“三线合一”性质的逆定理
三线合一性质的逆定理
简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明①：已知:⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的中线，
求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“延长加倍”，即延长AD到E点，使AD=ED，由此问题就解决了。
∠ACB,AG⊥BD于G，AF⊥CE于F，AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm.
求：FG的长。
分析：通过已知条件可以知道线段CF和BG满足逆
定理②的条件，因此就想到了分别延长AG、A
F来构造等腰三角形。
简单证明：分别延长AG、AF交BC于点K、H由逆定理②得出⊿ABK是等腰三角形
∴点G是AK的中点
证明②：已知:⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高，
求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：通过（ASA）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形
证明③：已知:⊿ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，
求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来
由DF∥BC，DI=FJ
又⊿AHC≌⊿CJF（AAS），⊿ABH≌⊿BDI(AAS)
∴HC=FJ,BH=DI
∴BH=HC,
∴得证。
抓住已知条件和结论的联系，（例题1中抛物线的对称性和等腰三角形的垂直平分线之间的内在联系，例题2中正方形中直角的信息获得与等腰三角形的垂线间的间接联系，）通过获取的信息以及对等腰三角形“三线合一”性质的逆定理的熟练把握，再进行对题目的重新整合，就能快速做出解题的策略，添加相应的辅助线，对于解题有很大的帮助。
几何模型｜“三线合一”定理及其逆定理
几何模型｜“三线合一”定理及其逆定理北师版7年级数学，人教版8年级数学当中都会学到三角形，其中等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．“三线合一”这个重要的性质，就是我们通过所说的“三线合一定理”和“三线合一逆定理”，“逆定理”是存在的，但是课本上没有，不能直接用，是需要证明的。
1．三角形的“三线”是指三角形中的高线、中线及角平分线。
2．“三线合一”定理的证明在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
简记为“三线合一”。
（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠CAD，BD=CD。
证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）∴∠BAD=∠CAD，BD=CD总结：等腰三角形中，底边的高线，既是顶角平分线也是底边中线。
（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：AD⊥BC，BD=CD。
证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SAS）∴∠BDA=∠CDA，BD=CD∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，BD=CD总结：等腰三角形中，顶角平分线，既是底边高线也是底边中线。
（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：AD⊥BC，∠BAD =∠CAD。
证明：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD∴△ADB≌△ADC（SSS）∴∠BDA=∠CDA，∠BAD=∠CAD又∵∠BDA+∠CDA=180°∴∠BDA=∠CDA=90°∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD总结：等腰三角形中，底边中线，既是底边高线也是顶角平分线。
3．“三线合一”逆定理的证明在三角形中，高线、中线、角平分线中只要两线重合，则可推出这条线也是第三条线，且这个三角形为等腰三角形。
三线合一和对边的线的关系
三线合一和对边的线的关系
三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线、底边的中线、底边的高线三条线互相重合。
简单来说就是：顶角的角平分线=底边中线=底边的高线。
通过三线合一得出的逆定理有：
1. 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
2. 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
3. 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
以上内容仅供参考，建议查阅关于三线合一的资料、文献，或者咨询数学领域专业人士，以获取更准确的信息。
等腰三角形三线合一逆定理
等腰三角形三线合一逆定理
1.如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
2.如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
3.如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
三线合一
三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）。
等腰三角形
至少有两边相等的三角形叫做等腰三角形。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角。
等腰三角形的两个底角度数相等（简写成“等边对等角”）。
三线合一的判定方法
三线合一的判定方法
等腰三角形的“三线合一”是指其顶角的角平分线、底边的中线和底边的高互相重合。
在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角。
在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
以上定理是“三线合一”的逆定理，也可用于判定等腰三角形。
人教版初二数学上册三线合一的逆用
两线合一”构建且证明等腰三角形“的逆命题的教学，因为这种逆命题学习了等腰三角形的三线合一后，补充“三线合一”可以为我们解题增加一种重要但它在解题中非常常见的。
掌握了它，虽然不能作为定理用，思路。
它有以下几种形式：（线段垂直平分线的性①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．质）②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．.③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形因此，三角形“一边上的高、这边上的中线及这边所对角的平分线”三线中“两线合一”就能证明它是等腰三角形．简言之：两线合一，必等腰。
利用该逆命题作为一种思路正确地添加辅助线，构建等腰三角形且证明之来解决问题。
等腰三角形“三线合一”性质的逆命题的应用不断为学生开辟了新思维，强化了学生通过添加辅助线解题的能力，而且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想。
一、我们先来证明“三线合一”性质的逆命题三种情形的正确性：证明①：已知:如图1，△ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
证明②：已知:如图1，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高。
求证：△ABC是等腰三角形。
证明③：已知:如图2，△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的中线。
求证：△ABC是等腰三角形。
方法一：分析：“倍长中线法”，即延长AD到E点，使DE=AD，由此问题就解决了。
方法二：遇到角的平分线，我们可以利用角的平分线的性质：过角的平分线上一点向角的两边作垂线。
．注：这种逆命题不能作为定理来用，掌握了它和它的证明过程，其目的是为我们解题增加一种重要思路和方法。
二、利用“三线合一”性质的逆命题添加辅助线，构建且证明等腰三角形来解决问题1、逆命题①的应用（即线段垂直平分线的性质的应用）例1 如图4，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB。
三线合一定理是什么
三线合一定理是什么
三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
三线合一定理简单来说就是：顶角的角平分线=底边中线=底边的高线。
通过三线合一得出的逆定理：如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
三线合一定理
三线合一，即在等腰三角形中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
三线合一定理简单来说就是：顶角的角平分线=底边中线=底边的高线。
通过三线合一得出的逆定理：
1、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
2、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
3、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
三线合一需要几个条件才可以用
三线合一需要的条件是在等腰三角形中，这是三线合一条件的前提。
三线合一，即在等腰三角形中(前提)顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合(前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用)。
等腰三角形指至少有两边相等的三角形，相等的两个边称为这个三角形的腰。
等腰三角形中，相等的两条边称为这个三角形的腰，另一边叫做底边。
三角形三线合一定理的逆定理
三角形三线合一定理的逆定理一、啥是三角形三线合一定理。
在说逆定理之前，咱得先知道啥是三角形三线合一定理。
在一个等腰三角形里哦，顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高，这三条线是重合的，就像三个小伙伴约好了在同一条线上玩耍似的。
这个定理可神奇啦，它能帮我们解决好多关于等腰三角形的问题呢。
比如说，只要知道一个三角形是等腰三角形，又知道一条线是顶角平分线，那我们就能直接说这条线也是底边上的中线和高。
二、逆定理的内容。
那这个定理的逆定理是啥呢？简单来说，如果在一个三角形里，一条线段既是这个三角形的一个角的平分线，又是这个角对边的中线，还同时是这条对边的高，那这个三角形就是等腰三角形。
就好比一个人同时扮演了三个重要的角色，那这个三角形就有了特殊的身份——等腰三角形。
三、为啥这个逆定理成立呢。
咱可以这么想哈。
假设在三角形ABC里，AD是∠BAC的平分线，同时AD又是BC 边上的中线和高。
因为AD是角平分线，所以∠BAD = ∠CAD。
又因为AD是高，所以∠ADB = ∠ADC = 90°。
而且AD还是中线，那BD = DC。
这时候我们就可以用全等三角形的判定啦。
在三角形ABD和三角形ACD里，∠BAD = ∠CAD，AD = AD（这是公共边哦），∠ADB = ∠ADC，根据角边角（ASA）判定定理，就可以知道三角形ABD全等于三角形ACD。
那AB = AC，这个三角形ABC不就是等腰三角形了嘛。
四、逆定理的应用。
这个逆定理在解题的时候可有用啦。
比如说给你一个三角形，告诉你一条线有这三个身份，那你就可以马上判断这个三角形是等腰三角形。
这就像给你一把钥匙，你就能打开通往答案的那扇门。
像在一些几何证明题里，如果我们能发现这个逆定理的条件，就可以很巧妙地得出三角形是等腰三角形的结论，然后再进一步去求其他的量，像角度啊、边长啊之类的。
五、和原定理的联系。
这个逆定理和原定理就像是一对好兄弟。
原定理是从等腰三角形这个身份推出三线合一，逆定理呢是从三线合一推出等腰三角形这个身份。
等腰三角形三线合一逆定理证明
等腰三角形三线合一逆定理证明好嘞，今天咱们聊聊等腰三角形的三线合一逆定理。
听起来好像很高深，其实呢，没那么复杂，咱们一起来轻松一下。
想象一下，一个等腰三角形，哇，简直像个优雅的舞者，两个边对称得像双胞胎，那个顶角就像是在微笑，特别让人觉得舒服。
你知道吗，这个三角形的三条线，哦，不是那种三条线的缠斗，而是高、重心线和中线，居然可以在一个点上相聚，真是太神奇了，简直像是命运的交汇点。
话说回来，咱们先来个简单的故事。
想象一下，小明和小红，他们俩是形影不离的好朋友，走到哪儿都一起。
一天，他们决定去参加一个派对，结果发现，派对上有个舞台，舞台正有个麦克风，嘿，他们俩就想，干脆一起去唱首歌吧！小明负责音调，小红负责节拍，结果他们的默契让所有人都惊呆了，舞台上简直就是一个和谐的等腰三角形。
是不是觉得这个比喻很贴切？现在咱们扯到三线合一逆定理。
简单来说，这个定理就像是一个小魔法，告诉咱们，只要满足某些条件，等腰三角形的三条线就会在同一个点上汇聚。
想象一下，如果这三条线都能在一个地方碰面，那得多好玩，像是老朋友们聚在一起，热热闹闹，聊聊过去的日子。
这可是个重要的性质哦，能帮助我们解开很多几何的秘密。
哎，说到这里，咱们不妨用点幽默的方式来理解它。
想象一下，有一天，一个数学老师带着学生们去户外上课。
老师指着一个等腰三角形，开始讲解那些线条。
可是，学生们一个个都在打瞌睡，老师也有点沮丧。
这时，老师灵机一动，给三条线起了个搞笑的名字，比如“重心线叫小胖子，高线叫小瘦子，中线叫小聪明”。
结果学生们都笑了，打起精神来，纷纷举手提问，课堂瞬间活跃起来。
说到这里，其实这些线的交汇就像生活中的小插曲，可能你觉得它们毫无关系，但其实它们都有自己独特的故事。
每条线都有自己的责任和使命，就像每个人在生活中都有各自的角色。
重心线就像是个调皮的孩子，负责平衡；高线像个严肃的老师，站得高高的；中线则像个和事佬，左右逢源，照顾到每一个角落。
再来聊聊这个逆定理的应用。
三线合一的定理怎么用三线合一逆命题
三线合一的定理怎么用三线合一逆命题
三线合一的定理怎么用：三线合一定理即在等腰三角形（或等边三角形）中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。
如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
三线合一定理的应用
（1）.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC
∴AD⊥BD,AD平分∠BAC
（2）∵AB=AC,AD⊥BC
∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC
（3）.∵AB=AC,AD平分∠BAC
∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC
三线合一逆命题
（1）如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
（2）如果三角形中有一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
（3）如果三角形中有一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
等腰三角形的判定方法
（1）在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角；
（2）在一个三角形中，如果一个角的平分线与该角对边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该角为顶角；
（3）在一个三角形中，如果一条边上的中线与该边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形，且该边为底边。
（4）有两条角平分线（或中线，或高）相等的三角形是等腰三角形。
什么是三线合一
三线合一，即在等腰三角形（包括等边三角形）中（前提）顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合，就叫三线合一（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）。
等腰三角形三线合一逆定理
等腰三角形三线合一逆定理
以上
等腰三角形三线合一逆定理，也称为同一等腰三角形逆定理，是几何中有关等腰三角形的重要定理。
它的应用在几何中非常广泛，它是判断两个等腰三角形是否具有同一等腰三角形时必不可少的定理。
等腰三角形三线合一逆定理，英文名称为The Inverse Theorem of the Coincidence of 3 Lines of an Isosceles Triangle，简称为TCTLIT，它是由希腊几何学家几何学家苏格拉底发展出来的一个定理。
该定理认为：
在几何中，假设ABC为等腰三角形，且AB=AC；设C'D=AE，C'F=AF，及C'D、C'F和AB所成的三角形相等。
则右边的三条线AE, AF和AB也会相等。
这就是等腰三角形三线合一的逆定理。
TCTLIT的正确性由下列推导得出：
由于等腰三角形ABD和C'F内角相等，则由三角形内角相等定理可知: ∠ABD＝
∠C'F，∠AEB＝∠AC'F
故有AF=AE, AB=AE，由此可知，AE=AF=AB，即满足等腰三角形三线合一的逆定理。
由此可见，等腰三角形三线合一的逆定理是正确的。
等腰三角形三线合一的逆定理有两个重要的应用：
（1）若两个等腰三角形的三条腰的长度都相等，则这两个三角形就是同一个等腰三
角形。
等腰三角形三线合一的逆定理是一个重要的几何理论，使得许多书本中几何问题的求解变得更加简单。
此定理的应用可以帮助学生对等腰三角形有更深刻的理解和掌握，这也是学习几何方面知识的重要理论基础。
三线合一公式
三线合一公式主要应用在等腰三角形中，具体如下：
1. 当顶角的角平分线、底边的中线、底边的高线三条线互相重合时，即三条线都指的是AD，实际上这三条线都指的是AD。
通过三线和一得出的逆定理：如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
2. 如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
3. 如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
使用此公式可以通过观察和计算验证来推断是否是等腰三角形，也能够帮助确定三角形的类型，简化相关几何问题。
“三线合一”性质的逆定理
一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理“三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
逆定理：①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
②如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。
证明①：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的中线，求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“延长加倍”，即延长AD到E点，使AD=ED，由此问题就解决了。
证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE在⊿ABD和⊿ECD中AD=DE∠ADB=∠EDCBD=CD∴⊿ABD≌⊿ECD∴AB=CE, ∠BAD=∠CED∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠CAD∴∠CED=∠CAD∴AC=CE∴AB=AC∴⊿ABC是等腰三角形。
三个逆定理中以逆定理②在几何证明的应用中尤为突出。
证明②：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高，求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：通过（ASA）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形证明③：已知: ⊿ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形。
（即垂直平分线的定理）二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用（1）逆定理②的简单应用例题1已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
“三线合一”性质的逆定理
一、等腰三角形的“三线合一”本量的顺定理之阳早格格创做“三线合一”本量：等腰三角形的顶角仄分线、底边上的中线、底边上的下互相沉合.顺定理：①如果三角形中任一角的角仄分线战它所对付边的中线沉合，那么那个三角形是等腰三角形.②如果三角形中任一角的角仄分线战它所对付边的下沉合，那么那个三角形是等腰三角形.③如果三角形中任一边的中线战那条边上的下沉合，那么那个三角形是等腰三角形.简止之：三角形中任性二线合一，必能推导出它是一个等腰三角形.说明①：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角仄分线， AD是BC边上的中线，供证：⊿ABC是等腰三角形.分解：要证等腰三角形便是要证AB=AC，间接通过说明那二条线地圆的三角形齐等出有成，那便换种思路，正在有中面的几许说明题中时常使用的加辅帮线的要收是“延少更加”，即延少AD到E面，使AD=ED，由此问题便办理了.说明：延少AD到E面，使AD=ED，对接CE正在⊿ABD战⊿ECD中AD=DE∠ADB=∠EDCBD=CD∴⊿ABD≌⊿ECD∴AB=CE, ∠BAD=∠CED∵AD是∠BAC的角仄分线∴∠BAD=∠CAD∴∠CED=∠CAD∴AC=CE∴AB=AC∴⊿ABC是等腰三角形.三个顺定理中以顺定理②正在几许说明的应用中尤为超过.说明②：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角仄分线，AD是BC边上的下，供证：⊿ABC是等腰三角形.分解：通过（ASA）的要收去说明⊿ABD战⊿ACD的齐等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形说明③：已知: ⊿ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的下，供证：⊿ABC是等腰三角形.分解：AD便是BC边上的笔曲仄分线，用（SAS）的要收去说明⊿ABD战⊿ACD的齐等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形.（即笔曲仄分线的定理）二、“三线合一”的顺定理正在辅帮线教教中的应用（1）顺定理②的简朴应用例题1已知：如图，正在⊿ABC中，AD仄分∠BAC，CD⊥AD,D 为垂脚，AB>AC.供证：∠2=∠1+∠B分解：由“AD仄分∠BAC，CD⊥AD”推出AD地圆的三角形是等腰三角形，所以延少CD接AB于面E，由顺定理②得出⊿AEC是等腰三角形由此便可得出∠2=∠AEC，又∠AEC=∠1+∠B，所以论断得证.（2）顺定理②与中位线概括应用例题1已知：如图，正在⊿ABC中，AD仄分∠BAC，接BC于面D，过面C做AD的垂线，接AD的延少线于面E，F为BC的中面，连结EF.供证： EF∥AB，EF=(AC-AB)分解：由已知可知，线段AE既是∠BAC的角仄分线又是EC边上的下，便料到把AE地圆的等腰三角形构制出去，果而便可加辅帮线“分别延少CE、AB接于面G”.简朴说明：由顺定理②得出⊿AGC是等腰三角形，∴面E是GC的中面∴EF是⊿BGC的中位线∴得证.例题2如图，已知：正在⊿ABC中，BD、CE分别仄分∠ABC,∠ACB,AG⊥BD于G，AF⊥CE于F，AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm.供： FG的少.分解：通过已知条件不妨知讲线段CF战BG谦脚顺定理②的条件，果此便料到了分别延少AG、AF去构制等腰三角形.简朴说明：分别延少AG、AF接BC于面K、H由顺定理②得出⊿ABK是等腰三角形∴面G是AK的中面共理可得面F是AH的中面∴FG是⊿AHK的中位线由此便可解出FG的少.（3）顺定理②与曲角三角形的概括应用例题1已知，如图，AD为Rt⊿ABC斜边BC上的下，∠ABD的仄分线接AD于M，接AC于P, ∠CAD的仄分线接BP于Q.供证：⊿QAD是等腰三角形.分解：由曲角三角形的本量可知讲∠AQM=90°，由此线段BQ谦脚了顺定理2的条件，所以料到延少AQ接BC于面N.简朴说明：由加辅帮线得出⊿ABN是等腰三角形∴Q面是AN的中面正在Rt⊿AND中，Q是中面∴QA=DQ,∴得证.例题2如图，正在等腰⊿ABC中，∠C=90°，如果面B到∠A的仄分线AD的距离为5cm,供AD的少.分解：已知条件谦脚了顺定理2，所以延少BE战AC，接于面F.简朴说明：由所加辅帮线可知⊿ABF是等腰三角形∴E面是BF的中面∴BF=2BE=10再由⊿ADC战⊿BFC的齐等得出AD=BF论断供出.对付已知条件的合理收会，找出闭键语句，谦脚定理条件，增加适合的辅帮线去构制等腰三角形，以达到办理问题的手段.（4）顺定理③的简朴应用（即笔曲仄分线的应用）例题1 （2006年宝山区中考模拟题）如图，已知二次函数y=ax2+bx的图像启心背下，与x轴的一个接面为B，顶面A正在曲线y=x上，O为坐标本面.说明: ⊿AOB是等腰曲角三角形分解：由扔物线的对付称性可加辅帮线-----过面A做AD⊥x轴，垂脚为D及曲线y=x的本量，不妨知讲⊿AOB是等腰曲角三角形.例题2如图，以⊿ABC的边AB，AC为边分别背形中做正圆形ABDE战ACFG，供证：若DF∥BC,则AB=AC分解：从已知条件出收料到了正圆形的本量：边，角以及对付角线：边的相等，角的相等并皆等于90度，现要说明等腰三角形，能与其最稀切的料到是可也能构制曲角呢？于是便料到了加辅线AH简朴说明：分别过面A、D、F做AH⊥BC，DI⊥BC,FJ⊥BC,分别接BC于面H，CB的延少线于I，BC的延少线于J 由DF∥BC，DI=FJ又⊿AHC≌⊿CJF（AAS），⊿ABH≌⊿BDI(AAS)∴HC=FJ,BH=DI∴BH=HC,∴得证.抓住已知条件战论断的通联，（例题1中扔物线的对付称性战等腰三角形的笔曲仄分线之间的内正在通联，例题2中正圆形中曲角的疑息赢得与等腰三角形的垂线间的间接通联，）通过获与的疑息以及对付等腰三角形“三线合一”本量的顺定理的流利掌控，再举止对付题手段沉新调整，便能赶快干出解题的战术，增加相映的辅帮线，对付于解题有很大的帮闲.（5）顺定理③正在做图中的应用已知：线段m，∠α及∠β，供做⊿ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，且AB+BC+CA=m分解：对付于做图题，普遍先正在草稿纸上绘出央供做图形的草图，再把相映的已知条件正在图上标出，通过对付草图的解剖与分解再把图用尺规典型的干出.通过草图的分解，间接得到所供三角形出有成，由已知三边的战为m以及中角的本量咱们不妨找到一顶面A，再由笔曲仄分线与边的接面找到另二个顶面B战C.做法：1、绘射线OP，正在OP上截与线段OQ=m,2、绘射线OM，使∠MOP=1/2∠α3、绘射线QN，使∠NQO=1/2∠β,接射线OM于面A4、分别做AO、AQ的笔曲仄分线，接OQ于B，C二面，⊿ABC便是所供三角形.等腰三角形“三线合一”本量的顺命题正在辅帮线教教中的应用出有单不妨加强教死解题的本收，而且加强了相闭知识面战分歧知识范围的通联，为教死启拓了一个广阔的探索空间；而且正在增加辅帮线的历程中也蕴含着化归的数教思维，它是办理问题的真量，正在教教中西席要即时融进出、，那样才有帮于教死拓宽思路，歉富偶像，进而达到举一反三的手段.。
“三线合一”性质的逆定理
一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理“三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
逆定理：①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
②如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。
证明①：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的中线，求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线的方法是“延长加倍”，即延长AD到E点，使AD=ED，由此问题就解决了。
证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE在⊿ABD和⊿ECD中AD=DE∠ADB=∠EDCBD=CD∴⊿ABD≌⊿ECD∴AB=CE, ∠BAD=∠CED∵AD是∠BAC的角平分线∴∠BAD=∠CAD∴∠CED=∠CAD∴AC=CE∴AB=AC∴⊿ABC是等腰三角形。
三个逆定理中以逆定理②在几何证明的应用中尤为突出。
证明②：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边上的高，求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：通过（ASA）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形证明③：已知: ⊿ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上的高，求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形。
（即垂直平分线的定理）二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用（1）逆定理②的简单应用例题1已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。
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一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理
“三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。
逆定理：①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
②如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么
这个三角形是等腰三角形。
③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个
三角形是等腰三角形。
简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。
证明①：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AD是BC边上的中线，
求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线
的方法是“延长加倍”，即延长AD到E点，使AD=ED，
由此问题就解决了。
证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE
在⊿ABD和⊿ECD中
AD=DE
∠ADB=∠EDC
BD=CD
∴⊿ABD≌⊿ECD
∴AB=CE, ∠BAD=∠CED
∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠BAD=∠CAD
∴∠CED=∠CAD
∴AC=CE
∴AB=AC
∴⊿ABC是等腰三角形。
三个逆定理中以逆定理②在几何证明的应用中尤为突出。
证明②：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边
上的高，
求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：通过（ASA）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此
推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形
证明③：已知: ⊿ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上
的高，
求证：⊿ABC是等腰三角形。
分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来
证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出
⊿ABC是等腰三角形。
（即垂直平分线的定理）
二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用
（1）逆定理②的简单应用
例题1
已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D
为垂足，AB>AC。
求证：∠2=∠1+∠B
分析：由“AD平分∠BAC，CD⊥AD”推出AD所在的
三角形是等腰三角形，所以延长CD交AB于点E，
由逆定理②得出⊿AEC是等腰三角形由此就可得出
∠2=∠AEC，又∠AEC=∠1+∠B，所以结论得证。
（2）逆定理②与中位线综合应用
例题1
已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，F为BC的中点，连结EF。
求证： EF∥AB，
EF=(AC-AB)
分析：由已知可知，线段AE既是∠BAC的角平分
线又是EC边上的高，就想到把AE所在的等腰三角形构造出
来，因而就可添辅助线“分别延长CE、AB交于点G”。
简单证明：由逆定理②得出⊿AGC是等腰三角形，
∴点E是GC的中点
∴EF是⊿BGC的中位线
∴得证。
例题2
如图，已知：在⊿ABC中，BD、CE分别平分∠ABC,
∠ACB,AG⊥BD于G，AF⊥CE于F，AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm.
求： FG的长。
分析：通过已知条件可以知道线段CF和BG满足逆
定理②的条件，因此就想到了分别延长AG、A
F来构造等腰三角形。
简单证明：分别延长AG、AF交BC于点K、H由逆定理②得出⊿ABK是等腰三角形
∴点G是AK的中点
同理可得点F是AH的中点
∴FG是⊿AHK的中位线
由此就可解出FG的长。
（3）逆定理②与直角三角形的综合应用
例题1
已知，如图，AD为Rt⊿ABC斜边BC上的高，
∠ABD的平分线交AD于M，交AC于
P, ∠CAD的平分线交BP于Q。
求证：⊿QAD是等腰三角形。
分析：由直角三角形的性质可知道∠AQM=90°，
由此线段BQ满足了逆定理2的条件，所以
想到延长AQ交BC于点N。
简单证明：由添辅助线得出⊿ABN是等腰三角形
∴Q点是AN的中点
在Rt⊿AND中，Q是中点
∴QA=DQ,
∴得证。
例题2
如图，在等腰⊿ABC中，∠C=90°，如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm,求AD的长。
分析：已知条件满足了逆定理2，所以延长BE和AC，交于
点F。
简单证明：由所添辅助线可知⊿ABF是等腰三角形
∴E点是BF的中点
∴BF=2BE=10
再由⊿ADC和⊿BFC的全等
得出AD=BF
结论求出。
对已知条件的合理剖析，找出关键语
句，满足定理条件，添加适当的辅助
线来构造等腰三角形，以达到解决问
题的目的。
（4）逆定理③的简单应用（即垂直平
分线的应用）
例题1 （2006年宝山区中考模拟题）
如图，已知二次函数y=ax2+bx的图像
开口向下，与x轴的一个交点为B，
顶点A在直线y=x上，O为坐标原点。
证明: ⊿AOB是等腰直角三角形
分析：由抛物线的对称性可添辅助线-----过点A作AD⊥x轴，垂足为D及直线y=x的性质，可以知道⊿AOB是等腰直角三角形。
例题2
如图，以⊿ABC的边AB，AC为边分别向形外作
正方形ABDE和ACFG，
求证：若DF∥BC,则AB=AC
分析：从已知条件出发想到了正方形的性质：
边，角以及对角线：边的相等，角的
相等并都等于90度，现要证明等腰三
角形，能与其最密切的想到是否也能构
造直角呢？于是就想到了添辅线AH
简单证明：分别过点A、D、F作AH⊥BC，DI⊥BC,FJ⊥BC,分别交BC于点H，CB的延长线于I，BC的延长线于J
由DF∥BC，DI=FJ
又⊿AHC≌⊿CJF（AAS），⊿ABH≌⊿BDI(AAS)
∴HC=FJ,BH=DI
∴BH=HC,
∴得证。
抓住已知条件和结论的联系，（例题1中抛物线的对称性和等腰三角形的垂直平分线之间的内在联系，例题2中正方形中直角的信息获得与等腰三角形的垂线间的间接联系，）通过获取的信息以及对等腰三角形“三线合一”性质的逆定理的熟练把握，再进行对题目的重新整合，就能快速做出解题的策略，添加相应的辅助线，对于解题有很大的帮助。
（5）逆定理③在作图中的应用
已知：线段m，∠α及∠β，求作⊿ABC，使∠ABC=∠α，∠ACB=∠β，且AB+BC+CA=m
分析：对于作图题，一般先在草稿纸上画出要求
作图形的草图，再把相应的已知条件在图
上标出，通过对草图的解剖与分析再把图用
尺规规范的做出。
通过草图的分析，直接得到所求三角形不行，
由已知三边的和为m以及外角的性质我们
可以找到一顶点A，再由垂直平分线与边的交
点找到另两个顶点
B和C。
作法：1、画射线OP，在OP上截取线段OQ=m,
2、画射线OM，使∠MOP=1/2∠α
3、画射线QN，使∠NQO=1/2∠β,交射线OM于点A
4、分别作AO、AQ的垂直平分线，交OQ于B，C两点，
⊿ABC就是所求三角形。
等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在辅助线教学中的应用不但可以强化学生解题的能力，而且加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为学生开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的本质，在教学中教师要及时融入没、，这样才有助于学生拓宽思路，丰富联想，从而达到融会贯通的目的。
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