大学《离散数学》期末考试试卷及答案-(1)

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离散数学期末考试题及详细答案

离散数学期末考试题及详细答案

离散数学期末考试题及详细答案一、选择题(每题5分,共20分)1. 在离散数学中,下列哪个概念用来描述元素与集合之间的关系?A. 并集B. 交集C. 子集D. 元素答案:D2. 布尔代数中,下列哪个运算符表示逻辑“与”?A. ∨B. ∧C. ¬D. →答案:B3. 下列哪个命题的否定是正确的?A. 如果今天是周一,则明天是周二。

B. 如果今天是周一,则明天不是周二。

答案:B4. 在图论中,一个图的顶点数为n,边数为m,下列哪个条件可以保证该图是连通的?A. m > nB. m ≥ nC. m = nD. m > n-1答案:D二、填空题(每题5分,共20分)1. 在集合论中,一个集合的幂集包含该集合的所有______。

答案:子集2. 如果一个函数f: A → B是单射的,那么对于任意的a1, a2 ∈ A,如果a1 ≠ a2,则f(a1) ≠ f(a2)。

这种性质称为函数的______。

答案:单射性3. 在图论中,一个图的直径是指图中任意两个顶点之间的最短路径的最大值。

如果一个图的直径为1,则该图被称为______。

答案:完全图4. 一个布尔表达式可以表示为一系列逻辑运算符和变量的组合。

布尔表达式(A ∧ B) ∨ (¬ A ∧ C)的真值表中,当A为真,B为假,C为真时,整个表达式的值为______。

答案:真三、简答题(每题10分,共30分)1. 请简述什么是图的哈密顿回路,并给出一个例子。

答案:哈密顿回路是图中的一个回路,它恰好访问每个顶点一次。

例如,在一个完全图中,任意一个顶点出发,依次访问其他顶点,最后回到出发点的路径就是一个哈密顿回路。

2. 请解释什么是二元关系,并给出一个二元关系的例子。

答案:二元关系是定义在两个集合上的一个关系,它关联了第一个集合中的元素和第二个集合中的元素。

例如,小于关系是实数集合上的一个二元关系,它关联了每一对实数,如果第一个数小于第二个数。

离散数学期末考试含答案

离散数学期末考试含答案

离散数学综合练习题一一、单项选择题(每题2分 )16 %设P :王强是南方人,Q :他怕热.命题“王强不怕热是因为他是南方人”符号化为 ( ) (A)(B)()(D)P Q P Q C Q P Q P →→⌝→⌝→2 设F (x ):x 是熊猫,G (y ):y 是竹子,H (x ,y ):x 喜欢y. 那么命题“有些熊猫喜欢各种的竹子”符号化为 ( )(A) (()(()(,)))x F x y G y H x y ∃→∀∧ (B) (()(()(,)))x F x y G y H x y ∃→∀→ (C) (()(()(,)))x F x y G y H x y ∃∧∀→ (D) (()(()(,)))y x F x G y H x y ∀∃→∧3. 命题公式()p q p →∧⌝是 ( )(A) 重言式 (B) 矛盾式(C) 可满足式 (D) 以上3种都不是4. 设集合A ={a,b,{c,d,e}}则下列各式为真的是 ( )(A) ∈A (B) c ∈A (C) {c,d,e} A (D) {a,b}A5. 设函数 :f N N →且()3x f x =,则f 是 ( )(A) 单射,非满射 (B) 满射,非单射 (C) 双射 (D) 非单射,非满射6. 设E 为全集, A , B 为非空集,且BA ,则空集为( )(A) A B I (B) A B :I (C) A B I : (D) A B :I :7. 设A ={0,1,2,3},A 上的关系R ={<0,1>,<0,2>,<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,3>},则R 是 ( )(A )自反的 (B )对称的 (C )反对称的 (D )可传递的8. 无向图K 3,3是( )(A )哈密顿图 (B )欧拉图 (C )完全图 (D )平面图二、填空题(每空2分)18 %1. 设():F x x 是火车,():G y y 是汽车,H (x,y ):x 比y 快,则命题“说所有火车比有的汽车快是不对的”符号化是 ,其另一种等值形式为 。

国家开放大学电大《离散数学》期末题库及答案

国家开放大学电大《离散数学》期末题库及答案

最新国家开放大学电大《离散数学》期末题库及答案《离散数学》题库及答案一一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)1.若集合A = (l,2,3,4),则下列表述不正确的是()•A.16AB. {1,2,3}CAC. (1.2.3J6AD. 0UA2.若R和R?是A上的对称关系,则中对称关系有(〉个・A. 1B. 2C. 3D. 43.设G为连通无向图,则])时,G中存在欧拉回路・A. G不存在奇数度数的结点B. G存在偶数度数的结点C. G存在一个奇数度数的结点D. G存在两个奇数度数的结点4.无向图G是棵树,边数是10,则G的结点度数之和是().A.20B. 9C. 10D. 115.设个体域为整数集,则公式V z3y(x+y = 0)的解释可为().A-存在一整数z有整数丁满足x+y = 0B.对任意整数z存在整数財满足x+y = 0C.存在一整数z对任意整数'满足工+y・0D.任意整数工对任意整数,满足x+y=0得分评卷人--------------- 二、填空題(毎小通3分,本題共15分)6.设集合A = {1.2,3),B = (2,3,4}.C=(3.4.5,则A (J (C - B )等于7-设 A = (2,3},B-{l,2}.C-{3,4}.从 A 到 B 的函ft/-{<2,2>,<3,1>}.从 B 到C 的函数R = <V1.3>,V2.4>),则Dom(g")等于.8.已知图G中共有】个2度结点,2个3度结点,3个4度结点,则G的边数是・9.设G是连通平面分别衰示G的結点数.边数和面数,u值为5/值为4,则r的值为・-10-设个体域D = (1.2.3,4hA(x)为七大于5”,则调词公式(Vz)AGr)的真值为11. 将语句“学生的主要任务是学习”翻译成命题公式. 12.将语句“今天天暗,昨天下雨.”翻译成命题公式.四、判斷说明題(判断各题正误,并说明理由.每小题7分,本题共1413. 空集的圳:集是空集. 14.完全图K,不是平面图.15.设集合A = <1,2,3,4}上的关系:R-«1.2>.<2.3>.<3,4>}.S = (<1.1>,<2,2>,<3,3>), 试计算(DR • S t (2)7? (3)r(J?nS).16.图 G=<V,E>.其中 V=S ,6,c,d}.E=((a,6),S,c),(a,d),(5,c),0,d),(c,d)},对应边的权值依次为2、3、4、5、6及7,试(1)画出G 的图形, (2)写岀G 的邻接矩阵;(3)求出G 权最小的生成树及其权值. 17.求PTQPR )的析取范式与主合取范式.18.试证明:r -1 (P-*Q) An R A(QfR)=>i P.试题答案及评分标准仅供參考一、单项选择题(毎小题3分,本题共15分)l.C2.D3. A4. A5. B2OZZ«r-2O23^ttM三、逻辑公式翻译(毎小題6分,本题共】2分)分)五、计鼻16(每小JS 12分,本贓共36分)六、证明85(本楚共8分)2022集・2U23年股*二、壊空題(每小题3分,本题共15分)6. {1,2,3,5)7. {2,3}(或 A)8.109.110. 假(或F,或0)三、逻辑公式B!译(毎小题6分,本題共12分)11.设P :学生的主要任务是学习. 则命题公式为:P.12.设今天夭晴,Q :昨天下雨. 则命题公式为:PAQ.四、判断说明題(每小題7分,本题共14分)13.借误.空集的專集不为空集,为{0}. 14. 错误.完全图K,是平面图, 如K,可以如下图示嵌入平面.五、计算题(每小题12分,本題共36分)15. 解:(!)/? • S = (V1,2>,V2,3>* (2)J?-* = «2,1>,<3,2>,<4,3>}» (3)r(RnS)={Vl,l>,V2,2>,V3,3>,V4,4>} 16. 解.(DG 的图形表示为:《7分)(2)邻接矩阵:(3分)(6分)(2分)(6分) (2分) (6分)(3分)(4分) (8分)2022 集-2U23 年股*(3)粗线与结点表示的是最小生成树,(10 分)权值为9 (12分)17.解:P-(QAR)PV(QAR) 析取范式(2分)PVQ)A(q PVR) (5 分)g PVQ〉V(RA")A("VR) (7 分)PVQ)V(R A-i R)A(i PVR)V(QAr Q) (9 分)«(n PVQVR) A("VQV")A(i P VRVQ)A("VRVr Q)⑴分)PVQVR) A(i PVQV-i R) A(n P Vn QVR) 主合取范式 (12 分)六、证明JH(本■共8分)18.证明:(1)n □ (P-*Q) P(1 分)(2)P-*Q T(1)E (3 分)(3)(Q々) P(4 分)(On R P(5 分)(5>-| Q T(3)(4)7 (6 分)(6)n P T(2)(5)r (8 分)说明:(1)因证明过程中,公式引用的次序可以不同,一般引用前提正确得1分,利用两个公式得.出有效结论得1或2分,最后得岀靖论得2或1分.(2)另,可以用真值表验证.《陽散数学〉题库及答案二的关系R = {<=,3>M£A,3£B,且工+ » = 5}.则R=( ).A・(V1,2>,V1,3>,V2,3>} B. (VI,4>,V2,3>,V3,2>}C. (<1,1>,<2,2>,<3,2>}D. (<3.2>,<2,4>,<3,4»2.若集合A = {a,6,c,d},则下列表述正确的是( )•B. (a}£AD・("匕A2DZZ 邮-2023 邮3.设个体域为整数集期公式(七)(功)(工一,・2)的解释可为()•A.存在一整数1有整数,満足工一》=2R存在一整散工对任意整數:,満足工一>・2G对任一整数工存在整数:y满足上一y=2D.任一整数]对任意幣数》满足x-y-24.”阶无向完全图K.的边數及每个结点的度数分别是()・A. n(n —1)与mB. n(n —1)与C.n — 1 与nD. n(n —1)/2 与“一】5.设G为连通无向ffl.MC 〉时,G中存在欧拉回路•A.G不存在奇数度数的靖点B・G存在一个奇数度數的靖点C.G存在两个奇数度数的结点D.G存在偶数度数的结点得分|评卷人二、壊空順(毎小H 3分.本顕共15分)6.设集合A = {x|x是小于4的正整数).用集合的列挙法A=・7.设 A = U,2),B-{a.6}.C-{l,2).从 A 到 B 的函»/= {<1 .a>.<2,6>).从 B 到C的函数g-«a.2>,<6,l>),则复合函数g./- ・8.设G = <V,E>是一个图,结点度数之和为30,MG的边数为・9.设G是具有r,个結点责条边4个面的连通平面图.JRn+4-2-・10.设个体域D-(2,3.4},A(x )为—小于3■,则调词公式< Vx)A(x>的真值为得分评卷人三、遂梅公式翻译(毎小題6分,本■共12分)11-将语句•如果今天下頂•那么明天的比賽就要延期译成命,公式.12.将语句•地球是圆的,太阳也是圆的.”翻洋成命題公式.得分呼卷人----- 四、判断说明題(判斷各IH正讓•井说明理由.毎小願7分.本■共 14 分)13.设A = {a,6.c.</}.R-«a.6>,<6,a>,<a ,a>,<b,b> ,<(.€>}.则R是等价关系.2OZZ«r-2O23^ttM14.<Vz)(P(x)AQ(y»-R(x)中量伺V 的辖域为(PGr〉AQ(y)).得分评卷人-------------- 五、计算题(每小題12分,本題共36分)15.设集合A^{a,b,c}t B^{b t c,d}t试计算(DAUB; (2) A-Bi(3MXB.16.设G = VV,E>,V= {vi. v a. vj»v4).E =* ((vi»)» (vi»v s)» (t>i»v4). (v,,v>)»(V1 ,。

最新离散数学期末考试试题与答案[1]课件ppt

最新离散数学期末考试试题与答案[1]课件ppt

19. (5分) 已知公理 A: (pq) ((qp) (pq)) B: pp∨q
C: pp D: (pr) ((qr) ((p∨q) r)) E: p∧qp 证明定理: p(p∨p)
证明:
(1) pp∨q
公理B
(2) pp∨p
代入
(3) (pr) ((qr) ((p∨q) r))
公理D
(4) (pp) ((pp) ((p∨p) p)) 代入
∑d(v) ≥1+2(|V|-1)=2|E|+1, 这与结论 ∑ d(v) =2|E| 矛盾! 矛盾说明 T 不止
一片树叶。
12. (8分) (G, ·)是一个群,取定u ∊ G. ∀g1,g2∊G,定义: g1*g2= g1·u-1·g2. 证明: (G,*)是群。
证明: (1) 封闭性 (2) 可以结合性 (3) 幺元 e*=u. 事实上, g*e*=g*u=g·u-1·u=g·e=g e**g=u*g=u·u-1·g=e·g=g (4) 逆元 对于∀g∊G, 在代数运算*下的逆元记为g*-1 于是, g*-1=u·g-1·u
所以,根据连通的定义知:G的补图一定连通 。
9. (4分) 一个有奇数条边、偶数个顶点的欧拉图,但不是哈 密尔顿图。
10 (6分) 画出K4,4,判断K4,4是否平面图. 否!
11. (5分) 证明: 多于一个顶点的树,至少有两片树叶。
证明:设 T=(V,E)是一棵树,若T中最多只有一片树叶, 则有
g*a*g-1H,
g*a*g-1K, 从而有g*a*g-1HK, 故HK是G的正规子群。
14. (4分) 已知(G, *),(A, △)是两个群,f: G→A是群同态的。
证明: (1) f(eG)=eA (eG G是幺元, eA A是幺元). (2) ∀g∊G, f(g-1)=(f(g))-1.

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案1.选择题(每题3分,共30分)1. 下列命题中,属于复合命题的是:A. 3是一个奇数,且2是一个偶数B. 如果2是一个素数,那么4也是一个素数C. 不是所有奇数都是素数D. 存在一个整数x,使得x>5且x是一个偶数答案:D2. 已知命题p:草地是绿的,命题q:天空是蓝的。

下列表述可以表示p ∧ ¬q 的是:A. 草地是绿的,天空是蓝的B. 草地不是绿的,天空是蓝的C. 草地是绿的,天空不是蓝的D. 草地不是绿的,天空不是蓝的答案:B3. 设命题p表示“这个数是偶数”,q表示“这个数大于10”。

那么“这个数既是偶数又大于10”可以表示为:A. p ∧ qB. p ∨ qC. ¬p ∧ qD. ¬p ∨ q答案:A4. 下列以下列集合的方式描述,其中哪个是空集∅:A. {x | 0 ≤ x ≤ 1}B. {x | x是一个自然数,x > 10}C. {x | x是一个正偶数,x < 2}D. {x | x是一个负整数,x < -1}答案:C5. 设A = {a, b, c},B = {c, d, e},C = {a, c, e}。

则(A ∪ B) ∩ C等于:A. {a, b, c, d, e}B. {a, c, e}C. {c}D. 空集∅答案:B6. 假设U是全集,A、B、C是U的子集。

则(A ∪ B) ∩ C 的补集是:A. A ∩ B ∩ C的补集B. (A ∪ B) ∩ C的补集C. A ∪ (B ∩ C)的补集D. (A ∩ C) ∩ (B ∩ C)的补集答案:D7. 若关系R为集合A到集合B的一种映射,且|A| = 7,|B| = 4,则R包含的有序对数目为:A. 4B. 7C. 11D. 28答案:D8. 设A={1,2,3},B={4,5,6},则从A到B的映射总数为:A. 3B. 9C. 6D. 18答案:C9. 设A={a,b,c,d,e},则集合A的幂集的元素个数是:A. 2B. 5C. 10D. 32答案:D10. 若f:A→B为满射且g:B→C为单射,则(g ∘ f):A→C为:A. 双射B. 满射C. 单射D. 非单射且非满射答案:A2.简答题(每题10分,共20分)1. 请简要解释什么是关系R的自反性、对称性和传递性。

《离散数学》期末考试试卷附答案

《离散数学》期末考试试卷附答案

《离散数学》期末考试试卷附答案一、填空题(每小题3分,共15小题,共45分)1设集合A,B,其中A={1,2,3}, B= {1,2}, 则A - B=____________________;ρ(A) - ρ(B)=__________________________ .2. 设有限集合A, |A| = n, 则|ρ(A×A)| = __________________________.3.设集合A = {a, b}, B = {1, 2}, 则从A到B的所有映射是__________________________ _____________, 其中双射的是__________________________.4. 已知命题公式G=⌝(P→Q)∧R,则G的主析取范式是_________________________________________________________________________________________.5.设G是完全二叉树,G有7个点,其中4个叶点,则G的总度数为__________,分枝点数为________________.6设A、B为两个集合, A= {1,2,4}, B = {3,4}, 则从A⋂B=_________________________; A⋃B=_________________________;A-B=_____________________ .7. 设R是集合A上的等价关系,则R所具有的关系的三个特性是______________________, ________________________,_______________________________.8. 设命题公式G=⌝(P→(Q∧R)),则使公式G为真的解释有__________________________,_____________________________,__________________________.9. 设集合A={1,2,3,4}, A上的关系R1 = {(1,4),(2,3),(3,2)}, R1 = {(2,1),(3,2),(4,3)}, 则R1•R2 = ________________________,R2•R1 =____________________________,R12 =________________________.10. 设有限集A, B,|A| = m, |B| = n, 则| |ρ(A⨯B)| =_____________________________.11设A,B,R是三个集合,其中R是实数集,A = {x | -1≤x≤1, x∈R}, B = {x | 0≤x < 2, x∈R},则A-B = __________________________ , B-A = __________________________ , A∩B = __________________________ , .13.设集合A={2, 3, 4, 5, 6},R是A上的整除,则R以集合形式(列举法)记为___________ _______________________________________________________.14. 设一阶逻辑公式G = ∀xP(x)→∃xQ(x),则G的前束范式是__________________________ _____.15.设G是具有8个顶点的树,则G中增加_________条边才能把G变成完全图。

离散数学试题及答案1(理工大学)

离散数学试题及答案1(理工大学)

离散数学试题及答案1(计算机科学与技术)一、单选题(题数:25,共 50.0 分)1不是可满足的公式必永()。

(2.0分)A、假B、真C、负D、正正确答案:A2方法简单但是里面充满了()(2.0分)A、方法论B、推广C、推理D、公式正确答案:A3在联结词的集合Ω中如果一个联结词可以用集合Ω中的其它联结词(),则该联结词在Ω中被称为是冗余的,否则该联结词被称为是独立的。

(2.0分)A、表示B、代言C、规划D、条件正确答案:A4在一阶谓词逻辑的()中,所有命题逻辑的推理规则都要继承下来(2.0分)A、推理B、公式C、检查D、发展正确答案:A5首先求出公式G的无ヨ前束型()(2.0分)A、公式B、实数C、分数D、结构正确答案:A6对()中出现的个体常项,指定一个D中的元素(2.0分)A、AB、FC、GD、V正确答案:A7个体常元:通常用排在前面的小写字毋及其下标()(2.0分)A、表示B、发展C、位置D、幅度正确答案:A8谓词逻辑的任一()A,都可化为和应的ヨ前束范式,并且A是普有效的当且仅当其前東范式是普遍有效的。

(2.0分)A、公式B、检查C、发展D、规划正确答案:A9方法简单但是里面充满了()(2.0分)A、方法论B、推广C、推理D、公式正确答案:A10度为()的顶点称为悬点,与悬点关联的边称为悬边(2.0分)A、1B、2C、3D、4正确答案:A11A,B是命题(),若A→B是永真式,则称A永真蕴含B(2.0分)A、公式B、证明C、发展D、研究正确答案:A12命题公式的主范式包括主()范式和主合取范式两种。

(2.0分)A、析取B、完整C、大众D、发展正确答案:A13在一阶谓词逻辑的()中,所有命题逻辑的推理规则都要继承下来(2.0分)A、推理B、公式C、检查D、发展正确答案:A14如果命题公式A在任意的真值赋值()下的真值都为0,则称A为永假式(或称矛盾式)(2.0分)A、函数B、结果C、大小D、位置正确答案:A15A,B是命题公式,若A→B是(),则称A永真蕴含B(2.0分)A、永真式B、不等式C、法线D、结构式正确答案:A16设公式()和B都是限制性公式(2.0分)A、AB、BC、CD、D正确答案:A17{0,1}上的n元函数f:{0,1}n→{0,1}称为一个n元()函数。

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 以下哪个选项是图的边数与顶点数的关系?A. 边数小于顶点数B. 边数等于顶点数C. 边数大于顶点数D. 边数与顶点数无固定关系答案:D2. 有限自动机的英文缩写是什么?A. FAB. PDAC. TMAD. NFA答案:A3. 布尔代数中,德摩根定律是指什么?A. ¬(A ∧ B) 等于¬ A ∨ ¬ BB. ¬(A ∨ B) 等于¬ A ∧ ¬ BC. A ∧ B 等于¬(A ∨ B)D. A ∨ B 等于¬(¬ A ∧ ¬B)答案:B4. 在命题逻辑中,以下哪个符号表示蕴含?A. ∧B. ∨C. →D. ↔答案:C5. 集合A = {1, 2, 3},B = {2, 3, 4},则A ∪ B等于:A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3, 4}D. {1, 3, 4}答案:A6. 以下哪个选项是正确的递归定义?A. 一个数是偶数当且仅当它是2的倍数B. 一个数是偶数当且仅当它不是2的倍数C. 一个数是偶数当且仅当它是另一个偶数加1D. 以上都是正确的递归定义答案:A7. 有向图和无向图的主要区别是什么?A. 有向图的边有方向,无向图的边没有方向B. 有向图的顶点有方向,无向图的顶点没有方向C. 有向图的边可以相交,无向图的边不可以相交D. 有向图可以有环,无向图不可以有环答案:A8. 在命题逻辑中,以下哪个公式是矛盾的?A. A ∧ ¬ AB. A ∨ ¬ AC. A → BD. A ∧ B ∧ ¬ A答案:A9. 以下哪个是图的同义术语?A. 网络B. 矩阵C. 树D. 以上全部答案:A10. 以下哪个命题逻辑公式是有效的?A. (A → B) ∧ (B → A)B. (A ∧ B) → AC. (A ∨ B) → AD. (A ∧ B) → B答案:B二、填空题(每题2分,共20分)11. 在命题逻辑中,_________ 表示一个命题是真的,而 _________ 表示一个命题是假的。

大学离散数学试卷一及答案

大学离散数学试卷一及答案

大学离散数学试卷一及答案一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)1.下列不是命题的是[ C ]。

A.7能被3整除.B.5是素数当且仅当太阳从西边升起.C.x加7小于0.D.华东交通大学位于南昌北区.2. 设p:王平努力学习,q:王平取得好成绩,命题“除非王平努力学习,否则他不能取得好成绩”的符号化形式为[ D ]。

A. p→qB. ⌝p→qC. ⌝q→pD. q→p3. 下面4个推理定律中,不正确的为[ D ]。

A.A=>(A∨B) (附加律)B. (A∨B)∧⌝A=>B (析取三段论)C. (A→B)∧A=>B (假言推理)D. (A→B)∧⌝B=>A (拒取式)4. 设解释I如下,个体域D={1,2},F(1,1)=(2,2)=0,F(1,2)=F(2,1)=1,在解释I下,下列公式中真值为1的是[ A ]。

A.∀x ∃yF(x,y)B. ∃x∀yF(x,y)C. ∀x∀yF(x,y)D. ⌝∃x∃yF(x,y)5. 下列四个命题中哪一个为真?[ D ]。

A. ∅∈∅B. ∅∈{a}C. ∅∈{{∅}}D. ∅⊆∅6. 设S={a,b,c,d},R={<a,a>,<b,b>,<d,d>},则R的性质是[ B ]。

A.自反、对称、传递的B. 对称、反对称、传递的C.自反、对称、反对称的D. 只有对称性7.设A={a,b,c},则下列是集合A的划分的是[ D ]。

A.{{b,c},{c}}B.{{a,b},{a,c}}C.{{a,b},c}D.{{a},{b,c}}8. 设集合})关于普通数的乘法,不正确的有[ C ]。

ab+=aQ∈2,{)2(QbA. 结合律成立B. 有幺元C. 任意元素有逆元D. 交换律成立9.设A是非空集合,P(A)是A的幂集,∩是集合交运算,则代数系统〈P(A),∩〉的幺元是[ C ]。

A. P(A)B. φC. AD. E10.下列四组数据中,不能成为任何4阶无向简单图的度数序列的为[ C ]。

离散数学期末考试试题(有几套带答案1)

离散数学期末考试试题(有几套带答案1)

离散数学期末考试试题(有⼏套带答案1)离散数学试题(A卷及答案)⼀、证明题(10分)1)(?P∧(?Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)?R证明: 左端?(?P∧?Q∧R)∨((Q∨P)∧R)?((?P∧?Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)?(?(P∨Q)∨(Q∨P))∧R((P∨Q)∨(P∨Q))∧R?T∧R(置换)?R2)?x(A(x)→B(x))??xA(x)→?xB(x)证明:?x(A(x)→B(x))??x(?A(x)∨B(x))??x?A(x)∨?xB(x)xA(x)∨?xB(x)??xA(x)→?xB(x)⼆、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)??(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))(?P∧(?Q∨?R))∨(P∧Q∧R)(P∧?Q)∨(?P∧?R))∨(P∧Q∧R)(P∧?Q∧R)∨(?P∧?Q∧?R)∨(?P∧Q∧?R))∨(?P∧?Q∧?R))∨(P∧Q∧R)m0∨m1∨m2∨m7M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题(10分)1)C∨D, (C∨D)→?E, ?E→(A∧?B), (A∧?B)→(R∨S)?R∨S证明:(1) (C∨D)→?E(2) ?E→(A∧?B)(3) (C∨D)→(A∧?B)(4) (A∧?B)→(R∨S)(5) (C∨D)→(R∨S)(6) C∨D(7) R∨S2) ?x(P(x)→Q(y)∧R(x)),?xP(x)?Q(y)∧?x(P(x)∧R(x)) 证明(1)?xP(x)(2)P(a)(3)?x(P(x)→Q(y)∧R(x))(4)P(a)→Q(y)∧R(a)(5)Q(y)∧R(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a)(9)P(a)∧R(a)(10)?x(P(x)∧R(x))(11)Q(y)∧?x(P(x)∧R(x))五、已知A、B、C是三个集合,证明A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) (15分)证明∵x∈A-(B∪C)?x∈A∧x?(B∪C)?x∈A∧(x?B∧x?C)?(x∈A∧x?B)∧(x∈A∧x?C)?x∈(A-B)∧x∈(A-C)? x∈(A-B)∩(A-C)∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)六、已知R、S是N上的关系,其定义如下:R={| x,y∈N∧y=x2},S={| x,y∈N∧y=x+1}。

大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)

大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)

大学《离散数学》期末考试试卷及答案(1)一、选择题1. 离散数学的主要研究对象是()。

A. 连续的数学结构B. 有限的数学结构C. 数学的综合应用D. 数学的哲学思考2. 命题逻辑是离散数学的一个重要组成部分,它主要研究()。

A. 命题之间的真假关系B. 变量之间的关系C. 函数之间的关系D. 集合之间的关系3. 集合的基本运算包括()。

A. 并、交、差、补B. 加、减、乘、除C. 包含、相等、不等、自反D. 大于、小于、等于、不等于二、填空题1. 若集合A={m|2m-1>3},则A中的元素为______。

2. 有一个集合A={1,2,3},则集合A的幂集为______。

3. 若命题p为真,命题q为假,则复合命题“p∧q”的真值为______。

三、解答题1. 请写出离散数学中常用的数学符号及其含义。

2. 请解释命题逻辑中的充分必要条件及其符号表示,并给出一个例子。

3. 请定义集合的笛卡尔积,并给出两个集合进行笛卡尔积运算的例子。

四、问答题1. 离散数学在计算机科学中有着重要的应用,请列举三个与计算机科学相关的离散数学应用领域并简要介绍。

2. 请简要解释归纳法在离散数学中的作用,并给出一个使用归纳法证明的例子。

3. 什么是有向图?请给出一个有向图的例子,并解释该图中的关系。

参考答案:一、选择题1. B2. A3. A二、填空题1. A={m|2m-1>3}2. {{}, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}}3. 假三、解答题1. 常用数学符号及含义:- ∪:并,表示集合的合并操作。

- ∩:交,表示集合的交集操作。

- ∖:差,表示减去一个集合中的元素。

- ⊆:包含,表示一个集合包含于另一个集合。

- =:相等,表示两个集合具有相同的元素。

2. 充分必要条件是指一个命题的成立与另一个命题的成立互为必要条件,若A是B的充分必要条件,那么当A成立时B一定成立,且当A不成立时B也一定不成立。

离散数学期末考试题(附答案和含解析1)

离散数学期末考试题(附答案和含解析1)

一、填空2.A ,B,C 表示三个集合,文图中阴影部分的集合表达式为 (B ⊕C )—A4.公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(的主合取范式为 )()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝ 。

5.若解释I 的论域D 仅包含一个元素,则 )()(x xP x xP ∀→∃ 在I 下真值为 1 . 6.设A={1,2,3,4},A 上关系图如下,则 R^2= {(1,1),(1,3),(2,2),(2,4)} 。

//备注:⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00000000101001012R7.设A={a,b ,c ,d},其上偏序关系R 的哈斯图如下,则R= {(a ,b),(a ,c ), (a ,d), (b,d ), (c,d )} U {(a ,a),(b,b)(c,c )(d ,d )} .//备注:偏序满足自反性,反对称性,传递性8.图的补图为 。

//补图:给定一个图G ,又G 中所有结点和所有能使G 成为完全图的添加边组成的图,成为补图。

自补图:一个图如果同构于它的补图,则是自补图 9.设A={a ,b ,c ,d } ,A 上二元运算如下:* a b c d a b c da b c d b c d a c d a b d a b c那么代数系统〈A,*〉的幺元是 a ,有逆元的元素为 a ,b,c,d ,它们的逆元分别为 a ,b ,c,d 。

//备注:二元运算为x*y=max{x,y },x ,y ∈A 。

10.下图所示的偏序集中,是格的为 c 。

//(注:什么是格?即任意两个元素有最小上界 和最大下界的偏序)二、选择题1、下列是真命题的有( C 、D )A . }}{{}{a a ⊆;B .}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ;C .}},{{ΦΦ∈Φ; D .}}{{}{Φ∈Φ.2、下列集合中相等的有( B 、C )A CA .{4,3}Φ⋃;B .{Φ,3,4};C .{4,Φ,3,3};D . {3,4}。

《离散数学》期末练习题考试卷和答案

《离散数学》期末练习题考试卷和答案

a , b, c , d , e, f , g,那么 所对应的 19. 设集合 A a , b , c , d , e , f , g , A 上有一个划分
等价关系 R 应有( )个序偶。 )。
20. 在有理数集合 Q 上定义二元运算*: a * b a b ab ,则 Q , * 的幺元是(
等价关系 R 应有( )个序偶。 )。
25. 在有理数集合 Q 上定义二元运算*: a * b a b ab ,则 Q , * 的幺元是(
26. 一个(
)称为布尔代数。
27.P Q P Q 的主析取范式是
。(写出一般
5
表示形式即可) 28.设集合 A a , b , c , d , R 是 A 上的二元关系,且 R a , b , b , a , b , c , c , d , a , c , 则 R 的传递闭包 t R 。
C. x x是正整数, x 5


D. x x是有理数, x 5

6.下面有关集合之间的包含和属于关系的说法,正确的是 Ⅰ. Ⅲ.
Ⅱ. , ,
Ⅳ.
a, b a, b, a, b
B.Ⅰ和Ⅲ
a, b a, b, a, b, c
二、填空题 1.设 A 为非空集合,且 A n ,则 A 上不同的二元关系的个数为 为 。 时, P Q 的真值为 1。 , A 上不同的映射的个数
2.设 P 、 Q 为两个命题,当且仅当
3. 在运算表中的空白处填入适当符号,使 a , b , c, * 成为群。 *
a a
a b c
4. 当 n 为 数时, K n n 3 必为欧拉图。

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号:1009)

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号:1009)

国家开放大学电大本科《离散数学》2024-2025期末试题及答案(试卷号:1009)一、单项选择题(每小题3分,本题共16分)若集合A = {1,2,3,4},则下列表述不正确的是( ).A.{2,3)€AB.AU{1,2,3,4}C. <1,2,3,4)QAD. 16A2.若无向图G的结点度数之和为20,则G的边数为( ).A.10B. 20C. 30D. 53.无向图G是棵树,结点数为10,则G的边数为( ).A. 5B. 10C.9D. 114.设A(x):x是人,B(x):x是学生,则命题“有的人是学生”可符号化为( )•A.Vx)(A(x)-*B(x»B.(3x)(A(x)AB(x))C.(Vx)(A(x)AB(x»D.-«(3x)(A(x)A -B(x»5.下面的推理正确的是( ).A.(l)(Vx)F(x)->G(x) 前提引入(2)F(>-)-*G(y) US(1).B.(1)( 3 x)F(x)-*G(x) 前提引入(2)F(y)-*G(y) US(1),C.(l)(3x)(F(x)->G(x»前提引入(2)F(y)-*G(x) ES(1).D.(l)(3x)(F(x)-*G(x)) 前提引入(2)F(y)-*G(y) ESQ).二、填空题(每小题3分,本题共15分)6.设A = {1,2),H = {1,2,3},则A到B上不同的函数个数为________________ .7.有&个结点的无向完全图的边数为 ____________ .8.若无向图G中存在欧拉路但不存在欧拉回路,则G的奇数度数的结点有________ 个.9.设G是有10个结点的无向连通图,结点的度数之和为30,则从G中删去条边后使之变成树.10.设个体域£> = {1,2,3,4},则谓词公式(*)人(了)消去量词后的等值式为三、逻辑公式翻译(每小题6分,本息共12分)11.将语句“昨天下甬“翻译成命题公式.12.将语句“小王今天上午或者去看电彩或者去打球”翻译成命JS公式.四、判断说明题(判断各题正误,并说明理由.每小题7分,本黑共14分)13.存在集合A与B,使得A6B与AUB同时成立.14.完全图K<是平面图.五、计算题(每小题12分,本题共36分)15.设偏序集VA,R>的哈斯图如下,B为A的子集,其中B = 试(1)写出R的关系表达式;(2)画出关系R的关系图;(3)求出B的最大元、极大元、上界.16.设图G — <V,E>,V={vj f v it v t,Vi»v s)»(v2, v3)»(v3»vs)}»试(1)画出G的图形表示;(2)写出其邻接矩阵;(3)求出每个结点的度数;(4)画出图G的补图的图形,17.求P TQ代R)的合取范式与主合取范式.六、证明题(本题共8分)18.设A.B是任意集合,试证明:若AXA=BXB,^ A = B.M答杖松标准(仅辩者)一、单项选择题(每小题3分,本题共15分)1. A2. A3. C4.B5. D二、填空题(每小题3分,本题共]5分)6.97.”3 — 1)/2(或庆)8.210. A(l) VA(2) V A(3) V A(4)三、 逻辑公式翻译(每小题6分,本题共】2分)H,设P :昨天下雨. 则命题公式为:P ,12. 设P :小王今天上午去看电影 Q :小王今天上午去打球 则命题公式为:r (PiQ ). 或者(rPAQ )V 〈PA rQ )四、 判断说明题(每小题7分,本题共14分)13. 正确.例:设 A = {a} t H — {a,{a}) 则有且ACI3.说明:举出符合条件的例均给分. 14. 正确.完全图K 〈是平面图, 如K,可以如下图示嵌入平面.(7分)五、计算题(每小题12分,本题共36分)15. (l )R = {Va ,a>,Vb,Q>,Vc,c>,Vd,d>・Va0>・Va ・c>,V&,d>,VQ,d >}. (4 分)(2)关系图(8分)(3)集合B 无最大元,极大元为6与c.无上界. 16, 解: (1)关系图(2分) (6分)(2分)(6分)(3分) (517. P TQAR) 5PV(QAR) 0(rPVQ 〉A(rPVR)合取范式<=>(-PVQ)V(K A rR)A(rPVR) 0("VQ)V(& A rR)A(" VR)V(QA -Q)D(rPVQVR)A(rPVQVA("VR VQ) A(-、PVR V -Q) c=>(-PVQV7?)A(-'PVQV-R)A(-PV-QVR) 主合取范式 六、证明题(本意共8分)18. 证明:V2(2)邻接矩阵bioir 101001001 1 00 0(6分)(3) deg(vi)=,3deg(v t )—2 <ieg(v 3)~2 deg顷)=1 deg(v s )=2 (4) 补图(9分)(】2分)(2分) (5分)(7分〉设x€A,则Vx,x>€AXA,(1 分)因AXA = BXB,故V X,X>€BXB,则有xGB, (3 分)因此AGB. (5分)设xQB,则Vx,x>€BXB,(6 分)因AXA-BXB,故Vx,x>eAXA,则有因此BWA. (7 分)故得A=B. (8分)。

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案一、单项选择题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∩B=()。

A. {1,2,3}B. {2,3}C. {2,4}D. {1,4}答案:B2. 命题“若x>0,则x>1”的逆否命题是()。

A. 若x≤0,则x≤1B. 若x≤1,则x≤0C. 若x>1,则x>0D. 若x≤1,则x≤0答案:B3. 函数f: A→B的定义域是集合A,值域是集合B,则()。

A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案:A4. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等?()。

A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案:A5. 命题p:“x>0”,则¬p为()。

A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案:A6. 命题“若x>0,则x>1”的逆命题是()。

A. 若x>0,则x>1B. 若x≤1,则x≤0C. 若x>1,则x>0D. 若x≤0,则x≤1答案:C7. 函数f: A→B的定义域是集合A,值域是集合B,则()。

A. A⊆BB. A⊂BC. A⊇BD. A⊃B答案:A8. 集合{1,2,3}与集合{3,2,1}是否相等?()。

A. 是B. 否C. 无法确定D. 以上都不对答案:A9. 命题p:“x>0”,则¬p为()。

A. x≤0B. x<0C. x=0D. x<0或x=0答案:A10. 命题“若x>0,则x>1”的逆命题是()。

A. 若x>0,则x>1B. 若x≤1,则x≤0C. 若x>1,则x>0D. 若x≤0,则x≤1答案:C二、填空题(每题2分,共20分)1. 集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=______。

答案:{1,2,3,4}2. 命题“若x>0,则x>1”的逆否命题是:若x≤1,则x≤0。

最新大学《离散数学》期末考试试卷及答案-(1)

最新大学《离散数学》期末考试试卷及答案-(1)

安徽大学2006-2007学年第1学期《离散数学》期末考试试卷(A 卷)(时间120分钟)开课院(系、部) 姓名 学号 .一、选择题(每小题2分,共20分)1.下列语句中,哪个是真命题( )A 、42=+x ;B 、我们要努力学习;C 、如果ab 为奇数,那么a 是奇数,或b 是偶数;D 、如果时间流逝不止,你就可以长生不老。

2.下列命题公式中,永真式的是( )A 、P Q P →→)(;B 、P P Q ∧→⌝)(;C 、Q P P ↔⌝∧)(;D 、)(Q P P ∨→。

3.在谓词逻辑中,令)(x F 表示x 是火车;)(y G 表示y 是汽车;),(y x L 表示x 比y 快。

命题“并不是所有的火车比所有的汽车快”的符号表示中哪些是正确的?( ) I.)),()()((y x L y G x F y x →∧∀⌝∀ II.)),()()((y x L y G x F y x ⌝∧∧∃∃III. )),()()((y x L y G x F y x ⌝→∧∃∃A 、仅I ;B 、仅III ;C 、I 和II ;D 、都不对。

4.下列结论正确的是:( )A 、若C AB A =,则C B =; B 、若B A B A ⊆,则B A =;C 、若C A B A =,则C B =;D 、若B A ⊂且D C ⊂,则D B C A ⊂。

5.设φ=1A ,}{2φ=A ,})({3φρ=A ,)(4φρ=A ,以下命题为假的是( ) A 、42A A ∈; B 、31A A ⊆; C 、24A A ⊆; D 、34A A ∈。

6.设R 是集合},,,{d c b a A =上的二元关系,},,,,,,,,,,,{><><><><><><=b d d b a c c a a d d a R 。

下列哪些命题为真?( ) I.R R ⋅是对称的 II. R R ⋅是自反的 III. R R ⋅不是传递的A 、仅I ;B 、仅II ;C 、I 和II ;D 、全真。

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案一、选择题(每题2分,共20分)1. 在集合论中,表示两个集合A和B的并集的符号是:A. ∩B. ∪C. ⊂D. ⊆2. 以下哪个命题逻辑表达式是真命题,当P为真,Q为假时?A. ¬PB. P ∧ QC. P ∨ QD. P → Q3. 如果函数f: A → B是一个单射,那么它不能是:A. 满射B. 双射C. 恒等函数D. 逆函数4. 在图论中,一个图G是连通的,当且仅当:A. G是无向图B. G是简单图C. G是完全图D. 对于任意两个顶点,都存在一条路径5. 以下哪个不是组合数学中的计数原理?A. 加法原理B. 乘法原理C. 排列D. 组合二、简答题(每题10分,共30分)6. 解释什么是二元关系,并给出一个例子。

7. 描述什么是有向图和无向图的区别。

8. 什么是等价关系,它有哪些性质?三、计算题(每题15分,共30分)9. 给定集合A = {1, 2, 3, 4},B = {a, b, c},定义函数f: A → B,其中f(1) = a, f(2) = b, f(3) = c, f(4) = a。

判断f是否是单射、满射或双射,并给出理由。

10. 计算以下命题逻辑表达式的真值表:(P ∧ Q) → (¬P ∨ R),其中P、Q、R是命题变量。

四、证明题(每题20分,共20分)11. 证明:如果一个图G是连通的,那么它的任意子图也是连通的。

答案一、选择题1. B2. C3. A4. D5. D二、简答题6. 二元关系是定义在两个集合上的一个关系,它将第一个集合中的每个元素与第二个集合中的元素相关联。

例如,如果A是人名的集合,B是年龄的集合,关系R可以是“比...年长”,那么(Alice, 30) ∈ R表示Alice比30岁年长。

7. 有向图由顶点和有向边组成,每条边都有一个方向,表示从一个顶点指向另一个顶点。

无向图由顶点和无向边组成,边没有方向。

离散数学期末考试试题及答案

离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题(B卷答案1)一、证明题(10分)1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明:∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10分)。

证明:(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔(⌝P∧(⌝Q∨⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题(10分)1)C∨D, (C∨D)→⌝E,⌝E→(A∧⌝B), (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明:(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2),I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4), I(6) C∨D P(7) R∨S T(5),I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)),∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1),ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3),US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4),I(6)Q(y) T(5),I(7)R(a) T(5),I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7),I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8),EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9),I四、某班有25名学生,其中14人会打篮球,12人会打排球,6人会打篮球和排球,5人会打篮球和网球,还有2人会打这三种球。

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案1. 题目描述:以下是离散数学期末考试的题目。

请仔细阅读每个问题,并在题后给出相应的答案。

请注意,答案应尽量详细和准确,以确保得分。

1.1 命题与谓词逻辑(20分)1.1.1 什么是命题逻辑?它可以用于解决哪些问题?1.1.2 简要解释谓词逻辑的概念和其在离散数学中的应用。

1.2 集合和图论(30分)1.2.1 定义两个集合的并、交和差的概念。

1.2.2 解释有向图和无向图的区别,并给出一个实际应用中的例子。

1.3 关系和函数(40分)1.3.1 什么是关系?请给出一个实际应用中关系的例子。

1.3.2 定义函数的概念,并解释函数与关系的区别。

1.4 计数原理(20分)1.4.1 简要阐述乘法原理和加法原理的概念,并给出一个应用实例。

1.4.2 什么是排列和组合?请说明它们的应用场景,并给出一个例子。

2. 答案解析:2.1 命题与谓词逻辑1.1.1 命题逻辑是一种数学分支,用于研究命题之间的关系和推理规则。

其应用范围广泛,包括数学、计算机科学、哲学等领域。

1.1.2 谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑体系,它考虑了命题中的变量、谓词和量词等元素。

在离散数学中,谓词逻辑常用于描述集合、函数和关系等概念。

2.2 集合和图论1.2.1 集合的并(∪)是指将两个或多个集合中的所有元素取出形成一个新的集合;交(∩)指仅包含两个或多个集合中共有的元素;差(-)是指从一个集合中去除另一个集合中的元素。

1.2.2 有向图中,边是具有方向性的;而在无向图中,边是没有方向性的。

例如,在社交网络中,有向图可以表示人与人之间的关注关系,而无向图可以表示人与人之间的好友关系。

2.3 关系和函数1.3.1 关系是集合之间的一种特殊的子集,它描述了元素之间的某种联系。

例如,家族中的血亲关系可以看作是一个关系。

关系可以用图、矩阵等方式表示。

1.3.2 函数是一种特殊的关系,它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

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安徽大学2006-2007学年第1学期《离散数学》期末考试试卷(A 卷)(时间120分钟)开课院(系、部) 姓名 学号 .一、选择题(每小题2分,共20分)1.下列语句中,哪个是真命题( ) ~A 、42=+x ;B 、我们要努力学习;C 、如果ab 为奇数,那么a 是奇数,或b 是偶数;D 、如果时间流逝不止,你就可以长生不老。

2.下列命题公式中,永真式的是( )A 、P Q P →→)(;B 、P P Q ∧→⌝)(;C 、Q P P ↔⌝∧)(;D 、)(Q P P ∨→。

3.在谓词逻辑中,令)(x F 表示x 是火车;)(y G 表示y 是汽车;),(y x L 表示x 比y 快。

命题“并不是所有的火车比所有的汽车快”的符号表示中哪些是正确的( ) I.)),()()((y x L y G x F y x →∧∀⌝∀ II.)),()()((y x L y G x F y x ⌝∧∧∃∃III. )),()()((y x L y G x F y x ⌝→∧∃∃ [A 、仅I ;B 、仅III ;C 、I 和II ;D 、都不对。

4.下列结论正确的是:( )A 、若C AB A =,则C B =; B 、若B A B A ⊆,则B A =;C 、若C A B A =,则C B =;D 、若B A ⊂且D C ⊂,则D B C A ⊂。

5.设φ=1A ,}{2φ=A ,})({3φρ=A ,)(4φρ=A ,以下命题为假的是( ) A 、42A A ∈; B 、31A A ⊆; C 、24A A ⊆; D 、34A A ∈。

6.设R 是集合},,,{d c b a A =上的二元关系,},,,,,,,,,,,{><><><><><><=b d d b a c c a a d d a R 。

下列哪些命题为真( )!I.R R ⋅是对称的II. R R ⋅是自反的 III. R R ⋅不是传递的A 、仅I ;B 、仅II ;C 、I 和II ;D 、全真。

7.R 是二元关系且4R R =,则一定是传递的是( )A 、4R ; B 、3R ; C 、2R ; D 、R 。

8.设1R 和2R 是非空集合A 上的等价关系,确定下列各式,哪些是A 上的等价关系( ) A 、1R A A -⨯; B 、21R R -; C 、21R R ; D 、21R R 。

—9.函数:f X Y →可逆的充要条件是:( )A 、AB =; B 、||||A B =;C 、f 为双射;D 、f 为满射。

10.下列集合中,哪个集合的基数与其他集合的基数不同( )A 、n N (N 为自然数集,N n ∈);B 、NN (N 为自然数集); C 、R R ⨯(R 为实数集); D 、x 坐标轴上所有闭区间集合;二、填空题(每小题2分,共32分)1.全集}5,4,3,2,1{=U ,}5,1{=A ,}4,3,2,1{=B ,}5,2{=C ,则可求出:=B A _________________________________; =)()(C A ρρ ___________________________;=C _____________________________________。

2.设3=A ,16)(=B ρ,64)(=B A ρ,则:B =______________________________, B A =__________________________,B A -=__________________________, B A ⊕=__________________________。

3.设}4,3,2,1{=A ,R 是A 上的二元关系,且}3,3,4,2,2,1{><><><=R ,则)(R r =________________________________________________; )(R s =________________________________________________; )(R t =________________________________________________;4.设A={1,2,3,4,5},则A 上共有多少个二元关系________________ 其中有多少个等价关系________________5.设函数A A f →:,A B ⊆为A 的子集。

则:))((1B f f -____________B ,))((1B f f-____________B ;当f 为__________函数时B B f f =-))((1;当f 为__________函数时B B f f=-))((1。

三、综合题(第2小题16分,其它各小题8分,共48分)1.求命题公式P R Q P →⌝∨∧))((的主析取范式与主合取范式 (要求用等值演算的方法求解)。

(8分)2.用推理规则证明:(每小题8分,共16分)①)(R Q P →→,P S ∨⌝,Q 永真蕴含R S →。

②前提:)))()(()((x R y Q x F x ∧→∀,)(x xF ∃;结论:))()((x R x F x ∧∃。

3.设集合},,{c b a A =,)(A ρ是集合A 的幂集,试给出⊆><),(A ρ的哈斯图,并指出子集}}{},{{b a 的极大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、最小上界、最大下届(如果存在的话)。

(8分)4.设R 是集合A 上的关系,令},,,,{R b c R c a A c b a S ∈><>∈<∈∃><=且使,证明:如果R 是等价关系,则S 也是等价关系。

(8分)5.已知N N N f →⨯:,22),(y x y x f +=><。

请问:(8分) ①f 是单射吗 ②f 是满射吗 ③计算})0({1-f 。

④计算})2,1,0,0({><><f 。

安徽大学2006-2007学年第1学期 《离散数学》期末考试试卷答案(A 卷)(时间120分钟)一、选择题(每小题2分,共20分)1.C;;;;;;;;;二、填空题(每空2分,共32分) 1.}5{;}}5{,{φ;}4,3,1{2.4,1,2,53.{<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,1>,<2,2>,<4,4>};{<1,2>,<2,4>,<3,3>,<2,1>,<4,2>};{<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,4>} 4.252,525.⊆,满射,⊇,单射三、综合题(第2小题16分,其它各小题8分,共48分)1.P R Q P A →⌝∨∧⇔))(( P R Q P ∨⌝∨∧⌝⇔))(( P R Q P ∨∧⌝∨⌝⇔))((P R Q R P ∨∧⌝∨∧⌝⇔)()( 2分))()(()()(())()((R R Q Q P P P R Q Q Q R P ⌝∨∧⌝∨∧∨⌝∨∧∧⌝∨∨⌝∧∧⌝⇔ 4分 ∨∧⌝∧⌝∨∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧∧⌝⇔)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P )()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P ⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨⌝∧∧∨∧∧ ∨∧∧∨∧⌝∧∨∧⌝∧⌝∨∧∧⌝⇔)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P )()(R Q P R Q P ⌝∧⌝∧∨⌝∧∧(主析取范式) 6分 )()(R Q P R Q P A ⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⇔⌝∴ ))()(()(R Q P R Q P A A ⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧⌝⌝⇔⌝⌝⇔)()(R Q P R Q P ∨⌝∨∧∨∨⇔(主合取范式) 8分2.①证明:(1) P S ∨⌝ P 1分 (2) S P (附加前提) 2分 (3) P T (1),(2) I 3分 (4) )(R Q P →→ P 4分 (5) R Q → T (3),(4) I 5分 (6) Q P 6分 (7) R T (5),(6) I 7分 (8) R S → CP (2),(7) 8分 ②证明:(1) )(x xF ∃ P 1分 (2) )(c F ES (1) 2分 (3) )))()(()((x R y Q x F x ∧→∀ P 3分 (4) ))()(()(c R y Q c F ∧→ US (3) 4分(5) )()(c R y Q ∧ T (2),(4) I 5分 (6) )(c R T (5) I 6分 (7) )()(c R c F ∧ T (2),(6) I 7分 (8) ))()((x R x F x ∧∃ EG (7) 8分3.解:<),(A ρ(2分);{},{{b a }{},b a (4分);最大元不存在;最小元不存在(6分);上界有:},,{},,{c b a b a ;下界为:φ;最小上界为:},{b a ;最大下界为:φ(8分)。

4.证明:已知R 是等价关系,对S 是等价关系的证明分3步: (1)自反性R 是自反的,∴对A a ∈∀,有R a a >∈<,, 根据S 的定义,有S a a >∈<,,∴S 是自反的;(2分)(2)对称性如果S b a >∈<,,则A c ∈∃,使R c a >∈<,且R b c >∈<,,R 是对称的,∴R c b >∈<,且R a c >∈<,, ∴再根据S 的定义有S a b >∈<,, ∴S 是对称的;(5分)(3)传递性如果S b a >∈<,,S c b >∈<,,则A d ∈∃使R d a >∈<,,且R b d >∈<,。

R 是传递的,∴R b a >∈<,。

则A e ∈∃使R e b >∈<,,且R c e >∈<,。

R 是传递的,∴R c b >∈<,。

∴根据S 的定义有S c a >∈<,。

∴S 是传递的。

(8分) 由(1),(2),(3)得S 是等价关系。

5.解答:①N N ⨯>∈<><1,2,2,1,521)1,2()2,1(22=+=><=><f f ,但>>≠<<1,22,1,所以f 不是单射(2分)。

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