第三章 连续时间信号与系统的频域分析 复习

f1 t
t nT f t t
1 T

周期信号的FT－离散谱
f t F1 1 n1 1F1 n1 n1 n n
电路频域特性分析
使用FT可以直接在频域分析线性电路的特性， 而无需建立其微分方程
1/(jωC) jωL R
IC(jω) VC(jω)
IL(jω) VL(jω)
IR(jω) VR(jω)
线性电路的传递函数、幅频特性和 相频特性
首先，使用电路中各元器件的频域表示，建立频域 电路图； 然后，使用频域KCL、KVL等电路定律建立联立的代 数方程组； 最后，从中得出所需的系统传递函数，并进而分析 其幅频特性、相频特性等。 用频域分析计算不但可确定系统的频域特性，也可 建立描述系统的微分方程，并进而计算系统的零输 入响应、零状态响应和全响应。 实际上频域分析也可用来分析系统的暂态响应
N
F ( j ) 4)奇偶虚实性：实偶 f (t )对应实偶 F ( j ) 实奇 f (t ) 对应虚奇 F ( j )
5)尺度定理
f (t )
F ( jt )
2f ( )
i 1
f (at)
1 F j a a
傅立叶变换的性质

时域延迟性 f (t t0 )
本章小结
4.
5.
6.
频域分析不但可分析信号的频谱，而且可用来分析LTI 系统的频域特性—频率响应、幅频特性、相频特性。并 可计算卷积和计算系统的冲激响应、阶跃响应、零输入 响应、零状态响应和全响应等，它也能进行系统的稳态 分析和暂态分析。它要比时域分析技术简便有效得多。 各元器件都有自己的频域表示模型，电路可在频域中直 接进行分析。而且，频域求解电路要比时域分析技术简 便有效得多。 在频域中，通过分析信号通过各模块时频谱发送的变化， 可有效地分析复杂系统的功能及其各模块的作用。还可 通过系统方框图的概念来分析系统实现和系统模拟。
非周期信号的频域分析 F ( j ) f (t )e •傅立叶变换 1 jt f (t ) F ( j ) e d 2

j t
dt
•傅立叶变换的性质
N
1)线性 f (t ) ai f i (t )
2)对称性
3)折叠性
i 1
F ( j ) ai Fi ( j )
本章小结
1.
2. 3.
非周期信号的傅里叶变换是把信号分解为无穷 多个复指数分量的连续和（积分），结果是连 续谱。频谱是信号的频域描述，具有明确的物 理意义。 傅里叶变换具有许多性质，在计算傅里叶变换 和傅里叶逆变换中有重要作用，必须熟练掌握。 周期信号的频谱分析就是傅里叶级数分析，它 把周期信号分解为无穷多个谐波分量之和，结 果是离散谱。傅里叶系数与从周期信号单周期 截取的非周期信号的傅里叶变换在各谐波频率 上的采样值成正比。这是进行傅里叶级数分析 的有效途径。
傅里叶变换的因果时域微分性质：
' y t Y j , y t jY j y 0 " ' y t j Y j j y 0 y 0 2

1 f s (t ) f (t ) G (t nTs ) Fs ( j ) Ts n
l 非理想抽样时
k
F ( j jk )
s
n s

P F ( j jk ) l 时域抽样定理(奈奎斯特定理) s 2m
k

系统传递函数
第三章 连续时间信 号与系统的频域分析
学习要点： 1. 掌握傅里叶变换分析技术和傅里叶级数分析技术的基本概念 和计算，尤其要注意应用性质来计算一些常用信号的频谱 2. 熟悉时域特性与频域特性的对应关系 3. 弄清信号频谱的意义以及连续谱与离散谱的区别和联系 4. 卷积定理是系统频域分析的重要工具，要认真掌握 5. 采样定理是离散信号处理的理论基础，应领会其含义并会应 用
F ( j ) e
1 F j e a a
j t0
t0 a
f (at t0 )

j
频移性（调制定理）
f (t )e f (t ) cos(0t ) f (t ) sin(0t )
时域微分 时域积分

j0t
f ' (t )
t
1 {F j ( 0 ) F j ( 0 )} 2 j F j ( 0 ) F j ( 0 ) 2
其中，
周期信号的FT－离散谱
f t , t t0 , t0 T f1 t 0, t t0 , t0 T
f t
n
f t nT f t t nT
1 n 1 n
当输入 f t cos t 0 0 0
输出信号为 yt F 0 cos0t 0
因果正弦信号通过LTI系统
j0t f t e u t 激励 H 定理：当因果复正弦信号
具有频谱 F 的信号 f t 通过冲激响应为 ht 的LTI系统时，输出响应为 yt f t ht Y F H
其中，系统传递函数（又称频率响应或频率 H 是冲激响应 ht 的FT 特性）
正弦信号通过LTI系统
的LTI系统时，系统稳态响应为
yst t H 0 e
j0t
u t
H H 0 输出暂态响应的频谱为 Ytemp j 0
LTI系统的频域分析
频域分析不仅可用来分析周期信号通过LTI系 统的响应，而且可用来分析系统的功能，并 理解信号在通过一个大系统的各个功能部件 或子系统后，信号频谱发生的变化。
F1 ( j ) F2 ( j )
）
1 2 W [ f (t )] dt 2




F ( j d
2
常用非周期信号的傅立叶变换
序 号 2 3 4 5
f (t )
(t )
1
t
F ( j )
1
2 ( )
1 j
Sa 2
s s

f1 (t ) f 2 (t )
频域抽样
1
信号能量（帕塞瓦尔定理
s
n


f (t n
2
s
)
k
1 F1 ( j ) F2 ( j ) 2 1 F ( j jk s ) T s k F ( jk s ) ( ks )
T (t )
f (t )
T 2 T 2
n
jn1t F e n

n
(t nT )

s

k
( k )
s

1 1 jn1t Fn f (t )e dt Fo ( j ) T T1
k
2F ( k )
f(t) f(t)
|H(jω)|
无失真传输系统 H(jω)
y(t)=kf(t-t0)
K 0 f(t) t 0 φ(ω) ω
0 0 t0 t
ω φ(ω) = -ωt0
理想低通滤波器
理想低通滤波器的系统频率响应
H Ke j u c u c H K
本章小结
7.
8.
9.
采样定理是数字信号处理和数字通信的理论基础，它给 出了从信号的离散样本值无失真复原信号的条件。 平坦幅频特性和线性相位特性是无失真传输的条件，选 频滤波器，尤其是低通滤波器在通信和电子系统中有十 分重要的作用。跳变信号通过有锐截止特性的滤波器时， 必然会产生吉布斯振荡。 时（频）域因果性对应于频（时）域希尔伯特性，它使 得因果信号的频谱实部与虚部，因果稳定信号的对数幅 度譜与相位譜，还有解析信号的实部与虚部都分别构成 一个希尔伯特变换对。利用此原理可实现一个滤波器的 因果化和稳定化，也可实现通信系统中的单边带调制。
y
(n)
t j Y j j
n n2
n 1
y 0
j
y ' 0 y ( n 1) 0
该性质不同于傅里叶变换的非因果时域微分性质之 处是，考虑了因果化时初始条件的影响，因此，它 可有效地用于从带有非零初始条件的微分方程求解 系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
n 1
周期信号的频域分析：

指数形式傅立叶级数 f (t )
F1 ( j ) 为相应的单周期信号的傅立叶变换
周期信号频谱的特点： l 离散性 l 谐波性 l 收敛性

1 Fn T
T 2 T 2
f (t )e
jn1t
1 n dt F1 ( j ) T1
F e
n

jn1t
f t

n
2 Fn n1

1 Fn F1 n 1 T
周期信号的频谱是离散的，并且在 n1 的谱线强 度为 2Fn 1 F1 n1
周期信号的FS分析步骤



步1. 截取与周期信号 f t 相应的非周期信号 ， f1 t 并计算其 FT表示式 ； F1 步2. 计算周期信号 f t 的 Fn 后，得其指数形式的 FS展开式，并计算其离散谱，画出其离散幅度谱 和离散相位谱； 步3. 计算周期信号 f t 的谐波形式或正余弦形式 的FS展开式。
F[ j ( 0 )]
jF ( j )
f ( )d f (t ) u (t )
1 ( ) j F ( j )
傅立叶变换的性质
时域卷积
f1 (t ) f 2 (t )
频域卷积
时域抽样
n
f (nT ) (t nT )
抽样信号与抽样定理
l 抽样信号： (t nTs ) l 理想抽样序列： T (t ) n l 非理想抽样序列： P(t ) G (t nTs ) n l 被抽样信号及其频谱： l 理想抽样时
1 f s (t ) f (t ) (t n来自百度文库s ) Fs ( j ) Ts n
用于计算卷积的FT法
使用FT可以方便地计算卷积，这就是卷积计 算的FT法，如图所示。即，首先计算两个被 卷积信号的频谱，然后相乘并取逆傅里叶变 换，就得到所需结果。
f(t)
h(t)
y(t)=f(t)*h(t)
F(jω)
H(jω)
Y(jω)=F(jω)H(jω)
无失真传输
无失真传输系统是具有平坦幅频特性和斜率等于延 迟时间之负的线性相频特性的系统
e u(t )
G (t )
周期信号的傅立叶变换 序 f (t ) F ( j ) 号
1
e
j 0t
2 ( 0 )
( 0 ) ( 0 )
j ( 0 ) ( 0 )
s
2 3
4 5
一般 周期 信号
cos0 t
sin 0 t
从系统微分方程求解系统传递函 数和冲激响应
使用FT可方便地从系统微分方程求解系统传
递函数和冲激响应 其计算步骤是：首先在输入激励为单位冲激 的假设下，利用FT的微分定理对微分方程进 行FT，并整理后得到系统传递函数；最后取 传递函数的逆FT后，就得到系统冲激响应。
傅里叶变换的因果时域微分性质