圆幂定理 ppt课件
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的对角。（内对角）
判定定理：
如果一个四边形对角互补，那么 这个四边形的四点共圆；
如果四边形的一个外角等于它的 内对角，那么这个四边形的四个 顶点共圆。
已 知 :BD1800
求 证 :四 边 形 ABCD内 接 于 圆
D 反证法：以Ｄ在圆外为例
A 证明四点共圆：通常三
D’
点做圆，证明第四点就
在这个圆上；或者两个
三点做圆，两圆一致
B
C
例3如图7，⊙1和⊙O2都经过A、B两点，经过 点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D 经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于 点F．求证：CE∥DF．
A
C
·
O1
EB
图7
D
·
O2 F
例2 如图6，已知AD是△ABC的外角 ∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D延 长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB， FC． （1）求证：FB＝FC； （2）若AB是△ABC的外接圆的直径， ∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的长．
PD PA A
B
PB PC
O
P
·D
C
探究 在图2 24中,使割线 PB绕 P 点运动到切线位置
图2 25,是否还有PA PB
PC PD?
C
P
A
D
O
B
图224
D
C
P
O
AB
图2 2 5
一 与圆有关的比例线段
切割线定理
从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，
切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段
A
O
B
E C
又 ∠A ＋∠BCD＝ 180°
所以∠A＝∠DCE
因为∠A是与∠DCE相邻的内 角∠DCB的对角，我们把 ∠A叫做∠DCE的内对角。 D
A
O
E
圆内接四边形的一个 B
C
外角等于它的内对角。
6D
A5
7
4பைடு நூலகம்
3
O
B2
E 1C
综上：
性质定理： 圆的内接四边
形的对角互补，并且任何
一个外角都等于它的内角
（二）
一 与圆有关的比例线段
（1）相交弦定理 （2）割线定理
圆幂定理
（3）切割线定理
二 圆内接四边形
一 与圆有关的比例线段
相交弦定理
圆的两条相交弦，被交点分成两段的积相等
已知：如图，⊙O的两条弦AB、CD相交 于圆内一点P， 求证：PA·PB＝PC·PD
D
B
PD PA PB PC
P C
A
D
的等比中项
已知：如图，从⊙O外一点P引⊙O的割线 PBA与切线PC，与⊙O分别交于点A、B与 C 求证：PA·PB＝PC2
A
B
PC PA
O ·
P
PB PC
C
练习：
做诊断练习的1、2， 学力练习的1
答案： 4 9 2 3
二 圆内接四边形
若一个多边形各顶点都在同一
个圆上，那么，这个多边形叫做圆
内接多边形，这个圆叫做这个多边
C ,PA
O
探究 使圆的两条相交弦的交点
B
图223
P 从圆内运动到圆上图2 23 ,
D 再到圆外图2 24,结论1是否
C
P A
O 还能成立?
B
图224
一 与圆有关的比例线段 割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条 割线与圆的交点的两条线段的积相等
已知：如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条 割线PBA与PDC，与⊙O分别交于点A、B 与C、D 求证：PA·PB＝PC·PD
F
E
A
B
C
C
D
图6
形的外接圆。
D
B
C
E
C
O
A B
A
O
D
F
E
如图，四边形ABCD为 圆内接四边形；⊙O为 四边形ABCD外接圆。
D
A
O
B
C
如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对的
圆心角的和是周角
D
∴∠A＋∠C＝180°A 同理∠B＋∠D＝180° O
B
C
圆内接四边形的对角互补。
如果延长BC到E，那么 ∠DCE＋∠BCD ＝ 180° D
判定定理：
如果一个四边形对角互补，那么 这个四边形的四点共圆；
如果四边形的一个外角等于它的 内对角，那么这个四边形的四个 顶点共圆。
已 知 :BD1800
求 证 :四 边 形 ABCD内 接 于 圆
D 反证法：以Ｄ在圆外为例
A 证明四点共圆：通常三
D’
点做圆，证明第四点就
在这个圆上；或者两个
三点做圆，两圆一致
B
C
例3如图7，⊙1和⊙O2都经过A、B两点，经过 点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D 经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于 点F．求证：CE∥DF．
A
C
·
O1
EB
图7
D
·
O2 F
例2 如图6，已知AD是△ABC的外角 ∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D延 长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB， FC． （1）求证：FB＝FC； （2）若AB是△ABC的外接圆的直径， ∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的长．
PD PA A
B
PB PC
O
P
·D
C
探究 在图2 24中,使割线 PB绕 P 点运动到切线位置
图2 25,是否还有PA PB
PC PD?
C
P
A
D
O
B
图224
D
C
P
O
AB
图2 2 5
一 与圆有关的比例线段
切割线定理
从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，
切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段
A
O
B
E C
又 ∠A ＋∠BCD＝ 180°
所以∠A＝∠DCE
因为∠A是与∠DCE相邻的内 角∠DCB的对角，我们把 ∠A叫做∠DCE的内对角。 D
A
O
E
圆内接四边形的一个 B
C
外角等于它的内对角。
6D
A5
7
4பைடு நூலகம்
3
O
B2
E 1C
综上：
性质定理： 圆的内接四边
形的对角互补，并且任何
一个外角都等于它的内角
（二）
一 与圆有关的比例线段
（1）相交弦定理 （2）割线定理
圆幂定理
（3）切割线定理
二 圆内接四边形
一 与圆有关的比例线段
相交弦定理
圆的两条相交弦，被交点分成两段的积相等
已知：如图，⊙O的两条弦AB、CD相交 于圆内一点P， 求证：PA·PB＝PC·PD
D
B
PD PA PB PC
P C
A
D
的等比中项
已知：如图，从⊙O外一点P引⊙O的割线 PBA与切线PC，与⊙O分别交于点A、B与 C 求证：PA·PB＝PC2
A
B
PC PA
O ·
P
PB PC
C
练习：
做诊断练习的1、2， 学力练习的1
答案： 4 9 2 3
二 圆内接四边形
若一个多边形各顶点都在同一
个圆上，那么，这个多边形叫做圆
内接多边形，这个圆叫做这个多边
C ,PA
O
探究 使圆的两条相交弦的交点
B
图223
P 从圆内运动到圆上图2 23 ,
D 再到圆外图2 24,结论1是否
C
P A
O 还能成立?
B
图224
一 与圆有关的比例线段 割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条 割线与圆的交点的两条线段的积相等
已知：如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条 割线PBA与PDC，与⊙O分别交于点A、B 与C、D 求证：PA·PB＝PC·PD
F
E
A
B
C
C
D
图6
形的外接圆。
D
B
C
E
C
O
A B
A
O
D
F
E
如图，四边形ABCD为 圆内接四边形；⊙O为 四边形ABCD外接圆。
D
A
O
B
C
如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对的
圆心角的和是周角
D
∴∠A＋∠C＝180°A 同理∠B＋∠D＝180° O
B
C
圆内接四边形的对角互补。
如果延长BC到E，那么 ∠DCE＋∠BCD ＝ 180° D