2014届北师大版高中数学必修二(高一)章节测试题：第一章§2知能演练轻松闯关

1．利用斜二测画法，下列叙述正确的是( ) A ．正三角形的直观图是正三角形 B ．平行四边形的直观图是平行四边形 C ．相等的线段在直观图中仍然相等 D ．全等三角形的直观图一定全等
解析：选B.斜二测画法主要保留了原图的三个性质：①保平行；②保共点；③保平行线段的长度比，所以平行四边形的直观图是平行四边形．
2．下列说法正确的个数是( ) ①三角形的直观图是三角形； ②正方形的直观图是正方形； ③菱形的直观图是菱形．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选B.斜二测画法保持平行性和相交性不变，即平行直线的直观图还是平行直线，相交直线的直观图还是相交直线，故①正确；但是斜二测画法中平行于y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半，故正方形的直观图不是正方形，菱形的直观图也不是菱形，所以②③错．
3．如图所示，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是图中的( )
解析：选A.在斜二测画法所作出的图形中，O ′M ′＝2，因此在平面直角坐标系中相应的OM ＝22，选项中只有A 满足题意，故选A.
4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是( )
A.1＋22
B.2＋22
C ．1＋ 2
D ．2＋ 2
解析：选D.根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平面图形为四
边形，由“横不变”知，四边形为梯形，且上底边长为1，依据直观图可求得下底边长为1＋2，由直观图的底角为45°知这个梯形为直角梯形，再由“竖取半”知，直腰长为2，
∴S ＝1＋1＋22
×2＝2＋ 2.
5．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )
解析：选A.由题意应看到正方体的上面、前面、和右面，由几何体直观图的画法及直观图中虚线的使用，可知A 正确．
6．用斜二测画法画一个水平放置的正五边形的直观图，则得到的图形的各个角__________(填“相等”“不相等”“不全相等”)．
解析：通过斜二测画法后，图形的各个角有的变大有的变小，得到的各个角不再全相等． 答案：不全相等
7.如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的直观图，且A ′B ′＝A ′C ′，那么△ABC 是________．
解析：因为A ′B ′∥x 轴，A ′C ′∥y ′轴，所以AB ∥x 轴，AC ∥y 轴．
所以在直角坐标系中，∠BAC ＝90°.
又因为A ′B ′＝A ′C ′，所以AC ＝2AB . 所以△ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形
8．如图，△ O ′A ′B ′是水平放置的△OAB 的直观图，则△OAB 的面积是________．
解析：按斜二测画法，将直观图中△O ′A ′B ′还原成原图形，即
△OAB (如图)，则△OAB 的面积是S ＝1
2
×6×4＝12.
答案：12
9．画出如图中四边形OABC 的直观图(图中数据已给出)．
解：以O 为原点，OB 所在直线为x 轴建立直角坐标系xOy ，如图所示：
作∠C ′O ′B ′＝45°，其中O ′B ′是水平的，O ′B ′＝4，O ′D ′＝3，O ′C ′＝1，过D ′作∠B ′D ′A ′＝135°，使A ′D ′＝1，顺次连接O ′A ′，A ′B ′，B ′C ′，所得四边形即为四边形OABC 的直观图(如图所示)：
10．画出底面边长为1.2 cm 的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm 的四棱锥的直观图．
解：画法如下：(1)画轴，画x 轴、y 轴、z 轴，∠xOy ＝45°(或135°)，
∠xOz ＝90°.
(2)画底面，以O 为中心在xOy 平面内，画出正方形的直观图ABCD ，使AB ＝1.2 cm. (3)画顶点，在Oz 轴上截取OP ，使OP ＝1.5 cm.
(4)成图，连结P A ，PB ，PC ，PD ，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，即得四棱锥的直观图．
1.(2013·焦作水平测试)如图所示是水平放置的三角形的直观图，D 是△ABC 中BC 边的中点，那么AB ，AD ，AC 三条线段在原图形中( )
A ．最长的是A
B ，最短的是A
C B ．最长的是AC ，最短的是AB C ．最长的是AB ，最短的是A
D D ．最长的是AD ，最短的是AC
解析：选C.由直观图易知AD ∥y ′轴，根据斜二测画法规则，在原图中应有AD ⊥BC ，又因为AD 为BC 边上的中线，所以△ABC 为等腰三角形，AD 为BC 边上的高，则有AB ，AC 相等且最长，AD 最短，比较各选项可知C 正确．
2．如图，四边形OABC 是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，用斜二测画法，画出这个梯形的直观图O ′A ′B ′C ′，则在直观图中梯形的高为__________．
解析：
∵OA ＝6，CB ＝2， ∴OD ＝2.
又∵∠COD ＝45°， ∴CD ＝2.
梯形的直观图如图．
则C ′D ′＝1，∴梯形的高C ′E ′＝22
. 答案：
22
3．画一个上、下底面边长分别为0.8 cm 、1.5 cm ，高为1.5 cm 的正三棱台的直观图． 解：(1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴三轴相交于O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°；
(2)画下底面．以O 为中点，在x 轴上截取线段AB ，使AB ＝1.5 cm ，在y 轴上截取线段
OC ，使OC ＝3
8
3cm ，连接BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面；
(3)画上底面．在z 轴上截取线段OO ′，使OO ′＝1.5 cm.过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，在x ′O ′y ′中，重复(2)的步骤得上底面
A ′
B ′
C ′(取A ′B ′＝0.8 cm ，O ′C ′＝3
5
cm)．
(4)连线成图．连接AA ′，BB ′，CC ′，擦去辅助线，被遮线画为虚线，则三棱台ABC A ′B ′C ′为要求画的三棱台的直观图．
4．已知如图，四边形ABCD 的面积为S ，用斜二测画法作出的直观图为四边形A ′B ′C ′D ′，面积为S ′.求S ∶S ′.
解：过D ，C 分别作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，以E 为坐标原点，AB 为x 轴，ED 为y 轴建立坐标系，如图所示：
相应的直观图如下图所示：
在图1中，四边形ABCD 的面积S ＝S △AOD ＋S 梯形DOFC ＋S △BFC ＝12OA ·OD ＋1
2(OD ＋CF )·OF
＋1
2
BF ·CF ， 在图2中，过D ′，C ′分别作D ′M ⊥A ′B ′，C ′N ⊥A ′B ′，则：
D ′M ＝O ′D ′·sin 45°＝22·12OD ＝2
4OD ，
C ′N ＝C ′F ′·sin 45°＝22·12CF ＝2
4
CF ，
此时S △A ′O ′D ′＝12A ′O ′·D ′M ′＝12A ′O ′·2
4
OD
＝2
8
AO ·OD ， S △C ′F ′B ′＝12B ′F ′·C ′N ＝12BF ·24CF ＝2
8
BF ·CF ，
过F ′作F ′G ⊥O ′D ′于G ，
则F ′G ＝O ′F ′·sin 45°＝OF ·22＝2
2
OF ，
因此：
S 梯形D ′O ′F ′C ′＝12(D ′O ′＋C ′F ′)·F ′G ＝12⎝⎛⎭⎫1
2
DO ＋12CF
·2
2OF＝
2
8(DO＋CF)·OF，
∴四边形A′B′C′D′的面积S′＝S△A′O′D′＋S梯形D′O′F′C′＋S△C′F′B′＝
2
8AO·OD
＋
2
8(DO＋CF)·OF＋
2
8BF·CF＝
2
4S，∴S∶S′＝
S
2
4S
＝2 2.。