材料力学9-压杆稳定性标准

求临界压力欧拉公式的步骤: 1) 设处于弯曲状态，求得弯矩方程
(含压力和挠度，可用截面法求)； 2) 列挠度微分方程
(二阶常系数线性<非>奇次常微分方程)； 3) 求挠曲线通解
(含未知系数，求解方法参考数学书)； 3) 由边界条件得到存在非零解的条件
(此即为失稳临界条件)； 4) 由临界条件得到临界压力。
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
关于稳定性(Stability)
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
压杆稳定
Buckling of Columns
w = c cos kx + d sin kx + M 0 / F
x = 0,w = w' = 0 x = L,w = w' = 0
c = − M0 ,d = 0 F
cos kL = 1, sin kL = 0
w = M 0 (1 − cos kx) F
kL = 2nπ
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
临界压力计算
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
—— 理想铰支中心压杆
问题：
思路：过程倒序
F
Fcr
Fcr
F
Fcr
Q
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
1
理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
直线公式: σ cr =a−bλ
σ cr 临界应力总图
σs σ cr =σ s
σ cr =a−bλ
σp
σ cr
=
π 2E λ2
小柔度 中柔度
大柔度
λ
s
=
σ
s
− b
a
λp =
π 2E σP
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
λ=μL i
临界应力经验公式
Beijing Jiaotong University
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
l l 0.7l l 0.5l
l 2l l 0.5l L
w w
其他支座条件
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
支承情况 失 稳 时 挠 曲 线 形 状
Ｆx Fw-M0
kL=2π
临界力为：
M0 Ｆ
Fcr
=
4π 2EI L2
=
π 2EI (L / 2)2
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
(μ = 0.5)
其他支座条件
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
(*)式成立条件:
(1) A=0 ——平凡解, 压杆的直线稳定平衡状态 ★(2) sin kl = 0 ——A≠0, 压杆的曲线稳定平衡状态
—— 失稳条件
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
理想铰支中心压杆 失稳条件：sin kl = 0 (k 2 = F / EI )
Beijing Jiaotong University
(惯性半径) 长细比(柔度)
欧拉公式的应用条件：
σ cr
=
π 2E λ2
≤σp
or λ ≥
π 2E σp
= λp
λ ≥λp 大柔度杆(或长细杆), 欧拉公式适用 λ <λp 中小柔度杆，欧拉公式不适用
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
中小柔度杆的临界应力经验公式 Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics
M0 Ｆ
M0 Ｆ
边界条件为: x = 0, w = w' = 0 ; x = L,w = w' = 0
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
其他支座条件 — 例1
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
欧拉公式应用范围
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
临界压力： 临界应力：
Fcr
=
π 2EI (μl)2
σ cr
=
Fcr A
=
π 2 EI (μL)2 A
=
π 2E (μL / i)2
= π2E λ2
i= I A
λ = μL i
理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
F
通解： w = Asin kx + B cos kx (k 2 = F / EI )
边界条件：① 当x = 0时, w = 0
⇒ B=0 ⇒ w = Asin kx l ② 当x = l 时, v = 0 ⇒ A sin kl = 0 *
压杆稳定(buckling)
一些感性认识
临界压力的影响因素： （1）刚度 （2）长短; （3）粗细 （4）截面形状
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
（5）约束
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
（1）屈服或断裂 ——强度
主要参数：应力/畸变能 强度准则：σ < [σ]
（2）变形过大 ——刚度
主要参数：位移(转角) 刚度准则：θ < [θ]
（3）屈？曲 ——稳定性
主要参数：？？？ 稳定性准则？？？
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
压杆失稳 (buckling)
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
F
kl = F l = nπ EI
l
F = n2π 2 EI l2
(取：n = 1)
Fcr
=
Fmin
=
π 2EI l2
理想铰支中心压杆的 欧拉公式
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
3
其他支座条件 — 思考题
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
求如下支座压杆的临界压力: 1) 一端固支,一端自由; 2) 一端固支,一端铰支;
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
Institute of Engineering Mechanics
一些感性认识
临界压力 (critical load) —Fcr
F
F(较小) F(较小)
F(较大)
F(较大)
QQ
Q
轴压 压弯
恢复
直线平衡 曲线平衡 直线平衡
压弯 曲线平衡
失稳 曲线平衡
压杆稳定
压杆失稳
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
Institute of Engineering Mechanics
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
2
理想铰支中心压杆 — 例1 Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics
F
杆两端铰支, 由A-36钢管制成(E=200GPa, σp=250MPa), 长7.2m, 求[F]。
两端铰支
一端固定 另端铰支
两端固定
Fcr
Fcr
Fcr
B
B
B
D
C
C
A
A
A
C— 挠曲 C、D— 挠
线拐点 曲线拐点
一端固定 两端固定但可沿 另端自由 横向相对移动
Fcr
Fcr
C— 挠曲线拐点
临界力Fcr 欧拉公式
Fcr
=
π 2EI l2
Fcr
≈
π 2EI (0.7l)2
Fcr
≈
π 2EI (0.5l)2
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
其他支座条件
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
细长压杆临界压力的欧拉公式统一形式:
Fcr
=
π 2EI ( μl ) 2
μ —压杆长度系数(与支座形式有关) μl—压杆的相当长度
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
稳定Байду номын сангаас衡
不稳定平衡
随遇平衡（中性平衡）
两个稳定平衡状态
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
结构失效模式
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
3. 欧拉公式的适用范围: 线弹性(σ < σp)
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
理想铰支中心压杆
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
进一步讨论：(1) 失稳后的挠曲方程(F=Fcr)
解： 利用欧拉公式求失稳的临界压力 : 75mm 70mm
Fcr
=
π 2 EI l2
=
228.2kN
I
=
π 4
(r14
− r24 )
F
验证临界压力时的轴向正应力是否超过σp :
σ cr
=
Fcr A
= 100MPa
A = π (r12 − r22 )
σ cr < σ p = 250MPa
∴[F ] = 228.2kN
Fcr
≈
π 2EI (2l ) 2
Fcr
=
π 2EI l2
长度系数μ μ北京= 交1通大学μ工≈程0力.7学研究μ所= 0汪.5越胜 μW=ang2Yue-Sheng μ = 1
其他支座条件 — 例1
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
Institute of Engineering Mechanics
F w
w
wmax
F
M w
F
F
M = Fw
d2w = − M dx2 EI
= − Fw EI
（小挠度假设）
d2w dx2
+
k
2
w
=
0
⎛ ⎜⎝
k
2
=
F EI
⎞ ⎟⎠
w = Asin kx + B cos kx
（A, B: 积分常数）
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
理想铰支中心压杆
进一步讨论：(2) n =2……?
n = 1 F = Fcr
l 2
l δ
n
=
F
2
=
4 Fcr
l 2
l 2
F
=
n2π 2 EI l2
w = δ sin nπ x l
稳定 F = Fcr
F = 4 Fcr 不稳定, 不存在
Beijing Jiaotong University
Institute of Engineering Mechanics
抛物线公式: σcr=a-bλ2
临界应力总图
北京交通大学工程力学研究所 汪越胜 Wang Yue-Sheng
临界应力经验公式 — 例1 Beijing Jiaotong University Institute of Engineering Mechanics
试由挠曲线近似微分方程，导出下述细长压杆的临界力公式。 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为：
Ｆ
Ｆ
M0
EIw" = −M (x) = −Fw + M0 令 :k2 = F
EI
x Ｆx Fw-M0
w"+ k 2 w = k 2 M 0 F
w = c cos kx + d sin kx + M 0 / F
wl 2
l δ
v = Asin kx v = δ sin π x
l 半个正弦曲线！δ = ?
F Fcr
大挠度理论:
δ = 2 2l π
F Fcr
⎡ −1⎢1−
⎢⎣
1⎛ 2⎜⎝
F Fcr
−1⎞⎟⎤⎥ ⎠⎥⎦
δ (见Timoshenko, Theory of elastic stability, 1936, p.70~74)
Institute of Engineering Mechanics
欧拉公式：
Fcr
=
π
2 EI l2
F
在确定的约束条件下(不限于铰支)，临界压力Fcr ：
l
1. 与杆的刚度(E)、长度(l)和截面尺寸及形状(I) 有关。材料的E越大，截面越粗，杆件越短， 临界压力Fcr越大。
2. 是压杆的自身的一种力学性质指标，反映承载 能力的强弱，临界压力Fcr越大，稳定性越好， 承载能力越强。