轴对称(讲义)(含答案)
第1讲生活中的轴对称、角平分线讲义
FE D CBA 生活中的轴对称一、知识提要1. 成轴对称与轴对称图形；轴对称图形性质与设计；2. 角平分线上一点到角两边的距离相等；3. 中垂线上的一点到线段两端点的距离相等.二、精讲精练1. 下列图形中，是轴对称图形的有（ ）个．①角；②线段；③等腰三角形；④扇形；⑤三角形； ⑥正方形；⑦平行四边形；⑧圆；⑨五边形． A ．5个 B ．6个 C ．7个 D ．8个 2. 下列说法中，正确的是（ ）A ．两个全等三角形组成一个轴对称图形B ．直角三角形一定是轴对称图形C ．轴对称图形是由两个图形组成的D ．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形3. 如图1，四边形ABCD 沿直线l 对折后互相重合，如果AD ∥BC ，有下列结论:①AB ∥CD ；②AB =CD ；③AB ⊥BC ；④AO =OC ．其中正确的结论是_______________．4. 如图2裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，若∠BAF =60°，则∠DAE = .5. 如图3，先将正方形纸片对折,折痕为MN ,再把B 点折叠在折痕MN 上,折痕为AE ,点B 在MN 上的对应点为H ,沿AH 和DH 剪下,这样剪得的三角形中 ( )A ．AD DH AH ≠=B ．AD DH AH ==C ．DH AD AH ≠= D ．AD DH AH ≠≠图1 图2 图36. 两个图形关于某直线对称，对称点一定在（ ） A ．这直线的两旁 B ．这直线的同旁C ．这直线上D ．这直线两旁或这直线上7. 下列说法中错误的是（ ）A ．两个对称的图形对应点连线的垂直平分线就是它们的对称轴l D O CB AH N MEDCBAGF EDCBA P N MDC BAOB ．关于某直线对称的两个图形全等C ．面积相等的两个三角形对称D ．轴对称指的是两个图形沿着某一直线对折后重合 8. 如图，是用笔尖扎重叠的纸得到的成轴对称的两个图形，则AB 的对应线段是 ， EF 的对应线段是 ，∠C 的对应角是 . 连接CE 交L 于O ，则 ⊥ ，且 = .9. 如图4，OC 平分∠AOB ，D 为OC 上任一点，DE ⊥OB 于E ，若DE =4 cm ，则D 10. 如图于E ，DE =5cm ，则= ．图4 图511. 如图6，△ABC 中，∠BAC =100°，DF 、EG 分别是AB 、AC 的垂直平分线，则∠DAE 等于（ ） A ．50°B ．45°C ．30°D ．20°12. 如图7，点P 关于OA 、OB 的对称点分别为C 、D ，连接CD ，交OA 于M ，交OB 于N ，若△PMN 的周长=8厘米，则CD 为 厘米．图6 图713. 在直线l 上找一点P ，使得在直线同侧的点A 、B 到点P 的距离之和AP +BP最小．ED C BAAC D14.如图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A，B到它的距离之和最短？15.如图，要在公路MN旁修建一个货物中转站P，分别向A、B两个开发区运货．（1）若要求货站到A、B两个开发区的距离相等，那么货站应建在哪里？（2）若要求货站到A、B两个开发区的距离和最小，那么货站应建在哪里？16.作图题：如图在一个规格为4×8的球台上，有两个小球P和Q，设小球P、Q的位置如图．(1)若击打小球P经过球台的边AB上的点O1反弹后，恰好击中小球Q，请作出点O1的位置（保留作图痕迹）；(2)若击打小球P经过球台的边AC上的点O2反弹后又击打到了CD边上的点O3，经CD边反弹后恰好经过点Q，请作出点O2和点O3的位置（保留作图痕迹）．17.如图，已知∠MON内有一点A，求作△ABC，使其周长最小，且B、C分别在OM和ON上．AM18. 已知：如图， AF 平分∠BAC ，BC ⊥AF ， 垂足为E ，点D 与点A 关于点E对称.(1)求证：AB =CD ；(2)若BP 分别与线段AF 、CF 相交于点M 、点P ，∠BAC =2∠MPC ， 请你判断∠F 与∠MCD 的大小关系，并说明理由．A BCEDMPF。
第3章 位置与坐标-坐标与轴对称 八年级数学暑假提升精品讲义及答案
第13讲 坐标与轴对称模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四小试牛刀过关测1．探索图形坐标变化的过程；2．了解掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系；知识点一．坐标系中的平移：（1）将点向右（或向左）平移a 个单位可得对应点或．（2）将点向上（或向下）平移b 个单位可得对应点或．总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．知识点二．坐标系中的对称：（1）点关于x 轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）点关于y 轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．（3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．（4）点关于点的对称点是．（5）点关于的对称点是．（6）点关于的对称点是．（7）点关于一三象限的平分线的对称点为．（8）点关于二四象限的平分线的对称点为．考点一：求点沿x 轴，y轴平移后的坐标例八年级校考开学考试）已知点，将点度，再向上平移个单位长度到达点，则点的坐标为．八年级统考开学考试）将点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点的坐标为1-2】2023下在平面直角坐标系中，将点先向向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是个单位长度，再向下平移个单位长度后，得到点，则点考点二：关于x轴、y轴对称的点的坐标例八年级专题练习）点关于轴对称点的坐标是，关于轴对称点的坐标是【变式2-1】（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A．B．C．D．模拟预测）点的坐标是，则点关于轴对称的点的坐标是点关于轴对称的点的坐标是【变式2-3】八年级校考期末）若点与点关于考点三：利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题例3. （22-23八年级上·广东东莞·期中）如图，点，，点P是在x轴上，且使最小，写出点P的坐标．【变式3-1】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，已知，，，作关于x轴的对称图形，则点的坐标；P为x轴上一点，当的周长最小时的点P的坐标．【变式3-2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点，点是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上存在一点，连接，，，，使四边形的周长最小，则点的坐标为．【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点、在y轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是．考点四：作图——轴对称变换例4. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)直接写出点C关于x轴对称的点的坐标；(2)画出关于y轴对称的，并写出点B的对应点的坐标；(3)在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出点P．【变式4-1】（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．(1)在图中画出关于轴对称的图形；(2)在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时点关于这条直线的对称点的坐标为__________；(3)的面积为__________；写出计算过程．【变式4-2】（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，点、点、点、点都在由边长为1的小正方形组成网格的格点上，的位置如图所示．(1)在图中画出关于轴对称的；(2)的顶点关于轴对称的点的坐标为：________；的顶点关于轴对称的点的坐标为：________；(3)求的面积．(4)在轴上求作一点，使的值最小，保留画图痕迹，并写出最小值________．【变式4-3】数形结合是一种非常重要的数学思想，借助于坐标系我们可以研究特殊的对称关系．已知，，、关于直线的对称点为、．(1)写出的坐标___________，的坐标___________；(2)写出关于的对称点的坐标___________；(3)写出点关于直线的对称点的坐标___________．一、单选题1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）点关于轴对称点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）A．B．C．D．3．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为（）A．B．C．2D．44．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接．则的最小值为（）A．B．C．3D．5．（2024·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，轴，点C的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点C的对称点为M，且交y轴于点N，则点N的坐标为（）A．B．C．D．（二、填空题6．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是．7．（2024·湖南邵阳·二模）若点与点关于x轴对称，则8．（2024·江苏常州·二模）点关于直线对称的点的坐标是．9．（23-24八年级下·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，已知，点与点关于轴对称，，则的面积为．10．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点，点，点，点C在x轴上．若，则点C的坐标为．三、解答题11．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题：(1)请直接写出，，三点的坐标；(2)画出关于轴对称的；(3)在轴上找到一点，使的周长最小，直接写出这个周长的最小值．12．（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，关于y轴对称图形为（其中：A与，B与，C与相对应）．(1)画出关于y轴对称的图形．(2)写出三个顶点的坐标．(3)求的面积．13．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为；(3)已知P为x轴上一点，若点P的坐标为，求的面积．14．（23-24八年级下·湖南永州·期中）阅读下列一段文字，回答问题．【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离．例如．如图1，，则．【直接应用】(1)已知，求P、Q两点间的距离；(2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值；(3)利用上述两点间的距离公式，求代数式的最小值是多少？第13讲 坐标与轴对称模块一 思维导图串知识模块二 基础知识全梳理（吃透教材）模块三 核心考点举一反三 模块四小试牛刀过关测1．探索图形坐标变化的过程；2．了解掌握图形坐标变化与图形轴对称之间的关系；知识点一．坐标系中的平移：（1）将点向右（或向左）平移a 个单位可得对应点或．（2）将点向上（或向下）平移b 个单位可得对应点或．总结：点的左右平移横坐标满足左减右加，点的上下平移纵坐标满足上加下减．知识点二．坐标系中的对称：（1）点关于x 轴的对称点是，即横坐标不变，纵坐标互为相反数．（2）点关于y 轴的对称点是，即纵坐标不变，横坐标互为相反数．总结：点关于哪条坐标轴对称则哪个坐标不变，另外一个坐标变为原来的相反数．（3）点关于坐标原点的对称点是，即横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数．（4）点关于点的对称点是．（5）点关于的对称点是．（6）点关于的对称点是．（7）点关于一三象限的平分线的对称点为．（8）点关于二四象限的平分线的对称点为．考点一：求点沿x 轴，y轴平移后的坐标例八年级校考开学考试）已知点，将点度，再向上平移个单位长度到达点，则点的坐标为．【答案】【分析】让点A即可得到的坐标．【详解】解：由题中平移规律可知：的横坐标为；纵坐标为；∴的坐标为，故答案为：．【点睛】本题主要考查了用坐标表示平移．注意左右移动改变点的横坐标，左减右加；上下移动改变点的纵坐标，下减上加．将点向左平移个单位，再向下平移个单位得到点，则点的坐标为【答案】【分析】点的横坐标减，纵坐标减即可得到平移后点的坐标．【详解】解：点的横坐标为，纵坐标为，所以点的坐标是．故答案为：．【点睛】本题考查点的平移规律，用到的知识点为：点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减．在平面直角坐标系中，将点先向向右平移个单位长度，得到点，则点的坐标是【答案】【分析】根据平移的特点即可求解．【详解】解：点先向向右平移个单位长度得到坐标，故答案为：．【点睛】本题考查了点的平移，熟练掌握点平移坐标的变化情况是解题的关键．】点A个单位长度后，得到点，则点【答案】【分析】将点B【详解】点B（【点睛】本题考查了点的平移规律，熟练掌握坐标中点的平移规律是解题的关键．考点二：关于x轴、y轴对称的点的坐标例八年级专题练习）点关于轴对称点的坐标是，关于轴对称点的坐标是根据关于x轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于【详解】解：点关于于轴对称点的坐标是，关于轴对称点的坐标是．故答案为：，．【点睛】本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴对称点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，关于【变式2-1】（2024·四川成都·一模）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A．B．C．D．点关于轴对称的点的坐标是，故选：C．【变式2-2】（模拟预测）点的坐标是，则点关于轴对称的点的坐标是点关于轴对称的点的坐标是【答案】根据轴对称的性质，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，关于轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，即可求解．解：在平面直角坐标系中，点关于轴对称时，横坐标不变，纵坐标为相反数，点关于轴对称的点的坐标是，关于轴对称时，横坐标为相反数，纵坐标不变，点关于轴对称的点的坐标是，故答案为，．【点睛】本题考查了坐标与轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．八年级校考期末）若点与点关于【答案】【分析】根据若两点关于轴对称，则横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解．点与点关于轴对称，∴，解得，∴．故答案为：2．本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于轴对称，则横轴对称，则横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．考点三：利用轴对称求平面直角坐标系中线段和最小值问题例3. （22-23八年级上·广东东莞·期中）如图，点，，点P是在x轴上，且使最小，写出点P的坐标．【答案】【分析】如图所示，作点A关于x轴对称的点，连接交轴于，取，连接，过点作于D，根据轴对称的性质可得当三点共线时，最小，即最小，此时P 与重合，利用三角形面积之间的关系求出点P的坐标即可．【详解】解：如图所示，作点A关于x轴对称的点，连接交轴于，取，连接，过点作于D，∴，，∴，∴当三点共线时，最小，即最小，此时P与重合，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化——轴对称，轴对称最短路径问题，确定当三点共线时，最小，即最小是解题的关键．【变式3-1】（23-24八年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，已知，，，作关于x轴的对称图形，则点的坐标；P为x轴上一点，当的周长最小时的点P的坐标．【答案】【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数找到A、B、C对应点的位置，然后顺次连接，再写出对应点坐标即可；连接交x轴于P，点P即为所求．【详解】解：如图所示，即为所求；∴如图所示，∵AB长度不变，的周长，∴只要最小即可．∴连接交x轴于点P，∵两点之间线段最短，∴，∴结合网格小正方形的特点可得：故答案为：，【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，轴对称最短路径问题等等，灵活运用所学知识是解题的关键．【变式3-2】（23-24八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如图，在直角坐标系中，点，点是第一象限角平分线上的两点，点的纵坐标为1，且，在轴上存在一点，连接，，，，使四边形的周长最小，则点的坐标为．【答案】【分析】本题考查了对称性—最短路线，涉及坐标与图形的性质以及勾股定理，根据纵坐标得到，则有，作B关于y轴的对称点E，连接交y轴于D，此时可得四边形的周长最小，这个最小周长的值为，过E作交的延长线于F，根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：∵点，点C的纵坐标为1，∴轴，∴，∵，∴，∴，∵∴，∴，作B关于y轴的对称点E，连接交y轴于D，则此时，四边形的周长最小，这个最小周长的值为，过E作交的延长线于F，如图，则，点E和点F的横坐标为，∴，∴，∴最小周长的值，故答案为：．【变式3-3】如图，在平面直角坐标系中，点、在y轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是．【答案】【分析】如图所示，过点A作轴于D，作点B关于y轴的对称点C，连接交y轴于H，连接，则，利用轴对称的性质推出当A、C、P三点共线时，最小，即最小，此时点P与点H重合，根据求出，由此即可得到答案．【详解】解：如图所示，过点A作轴于D，作点B关于y轴的对称点C，连接交y轴于H，连接，则，∴，∴，∴当A、C、P三点共线时，最小，即最小，此时点P与点H重合，∵、，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，故答案为：．【点睛】本题主要考查了坐标与图形，轴对称最短路径问题，正确作出辅助线是解题的关键．考点四：作图——轴对称变换例4. 如图，的三个顶点的坐标分别为，，．(1)直接写出点C关于x轴对称的点的坐标；(2)画出关于y轴对称的，并写出点B的对应点的坐标；(3)在x轴上求作一点P，使点P到A、B两点的距离和最小，请标出点P．【答案】(1)(2)见解析，(3)见解析【分析】（1）关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，由此可得答案．（2）根据轴对称的性质作图，再根据图写出点坐标即可．（3）作点关于轴的对称点，连接，与轴交于点，连接，此时点到、两点的距离和最小．【详解】（1）解：（1）与关于轴对称，，点．（2）解：如图，即为所求，．（3）解：如图，点即为所标．【点睛】本题考查作图轴对称变换，轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．【变式4-1】（2023秋·河南信阳·八年级校联考期末）如图所示，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为、、．(1)在图中画出关于轴对称的图形；(2)在图中，若与点关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时点关于这条直线的对称点的坐标为__________；(3)的面积为__________；写出计算过程．【答案】(1)见解析(2)y轴，(3)【分析】（1）根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，得到A、B、C的对应点、、的坐标，然后描点连线即可；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特征：纵坐标相同，横坐标互为相反数，得到点和点B的对称轴为y轴，进而可得点的坐标；（3）根据网格特点和割补法求解面积即可．【详解】（1）解：如图，即为所求作：（2）解：如图，∵，，∴点和点B的对称轴为y轴，∵，∴点关于这条直线的对称点的坐标为，故答案为：y轴，；（3）解：的面积为，故答案为：．【点睛】本题考查坐标与图形变换-轴对称，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的关键．【变式4-2】（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）在平面直角坐标系中，点、点、点、点都在由边长为1的小正方形组成网格的格点上，的位置如图所示．(1)在图中画出关于轴对称的；(2)的顶点关于轴对称的点的坐标为：________；的顶点关于轴对称的点的坐标为：________；(3)求的面积．(4)在轴上求作一点，使的值最小，保留画图痕迹，并写出最小值________．【答案】(1)见解析(2)，(3)12(4)见解析，【分析】（1）根据轴对称的性质即可画出图形；（2）根据轴对称的性质可得答案；（3）利用所在的长方形的面积减去周围三个三角形面积即可；（4）连接，与y轴交于点P，则，可得，再利用勾股定理计算即可．【详解】（1）解：如图，即为所求；（2）由（1）知，，关于轴对称点，故答案为：，；（3）；（4）如图，点P即为所求；最小值为：．【点睛】本题主要考查了作图轴对称变换，勾股定理，最短路径问题，关于坐标轴对称的点的坐标的特征，三角形的面积等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．【变式4-3】数形结合是一种非常重要的数学思想，借助于坐标系我们可以研究特殊的对称关系．已知，，、关于直线的对称点为、．(1)写出的坐标___________，的坐标___________；(2)写出关于的对称点的坐标___________；(3)写出点关于直线的对称点的坐标___________．【答案】(1)，；(2)；(3)．【分析】（1）利用轴对称变换的性质求解；（2）利用轴对称变换的性质求解；（3）利用轴对称变换的性质求解．【详解】（1）如图，∵点与点关于直线对称，∴，∴点与点纵坐标相同，横坐标之和等于，∴点，同理：，（2）∵关于直线对称，∴对应点纵坐标相同，横坐标之和等于，∴点，（3）∵关于直线对称，∴对应点纵坐标相同，横坐标之和等于，∴点，【点睛】此题考查坐标与图形变化一对称，解题的关键是掌握轴对称变换的性质．一、单选题1．（23-24八年级下·河南南阳·期中）点关于轴对称点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C【分析】本题考查的知识点是关于轴对称点的坐标特点、判断点所在的象限，解题关键是掌握关于轴对称点的坐标的变化规律．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得点关于轴的对称点坐标，然后再根据横纵坐标的符号判断所在象限．【详解】解：关于轴对称点是，所在的象限是第三象限，点关于轴对称点所在的象限是第三象限．故选：．2．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标是（ ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，比较简单．平面直角坐标系中任意一点，关于轴的对称点的坐标是，据此即可求得点关于轴对称的点的坐标．【详解】解：根据轴对称得，点关于轴对称的点的坐标是．故选：D3．（2024·浙江·三模）在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，则m的值为（）A．B．C．2D．4【答案】D【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，根据关于y轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数得到，解之即可．【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点与点关于y轴对称，∴，∴，故选：D．4．（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，、两点的坐标分别为，线段（点在点右侧）在轴上移动，且，连接．则的最小值为（）A．B．C．3D．【答案】B【分析】此题主要考查了坐标与图形，对称的性质，平移的性质，平移使点落在点处，连接，则点的对应点为，即，进而得出，再作点关于轴的对称点，则，进而得出的最小值为，即可求解答案．【详解】解：如图，平移使点落在点处，连接，则点的对应点为，即，，，点，作点关于轴的对称点，当点在同一条线上时，最小，，，连接，则的最小值为，故选：B．5．（2024·河南新乡·三模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴上，顶点B在y轴上，，轴，点C的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点C的对称点为M，且交y轴于点N，则点N的坐标为（）A．B．C．D．（【答案】B【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键．【详解】∵，轴，，∴四边形是矩形，∵点C的坐标为，∴，，∴由轴对称变换可知，，，又∵，∴，∴，∴在中，∵，∴，∴，∴，故选：B．二、填空题6．（2024·福建福州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于y轴对称的点的坐标是．【答案】【分析】本题主要考查了平面直角坐标系点的对称性质，掌握关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数成为解题的关键．根据平面直角坐标系中关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数即可解答．【详解】解：点关于y轴对称的点的坐标是．故答案为．7．（2024·湖南邵阳·二模）若点与点关于x轴对称，则【答案】1【分析】本题主要考查了关于x轴对称的点的坐标，以及已知字母的值求代数式的值，根据关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标相反求出m，n的值，然后代入代数式计算即可．【详解】解：∵点与点关于x轴对称，∴，，∴，故答案为：1．8．（2024·江苏常州·二模）点关于直线对称的点的坐标是．【答案】【分析】本题主要考查了关于垂直坐标轴的直线对称的点坐标．设点关于直线对称的点为，根据题意得出，即可求解．【详解】设点关于直线对称的点为，∴，解得，，∴．故答案为：．9．（23-24八年级下·河北邢台·期中）在平面直角坐标系中，已知，点与点关于轴对称，，则的面积为．【答案】【分析】本题考查了坐标与图形，关于轴对称点的坐标的特征；根据关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答即可．【详解】解：∵，点与点关于轴对称，∴，∴，又∵，∴到的距离为，∴的面积为，故答案为：．10．（2024七年级下·北京·专题练习）在平面直角坐标系中，点，点，点，点C在x轴上．若，则点C的坐标为．【答案】或【分析】根据对称，性质即可，本题考查了对称计算，熟练掌握计算方法是解题的关键．【详解】∵点，点，∴点B关于直线的对称点为，连接，则，∵点，点，∴点A、D关于y轴对称，∴点B、点E关于y轴的对称点为或，∴点C为或时，．故答案为：或．三、解答题11．（23-24八年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，在直角坐标系中，的位置如图所示，请回答下列问题：(1)请直接写出，，三点的坐标；(2)画出关于轴对称的；(3)在轴上找到一点，使的周长最小，直接写出这个周长的最小值．【答案】(1)，，(2)见解析(3)图见解析；周长最小为【分析】本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称的性质，勾股定理求两点之间的距离，掌握轴对称的性质是解题的关键．（1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标；（2）根据题意作的各顶点关于轴对称的点，顺次连接即可；（3）连接，利用对称的性质可得，进而根据勾股定理求出和的长，即可求出周长的最小值．【详解】（1）解：由平面直角坐标系中点的位置可知，、、三点的坐标分别为：，，；（2）解：如图，作的各顶点关于轴对称的点，顺次连接得到，即为所求作三角形；（3）解：连接，则，，，，即的周长最小值为．12．（23-24八年级下·湖南娄底·阶段练习）在正方形网格中，建立如图所示的平面直角坐标系，的三个顶点都在格点上，关于y轴对称图形为（其中：A与，B与，C与相对应）．(1)画出关于y轴对称的图形．(2)写出三个顶点的坐标．(3)求的面积．【答案】(1)见解析(2)，，(3)【分析】本题主要考查了轴对称作图，三角形面积计算，作出对应点的位置，是解题的关键．（1）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，，，然后再顺次连接即可；（3）利用割补法求出三角形的面积即可．【详解】（1）解：如图，即为所求作的三角形．（2）解：根据图可知，，，．（3）解：．13．（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，已知、、．(1)在平面直角坐标系中画出；(2)若点D与点C关于y轴对称，则点D的坐标为；(3)已知P为x轴上一点，若点P的坐标为，求的面积．【答案】(1)见解析(2)(3)2．【分析】本题考查作图—复杂作图、关于轴、轴对称的点的坐标、三角形的面积，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．。
轴对称作图及应用（讲义）（含答案）
轴对称作图及应⽤（讲义）（含答案）轴对称作图及应⽤（讲义）课前预习1. 作⼀条线段等于已知线段．已知：如图，线段a ．求作：线段AB ，使AB =a ．作法：（1）作射线AP ；（2）以_________为圆⼼，_______为半径作弧，交射线AP 于点B ．___________即为所求．2. 作⼀个⾓等于已知⾓．已知：如图，∠AOB ．求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′=∠AOB ．OAB作法：（1）作射线O′A′；（2）以________为圆⼼，_______为半径作弧，交OA于点C ，交OB 于点D ；（3）以____为圆⼼，____为半径作弧，交O′A′于点C ′；（4）____________，__________作弧，交前弧于点D ′；（5）过点D ′作射线O′B′．∠A′O′B′_____________．证明：如图，连接________，________．在___________和___________中，______________________________________________________??（已作）（已作）（已作）∴____________________（）∴____________________a知识点睛1.五种基本作图：①作⼀条线段等于已知线段；②作⼀个⾓等于已知⾓；③作已知⾓的⾓平分线；④作已知线段的垂直平分线；⑤过平⾯内⼀点，作已知直线的垂线．精讲精练1.作已知线段的垂直平分线．已知：线段MN．求作：直线AB，使AB垂直平分MN．N作法：（1）分别以_______，______为圆⼼，___________为半径作弧，两弧相交于点A和点B；（2）_______________________________________．_______________________________________．2.（1）过直线上⼀点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN上⼀点．求作：直线AB，使AB⊥MN．A作法：①________________________________________________________________________________________________；②________________________________________________________________________________________________；③________________________________________________．_________________________________________________．（2）过直线外⼀点，作已知直线的垂线．已知：A为直线MN外⼀点．求作：直线AB，使AB⊥MN．AM N作法：①________________________________________________；②________________________________________________________________________________________________；③________________________________________________________________________________________________；④________________________________________________．_________________________________________________．3.作已知⾓的⾓平分线．已知：如图，∠AOB．求作：射线OP，使∠AOP=∠BOP（即OP平分∠AOB）．AOB作法：（1）________________，__________________作弧，交OA于点M，交OB于点N；（2）分别以______，______为圆⼼，______________为半径作弧，两弧在________________交于点P；（3）_________________________．______________________________．4.作已知⾓的四等分线．已知：如图，∠AOB．求作：射线OP，OQ，OM，使∠AOP=∠POQ=∠QOM=∠MOB（即OP，OQ，OM四等分∠AOB）．AOB5.在以下三个图形中，根据尺规作图的痕迹，能判断射线AD平分∠BAC的是（）A．图2 B．图1与图2C．图1与图3 D．图2与图3A BCD图1AB CD图2图3DCBA6.电信部门要修建⼀座电视信号发射塔，如下图，按照设计要求，发射塔到两个城镇A，B的距离必须相等，到两条⾼速公路m，n的距离也必须相等，发射塔P应修建在什么位置？（不写作法，保留作图痕迹）7. 如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，分别以A ，C 为圆⼼，⼤于12AC 长为半径作弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，分别交AC ，BC 于点D ，E ，连接AE ，则：（1）∠ADE =_________．（2）AE _______EC ；（填“=”“＞”或“＜”）（3）当AB =3，BC =4时，△ABE 的周长为______．MNED CBAA BCD NM第7题图第8题图8. 如图，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点B ，C 为圆⼼，以⼤于12BC 长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交AB 于点D ，连接CD ．若CD =AC ，∠B =25°，则∠ACB 的度数为___________．9. 如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠CAB =50°．按以下步骤作图：①以点A 为圆⼼，⼩于AC 的长为半径画弧，分别交AB ，AC 于点E ，F ；②分别以点E ，F 为圆⼼，⼤于12EF 的长为半径画弧，两弧相交于点G ；③作射线AG 交BC 边于点D ．则∠ADC 的度数为_________．GC B A10. 如图，已知点D ，E 分别在∠CAB 的边AB ，AC 上，观察图中作图痕迹，若PD =6，则PE 的最⼩值是（） A ．2B ．3C ．6D ．12EDC BAP11. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =BC ，AB =CD ，已知CD =8，BC =10，按以下步骤作图：①以点C 为圆⼼，适当长度为半径作弧，分别交BC ，CD 于M ，N 两点；②分别以点M ，N 为圆⼼，以⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧在四边形ABCD 的内部交于点P ；③连接CP 并延长交AD 于点E ，交BA 的延长线于点F ，则AE 的长为（） A ．2B ．3C ．4D ．5PF EDC BAMN12. 如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，已知∠B =60°，AB =4．以点A 为圆⼼，任意长为半径画弧分别交边AB ，AD 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆⼼，以⼤于12MN 的长为半径画弧，两弧相交于四边形ABCD 内⼀点P ，连接AP 并延长交BC 边于点E ，连接DE ．当BE =2EC 时，BC 的长为_________．P13.如图，在△ABC中，以点A为圆⼼，AC的长为半径作弧，与BC交于点E，分别以点E，C为圆⼼，⼤于12EC的长为半径作弧，两弧相交于点P，作射线AP交BC于点D．若∠B=45°，∠C=2∠CAD，则∠BAC的度数为（）A．80°B．75°C．65°D．30°E DCBAPCB Al1l21第13题图第14题图14.如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆⼼，适当长度为半径画弧，分别交直线l1，l2于B，C两点，连接AC，BC．若∠ABC=70°，则∠1的⼤⼩为（）A．20°B．35°C．40°D．70°15.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上（AB与l不垂直），请在直线l上另找⼀点C，使△ABC是等腰三⾓形．这样的点能找⼏个？请你找出所有符合条件的点．16.已知：如图，线段AB的端点A在直线l上，AB与l的夹⾓为60°，请在直线l上另找⼀点C，使△ABC是等腰三⾓形．这样的点能找⼏个？请你找出所有符合条件的点．【参考答案】 ? 课前预习1. 点Aa 长线段AB 图略2. 作法：（1）作射线O′A′；（2）以点O 为圆⼼，任意长为半径作弧，交OA于点C ，交OB 于点D ；（3）以点O′为圆⼼，OC 长为半径作弧，交O′A′于点C ′；（4）以点C ′为圆⼼，CD 长为半径作弧，交前弧于点D ′；（5）过点D ′作射线O′B′．∠A′O′B′即为所求．证明：如图，连接CD ，C ′D ′．在COD △和C O D '''△中OC O COD O D CD C D ''=??''=??''=?（已作）（已作）（已作）SSS COD C O D '''∴△≌△（） ?∴∠A′O′B′=∠AOB精讲精练 1. 图略（1）点M ，点N ，⼤于12MN 长（2）作直线AB 直线AB 即为所求 2. （1）图略①以点A 为圆⼼，任意长为半径作弧，交直线MN 于C ，D 两点；②分别以点C ，点D 为圆⼼，⼤于12CD 长为半径作弧，两弧交MN 上⽅于⼀点B ；③作直线AB ．直线AB 即为所求．（2）图略①在MN 下⽅任取⼀点P ；②以点A 为圆⼼，AP 长为半径作弧，交MN 于C ，D 两点；③分别以点C ，点D为圆⼼，以⼤于12CD长为半径作弧，两弧交MN下⽅于⼀点B；④作直线AB．直线AB即为所求．3.（1）以点O为圆⼼；任意长为半径；（2）点M；点N；⼤于12MN长；AOB内部；（3）作射线OP；射线OP即为所求．4.略5. C6.略7.（1）90°；（2）=；（3）78.105°9.65°10.C11.A12.613.B14.C15.略16.略。
轴对称最值问题(讲义)(含答案)
轴对称最值问题（讲义）➢课前预习1.如图，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A，B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使A，B到奶站的距离之和最小？街道居民区B 居民区A➢知识点睛1.轴对称最值问题基本结构分析（1）求和最小：①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段和（周长）最小．②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，________________，利用两点之间线段最短进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线同侧的点A，B到点P的距离之和AP+BP 最小．BAl（2）求差最大：①特征：有定点，有动点，动点在____________上运动，求线段差最大．②解决方法：以动点所在的直线为对称轴，作定点的对称点，__________________，利用三角形两边之差小于第三边进行处理．例题：在直线l上找一点P，使得在直线两侧的点A，B到点P的距离之差AP BP最大．ABl2. 解决几何最值问题的理论依据：①___________________________________（已知两个定点）②___________________________________（已知一个定点、一条定直线） ③___________________________________（已知两边长固定或其和、差固定）➢ 精讲精练1. 某平原上有一条很直的小河和两个村庄，要在此小河边的某处修建一个水泵站向这两个村庄供水，某同学用直线l （虚线）表示小河，P ，Q 两点表示村庄，线段（实线）表示铺设的管道，画出了如下四个示意图，则所需管道最短的是（ ）A ．MlB ．MQ PlC ．lD．l2. 已知：如图，点P ，Q 分别是△ABC 的边AB ，AC 上的两个定点，在BC 上求作一点R ，使△PQR 的周长最小．PEDC B A第2题图 第3题图3. 如图所示，正方形ABCD 的边长是5，在正方形内作等边△ABE ，P 为对角线AC 上的一动点，则PD +PE 的最小值为__________． 4. 如图，等边三角形ABC 的边长为4，AD 是BC 边上的中线，F 是AD 边上的动点，E 是AC 边的中点．当EF +CF 取得最小值时，∠ECF 的度数为____________．FEDC B AM FED C B A第4题图 第5题图5. 如图，等腰三角形ABC 的底边BC 的长为4 cm ，面积是12 cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边的中点，M 为线段EF 上一动点，则△BDM 的最小周长为_________．6. 如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，CD ⊥AD ，P 是CD 边上的一动点，要使PA +PB 的值最小，则点P 应满足的条件是（ ） A ．PB =PA B ．PC =PD C ．∠APB =90°D ．∠BPC =∠APD7. 如图，已知点P 为∠O 内一定点，分别在∠O 的两边上找点A ，B ，使△PAB 周长最小的是（ ）DC BAA．PO BAB．PO BAC．PO BAD．P2P1PO BA8.已知：如图，∠ABC=30°，P为∠ABC内部一点，BP=4，如果点M，N分别为边AB，BC上的两个动点，请画图说明当M，N在什么位置时使得△PMN的周长最小，并求出△PMN周长的最小值．9.如图，M为∠AOB内一定点，E，F分别是射线OA，OB上一点，当△MEF周长最小时，若∠OME=40°，则∠AOB的度数为__________．BO10.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠BAD=110°，在BC，CD上分别找一点M，N．当△AMN周长最小时，∠MAN的度数为__________．A BCD MNDCBA11. 已知：如图，点P ，Q 为∠AOB 内部两点，点M ，N 分别为OA ，OB 上的两个动点，作四边形PMNQ ，请作图说明当点M ，N 在何处时，四边形PMNQ 的周长最小．12. 如图，在锐角三角形ABC 中，AB =4，△ABC 的面积为8，BD 平分∠ABC ，若M ，N 分别是BD ，BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8MNDCBABCD AMN第12题图 第13题图13. 如图，正方形ABCD 的边AB =8．在线段AC ，AB 上各有一动点M ，N ，则BM +MN 的最小值是__________．14. 如图，两点A ，B 在直线MN 的同侧，已知AB =5，点P 在直线MN 上运动，则|PA -PB |的最大值为_________．15.上的动点，则|PA -PB |的最大值为________．FE PCBA16. 如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有两个格点A ，B 和直线l ．（1）求作点A 关于直线l 的对称点A 1；（2）P 为直线l 上一点，连接BP ，AP ，求△ABP 周长的最小值．【参考答案】➢课前预习1.图略➢知识点睛1.（1）①定直线；②折转直图略（2）①定直线；②折转直图略2.①两点之间，线段最短；②垂线段最短③三角形两边之差小于第三边➢精讲精练1. C2.图略3. 54.30°5.8 cm6. D7. D8.作图略，△PMN周长的最小值为4．9.50°10.40°11.如图所示：点M，N即为所求．12.B13.814.515.316.（1）图略；（2）△ABP周长最小为10。
八年级数学上册《轴对称》讲义
轴对称知识点一、轴对称图形轴对称图形的定义：一个图形沿着某直线折叠，直线两旁的部分能完全重合，这个图形就叫做轴对称图形，该直线就是它的对称轴.要点诠释：轴对称图形是指一个图形，图形被对称轴分成的两部分能够互相重合．一个轴对称图形的对称轴不一定只有一条，也可能有两条或多条，因图形而定.知识点二、轴对称1.轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点要点诠释：轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等.2.轴对称图形与轴对称的区别：轴对称是指两个图形，而轴对称图形是一个图形.知识点三、轴对称与轴对称图形的性质轴对称的性质：若两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．知识点四、线段的垂直平分线定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．性质：性质1：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等；性质2：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．要点诠释：三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.类型一、轴对称变换1.如图，在平面直角坐标系中，ABC ∆三个顶点坐标分别为(1,6)A -，(5,3)B -，(3,1)C -．（1）ABC ∆关于y 轴对称的图形△111A B C （其中1A ，1B ，1C 分别是A ，B ，C 的对称点），请写出点1A ，1B ，1C 的坐标；（2）若直线l 过点(1,0)，且直线//l y 轴，请在图中画出ABC ∆关于直线l 对称的图形△222A B C （其中2A ，2B ，2C 分别是A ，B ，C 的对称点，不写画法），并写出点2A ，2B ，2C 的坐标．类型二、线段垂直平分线知识点① 线段垂直平分线的性质2. 如图，已知ABC ∆，AB 、AC 的垂直平分线的交点D 恰好落在BC 边上．（1）判断ABC ∆的形状；（2）若点A 在线段DC 的垂直平分线上，求AC BC的值．知识点② 线段垂直平分线的判定3. 如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，BE CD =，且BD 与CE 相交于点O ，求证：点O 在线段BC 的垂直平分线上．类型三、利用轴对称的性质求图形的面积4. 在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点A 关于BC 边的对称点为A '，点B 关于AC 边的对称点为B '，点C 关于AB 边的对称点为C '，若1ABC S ∆=，求A B C S '''．类型四、“将军饮马”问题5. 如图，点P、Q为MON内两点，分别在OM与ON上找点A、B，使四边形PABQ的周长最小．类型五、角平分线与线段垂直平分线的综合6. 如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，线段AD的垂直平分线分别交AB于点F，交BC的延长线于E（1）在图①中，连接DF，证明DF//AC（2）在图①中，连接AE，证明∠EAC=∠B（3）如图②，若线段CD上存在一点M，使∠MPD=∠ACD，AM与EF交于点P，连接DP 并延长与AC交于点N，求证：AN=DM.①②【复习巩固】一．选择题（共7小题）1．如图，ABC ∆中，D 点在BC 上，将D 点分别以AB 、AC 为对称轴，画出对称点E 、F ，并连接AE 、AF ．根据图中标示的角度，求EAF ∠的度数为何？( )A ．113︒B ．124︒C ．129︒D ．134︒2．如图所示，在四边纸片ABCD 中，//AD BC ，//AB CD ，将纸片沿EF 折叠，点A ，D 分别落在A '，D '处，且A D ''经过点B ，FD '交BC 于点G ，连接EG ，若EG 平分FEB ∠，//EG A D ''，80D FC '∠=︒，则A ∠的度数是( )A ．65︒B ．70︒C ．75︒D ．80︒3．如图，直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN 上的点，下列判断错误的是( )A ．AM BM =B ．AP BN =C ．M AP M BP ∠=∠D ．ANM BNM ∠=∠4．如图，在ABC ∆中，AB 边的中垂线DE ，分别与AB 边和AC 边交于点D 和点E ，BC 边的中垂线FG ，分别与BC 边和AC 边交于点F 和点G ，又BEG ∆周长为16，且1GE =，则AC 的长为( )A ．13B ．14C ．15D ．165．如图，50∠的平分线BE交AD于点E，连接∠=︒，AD垂直平分线段BC于点D，ABCABC∠的度数是()EC，则AECA．115︒B．75︒C．105︒D．50︒6．如图，四边形ABCD中，AB AD=，点B关于AC的对称点B'恰好落在CD上，若110∠=︒，BAD则ACB∠的度数为()A．40︒B．35︒C．60︒D．70︒7．如图，P是AOB∠两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰∠外的一点，M，N分别是AOB好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R恰好落在MN的延长线上．若 2.5PN=，PM=，3 MR=，则线段QN的长为()7A．1 B．1.5 C．2 D．2.5二．解答题（共3小题）8如图，点A、B在直线l同侧，请你在直线l上画出一点P，使得PA PB+的值最小，画出图形并证明．9．如图，OBC ∆中，BC 的垂直平分线DP 交BOC ∠的平分线于D ，垂足为P ．（1）若60BOC ∠=︒，求BDC ∠的度数；（2）若BOC α∠=，则BDC ∠= （直接写出结果）．10．如图，ABC ∆中，BD 平分ABC ∠，BC 的中垂线交BC 于点E ，交BD 于点F ，连接CF ．（1）若60A ∠=︒，24ABD ∠=︒，求ACF ∠的度数；（2）若5BC =，:5:3BF FD =，10BCF S ∆=，求点D 到AB 的距离．。
小学四年级图形的运动(二)：轴对称与平移讲义
图形的运动（二）轴对称与平移【知识梳理】一、轴对称1、把一个图形沿着某一条直线对折，对折后直线两侧的部分完全重合，这样的图形就是轴对称图形。
折痕所在的直线是图形的对称轴。
（对称轴是一条直线，所以在画对称轴时，要画到图形外面，且要用虚线。
）2、轴对称图形的特征：对折后，对称轴两侧能够完全重合。
3、轴对称和轴对称图形都是关于某条直线对称，轴对称是指2个图形，轴对称图形是指1个图形的两部分。
4、在轴对称图形的中，对称轴两侧的对应点到对称轴的距离相等。
5、画简单轴对称图形的方法①找出已知图形的几个关键点②然后根据各个对称点到对称轴的距离相等的特点，在对称轴的另一侧找出关键点的对称点③最后按照已知图形的形状顺序连接各对称点，就画出了所有图形的另一半6、判断一个图形是否是轴对称图形的方法：把这个图形沿某条直线对折，看折痕两侧的图形能否完全重合，能够重合的图形就是轴对称图形，不能完全重合的图形就不是轴对称图形。
7、会画已知图形的对称轴，例如长方形、正方形、圆形、三角形等。
8、轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条。
长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，等腰梯形有1条对称轴，等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有3条对称轴，线段有1条对称轴，菱形有2条对称轴，圆有无数条对称轴，半圆有一条，圆环有无数条，半圆环有一条。
二、平移：1.概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。
（平移现象，例如：缆车、观光梯、推拉门等）2.性质（1）平移前后图形全等；（2）对应点连线平行或在同一直线上且相等。
3.平移的作图步骤和方法：（1）确定平移的方向和平移的距离（2）找出构成图形的对应点（3）沿一定的方向，按一定的距离平移各个对应点（4）连接所作的各个对应点，并标上相应的字母【诊断自测】一．选择题1．下列日常生活现象中，不属于平移的是（）A．飞机在跑道上加速滑行B．大楼电梯上上下下地迎送来客C．时钟上的秒针在不断地转动D．滑雪运动员在白茫茫的平坦雪地上滑翔2．下面说法正确的是（）A．旋转改变图形的形状和大小B．平移改变图形的形状和大小C．平移和旋转都不改变图形的形状和大小3．下面每组中的两个图形经过平移后，可以互相重合的是（）A．B．C．4．下面的图案能通过平移得到的是（）A．B．C．D．5．图中的松树图（）A．向上平移2格B．向下平移2格C．向上平移6格D．向下平移6格【考点突破】类型一：区分平移和旋转现象例1．连一连．答案：见解析解析：平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动．旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的．根据平移与旋转定义判断即可．解：由分析可得：例2．下面这些现象哪些是“平移”现象，哪些是“旋转”现象：（1）用钥匙拧开房间门是现象．（2）升国旗时，国旗的升降运动是现象．（3）妈妈用拖布擦地，是现象．（4）自行车的车轮转了一圈又一圈是现象．答案：见解析解析：旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心，旋转自然是转动的；根据图形平移的意义，在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，依此根据平移与旋转定义判断即可．解：（1）用钥匙拧开房间门是旋转现象；（2）升国旗时，国旗的升降运动是平移现象；（3）妈妈用拖布擦地，是平移现象；（4）自行车的车轮转了一圈又一圈是旋转现象；例3．在横线里填上“平移”或“旋转”．（1）自行车车轮的转动是现象，人骑车前行是现象；（2）风扇叶片的运动是现象；（3）钟面上分针不停地走动是现象；（4）拉开抽屉是现象，拧水龙头是现象．答案：见解析解析：平移是物体运动时，物体上任意两点间，从一点到另一点的方向与距离都不变的运动；旋转是物体运动时，每一个点离同一个点（可以在物体外）的距离不变的运动，称为绕这个点的转动，这个点称为物体的转动中心．所以，它并不一定是绕某个轴的；由此根据平移与旋转定义判断即可．解：（1）自行车车轮的转动是旋转现象，人骑车前行是平移现象；（2）风扇叶片的运动是旋转现象；（3）钟面上分针不停地走动是旋转现象；（4）拉开抽屉是平移现象，拧水龙头是旋转现象．类型二：和轴对称以及平移相关的操作题例4．请你用三种不同的方法分别图中添画一个小正方形，使它成为一个轴对称图形．答案：见解析解析：依据轴对称图形的含义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此即可完成作图．解：如图所示，即为所要求的画图：例5．看图填空．（1）图1小飞机先向上平移格，再向平移格得到图2．（2）图3小房子先向右平移格，再向平移格得到图4．答案：见解析解析：根据平移的特征：找出两个图形平移的对应关键点，即可得到平移的方向和距离，由此得解．解：（1）图1小飞机先向上平移4格，再向左平移6格得到图2．（2）图3小房子先向右平移7格，再向下平移4格得到图4．例6．移一移，画一画．（1）五角星向平移了格．（2）红星向平移了格．（3）画出四边形向下平移5格后的图形．（4）画出小旗向左平移6格后的图形．答案：见解析解析：通过观察我们不难发现：（1）五角星向下平移了6格；红星向右平移了6格；是整体沿某一方向移动了一定的距离，它们的形状、大小没变，只是位置改变了．（2）根据图形平移的方法，先把四边形的各个顶点向下平移5格，把小旗的各个顶点向左平移6格，再依次连接起来即可得出平移后的图形．解：（1）根据题干分析可得，五角星向下平移了6格；红星向右平移了6格；（2）根据图形平移的方法，画出四边形和小旗平移后的图形如下：（3）、（4）如图：例7．用10枚同样大小硬币如图的形状，如果只许移动其中的两枚硬币，使新的图形上下对称，而且横行、竖行都是6枚硬币．那么，应该如何移动哪两枚硬币？在图上标出移动过程．答案：见解析解析：依据轴对称图形的意义，即在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此解答即可．解：如图所示，将红色硬币移到绿色上面，与其重合，将黑色硬币移到蓝色硬币上面，与其重合，则形成的新图形就是上下对称，而且横行、竖行都是6枚硬币．例8.（1）把图A向得到图B，（2）再把图A绕O点顺时针旋转90°，得到图C，并画出图C．（3）以OM为轴，作图B的轴对称图形D．答案：见解析解析：（1）图形B在图形A的下方并且大小一样，说明是向下平移，数平移的格数，即4个格；（2）把图A绕O点顺时针旋转90°即可得到图C；（3）根据对称轴的特征，对称图形的对应点到对称轴的距离相等，分别找出三角形B的三个顶点到对称轴的格数，然后再对应的一边依次画出轴对称图形D．解：（1）把图A向下平移4个格得到图B；例9．如图是被打乱的4张图片，如何能还原成完整的图片？答案：见解析解析：根据平移图形的特征，如图两个图形的大小、形状、方向不变，只是位置的不同，这两个图形就是平移；根据旋转图形的特征，如图两个图形的大小、形状不变，只是方向不变，只是位置的不同，这样的两个图形就是旋转；由此可知：只有把第三幅平移到右上角，把第四幅先逆时针旋转90度，然后平移到左上角，把第二幅先平移到右下角，把第一幅先顺时针旋转90度，然后平移到左下角即可．解：由图可知：只有把第三幅平移到右上角，把第四幅先逆时针旋转90度，然后平移到左上角，把第二幅先平移到右下角，把第一幅先顺时针旋转90度，然后平移到左下角，即可还原成完整的图片．例10．图A是怎样得到图B的？先向平移格再向平移格．解析：找出两个图形平移的对应关键点，即可得到平移的方向和距离，由此得解．解：图A先向上平移4格，再向右平移5格，即可得到图B；【易错精选】一．选择题1．下列物体运动的现象是平移的有（）A．摩天轮B．过山车C．船在海上航行2．下面每组中的两个图形经过平移后，可以互相重合的是（）A．B．C．3．在以下现象中，属于平移的是（）A．钟摆的摆动B．转动硬币C．推拉门开门或关门D．司机手中转动的方向盘4．下图中经过平移可以完全重合的是（）A．B．C．D．5．索道缆车的运行现象是（）A．滚动B．旋转C．平移D．对称二．填空题6．前进中的火车是现象，行驶的车轮是现象．7．如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是，折痕所在的直线叫做．8．如果把一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，那么这个图形就是图形．9．哪些是“平移”现象，哪些是“旋转”现象：（1）在算盘上拨珠的运动是现象；（2）自行车的踏脚运动是现象；（3）电梯里的上下运动是现象；（4）时钟上时针、分针、秒针的运动是现象．10．升国旗时，国旗的升降运动是现象．自行车的车轮转了一圈又一圈的运动是现象．【精华提炼】1、轴对称图形的特征：对折后，对称轴两侧能够完全重合。
轴对称图形讲义
一、知识梳理1、轴对称与轴对称图形（1）如果一个图形沿着一条直线对折,直线两侧的图形能够完全重合,这个图形就是轴对称图形．这条直线叫做对称轴．（2）关于某条直线对称的两个图形是全等图形．（3）关于一条直线成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．2、轴对称的性质及应用（1）性质：对称轴是对称点连线段的垂直平分线.对应线段相等，对应角相等. 对称轴即是垂直平分线.线段垂直平分线(即对称轴)上的点到线段两端点的距离相等.（2）应用：找对称轴;创造轴对称图案.可应用线段垂直平分线的性质证明：线段相等和垂直；作图找点.3、线段、角的轴对称性（1）线段的垂直平分线：线段是轴对称图形，•它的一条对称轴垂直于这条线段并且平分它，这样的直线叫做这条线段的垂直平分线（简称中垂线）．线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合.它有两条对称轴，分别为:线段的中垂线,线段本身所在的直线.M PA BN （2）角是轴对称图形，角平分线所在直线是它的对称轴.角平分线上的点到角的两边距离相等；角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上.4、等腰三角形的轴对称性（1）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在直线是它的对称轴. （2）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称“三线合一”). （3）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.符号语言：点P 在线段AB 的垂直平分线MN上 PA=PBB C （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(如上图). （5）直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半。
符号语言：（6）三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形。
等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴。
等边三角形的每个角都等于60°。
（7）等边三角形的判定依据：三条边都相等的三角形是等边三角形。
初二数学讲义(轴对称)(答案)分析
初二数学讲义（轴对称）知识梳理1、轴对称图形：一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
2、轴对称：两个图形沿一条直线对折，其中一个图形能够与另一个图形完全重合。
这条直线叫做对称轴。
互相重合的点叫做对应点。
3、轴对称图形与轴对称的区别与联系：（1）区别：轴对称图形讨论的是“一个图形与一条直线的对称关系”；轴对称讨论的是“两个图形与一条直线的对称关系”。
（2）联系：把轴对称图形中“对称轴两旁的部分看作两个图形”便是轴对称；把轴对称的“两个图形看作一个整体”便是轴对称图形。
4、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形全等。
（2）对称轴与连结“对应点的线段”垂直。
（3）对应点到对称轴的距离相等。
（4）对应点的连线互相平行。
5、线段的垂直平分线：（1）定义：经过线段的中点且与线段垂直的直线，叫做线段的垂直平分线。
（2）性质：线段垂直平分线上的点与线段两端点的距离相等。
（3）判定：与线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上。
6、等腰三角形：（1）定义：有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形。
底角只能是锐角。
（2）性质：①等腰三角形是轴对称图形，其对称轴是“底边的垂直平分线”，只有一条。
②“等边对等角”：等腰三角形的两个底角相等。
③三线合一：顶角平分线、底边上的中线和地边上的高相互重合。
（3）判定方法：①定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形。
②判定（“等角对等边”）：有两个角相等的三角形是等腰三角形。
7、等边三角形：（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形。
说明：等边三角形就是腰和底相等的等腰三角形，因此，等边三角形是特殊的等腰三角形。
（2）性质：①等边三角形是轴对称图形，其对称轴是“三边的垂直平分线”，有三条。
②三条边上的中线、高线及三个内角平分线都相交于一点。
③等边三角形的三个内角都等于60°。
（3）判定方法：①定义法：三条边都相等的三角形是等边三角形。
轴对称新课讲义
轴对称新课讲义（一） 知识要点 1、 轴对称及轴对称图形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
这时我们就说这个图形关于这条直线（或轴）对称。
如下左图，△ABC 是轴对称图形。
轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
如上右图，△ABC 与△A ’B ’C ’关于直线l 对称，l 叫做对称轴，A 和A ’，B 和B ’，C 和C ’是对称点。
规律方法小结：轴对称图形是指“一个图形”；轴对称是指“两个图形”的位置关系，在某种情况下，二者可以互相转换，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形。
2、 线段的垂直平分线线段垂直平分线的定义：经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（也称为线段的中垂线）。
如下左图，直线l 经过线段AB 的中点O ，并且垂直于线段AB ，则直线l 就是线段AB 的垂直平分线。
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
如上右图，点P 是线段AB 垂直平分线上的点，则PA=PB 。
线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分A A ’B B ’C C ’ lABOlABP线上。
3、 轴对称和轴对称图形的性质两个图形成轴对称（或轴对称图形），则对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
判断：成轴对称的两个图形全等吗？如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形全等吗？这两个图形对称吗？ 4、 成轴对称的两个图形的对称轴的画法如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
第一章轴对称图形讲义
第一章轴对称图形一、基础知识点知识点一：轴对称图形如果一个图形沿一条折叠，直线两旁的部分能够这个图形就叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴知识点二：轴对称把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。
知识点三：关于某条直线成轴对称的图形的性质特征1、成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的．2、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系？区别：①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。
②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。
联系：①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。
②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。
常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等知识点四：垂直平分线的定义经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线知识点五：线段垂直平分线的性质（1）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的与这条线段的距离思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上．知识点六：轴对称的性质以及轴对称图形：性质：⑴成轴对称的两个图形全等。
⑵如果两个图形成轴对称，那么对称轴是对称点连线的垂直平分线。
画轴对称图形时，应先确定对称轴，再找出对称点。
知识点七：用坐标表示轴对称1．关于x轴与y轴对称的点的坐标的规律；（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为________；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为________．（3）点（x，y）关于原点对称的点的坐标为________．2．图形关于坐标轴对称一个图形内任一点的横坐标保持不变，纵坐标乘以-1所得的图形与原图形关于________轴对称．专题：等腰三角形知识点一：等腰三角形有相等的三角形是等腰三角形；相等的两边叫作，另一边叫作，两腰的夹角叫作，底边和腰的夹角叫作．练习1：1．如图（1）：△ABC中，若则△ABC是等腰三角形，是腰、是底边、是顶角，是底角．2．等腰三角形的两边长分别为3cm和6cm，这个三角形的周长为________．知识点二：等腰三角形的性质问题：如图，已知△ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线．求证：∠B=∠C；AD平分∠A，AD⊥BC．归纳性质：（1）等腰三角形的两个相等（简写成“等边对”）；C BA图（1）DC BA（2）等腰三角形的顶角 、底边上的 线、底边上的 互相重合（通常称作“三线合一”）；友情提醒：（1）等边对等角的边角必须是同一个三角形的边与角；（2）等腰三角形的“三线合一”不要与三角形全等混淆．练习2：1．等腰三角形的顶角的度数是底角的4倍，则它的顶角是_______．2．已知等腰三角形一个内角的度数为30°，那么它的底角的度数是__ _ ___ _． 3．如果等腰三角形的一个外角是125°，则底角为 ．注：已知等腰三角形一个角的度数，求另外两角的度数，常有两种情况，需要分类讨论． 4．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 上，且BD=BC=AD ，求△ABC 各个内角的度数．知识点三： 等腰三角形的判定活动：如图（4），位于海上A 、B 两处的两艘救生船接到O 处遇险船只的报警，当时测得∠A ＝∠B ．如果这两艘救生船以同样的速度同时出发，能不能大约同时赶到出事地点（不考虑风浪因素）？COBA图（4）DC BA归纳：证明边相等或角相等，一般需要构造全等的三角形．判定定理：如果一个三角形有两个 相等，那么这两个角所对的 也相等（简写成“等角对 ”）．练习3：1．如图（5），CD 、BD 平分∠BCA 及∠ABC ，EF 过D 点且EF ∥BC ， 则图中的等腰三角形有 个，它们是2．在△ABC 中，∠B ＝36°，D 、E 在BC 边上，且AD 和AE 把∠BAC 三等分，则图中等腰三角形的个数（ ）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 63．如图（6），∠CAE 是△ABC 的一个外角，∠1＝∠2，AD//BC ， 求证：AB=AC ．4．如图（7）,在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠DCB ＝∠B －∠ACB ， 求证：△DCE 是等腰三角形．知识点四：等边三角形相等的三角形是等边三角形，它是特殊的等腰三角形，也叫 ；图（6）21EDCBA 图（5）图（7）练习4：如果一个等边三角形的一条边长为6cm，那么这个等边三角形的周长是．知识点五：等边三角形的性质（1）等边三角形的三个都相等，且都等于；（2）等边三角形是轴对称图形，且有对称轴；（3）等边三角形每条边上的、和三线合一，它们所在的直线都是等边三角形的．友情提醒：等边三角形是一种特殊的等腰三角形，容易知道等边三角形的三条高（或三条中线、三条角平分线）都相等．练习5：1．△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，则∠A=_____度．2．如图，C是线段AB上的一点，△ACD和△BCE是等边三角形，连结AE，BD．求证：AE=BD．知识点六：等边三角形的判定（1）三条都相等的三角形是等边三角形；（2）三个都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是的三角形是等边三角形．练习6：1．已知△ABC中，AB=AC, ∠A+∠B=120°,那么∠A= ；△ABC是三角形；2．下面给出的几种三角形：①有两个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高也是这边上中线的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．•其中是等边三角形的个数是（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个3． 如图，在△ABC 中，点D 是AB 上的一点，且AD=DC=DB ，∠B=30°，求证：△ADC 是等边三角形．分析：由已知条件知△ADC 是等腰三角形，要想证明它还是等边三角形，只需要说明这个三角形中有一个内角等于60°即可．4．如图，△ABC 是等边三角形，点D 、E 、F 分别是线段AB 、BC 、AC 上的点， （1）若AD=BE=CF ，问△DEF 是等边三角形吗？试证明你的结论； （2）若△DEF 是等边三角形，问AD=BE=CF 成立吗？试证明你的结论．规律技巧总结：要说明一个三角形是等边三角形，可以考虑： ①利用定义证明； ②证明三个角相等；③证明它是等腰三角形并且有一个角是60°知识点七：有一个角是30°的直角三角形在直角三角形中30°的角所对的 为斜边的 ． 练习7：三角形三内角度数之比为1：2：3，最大边长是8cm ，则最小边的长是______．AC BDAFaDBEC二、典型例题讲解（2010无锡）如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝____°。
轴对称辅导讲义(Word完整版)
轴对称【知识框架】【知识点&例题】知识点一：线段垂直平分线线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 如图，直线l经过线段AB的中点O，并且垂直于线段AB，则直线l就是线段AB的垂直平分线.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 如图，点P 是线段AB 垂直平分线上的点，则PA PB =.判定：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.知识点二：坐标变换图形的平移（纵坐标“上加下减”；横坐标“左加右减”）（1）当图形上各点的横坐标不变，纵坐标加上|m|,图形将纵向平移m 个单位。
若m>0, 则向上平移，若m<0,则向下平移。
当图形上各点的纵坐标不变，横坐标加上m,图形将横向平移|m|个单位。
若m>0，则向左平移，若m<0, 则向右平移。
例1：A （-3，2）关于原点的对称点是B ，B 关于x 轴的对称点是C ，则点C 的坐标是（ ）.A ．（3，2）B ．（-3，2）C ．（3，-2）D ．（-2，3）【变式一】已知点M （2a-b,5+a),N(2b-1,-a+b). （1）若M 、N 关于x 轴对称，试求a 、b 的值 （2）若M 、N 关于y 轴对称，试求（b+2a)2015的值例2：如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：①由图观察易知A ()2,0关于直线l 的对称点'A 的坐标为()0,2，请在图中分别标明()5,3B ，()2,5C -关于直线l 的对称点'B 、'C 的位置，并写出他们的坐标: 'B ,'C ；归纳与发现：②结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点(),P a b 关于第一、三象限的角平分线l 的对称点'P 的坐标为 （不必证明）；③点(),A a b 在直线l 的下方，则a ，b 的大小关系为 ；若在直线l 的上方，则 ．古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题．根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．若A B 、在河流的异侧，直接连接AB ，AB 与l 的交点即为所求． 若A B 、在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解．海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想构建“对称模型”实现转化PA PB BC +…常见模型：（1）PA PB +最小（2）①PA PB -最小②PA PB -最大CBBA同侧图1A'BlAB图2异侧图4同侧异侧图5AA图6异侧【变形】异侧时，也可以问：在直线l 上是否存在一点P 使的直线l 为APB 的角平分线（3）周长最短类型一 类型二 类型三（4）“过河”最短距离类型一 类型二（5）线段和最小（6）在直角坐标系里的运用Al同侧异侧lBA'A'lNMl 2l 2例3：如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？【变式一】如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作一点P 使得PC PE +长度之和最小。
讲义--轴对称二
【知识详解】一、轴对称与轴对称图形1、轴对称把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点。
2、轴对称图形把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形为轴对称图形，这条直线为对称轴。
【判断图形是否为轴对称图形的关键，是看它能否找到一条直线，使直线两边的部分能够完全能互相重合】 线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分注意：线段的垂直平分线是直线，且必须同时满足两个条件：（1）经过这条线段的中点；（2）与这条线段垂直。
二、轴对称的性质线段的垂直平分线：垂直并且平分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线注意：线段的垂直平分线是直线，且必须同时满足两个条件：（1）经过这条线段的中点；（2）与这条线段垂直。
轴对称的性质1.成轴对称的两个图形全等2.成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分3.成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称。
三、线段、角的轴对称性1、线段的轴对称性（1） 线段的轴对称性① 线段是轴对称图形，它的对称轴是线段的垂直平分线和它本身所在的直线。
② 线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。
③ 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。
④ 线段的垂直平分线是到线段两端距离相等的点的集合。
（2）线段垂直平分线的尺规作图已知线段AB ，作AB 的垂直平分线，做法如下：① 分别以点A 、B 为圆心，大于21AB 的长为半径画圆，两弧相交于点C 、 D ② 过C 、D 两点作直线，直线CD 就是线段AB 的垂直平分线（如右图）2、角的轴对称性（1）角的轴对称性① 角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴。
② 角平分线上的点到角两边的距离相等。
③ 角的内部到角两边距离相等的点在角平分线上。
（2）角平分线的尺规作图① 以点O 为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交∠AOB 两边于点M ，N 。
轴对称总复习复习讲义
第十三章轴对称总复习学习过程：一、基本概念1.轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这二、主要性质说轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段3.通过画出坐标系上的两点观察得出：（1）点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标为P′（，）.（2）点P（x,y）关于y轴对称的点的坐标为P″（，）4.等腰三角形的性质（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是5.等边三角形的性质（3）等边三角形每边上的、和该边所对内角的互相重合.6.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的．三、有关判定1.与一条线段两个端点距离的点，在这条线段的垂直平分线上.2.如果一个三角形有两个角，那么这两个角所对的边也。
（简写成“等角对等边”）.3.三个角都相等的是等边三角形.4.有一个角是60°的是等边三角形。
四、练习（一）选择题A B C D2．下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（）3．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为A．7cm B．10cm C．12cm D．22cmA．A B=AD B．A C平分∠BCD C．A B=BD D．△BEC≌△DEC第3题图第4题图第5题图5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB 于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．Ｂ．Ｃ．Ｄ．A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm（二）填空题1.已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的另外两个内角是。
2．已知等腰三角形的一个内角是100°，则它的另外两个内角是。
轴对称辅导讲义------等腰三角形
辅导讲义------等腰三角形知识点：1．等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）2．等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．3．等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．所以我们把等边三角形也称为正三角形．4．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）练习：1．填空（1） 如果等腰三角形的一个底角为50°，那么其余两个角为______和_____.（2） 如果等腰三角形的顶角为80°，那么它的一个底角为___________. 问：等腰三角形的底角可以是直角或者钝角吗？为什么？2．如图AB ＝AC ， D 在BC 上，（1）如果AD ⊥BC , 那么∠BAD =_______, BD=________;(2) 如果∠BAD =∠CAD , 那么AD ⊥____, BD=________;(3) 如果BD= CD , 那么∠BAD =___________, AD ⊥____; 3．底角等于顶角一半的等腰三角形是____________三角形.4．△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，CD 是底边上的高，那么图中共有哪几个等腰直角三角形？5．等腰三角形的周长为16米，其中一条边的长是6，求另两条边的长.6. 等腰三角形的底角比顶角大15°，求各内角的度数.7. 如图，已知在△ABC 中，AB ＝AC ，∠ACD ＝112°，求△ABC 各内角的度数.（第4题）8. 如图，在等腰△ABC 中，两底角的平分线BE 和CD 相交于 O 点，那么△OBC 是什么三角形？为什么？试用推理格式写出推理过程．9. 已知在△ABC 中，AB ＝AC ， ∠B ＝80°．求∠C 和∠A 的度数．10. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，∠B ＝30°，求∠ADC 和∠1的度数．11. 如图，在△ABC 中，已知AB ＝AC ，且AB ＝BD ，AD ＝DC ，求：△ABC 三个内角的大小.（第8题） C。
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轴对称（讲义）
➢课前预习
1.剪纸艺术源远流长，是中华民族智慧的结晶，为我们的生活添加了别样的色
彩．请欣赏以下美丽的剪纸图片，你发现它们有什么共同的特点？
2.做一做，想一想
在纸上画一条线段AB，并将线段对折，思考：
（1）折痕两边的线段________（填“相等”或“不相等”）；
（2）折痕与线段AB____________（填“垂直”或“不垂直”）；
（3）在折痕上任找一点P，并连接AP，BP，沿着折痕对折，可发现AP_____BP （填“＞”，“＜”或“=”）．
➢知识点睛
1.轴对称定义
（1）如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做__________，这条直线就是它的_____，这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做________，折叠后的重合的点是_______，叫做___________．
2.垂直平分线
（1）定义
经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的______________．（2）性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离_______；
（3）判定
与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________．
3. 轴对称的性质
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的______________；类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的___________． 4. 画轴对称图形
如图，已知△ABC 和直线l ，画出与△ABC 关于直线l 对称的图形．
图1
A
B
C
l
O 图2
A′
B′
C′
l
C
B
A
画法：（1）如图2，过点A 画直线l 的垂线，垂足为O ，在垂线上截取OA ′=OA ，A ′就是点A 关于直线l 的对称点；
（2）同理，分别画出点B ，C 关于直线l 的对称点B ′，C ′； （3）连接A ′B ′，B ′C ′，C ′A ′，则△A ′B ′C ′即为所求．
5. 平面直角坐标系中，分别以x 轴和y 轴为对称轴时，一对对称点坐标之间的关
系：
点(x ，y )关于x 轴对称的点的坐标为(x ，-y )； 点(x ，y )关于y 轴对称的点的坐标为(-x ，y )．
➢ 精讲精练
1. 下列四个图案中，是轴对称图形的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
2. 图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（ ）
A ．l 1
B ．l 2
C ．l 3
D ．l 4
l 1
l 2
l 3
l 4
3. 如图是用笔尖扎重叠的纸得到的成轴对称的两个图形，则AB 的对应线段是
_________，EF 的对应线段是_________，∠A 的对应角是______．连接CE 交l 于点O ，则_____⊥_____，且________=________．
l B D F H
G
E O
C
A
4. 如图，△ABC 与△A′B′C′关于直线l 对称，则∠C′的度数为___________．
110°
50°
A B C l C′
B′A′
5. 如图，裁剪师傅将一块长方形布料ABCD 沿着AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F
处．若∠BAF =60°，则∠AEF =_____．
A
E
B
D C
F
6. 已知：如图，在△ABC 中，∠C =90°，AB 的垂直平分线DE 交BC 于点D ，连接
AD ．若AC =4 cm ，BC =8 cm ，则△ADC 的周长为__________．
E
B
D
C
7. 已知：如图，在△ABC 中，DF ，EG 分别是AB ，AC 的垂直平分线，且△ADE 的周
长为32 cm ，则BC =__________．
A G
E
D
B
F C
8. 已知：如图，点P 关于OA ，OB 的对称点分别为C ，D ，连接CD ，交OA 于点M ，
交OB 于点N ．若△PMN 的周长为8，则CD 的长为_________．
P D
N
O
M
C A B
9. 阅读下面材料：
在数学课上，老师提出如下问题：
小芸的作法如下：
老师说：“小芸的作法正确．”
请回答：小芸的作图依据是___________________________．
10.如图，AD和BC相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，BE=DE．求证：OE垂直平分BD．
A
B O
D
E
C
11.若点A(a，4)，点B(3，b)关于x轴对称，则(a+b)2 020的值为______．
12.如果点A(a，b)与点B关于x轴对称，点B与点C(2，3)关于y轴对称，那么
a=_______，b=_______．
13.如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A
坐标是(a，b)，则经过第2 019次变换后所得的A点坐标是_______．
第1
次第2次
第3次
第4次
14.如图，△ABC各顶点的坐标分别是A(-2，3)，B(-3，1)，C(1，-2)．画出△ABC关于
x轴对称的△A′B′C′，并写出A′，B′，C′三点的坐标（其中A′，B′，C′分别是A，B，C 的对应点，不写画法）．
【参考答案】
➢课前预习
1.沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合
2.（1）相等；
（2）垂直；
（3）=
➢知识点睛
1.（1）轴对称图形；对称轴
（2）对称轴；对应点；对称点
2.（1）垂直平分线；（2）相等；（3）垂直平分线上
3.垂直平分线；垂直平分线
➢精讲精练
1. C
2. C
3.GH；CD；∠G；CE；l；OC；OE
4.20°
5.75°
6.12 cm
7.32 cm
8.8
9.与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条
直线
10.证明略
11.1
12.-2；-3
13.（-a，b）
14.图略；(23)(31)(12)
，，，，，
A B C
'--'--'。