矩阵，为阶单位矩阵，若,则(A)不可逆，不可逆(B)不可逆，可逆(C)可逆，可逆(D)可逆，不可逆【答案】C。

【解析】因为所以可知可逆，可逆综上所述，本题正确答案是C。

【考点】线性代数—矩阵—矩阵的概念和性质，矩阵可逆的充分必要条件(6)设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如右图所示，则的正特征值的个数为(A)(B)1(C)2 (D)3【答案】B。

【解析】所给图形为双叶双曲线，标准方程为二次型正交变换化为标准形时，其平方项的系数就是的特征值，可知的正特征值的个数为1综上所述，本题正确答案是B。

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一
()0ln lim
1ln 1
lim
lim
ln 0
1lim lim 1x x x x
x x
x x
x
x
x
x x x e e
e
e
+
→→+∞
→+∞+
+
--→→=====
(
)(
)22222222sin 2cos 2cos 4cos 2cos 4sin 2cos 4sin sin 2cos 4sin cos 12t tdt t d t t t t tdt
t t td t t t t t tdt t t t t t c x c
==-=-+=-+=-+-=-+++=-⎰⎰⎰⎰⎰ ()(
)12
2100322ln 1e dx dx x x x ====
+++⎰⎰()()
()
2
2
1
220
01141111ln ln 2
1x
x
x x
x
x
x x x xe xe dx dx xd e e e dx de dx x e e e x x x -+∞
+∞
+∞
-+∞
+∞+∞+∞⎛⎫
==- ⎪+⎝⎭
+++⎛⎫====-= ⎪+++⎝⎭
⎰
⎰⎰⎰
⎰⎰
()5由分析则有
1121x x x f yf z f yf z z ϕϕ+'=++⇒=
'-，()2211y y y xf z xf z z ϕϕϕ'
+'=++⇒='
-
从而1211f yf xf dz dx dy ϕϕϕ'
++=
+''
--
()6由分析则有
4
1
00
256
226415
S dx ====
⎰⎰
⎰ ()7根据对称性则有
令2222D x y I dxdy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰，则2222D y x I dxdy a b ⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭⎰⎰从而
()22222222111111224D
I x y dxdy I a b a b a b ππ⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=++=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰
()8()()()()
2!
1
1002!1212n nn n u n n n n n n
≤
=
<>+-
从而级数
1
n
n u
∞
=∑收敛
二；解：由分析则有当0x <时，
()()11x f x x e -'=-+
当01x <<时，
()()11x f x x e -'=+
当1x >时
()()11x f x x e -'=-
在0x =和1x =时，导数不存在由于()()()2
1,00,11f e f f --===
从而()f x 的极大值为2
e -和1，极小值为0
三：证明：由分析则有
()()()()111
1
1
22110
2
2
14
M f x dx f x dx f x dx M xdx M x dx ≤
+
≤+-=
⎰
⎰
⎰
⎰⎰ 四：解：()1令cos ,sin x y ραρα==则有
()()
()()()22,0,00
lim
,0,0lim cos sin cos sin 0x y f x y f ρραααα→→-=-+=
从而得到在原点连续
()2经过公式代替可以得到0点的偏导存在，且
()()0,0,1,0,0,1x y f f ==-
()3由于极限()()
()
()
22
,0,02
2lim
x y xy x
y
→+不存在，从而不可微
五：解：设()()2
2
2
,,,1F x y z x y z xy z λλ=+++--，从而可得到
20202010
x y y x z xy z λλλ+=⎧⎪+=⎪
⎨
-=⎪⎪--=⎩ 由分析，当0λ=时，显然不满足上述方程组当0xy =时，1,2,0
z x y λ=-=-==
当0xy ≠此时则有2λ=或2λ=-，经检验，都不符合，从而经过分析可知到原点最小的坐标是()0,0,1- 六：解：设2222
,x y
P Q x y x y =-
=++，显然可知
()
22
222P Q x y x y x y ∂∂-==∂∂+，由此，可以得到 4L
F d s π=⎰
七：解：设()()
2
21
1n
n x S x x ∞
==
+∑
，从而得到
()00S =，当0x ≠时，()2
1
1S x x
=
+ 由于()S x 不连续，从而级数
()
2
21
1n
n x x ∞
=+∑
不一致收敛
八：解：由分析，可设123a a a ===
从而可以得到
1
2sin
2n n a π
+=，而显然可得到1
2n n a π
+≤
，而级数
1
1
2
n n π
∞
+=∑收敛，
从而原级数收敛
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