遥感影像压缩质量评价方法
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
目标的定位是利用已知的目标模板 ,对图像进行处理 , 分析和识别 ,并确定与该模板最吻合的目标的位置 。目标的 匹配则是以两幅图像中某幅上的目标为模板 ,识别并确定另 一幅里与该模板最吻合的目标的位置 ,即同名像点的视差 。 二者都需要先确定搜索范围 ,都需要先对目标粗定位 ,然后 再精确定位 。
应用在解压缩图像质量评价上 ,由于对图像的内容不了 解 ,确定特定的目标费时费力 ,实际中可以采用局部模型法 , 它是亚像素定位 ,是匹配技术的一种有效的 ,精度较高的方 法 。其主要思想是对感兴趣的小区域 (如取信息量大于某阈 值的区域) 拟合某种参数化模型 ,基于物理理性推理和观察 , 使得模型能最佳或良好地与小区域的特性匹配 ,把小区域作 为目标对象来研究 。
目前实用的图像压缩质量测评方法 ,采用主 、客观相结 合 ,以主观为主 。主观评价方法就是让观察者根据一些事先 规定的评价尺度或自己的经验 ,对测试图像按视觉效果提出 质量判断 ,并给出质量分数 ,对所有观察者给出的分数进行 平均 ,所得的结果即为图像的主观质量评价 。
主观评价虽然能较好地反映出图像的直观质量 ,但是带 有很大的主观性 ,片面性 ,而且从工程应用的角度看 ,过于费 时费力 ,不便于大数据量的评价 。所以需要和客观评价相结 合 。目前很多研究者致力于寻找与主观评价一致的客观评 价方法 ,企图用客观评价代替主观评价 ,但是由于对人类视 觉生理和心理的特性至今没能被很好地认识 ,这一研究迟迟
4 几何质量的客观评价方法
遥感图像的位置信息具有两层含义 :即单幅图像上目标 的绝对位置和两幅图像间同名目标的相对位置 。在摄影测 量与遥感中体现在定位和匹配任务中 ,这里的目标并不是指 孤立的像素点 ,而必须是有特定的灰度分布和形状分布的一 组像素点组成 ,有明显的灰度变化和一定面积大小 。例如目 标特征是圆点 ,角点 ,交叉点 ,直线 ,特征曲线等 。
48
2004. 3 综 述 遥感信息
没有突破性的进展 。客观评价的结论与人的主观感受时有 出入 。此外对遥感图像而言 ,影像经过压缩后 ,不仅要有较 好的人类视觉效果 ,更重要的是用计算机代替人眼对遥感影 像进行搜索 、量测 ,定位时能保持较高的精度 (较好的计算机 视觉效果) 。由于定位主要依靠的是图像边缘 、标志点等高 频信息 ,而压缩过程可以视为对图像边缘进行了某种非线性 变换 ,表现为图像边缘的位移 、旋转 、尺度缩放和边缘调制 , 所以图像压缩后 ,高频信息的非线性变换会对自动定位量测 的精度产生影响 ,即对计算机视觉产生影响 。另一方面 ,人 眼对高频信息变化却不敏感 ,较小倍率压缩造成的几何质量 的小幅度降低 ,人眼可能根本无法辨识 ,因而对人类视觉影 响并不大 。所以遥感图像压缩对人类视觉和计算机视觉的 影响 ,必须区别对待 。对人类视觉的影响 ,可以采用主观评 价方法 ,也可以采用客观评价方法来评价 ,而对计算机视觉 的影响就只能采用客观评价方法来评价 。所以对遥感图像 而言 ,主观评价是不够的 ,客观评价才有可能全面地度量压 缩后的图像的质量 (构像质量和几何质量) 。本文归纳了几 种当今适用的构像质量和几何质量的客观评价方法 。并通 过实验进行测试 ,得出了一些有益的结论 。
空影像 : 75cm) 图像经 J EP G2000 压缩不同倍率后的构像质
量的客观评价结果 。从图中可以看出 : 对于同一幅图像而
言 ,随着压缩比增大 ,重建图像相对于原图像信息损失逐渐
增大 ,与原图像的相似性逐渐减小 。但对于不同的图像来
说 ,这些评价得出的结论并不一致 ,例如 ,相同压缩比时 ,图
50
二乘法通过奇异值分解求解 , 最后在有极值的块内 ,求拟合函数的极值位置 ( x , y) 。
遥感影像经过压缩后 ,会产生灰度值的失真 ,这种失真对 遥感影像的质量的影响并不是十分确定的 ,如果这种失真在 人眼的视觉感应能力之外 ,人眼根本看不出压缩前后的差别 ; 如果计算机自动量测 ,自动理解算法对这种失真不敏感 ,那 么 ,此时压缩也不会损害理解的准确度和量测的精度 。从而 也不会影响图像的质量 。所以这种考虑人眼视觉特性 ,面向 应用的高性能压缩算法是从事压缩的工作者所追求的目标 。
遥感信息 综 述 2004. 3
遥感影像压缩质量评价方法
马国锐 ,武文波 ,秦前清
(武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室 ,武汉 430079)
摘要 :对重建图像进行质量评价是图像压缩的一个重要研究课题 ,评价方法的非客观性和非准确性可能误导图像压缩技 术的进一步研究 ,本文针对解压缩后的遥感影像 ,分析了影像压缩对人类视觉和计算机视觉的影响 ,从构像质量和几何质量 两方面初步探讨了压缩图像质量的客观评价方法 ,强调了遥感影像几何质量评价的重要性 ,并使用各种评价方法对数幅图像 进行测试 ,不同的方法可能代表了图像质量的不同方面 ,得出的结果不尽相同 ,他们共同构成了对解压缩图像质量的综合描 述。
收稿日期 :2004 - 03 - 25 基金项目 :国家自然科学基金项目 (No. 40204008) 作者简介 :马国瑞 (1980~) 男 ,湖北襄阳人 ,2002 年获武汉大学工学学士学位 ,现为武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室硕博连读生 ,
主要研究方向为遥感图像压缩 ,配准融合 、变化检测等 。
从本质上讲 ,遥感图像的质量包括图像的构像质量和几 何质量 。构像质量即图像的可理解性 ,可识别性 ;几何质量 指图像的可量测性 ,可定位性 。比起一般的图像 ,遥感图像 的几何质量显得尤为重要 ,几何质量表达了遥感影像能正确 反映原始景物形状和大小的能力 ,几何质量的优劣决定了遥 感影像可量测的精度 。遥感影像的几何质量主要是通过使 用影像进行摄影测量定位的精度来表达 。
3 构像质量的客观评价方法
全局性的客观评价参数包括信噪比和相似度 ,用于对图 像整体质量的评估 ,局域性的客观评价参数包括拉氏逼真 度 ,拉氏均方误差 ,全图区域最大误差等 ,用于对图像细部的 质量评估 。
(1) 峰值信噪比 :将压缩前后图像相应像元灰度差看作 是噪声 ,将原图像看作是信号 ,计算其信噪比 。
本文采用了两种方法自动测定压缩前 、后遥感影像上的 检查点位所在小区域的位置偏移 ,旨在客观地评价遥感影像 压缩后的几何质量 :一是基于高精度的目标定位原理的曲面 拟合极值法 ;二是基于高精度的影像相关原理的最小二乘匹 配法 。
4. 1 曲面拟合极值法 数字图像被认为是连续函数的采样阵列 ,有关图像的大 多数思想首先在连续函数上进行讨论 ,然后使用离散逼近法 来计算所需要的性质 。反之 ,拟合法从采样图像中估计连续 函数 ,再在连续函数中求得图像的性质 。 现在的任务是从数字图像的灰度值重构连续函数 ,对复 杂图像来说 ,连续灰度函数可能包含 x 和 y 的超阶幂方 ,从 而使得重构原始函数十分困难 ,因而一般采用小面元模型 , 即寻找最能逼近小区域灰度值的分段解析函数 。本文用三 次多项式建立局部图像的小面元模型 : f ( x , y) = k1 + k2 x + k3 y + k4 x2 + k5 xy + k6 y2 + k7 x3 + k8 x2 y + k9 xy2 + k10 y3 (其中 x , y 是 相 对 于 要 逼 近 的 图 像 平 面 中 心 点 的 坐 标) 。 然后计算逼近函数的系数 ki ( i = 1 , 2 , …, 10) ,可用最小
图 1 三幅遥感影像小波压缩后构像质量的客观评价结果 49
遥感信息 综 述 2004. 3
air 峰值信噪比 spot5 高 ,但拉氏逼真度却比 spot5 低 。这说 明 ,这些标准只是表征了图像一个方面的特性 ,如果说图 air 压缩后的整体质量比 spot5 高 ,那么局域性的质量就比 spot5 差 。一个不容忽视的问题是 :有些图像压缩很大倍率后仍然 保持较高的峰值信噪比 ,如图像 air ;而另一些图像稍作压缩 就变得与原图差别很大 ,如图像 ikonos。这可能与图像本身 的性质有关 ,有待深入探讨 。
由于目前的压缩编码水平有限 ,自动解译还处于研究阶 段 ,自动量测算法虽然已取得很大进展 ,但是由于自动量测 搜索的主要对象是影像中的边缘 ,标志点 ,特征点等高频信 息 。图像压缩后 ,高频部分损失较大 ,目视可见边缘模糊 ,特
征点 、标志点退化或者扩散 ,因而对量测精度不可避免地会 产生影响 。所以遥感影像采用目前的压缩算法压缩后 ,几何 质量也会下降 。
L-NMS E =
i =1 j =1 M
N
∑∑f′( i , j) 2
i =1 j =1
( f ′( i , j) , g′( i , j) 同上)
(5) 全图区域最大误差 :
MN
∑∑ L M E = MAX
[ f ( i , j) - g ( i , j) ]
i =1 j =1
图 1 为 3 幅不同分辨率 ( SPO T5 :10m , I KONOS : 1m ,航
f ( i , j + 1) - 4 f ( i , j) g′( i , j) = g ( i + 1 , j) + g ( i - 1 , j) + g ( i , j - 1) + g ( i ,
j + 1) - 4 g ( i , j) (4) 拉氏均方误差 :
MN
∑∑[ f′( i , j) g′( i , j) ]2
遥感影像资料压缩带来了传输和存储效率的提高 ,但是 不能以过多损失影像的质量为代价 ,必需在其间取得平衡 , 使压缩造成的图像质量的损失控制在人类视觉和计算机视 觉可接受的范围内 ,为完成这项工作 ,就需要研究遥感影像 压缩质量的评价方法 。
2Leabharlann Baidu 遥感图像压缩质量评价方法概述
几十年来 ,对图像质量的评价一直存在两种观点 。一种 观点认为任何图像都是给人看的 ,因此应该采用目视评估的 方法 ,即主观评价 ; 另一种观点认为 ,主观评价的方法不全 面 ,经不起重复检验 ,当观测条件变化时 ,评定的结果可能产 生差异 ,因此发展了许多不受评估人员影响的客观评价方 法 ,如峰值信噪比 ,相似度等 。不过这些方法因为没有很好 的顾及人类视觉的生理特性 ,也都具有一定的局限性 。
PS N R
=-
10log10
MS E 2552
(2) 相似度 :
MN
∑∑f ( i , j) g ( i , j)
XSD =
i =1 j =1
MN
∑∑f ( i , j) 2
MN
∑∑g ( i , j) 2
i =1 j =1
i =1 j =1
(3) 拉氏逼真度 : (小区域的度量)
M- 1 N- 1
关键词 : 影像压缩 ;质量评价 ;构像质量 ;几何质量 中图分类号 : TP751 文献标识码 : A 文章编号 : 1000 - 3177 (2004) 75 - 0048 - 05
1 引 言
现代遥感技术已实现对地球进行多平台 ,多传感器 ,多 光谱及全天时观测 ,因而获得的影像数据量十分巨大 ,数据 压缩技术已广泛应用于其传输和存储中 。由于遥感影像纹 理丰富 ,像素间相关性小 ,熵值很大 ,采用无损压缩效率很 低 ,所以一般采用准无损压缩 ,压缩过程中信息有损失 ,重建 图像相对于原图有一定的畸变和误差 。直接表现为像素灰 度的不均匀损失 ,一般高频部分损失较大 ,低频部分损失很 小。
M- 1 N- 1
∑∑ ∑∑ L- Fidelity = -
[ f ′( i , j) g′( i , j) ]/
f ′2 ( i , j)
i =2 j =2
i =2 j =2
其中 , f ′( i , j) = f ( i + 1 , j) + f ( i - 1 , j) + f ( i , j - 1) +
应用在解压缩图像质量评价上 ,由于对图像的内容不了 解 ,确定特定的目标费时费力 ,实际中可以采用局部模型法 , 它是亚像素定位 ,是匹配技术的一种有效的 ,精度较高的方 法 。其主要思想是对感兴趣的小区域 (如取信息量大于某阈 值的区域) 拟合某种参数化模型 ,基于物理理性推理和观察 , 使得模型能最佳或良好地与小区域的特性匹配 ,把小区域作 为目标对象来研究 。
目前实用的图像压缩质量测评方法 ,采用主 、客观相结 合 ,以主观为主 。主观评价方法就是让观察者根据一些事先 规定的评价尺度或自己的经验 ,对测试图像按视觉效果提出 质量判断 ,并给出质量分数 ,对所有观察者给出的分数进行 平均 ,所得的结果即为图像的主观质量评价 。
主观评价虽然能较好地反映出图像的直观质量 ,但是带 有很大的主观性 ,片面性 ,而且从工程应用的角度看 ,过于费 时费力 ,不便于大数据量的评价 。所以需要和客观评价相结 合 。目前很多研究者致力于寻找与主观评价一致的客观评 价方法 ,企图用客观评价代替主观评价 ,但是由于对人类视 觉生理和心理的特性至今没能被很好地认识 ,这一研究迟迟
4 几何质量的客观评价方法
遥感图像的位置信息具有两层含义 :即单幅图像上目标 的绝对位置和两幅图像间同名目标的相对位置 。在摄影测 量与遥感中体现在定位和匹配任务中 ,这里的目标并不是指 孤立的像素点 ,而必须是有特定的灰度分布和形状分布的一 组像素点组成 ,有明显的灰度变化和一定面积大小 。例如目 标特征是圆点 ,角点 ,交叉点 ,直线 ,特征曲线等 。
48
2004. 3 综 述 遥感信息
没有突破性的进展 。客观评价的结论与人的主观感受时有 出入 。此外对遥感图像而言 ,影像经过压缩后 ,不仅要有较 好的人类视觉效果 ,更重要的是用计算机代替人眼对遥感影 像进行搜索 、量测 ,定位时能保持较高的精度 (较好的计算机 视觉效果) 。由于定位主要依靠的是图像边缘 、标志点等高 频信息 ,而压缩过程可以视为对图像边缘进行了某种非线性 变换 ,表现为图像边缘的位移 、旋转 、尺度缩放和边缘调制 , 所以图像压缩后 ,高频信息的非线性变换会对自动定位量测 的精度产生影响 ,即对计算机视觉产生影响 。另一方面 ,人 眼对高频信息变化却不敏感 ,较小倍率压缩造成的几何质量 的小幅度降低 ,人眼可能根本无法辨识 ,因而对人类视觉影 响并不大 。所以遥感图像压缩对人类视觉和计算机视觉的 影响 ,必须区别对待 。对人类视觉的影响 ,可以采用主观评 价方法 ,也可以采用客观评价方法来评价 ,而对计算机视觉 的影响就只能采用客观评价方法来评价 。所以对遥感图像 而言 ,主观评价是不够的 ,客观评价才有可能全面地度量压 缩后的图像的质量 (构像质量和几何质量) 。本文归纳了几 种当今适用的构像质量和几何质量的客观评价方法 。并通 过实验进行测试 ,得出了一些有益的结论 。
空影像 : 75cm) 图像经 J EP G2000 压缩不同倍率后的构像质
量的客观评价结果 。从图中可以看出 : 对于同一幅图像而
言 ,随着压缩比增大 ,重建图像相对于原图像信息损失逐渐
增大 ,与原图像的相似性逐渐减小 。但对于不同的图像来
说 ,这些评价得出的结论并不一致 ,例如 ,相同压缩比时 ,图
50
二乘法通过奇异值分解求解 , 最后在有极值的块内 ,求拟合函数的极值位置 ( x , y) 。
遥感影像经过压缩后 ,会产生灰度值的失真 ,这种失真对 遥感影像的质量的影响并不是十分确定的 ,如果这种失真在 人眼的视觉感应能力之外 ,人眼根本看不出压缩前后的差别 ; 如果计算机自动量测 ,自动理解算法对这种失真不敏感 ,那 么 ,此时压缩也不会损害理解的准确度和量测的精度 。从而 也不会影响图像的质量 。所以这种考虑人眼视觉特性 ,面向 应用的高性能压缩算法是从事压缩的工作者所追求的目标 。
遥感信息 综 述 2004. 3
遥感影像压缩质量评价方法
马国锐 ,武文波 ,秦前清
(武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室 ,武汉 430079)
摘要 :对重建图像进行质量评价是图像压缩的一个重要研究课题 ,评价方法的非客观性和非准确性可能误导图像压缩技 术的进一步研究 ,本文针对解压缩后的遥感影像 ,分析了影像压缩对人类视觉和计算机视觉的影响 ,从构像质量和几何质量 两方面初步探讨了压缩图像质量的客观评价方法 ,强调了遥感影像几何质量评价的重要性 ,并使用各种评价方法对数幅图像 进行测试 ,不同的方法可能代表了图像质量的不同方面 ,得出的结果不尽相同 ,他们共同构成了对解压缩图像质量的综合描 述。
收稿日期 :2004 - 03 - 25 基金项目 :国家自然科学基金项目 (No. 40204008) 作者简介 :马国瑞 (1980~) 男 ,湖北襄阳人 ,2002 年获武汉大学工学学士学位 ,现为武汉大学测绘遥感信息工程国家重点实验室硕博连读生 ,
主要研究方向为遥感图像压缩 ,配准融合 、变化检测等 。
从本质上讲 ,遥感图像的质量包括图像的构像质量和几 何质量 。构像质量即图像的可理解性 ,可识别性 ;几何质量 指图像的可量测性 ,可定位性 。比起一般的图像 ,遥感图像 的几何质量显得尤为重要 ,几何质量表达了遥感影像能正确 反映原始景物形状和大小的能力 ,几何质量的优劣决定了遥 感影像可量测的精度 。遥感影像的几何质量主要是通过使 用影像进行摄影测量定位的精度来表达 。
3 构像质量的客观评价方法
全局性的客观评价参数包括信噪比和相似度 ,用于对图 像整体质量的评估 ,局域性的客观评价参数包括拉氏逼真 度 ,拉氏均方误差 ,全图区域最大误差等 ,用于对图像细部的 质量评估 。
(1) 峰值信噪比 :将压缩前后图像相应像元灰度差看作 是噪声 ,将原图像看作是信号 ,计算其信噪比 。
本文采用了两种方法自动测定压缩前 、后遥感影像上的 检查点位所在小区域的位置偏移 ,旨在客观地评价遥感影像 压缩后的几何质量 :一是基于高精度的目标定位原理的曲面 拟合极值法 ;二是基于高精度的影像相关原理的最小二乘匹 配法 。
4. 1 曲面拟合极值法 数字图像被认为是连续函数的采样阵列 ,有关图像的大 多数思想首先在连续函数上进行讨论 ,然后使用离散逼近法 来计算所需要的性质 。反之 ,拟合法从采样图像中估计连续 函数 ,再在连续函数中求得图像的性质 。 现在的任务是从数字图像的灰度值重构连续函数 ,对复 杂图像来说 ,连续灰度函数可能包含 x 和 y 的超阶幂方 ,从 而使得重构原始函数十分困难 ,因而一般采用小面元模型 , 即寻找最能逼近小区域灰度值的分段解析函数 。本文用三 次多项式建立局部图像的小面元模型 : f ( x , y) = k1 + k2 x + k3 y + k4 x2 + k5 xy + k6 y2 + k7 x3 + k8 x2 y + k9 xy2 + k10 y3 (其中 x , y 是 相 对 于 要 逼 近 的 图 像 平 面 中 心 点 的 坐 标) 。 然后计算逼近函数的系数 ki ( i = 1 , 2 , …, 10) ,可用最小
图 1 三幅遥感影像小波压缩后构像质量的客观评价结果 49
遥感信息 综 述 2004. 3
air 峰值信噪比 spot5 高 ,但拉氏逼真度却比 spot5 低 。这说 明 ,这些标准只是表征了图像一个方面的特性 ,如果说图 air 压缩后的整体质量比 spot5 高 ,那么局域性的质量就比 spot5 差 。一个不容忽视的问题是 :有些图像压缩很大倍率后仍然 保持较高的峰值信噪比 ,如图像 air ;而另一些图像稍作压缩 就变得与原图差别很大 ,如图像 ikonos。这可能与图像本身 的性质有关 ,有待深入探讨 。
由于目前的压缩编码水平有限 ,自动解译还处于研究阶 段 ,自动量测算法虽然已取得很大进展 ,但是由于自动量测 搜索的主要对象是影像中的边缘 ,标志点 ,特征点等高频信 息 。图像压缩后 ,高频部分损失较大 ,目视可见边缘模糊 ,特
征点 、标志点退化或者扩散 ,因而对量测精度不可避免地会 产生影响 。所以遥感影像采用目前的压缩算法压缩后 ,几何 质量也会下降 。
L-NMS E =
i =1 j =1 M
N
∑∑f′( i , j) 2
i =1 j =1
( f ′( i , j) , g′( i , j) 同上)
(5) 全图区域最大误差 :
MN
∑∑ L M E = MAX
[ f ( i , j) - g ( i , j) ]
i =1 j =1
图 1 为 3 幅不同分辨率 ( SPO T5 :10m , I KONOS : 1m ,航
f ( i , j + 1) - 4 f ( i , j) g′( i , j) = g ( i + 1 , j) + g ( i - 1 , j) + g ( i , j - 1) + g ( i ,
j + 1) - 4 g ( i , j) (4) 拉氏均方误差 :
MN
∑∑[ f′( i , j) g′( i , j) ]2
遥感影像资料压缩带来了传输和存储效率的提高 ,但是 不能以过多损失影像的质量为代价 ,必需在其间取得平衡 , 使压缩造成的图像质量的损失控制在人类视觉和计算机视 觉可接受的范围内 ,为完成这项工作 ,就需要研究遥感影像 压缩质量的评价方法 。
2Leabharlann Baidu 遥感图像压缩质量评价方法概述
几十年来 ,对图像质量的评价一直存在两种观点 。一种 观点认为任何图像都是给人看的 ,因此应该采用目视评估的 方法 ,即主观评价 ; 另一种观点认为 ,主观评价的方法不全 面 ,经不起重复检验 ,当观测条件变化时 ,评定的结果可能产 生差异 ,因此发展了许多不受评估人员影响的客观评价方 法 ,如峰值信噪比 ,相似度等 。不过这些方法因为没有很好 的顾及人类视觉的生理特性 ,也都具有一定的局限性 。
PS N R
=-
10log10
MS E 2552
(2) 相似度 :
MN
∑∑f ( i , j) g ( i , j)
XSD =
i =1 j =1
MN
∑∑f ( i , j) 2
MN
∑∑g ( i , j) 2
i =1 j =1
i =1 j =1
(3) 拉氏逼真度 : (小区域的度量)
M- 1 N- 1
关键词 : 影像压缩 ;质量评价 ;构像质量 ;几何质量 中图分类号 : TP751 文献标识码 : A 文章编号 : 1000 - 3177 (2004) 75 - 0048 - 05
1 引 言
现代遥感技术已实现对地球进行多平台 ,多传感器 ,多 光谱及全天时观测 ,因而获得的影像数据量十分巨大 ,数据 压缩技术已广泛应用于其传输和存储中 。由于遥感影像纹 理丰富 ,像素间相关性小 ,熵值很大 ,采用无损压缩效率很 低 ,所以一般采用准无损压缩 ,压缩过程中信息有损失 ,重建 图像相对于原图有一定的畸变和误差 。直接表现为像素灰 度的不均匀损失 ,一般高频部分损失较大 ,低频部分损失很 小。
M- 1 N- 1
∑∑ ∑∑ L- Fidelity = -
[ f ′( i , j) g′( i , j) ]/
f ′2 ( i , j)
i =2 j =2
i =2 j =2
其中 , f ′( i , j) = f ( i + 1 , j) + f ( i - 1 , j) + f ( i , j - 1) +