计算机仿真教案02--第二章数值积分法的系统仿真

仿真技术基础 ·数值积分法的系统仿真
2.1 概述
计算过程：由初始点 y(t0)y0 的 f (t0，y0)
t
y(t)y0
t0
f(t,y)dt
f(t,y)
f(t 0 ,y o )
t0 t t1
t
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2.2 数值积分法
2 .2 数值积分法 2.2.1 欧拉法
y(t)f[t,y(t)],y(t)t0y(0)y0
k
Ek (h) R j (h)
j 1
则称 Ek(h)为该求解k公 步式 的第 累计截断误差
即该求解公x式 k点在上的总体截断误差
仿2.5真技术基础 ·数值积分法的系统仿真
y2
2
y(x2)
1.5
y1 y(x1)1
E1(h)
E2(h)
R1(h )
R 2 (h )
1.1E引3(h言) R3(h)
0.5
一般先用显式计算一个初值，再迭代求解 隐式欧拉法的局部截断误差：
R iy(xi1)yi1O (h2)
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度
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2.2 数值积分法
（2） 梯形公式 /* trapezoid formula — 显、隐式两种算法的平均
y i 1 y i h 2 [ f ( x i,y i) f ( x i 1 ,y i 1 )] ( i 0 ,., . n .1 )
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2.2 数值积分法
Euler方法的几何体现 其实质如图所示, 用折线来近似实际的曲线
yj1yjh(x fj,yj)yj hy(xj)
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2.2 数值积分法
定义：在假设 yi = y(xi)，即第 i 步计算是精确的前提下，考虑的截断误差 Ri = y(xi+1) yi+1 称为局部截断误差 /* local truncation error */。 定义：若某算法的局部截断误差为O(hp+1)，则称该算法有p 阶精度
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第二章 数值积分法的系统仿真
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2.1 概述
2.1 概述
连续系统仿真，从本质上：对原连续系统从时间、数值两个方面对原系统 进行离散化并选择合适的数值计算方法来近似积分运算
在数值积分法的计算中，只计算了采样点的值，相当于是对系统模型进 行了离散化处理，所以从本质说，数值积分法也是离散化方法，只不过它是 从数值积分的角度出发，没有明确提出“离散”这个概念
即
eu(tn)u ˆ(tn) u (tn)0
ey(tn)y ˆ(tn)y(tn)0（对所有n=0,1,2,…）
则可认为两模型等价
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2.1 概述
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2.1 概述
2. 对仿真建模方法三个基本要求：
（1）稳定性：不改变原系统的稳定性 若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的 若原连续系统是不稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是不稳定的
注：
R i y (x i 1 ) y i 1 O (h 3 )
即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式
y(x0)y(x1) hy(x0)
y ( x 1 ) y ( x 0 ) h y ( x 0 ) y 0 h f ( x 0 ,y 0 ) 记为 y 1
y i 1 y i h f ( x i,y i)( i 0 ,.,. n . 1 )
x0
x1源自文库
计算yn+1时 , 只用到前一步的结果yn , 因此属于单步法
y( x1 ) y0 h f ( x1, y( x1 ))
x0
x1
yi1 yi h f ( xi1 , yi1 ) (i 0, ... , n 1)
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式
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2.1 概述
1. 相似原理
设系统模型为 y f (y,u,t)
其中u(t)为输入变量，y(t)为系统变量；令仿真时时间隔为h，离散
化后的输入变量为 uˆ (t n ) 系统变量为 yˆ (t n )
其中 t n 表示 t=nh
如果 u ˆ(tn)u(tn)
yˆ(tn)y(tn)
欧拉法的局部截断误差：
R i y ( x i 1 ) y i 1 [ y ( x i ) h y ( x i ) O ( h 2 ) ] [ y i h f ( x i , y i ) ]
O (h2)
欧拉法具有 1 阶精度
定义：
设 R j ( h ) 为 计 算 y j 的 求 解 公 式 第 j 步 的 截 断 误 差 , 且
0
x -2
-1.8
0
x -1.6 -1.4 1
x -1.2
-1
2
x -0.8 -0.6 3
-0.4
-0.2
0
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2.2 数值积分法
2. 欧拉公式的改进：
（1）隐式欧拉法 /* implicit Euler method */
用向后差商近似导数
y(x1)y(x1) hy(x0)
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2.2 数值积分法
要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0< x1<…< xn= b 处的近似值
节点间距 h i x i 1 x i (i 0 ,.,.n . 1 )为步长，通常可采用等距节点，即取 hi = h
(常数)。
1. 欧拉公式：
向前差商近似导数
（2）准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是：
绝对误差准则： ey(tn)y ˆ(tn)y(tn)
相对误差准则：
ey(tn)
yˆ(tn)y(tn) yˆ(tn)
其中 规定精度的误差量
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2.1 概述
（3）快速性：若第n步计算所对应的系统时间间隔为 hn tn1tn,
计算机由 y (t n ) 计算 y(tn1 ) 需要的时间为T n，若
T n=h n 称为实时仿真 T n h n 称为超实时仿真 T n h n 称为亚实时仿真
3. 数值积分算法：
对 y f(y,u,t)，已知系统变量 y 的初始条件 y(t0)y0
求 y 随时间变化的过程 y (t ) －－初值问题