电磁波复习题

H
( E)
t
？
将(2)式代入上式，得到
H
2H
0
t 2
利用矢量恒等式 H ( H ) 2H ，和式(3)，即
可得H在无源空间服从的波动方程
2H
2H
0
t 2
例：频率 f 300MHz的线极化均匀平面电磁波，其电场
强度振幅为2 V/m，从空气垂v直入射到 r 4、 r 1的理
U0
ba
例：在半径a=1mm的非磁性材料园柱形实心导体内，沿z轴 方向通有电流I=20A， 试求：
(1). 0处.8的mm磁感应强度B; (2). 1.2mm 处的磁感应强度B; (3). 园柱体内单位长度的总磁通
？
(1)园柱形导体内的电流密度为
r J
r ez
I
a2
r ez
20 (1103 )2
aqd
]
40 d 2
(d 2 a2 )2
点电荷q受电场力为
F qE
q
Q aq [ d
aqd
]
40 d 2
(d 2 a2 )2
即
Q aq d
aqd
Qd aq
aqd
d2
(d 2 a2 )2
d3
(d 2 a2 )2
？
整理即得结果。
例： 一半径为R的导体球带有电荷量Q，在球体外距球心D处
螺线管内的磁场强度分别为
rr
H r
a
exna Ia r
Hb exnbIb
？
在重叠部分，合HBrr磁场ererxx为(0n(anIaaIa
nb Ib nb
) Ib
)
重叠部分的磁场能为
1
Wm 2
rr H BdV
V
1 2
0 (na Ia

nb Ib
)2
R2l
相互作用力为
r F
Wm l
| Ia C1
想介质平面上，求： (1).反射系数、透射系数、驻波比; (2).入射波、反射波、透射波的电场和磁场; (3). 入射功率和透射功率。
· 又由于
U0
b
a
r E
r dl
q(b a)
2 (1 2 )ab
q 2 (1 2 )abU0
ba
两极板间电场和电位分布为
r E(r)
r ar
abU 0 (b a)r2
(a r b)
(r)
b
r
r E
r dl
aU0 (b r) (b a)r
电容器的电容为
C q 2 (1 2 )ab
有一点电荷q。
(1). 求点电荷q与导体球之间的静电作用力;
(2). 证明：当q与Q同号且
Q q
RD3 (D2 R2)2
R D
成立时，
r
F 表现为引力。
(1) 镜像电荷的大小和位置分别为 q ' R q， D q '' q ' R q， D
d ' R2 D
d '' 0
导体球自身电荷Q置于球心，故点电荷q受到的电场力为
er
U
r J
r E
er
U
I
rr J dS
R U hd Uh ln R2
S
R1
R1
半园环的电阻为
RU
I h ln(R2 / R1)
半园环的功率损耗为
P U 2 U 2h ln R2
R
R1
例：两个同轴的螺线管，重叠部分长为 l，单位长度上分别 绕有 na、nb匝线圈，通有方向相反的电流 Ia、Ib ，设两线圈 半径相等，均为R，忽略边缘效应，请用虚位移法求两线圈 间相互作用力。
r 0 ( B)
r ( B)
r
t
t
得
B 常数 0
(2.3)
例6：试利用麦克斯韦方程，推导无源空间磁场强度满足的 波动方程。
解：在无源空间，在线性、各向同性的均匀媒质中，E、H
满足的麦克斯韦方程为
H
E
(1)
E
t
H
(2)
t
H 0
(3)
E 0
(4)
对(1)式两边取旋度，有
？
(1)选择点电荷 q 的像电荷分别为 q ' ，其中 q ' a q
d
，分别距球心
a2 d'
,空间的电位分布为：
d
a (r a) (a 与电位参考点选取有关)
(r a)
1
4 0
q ( r q
q rq
q' r q '
q' r q '
)
a
(2)
F q
F q
q
4 0
[ (d
q' d
')2
解：当导体球带电荷为Q时，像电荷为
q ' a q， d ' a2
d
d
q '' q ' a q， d '' 0 d
Q、q '、q ''在q点处电场强度为
Q
q'
q ''
E
40d 2 40 (d d ')2 40d 2
Q
40d 2
aq d
4
0
(d
a2 d
)2
aq d
40d 2
1
Q aq [ d
(d
q' d
')2
q 4d 2
]
(3)
r P
r q 'l
a d
q(d
'
d
r ')el
2a3 d2
r qel
例：厚度为h的导体平板做成半园环，如下图所示。导体的电
导率为 ，设电极A、B的电导率0 ? 求半园环的电阻。
如果在电极间加电压U，求半园环的功率损耗。
？
解：设电极A、B间加电压为U，则
r E
Ib C2
1 2
0 (na Ia
nb Ib ) R2
F 0 ，说明作用力沿 l 减小的方向，即为排斥力。
例5：试证明：由麦克斯韦的两个旋度方程和连续性方程
可导出两个散度方程。
证明：
r H
r J
r D
t
两边取散度有 (
r
r
H) 0 J
r ( D)
t
(
r D)
r
t t
得
D
(2.4)
(
r E)
a 0
120J d
1 2
0 J
a2 2
1 4 107 6.37 106 (1103 )2 2 106Wb
4
例4 ：已知一半径为a的导体球上带电荷为Q，在球外有一
点电荷q距球心为d。证明：当下式成立时，点电荷q所受
电场力为0。
Q a3 (2d 2 a2 ) q d (d 2 a2 )2
r ez
6.37
106
A
/
m2
利用安培环路定理得
r B0.8mm
r e
1 2
0J
r e
1 2
4
107
6.37106
0.8103
r e
3.2
103T
(2) 利用安培环路定理得
r B1.2mm
er
0I 2
er
4 107 20 2 1.2 103
er 3.33103T
(3).
in
rr S Bin dS
F
qq '
40 (D
d
')2
q(q '' Q)
4 0 D 2
q
4 0
[Q
(R / D2
D)q
D(D
Rq R2
/
D)2
]
(2). 当q与Q同号，且F表现为斥力，即F<0时，应有
由此得出
Q (R / D2
D)q
Rq D(D R2
/ D)2
0
Q RD2 R q (D2 R2)2 D
例：两个点电荷 q 位于半径为a的导体球直径延长线上， 分别距球心 d(d a) ，如下图所示。求(1). 空间电位分布; (2). 两个点电荷分别受到的静电力; (3).两个点电荷的像电 荷构成的中心位于球心的电偶极子的电偶极矩。