圆幂定理 ppt课件
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圆幂定理
一知识再现1. 圆幂定理一般地，把相交弦定理、切割线定理、割线定理等统称为圆幂定理。
它的基本内容是，在平面上经过；点P的直线与⊙O相交于A、B两点，有向线段PA、PB的乘积PA·PB是一个定值。
如下列图形，经过一定点P作圆的弦或割线或切线，设⊙O半径为R在图(1)中，PA·PB＝PC·PD=PE·PF＝(R-OP)(R-OP)=R2-OP2在图(2)中，PA·PB＝PT2=OP2-OT2==OP2-R2在图(3)中，PA·PB＝PC·PD= PT2==OP2-R2可得PA·PB均等于，为一常数，所以叫做点P关于⊙O的幂，所以相交弦定理、切割线定理及其推论(割线定理)统称为圆幂定理.2.角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。
角的平分线是射线。
■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。
■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。
■逆定理：在一个角的内部（包括顶角），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，则AD ：DC=AB ：BC 3.平行线分线段定理定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.二 例题讲解例1如图4AB 是⊙O 的弦，P 是AB 上一点，AB = 10cm ，P A : PB = 2 : 3，OP = 5cm ，则⊙O 的半径等于 ．解析：设⊙O 的半径为R ．∵AB = 10cm ，P A : PB = 2 : 3，∴PA = 4 cm ，PB = 6 cm ． 由相交弦定理，得P A ·PB = PC ·PD = R 2－OP 2，即4×6 = R 2－52． 所以，R = 7． 故⊙O 的半径等于7 cm ． 例2．如图5，已知P AC 为⊙O 的割线，连接PO 交⊙O 于B ，PB = 2，OP = 7，P A= AC ，则P A 的长为（ ）A ．7B ．23C ．14D ．32解析：延长PO 交⊙O 于D ．∵PB = 2，OP = 7，∴OB = 5，即PC = 12． 由切割线定理的推论，得 P A ·AC = PB ·PC ． ∵P A = AC ，∴2 P A 2 = 2×12． 所以，P A = 23．故应选B ．一、“四心”分类讨论1、外心三解形三条垂直平分线的交点叫做三角形的外心，即外接圆圆心。
1.3.1-圆幂定理-课件-(人教B版选修4-1)
【反思感悟】 构造割线，利用定理，得出结论．
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知识点三 圆幂定理 圆幂定理：已知⊙O(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割 线交圆于A、B两点，则当点P在圆外时，k＝PO2－r2； 当点P在圆内时，k＝r2－PO2； 当点P在圆上时，k＝0. 其中k叫点P对⊙O的“幂”．
(3)解：对于五边形 MEAFN 的五条边，从是否相等考虑，有： MN＝AE＝AF，EM＝FN. 证明如下： 先证明 AE＝AF，不妨假设正方形 ABCD 边长为 1，易证四边形 OMCN 是正方形，则 MO＝NO＝MC＝R＝2－ 2， MN＝ OM2＋ON2＝ 2R＝2 2－2. 而 BM＝DN＝1－MC＝1－(2－ 2)＝ 2－1，BC 切⊙O 于 M， ∴BM2＝BE·BA，即( 2－1)2＝BE·1， ∴BE＝3－2 2.同理 DF＝3－2 2. ∴AE＝AF＝1－BE＝2 2－2.
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分析：由于PO既不是⊙O的切线，也不是割线，故需将PO延 长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半 径，于是运用切割线定理的推论，问题得解．
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解：将 PO 延长交⊙O 于 D，根据割线定理， 可得 PA·PB＝PC·PD. 设半径为 r，则 6×(6＋8)＝(10.9－r)(10.9＋r)， 所以 r＝5.9 (cm)．
∴BDDA＝196.
答案：196
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知识点三 圆幂定理 圆幂定理：已知⊙O(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割 线交圆于A、B两点，则当点P在圆外时，k＝PO2－r2； 当点P在圆内时，k＝r2－PO2； 当点P在圆上时，k＝0. 其中k叫点P对⊙O的“幂”．
(3)解：对于五边形 MEAFN 的五条边，从是否相等考虑，有： MN＝AE＝AF，EM＝FN. 证明如下： 先证明 AE＝AF，不妨假设正方形 ABCD 边长为 1，易证四边形 OMCN 是正方形，则 MO＝NO＝MC＝R＝2－ 2， MN＝ OM2＋ON2＝ 2R＝2 2－2. 而 BM＝DN＝1－MC＝1－(2－ 2)＝ 2－1，BC 切⊙O 于 M， ∴BM2＝BE·BA，即( 2－1)2＝BE·1， ∴BE＝3－2 2.同理 DF＝3－2 2. ∴AE＝AF＝1－BE＝2 2－2.
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分析：由于PO既不是⊙O的切线，也不是割线，故需将PO延 长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半 径，于是运用切割线定理的推论，问题得解．
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解：将 PO 延长交⊙O 于 D，根据割线定理， 可得 PA·PB＝PC·PD. 设半径为 r，则 6×(6＋8)＝(10.9－r)(10.9＋r)， 所以 r＝5.9 (cm)．
∴BDDA＝196.
答案：196
2020全国数学竞赛提升篇 平面几何 圆幂与根轴课件 (共30张PPT)
证明：假设A,B,C,D 不共圆，并设AK交 三角形ABC外接圆 与D’ 连结CD’并延 长交AM延长线与M’
同样得到N’ 连结 M’N’。设AK延长线 交MN,M’N’与R,R’。
由例二的结论，OK⊥M’N’.而已知OK ⊥MN。 ∴MN∥ M’N’. 且有MR/RN=M’R’/R’N’
三角形AMN中， AR,CM,BN交于一点。 由赛瓦定理，
2020数学竞赛（提升篇）·平面几何·圆幂与根轴
中学生数学奥林匹克竞赛 （提升篇）
平面几何——圆幂与根轴
2019.8
一.圆幂
• 1.概念： • 圆的幂是表示平面上一点P与圆O的位置关
系的一个量。 定义：点P对圆O的幂=PO2-R2 • 2.圆幂定理 圆幂定理实质上是三个定理的统一概括： ——切线定理，割线定理，以及相交弦定理
• 又在PR上取点M，连 CM,满足∠PAC= ∠CMR= ∠CDB,于是 又P,A,C,M共圆， M,C,D,R共圆。故有 RM×RP=RC×RA,P M×PR=PC×PD,两 式相加即有PR2=P的 幂+R的幂
评注：这个结论十分重要，应作为定理牢记。 用本题结论可以很容易地证明国家集训队的一道试 题以及全国高中数学联赛加试第一题。
下面来看几道关于根轴根心的题目。
例五.设三角形ABC的边AB,AC上分别有N,K两点， 且N,K,C,B四点共圆。若三角形ABC,三角形ANK外 接圆还交于异于A的点M。求证：AM⊥OM 由根轴及圆幂，有
故BO32-CO32=BD×BC-CD×BC=(BD-CD) ×BC =(BDCD) (BD+CD) =BD2-CD2 所以 DO3⊥BC
例二：设P是圆O外一点，PAB,PCD是两条切线， AD,BC交于点Q，延长BD,AC交于点R.求证： PQ2=P的幂+Q的幂 PR2=P的幂+R的幂
高中数学 第一章 相似三角形定理与圆幂定理 1.3.1 圆幂定理课件 新人教B版选修41
相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题， 利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二 求一．
2.(北京高考)如图，AB 为圆 O 的直径，PA 为圆 O 的 切线，PB 与圆 O 相交于 D.若 PA＝3，PD∶DB＝9∶ 16，则 PD＝________；AB＝________. 解：设 PD＝9t，DB＝16t，则 PB＝25t，根据切割线定理 得 32＝9t×25t，解得 t＝15，所以 PD＝95，PB＝5.在直角 三角形 APB 中，根据勾股定理得 AB＝4. 答案：95 4
1.3
圆
幂
定
第 一 章
理 1.3.1 与 圆 圆幂 内 定理
接
四
边
形
理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练
读教材·填要点 小问题·大思维
考点一 考点二 考点三
1.3
圆幂定理与圆内接四边形
1．3.1 圆 幂 定 理
[读教材·填要点]
1．相交弦定理 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积 相等 ． 2．切割线定理 从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆 交点的两条线段长的 比例中项．
3．如图所示，过点 P 的直线与⊙O 相交于 A，B 两点．若 PA ＝1，AB＝2，PO＝3，则⊙O 的半径等于________．
(2)证明：∵∠P＝∠EDF，∠DEF＝∠PEA， ∴△DEF∽△PEA. ∴DE∶PE＝EF∶EA. 即 EF·EP＝DE·EA. ∵弦 AD、BC 相交于点 E， ∴DE·EA＝CE·EB. ∴CE·EB＝EF·EP.
(3)∵DE2＝EF·EC，DE＝6，EF＝4， ∴EC＝9.∵CE∶BE＝3∶2，∴BE＝6. ∵CE·EB＝EF·EP， ∴9×6＝4×EP. 解得：EP＝227. ∴PB＝PE－BE＝125，PC＝PE＋EC＝425. 由切割线定理得：PA2＝PB·PC， ∴PA2＝125×425. ∴PA＝125 3.
人教B版高中数学选修4-1课件 1.3.1圆幂定理课件2
∴r＝12(AC－CD)＝12
14－2
714＝5
14 14 .
反思感悟 (1)应用切割线定理的一般步骤： ①观察图形，寻找切割线定理成立的条件； ②找准相关线段的长度，列出等式； ③解方程，求出结果． (2)应用切割线定理及割线定理的前提条件： 只有从圆外一点才可能产生割线定理或切割线定理，切割线定理 是指一条切线和一条割线，而割线定理则是指两条割线，只有弄 清前提，才能正确运用定理．
【考题1】 (2012·北京高考)如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点 D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则( )． A．CE·CB＝AD·DB B．CE·CB＝AD·AB C．AD·AB＝CD2 D．CE·EB＝CD2 解析 ∵CD⊥AB，∴以BD为直径的圆与CD相切．∴CD2＝ CE·CB. 在 Rt△ABC 中 ， CD 为 斜 边 AB 上 的 高 ， 有 CD2 ＝ AD·DB，因此，CE·CB＝AD·DB. 答案 A 反思感悟 本题考查直角三角形射影定理．切割线定理等基 础知识，考查推理论证能力．
根据切割线定理，得 AB2＝BM·BN，即 22＝x(x＋x)．
解得 x＝ 2，∴BC＝3x＝3 2.
(2)在 Rt△ABC 中，
AC＝ BC2－AB2＝ 14，
由割线定理，得
CD·AC＝CN·CM，由(1)可知，
CN＝ 2， CM＝BC－BM＝3 2－ 2＝2 2，AC＝ 14，
∴CD＝CNA·CCM＝2 714，
答案
9 8a
反思感悟 本小题主要考查解直角三角形知识及相交弦定理的应 用．
3.圆幂定理：
已知⊙(O ， r)，通过一定点 的任意一条割线交圆于A ， B两点，则：
当点P在圆外时，k= PO2 - r2 ； 当点P在圆内时，k= r2 - PO2； 当点P在⊙O上时，k= 0.
《1.3.1圆幂定理》课件1-优质公开课-人教B版选修4-1精品
而对于任意位置一点P，过点P的割线交 圆于A、B两点，割线 PA ·PB 的值又与哪些 因素有关系呢？ 这就是本节我们即将探讨的问题.
B A P
O
教学内容
探究
如图，弦 AB 和 CD 交⊙O内一点P，那么， 图中相等的角有哪些？由此能得到哪两个三角 形相似？并推出哪些线段成比例呢？ 下面，我们利用圆周角定理 和弦切角定理以及相似三角形进 行讨论.
B
3.AB是△ABC的外接圆⊙O的直径，D是⊙O上 的一点，DE⊥AB于点E，且DE的延长线分别 交AC、 ⊙O、BC于点F、M、G . (1) 求证：AE ·BE = EF ·EG. 求 AE、MG. (2) 连结BD，若BD⊥BC于且EF=MF=2 ， 解： (1)证明 △AEF∽ △GEB 即可. (2) DE⊥AB，所以DE=EM=4，连结AD，可得 △AEF∽ △GEA，所以AE2=DE ·EF，所以 AE=2 2，由相交弦定理 DE ·EM=AE ·BE . 因 为 △AEF∽△GEB 所以 EF ·EG=AE ·BE ，
P A B
下面对相交弦定理和切割弦定理作进一步分析：
由切割线定理和相交弦定理不难看出， 不论点P在圆内或圆外，通过圆的任一条割线 交圆于A ， B两点，只要点P的位置确定了， 则 PA • PB 都是定值.
P A
B O
设定植为k，则：
当点P在圆外时，如图，由切割线定理，可得
k = PA • PB = PT2 = PO2 - r2 ( r表示⊙O的半径 )
解： 因为DC切⊙O于点C，DB切⊙O 于点B，所以CD=BD=3， 因为∠CDB=90°，PD=4，所以
PB BD 2 PD 2 32 42 5.又因为 PC2 PB PA, 所以 (4+3)2 =5 PA. 49 所以PA .因此 5 49 24 AB PA PB 5 . 5 5
《圆幂定理》课件(15张PPT)
2 2
圆幂定理：过一个定点P的任何一条直线 与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两 条线段的乘积为定值 OP r .=d （等 于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝 对值）
2 2
z.x.x.k
C
PA•PB=PC•PD
统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外） 的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合 的“交点”）于点A、B、C、D，PA•PB=PC•PD 。
zxxk
• 如图，在⊙O中，P是弦AB上一点， OP⊥PC，PC交⊙O于C。 求证：PC2＝PA· PB
C A D P O
。
O
1 2
A
几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠1=∠2
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等
提供了新的方法。
圆幂定理
A
• 相交弦定理 圆内的两条相交 弦，被交点分成的两条线段长 的积相等。
O
C
D
P
B
PA· PB=PC· PD
A
P
C O
D
• 如图，CD是弦，AB是直 径，CD⊥AB，垂足为P。 求证：PC2＝PA· PB
B
PA· PB＝PC· PD
• 切割线定理推论（割线定理） 从圆外一 点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积相等。
运动观点看本质
• • • • 相交弦定理 相交弦定理推论 切割线定理 割线定理
本质一样
圆幂定理
几个定理得统一
相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理 A •P B D PA•PB=PC•PD PA²=PC•PD PA=PC
B
学会用半径加减或加减半径
圆幂定理：过一个定点P的任何一条直线 与圆相交，则这点到直线与圆的交点的两 条线段的乘积为定值 OP r .=d （等 于点P到圆心的距离与半径的平方差的绝 对值）
2 2
z.x.x.k
C
PA•PB=PC•PD
统一叙述为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外） 的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合 的“交点”）于点A、B、C、D，PA•PB=PC•PD 。
zxxk
• 如图，在⊙O中，P是弦AB上一点， OP⊥PC，PC交⊙O于C。 求证：PC2＝PA· PB
C A D P O
。
O
1 2
A
几何语言:
PA、PB分别切⊙O于A、B
PA = PB ∠1=∠2
反思：切线长定理为证明线段相等、角相等
提供了新的方法。
圆幂定理
A
• 相交弦定理 圆内的两条相交 弦，被交点分成的两条线段长 的积相等。
O
C
D
P
B
PA· PB=PC· PD
A
P
C O
D
• 如图，CD是弦，AB是直 径，CD⊥AB，垂足为P。 求证：PC2＝PA· PB
B
PA· PB＝PC· PD
• 切割线定理推论（割线定理） 从圆外一 点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆 的交点的两条线段长的积相等。
运动观点看本质
• • • • 相交弦定理 相交弦定理推论 切割线定理 割线定理
本质一样
圆幂定理
几个定理得统一
相交弦定理 割线定理 切割线定理 切线长定理 A •P B D PA•PB=PC•PD PA²=PC•PD PA=PC
B
学会用半径加减或加减半径
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F
E
A
B
C
C
D
图6
的等比中项
已知：如图，从⊙O外一点P引⊙O的割线 PBA与切线PC，与⊙O分别交于点A、B与 C 求证：PA·PB＝PC2
A
B
PC PA
O ·
P
PB PC
C
练习：
做诊断练习的1、2， 学力练习的1
答案： 4 9 2 3
二 圆内接四边形
若一个多边形各顶点都在同一
个圆上，那么，这个多边形叫做圆
内接多边形，这个圆叫做这个多边
三点做圆，两圆一致
B
C
例3如图7，⊙1和⊙O2都经过A、B两点，经过 点A的直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D 经过点B的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于 点F．求证：CE∥DF．
A
C
·
O1
EB
图7
D
·
O2 F
例2 如图6，已知AD是△ABC的外角 ∠EAC的平分线，交BC的延长线于点D延 长DA交△ABC的外接圆于点F，连接FB， FC． （1）求证：FB＝FC； （2）若AB是△ABC的外接圆的直径， ∠EAC ＝120°，BC＝6，求AD的长．
的对角。（内对角）
判定定理：
如果一个四边形对角互补，那么 这个四边形的四点共圆；
如果四边形的一个外角等于它的 内对角，那么这个四边形的四个 顶点共圆。
已 知 :BD1800
求 证 :四 边 形 ABCD内 接 于 圆
D 反证法：以Ｄ在圆外为例
A 证明四点共圆：通常三
D’
点做圆，证明第四点就
在这个圆上；或者两个
PD PA A
B
PB PC
O
P
·D
C
探究 在图2 24中,使割线 PB绕 P 点运动到切线位置
图2 25,是否还有PA PB
PC PD?
C
P
A
D
O
B
图224
D
C
P
O
AB
图2 2 5
一 与圆有关的比例线段
切割线定理
从圆外一点引圆的一条割线与一条切线，
切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段
C ,PA
O
探究 使圆的两条相交弦的交点
B
图223
P 从圆内运动到圆上图2 23 ,
D 再到圆外图2 24,结论1是否
C
P A
O 还能成立?
B
图224
一 与圆有关的比例线段 割线定理
从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条 割线与圆的交点的两条线段的积相等
已知：如图，从⊙O外一点P引⊙O的两条 割线PBA与PDC，与⊙O分别交于点A、B 与C、D 求证：PA·PB＝PC·PD
（二）
一 与圆有关的比例线段
（1）相交弦定理 （2）割线定理
圆幂定理
（3）切割线定理
二 圆内接四边形
一 与圆有关的比例线段
相交弦定理
圆的两条相交弦，被交点分成两段的积相等
已知：如图，⊙O的两条弦AB、CD相交 于圆内一点P， 求证：PA·PB＝PC·PD
D
B
PD PA PB PC
P C
A
D
形的外接圆。
D
B
C
E
如图，四边形ABCD为 圆内接四边形；⊙O为 四边形ABCD外接圆。
D
A
O
B
C
如图：圆内接四边形ABCD中，
∵ 弧BCD和弧BAD所对的
圆心角的和是周角
D
∴∠A＋∠C＝180°A 同理∠B＋∠D＝180° O
B
C
圆内接四边形的对角互补。
如果延长BC到E，那么 ∠DCE＋∠BCD ＝ 180° D
A
O
B
E C
又 ∠A ＋∠BCD＝ 180°
所以∠A＝∠DCE
因为∠A是与∠DCE相邻的内 角∠DCB的对角，我们把 ∠A叫做∠DCE的内对角。 D
A
O
E
圆内接四边形的一个 B
C
外角等于它的内对角。
6D
A5
7
4
3
O
B2
E 1C
综上：
性质定理： 圆的内接四边
形的对角互补，并且任何
一个外角都等于它的内角