足球队排名

多种思路解决足球赛排名次问题

摘要

本题是一个给定了足球比赛时，两两相比的比分，然后给12支球队排名，并推广到n 支球队的问题。

模型一中，我们用了层次分析法中的成对比较阵求出各队的权重，然后进行排名。对于题中比分的残缺问题，用了辅助矩阵来解决。用这种方法给足球队排得名次为：

411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T

模型二中，我们列出了评判球队实力的三个因素：场均积分，场均净胜球数，场均进球数，然后根据问题中各因素的因果关系将其分为三层，即目标层、准则层和决策层。由准则层与目标层、决策层与准则层之间的关系，分别建立准则层对目标层、决策层对准则层的判断矩阵，并对判断矩阵的一致性进行检验，得出的一致性指标10.0

然后再确定三者的权重，分别建立判断矩阵，再求出组合权重，最终可排出最后的名次。用这种方法给足球队排得名次为：

411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T

可见，两种方法得出的结论是一致的，可互相验证两种模型的正确性。 题中的比较矩阵均为一致阵，所以可以推广到n 支球队的情况，而且对数据没有要求。但是比赛场次越多，数据残缺越少，越能反映各队的真实实力。

一．问题重述

本题给出了12支球队间相互比赛的比分，要求我们设计能依据所给数据给12只球队排名的算法，并推广到N个球队，同时给出当我们算法成立时数据所

说明：（1）12支球队依次记作T1,T2,…T12。 （2）符号X 表示两队未曾比赛。

（3）数字表示两队比赛结果，如T3行与T8行交叉处的数字表示：T3

与T8比赛了2场；T3与T8的进球数之比为0：1和3：1.

二． 模型假设

1. 比赛的结果真实可靠

2. 评判球队的实力只看场均净胜球，场均积分，及场均进球数

3.

三． 符号说明

模型一：

1. j i ij T T a 表示两球队的实力之比

2. ij m 为i T 与j T

比赛，平均每场的净胜球数 3. A 表示判断矩阵

4. A

~表示辅助矩阵 模型二：

1. k p 表示12支球队，k=1,2, …12 2．1C 表示因素：场均积分 3. 2C 表示因素：场均净胜球 4. 3C 表示因素：场均进球数

5. A 表示准则层对目标层的判断矩阵

6. i w 表示决策层对准则层的比较矩阵，i=1,2,3

7. 1W 表示准则层对目标层的权重；

8. 2W 表示方案层对准则层的权重；

⎪⎩⎪

⎨⎧==+≠≠=0

a ，0的个数0行为第,,10a 且,a ~ij i i ij ij ij i m j i m j i a 9. W 表示方案层对目标层的组合权重；

四． 模型建立与求解

模型一：利用层次分析法中的成对比较阵排序

Step1:构造判断矩阵 元素确定原则：

令i=1,2, ...12；j=1,2, (12)

⑴若i T 与j T 比赛时互胜场次相等，则 a. 净胜球等于0，直接令ij a =ji a =1； b. i T 净胜球多于j T ，则认为i T 胜j T 一场； ⑵i T 胜j T k 场，k>0,则

⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧>≤≤=4,941,2k k k b ij

ij m 为i T 与j T 比赛，平均每场的净胜球数

⎪

⎩⎪⎨⎧<-≤≤>=0

,120,02,1ij ij ij ij

m m m c ij a =ij b +ij c

ji ij a a 1

=

若两队无成绩，则令0a ==ji ij a

Step2:构造辅助矩阵A

~ 令

Step3：求最大特征根和特征向量 用MATLAB 编程可得

()0015.0,0996.0,0546.0,0089.0,0869.0,3867.0,0404.0,0416.0,1526.0,1853.0,0964.0,1680.0-----=W

Step3：排序

根据求出的最大特征向量，可得12个队的排名为：

411569121082137,,,,,,,,,,,T T T T T T T T T T T T

模型二：层次分析法

层次分析法中，要确定目标层，准则层，决策层。具体到本题，目标层为12支球队的排名，准则层为评判球队实力的因素。根据实际情况，评判一个球队实力的因素主要有平均积分，平均净胜球数，平均进球数。由此 可得层次分析结构图如下：

1. 计算各队的场均积分，场均净胜球，场均进球数，如下表所示

选优排序

场均净胜球

场均进球数

场均积分

目标层

准则层

决策层

2. 对准则层的3个因素两两比较，采用下列的比较尺度：

设这三个因素分别为1C ，2C ，3C ，我们根据经验，进行两两比较，得到三者的重要度之比为

41

2

=C C 81

3

=C C 22

3

=C C 由此可得判断矩阵为：

14811241118

2

A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢

⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

编程求得判断矩阵的特征根和特征向量，找出最大特征根max λ，3max =λ，将其对应的特征向量归一化，得：

]0909.01818

.07273

.0[1=W

这就是准则层3个因素的权重。 成对比较阵通常不是一致阵，但为了能用它的对应于特征根的特征向量作为被比较的权向量，其不一致性需在一定容许范围内。

下面对判断矩阵A 作一致性检验。 一致性指标为

1

n

--=

n CI λ 将3max =λ，12=n 代入得

01455.0=CI

为一致性比率CR 。

1.00251.01<==

RI

CI

CR 1.0

3. 分别求各队在三个准则下的权重（也就是排名）

根据第一步算出的各队场均积分，场均净胜球数，场均进球数可得到以下决策层对准则层的比较矩阵：

分别求其最大特征根和对应的特征向量，并将其归一化，得

()

0735.0,0367.0,0934.0,0778.0,0817.0,1634.0,0794.0,0367.0,0313.0,1149.0,0926.0,1184.01=w ()

0622.0,0237.0,0808.0,0554.0,1011.0,2181.0,0391.0,0526.0,0,1371.0,1025.0,1274.02=w ()

0569.0,0759.0,0753.0,0552.0,0803.0,1758.0,0512.0,0854.0,0539.0,1138.0,0683.0,1078.03=w T w w w W ),,(3212=