“三线合一”性质的逆定理

一、等腰三角形的“三线合一”性质的逆定理

“三线合一”性质：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

逆定理：①如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。

②如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么

这个三角形是等腰三角形。

③如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个

三角形是等腰三角形。

简言之：三角形中任意两线合一，必能推导出它是一个等腰三角形。证明①：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线， AD是BC边上的中线，

求证：⊿ABC是等腰三角形。

分析：要证等腰三角形就是要证AB=AC，直接通过证明这两条线所在的三角形全等不行，那就换种思路，在有中点的几何证明题中常用的添辅助线

的方法是“延长加倍”，即延长AD到E点，使AD=ED，

由此问题就解决了。

证明：延长AD到E点，使AD=ED，连接CE

在⊿ABD和⊿ECD中

AD=DE

∠ADB=∠EDC

BD=CD

∴⊿ABD≌⊿ECD

∴AB=CE, ∠BAD=∠CED

∵AD是∠BAC的角平分线

∴∠BAD=∠CAD

∴∠CED=∠CAD

∴AC=CE

∴AB=AC

∴⊿ABC是等腰三角形。

三个逆定理中以逆定理②在几何证明的应用中尤为突出。

证明②：已知: ⊿ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AD是BC边

上的高，

求证：⊿ABC是等腰三角形。

分析：通过（ASA）的方法来证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此

推出AB=AC得出⊿ABC是等腰三角形

证明③：已知: ⊿ABC中，AD是BC边上的中线，又是BC边上

的高，

求证：⊿ABC是等腰三角形。

分析：AD就是BC边上的垂直平分线，用（SAS）的方法来

证明⊿ABD和⊿ACD的全等，由此推出AB=AC得出

⊿ABC是等腰三角形。（即垂直平分线的定理）

二、“三线合一”的逆定理在辅助线教学中的应用

（1）逆定理②的简单应用

例题1

已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D

为垂足，AB>AC。

求证：∠2=∠1+∠B

分析：由“AD平分∠BAC，CD⊥AD”推出AD所在的

三角形是等腰三角形，所以延长CD交AB于点E，

由逆定理②得出⊿AEC是等腰三角形由此就可得出

∠2=∠AEC，又∠AEC=∠1+∠B，所以结论得证。

（2）逆定理②与中位线综合应用

例题1

已知：如图，在⊿ABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，过点C作AD的垂线，交AD的延长线于点E，F为BC的中点，连结EF。

求证： EF∥AB，

EF=(AC-AB)

分析：由已知可知，线段AE既是∠BAC的角平分

线又是EC边上的高，就想到把AE所在的等腰三角形构造出

来，因而就可添辅助线“分别延长CE、AB交于点G”。

简单证明：由逆定理②得出⊿AGC是等腰三角形，

∴点E是GC的中点

∴EF是⊿BGC的中位线

∴得证。

例题2

如图，已知：在⊿ABC中，BD、CE分别平分∠ABC,

∠ACB,AG⊥BD于G，AF⊥CE于F，AB=14cm,AC=9cm,BC=18cm.

求： FG的长。

分析：通过已知条件可以知道线段CF和BG满足逆

定理②的条件，因此就想到了分别延长AG、A

F来构造等腰三角形。

简单证明：分别延长AG、AF交BC于点K、H由逆定理②得出⊿ABK是等腰三角形

∴点G是AK的中点

同理可得点F是AH的中点

∴FG是⊿AHK的中位线

由此就可解出FG的长。

（3）逆定理②与直角三角形的综合应用

例题1

已知，如图，AD为Rt⊿ABC斜边BC上的高，

∠ABD的平分线交AD于M，交AC于

P, ∠CAD的平分线交BP于Q。

求证：⊿QAD是等腰三角形。

分析：由直角三角形的性质可知道∠AQM=90°，

由此线段BQ满足了逆定理2的条件，所以

想到延长AQ交BC于点N。

简单证明：由添辅助线得出⊿ABN是等腰三角形

∴Q点是AN的中点

在Rt⊿AND中，Q是中点

∴QA=DQ,

∴得证。

例题2

如图，在等腰⊿ABC中，∠C=90°，如果点B到∠A的平分线AD的距离为5cm,求AD的长。分析：已知条件满足了逆定理2，所以延长BE和AC，交于

点F。

简单证明：由所添辅助线可知⊿ABF是等腰三角形

∴E点是BF的中点

∴BF=2BE=10

再由⊿ADC和⊿BFC的全等

得出AD=BF

结论求出。

对已知条件的合理剖析，找出关键语

句，满足定理条件，添加适当的辅助

线来构造等腰三角形，以达到解决问

题的目的。

（4）逆定理③的简单应用（即垂直平

分线的应用）

例题1 （2006年宝山区中考模拟题）

如图，已知二次函数y=ax2+bx的图像

开口向下，与x轴的一个交点为B，

顶点A在直线y=x上，O为坐标原点。

证明: ⊿AOB是等腰直角三角形

分析：由抛物线的对称性可添辅助线-----过点A作AD⊥x轴，垂足为D及直线y=x的性质，可以知道⊿AOB是等腰直角三角形。

例题2