中山大学2008数学分析解答

一

()0ln lim

1ln 1

lim

lim

ln 0

1lim lim 1x x x x

x x

x x

x

x

x

x x x e e

e

e

+

→→+∞

→+∞+

+

--→→=====

(

)(

)22222222sin 2cos 2cos 4cos 2cos 4sin 2cos 4sin sin 2cos 4sin cos 12t tdt t d t t t t tdt

t t td t t t t t tdt t t t t t c x c

==-=-+=-+=-+-=-+++=-⎰⎰⎰⎰⎰ ()(

)12

2100322ln 1e dx dx x x x ====

+++⎰⎰()()

()

2

2

1

220

01141111ln ln 2

1x

x

x x

x

x

x x x xe xe dx dx xd e e e dx de dx x e e e x x x -+∞

+∞

+∞

-+∞

+∞+∞+∞⎛⎫

==- ⎪+⎝⎭

+++⎛⎫====-= ⎪+++⎝⎭

⎰

⎰⎰⎰

⎰⎰

()5由分析则有

1121x x x f yf z f yf z z ϕϕ+'=++⇒=

'-，()2211y y y xf z xf z z ϕϕϕ'

+'=++⇒='

-

从而1211f yf xf dz dx dy ϕϕϕ'

++=

+''

--

()6由分析则有

4

1

00

256

226415

S dx ====

⎰⎰

⎰ ()7根据对称性则有

令2222D x y I dxdy a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰，则2222D y x I dxdy a b ⎛⎫

=+ ⎪⎝

⎭⎰⎰从而

()22222222111111224D

I x y dxdy I a b a b a b ππ⎛⎫

⎛⎫⎛⎫=++=+⇒=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰

()8()()()()

2!

1

1002!1212n nn n u n n n n n n

≤

=

<>+-

从而级数

1

n

n u

∞

=∑收敛

二；解：由分析则有 当0x <时，

()()11x f x x e -'=-+

当01x <<时，

()()11x f x x e -'=+

当1x >时

()()11x f x x e -'=-

在0x =和1x =时，导数不存在 由于()()()2

1,00,11f e f f --===

从而()f x 的极大值为2

e -和1，极小值为0

三：证明：由分析则有

()()()()111

1

1

22110

2

2

14

M f x dx f x dx f x dx M xdx M x dx ≤

+

≤+-=

⎰

⎰

⎰

⎰⎰ 四：解：()1令cos ,sin x y ραρα==则有

()()

()()()22,0,00

lim

,0,0lim cos sin cos sin 0x y f x y f ρραααα→→-=-+=

从而得到在原点连续

()2经过公式代替可以得到0点的偏导存在，且

()()0,0,1,0,0,1x y f f ==-

()3由于极限()()

()

()

22

,0,02

2lim

x y xy x

y

→+不存在，从而不可微

五：解：设()()2

2

2

,,,1F x y z x y z xy z λλ=+++--，从而可得到

20202010

x y y x z xy z λλλ+=⎧⎪+=⎪

⎨

-=⎪⎪--=⎩ 由分析，当0λ=时，显然不满足上述方程组 当0xy =时，1,2,0

z x y λ=-=-==

当0xy ≠此时则有2λ=或2λ=-，经检验，都不符合，从而经过分析 可知到原点最小的坐标是()0,0,1- 六：解：设2222

,x y

P Q x y x y =-

=++，显然可知

()

22

222P Q x y x y x y ∂∂-==∂∂+，由此，可以得到 4L

F d s π=⎰

七：解：设()()

2

21

1n

n x S x x ∞

==

+∑

，从而得到

()00S =，当0x ≠时，()2

1

1S x x

=

+ 由于()S x 不连续，从而级数

()

2

21

1n

n x x ∞

=+∑

不一致收敛

八：解：由分析，可设123a a a ===

从而可以得到

1

2sin

2n n a π

+=，而显然可得到1

2n n a π

+≤

，而级数

1

1

2

n n π

∞

+=∑收敛，

从而原级数收敛

（注：素材和资料部分来自网络，供参考。请预览后才下载，期待你的好评与关注！）