工程中的数值分析

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《工程中的数值分析》开放性考试

工程中的数值分析题目：

建筑与土木工程系分院：

14土木工程本一班级：

陈凯名：姓14219114125号：学

日14122016 完成日期：年月

温州大学瓯江学院教务部.

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二○一二年十一月制

实现二分法的和算法及Excel1.1

由闭区间上连续函数的性质f(b)<0f(a)·[a,b]上连续,且在原理:设函数

f(x)二分法的基本思想内至少有一个实根.(a,b),方程(2.2)在区间及定理2-1可知,,进一步缩小有根区间:逐步二分区间[a,b],通过判断两端点函数值的符号是. ,从而求出满足精度要求的根的近似值将有根区间的长度缩小到充分小算法:给定精确度ξ,用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下:

确定区间[a,b],验证f(a)·f(b)<0,给定精确度.求区间(a,b)的中点c.计算f(c).

(1)若f(c)=0,则c就是函数的零点;

(2)若f(a)·f(c)<0,则令b=c;

(3)若f(c)·f(b)<0,则令a=c.

(4)判断是否达到精确度ε:即若|a-b|<,则得到零点近似值a(或b),否则重复2-4.

Excel实现:单元格内分别输入区间[a,b]的左右端点值,中点值=(a+b)/2,依次计算出各点代入公式的f(x)值,用IF函数比较单元格内输入“=IF(f(中点值)<0”,中点值,a)如果f(中点值)＜0,则下个左端点取原来的中点值

(a+b)/2.

同理“=IF(f(中点值)<0,b,中点值)”下个右端点取原来的右点值b.

如此循环往下,直至某个中点值代入f(x)得到的解满足题目要求的近似解或者零点即f(c)=0则该值则为零点。

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1.2不动点迭代法的原理和算法及Excel实现，并分析不同迭代格式的收敛性原理:将线性方程f(x)=0化为一个同解方程x=φ(x),并且假设φ(x)为连续函数,任取初值x,代入方程得到 x=φ(x),x=φ(x)····x=φ

k+121001(x),k=0,1,2,····k称为求解非线性方程组的简单迭代法,称φ(x)为迭代函数,x称为第k步迭代k值.

若{x}收敛,则称迭代法收敛,否则称迭代法发散. k算法：

（1）确定初值

在B2和D2分别输入左端点a和右端点b

在A5中输入公式：=B2，A6输入：=A5+(D$2-B$2)/10，并往下复制下去

在B5输入f(x)方程并代入求值，并往下复制下去

做散点图，找到图接近x轴的f值，作为迭代的初始值。

（2）方程化为等价方程，并定义迭代格式

（3）迭代

输入初值x，输入迭代格式，并往下复制下去

（4）在输入f的计算公式，往下复制下去，通过观察数值是否收敛，若收敛，

则取收敛到后面的数值；若发散，则更改定义迭代格式，再重新重复以上步骤进行计算。

Excel实现:

3-x+1

x区间端点

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a= -1 b= 0

x f(x)

-1 -1

-0.9 -0.629

-0.8 -0.312

-0.7 -0.043

-0.6 0.184

0.375 -0.5

0.536 -0.4

0.673 -0.3

-0.2 0.792

0.899

-0.1

迭代式:x=(x-1)^1/3 kk+111 -0.4999938 1.374998448

-0.4999979 12 1.374999483

-0.4999993 13 1.374999828

-0.4999998 14 1.374999943

-0.4999999 15 1.374999981

-0.5000000 1.374999994 16

-0.5000000 17

1.374999998

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18 -0.5000000 1.374999999

-0.5000000 19 1.375

-0.5000000 20 1.375

-0.5000000 21

1.375

f(x19)=1.375

??1??（x满足下列两项条件：a，bC）不同迭代格式的收敛性：假定迭代函数??????

(1)对任意，??b?a，bx有ax??,?则迭代过程（x）x??x??L对使对任意(2)存在正数L<1，，a，b1x有)(k1k?????????。均收敛于方程x，bxx的根a于任意初值0?，若方程有根 (3)??，，???????????，x在?的某领域U（）内连续，则存在??0（，且）?1，只要0?（x?）收敛就有迭代法x。k?1k

1.3 Newton迭代法的原理和算法及Excel实现。

原理：Newton迭代法的基本思想是“以直代曲”，将f（x）=0在每一步近似为线性方程来求解，具体方法如下：

将f（x）在x作Taylor一阶展开k'''2,§介于x和x)+1/2!f之间(§)(x-x). f(x)=f(x)+f(x)(x-x kkkkk略去上式中的二次项，得到线性方程，解出x，作为新的近似根x：k+1x=x-f(x)/f'(x),k=0,1,2,3······称为Newton迭代法kk+1kk算法:先假定方程的有根区间为[a,b]，计算[a,b]区间内各个点（整数点）的函数值，当函数值出现f（a）<0,f（b）>0时，[a,b]即为方程的有根区间。将0000有根区间的长度若干等分，求出对应的点的函数值。将此数据绘图，并根据所绘的图求得初始值。求得方程f（x）的一次求导公式f′（x），得到迭代