常用积分公式

常用积分公式

Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

常用积分公式表·例题和点评

⑴ d k x kx c =+⎰

(k 为常数)

⑵ 1

1

d (1)1

x x x c μ

μμμ+≠-=++⎰

特别， 2

11

d x c x x =-+⎰

, 32

23

x x c =+

, x c = ⑶

1d ln ||x x c x =+⎰

⑷ d ln x

x

a

a x c a =

+⎰, 特别，e d e x x

x c =+⎰ ⑸ sin d cos x x x c =-+⎰

⑹ cos d sin x x x c =+⎰

⑺

2

2

1

d csc d cot sin x x x x c x ==-+⎰⎰

⑻

2

2

1

d sec d tan cos x x x x c x ==+⎰⎰

⑼

arcsin (0)x x c a a

=+>,

特别，

arcsin x x c =+ ⑽

2211d arctan (0)x x c a a x a a =+>+⎰,特别，2

1

d arctan 1x x c x =++⎰

⑾

22

11d ln (0)2a x

x c a a x a a x +=+>--⎰

或

22

11d ln (0)2x a

x c a x a a x a -=+>-+⎰ ⑿ tan d ln cos x x x c =-+⎰

⒀ cot d ln sin x x x c =+⎰

⒁ ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c

x x x x

c x ⎧-+⎪=

=⎨+⎪⎩

⎰⎰

⒂ ln sec tan 1sec d d πln tan cos 24x x c

x x x x c x ⎧++⎪==⎨⎛⎫

++ ⎪⎪⎝⎭⎩

⎰⎰

⒃

(0)

===ln a x x c >+ ⒄

2

(0)===arcsin 2a a x x c a >

⒅

2(0)

ln 2

a a x x c >++

⒆2222sin cos e sin d e sin cos e cos d e ax

ax ax ax a bx b bx bx x c a b b bx a bx bx x c a b -⎧=+⎪⎪+⎨+⎪=+⎪+⎩

⎰⎰

⒇

1

2

2222121

23

d ()2(1)()2(1)n

n n

n x n x c a x n a a x n a

---==

+++-+-⎰I

I （递推公式） 跟我做练习

(一般情形下，都是先做恒等变换或用某一个积分法，最后套用某一个积分公式) 例24

⑴

2)x x =

-[套用公式⒅]

⑵

[

1(24)42

x x x =

-+⎰⎰

=(请你写出答案)

⑶

2)x x =

-

ln 2x ⎡=-+⎣ [套用公式⒃]

⑷

1

2x x =

2122x =

+

=(请你写出答案)

⑸

2)x x =

-

232arcsin

23x -=[套用公式⒄]

⑹[

1

(42)42

x x x =

---⎰

⎰

=(请你写出答案)

⑺

=

=2

arcsin

3

x -[套用公式⑼]

⑻

(42)4d 12

x x

--=

-

212

2

=+-

=(请你写出答案)

例25 求原函数4

1

d 1x x +⎰

. 解 因为

所以令

从恒等式1)12)(()12)((22≡+++++-+x x D x C x x B Ax (两端分子相等)，可得方程组 解这个方程组(在草纸上做)，得21

,2

21,21,2

21=-==

=D C B A . 因此， 右端的第一个积分为

22

2

1

1d 4x x =+⎛+ ⎝

⎭⎰(套用积分公式)

类似地，右端的第二个积分为

所以

=+（见下注）

【注】根据tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

++=-⋅,则

因此,

例26 求

d (01)1cos x x εε<<-⎰. 【关于d (01)1cos x

x εε<<+⎰

，见例17】

解 令tan 2

x

t =(半角替换)，则

于是，

【点评】求初等函数的原函数的方法虽然也有一定的规律，但不像求它们的微分或导数那样规范化.这是因为从根本上说，函数()y y x =的导数或微分可以用一个“构造性”的公式

()()

()lim

h y x h y x y x h

→+-'= 或d ()d y y x x '=

确定下来，可是在原函数的定义中并没有给出求原函数的方法.积分法作为微分法的逆运算，其运算结果有可能越出被积函数所属的函数类.譬如，有理函数的原函数可能不再是有理函数，初等函数的原函数可能是非初等函数(这就像正数的差有可能是负数、整数的商有可能是分数一样).有的初等函数尽管很简单，可是它的原函数不能表示成初等函数 ，譬如