人教版数学高二备课资料构造法证明不等式例 析

构造法证明不等式例析

由于证明不等式没有固定的模式，证法灵活多样，技巧性强，使得不等式证明成为中学数学的难点之一．下面通过数例介绍构造法在证明不等式中的应用．

一、构造一次函数法证明不等式

如果所要证明的不等式中含有一个或多个一次的变量，此时可通过选择一个变量作未知数，其它的变量成为参数，这样就可以和一次函数建立直接联系，通过构造一次函数式，利用一次函数的有关特性，完成不等式的证明．例1 设0≤a、b、c≤2，求证：4a＋b2＋c2＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．

证明：视a为自变量，构造一次函数

(a

f= 4a＋b2＋c2＋abc－2ab－2bc－2ca = (bc－2b－2c＋4)a＋(b2＋c2－)

2bc)，

又)0(f= b2＋c2－2bc = (b－c)2≥0，)2(f= b2＋c2－4b－4c＋8 = (b－2)2＋(c－2)2≥0，

∴)(a

f≥0，即4a＋b2＋c2＋abc≥2ab＋2bc＋2ca．

二、构造二次函数法证明不等式

如果不等式中含有一元二次方程的判别式(△= b2－4ac)的结构，就可以通过构造一元二次函数，利用二次函数的有关特性，可以简洁地完成不等式证明．例2 实数a、b、c满足( a＋c)( a＋b＋c)＜0，求证：( b－c )2＞4a( a＋b＋c)．

证明：由已知得a = 0时，b≠c，否则与( a＋c)( a＋b＋c)＜0矛盾，

故a = 0时，( b－c )2＞4a( a＋b＋c)成立．

当a ≠0时，构造二次函数)(x f = ax 2＋( b －c )x ＋( a ＋b ＋c)，则有

)0(f = a ＋b ＋c ，)1(-f = 2(a ＋c)，而)0(f ·)1(-f = 2( a ＋c)( a ＋b ＋c)＜0，

∴存在m ，当－1＜m ＜0时，)(m f = 0，即二次函数)(x f 的图象与x 轴相交， ∴方程ax 2＋( b －c )x ＋( a ＋b ＋c) = 0有两个不相等的实数根， ∴△=( b －c )2－4a( a ＋b ＋c)＞0，即( b －c )2＞4a( a ＋b ＋c)． 三、构造单调函数法证明不等式

根据题意结构式构造与之相对应的单调函数式，再利用单调性的定义，完成要证的不等式．

例3 已知 a ＞0，b ＞0，求证 ：

a a +1＋

b b +1＞b

a b

a +++1． 证明： 构造函数)(x f =x x +1，易证)(x f =x x +1= 1－x

+11

当x ＞0时单调递

增．

∵ a ＋b ＋ab ＞a ＋b ＞0，∴ f (a ＋b ＋ab)＞f ( a ＋b)． 故 a a +1＋b b

+1=)1)(1(2b a ab b a ++++＞)

1ab b a ab b a +++++=f (a ＋b ＋ab)＞f ( a ＋b) =

b

a b

a +++1．

四、构造局部不等式证明不等式

如果所证不等式是多个变量的和式结构，并且每一个变量在不等式中所占地

位是相同的，此时从整体上考虑难以下手，通过构造若干个结构完全相同的局部不等式，再利用同向不等式相加的性质，即得证不等式．

例4 已知a 1，a 2，…，a n 均为正数，且a 1＋a 2＋…＋a n = 1，求证：

2121a a a +＋3

22

2a a a +＋…＋12a a a n n +≥21

． 证明：因2121a a a +＋421a a +≥a 1，3

22

2

a a a +＋432a a +≥a 2，……，12a a a n n +＋

4

1

a a n +≥a n ． 又因

421a a +＋432a a +＋…＋41a a n +=21( a 1＋a 2＋…＋a n ) =2

1， 所以，把以上各同向不等式相加，得：2121a a a +＋3

22

2a a a +＋…＋12a a a n n +＋21

≥

a 1＋a 2＋…＋a n = 1．

故2121a a a +＋3

22

2a a a +＋…＋12a a a n n +≥21

． 五、构造对偶式证明不等式

如果所证不等式中含有和为定值的结构式，可以据此构造一些与它有内在联系的辅助对偶式或直接构造对偶不等式，然后经过运算，促使问题的转化与解决．

例5 设x ＞0，求证：x ＋

x

1－11

++

x

x ≤2－3． 证明：设A =x ＋

x

1－11++

x x ，构造A 的辅助对偶式：B =x ＋x

1＋11

++

x

x ， 则有A·B= 1且B ≥2＋3，从而1 =A·B ≥(2＋3)A ， 因此由A ＞0即可得A ≤2－3，即不等式x ＋x

1－11

++

x

x ≤2－3成立．

六、构造参数不等式证明不等式

通过巧妙地引入参变量，把问题转化成重要不等式结构，把证明不等式问题转化成对参数的讨论，使参数在不等式证明中起到桥梁作用．此类证法适合通过配方化成若干个平方和形式的不等式。

例6 已知a 1，a 2，…，a n 均为实数，且a 1＋a 2＋…＋a n = A (A ＞0)，a 2

1＋

a 2

2

＋…＋a 2n

=1

2

-n A (n ∈N ，n ≥2) ，求证：0≤a k ≤n A 2．( k =1，2，…，n)．

证明：12-n A －a 21= a 22＋…＋ a 2n = a 2

2＋…＋a 2n ＋t(a 1＋a 2＋…＋a n －A) = (a 2

＋2t )2＋(a 3＋2t )2＋…＋(a n ＋2t

)2＋t a 1－t A －41-n t 2≥t a 1－t A －4

1-n t 2

． ① 又t a 1－t A －

41-n t 2=－4

1-n [t －12-n ( a 1－A)]2＋11

-n ( a 1－A)2≤

1

1

-n ( a 1－A)2． 而12-n A －a 21与t 无关，即①式对t ∈R 恒成立，所以1

2-n A －a 2

1≥11-n ( a 1－

A)2．

整理得：na 2

1－2a 1A ≤0，解得0≤a 1≤

n

A

2． 同理可求得0≤a k ≤

n

A

2．( k =1，2，…，n) 七、构造向量法证明不等式

根据已知条件与欲证不等式结构，将其转化为向量形式，利用向量数量积及不等式关系→

m ·→

n ≤|→

m |·|→

n |，就能避免复杂的凑配技巧，使解题过程简化．应用这一方法证明一些具有和积结构的代数不等式，思路清晰，易于掌握．

例7 设任意实数x ，y 满足| x |＜1，| y |＜1，求证：211x -＋211y -≥xy

-12．

证明：构造向量→

a = (

2

11x -，

2

11y -)，→

b = (21x -，21y -)，

由(→

a ·→

b )2

≤|→

a |2

·

|→

b |2，得 4≤(2

11x

-＋211y -)·(1－x 2＋1－y 2

)，