计算机仿真教案02--第二章数值积分法的系统仿真
计算机仿真技术实验指导书
《计算机仿真技术》实验指导书中北大学电气与控制工程学院2019.6实验一 面向方程的数值积分方法仿真一、实验目的通过实验，学习4阶龙格-库塔法的基本思路和计算公式，加深理解4阶龙格-库塔法的原理及其稳定域。
加深理解仿真的稳定性，仿真步长对仿真精度的影响。
二、实验内容1、线性定常系统[]1112223332010002001010060000600x x x x x u y x x x x -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦；)(1000)0()0()0(321t u x x x =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡2、非线性系统 ()()()()()()()()x t rx t ax t y t y t sx t bx t y t =-⎧⎨=-+⎩其中：r=0.001, a=2⨯10-6, s=0.01, b=1⨯10-6, x(0)=12000, y(0)=600。
三、实验原理运用SIMULINK 仿真工具进行实验。
四、实验设备和仪器微型计算机、MATLAB 软件。
五、实验方法运行MA TLAB ，在MA TLAB 窗口中按SimuLink 按钮，启动SimuLink 库浏览器，在浏览器窗口上选create a new modem 命令，得到一个空模型，从Library: SimuLink 窗口中找到需要的模块，将这些模块拖到空模型窗口中。
将空模型窗口中的排好，并按要求连接。
在保存好的模型窗口中，选Simulation\Paramters 命令设置各模块的参数和仿真参数。
给模型取一个名字，保存起来。
选Simulation\Start 命令，进行仿真。
六、实验报告1、所采用方法的基本思路和计算公式。
2、仿真步骤及说明。
3、仿真过程及仿真结果分析要点：（1）学习4阶龙格-库塔法的基本思路和计算公式；（2）为了保证仿真的稳定，分析线性定常系统，其最大仿真步长为多少?4、实验的心得体会。
计算机仿真授课教案
授课教案课程名称：计算机仿真
总学时： 40 总学分： 3 课程类别：选修
任课教师：潘劲松
单位：计科院
职称：讲师
授课专业：计科
授课班级：
2012 ～2013 学年第 1 学期
以下内容请结合课程特点和实际需要进行合理选择与修改：
1.实验目的与要求:指教学中要体现“课程的总体目标”和“章、节或实践教学单元
的目标”、实验预期达到的效果等。
2.实验方法和手段：是根据实验教学目的进行教学方式（讲授、演示、实验、实作、
讨论、案例分析、仿真或真实现场实作指导等）、教学辅助手段（教具、模型、图表、实物、现代教学设施设备，以及特殊教学或实践环境等）、师生互动、板书、
实验方法、测量方法、数据处理方法等的设计。
3.实验条件：实验所需的仪器设备，包括名称、型号、规格；实验地点、温度、湿
度、气压等。
4.教学分组：指导教师及学生分组情况说明
5.安全事项：教学实践过程中的人身、设备、仪器及产品等安全；操作安全规范说
明；或安全隐患防范措施等。
6.教学条件：教学场地、设施、设备、软件等要求说明；
7.板书设计：它既可在教案的教学过程中显示，也可单独列出。
8.课堂提问：课堂提问一般多设置于教学过程之中，上堂课布置了课外作业或预习，
与本次课有关内容的复习，在教案中可设计课堂提问。
9.课外教学设计：如分组对拓展性的问题进行探究；社会调研；小论文写作等。
它
既可在某教案中显示，也可单独开列。
实验：控制系统数字仿真之数值积分法
实验：控制系统数字仿真之数值积分法实验目的：学会并掌握数值积分法的基本原理和方法，了解欧拉法，梯型法，龙格一库塔法的区别，并熟练地使用这些方法。
观察并分析整体离散法、分环节离散法、欧拉法、梯形法、龙格•库塔法这几种方法原理上的差别，分析他们各自的优缺点。
实验原理：欧拉法：欧拉法是最简单的单步法，它是一阶的，精度较差。
但由于公式简单，计算方便，也易于理解，所以在讨论微分方程初值问题的数值解时通常先讨论欧拉法。
梯形法：梯形法与欧拉法相比，梯形法的e要比欧拉法的e更接近实际值，它舍弃的部分更少，它在每一步中用了两个点的输入，使得计算更加精确。
龙格•库塔法：龙格一库塔法是采用间接利用台劳展开式的思路，即用在n 个点上的函数值的线性组合來代替的导数，然后按台劳展开式确定其中的系数, 以提高算法的阶数。
这样既能避免计算函数的导数，同时乂保证了计算精度。
由于龙格薦法具有许务优点，故在许IM：包中，它是•个最垄本的算法之一。
实验过程：分环节离散法得出的响应曲线：整体离散法得出的响应曲线:用一阶欧拉法得出的系统响应曲线：欧拉法是求出当前系统的斜率(变化规律)，假设这个变化规律在下一次变化前不改变。
那么系统下一次值就能够通过4 .当前值2.斜率3.步长来确定。
比如说系统当前值x (t),斜率x ' (t),仿真步长dt。
那么x (t+dt) =x (t) +x' (t) *dt程序代码：clc; close all; clear all;sampleTime = 0・l;simuTime = 2000;t=sampleTime:sampleTime:simuTime;K=1・2; n=3; T=20;[kp,ki]=PID_Gain(l・ 20z3, 0);x=zeros(l r 4);fori=l:fix(simuTime/sampleTime)u(i)=l;endfori=l:fix(simuTime/sampleTime)e=ST_RK_l(X/ u(i)f kp r ki r T z K, n);x=xfe*sampleTime;y (i)=x(4)；endplot (t r y);匸ext=Tvaiuel(y,sampleTime);legend (text);自程序ST_RK_1代码：function E=ST_RK_1(x r u f kp f ki z T r K z n) E(l) = (u-x(4))*ki;E(2)=(x(l)+kp*E(l)/ki)*K/T-x(2)/T;E (3)=x(2)/T-x(3)/T;E(4)=x(3)/T-x(4)/T;end用梯形法得出系统响应曲线:X = e(r)e［(kH)T］e(kT)牙［e(灯)+ e［伙+ 1)门］X(kT) kT (k+l)T 上若采用欧拉法，误差为红色曲线围成的面积，而如果用梯形法，误差减少为蓝色曲线闱成的面积。
《计算机仿真教案》课件
《计算机仿真教案》PPT课件第一章：计算机仿真概述1.1 计算机仿真的概念解释计算机仿真的定义强调计算机仿真在科学研究和工程设计中的重要性1.2 计算机仿真的分类介绍连续系统仿真和离散系统仿真的区别列举常见的计算机仿真方法和技术1.3 计算机仿真的应用领域概述计算机仿真在各个领域的应用实例强调计算机仿真在现代社会中的广泛应用第二章：计算机仿真原理2.1 计算机仿真的基本原理解释计算机仿真的基本原理和方法强调计算机仿真需要基于数学模型和算法2.2 计算机仿真的建模方法介绍常见的建模方法，如机理建模、统计建模和机器学习建模强调建模方法的选择和验证的重要性2.3 计算机仿真的求解方法介绍常见的求解方法，如数值求解、符号求解和优化求解强调求解方法的选择和收敛性的考虑第三章：计算机仿真工具3.1 计算机仿真软件介绍概述常用的计算机仿真软件，如MATLAB/Simulink、Ansys和SolidWorks等强调仿真软件的功能和适用领域3.2 计算机仿真软件的使用方法介绍如何使用计算机仿真软件进行仿真的基本步骤强调仿真软件的操作技巧和注意事项3.3 计算机仿真软件的选用原则讨论如何选择合适的计算机仿真软件强调根据实际需求和预算进行合理选择第四章：计算机仿真实验4.1 计算机仿真实验的设计介绍如何设计和规划计算机仿真实验强调实验设计的合理性和可行性4.2 计算机仿真实验的执行介绍如何执行计算机仿真实验强调实验过程中数据的采集和记录的重要性4.3 计算机仿真实验的结果分析介绍如何分析计算机仿真实验的结果强调结果分析的准确性和可靠性第五章：计算机仿真的评估与优化5.1 计算机仿真的评估方法介绍常见的计算机仿真评估方法，如误差评估、效率评估和可信度评估强调评估方法的选择和实施的重要性5.2 计算机仿真的优化方法介绍常见的计算机仿真优化方法，如参数优化、结构优化和算法优化强调优化方法的选择和实施的有效性5.3 计算机仿真的改进与提升讨论如何根据评估和优化结果改进和提升计算机仿真强调持续改进和更新仿真模型的重要性第六章：计算机仿真的可视化6.1 仿真可视化的概念与意义解释仿真可视化在计算机仿真中的作用强调可视化对于理解和分析仿真结果的重要性6.2 可视化工具与技术介绍常用的仿真可视化工具，如Paraview、Maya和Unity等强调不同工具适用于不同类型的仿真数据6.3 可视化应用案例分析通过案例展示如何将可视化应用于仿真数据的展示和分析强调可视化在帮助决策和优化过程中的作用第七章：计算机仿真的并行计算7.1 并行计算基础介绍并行计算的基本概念和原理强调并行计算在提高仿真效率方面的作用7.2 并行仿真方法介绍并行仿真的常见方法和实现策略强调在不同场景下选择合适的并行仿真方法的重要性7.3 并行仿真工具与平台介绍常用的并行仿真工具和平台，如OpenFOAM和ParaView的并行计算功能强调并行仿真工具的选择和配置的重要性第八章：计算机仿真的不确定性分析8.1 不确定性分析的基本概念解释不确定性分析在计算机仿真中的重要性强调不确定性来源和影响因素的识别8.2 不确定性分析的方法介绍常见的不确定性分析方法，如蒙特卡洛模拟和敏感性分析强调不同方法的应用场景和优缺点8.3 不确定性分析的应用案例通过案例展示如何进行不确定性分析并指导仿真的改进强调不确定性分析在提高仿真可靠性和准确性的作用第九章：计算机仿真的验证与验证9.1 验证和验证的基本概念解释验证和验证在计算机仿真中的重要性强调验证和验证对于确保仿真准确性的作用9.2 验证和验证的方法介绍常见的验证和验证方法，如实验验证、理论验证和同行评审强调不同方法的选择和实施的重要性9.3 验证和验证的应用案例通过案例展示如何进行验证和验证并提高仿真的可信度强调验证和验证在仿真研究和应用中的关键作用第十章：计算机仿真的未来发展趋势10.1 新兴技术对计算机仿真影响讨论新兴技术如、大数据和物联网对计算机仿真的影响强调技术发展对仿真方法和工具的推动作用10.2 计算机仿真的跨学科应用概述计算机仿真在跨学科领域中的应用前景强调跨学科合作对仿真研究和应用的重要性10.3 计算机仿真的挑战与机遇讨论计算机仿真面临的挑战和机遇强调持续学习和发展以应对未来仿真领域的变化重点和难点解析一、计算机仿真的概念与分类：理解计算机仿真的定义及其在不同类型系统中的应用是学习仿真的基础。
计算机仿真课程设计
计算机仿真 课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解计算机仿真的基本概念，掌握仿真模型构建的基本原理。
2. 学生能掌握至少一种计算机仿真软件的使用，并运用该软件完成特定场景的仿真实验。
3. 学生能运用所学的计算机仿真知识，分析并解决实际问题。
技能目标：1. 学生能运用计算机仿真技术进行实验设计和数据分析。
2. 学生具备一定的编程能力，能通过编程实现简单的仿真模型。
3. 学生能够通过小组合作，共同完成一个综合性的计算机仿真项目。
情感态度价值观目标：1. 学生能够认识到计算机仿真的实用价值，培养对科学研究的兴趣和热情。
2. 学生在课程学习中，养成合作、探究、创新的学习习惯。
3. 学生能够遵循学术道德，尊重他人成果，培养诚信意识和责任感。
课程性质：本课程为选修课，旨在提高学生的实践操作能力和创新思维。
学生特点：学生处于高年级阶段，具备一定的计算机操作能力和编程基础。
教学要求：结合课本内容，注重实践操作，提高学生的实际应用能力。
在教学过程中，注重引导学生主动探究，培养学生的团队合作精神和创新能力。
课程目标分解为具体的学习成果，以便于教学设计和评估。
二、教学内容1. 计算机仿真基本概念：仿真模型的构建、仿真算法的选择、仿真结果的分析等。
2. 计算机仿真软件应用：介绍至少一种仿真软件（如MATLAB/Simulink、AnyLogic等）的基本操作和常用功能。
3. 编程实现仿真模型：结合Python、C++等编程语言，实现简单的仿真模型。
4. 实际案例分析与讨论：分析计算机仿真在工程、科研等领域的应用案例，探讨仿真技术的实际价值。
5. 小组项目实践：分组进行计算机仿真项目设计，包括项目选题、模型构建、编程实现、结果分析等环节。
教学内容安排和进度：第一周：计算机仿真基本概念及仿真软件介绍。
第二周：编程语言基础及简单仿真模型编程实现。
第三周：实际案例分析，讨论仿真技术在各领域的应用。
第四周：小组项目实践，指导学生进行项目选题和模型构建。
计算机仿真技术课件3数值积分法在系统仿真中的应用
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
龙格-库塔法
将式(3.3)在tn点展开 泰勒级数
h2 (t n ) (t n ) o(h 3 ) y (t n h) y (t n ) hy y 2
龙格-库塔（RK）法的一般形式为
r
（3-9）
yn1 yn h wi ki
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
为了适用于实时仿真计算，一般经常采用以下方法：
（1）选择Adams多步法。 （2）合理地选择龙格-库塔法计算公式中的系数，使之适用于 实时仿真。
在方程(3 18)式中，令W1 0可得W2 1, c2 1 , 此时， 2 (3 18)式化为
yn 1 yn hk2 k1 f (t n , yn ) k 2 f (t n h , yn h k1) 2 2
（3-38）
F为函数，外部输入为u(t) 。
第三章 数值积分法在系统仿真中的应用
采入un1
采入u (tn h ) 2
计算yn1 , 并输入
计算k 2
计算下 一个k1
tn
tn h 2
t n 1
图3.6
tn1 h 2
tn1 h
RK-2 的计算流程
由于当tn h tn 1时极端即才能真正采入 外部输入un1 , 才具备 计算k2的条件。所以 yn1要到tn1 h 时才能计算出来，并输 入到外 2 部设备，也就是说，计 算机输出要迟后半个计 算步距。
p yn 1 yn h f ( yn , t n ) （3-8） p p h y y [ f ( y , t ) f ( y n n n 1 , t n 1 )] n 1 n 2
计算机仿真技术课件2
（2）、试画出系统的方框图，并简要分析系统的工作原理。
解：
⑴、 a与d，b与c分别相连， 即可使系统成为负反馈系统；
⑵、 系统方框图为：
给定u r △u 放大器 uf
触发器
整流器
测速发电机
n
电动机
负载
例题2：下图是一电炉温度控制系统原理示意图。试分析 系统保持电炉温度恒定的工作过程，并指出系统的被控对 象、被控量以及各部件的作用，最后画出系统方块图。
换后，表达式对应各项的系数保持相等。
数据相似原理
几何相似 就是把真实系统按比例放大或缩小，其模型的
状态向量与原物理系统的状态完全相同。土木建筑、水利工程、 船舶、飞机制造多采用几何相似原理进行各种仿真实验。
环境相似 就是人工在实验室里产生
与所研究对象在自然界中所处环境类似 的条件，比如飞机设计中的风洞，鱼雷 设计中的水洞、水池等等。
第2讲 系统建模的基本方法与模型处理技术
相似原理 、建模方法学
建立数学模型的方法：连续系统的数 学模型，离散系统的数学模型
实用建模举例:控制系统建模、几何 建模、磁场建模、流体力学建模、离 散系统建模等
连续系统模型的离散化处理
Simulation Study
仿真是指利用模型对实际系统进行实验研究
ic
q C q
uc
(2) 当电压，电流取关联正向时，电容元件的伏安关
系式为
ic
C
duc dt
，或
uc
1 c
t
ic
()d
(3) 电容元件的电流比例于电压的变化率，这是电容
元件与电阻元件的一个重要不同之处。称电容元
件为动态元件。
(4) 在直流电路中，通过电容的电流恒为零，称之为电容元件的“隔直作
6 SIMULINK仿真基础之数值积分法仿真
对仿真建模方法有三个基本要求： 1、稳定性，若原系统是稳定的，则离散化后的仿真模型也得是稳定 的 2、准确性，绝对或相对误差小于规定误差 3、快速性，数字仿真是一步步推进的，由某个初始值y0出发，依次 计算出y1、y2…yk，每一步计算所需时间决定了仿真速度。
6.1.3 数值积分法
一般情况下，在控制系统仿真中最常用、最基本的求解常 微分方程数值解的方法主要是数值积分法。 对于形如 y f ( y, u, t ) 的系统，已知系统状态变量y的初值y0,现 要计算y随时间变化的过程y(t)，对微分方程的积分可以写作： t y (t ) y f (t , y )dt 0 t
不论几阶RK法，它们的计算公式都是由两部分组成，即上一步的结果yk和 步长h乖以tk至tk+1时间间隔间各外推点的导数ki的加权平均和
· 有了上面的数学算法，就可以用MATLA编写出该算法的函数：
function[tout,yout] = rk4(odefile,tspan,y0) t0= tspan(1);th= tspan(2); if length(tspan)<= 3,h= tspan(3) else, h= tspan(2)-tspan(1);th= tspan(2); end tout= [t0:h:th]’;yout= []; for t= tout’ k1= eval([odefile’(t,y0)’]); k2= eval([odefile’(t+h/2,y0+0.5*k1)’]); k3= eval([odefile’(t+h/2,y0+0.5*k2)’]); k4= eval([odefile’t+h,y0+k3’]);
6.1.2 离散化原理
《计算机仿真实验》课程教学大纲
《计算机仿真实验》教学大纲一、课程基本信息二、教学目标本课程是“信息工程”专业的一门专业技术应用课程，通过本课程实验训练，使学生了解计算机仿真技术在信息采集、处理、传输等各个领域的广泛应用，掌握基于MA TLAB等仿真工具的系统建模与仿真方法，并将之应用于电子信息相关专业课程的学习，为从事相关毕业设计（论文）及信息工程领域的实际工作奠定基础。
三、教学内容实验项目一：熟悉MATLAB工作环境（3学时）1.实验属性：验证实验2.修读性质：必开3.教学目标（1）熟悉MATLAB的安装过程；（2）熟悉MATLAB平台的工作环境；（3）熟悉MATLAB的5个工作窗口；（4）熟悉MATLAB的优先搜索顺序。
4.实验方法上机操作5实验仪器设备计算机6.实验内容（1）MATLAB的安装（2）熟悉MATLAB的5个基本窗口及其功能（3）MATLAB的数值显示格式设置（4）MATLAB变量搜索顺序设置7.成绩评定实验预习（20%）+实验操作（40%）+实验报告（40%）实验项目二：MATLAB矩阵操作（3学时）1.实验属性：验证实验2.修读性质：必开3.教学目标（1）掌握MATLAB向量、矩阵、数组的生成及基本运算；（2）了解MATLAB中的常用数学函数；（3）了解字符串的常用操作。
4.实验方法上机操作5实验仪器设备计算机6.实验内容（1）向量的生成和运算（2）矩阵的创建与引用（3）矩阵的运算（4）字符串的操作7.成绩评定实验预习（20%）+实验操作（40%）+实验报告（40%）实验项目三：MATLAB程序设计（3学时）1.实验属性：设计实验2.修读性质：必开3.教学目标（1）掌握MATLAB程序设计的语法规则；（2）熟练编写MATLAB函数。
4.实验方法上机操作5实验仪器设备计算机6.实验内容（1）M文件的编辑（2）程序流程控制结构（3）子函数调用和参数传递（4）局部变量与全局变量7.成绩评定实验预习（20%）+实验操作（40%）+实验报告（40%）实验项目四：MATLAB数据可视化（3学时）1.实验属性：验证实验2.修读性质：必开3.教学目标（1）掌握MATLAB二维、三维图形绘制；（2）掌握图形属性的设置和图形修饰；（3）掌握图像文件的读取和显示。
计算机仿真实验教案
实验一MATLAB基本操作（验证性实验）一、本次课主要内容1．熟悉MATLAB基本的操作界面。
2．掌握MATLAB中变量、数组、向量和矩阵等对象的生成和基本基本运算方法。
二、教学目的与要求1．熟悉MATLAB基本的操作界面。
2．掌握MATLAB中变量、数组、向量和矩阵等对象的生成和基本基本运算方法。
三、教学重点难点MATLAB中变量、数组、向量和矩阵等对象的生成和基本基本运算方法。
四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置思考题实验一MATLAB基本操作（验证性实验）一、实验目的1．熟悉MATLAB基本的操作界面。
2．掌握MATLAB中变量、数组、向量和矩阵等对象的生成和基本运算方法。
3．掌握MATLAB中绘图的基本操作。
4．掌握MATLAB中的常用帮助命令使用方法二、实验原理1．常见数学函数表1-1 常见数学函数2、系统的在线帮助（1）help 命令：1）当不知系统有何帮助内容时，可直接输入help以寻求帮助:>> help（回车）2）当想了解某一主题的内容时，如输入：>> help syntax （了解Matlab 的语法规定）3）当想了解某一具体的函数或命令的帮助信息时，如输入：>> help sqrt （了解函数sqrt 的相关信息）（2）lookfor 命令现需要完成某一具体操作，不知有何命令或函数可以完成，如输入：>> lookfor line （查找与直线、线性问题有关的函数）3．常量与变量系统的变量命名规则：变量名区分字母大小写；变量名必须以字母打头，其后可以是任意字母，数字，或下划线的组合。
此外，系统内部预先定义了几个有特殊意义和用途的变量，见表1-2：表1-2 特殊的变量、常量（1）数值型向量（矩阵）的输入1）任何矩阵（向量），可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔；行与行之间用分号（；）分隔。
6 SIMULINK仿真基础之数值积分法仿真
(t k ) hk 1 /(|
m
0
y
k
| 1)
则有 hk 1 ( 0(| y
( 0 / ek )
1
k|1) / (t k ))
1
m
m m { 0(| y |1)hk /[ek (| y |1)]} k k
1
m
h
k
3)若ek> ε0,本步失败，但仍采用上式，重新进行积分。
（2）初始化程序：完成各类初始数据的准备工作，如设 置工作单元、给定变量初值和系统仿真参数等。
若 ek 0
k
m
ek (t k ) hk /(|
m
y
k
| 1)
则表示本步积分成功，可以用ek来确定下一步的最大步长hk+1 了。
2）假定hk+1足够小，即认为 (t k hk 1) (t k ) m 得 ek 1 (t k 1) hk 1 /(| y | 1)
6.1 数值积分法
6.1.1 概述
数字仿真模型、算法及仿真工具
控制系统的数字仿真是利用数字计算机作为仿真工具，采用数学上的各 种数值算法求解控制系统运动的微分方程，得到被控物理量的运动规律。 通常，计算机模拟被控对象是用一定的仿真算法来实现被控对象的运动规 律，这是基于被控对象的数学模型来完成的。
6.3 面向微分方程的仿真程序设计
6.3.1 通用仿真程序的一般结构及工作原理 1. 通用仿真程序的基本结构 以数字计算机作为仿真工具，使用适当的算法语言来 编制通用的仿真程序，可以针对不同的系统进行相应的仿真 处理。按常规组成结构，通用仿真程序可分为3个层次，即 主程序块、功能程序块、基本子程序块。 各模块功分析能如下： （1）主程序：完成仿真逻辑控制，实现各功能模块的 调用、模型的转换、系统运行、输入输出的控制等。
实验：控制系统数字仿真之数值积分法
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
1.4
1.2
ts=199, Mp=18.2175, FAI=0.93537, tr=73, tp=106, ys=1.0003 ts=147, Mp=16.7351, FAI=0.94362, tr=74, tp=107, ys=1.0003 ts=147, Mp=16.7505, FAI=0.94355, tr=74, tp=107, ys=1.0003
ts=147.2, Mp=16.8911, FAI=0.94279, tr=73.9, tp=107, ys=1.0003
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
150
200
250
300
350
400
450
500
用梯形法得出系统响应曲线：
若采用欧拉法，误差为红色曲线围成的面积，而如果用梯形法，误差减少为 蓝色曲线围成的面积。同时，要求出蓝色曲线围成的面积，就要先出下一个点的 值。因此增加了计算量。 算法： 先用欧拉法求出下一个点的值， 用下一个点的值求这个点的斜率， 接着就能 求出梯形的面积。用新的面积（代表斜率）求出下一个点的值。 实验程序代码（与之前相同的部分没有复制）：
实验：控制系统数字 仿真之数值积分法
实验目的：
第2章连续系统数值积分法的时域数字仿真 - ke
A 为 n×n 维的系统矩阵，表示系统内部各状态变量之间 的关联情况，由控制对象的参数决定； B 为 n×r 维的输入矩阵，表示输入对每个状态变量的作 用情况； C 为 m×n 维的输出矩阵，表示输出与每个状态变量之间 的关系； D 为 m×r 维的前馈矩阵，表示输入对输出的直接传递关 系，一般情况D＝0。 对于单输入－单输出系统，输入量 u 及输出量 y 均为标量， B 为列向量，C 为行向量，D 为标量。 状态空间表达式是在状态空间描述系统的，反映了系统的 内部特性，所以称其为“内部模型”。 现代控制理论分析和设计系统的主要方法。 适用于多变量系统、时变系统、非线性系统的研究。
d n y (t ) d n 1 y (t ) dy(t ) a1 an 1 an y (t ) n n 1 dt dt dt (2.1.1) d m u (t ) d m 1u (t ) du(t ) b0 b1 bm 1 bm u (t ) m m 1 dt dt dt
y Cx Du
(2.1.5)
式(2.1.4)是由n个一阶微分方程组成，称为状态方程； 式(2.1.5)是由m个线性代数方程组成，称为输出方程。
用RLC网络说明式(2.1.4)、 (2.1.5) 1’ 状态方程 由系统的状态变量构成的一阶 微分方程组称为系统的状态方程。 如图：通常以uo(t)和i(t)作为系统的 状态变量。 duo C i (t ) 得：
这个一阶微分方程组就是以状态变量x1,x2,…xn表示的系统 状态方程，写为矩阵方程形式，即：
1 x1 0 x 0 2 0 0 xn1 0 xn an an1
计算机仿真实验教案
1 实验一MATLAB基本操作（验证性实验）一、本次课主要内容1．熟悉MATLAB基本的操作界面。
2．掌握MATLAB中变量、数组、向量和矩阵等对象的生成和基本基本运算方法。
二、教学目的与要求1．熟悉MATLAB基本的操作界面。
2．掌握MATLAB中变量、数组、向量和矩阵等对象的生成和基本基本运算方法。
三、教学重点难点MATLAB中变量、数组、向量和矩阵等对象的生成和基本基本运算方法。
四、教学方法和手段课堂讲授、提问、讨论；使用多媒体教学方式。
五、作业与习题布置思考题2 实验一MATLAB基本操作（验证性实验）一、实验目的1．熟悉MATLAB基本的操作界面。
2．掌握MATLAB中变量、数组、向量和矩阵等对象的生成和基本运算方法。
3．掌握MATLAB中绘图的基本操作。
4．掌握MATLAB中的常用帮助命令使用方法二、实验原理1．常见数学函数表1-1 常见数学函数2、系统的在线帮助（1）help 命令：1）当不知系统有何帮助内容时，可直接输入help以寻求帮助:>> help（回车）2）当想了解某一主题的内容时，如输入：>> help syntax （了解Matlab 的语法规定）3）当想了解某一具体的函数或命令的帮助信息时，如输入：3>> help sqrt （了解函数sqrt 的相关信息）（2）lookfor 命令现需要完成某一具体操作，不知有何命令或函数可以完成，如输入：>> lookfor line （查找与直线、线性问题有关的函数）3．常量与变量系统的变量命名规则：变量名区分字母大小写；变量名必须以字母打头，其后可以是任意字母，数字，或下划线的组合。
此外，系统内部预先定义了几个有特殊意义和用途的变量，见表1-2：表1-2 特殊的变量、常量（1）数值型向量（矩阵）的输入1）任何矩阵（向量），可以直接按行方式输入每个元素：同一行中的元素用逗号（，）或者用空格符来分隔；行与行之间用分号（；）分隔。
计算机仿真教案02--第二章数值积分法的系统仿真
仿真技术基础 · 数值积分法的系统仿真
2.1 概述
的
计算过程：由初始点
y (t 0 ) y 0
t t0
f (t0，y0 )
y(t ) y0 f (t , y)dt
f(t,y)
f(t 0,y o)
t0
t
t1
t
仿真技术基础 · 数值积分法的系统仿真
2.2 数值积分法
2 .2 数值积分法
由前进Euler公式
y j 1 y j hf ( x j , y j )
y j h( y j
2xj yj
)
j 1,2 ,, n
仿真技术基础 · 数值积分法的系统仿真
2.2 数值积分法
20 ) 1.1 1
得
y1 y0 h( y0
2 x0 ) y0
1 0.1(1
2.1 概述
2. 对仿真建模方法三个基本要求：
（1）稳定性：不改变原系统的稳定性
若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的 若原连续系统是不稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是不稳定的 （2）准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是： 绝对误差准则：
ˆ (t n ) y (t n ) e y (t n ) y
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第二章 数值积分法的系统仿真
仿真技术基础 · 数值积分法的系统仿真
2.1 概述
2.1 概述 连续系统仿真，从本质上：对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统 进行离散化并选择合适的数值计算方法来近似积分运算
在数值积分法的计算中，只计算了采样点的值，相当于是对系统模型进 行了离散化处理，所以从本质说，数值积分法也是离散化方法，只不过它是 从数值积分的角度出发，没有明确提出“离散”这个概念
MATLAB及控制系统仿真数值积分
x(t0 ) f (t , x, u (t ))dt f (t , x, u (t )) dt
x(tn1 ) x(tn ) f (t , x, u (t ))dt
tn t n1
t x n1 xn Qn 希望找到一个近似公式 x( t n1 ) x( t n ) f ( t , x , u( t ))dt t 来表示方程的近似解： t
t n 1
t n 1
tn
f (t , x ,u(t ))dt
tn
1 f (t , x,u(t ))dt h f t n , x n,un f t n 1, x n 1,un 1 2
h 写成差分方程为 x n 1 x n fn fn 1 2
梯形近似及其误差
前向欧拉yn yn1 hf (tn1 , yn1 )
后向欧拉yn yn1 hf (tn , yn )
前向欧拉yn yn1 hf (tn1 , yn1 )
后向欧拉yn yn1 hf (tn , yn )
f(t) 误差 fn fn+1
f(t) fn
误差
fn+1
f(t) 误差 fn fn+1
梯形近似
tn
tn+1
t
f(t) 误差 fn
fn+1
f(t) fn
误差
fn+1
左矩形近似
右矩形近似
tn
tn+1
t
tn
tn+1
t
f(t) 误差 fn
fn+1
梯形近似
tn
tn+1
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仿真技术基础 ·数值积分法的系统仿真
2.2 数值积分法
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值
节点间距 h i x i 1 x i (i 0 ,.,.n . 1 )为步长，通常可采用等距节点，即取 hi = h
(常数)。
1. 欧拉公式：
向前差商近似导数
y( x1 ) y0 h f ( x1, y( x1 ))
x0
x1
yi1 yi h f ( xi1 , yi1 ) (i 0, ... , n 1)
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式
仿真技术基础 ·数值积分法的系统仿真
2.1 概述
1. 相似原理
设系统模型为 y f (y,u,t)பைடு நூலகம்
其中u(t)为输入变量，y(t)为系统变量；令仿真时时间隔为h，离散
化后的输入变量为 uˆ (t n ) 系统变量为 yˆ (t n )
其中 t n 表示 t=nh
如果 u ˆ(tn)u(tn)
yˆ(tn)y(tn)
注：
R i y (x i 1 ) y i 1 O (h 3 )
即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式
计算机由 y (t n ) 计算 y(tn1 ) 需要的时间为T n，若
T n=h n 称为实时仿真 T n h n 称为超实时仿真 T n h n 称为亚实时仿真
3. 数值积分算法：
对 y f(y,u,t)，已知系统变量 y 的初始条件 y(t0)y0
求 y 随时间变化的过程 y (t ) －－初值问题
即
eu(tn)u ˆ(tn) u (tn)0
ey(tn)y ˆ(tn)y(tn)0（对所有n=0,1,2,…）
则可认为两模型等价
仿真技术基础 ·数值积分法的系统仿真
2.1 概述
仿真技术基础 ·数值积分法的系统仿真
2.1 概述
2. 对仿真建模方法三个基本要求：
（1）稳定性：不改变原系统的稳定性 若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的 若原连续系统是不稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是不稳定的
0
x -2
-1.8
0
x -1.6 -1.4 1
x -1.2
-1
2
x -0.8 -0.6 3
-0.4
-0.2
0
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2.2 数值积分法
2. 欧拉公式的改进：
（1）隐式欧拉法 /* implicit Euler method */
用向后差商近似导数
y(x1)y(x1) hy(x0)
y(x0)y(x1) hy(x0)
y ( x 1 ) y ( x 0 ) h y ( x 0 ) y 0 h f ( x 0 ,y 0 ) 记为 y 1
y i 1 y i h f ( x i,y i)( i 0 ,.,. n . 1 )
x0
x1
计算yn+1时 , 只用到前一步的结果yn , 因此属于单步法
k
Ek (h) R j (h)
j 1
则称 Ek(h)为该求解k公 步式 的第 累计截断误差
即该求解公x式 k点在上的总体截断误差
仿2.5真技术基础 ·数值积分法的系统仿真
y2
2
y(x2)
1.5
y1 y(x1)1
E1(h)
E2(h)
R1(h )
R 2 (h )
1.1E引3(h言) R3(h)
0.5
一般先用显式计算一个初值，再迭代求解 隐式欧拉法的局部截断误差：
R iy(xi1)yi1O (h2)
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度
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2.2 数值积分法
（2） 梯形公式 /* trapezoid formula — 显、隐式两种算法的平均
y i 1 y i h 2 [ f ( x i,y i) f ( x i 1 ,y i 1 )] ( i 0 ,., . n .1 )
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2.2 数值积分法
Euler方法的几何体现 其实质如图所示, 用折线来近似实际的曲线
yj1yjh(x fj,yj)yj hy(xj)
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2.2 数值积分法
定义：在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。 定义：若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度
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第二章 数值积分法的系统仿真
仿真技术基础 ·数值积分法的系统仿真
2.1 概述
2.1 概述
连续系统仿真，从本质上：对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统 进行离散化并选择合适的数值计算方法来近似积分运算
在数值积分法的计算中，只计算了采样点的值，相当于是对系统模型进 行了离散化处理，所以从本质说，数值积分法也是离散化方法，只不过它是 从数值积分的角度出发，没有明确提出“离散”这个概念
（2）准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是：
绝对误差准则： ey(tn)y ˆ(tn)y(tn)
相对误差准则：
ey(tn)
yˆ(tn)y(tn) yˆ(tn)
其中 规定精度的误差量
仿真技术基础 ·数值积分法的系统仿真
2.1 概述
（3）快速性：若第n步计算所对应的系统时间间隔为 hn tn1tn,
欧拉法的局部截断误差：
R i y ( x i 1 ) y i 1 [ y ( x i ) h y ( x i ) O ( h 2 ) ] [ y i h f ( x i , y i ) ]
O (h2)
欧拉法具有 1 阶精度
定义：
设 R j ( h ) 为 计 算 y j 的 求 解 公 式 第 j 步 的 截 断 误 差 , 且
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2.1 概述
计算过程：由初始点 y(t0)y0 的 f (t0，y0)
t
y(t)y0
t0
f(t,y)dt
f(t,y)
f(t 0 ,y o )
t0 t t1
t
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2.2 数值积分法
2 .2 数值积分法 2.2.1 欧拉法
y(t)f[t,y(t)],y(t)t0y(0)y0