典型信号的傅里叶级数
北京邮电大学信号与系统-3.03 典型周期信号的傅里叶级数
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0
3
t
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二. 频谱随参数的变化
设 f t 的脉冲高度E不变，脉冲宽度 不变，当周期 T1 取不同的值时，具体看频谱如何变化。
1 1 s , T1 s 20 4
1 1 s , T1 s 20 2 1 s , T1 1s 20
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第 8 页
1 1 1. 20 s, T1 4 s
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第
周期矩形脉冲信号的功率
1 T 2 2 P f ( t )dt F n 1 T 0 n 1 1 以 s, T1 s为例，取前5 次谐波 20 4 2 2 2 2 2 P5 n F 0 F 1 F 2 1 F 3 1 F 4 1
2 1 8 T1
F ( n 1 )
第 9 页
E E n F n 1 Sa n 1 Sa T1 2 5 5
E
5
2
0 1
谱线在 1的整数倍上， n 1 0， 8， 16， n 1 2 第一个零点： ，即 n 1 40 2 40 40 第一个零点内谱线数 n 5，即五次谐波为 0。 1 8
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4.总结
幅度 2 T1 谱线间隔 1 T1
第 12 页
E 当T1 ，时， 1 0， 为无限小， T1 f t 由周期信号 非周期信号。
矩形脉冲的频谱说明了周期信号频谱的特点： 离散性，谐波性，收敛性
1 对比波形： T1 s 4 1 T2 s 2 T3 1s
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第
4.抽样信号(Sampling
傅里叶级数公式
傅里叶级数公式傅里叶级数是一种数学工具，用于将一个周期性函数表示为无限多个简单的正弦和余弦函数的和。
它由法国数学家傅里叶在19世纪中叶发现，并在物理学、工程学和其他领域中得到广泛应用。
本文将介绍傅里叶级数的定义、数学表达式和一些应用示例。
定义给定一个周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：傅里叶级数公式傅里叶级数公式其中a0、an和bn是傅里叶系数，可以通过以下公式计算：傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式傅里叶系数公式数学表达式傅里叶级数公式可以进一步简化为以下形式：傅里叶级数公式简化形式傅里叶级数公式简化形式其中cn是复傅里叶系数，可以通过以下公式计算：复傅里叶系数公式复傅里叶系数公式应用示例傅里叶级数在信号处理、图像处理和音频处理等领域中有广泛的应用。
以下是一些傅里叶级数的应用示例：1. 信号分析傅里叶级数可以将任意周期性信号分解为不同频率的正弦和余弦函数的和，从而帮助我们理解信号的频谱特征。
通过计算傅里叶系数，我们可以得到信号在不同频率上的幅度和相位信息。
2. 图像压缩傅里叶级数被广泛用于图像压缩算法中，例如JPEG压缩。
通过将图像转换为频域表示，可以将高频部分压缩或丢弃，从而实现图像的压缩和存储。
3. 音频合成傅里叶级数可以用于合成音频信号。
通过给定一些具有不同频率和幅度的正弦和余弦函数的傅里叶系数，我们可以通过求和运算生成一个新的音频信号。
4. 信号滤波傅里叶级数在信号滤波中也有广泛应用。
通过将信号转换到频域，并在频域对信号进行滤波操作，可以实现去除噪声、降低干扰等效果。
总结傅里叶级数是一种将周期性函数表示为正弦和余弦函数的和的数学工具。
它帮助我们理解信号的频谱特征，进行信号分析、图像压缩、音频合成和信号滤波等应用。
通过计算傅里叶系数，我们可以获得信号在不同频率上的幅度和相位信息。
傅里叶级数在现代科学和工程中具有重要的地位，对于理解和处理周期性信号至关重要。
常用傅里叶级数展开公式
常用傅里叶级数展开公式傅里叶级数展开是指将一个周期函数表示成一组正弦和余弦函数的和的形式，从而方便研究周期函数的性质。
傅里叶级数理论建立于 1822 年由法国数学家约瑟夫·傅里叶发现。
在数学、物理、工程等领域均有广泛应用。
下面我们来看一下常用的傅里叶级数展开公式。
1. 周期函数的傅里叶级数展开设 $f(x)$ 为周期为 $2l$ 的周期函数，则对于$x\in(-l,l)$ 函数 $f(x)$ 可以表示为以下形式：$$ f(x) =\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}(a_n \cos\frac{n\pi x}{l}+b_n \sin \frac{n\pi x}{l}) $$其中，$a_0,a_n,b_n$ 称为傅里叶系数，具体计算方法如下：$$ a_0=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)dx $$$$ a_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\cos\frac{n\pi x}{l}dx $$$$ b_n=\frac{1}{l}\int_{-l}^{l}f(x)\sin\frac{n\pi x}{l}dx $$2. 正弦级数和余弦级数上面提到的傅里叶级数展开可以分为正弦级数和余弦级数。
当 $f(x)$ 为偶函数时，我们就可以展开成余弦级数形式：$$ f(x) = \frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{+\infty}a_n \cos \frac{n\pi x}{l} $$其中，$a_0,a_n$ 的计算方法与上述相同。
当 $f(x)$ 为奇函数时，我们就可以展开成正弦级数形式：$$ f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty}b_n \sin\frac{n\pi x}{l} $$其中，$b_n$ 的计算方法也与上述相同。
3. 周期不为 $2l$ 的函数的傅里叶级数展开对于周期不为 $2l$ 的函数，我们需要将其转化为一个周期为 $2l$ 的函数，并称其为 $F(x)$，然后再做傅里叶级数展开。
典型信号的傅里叶变换
f
t 非 周周 期期
统一的分析方法：傅里叶变换
由欧拉公式
cos0t
1 2
e j0t
e j0t
sin0t
1 2j
e j0t
e j0t
已知
1 2π
由频移性质
1 ej 0 t 2 0
1 ej0 t 2 0
cos0t
同理
1 2
2π
0
2π
0
π
0
π
0
sin0t jπ 0 jπ 0
dt
t
2
E
ejt d t E
e
j
t
e
jt
dt
E
e
j
t
e
jt
dt
2
4
4
ESa
E
2
Sa
π
E
2
Sa
π
F
E sin
1
2
π
E Sa
1 2
π
F
E
E
2
O π 2π 3π
其频谱比矩形脉冲更集中。
4π
•冲激函数 •冲激偶 •单位阶跃函数
F( ) t ej t d t 1
f t
1
O
t
F
1
O
t看作
1 的矩形脉冲，
0时, B
冲激函数积分是有限值，可以用公式求。而u(t)不
满足绝对可积条件，不能用定义求。
(t) 1 ( ) 1
2π
f t
1
O
t
F
1
O
F
1
O
1 f t
傅里叶级数与傅里叶变换
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。
本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。
它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。
在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。
将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。
傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。
线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。
对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。
频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。
傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。
此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。
二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。
它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。
傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。
傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。
周期信号的傅里叶级数表
傅里叶级数与复变函数的关系
傅里叶级数可以看作是复数域中的三角函数，即复数域中的正弦和余弦。在复数域中，正弦和余弦函数表现为复指数函数的 形式。
复数的使用使得傅里叶级数的系数可以表示为实数，从而简化了计算。此外，复数的共轭也提供了相位信息，这在信号处理 中非常重要。
傅里叶级数与小波分析的关系
小波分析是傅里叶分析的进一步发展，它提供了更灵活的时频分析工具。小波变 换可以看作是傅里叶变换的一种扩展，它允许我们在不同的频率段使用不同的基 本函数。
三角函数形式
傅里叶级数的另一种表示形式，利用三角函数来表示周期信号。
傅里叶级数的三角函数形式
01
02
03
正弦形式
余弦形式
系数
傅里叶级数的正弦函数形式，用 于表示只包含正弦波的周期信号。
傅里叶级数的余弦函数形式，用 于表示只包含余弦波的周期信号。
在傅里叶级数中，每个正弦或余 弦函数都对应一个系数，表示该 函数在周期信号中的贡献程度。
03
傅里叶级数的性质
傅里叶级数的收敛性
傅里叶级数在数学上具有收敛性，意味着它可以将一个 周期函数表示为无穷级数，每个项都是正弦或余弦函数。
收敛的速度取决于函数的特性，例如，对于具有快速衰 减的周期函数，傅里叶级数收敛得更快。
傅里叶级数的对称性
傅里叶级数的对称性质是指，对于一个周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项具有对称性。 这意味着，对于一个给定的周期函数，其傅里叶级数的正弦和余弦项的系数是相同的。
周期信号的傅里叶级 数表
目录
• 傅里叶级数简介 • 周期信号的傅里叶级数表示 • 傅里叶级数的性质 • 傅里叶级数的应用实例 • 傅里叶级数与其他数学工具的关系
01
信号与系统3.3典型信号的傅里叶级数
1 2
sin2ω1t
1 3
sin3ω1t
1 4
sin4ω1t
E
(1) n1
n 1
1 n
sin(n1t)
周期锯齿脉冲信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅
度以 1 的规律收敛。 n
第3章 傅里叶变换
四、周期三角脉冲信号
周期三角脉冲信号如图3-10所示。
f (t)
E
tT1ຫໍສະໝຸດ T1 20T1 2
第3章 傅里叶变换
三、周期锯齿脉冲信号
周期锯齿脉冲信号如图3-9所示。
f (t)
E
2
T1
2
t
T1
0
2
E
2
图3-9 周期锯齿脉冲信号
显然它是奇函数，因而an=0，由式(3-4)可以求出傅里
叶级数的系数bn。这样，便可得到周期锯齿脉冲信号的傅 里叶级数为
第3章 傅里叶变换
f(t)
E π
sinω1t
1 5
cos51t
2E
cos1t
1 3
cos31t
1 5
cos51t
其频谱函数如图3-8所示 由于对称方波的偶次谐波恰恰落在频谱包络线的零值 点，所以它的频谱只包含基波和奇次谐波。 该信号既是偶函数，又是奇谐函数，因此在它的频谱 中只包含基波和奇次谐波的余弦分量。
第3章 傅里叶变换 图3-8 对称方波频谱
T1
E
为ω１。脉冲间隔
T1
越大，谱线越密。
信号的周期T1增大 时，谱线的间隔变
小。反之变大
2
n
谱线包络 按抽样函 数衰减
4
2
4
第3章 傅里叶变换
信号与系统课件-42傅里叶级数
3
收敛性分析
讨论级数收敛的条件和特性。
傅里叶级数的性质
探索傅里叶级数的性质，例如线性性、平移性、尺度性和共轭对称性。了解这些性质对信号分析 和处理的影响。
线性性
傅里叶级数具有线性叠加的性质，方便对信号进行分析和处理。
平移性
对原始信号进行平移，傅里叶级数的频谱也发生相应的平移。
尺度性
对原始信号进行尺度变换，傅里叶级数的频谱也发生相应的尺度变换。
正弦波
简单而优雅的波形，具有周期性和平滑性。
余弦波
与正弦波相似的周期波形，具有平移和相位差。
傅里叶级数的求解过程
了解将周期函数展开为傅里叶级数的计算方法。使用欧拉公式、积分和级数展开进行求解，并理解级数收敛的条 件。
1
系数计算
使用特定的公式和积分求解傅里叶系数。
2
级数展开
将傅里叶系数代入级数展开公式，得到傅三角函数的形式 表示，充分展示信号的谐波成 分。
欧拉公式表示
以指数函数表达傅里叶级数， 展示复指数的优雅性和简洁性。
傅里叶级数的性质和应用
了解傅里叶级数的奇偶性质、能量守恒定理以及实数和虚数展开形式。探索傅里叶级数在信号处理和通信系统 中的应用。
奇偶性质 能量守恒定理 实数和虚数展开
傅里叶级数的应用举例
探索傅里叶级数在实际应用中的例子。了解如何利用傅里叶级数进行信号压缩、滤波、频谱分析等。
音乐信号分析
使用傅里叶级数分析音乐的频谱特性，探索不同乐 器和音符的波形展示。
图像压缩
通过傅里叶级数对图像进行频谱分析，实现图像的 高效压缩和恢复。
傅里叶级数与信号重构
了解如何使用傅里叶级数进行信号重构和合成。通过选取不同的傅里叶系数，重建具有不同特性的信号。
基本函数的傅里叶级数展开公式
基本函数的傅里叶级数展开公式
傅里叶级数展开是一种将周期函数表示为无限三角函数序列的方法。
在此基础上，我们可以将各种复杂的信号分解为简单的周期函数，从而更好地理解和处理信号。
基本函数的傅里叶级数展开公式如下：
1. 正弦函数的展开公式
对于周期为T的正弦函数f(x)=sin(2πx/T)，它的傅里叶级数展开式为：
f(x)=a0+∑(n=1)∞(an*sin(2πnx/T)+bn*cos(2πnx/T)) 其中，
a0=1/T∫(0~T)f(x)dx
an=2/T∫(0~T)f(x)sin(2πnx/T)dx
bn=2/T∫(0~T)f(x)cos(2πnx/T)dx
2. 余弦函数的展开公式
对于周期为T的余弦函数f(x)=cos(2πx/T)，它的傅里叶级数展开式为：
f(x)=a0+∑(n=1)∞(an*cos(2πnx/T)+bn*sin(2πnx/T)) 其中，
a0=1/T∫(0~T)f(x)dx
an=2/T∫(0~T)f(x)cos(2πnx/T)dx
bn=2/T∫(0~T)f(x)sin(2πnx/T)dx
以上就是基本函数的傅里叶级数展开公式。
需要注意的是，这些
公式仅适用于周期为T的函数，而且函数必须满足一定的条件才能进行傅里叶级数展开。
同时，傅里叶级数方法也有其局限性，不能用来处理所有类型的信号。
傅里叶级数概念
傅里叶级数概念
傅里叶级数概念
傅里叶级数是一种用正弦和余弦函数来表示周期函数的方法。
具体地说，对于一个周期为T的函数f(x)，傅里叶级数可以表示为：
f(x) = a0 + Σan cos(nωx) + Σbn sin(nωx)
其中，a0、an和bn都是系数，ω为角频率，n为正整数。
不同于其他方法，傅里叶级数的系数只依赖于函数在一个周期内的取值。
使用傅里叶级数的好处是可以将任意周期函数用少数几个正弦和余弦函数的和来表示。
这种表示方式不仅简单，还能提供有用的信息，例如：
1. 特定的系数an和bn可以用来计算函数的傅里叶变换，进而确定函数的频谱（函数在频率域的表示）。
2. 傅里叶级数的收敛性定理可以帮助我们理解周期函数在各个点的行为和性质。
3. 傅里叶级数在信号处理、图像处理、量子力学和泛函分析等领域有广泛的应用。
总之，傅里叶级数是一种非常有用的理论工具，可以帮助我们更好地理解周期函数的性质和行为，并在实际应用中提供便利。
第三章傅里叶变换(1)
第一节 引言
傅里叶分析发展史
• 从本章开始由时域分析转入频域分析。 • 傅里叶变换是在傅里叶级数正交函数展开的基础上发展而产 • •
• •
生的。 傅里叶分析的研究与应用经历了一百余年。 1822 年法国数学家傅里叶（ J.Fourier,1768-1830 ）在研究 热传导理论时发表了“热的分析理论”著作，提出并证明了 将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理 论基础。 泊松（Poisson）、高斯（Gauss）等人把这一成果应用到电 学中去。 伴随电机制造、交流电的产生与传输等实际问题的需要，三 角函数、指数函数以及傅里叶分析等数学工具已得到广泛的 应用。
可见，直流分量的大小以及基波与各次谐波的 幅度、相位取决于周期信号的波形。
5、幅度谱、相位谱
频谱图：
cn c0
c1
cn ~ n1 信号的幅度谱
n ~ n1 信号的相位谱
c2
c3
其中各频率分量幅度称为“谱线”； 连各谱线顶点的曲线称为
nw1
0
w1
n
3w1
w
? 包络线”。
周期信号的主要特点： 具有离散性、谐波性、收敛性
T1 2
0
T1 2
t
其傅里叶级数表达式为：
是一偶函数
E 4E 1 1 f (t ) 2 cos(w1t ) cos(3w1t ) cos(5w1t ) 2 9 25
（2）奇函数信号
2)奇函数信号： a0 0，an 0
f (t ) －f (t )
当n 0时，Fn Fn 1 1 j n a jb F F e (an jbn ) e 2 n n n n 2 1 2 1 2 其中 Fn a n bn cn 2 2 n n (三角函数形式）
傅里叶级数
得信号的傅立叶展开式为： 得信号的傅立叶展开式为：
f (t ) = 1 4 1 1 sin(Ωt ) + sin(3Ωt ) + sin(5Ωt ) + ⋯ + sin( nΩt ) + ⋯, n = 1,3,5,⋯ π 3 5 n
它只含一、 奇次谐波分量。 它只含一、三、五、…奇次谐波分量。
n
因为傅里叶系数 将
an b 和
n
Fn =
1 1 1 An e jϕn = ( An cos ϕ n + jAn sin ϕ n ) = (an + jbn ) 2 2 2
系数公式带入上式得
1 Fn = T
∫
T 2
−T 2
1 f (t ) cos(nΩt )dt − j T
∫
T 2
−T 2
f (t ) sin(nΩt )dt
0, 2 = [1 − cos(nπ )] = 4 nπ nπ ,
n = 2,4,6,⋯ n = 1,3,5,⋯
将系数代入下面的式子： 将系数代入下面的式子：
∞ a0 ∞ f (t ) = + ∑ an cos(nΩt ) + ∑ bn sin( nΩt ) 2 n =1 n =1
某函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数 某函数是否为奇（或偶）函数不仅与周期函数 的波形有关 而且与时间坐标原点的选择 有关， 时间坐标原点的选择有关 的波形有关，而且与时间坐标原点的选择有关 如下图是三角波的偶函数。 。如下图是三角波的偶函数。 f (t )
T 1 − 2 T 2
0
f (t )
坐标原点左移
∑Aeϕe
n
n
信号与系统傅里叶级数表示
信号与系统傅里叶级数表示信号与系统是电子信息类专业中的重要基础课程，是学习和理解信号的产生、传输和处理的基础。
傅里叶级数是信号与系统中非常重要的数学工具，能够将一个周期信号分解成若干个简单的正弦函数的叠加，从而对信号进行分析和处理。
傅里叶级数是由法国数学家傅里叶在19世纪初提出的。
他认为任何一个周期信号都可以表示成若干个正弦函数的叠加，这些正弦函数的频率是原信号频率的整数倍。
傅里叶级数的表达式是一个无穷级数，其中包含了信号的频率、振幅和相位等信息。
在信号与系统中，傅里叶级数的应用非常广泛。
首先，傅里叶级数可以用来分析和处理周期信号。
周期信号是指在某个时间段内重复出现的信号，比如正弦信号和方波信号等。
通过将周期信号展开成傅里叶级数的形式，可以得到信号的频谱信息，即信号中各个频率分量的振幅和相位。
傅里叶级数还可以用来分析和处理非周期信号。
非周期信号是指在无限时间内不重复出现的信号，比如脉冲信号和矩形信号等。
虽然非周期信号不能直接使用傅里叶级数展开，但可以通过对信号进行周期延拓，将其转化为周期信号，然后再利用傅里叶级数进行分析和处理。
除了信号的分析，傅里叶级数还可以用来实现信号的合成。
通过给定一组正弦函数的振幅和相位，可以将它们叠加起来，得到一个新的信号。
这种信号的合成在通信系统中非常重要，可以用来调制信号、生成频谱等。
傅里叶级数的应用不仅局限于信号与系统领域，还广泛应用于其他领域。
在图像处理中，可以将图像视为一个二维信号，利用二维傅里叶级数对图像进行分析和处理。
在音频处理中，可以将音频信号视为一个一维信号，利用一维傅里叶级数对音频进行分析和处理。
在视频处理中，可以将视频视为一个三维信号，利用三维傅里叶级数对视频进行分析和处理。
傅里叶级数是信号与系统中非常重要的数学工具，能够将一个周期信号分解成若干个简单的正弦函数的叠加。
通过傅里叶级数的分析和合成，可以对信号进行详细的频谱分析和处理。
傅里叶级数的应用不仅局限于信号与系统领域，还广泛应用于其他领域，如图像处理、音频处理和视频处理等。
傅里叶级数 公式
傅里叶级数公式傅里叶级数是数学中的一个重要概念，它可以将任意周期函数表示为一组正弦和余弦函数的线性组合。
这个公式的应用非常广泛，涵盖了信号处理、波动理论、热传导等领域。
我们来介绍一下傅里叶级数的定义。
对于一个周期为T的函数f(t)，傅里叶级数可以表示为以下形式：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0是f(t)的直流成分，an和bn是f(t)的交流成分，ω是圆频率，n是一个正整数。
傅里叶级数的重要性在于它可以将一个复杂的周期函数分解成无穷多个简单的正弦和余弦函数的叠加。
傅里叶级数的计算方法是通过求解函数f(t)与正弦余弦函数的内积来确定系数an和bn。
这里的内积是指两个函数在一个周期内的乘积再求平均。
具体来说，an和bn可以通过以下公式计算得到：an = (2/T) * ∫[0,T] f(t)*cos(nωt) dtbn = (2/T) * ∫[0,T] f(t)*sin(nωt) dt这里，∫[0,T]是对一个周期内的积分，dt表示微元。
通过计算这两个积分，我们可以得到函数f(t)的傅里叶系数an和bn。
傅里叶级数的应用非常广泛。
在信号处理中，我们可以利用傅里叶级数将一个复杂的信号分解成频谱，以便进一步分析和处理。
在波动理论中，傅里叶级数可以帮助我们理解波的传播和干涉现象。
在热传导问题中，傅里叶级数可以用来解决非稳态热传导方程。
除了傅里叶级数的定义和计算方法，还有一些重要的性质值得我们关注。
首先是傅里叶级数的收敛性。
对于一个连续函数f(t)，如果它在一个周期内满足一定的条件，那么它的傅里叶级数就会收敛于f(t)。
这个条件就是函数f(t)在一个周期内是有界的，并且具有有限个有限间断点。
另外一个重要的性质是傅里叶级数的线性性。
这意味着如果我们有两个函数f(t)和g(t)，它们的傅里叶级数分别为：f(t) = Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))g(t) = Σ(cn*cos(nωt) + dn*sin(nωt))那么它们的线性组合h(t) = af(t) + bg(t)的傅里叶级数就是：h(t) = Σ[(a*an + b*cn)*cos(nωt) + (a*bn + b*dn)*sin(nωt)]这个性质对于我们进行信号处理和波动分析非常有帮助，可以将不同的信号叠加在一起进行处理。
信号与系统中典型周期信号的傅里叶级数
1 = ∑(−1) sin( nw t) 1 π n=1 n 此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。 此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。 1/n的规律收敛
三周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解
周期三角脉冲信号，是偶函数。 周期三角脉冲信号，是偶函数。 f (t) 解：Q 它是偶函数 E
四、周期半波余弦信号的傅里叶级数求解
周期半波余弦信号，是偶函数。 周期半波余弦信号，是偶函数。 f (t) 解：Q 它是偶函数 E
∴ bn = 0
−T 1
− T0 1 2 T 1 2
T 1
t
可求出傅里叶级数的系数a 可求出傅里叶级数的系数a0,an, 留给同学们做。 留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为： 其傅里叶级数表达式为： E E 4 4 f (t) = + cos(w t) + cos(2w t) − cos(4w t) +L 1 1 1 π 2 3π 15 E 2E ∞ 1 nπ 2π = − ∑(n2 −1) cos( 2 ) cos(nw1t) w1 = T π π n=1 1 此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量， 此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度 的规律收敛。 以1/n2的规律收敛。
4π
τ
w
幅度谱与相位谱合并
Cn c0
2π 4π
实数频谱： 实数频谱：
τ
τ
0 w2w 1 1
w
Fn
Eτ T1
2π 2π 4π
复数频谱： 复数频谱：
−
τ
τ
τ
0 w 2w1 1
w
举例： （3）举例：周期对称方波信号的傅里叶级数
coswt傅里叶级数
coswt傅里叶级数
（最新版）
目录
1.傅里叶级数的概念
2.coswt 傅里叶级数的意义
3.coswt 傅里叶级数的求解方法
4.coswt 傅里叶级数的应用
正文
傅里叶级数是一种将周期函数分解为一系列正弦和余弦函数的方法。
在数学和物理学中，这种方法被广泛应用。
coswt 傅里叶级数就是其中一个典型的例子。
coswt 傅里叶级数，指的是将函数 cos(wt) 分解为一系列正弦和余
弦函数的级数。
其中，w 是角频率，t 是时间。
这个级数的求解，可以帮助我们更好地理解余弦函数的周期性，以及它在不同频率下的振幅和相位。
求解 coswt 傅里叶级数的方法，一般采用傅里叶变换。
首先，我们
需要将时间域的信号转换到频率域，然后，通过查看频率域的信号，我们可以得到每个频率的振幅和相位。
最后，我们将这些信息带回时间域，就可以得到 coswt 傅里叶级数。
coswt 傅里叶级数在许多领域都有应用，包括信号处理、图像处理、通信系统等。
例如，在信号处理中，我们可以通过求解 coswt 傅里叶级数，来去除信号中的噪声，或者增强信号的某些频率成分。
在图像处理中，我们可以通过求解 coswt 傅里叶级数，来实现图像的频域滤波，从而改
善图像的质量。
在通信系统中，我们可以通过求解 coswt 傅里叶级数，
来分析信号的频谱，从而更好地进行信号的调制和解调。
总的来说，coswt 傅里叶级数是一种重要的数学工具，它在许多领域
都有广泛的应用。
典型信号的傅里叶级数
an 0
t
可求出傅里叶级数的系数bn,
留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为：
f
(t)
E
sin(
w1t )
1 2
sin(
2w1t )
1 3
sin(
3w1t )
E
(1)n1
n1
1 n
sin(
nw1t
)
此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。
三周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解
周期三角脉冲信号，是偶函数。
f (t)
E
解： 它是偶函数
bn 0
T1 0
T12ຫໍສະໝຸດ 2t可求出傅里叶级数的系数a0,an,
留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为：
f
(t)
E 2
4E
2
cos(w1t)
1 9
cos(3w1t)
1 25
cos(5w1t)
E 2
4E
2
n1
1 n2
sin
2 ( n
2
) cos(nw1t)
此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度
2
2
Q 偶函数 a0
E
T1
,
bn
0
an
E1
Sa
n1
2
cn
a0
E
T1
,
cn
E1
Sa
n1
2
n
0,
,
cn 0 cn 0
Fn
F n
1 2
an
E
T1
Sa
n1
2
f
(t)
三角
4.2-4.3 傅里叶级数
An、n 均为nω0的函数，分别组成 f(t) 的第 n 次 谐波分量的振幅和相位.
以振幅为纵坐标所画出的谱线图 振幅频谱 以ω为横坐标 频谱图 相位频谱 以相位为纵坐标所得到的谱线图
“频域分析”的概念 在整个第三章，将以正弦信号和虚指数信号ejwt为 基本信号，任意输入信号（周期、非周期）都可 以分解为一系列不同频率的正弦信号或虚指数信 号之和； 由于系统分析的独立变量是频率，故称之为“频 域分析”。
4.3 指数形式傅里叶级数
例4.3-4 求周期冲激序列信号
δT (t )
n
δ(t nT )
的指数形式的傅里叶级数表示式。 解： 由式（4.3-8）可得，冲激串信号的复系数为
1 1 jn1t Fn δ(t )e dt T T
所以
T 2 T 2
1 jn1t δT (t ) e T n
t T1 T T1 t 2
f (t )
„„
T
T 2
T1 0 T1
T 2
T
t
图4.3-1 周期方波信号
求此信号的傅里叶级数表示式。
4.3 指数形式傅里叶级数
2π 解：信号的基波周期是T，基波频率就是 0 ， T
利用式（4.3-8）确定傅里叶级数系数。不妨 在 T , T 内进行积分：
an a n bn b n
2 t0 +T an = ò f (t )cos nw0tdt T t0 2 t0 +T bn = ò f (t )sin nw0tdt T t0
是 n 的偶函数
是 n 的奇函数
4.2 三角形式傅里叶级数
3. 周期信号的另一种三角级数表示：
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• 主要内容
•周期矩形脉冲信号 •周期锯齿脉冲信号 •周期三角脉冲信号 •周期半波余弦信号 •周期全波余弦信号
• 重点 周期矩形脉冲信号 • 难点 信周期矩形信号频谱与脉宽、周期的
化规律
一、周期矩形脉冲信号
(1)周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解
周期矩形脉冲：脉宽为，脉冲幅度为E，周期为T1。
f (t)
E
T1 / 2 / 2 0 / 2 T1 / 2
t T1
解：
f
(t
)
E
u
t
2
u
t
2
,
T1 t T1
2
2
Q 偶函数 a0
E
T1
,
bn
0
an
E1
Sa
n1
2
cn
a0
E
T1
,
cn
cn 0 cn 0
Fn
Fn
1 2
cn
E 2
Sa
n
2
f
(t)
三角
2E
n1
1 n
sin
n
2
cos(n1t
)
e 指数
E
n
1 n
sin
n
2
, jn1t n 1, 3..
周期对称方波信号的幅度频谱中 1 收敛规律
Sa
n1
2
jn1t
（2）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱
周期矩形脉冲信号的幅度频谱中收敛规律为 1 , n
主要能量集中在第一个零点以内，即 0 ~ 2
称为其频带宽度B
B
2 ,
Bf
1
Cn
E
T1
n
2
0 w1 2w1 幅度谱
以1/n2的规律收敛。
五、周期全波余弦信号的傅里叶级数求解
周期全波余弦信号，是偶函数。
f (t)
解：令余弦信号为
E
f1(t) E cos(w0t)
w0
2
T0
则，全波余弦信号为：
0 T1
T1 2
T1 2
T1
t
其傅里叶级数表达式为：
f (t) f1(t) E cos(w0t)
f
• 2. 周期矩形脉冲信号脉宽、周期与其频谱 的变化规律
(t)
2E
4E
1 3
cos(2w1t)
1 15
cos(4w1t)
1 35
cos(6w1t)
2E
4E
(1)n1
n1
1 4n2
1
cos(
2nw0t
)
此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度
以1/n2的规律收敛。
思考题
• 1. 典型周期信号有哪些？
留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为：
f
(t)
E
E 2
cos(w1t)
4
3
cos(2w1t
)
4 15
cos(4w1t)
E
2E
n1
1
n
(n2 1) cos( 2
) cos(nw1t)
w1
2
T1
此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度
f (t)
E 2
T1 T1 / 4
0
E
2
T1 / 4
T1
t
解 ： Q 偶函数且 a0 0，bn 0
奇谐函数
an
ESa
n
2
2E
n
,
n 1,3,5...
c0
0，cn
an
ESa
n
2
,
n 1,3,5...
n
0,
,
n1
1 n2
sin
2 ( n
2
) cos(nw1t)
此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度
以1/n2的规律收敛。
四、周期半波余弦信号的傅里叶级数求解
周期半波余弦信号，是偶函数。
f (t)
E
解： 它是偶函数
bn 0
T1 0
T1
T1
2
2
T1
t 可求出傅里叶级数的系数a0,an,
t
可求出傅里叶级数的系数bn,
留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为：
f
(t)
E
sin(
w1t )
1 2
sin(
2w1t )
1 3
sin(
3w1t )
E
(1)n1
n1
1 n
sin(
nw1t
)
此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以1/n的规律收敛。
三周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解
E1
Sa
n1
2
n
0,
,
cn 0 cn 0
Fn
F n
1 2
an
E
T1
Sa
n1
2
f
(t)
三角
E
T1
E1
n1
Sa
n1
2
cos(n1t
)
e 指数
E
T1
n
an
n
幅度谱 an
2w1 3w1
0 w1
4w51 w1
w
相位 n 谱
0 w1 2w1 3w1 4w1 5w1
w
0 w1 3w1 5w1 7w1 w
二、周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解
周期锯齿脉冲信号，是奇函数。 f (t)
E 2
解： 它是奇函数
T1 2
T1 0 2 E 2
an 0
4
nw1 w
0
2位谱合并 Cn
实数频谱：
c0
2 4
0 w12w1
w
复数频谱：
Fn
E T1
2
2 4
0 w1 2w1
w
（3）举例：周期对称方波信号的傅里叶级数
周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况， 对称方波信号有两个特点： a.是正负交替的信号，其直流分量a0等于零。 b.它的脉宽恰等于周期的一半，即t =T1/2
周期三角脉冲信号，是偶函数。
f (t)
E
解： 它是偶函数
bn 0
T1 0
T1
2
2
t
可求出傅里叶级数的系数a0,an,
留给同学们做。
其傅里叶级数表达式为：
f
(t)
E 2
4E
2
cos(w1t)
1 9
cos(3w1t)
1 25
cos(5w1t)
E 2
4E
2