高中数学抛物线的常见结论

抛物线的常见结论

一、知识点总结 1. 抛物线的弦长公式

2122122124)(11x x x x k x x k l -+•+=-+=，

其中k 是弦所在直线的斜率，21,x x 是交点的横坐标，本表达式不包含斜率不存在的情况。

2122122124)(11y y y y m y y m l -+•+=-+=，其中弦长所在直线

方程为b my x +=，21,y y 是交点的纵坐标，本表达式包含斜率不存在的情况。 2. 抛物线的焦点弦

对于抛物线，022

>=p px y ，，倾斜角为α的直线过抛物线的焦点，与抛物线交于A ，B 两点，过A,B 做抛物线准线的垂线，垂足分别为C,D ，那么有：

①2212

21,4

p y y p x x -== A

B

F C

D

O

α

由⎪⎩⎪⎨⎧+==222p my x px

y 得0222=--p pmy y （＊）

，因此⎪⎩

⎪⎨⎧==-=44)(2222121221p p y y x x p y y ②焦点弦长

p x x AB ++=21，焦点弦长α

2

sin 2P AB =

α

αsin 4)(sin 212212

1y y y y y y AB -+=

-=，结合（＊）式与αtan 1

=m 得： α

ααααααααα

sin sin sin sin cos 2sin 1tan 12sin 4tan 4sin 442

22222

222

22+=

+=+=

+=

p p p p p m p AB

α

αα22sin 2sin sin 1

2p p ==

③

P

BF AF 211=+ 简单证明如下:p p p y y p y y P

BF AF BF AF BF AF 222sin sin sin 211221212====+=+ααα ④焦点三角形面积α

sin 22

P S =

简单证明如下：以

AB 为底，以O 到AB 的距离为高，该三角形面积课表示为：

α

αααsin 2sin 2sin 221sin 2122p p p OF AB S AOB

=⨯⨯== ⑤焦点弦相关的几何关系： a. 以AF/BF 为直径的圆与y 轴相切

b. 以AB 为直径的圆与准线相切，切点与焦点连线垂直于AB.

c. 以CD 为直径的圆与AB 相切

d.

A,B 在准线上的投影对F 的张角为90°，︒=∠90CFD

e. 以A,B 为切点分别做两条切线，两切线的交点在准线上；在准线上取一点做抛物线的切线，两切点所在直线一定经过抛物线的焦点。

3. 经过x 轴上一点()o a ,的直线与抛物线相交与两点()()2211,:,,:y x B y x A ，不论其斜率为何值， 都有pa y y a x x 2,212

21-==成立。

特别地，当p a 2=时，022

2121=-=+pa a y y x x ，此时OB OA OB OA ⊥=•,0。反之结论亦能成立，当,0,=•⊥OB OA OB OA p a 2=,AB 所在直线经过定点()0,2p 。 二、相关题型总结

1、与焦点弦相关的求值问题

例1：过抛物线C ：2

4x y =的焦点F 的直线交C 于A ，B 两点，若5

||4

AF =，则||BF =（ ） A ．2

B ．

52

C ．4

D ．5

例2：已知F 为抛物线21

2

y x =

的焦点，过F 作两条夹角为45°的直线1l 2l ，1l 交抛物线于A ，B 两点，2l 交抛物线于C ，D 两点，则

CD

AB 11+的最大值为（ ）

A ．4

B ．

2

C ．1 D.2

例3:已知直线1)y x =-交抛物线24y x =于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），点F 为抛物线的

焦点，那么

BF

AF =（ ）

A ．5

B ．4

C ．3

D ．2

例4：已知抛物线2

20y px p =>，的焦点为F ，过点F 作互相垂直的两直线AB ，CD 与抛物分别相交于A ，B 以及C ，D ，若111=+BF

AF ，则四边形ACBD 的面积的最小值为（ ）

例5：过抛物线2

2,0y px p =>的焦点做倾斜角为60〫的直线，与抛物线交于A,B 两点(A 在

上方)，则

||

||

AF BF = 例6：已知F 是抛物线2

4y x =的焦点，过焦点做倾斜角为斜率为1的直线，与抛物线交于A,

B 两点(A 在上方)，则

||

||

AF BF = 例7：过抛物线抛物线2

4y x =的焦点，过焦点做直线与抛物线交于A,B 两点，若||3AF =,则

三角形 AOB 的面积为

2、抛物线中与结论3相关的求值问题

例1：设抛物线C ：2

20y px p =>，，过点M (,0)p 的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，设直线OA ，OB 的斜率分别为12,k k ，则12=k k （ ） A ．-1

B ．2

C ．﹣2

D ．不确定

例2：已知直线与抛物线2

4y x =交于两点A ，B 且两交点纵坐标之积为32-，则直线恒过定点（ ） A ．（1，0）

B ．（2，0）

C ．（4，0）

D ．（8，0）

例3:如图，已知直线与抛物线2

2x py =交于A ，B 两点，且OA ⊥OB ，OD ⊥AB 交AB 于点D ，点D 的坐标为(2,4)，则p 的值为（ ）