第1章《集合与常用逻辑用语》教师

选修2-1 第一章常用逻辑用语复习

※典型例题

（）

____________________

小结：弄清四种命题之间的关系是解决此类问题的关键.

例2 下列各小题中，p 是q的充要条件的是（）.

A.(1)(2)

B.(2)(3)

C.(3)(4)

D.(1)(4)

的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

小结：处理充分、必要条件的问题首先要分清条件和结论，有时利用逆否命题与原命题等价的性对解题很有帮助.

例3 给出下列命题:

若⌝p 是

⌝q 的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

※ 动手试试

练 1. 如果命题“p 且 q ”与命题“p 或 q ”都是假命题，那么 （ ） A.命题“非 p ”与命题“非 q ”的真值不同 B.命题 p 与命题“非 q ”的真值相同 C.命题 q 与命题“非 p ”的真值相同 D.命题“非 p 且非 q ”是真命题

练 2. 若命题 p 的逆命题是 q ， 命题 p 的否命题是r ，则 q 是 r 的 （ ） A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.以上结论都不正确 ※ 知识拓展

区间[- 1,1] 的所有的 x,都有 f(x ) 0 恒成

立，求 p 的取值范围.

一、选择题

1．下列命题中的假命题是( )

A ．∃x ∈R ，lg x ＝0

B ．∃x ∈R ，tan x ＝1

C ．∀x ∈R ，x 3>0

D ．∀x ∈R,2x

>0

解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π

4

时，tan x ＝1，正确；

对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x

>0，正确．

2．(2011·高考北京卷)若p 是真命题，q 是假命题，则( ) A ．p ∧q 是真命题 B ．p ∨q 是假命题 C ．綈p 是真命题 D ．綈q 是真命题

解析：选D.根据“且”“或”“非”命题的真假判定法则知D 正确．

3．(2012·高考辽宁卷)已知命题p ：∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≥0，则綈p 是( )

A ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0

B ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)≤0

C ．∃x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0

D ．∀x 1，x 2∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0

解析：选C.利用“全称命题的否定是存在性命题”求解．命题p 的否定为“∃x 1，x 2

∈R ，(f (x 2)－f (x 1))(x 2－x 1)＜0”．

4．(2013·日照质检)下列命题中，真命题是( )

A ．∃x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝12

B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x

＞x ＋1

C ．∃x ∈R ，x 2

＋x ＝－1

D ．∀x ∈(0，π)，sin x ＞cos x

解析：选B.∵sin 2

x

2＋cos 2

x

2＝1，∴A 错．

∵x 2

＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34

，∴C 错．

又∵sin π6＜cos π

6

，∴D 错．故选B.

5．(2013·大连质检)已知命题p ：∃a ，b ∈(0，＋∞)，当a ＋b ＝1时，1a ＋1

b

＝3；命

题q ：∀x ∈R ，x 2

－x ＋1≥0，则下列命题是假命题的是( )

A ．綈p ∨綈q

B ．綈p ∧綈q

C ．綈p ∨q

D ．綈p ∧q

解析：选B.由基本不等式可得：1a ＋1b ＝(1a ＋1b )×(a ＋b )＝2＋b a ＋a

b

≥4，故命题p 为假

命题，綈p 为真命题；∀x ∈R ，x 2

－x ＋1＝(x －12)2＋34

>0，故命题q 为真命题，綈q 为假命

题，綈p ∧綈q 为假命题，故选B.

二、填空题

6．已知命题p ：“∃x ∈R ＋

，x ＞1x

”，命题p 的否定为命题q ，则q 是

“________________”；q 为________命题．(填“真”或“假”)

解析：x ＞1时，x ≤1

x

为假命题．

答案：∀x ∈R ＋

，x ≤1x

假

7．命题“∀x ∈R ，∃m ∈Z ，m 2－m ＜x 2

＋x ＋1”是________命题．(填“真”或“假”)

解析：由于∀x ∈R ，x 2＋x ＋1＝(x ＋12)2＋34≥34，因此只需m 2

－m <34，即－12

，所以当

m ＝0或m ＝1时，∀x ∈R ，m 2－m ＜x 2

＋x ＋1成立，因此命题是真命题．

答案：真

8．给定下列几个命题：

①“x ＝π6”是“sin x ＝1

2

”的充分不必要条件；

②若“p ∨q ”为真，则“p ∧q ”为真；

③“等底等高的三角形是全等三角形”的逆命题．

其中为真命题的是________．(填上所有正确命题的序号)

解析：①中，若x ＝π6，则sin x ＝12，但sin x ＝12时，x ＝π6＋2k π或5π

6

＋2k π(k ∈Z )．故

“x ＝π6”是“sin x ＝1

2

”的充分不必要条件，故①为真命题；②中，令p 为假命题，q 为真

命题，有“p ∨q ”为真命题，而“p ∧q ”为假命题，故②为假命题；③为真命题．

答案：①③ 三、解答题

9．(2013·德州质检)写出下列命题的否定，并判断其真假． (1)q ：所有的正方形都是矩形；

(2)r ：∃x ∈R ，x 2

＋2x ＋2≤0.

解：(1)綈q ：至少存在一个正方形不是矩形，是假命题．

(2)綈r ：∀x ∈R ，x 2

＋2x ＋2>0，是真命题．

10．已知命题p ：方程2x 2－2 6x ＋3＝0的两根都是实数；q ：方程2x 2

－2 6x ＋3＝0的两根不相等，试写出由这组命题构成的“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”形式的复合命题，并指出其真假．

解：“p 或q ”的形式：

方程2x 2

－2 6x ＋3＝0的两根都是实数或不相等． “p 且q ”的形式：

方程2x 2

－2 6x ＋3＝0的两根都是实数且不相等．

“非p ”的形式：方程2x 2

－2 6x ＋3＝0无实根．