数值分析第二章思考题

第二章思考题

1.画出残差校正法的程序框图

2.查阅目前解决病态线性方程组的方法有哪些，并计较其优劣。 答：对病态线性方程组的求解可采用一下方法求解：

（1）采用高精度的算术运算。采用双精度，可改善和减轻病态矩阵的影响。

（2）平衡方法。当A 的元素的数量级差别很大时，采用行平衡或列平衡的方法可降低A 的条件数。

（3）残差矫正法。设A 非奇异且Cond （A ）不特别大，方程组Ax=b 病态但不特别严重，这时可用残差矫正法求解Ax=b 。

（4）残量迭代法。残量迭代法是在用Gauss 消去法求出方程组AX b =的近似解后，进行以下的计算： PA LU =.

然后，重复迭代： b AX γ=- LY P γ= UZ Y = X X Z =+

其中，PA LU =，X ，Y 和Z 用t 位有效数字计算，b AX -用2t 位有效数字生成。

残量迭代法的计算量比较少，在机器上非常容易执行，而且计算精度也比较高，但是它不是对所有的病态方程组都适用，当()10t Cond A ≥时，其计算结果就不够准确。

（5）加权迭代改善法。 加权迭代改善法是对方程组AX b =构造一个迭代过程：()()()1k k A I X b X λλ++=+ ，其中0λ≠为一常数，I 为与A 同阶的单位方阵,0,1,2,k = 为迭代次数，()0X 为解的初始值，()k X 是第k 次迭代后求得的近似解。只要λ取得合适，A I λ+的逆矩阵()1

A I λ-+便存在。

加权迭代改善法不必选主元且保持原系数矩阵的稀疏性，通过加权因子λ的选取来改善矩阵的条件数，得到了比较好的计算结果，但是由于加权因子λ的选取也使得加权迭代改善法的应用受到了限制。

（6）误差转移法。误差转移法是基于即使方程组的计算解的精度不高，也可获得相对较小的余量这一特点而设计的。

设方程组AX b =的计算解为x τ，既然b Ax τ=对误差很大的解x τ也能比较准确的成立，因而，如果求解r x cy *=其中，c 为n n ⨯阶非奇异矩阵，则即使计算解r y 的误差比较大，得到比较准确的x *。，

在这种解法中，问题的病态性固然会导致解的巨大误差，但这种误差直接反映在r y 上，对x *的影响则小得多，因为主要的误差已经从原来的x *转移到中间量r y 上了。

误差转移法的原理及实现都十分简捷，仅运用了常规的行列均衡

处理和对称三角分解，而且巧妙地把误差转移到另一个中间量上，对病态问题具有高度的有效性。

（7）迭代修改法。解系数比较大的线性方程组时，通常采用迭代法。迭代法可以克服误差积累的问题，且具有达到所要求的精度和对计算内存要求不大，计算时间比较少的优点。

迭代修改法是在简单迭代法的基础上，根据线性代数对角占优简单迭代必收敛的性质修改而成的。

设线性方程组AX b =，其中系数矩阵A 是n n ⨯阶非奇异，病态的。首先分解A ：A B H =+，得()B H X b +=其中{}ii B a =，{}ij H a =，j i ≠，1,i j n ≤≤在方程组的两端同时加上DX ，得()B H D X b D X ++=+其中D 为对角阵，且1,n i ij ii j d Sign a a =⎧⎫=⎨⎬⎩⎭

∑，符号{},Sign a b 的含义是与b 同号，

数值取a 。整理后得()()B D X b D H X +=+-即

()

[()]1X B D b D H X -=++- 得迭代格式 ()()[()()11k k X B D b D H X -+⎤=++-⎦

记()()1

M B D D H -=+-，()()1k k X X X +∆=-，那么有 ()()()10k k k X M X M X -∆=∆==∆

由此可见式收敛，因为矩阵D 的加入使得()B H D ++满足对角严格占优简单迭代收敛的条件。实际计算中，有时可以放宽处理，可取

,i ij ii ij d Sign Max a a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭或,i ij ii j d Sign Max a a ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭

j i ≠ 故修改的Jacobi 迭代为

()()()()1k k i

ij i i j i ii i b a x d x k i b d x ≠⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭-+++∑=

（8）预处理迭代修改法.预处理可以降低方程组系数矩阵的条件数，使得计算解的收敛速度和精确度得到提高；而迭代法可以克服积累误差的问题，提高解的精确度，而且用比较少的时间就可以得出方程的解。综合两者的优点把它们结合起来，形成了预处理迭代修改法。