人教版数学高二备课资料构造法证明不等式例析

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人教版数学高二-备课资料不等式证明的常用方法和技巧

不等式证明的常用方法和技巧不等式证明是学习的难点，其方法灵活多样，它又可以和很多内容结合.如果思路不开阔，方法不灵活，做题时就陷入困境.下面介绍有关不等式证明的六种常用方法和技巧，有助于同学们对这部分知识的掌握与应用. 一、比较法例1 已知x 、y 、R z ∈，a 、b 、*∈R c ，求证：)(2222zx yz xy z cb a y b ac x a c b ++≥+++++. 证明：∵)(2222zx yz xy z cb a y b ac x a c b ++-+++++ =222222222z cb yz y bc z c a zx x a c y b a xy x a b +-++-++- =0)()()(222≥-+-+-z cb y bcz c a x ac y b a x ab. ∴)(2222zx yz xy z cb a y b ac x a c b ++≥+++++. 【点评】⑴作差比较法的依据是0>-⇔>b a b a ，作差后要判定差式的符号.其难点．．是对差式变形，常常将差式化为几个可判号因式．．．．．．．．．．．．．．连乘积或几个偶次因式和．．．．．．．．．．．的形式；⑵作差比较法的适用范围：多项式的大小比较、对数式的大小比较；⑶本题证明配方技巧的实现关键在于合理分项. 二、综合法例2 求证：1)4141(log 21-+≤+b a b a .证明：∵1)1()21(2222414124141-+-+---==⋅⋅=⨯≥+b a b a b a b a ba . 又因为x y log 21=在区间（0，∞+）上是减函数，所以1)21()4141(12121log log -+=≤+-+b a b a b a .当且仅当b a 4141=，即b a =时等号成立.【点评】⑴综合法的证明思路：由已知条件出发，根据要证不等式左右的结构特点，借助不等式的性质和有关定理，按逻辑推理导出欲证结论，其特点是“由因导果”；⑵本题用到了基本不等式，又用到了对数函数的单调性，函数的单调性是函数与不等式有机结合的最佳结合点. 三、分析法例3是否存在常数c，使得不等式yx y y x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正实数x 、y 恒成立，证明你的结论.证明：假设存在常数c，使得不等式yx yy x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正实数x 、y 恒成立，则当y x =时，可得32=c . 下面分两部分给出证明当32=c 时，不等式yx yy x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正实数x 、y 恒成立：① 先证3222≤+++y x y y x x .∵x 、*∈R y ，∴欲证3222≤+++y x y y x x ，只需证)2)(2(2)2(3)2(3y x y x y x y y x x ++≤+++，即证222y x xy +≤.∵x 、R y ∈，222y x xy +≤成立，∴证式成立.② 再证3222≥+++y x y y x x .∵x 、*∈R y ，∴欲证3222≥+++y x y y x x ，只需证)2)(2(2)2(3)2(3y x y x y x y y x x ++≥+++，即证xy y x 222≥+，∵x 、R y ∈，xy y x 222≥+成立，∴证式成立. 综上①、②可知，存在常数32=c 对任意正实数x 、y ，题中的不等式成立.【点评】⑴常数c 的正确寻找是解决问题的关键.依据题设条件给x 、y 赋特殊值求出c 的值是常用的基本方法；⑵当证明从正面打不开思路时，可以考虑用分析法从结论出发，“执果索因”. 四、反证法例4 证明由小于1的三个正数a 、b 、c 所组成的三个乘积b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-不能同时大于41.证明：假设b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-都大于41，则有641)1()1()1(>-⋅-⋅-a c c b b a ，但由2)21()1(0a a a a +-≤-<，即41)1(0≤-<a a .同理有41)1(0≤-<b b ，41)1(0≤-<c c .即有641)1()1()1(≤-⋅-⋅-a c c b b a .这与假设产生矛盾，从而原命题成立.【点评】⑴反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题，或带有‘至多有一个’、‘至少有一个’等字样的问题”；⑵常见的矛盾有三种表现形式：与已知矛盾；与假设产生矛盾；与公理、定理等事实矛盾. 五、放缩法例5当2≥n ，且*∈N n ，求证：n nn 121312*********-<++++<+- . 证明：∵)1()1(2->>+k k k k k ，∴)1(11)1(12-<<+k k k k k ，即k k k k k 11111112--<<+-，分别令2=k 、3、4、…、n . 得 2112131212-<<-， 31213141312-<<-， ……nn n n n 11111112--<<+- 将这些不等式同时相加，得<+-++-+-)111()4131()3121(n n 222131211n++++)111()3121()211(nn -+++-+-< ，即n n n 11131211121222-<+++<+- ， ∴n nn 121312111123222-<++++<+-. 【点评】⑴放缩法常用的思路：欲证B A >，则找出过度量，使B DC A >>>；⑵放缩法常用的技巧：①舍去一些正项（或负项）；②在和或积中换大（或换小）某些项；③扩大（或缩小）分式的分子（或分母）；④应用基本不等式进行放缩.如（ⅰ）22)21(43)21(+>++a a ；（ⅱ）)1(112-<k k k ，)1(112+>k k k ；（ⅲ）)1(2121-+=--<k k k k k ，)1(2121--=-+>k k k k k .六、三角换元法例7 已知2122≤+≤y x ，求证：32122≤+-≤y xy x .证明：∵2122≤+≤y x ，可设⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，其中21≤≤r ，πθ20<≤.∴)2sin 211(cos sin 22222θθθ-=-=+-r r r y xy x .∵πθ20<≤，∴232sin 21121≤-≤θ，∴22223)2sin 211(21r r r ≤-≤θ.而21212≥r ， 3232≤r ，∴32122≤+-≤y xy x .【点评】⑴本例证明，不等式中的两个等号不能同时成立.做三角代换，应注意换元后对r 和角θ的限制，即三角不等式与代数不等式的等价转化应引起足够的重视；⑵三角换元法多用于条件不等式的证明，若条件是222a y x =+（a 为常数），则可设⎩⎨⎧==θθsin cos a y a x ；若222a y x ≤+（a 为常数），则可设⎩⎨⎧==θθsin cos a y a x .。

人教版数学高二备课资料例谈构造法在不等式证明中的应用

例谈构造法在不等式证明中的应用不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。

另外,在我们的学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，很难找到切入点，几种常用证法一一尝试，均难以凑效。

这时我们不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，在已学过的知识的基础上进行广泛的联想，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。

下面通过举例加以说明。

1．构造函数法例1、已知x > 0，求证： 25111≥+++x x x x 证：构造函数)0(1)(>+=x x x x f 则21≥+xx ，设2≤α<β αβ-αββ-α=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛β-α+β-α=β+β-α+α=β-α)1)((11)()1(1)()(f f 显然 ∵2≤α<β ∴α - β > 0, αβ - 1 > 0, αβ > 0 ∴上式 > 0 ∴f (x )在),2[+∞上单调递增，∴左边25)2(=≥f 2．构造方程法：例2：设 a 1、a 2、…a n 为任意正数，证明对任意正整数n不等式(a 1 + a 2 + … + a n )2 ≤ n ( a 12 + a 22 + … + a n 2 )均成立简析与证明：原不等式即为 4 (a 1 + a 2 + … + a n )2－4n ( a 12 + a 22 + … + a n 2 ) ≤ 0由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：( a 12 + a 22 + … + a n 2 ) x 2 + 2 (a 1 + a 2 + … + a n ) x + n=0 （＊）因方程左边＝ (a 1 x + 1)2 + (a 2 x + 1)2 + … ＋ (a n x + 1)2 ≥ 0当a 1、a 2、…a n 不全相等时，a 1 x +1、a 2 x +1、…a n x +1至少有一个不为0，方程（＊）左边恒为正数，方程（＊）显然无解。

不等式的证明一高二数学不等式全套教案人教版高二数学不等式全套教案人教版

不等式的证明一一. 重点、难点： 1. 差比法：B A B A >⇔>-0B A B A <⇔<-0差比法是最基本的证明方法之一。

欲证明B A >，一般用B A -进行整理化简，将B A -进行因式分解，或组成完全平方的形式来判断符号。

2. 商比法：⇔>>>B A B A ，，001>BA10<<⇔<BAB A一般指数式多用商比法，进行约分整理，利用指数函数的性质与1比大小。

3. 综合法：利用某些已经证明的不等式（例如：均值不等式）和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，即“由因导果”。

欲证B A >即证>>>D C A ……B > 4. 分析法：证明不等式时，从要证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，即“由果索因”。

欲证：B A > 只需证：D C >F E >⇐最后找到一个已知正确的结论即可，由这个正确结论反过去写可得到原命题。

【模拟试题】一. 差比法： 1. 22222)())((bd ac d c b a Rd c b a +≥++∈求证：、、、2. 的三边，求证：为、、ABC c b a ∆)(2222ca bc ab c b a ca bc ab ++<++≤++ 3. 已知a b c n N f n a b c n n n、、（，）∈+∞∈*=++03()lg，求证：)(2)2(n f n f ≥4. 1),0(>∈∞+∈n N n b a 且、，试比较11--⋅+⋅+n n n n b a b a b a 与的大小关系。

二. 商比法：1. a b 、，∈+∞()0，求证：1≥-ba ba）（2. ),0(∞+∈c b a 、、，求证：3)(c b a cb a abc c b a ++≥三. 综合法：1. ),0(∞+∈c b a 、、，求证：)(c b a cab b ac a bc ++≥++ 2. 1),0(=+∞+∈y x y x 且、，求证：9)11)(11(≥++yx 3. ∈c b a 、、1),0(=++∞+c b a 且，求证：8)11)(11)(11(≥---cb a 4. 2>∈n N n ，，求证：1)1(log )1(log <-⋅+n n n n 四. 分析法：1. 1),0(=++∞+∈c b a c b a 且、、，求证：3≤++c b a2. 已知0>>b a ，求证：b b a -+<-+11a3. 1),0(=+∞+∈b a b a 且、，求证：425)1)(1(≥++b b a a 【试题答案】一. 差比法：1. 证：abcd d b c a d b c b d a c a 2222222222222---+++=-右左abcd c b d a 22222-+=0)(2≥-=bc ad 原不等式成立∴2. 证：)222222(21222ca bc ab c b a ---++=-左中 []0)()()(21222≥-+-+-=a c c b b a)()()(222c ac bc b bc ab a ac ab -++-++-+=-中右)()()(c a b c b c a b a c b a -++-++-+= 0>-∴中右三边三角形两边之和大于第综上得证 3. 证：2222)3lg()(23lg)2(nn n nn nc b a n f cb an f ++=++=↑=x y lg2222)3(3nn n nn n c b a cb a ++-++∴[][]0)()()(9192222222≥-+-+-=---++=n n n n n nn n n n n n n n na c cb b a ac c b b a c b a4. 解：)()(11--⋅+⋅-+n n n n b a b ab a*--=-⋅+-⋅=----))(()()(1111n n n n bab a a b b b a a① 当011>*∴>>--n n b a b a 时② 当0=*∴=时b a③ 当011>*∴<<--n n b a b a 时综上所述 11--⋅+⋅>+n n nnb a b ab a二. 商比法： 1. 证：①↑=>->>x bay b a ba b a )(01时1)()(0=>∴-bab a b a②1)(==-ba b a b a 时 ③↓=<-<<<x bay b a bab a )(010时1)()(0=>∴-bab a b a 综上所述 1)(≥-ba ba 2. 证：323232b a c c a b c b a cba ------⋅⋅=右左1111)()()(333333333=⋅⋅≥⋅⋅=⋅⋅=----+--+--+-a c c b ba bc a c cb a b ca b a ac c bb a cba右左≥∴三．综合法：1. 证：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++⋅=)()()(21c ab b ac c ab a bc b ac a bc 左 []cb a a bc ++=++⋅≥222222212. 证：)1)(1()11)(11(yy x x y x y x ++++=++9225)(25)2)(2(=⋅+≥++=++=y xx y y x x y3. 证：cba b c a a c b +⋅+⋅+=左 8222=⋅⋅≥cab b ac a bc 4. 证：2222)1(log 2)1(log )1(log ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++≤n n n n n n 左 1)2log (22=<n n即：>>>5log 4log 3log 432…… 四．分析法：1. 证：3≤++c b a原命题成立即：即：∴=+++++≤+++≤+≤+≤≤++≤++⇔2)()()(22222222223)(2c a c b b a ac bc ab c a ac c b bc ba ab ac bc ab c b a2. 证：b b a a -+<-+11bb aa ++<++⇔1111命题成立式成立∴*∴>+>+∴>*++>++⇔b a b a ba b b a a 11113. 证：425)1)(1(≥++b b a a[]命题成立式成立∴*∴<-≤-≥∴≥+=*≥--⇔≥+-⇔≥+-++⇔≥+++⇔≥++⇔0801441210)8)(14(083342542)(44254)(44425)1)(1(22222222222ab ab ab ab b a ab ab ab b a ab ab b a b a ab b a b a abb a。

高二数学：构造函数法证明不等式的七种方法

高二构造函数法证明不等式的七种方法利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年考试的热点。

解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

以下介绍构造函数法证明不等式的七种方法。

一.移项法、作差法构造函数例1.已知函数.ln 21)(2x x x f += 求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方.二.换元法构造函数证明例2.证明：对任意的正整数n ，不等式3211)11ln(nn n ->+ 都成立.三.从条件特征入手构造函数证明例3.若函数y =)(x f 在R 上可导且满足不等式x )(x f '>－)(x f 恒成立，且常数a ，b 满足a >b ，求证：．a )(a f >b )(b f四.主元法构造函数例4．已知函数x x x g x x x f ln )(,)1ln()(=-+= 设b a <<0,证明：2ln )()2(2)()(0a b ba gb g a g -<+-+<. 五.构造二阶导数函数证明导数的单调性例5．已知函数21()2xf x ae x =-(1)若f(x)在R 上为增函数,求a 的取值范围; (2)若a=1,求证:x ＞0时,f(x)>1+x六.对数法构造函数（选用于幂指数函数不等式）例6.证明：当2111)1(,0x xex x ++<+>时七.构造形似函数例7：证明当a b b a e a b >>>证明,例8：已知m 、n 都是正整数，且,1n m <<证明：m n n m )1()1(+>+经典题选1. 已知函数xxx x f +-+=1)1ln()(，求证：对任意的正数a 、b ，恒有.1ln ln a b b a -≥-2.已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有x x x ≤+≤+-)1ln(1113.已知函数22()ln (1)1x f x x x=+-+．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若不等式1(1)n ae n++≤对任意的N*n ∈都成立（其中e 是自然对数的底数）．求a 的最大值．4. 已知函数21()(1)ln 2f x x ax a x =-+-，1a >．证明：若5a <，则对任意12,(0,)x x ∈+∞，12x x ≠，有1212()()1f x f x x x ->--．5. 已知函数x a ax x x x f )12(ln )(2-+-=R a ∈.（1）当21=a 时，求)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f 在),1[+∞单调递减，求实数a 的取值范围.6. 已知函数ln ()1a xb f x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=．（I ）求a ，b 的值；（II ）证明：当x>0，且1x ≠时，ln ()1x f x x >-．7. 已知函数ln ()(e xx kf x k +=为常数,e=2.71828是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间；(Ⅲ)设()()g x xf x '=,其中()f x '为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1e x g x -><+8. 设函数()(1)(0)nf x ax x b x =-+>,n 为正整数,,a b 为常数,曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=. (1)求,a b 的值;(2)求函数()f x 的最大值; (3)证明:1()f x ne<. 答案：3.（1）增（-1,0）减（0，+ ）（2）a；5.（1）减（0，+ ）（2）a； 6.a=b=1；7.（1）k=1（2）增（0,1）减（1，+ ）；8.（1）a=1，b=0；（2）（）。

人教版数学高二备课资料用构造方法证明不等式

用构造方法证明不等式证明不等式是中学数学的难点，遇到证明不等式的一些题目同学们感到无从下手，对于这些不等式，如果从正面上表去直接求常常感到困难，甚至一筹莫展，不妨转换角度，从不等式的结构出发，巧妙构造与之相关的数学模型，使问题得到转化，可以得到简捷清晰的解法，让人有耳目一新的感觉。

下面介绍几种利用构造法证明不等式的方法，希望对同学们的学习有所启示。

一：构造函数例1：求证： 22222430x xy y x y -++-+> 证明：设()()()22222224322243f x x xy y x y f x x y x y y =-+--+∴=--+-+因为二次项系数为正，而()()()()22224142434224[11]0y y y y y y =---+=--+=--+<所以()0f x >恒成立。

即22222430x xy y x y -+--+>恒成立。

因此原不等式成立。

点评：证明不等式时，据题目的特点，构造函数模型是经常用的方法，有二次时可以造二次函数的模型，利用判别式解答。

二：构造数列例2：已知*1,2,a n n N >≥∈11a n-<证明：由1a >1>10>n >n > 构造1为公比的数列{}n a，则111,nn n na s --=>=问题转化为证明n s n >即12n a a a n +++>由于1n a >，所以原不等式成立。

点评：遇到自然数n 有关的命题可以考虑构造数列的方法，构造的数列一般为等差数列或等比数列，通过等差与等比数列求解。

三：构造向量已知：01x <<求证：()2221a b a b x x+≥+-证明：设(,,1m n x x ==-则22,1,1a b m n m n a b x x=+=⋅=+- 由向量数量积的性质，有m n m n ⋅≥⋅即0a b +>∴()2221a b a b x x +≥+-当且仅当m n ，即1a bx x=-时，取等号，等号成立。

人教版数学高二-备课资料构造解析几何模型证明不等式

构造解析几何模型证明不等式如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决．例1 设a ＞0，b ＞0，a ＋b = 1，求证：12+a ＋12+b ≤22．证明：所证不等式变形为：21212+++b a ≤2．这可认为是点A(12+a ，12+b )到直线 x ＋y = 0的距离．但因(12+a )2＋(12+b )2= 4，故点A 在圆x 2＋y 2= 4 (x ＞0，y ＞0)上．如图所示，AD ⊥BC ，半径AO ＞AD ，即有：21212+++b a ≤2，所以12+a ＋12+b ≤22．例2 已知a －b = 1，求证：(a ＋1)2＋(b ＋1)2≥21．证明：由a －b = 1可知点A(a ，b)在直线 x －y = 1上，且点B(－1，－1)在此直线外．显然，|AB| =22)1()1(+++b a ，点B 到直线x －y = 1的距离为d =21，而|AB|≥d ，于是，有22)1()1(+++b a ≥21，即(a + 1)2＋(b+ 1)2≥21．例3 已知a ＋b = 1，求证对任意实数m 、n ，有(m ＋a)2＋(n ＋b)2≥21(m ＋n ＋1)2．证明：由a ＋b = 1可知点M(a ，b)在直线l ：x ＋y －1= 0上，且点P(－m ，－n)在此直线外．显然， | PM | =22)()(b n a m +++，点P 到直线x ＋y －1= 0的距离为d =2|1|++n m ，而| PM |≥d =2|1|++n m ，于是，有22)()(b n a m +++≥2|1|++n m ，即(m ＋a)2＋(n ＋b)2≥21(m ＋n ＋1)2．例4 已知a 、θ∈R ，a ≠0，求证：2－3≤2cos 22sin 222++++θθa a a a ≤2 +3．证明：设t =2cos 22sin 222++++θθa a a a ，则2tacos θ－2asin θ＋(t －1)(a 2+ 2) = 0．①①式表明直线2tax －2ay ＋(t －1)(a 2＋2) = 0与圆x 2＋y 2= 1有公共点(cos θ，sin θ)．所以有：222)2()2(|)2)(1(|a ta a t ++-≤1⇒1||2)2(|1|22++-t a a t ≤1．故有1|1|2+-t t ≤2||22+a a ≤||22||2a a =21．整理，得：t 2－4t ＋1≤0，解得2－3≤t ≤2 +3．即不等式2－3≤2cos 22sin 222++++θθa a a a ≤2 +3成立．例5 设实数x 、y 、z 满足：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++.2,2222a z y x a z y x ，其中a ＞0．求证：0≤x ≤32a ，0≤y ≤32a ，0≤z ≤32a．证明：从题设方程组的几何意义知，直线x ＋y = a －z 与圆x 2＋y 2=22a －z 2有公共点，则圆心到直线距离应不大于圆的半径，于是可得：2||z a -≤222z a -，解得0≤z ≤32a ，同理可证另外两个不等式．。

人教版数学高二备课资料贯穿于数学归纳法证明不等式的几个方法技巧.

贯穿于数学归纳法证明不等式的几个方法技巧纵观近几年高考数学归纳法试题的特点,多以解答题为主,重在考查学生归纳、探索的能力.而其中用数学归纳法证明数列不等式和构造函数利用单调性解决数列中的不等关系已成为高考命题的一道亮丽的风景线.在用数学归纳法证明不等式的具体过程中，要注意以下几点：（1）在从n=k 到n=k+1的过程中，应分析清楚不等式两端（一般是左端）项数的变化，也就是要认清不等式的结构特征；（2）瞄准当n=k+1时的递推目标，有目的地进行放缩、做差比较、分析等；（3）活用起点的位置；（4）有的试题需要先作等价变换.一. 数学归纳法证明不等式的放缩技巧例2、求证：()1115,2,1236n n N n n n *++⋅⋅⋅+>≥∈++．分析：该命题意图：本题主要考查应用数学归纳法证明不等式的方法和一般步骤.用数学归纳法证明，要完成两个步骤，这两个步骤是缺一不可的．但从证题的难易来分析，证明第二步是难点和关键，要充分利用归纳假设，做好命题从n=k 到n=k+1的转化，这个转化要求在变化过程中结构不变．证明：（1）当n=2时，右边=1111534566+++>，不等式成立．（2）假设当()2,n k n n N =≥∈时命题成立，即11151236k k k ++⋅⋅⋅+>++.则当1n k =+时，111111(1)1(1)2331323(1)1111111()123313233151111()6313233151111()633333315115(3).63316k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k +++++++++++++=++++++-++++++>+++-++++>+++-++++=+⨯-=++所以则当1n k =+时，不等式也成立．由（1），（2）可知，原不等式对一切2,n n N *≥∈均成立．点评：本题在由n k =到1n k =+时的推证过程中，（1）一定要注意分析清楚命题的结构特征，即由n k =到1n k =+时不等式左端项数的增减情况；（2）应用了放缩技巧：111111113.313233333333331k k k k k k k k ++>++=⨯=++++++++二. 数学归纳法证明不等式的做差比较与利用函数单调性技巧.例4、已知数列{}n a 的各项都是正数,且满足()111,42n n n a a a a +==- ()n N ∈. (1).证明12n n a a +<<,n N ∈; (2).求数列{}n a 的通项公式n a .分析：近年来高考对于数学归纳法的考查，加强了数列推理能力的考查。

人教版高中数学必修第二册6.3不等式证明六(构造法及其它方法)教案

第十一教时教材：不等式证明六（构造法及其它方法）目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。

过程：一、构造法：1．构造函数法例一、已知x > 0，求证： 25111≥+++xx xx 证：构造函数)0(1)(>+=x x x x f 则21≥+xx ，设2≤<由αβ-αββ-α=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛β-α+β-α=β+β-α+α=β-α)1)((11)()1(1)()(f f 显然 ∵2≤< ∴> 0, 1 >0,> 0 ∴上式 > 0∴f (x )在),2[+∞上单调递增，∴左边25)2(=≥f例二、求证： 31091022≥++=x x y 证：设)3(92≥+=t x t 则tt y t f 1)(2+==用定义法可证：f (t )在),3[+∞上单调递增令：3≤t 1<t 2 则0)1)((11)()(21212122212121>--=+-+=-t t t t t t t t t t t f t f∴310313)3(910322=+=≥++=f x x y 2．构造方程法：例三、已知实数a , b , c ，满足a + b + c = 0和abc = 2，求证：a , b , c 中至少有一个不小于2。

证：由题设：显然a , b , c 中必有一个正数，不妨设a > 0，则⎝⎛=-=+a bc ac b 2 即b , c 是二次方程022=++aaxx 的两个实根。

∴082≥-=∆aa 即：a ≥2例四、求证：),2(3tan sec tan sec 3122Z k k ∈π+π≠θ≤θ+θθ-θ≤ 证：设θ+θθ-θ=tan sec tan sec 22y 则：(y1)tan2+ (y + 1)tan+ (y 1) = 0当 y = 1时，命题显然成立当 y 1时，△= (y + 1)24(y 1)2= (3y 1)(y 3)≥0∴331≤≤y综上所述，原式成立。

例谈构造法证明不等式

例谈构造法证明不等式谷学标不等式证明无论是在高考中，还是在各类数学竞赛中，都是比较常见的题型。

不等式证明方法多种多样、丰富多彩。

然而有些不等式用常规的方法（如比较法、分析法和综合法等）很难证明或根本证不出来，但若能根据它的题设条件及知识点间的相互联系，构造一个与所证结果有关的辅助函数、方程、数列、几何图形等，使问题得到转化，然后再推理运算，便可获得简捷、直观、巧妙的证明。

本文通过例题谈谈构造法在证明不等式中的应用。

一、构造方程证明不等式由于函数、方程、不等式之间存在着密不可分的关系，函数式可看成方程，而一元二次方程的判别式又可变为不等式，因而某些不等式问题可转化为方程问题，运用方程的理论去求解。

例1 a 、b 、c 为任意实数，求证(b-c)2≥(a-2b)(2c-a)分析：本题用常规证法较难。

但易看出，若a-2b=0或2c-a=0，不等式成立.当a-2b ≠0时，原不等式等价于[2(b-c)]2≥4(a-2b)(2c-a)，因而，考察方程(a-2b)x 2+2(b-c)+2c-a=0，易知，x=1是方程的根.所以△≥0成立，故原不等式成立。

二、构造函数证明不等式有的不等式证明，转化成函数问题，利用函数的单调性、奇偶性等性质来证明，就会变得特别简捷明快。

例2 已知a>b>0，证明a 3-b 3a 3+b 3 >a 2-b 2a 2+b 2 >a-ba+b分析：由不等式的结构特征可构造函数f(x)=a x -b xa x +bx ，由f(x)=2a x a x +b x -1=1)12-+xab （,可知f(x)在(0,+∞)上f(x)为增函数.∴f(1)<f(2)<f(3)，即原不等式成立。

注：构造一个函数，使原不等式（或经过变形后）的左右两边是这个函数在其一个单调区间上的两个值，就可利用函数的单调性证明不等式。

例3 求证：x 2 >x1-2x)0(≠x .分析：此不等式变形后与偶函数相关，由此联想到构造f(x)= x 2 -x1-2x=)12(2)12(-+xx x ，易得f(-x)=f(x)，所以f(x)为偶函数.当x>0时，2x >1即f(x)= )12(2)12(-+x x x >0，又当x<0时，有-x>0，∴f(-x)=f(x)>0.综上所述,对0≠x 总有f(x)>0，即x 2 >x1-2x 。

人教版数学高二备课资料利用构造法巧证不等式

利用构造法巧证不等式在不等式的证明过程中，常遇到一些问题，看似非常简单，却不好找到突破口。

这时我们不妨从所证的不等式的结构出发，在已学过知识的基础上构造出一些相关模型，从而将问题转化，使不等式得以证明。

一．构造辅助元素模型根据题目特点构造一些辅助元素，为的是使问题的条件和结论通过这些辅助元素发生联系。

例1．求证：003.0100000099999914131211109<⋅⋅⋅⋅=N 证明：构造辅助量：999999999998151413121110⋅⋅⋅⋅= M 显然M N <且易知10000009=⋅N M因此100000092=⋅<N M N从而003.0<N二．构造函数模型根据所给的不等式的特征，构造适当的函数，然后利用函数的性质来证明不等式。

例2．已知0,0,,,<+->∈c b a a R c b a ，求证：042>-ac b分析：本题看似容易，实则不易找到突破口。

但题目要证042>-ac b ，可以联想到一元二次函数根的判别式，从而可以构造二次函数加以解决。

证明：构造二次函数c bx ax x f ++=2)(，由于0)1(<+-=-c b a f 且0>a 知二次函数的图像与x 轴有2个交点，所以=∆042>-ac b评注：在利用公式法与比较法无效时，如果能整理成关于某变量的二次式，可以考虑利用判断式。

例3．已知关于x 的实系数二次方程02=++b ax x 有两个实根βα, 证明：如果2||,2||<<βα，那么b +<4||2α且4||<b 证明：显然4||||<<αβb ，从而04>+b 构造函数bax x f ++=42)(即αββα++-=4)(2)(x x f ，易知)(x f 是一个增函数现取0)2)(2(2)4()(21<---=+-+=βααββαx =2x 0)2)(2(2)4()(2>++=+++βααββα 则有1)(,1)(21=-=x f x f由)(x f 为增函数知1421,1)()0()(121<+<-=<<=-bax f f x f 有b a b +<<+-42)4(即b +<4||2α评注：本例通过对所证不等式的分析，构造出函数)(x f 及21,x x 的取值，运用函数的单调性完成证明，虽然切入点较多，但考虑问题的方法值得深思。

构造函数法证明不等式的八种方法

导数之构造函数法证明不等式 1、移项法构造函数【例1】已知函数x x x f -+=)1ln()(，求证：当1->x 时，恒有【解】1111)(+-=-+='x xx x f ∴当01<<-x 时，0)(>'x f ，即)(x f 在)0,1(-∈x 上为增函数当0>x 时，0)(<'x f ，即)(x f 在),0(+∞∈x 上为减函数故函数()f x 的单调递增区间为)0,1(-，单调递减区间),0(+∞于是函数()f x 在),1(+∞-上的最大值为0)0()(max ==f x f ，因此，当1->x 时，0)0()(=≤f x f ，即0)1ln(≤-+x x ∴x x ≤+)1ln( （右面得证），现证左面，令111)1ln()(-+++=x x x g ， 22)1()1(111)(+=+-+='x x x x x g 则当0)(,),0(;0)(,)0,1(>'+∞∈<'-∈x g x x g x 时当时，即)(x g 在)0,1(-∈x 上为减函数，在),0(+∞∈x 上为增函数，故函数)(x g 在),1(+∞-上的最小值为0)0()(min ==g x g ，∴当1->x 时，0)0()(=≥g x g ，即0111)1ln(≥-+++x x ∴111)1ln(+-≥+x x ，综上可知，当x x x x ≤+≤-+->)1ln(111,1有时2、作差法构造函数证明【例2】已知函数.ln 21)(2x x x f +=求证：在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方；【解】设)()()(x f x g x F -=，即x x x x F ln 2132)(23--=，则xx x x F 12)(2--='=x x x x )12)(1(2++-当1>x 时，)(x F '=xx x x )12)(1(2++-从而)(x F 在),1(∞+上为增函数，∴061)1()(>=>F x F∴当1>x 时 0)()(>-x f x g ，即)()(x g x f <，故在区间),1(∞+上，函数)(x f 的图象在函数332)(x x g =的图象的下方。

人教版数学高二备课资料巧用构造法妙证不等式

巧用构造法妙证不等式所谓构造法，就是在遇到常规、定向思考的解题途径不能解决时，可以改变一下思维方向，按“纵向深入，横向联系”的原则，根据题设条件寻找一个数学模型，例如合理构造一个几何模型，通过数形结合，以形辅数，正确地作出图形，找到一个出奇制胜的简捷的解题途径，达到事半功倍的效果。

不等式的证明是高中数学的一个难点，而构造法却能使有些难题“逢凶化吉”，迎刃而解，本文举例说明。

1．构造几何模型例1 若a ，b ，c ，x ，y ∈R +且a+x=b+y=c+z=k 。

求证：2aybz cxk解析：构造几何模型法的难点在于合理构造一个图形，要解决这个难点就要“纵向深入”分析题设结构，“横向联系”联想几何图形。

本题由a+x=b+y=c+z=k 联系三角形AB=BC=CA=K ，如图所示，略证如下：在边长为k 的等边三角形ABC 中令AB=a ＋x ，AB=y ＋b ，CA z c ，则21233333,,,ABCSk S ay S bz S cx 由123ABCS S S S得2aybzcxk，例2 若x ，y ，z ∈R +，求证：222222x xyy y yzz x zxz解析：纵向观察不等式两边都有根号且有交叉项。

横向联系到①三角形两边之和大于第三边，②斜三角形中余弦定理中的距离公式，且夹解为120°，不妨构造如图三角形ABC ，略证如下：在△ABC 中，由余弦定理可知：22222cos120BCx y xy x y xy 同理可得 2222,ACy z yz ABx z xzBCAC AB ∴222222x xyy y yzz x zxz2．构造函数模型例3 设a ，b ，c ∈R +，且a ＋b ＞c ．求证：111a b c abc解析：不等式左边的1a a和1b b与右边的1c c结构相同，使人联想到函数()()1x f x xR x，先证单调性：任取12,x x R，不妨设12x x ，则121212()()0(1)(1)x x f x f x x x ，∴f （x ）在x ∈R +上单调递增。

人教版数学高二-备课资料利用构造思想解决含参不等式问题

利用构造思想解决含参不等式问题恒成立问题，特别是含参数不等式的恒成立问题，既是高考热点，又是难点.此类题目有利于考查综合能力，有助于培养思维的灵活性和创造性.以下举例说明用构造函数的方法求解本类问题.1. 变更主元，构造函数求解【例1】对于-1≤a≤1，求使不等式恒成立的x的取值范围.解：原不等式等价于x2+ax>2x+a-1在a∈［－１，１］上恒成立.令f（a）=（x-1）a+x2-2x+1，则f（a）是关于a的一次函数，要f（a）>0在［－１，１］上恒成立，须满足即解得x>2或x<0，故实数x的取值范围是（－∞，０）∪（２，＋∞）.2.构造函数，运用函数图象求解对等式或不等式进行适当的变形后，能容易画出等号或不等号两边函数的图象，于是可以通过图象判断结果.这对于选择题、填空题显得方便和快捷.【例2】当x∈（０，＋∞）时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.解：令，则对称轴为x=-a，Δ＝２a+6.（１）Δ<0，即a<-3时，x∈Ｒ，f（x）>0恒成立，a<-3满足条件；（２）当Δ≥０，若x∈（０，＋∞）时，恒有f（x）>0，由二次函数的图象可知解得a≥.由（１）、（２）知，实数a的取值范围是（－∞，－３）∪［，＋∞）.3. 分离参数，构造函数求解若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围待求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解.【例3】已知当x∈R时，不等式a+cos2x<5-4sinx+恒成立，求实数a的取值范围.【分析】在不等式中含有两个变量a及x，其中x的范围已知（x∈R），另一变量a的范围即为所求，故可将a及x分离.解：原不等式即4sinx+cos2x<-a+5.要使上式恒成立，只需－a+5大于4sinx+cos2x的最大值，故上述问题转化成求f（x）=4sinx+cos2x的最值问题.f（x）＝4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2（sinx-1）2+3≤3，所以－a+5>3，即>a-2，上式等价于或解得≤a<8.。

人教版数学高二备课资料例谈不等式的证明

例谈不等式的证明不等式证明非常活跃，它可以和很多内容结合.如数列，函数，三角函数，二次曲线，方程等等.因此证明时，除应用不等式性质外，还要用到本身与结合内容证明的技巧.不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法. 不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等.例.若a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，求证：a +b ≤2，ab ≤1.证法一：综合法因a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以(a +b )3－23=a 3+b 3+3a 2b +3ab 2－8=3a 2b +3ab 2－6=3［ab (a +b )－2］=3［ab (a +b )－(a 3+b 3)］=－3(a +b )(a －b )2≤0.即(a +b )3≤23，又a +b ＞0，所以a +b ≤2，因为2ab ≤a +b ≤2，所以ab ≤1.点评：综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野.证法二：换元法、判别式法设a 、b 为方程x 2－mx +n =0的两根，则⎩⎨⎧=+=ab n b a m ，因为a ＞0，b ＞0，所以m ＞0，n ＞0，且Δ=m 2－4n ≥0①因为2=a 3+b 3=(a +b )(a 2－ab +b 2)=(a +b )［(a +b )2－3ab ］=m (m 2－3n ). 所以n =mm 3232- . ② 将②代入①得m 2－4(mm 3232-)≥0，即mm 383+-≥0，所以－m 3+8≥0，即m ≤2，所以a +b ≤2，由2≥m 得4≥m 2，又m 2≥4n ，所以4≥4n ，即n ≤1，所以ab ≤1.点评：换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性.如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证.证法三：放缩性因a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以2=a 3+b 3=(a +b )(a 2+b 2－ab )≥(a +b )(2ab －ab )=ab (a +b )于是有6≥3ab (a +b )，从而8≥3ab (a +b )+2=3a 2b +3ab 2+a 3+b 3= (a +b )3，所以a +b ≤2，(下略).点评：放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查.证法四：比较法因为333)2(2b a b a +-+8))((38]2444)[(22222b a b a ab b a ab b a b a -+=----++=≥0，所以对任意非负实数a 、b ，有233b a +≥3)2(b a + 因为a ＞0，b ＞0，a 3+b 3=2，所以1=233b a +≥3)2(b a +， ∴2b a +≤1，即a +b ≤2，(以下略). 点评：比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述。

人教版数学高二备课资料构建数学模型巧证(解)不等式

构建数学模型巧证（解）不等式不等式的求解和证明一直是高考的热点和难点，常用的证明方法有：比较法、分析法、综合法、基本不等式法、放缩法、数学归纳法等，本文举例说明不等式问题的非常规解（证）法，通过灵活巧妙的构建数学模型，合理转换，可以化难为易，化简为繁。

一、利用数列证明不等式例1.已知0<a<1,0<b<1,证明：abb a -≥-+-121111. 证明：∵,11132 ++++=-a a a a ,11132 ++++=-b b b b∴ab ab ab ab ab b a b a b a b a -=++++≥+++++++=-+-122222)()()(211113322 从而证得abb a -≥-+-121111. 二、构建向量证明不等式例2.已知a ＞b ＞c ，求证ca cb b a -≥-+-411. ），（），（证明：构造c b b a cb b a --=--=,11，||||||2222m n m n m （得）（）由（≥⋅≥⋅ 则|.411|112c a c b b a c b b a -=-+-+≥-+-）（所以 ca cb b a -≥-+-411. 评注：本题通过巧妙构造向量，赋予题目新的意境,运用22||||（）（⋅≥⋅解决问题,让人回味无穷。

三、利用方程证明不等式例3.已知122=-ac b ，求证：b 2≥4ac （a 、b 、c ∈R ）. 分析：结论式可以转化为b 2-4ac ≥0，恰好是一元二次方程有实根的必要条件.解析：由已知可化为：a 2)22(-+b （22-）+c=0，这表明二次方程ax 2+bx+c=0有实根22-，从而需要判别式△≥0，即b 2≥4ac.四、利用函数的单调性证明不等式例4.已知x，y∈R，且3x+5y≥3-y+5-x，求证：x+y≥0.证明：可以构造函数f（t）=3t-5-t，∵f（t）在（-∞，+∞）上是增函数，由已知有f（x）≥f（-y），∴x≥-y，即x+y≥0.通过上面的例子，可以看出构建不同的数学模型解决不等式问题，方法巧妙、灵活，不仅温习了方程、函数、数列、向量等相关知识，而且活跃了思维，给人以新、奇、巧的数学美感。

人教版数学高二-备课资料证明不等式的常见策略与技巧

证明不等式的常见策略与技巧由于不等式的形式与结构千差万别，因而方法灵活，技巧性强．教材中仅介绍了证明不等式的三种常见方法(比较法、综合法、分析法)，为了开阔同学们的视野，本文再举例介绍证明不等式的常见技巧与策略．一、合成把所证不等式分解为几个比较简单的部分不等式，分别证明各个简单的不等式成立，然后再利用同向不等式相加或相乘的性质，得原不等式成立．例1 设1x ，2x ，3x ，…，n x 是n 个正数，求证：212x x ＋223x x ＋234x x ＋…＋21n nx x -＋21nx x ≥1x ＋2x ＋3x ＋…＋n x ．证明：∵212x x ＋2x≥=12x ，同理，223x x ＋3x ≥22x ，…，21n n x x -＋n x ≥12n x -，21nx x ＋1x ≥2n x ， ∴将上述n 个同向不等式两边分别相加，即得212x x ＋223x x ＋234x x ＋…＋21n n x x -＋21n x x ≥1x ＋2x ＋3x ＋…＋n x ．二、凑项凑项是为了达到下列目的：一是能够直接应用重要不等式，二是凑“和”或“积”为定值，三是具备“等号”成立的条件．例2 已知x ＞1，求证：21x x -≥4．证明：21x x -=2111x x -+-=211x x --＋11x -= x ＋1＋11x -= (x －1)＋11x -＋2≥＋2 = 4．三、配项对原式同加(减)或同乘(除)一个不为零的数或式，以便综合法证明不等式．例3 已知a 、b 、x 、y 均为正数，且ax＋b y = 1，求证：x ＋y ≥)2．证明：∵ax＋b y = 1，∴x ＋y = (x ＋y)(a x ＋b y ) = a ＋b ＋bx y ＋ay x ≥a ＋b ＋= a ＋b ＋)2．四、配对根据已知不等式的结构，给原不等式配上一个与之对称的不等式，然后联立原不等式，完成不等式的证明．例4 求证：12.34.56 (21)2n n - 证明：设A n =12.34.56.....212n n -，配对B n =23.45.67.. (221)nn +，则A n ＜B n ．由于2n A ＜A n ·B n =121n +，所以A n 即12.34.56 (21)2n n -．五、构造有些条件不等式，可以和函数(或方程)建立直接联系，通过构造函数式(或方程)，利用函数 (或方程)的有关特性，完成不等式的证明．例5 设a ＋b ＋c = 1，a 2＋b 2＋c 2= 1，且a ＞b ＞c ，求证：－13＜c ＜0．证明：∵a ＋b ＋c = 1，∴a ＋b = 1－c ，①∴(a＋b)2= (1－c)2⇒a2＋b2＋2ab = 1＋c2－2c，而a2＋b2= 1－c2，∴1－c2＋2ab = 1＋c2－2c⇒ab = c2－c．②由①、②式知a、b为方程x2－(1－c)x＋c2－c = 0的两个实数根，而a＞b＞c，故上述方程有均大于c的两不等实数根．设()f x= x2－(1－c)x＋c2－c，则0,10,2()0.cf c∆>⎧⎪-⎪>⎨⎪>⎪⎩⇒－13＜c＜0．∴－13＜c＜0．六、放缩在不等式证明中，常常采用舍去一些正(负)项，而使不等式的各项之和变小(大)，或把和(积)里的各项换以较大(小)的数或在分式中扩大(后果缩小)分子(或分母)，从而达到证明不等式的目的．例6 已知a、b为正实数，且a＋b = 1，求证：11a+＋11b+＜32．证明：11a+＋11b+＜1ba b++＋1ab a++=21a ba b++++=32．七、代换对于一些不等式，如果形式上比较复杂，但有一定的规律，则可采用变量代换方法，通过换元，把生疏的结构转化为重要不等式形式，使证题思路自然、简捷．如果是轮换对称不等式(任意互换两个字母，代数式不变)，可以用适当的字母或多项式来代换不等式中的有关量．例7 设a、b、c是三角形的三边长，求证：ab c a+-＋bc a b+-＋ca b c+-≥3。

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构造法证明不等式例析由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使得不等式证明成为中学数学的难点之一．下面通过数例介绍构造法在证明不等式中的应用．一、构造一次函数法证明不等式如果所要证明的不等式中含有一个或多个一次的变量，此时可通过选择一个变量作未知数，其它的变量成为参数，这样就可以和一次函数建立直接联系，通过构造一次函数式，利用一次函数的有关特性，完成不等式的证明．例1 设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b2＋c2＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．证明：视a为自变量，构造一次函数(af= 4a＋b2＋c2＋abc－2ab－2bc－2ca = (bc－2b－2c＋4)a＋(b2＋c2－)2bc)，又)0(f= b2＋c2－2bc = (b－c)2≥0，)2(f= b2＋c2－4b－4c＋8 = (b－2)2＋(c－2)2≥0，∴)(af≥0，即4a＋b2＋c2＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．二、构造二次函数法证明不等式如果不等式中含有一元二次方程的判别式(△= b2－4ac)的结构，就可以通过构造一元二次函数，利用二次函数的有关特性，可以简洁地完成不等式证明．例2 实数a、b、c满足( a＋c)( a＋b＋c)＜0，求证：( b－c )2＞4a( a＋b＋c)．证明：由已知得a = 0时，b≠c，否则与( a＋c)( a＋b＋c)＜0矛盾，故a = 0时，( b－c )2＞4a( a＋b＋c)成立．当a ≠0时，构造二次函数)(x f = ax 2＋( b －c )x ＋( a ＋b ＋c)，则有)0(f = a ＋b ＋c ，)1(-f = 2(a ＋c)，而)0(f ·)1(-f = 2( a ＋c)( a ＋b ＋c)＜0，∴存在m ，当－1＜m ＜0时，)(m f = 0，即二次函数)(x f 的图象与x 轴相交， ∴方程ax 2＋( b －c )x ＋( a ＋b ＋c) = 0有两个不相等的实数根， ∴△=( b －c )2－4a( a ＋b ＋c)＞0，即( b －c )2＞4a( a ＋b ＋c)．三、构造单调函数法证明不等式根据题意结构式构造与之相对应的单调函数式，再利用单调性的定义，完成要证的不等式．例3 已知 a ＞0，b ＞0，求证：a a +1＋b b +1＞ba ba +++1．证明：构造函数)(x f =x x +1，易证)(x f =x x +1= 1－x+11当x ＞0时单调递增．∵ a ＋b ＋ab ＞a ＋b ＞0，∴ f (a ＋b ＋ab)＞f ( a ＋b)．故 a a +1＋b b+1=)1)(1(2b a ab b a ++++＞)1ab b a ab b a +++++=f (a ＋b ＋ab)＞f ( a ＋b) =ba ba +++1．四、构造局部不等式证明不等式如果所证不等式是多个变量的和式结构，并且每一个变量在不等式中所占地位是相同的，此时从整体上考虑难以下手，通过构造若干个结构完全相同的局部不等式，再利用同向不等式相加的性质，即得证不等式．例4 已知a 1，a 2，…，a n 均为正数，且a 1＋a 2＋…＋a n = 1，求证：2121a a a +＋3222a a a +＋…＋12a a a n n +≥21．证明：因2121a a a +＋421a a +≥a 1，3222a a a +＋432a a +≥a 2，……，12a a a n n +＋41a a n +≥a n ．又因421a a +＋432a a +＋…＋41a a n +=21( a 1＋a 2＋…＋a n ) =21，所以，把以上各同向不等式相加，得：2121a a a +＋3222a a a +＋…＋12a a a n n +＋21≥a 1＋a 2＋…＋a n = 1．故2121a a a +＋3222a a a +＋…＋12a a a n n +≥21．五、构造对偶式证明不等式如果所证不等式中含有和为定值的结构式，可以据此构造一些与它有内在联系的辅助对偶式或直接构造对偶不等式，然后经过运算，促使问题的转化与解决．例5 设x ＞0，求证：x ＋x1－11++xx ≤2－3．证明：设A =x ＋x1－11++x x ，构造A 的辅助对偶式：B =x ＋x1＋11++xx ，则有A·B= 1且B ≥2＋3，从而1 =A·B ≥(2＋3)A ，因此由A ＞0即可得A ≤2－3，即不等式x ＋x1－11++xx ≤2－3成立．六、构造参数不等式证明不等式通过巧妙地引入参变量，把问题转化成重要不等式结构，把证明不等式问题转化成对参数的讨论，使参数在不等式证明中起到桥梁作用．此类证法适合通过配方化成若干个平方和形式的不等式。

例6 已知a 1，a 2，…，a n 均为实数，且a 1＋a 2＋…＋a n = A (A ＞0)，a 21＋a 22＋…＋a 2n=12-n A (n ∈N ，n ≥2) ，求证：0≤a k ≤n A 2．( k =1，2，…，n)．证明：12-n A －a 21= a 22＋…＋ a 2n = a 22＋…＋a 2n ＋t(a 1＋a 2＋…＋a n －A) = (a 2＋2t )2＋(a 3＋2t )2＋…＋(a n ＋2t)2＋t a 1－t A －41-n t 2≥t a 1－t A －41-n t 2． ① 又t a 1－t A －41-n t 2=－41-n [t －12-n ( a 1－A)]2＋11-n ( a 1－A)2≤11-n ( a 1－A)2．而12-n A －a 21与t 无关，即①式对t ∈R 恒成立，所以12-n A －a 21≥11-n ( a 1－A)2．整理得：na 21－2a 1A ≤0，解得0≤a 1≤nA2．同理可求得0≤a k ≤nA2．( k =1，2，…，n) 七、构造向量法证明不等式根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系→m ·→n ≤|→m |·|→n |，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化．应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握．例7 设任意实数x ，y 满足| x |＜1，| y |＜1，求证：211x -＋211y -≥xy-12．证明：构造向量→a = (211x -，211y -)，→b = (21x -，21y -)，由(→a ·→b )2≤|→a |2·|→b |2，得 4≤(211x-＋211y -)·(1－x 2＋1－y 2)，∵| x |＜1，| y |＜1，∴1－x 2＋1－y 2= 2－(x 2＋y 2)＞0， ∴211x -＋211y -≥)(2422y x +-≥xy 224-=xy -12．八、构造平面几何模型证明不等式构造平面几何模型证明三角不等式，形象直观，有利于沟通三角、平面几何、代数知识之间的联系。

其中利用单位圆中的三角函数线证明不等式最常见．例8 已知x 1、x 2∈(0，2π)，求证：tanx 1＋tanx 2＞2tan221x x +．证明：在单位圆中，过A 作单位圆的切线AT ，在AT 上取B 、C 两点，使∠BOA = x 1， ∠COA = x 2，∠DOA =221x x +，取E 为BC 的中点，不妨设x 2＞x 1，显然|OC|＞|OB|，|AB| = tanx 1，|AC| = tanx 2，|AD| = tan221x x +．作∠COB 的角平分线OD ，由三角形内角平分线的性质，得||||DC BD =||||OC OB ，∴||||DC BD ＜1，即|BD|＜|DC|， ∵|BE|＞|BD|，∴|AE|＞|AD|． ∵AE =21[|AB|＋|AC]，∴21(tanx 1＋tanx 2)＞tan 221x x +，即tanx 1＋tanx 2＞2tan221x x +．九、构造解析几何模型证明不等式如果不等式两边可以通过某种方式与图形建立联系，则可根据已知式的结构挖掘出它的几何背景，通过构造解析几何模型，化数为形，利用数学模型的直观性，将不等式表达的抽象数量关系转化为图形加以解决．其中借用点到直线的距离或利用圆锥曲线模型证明不等式是数形结合的典范。

例9 设a ＞0，b ＞0，a ＋b = 1，求证：12+a ＋12+b ≤22．证明：所证不等式变形为：21212+++b a ≤2．这可认为是点A(12+a ，12+b )到直线 x ＋y = 0的距离．但因(12+a )2＋(12+b )2= 4，故点A 在圆x 2＋y 2= 4 (x ＞0，y ＞0)上．如图所示，AD ⊥BC ，半径AO ＞AD ，即有：21212+++b a ≤2，所以12+a ＋12+b ≤22．十、构造立体几何模型法证明不等式含有限定条件的不等式一般都有明显的几何背景，它们等都是很容易转化成“形”的，通过讨论所要证明不等式的立体几何背景，把满足条件的立体几何图形构造出来，化抽象为形象，达到另辟蹊径、难题巧解的目的．例10 如果a 、b 、c ∈R +，a ＋b ＋c =1，求证：13+a ＋13+b ＋13+c ≤32．设x =13+a ，y =13+b ，z =13+c ，则x 2＋y 2＋z 2= 3(a ＋b ＋c)＋3 = 6，①① 式表示中心为O (0，0)，半径为 r =6球，再设x ＋y ＋z = m ，②② 表示x 、y 、z 轴上的截距为m 的平面，由球与平面有公共点的充要条件得：球心O (0，0)到平面的距离d ≤r ，即d =222111++m ≤6 ⇒ m ≤32．即13+a ＋13+b ＋13+c ≤32．。