2021高考数学一轮复习第五章数列第4讲数列求和课件.ppt
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高三数学一轮总复习 第五章 数列 5.4 数列求和课件.ppt
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n
4．一个数列{an}，当 n 是奇数时，an＝5n＋1；当 n 为偶数时，an＝22 ，则这 个数列的前 2m 项的和是__________。
解析：当 n 为奇数时，{an}是以 6 为首项，以 10 为公差的等差数列；当 n 为偶 数时，{an}是以 2 为首项，以 2 为公比的等比数列。所以，S2m＝S 奇＋S 偶＝ma1＋mm2－1 ×10＋a211－－22m
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2 种思路——解决非等差、等比数列求和问题的两种思路 (1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往 通过通项分解或错位相减来完成。 (2)不能转化为等差或等比数列的，往往通过裂项相消法、倒序相加法等来求和。
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3 个注意点——应用“裂项相消法”和“错位相减法”应注意的问题 (1)裂项相消法，分裂通项是否恰好等于相应的两项之差。 (2)在正负项抵消后，是否只剩下第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后 面也剩下两项，未消去的项有前后对称的特点。 (3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比含有参数，应分 q＝1 和 q≠1 两种情况求解。
＝6m＋5m(m－1)＋2(2m－1) ＝6m＋5m2－5m＋2m＋1－2 ＝2m＋1＋5m2＋m－2。 答案：2m＋1＋5m2＋m－2
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5．已知数列{an}的前 n 项和为 Sn 且 an＝n·2n，则 Sn＝__________。
解析：∵an＝n·2n， ∴Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n。① ∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1。② ①－②，得－Sn＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1 ＝211－－22n－n·2n＋1＝2n＋1－2－n·2n＋1 ＝(1－n)2n＋1－2。 ∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2。 答案：(n－1)2n＋1＋2
高考数学一轮复习 第五章 数列 5.4 数列求和课件.pptx
分组转化法求和的常见类型 1．若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求
{an}的前 n 项和． 2．通项公式为 an＝cbnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比 数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，
Sn＝na12＋an＝_n_a_1_＋__n_n_－2__1__d___.
(2)等比数列的前 n 项和公式： Sn＝naa11－1－，aqqnq＝＝1_a，_11_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1_._ 2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同 一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项 和公式即是用此法推导的．
1．必会结论 常用求和公式
前 n 个正整数之和 前 n 个正奇数之和
前 n 个正整数的平方和
前 n 个正整数的立方和
1＋2＋…＋n＝nn2＋1 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
nn＋12n＋1 12＋22＋…＋n2＝________6_______
13＋23＋…＋n3＝nn＋2 12
2.必知联系 (1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论． (2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an＋1 的式子应进行合并． (3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后 剩多少项．
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝211－－2210＋1＋102×10 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.
{an}的前 n 项和． 2．通项公式为 an＝cbnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比 数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 提醒：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，
Sn＝na12＋an＝_n_a_1_＋__n_n_－2__1__d___.
(2)等比数列的前 n 项和公式： Sn＝naa11－1－，aqqnq＝＝1_a，_11_1－_－_q_q_n_，__q_≠__1_._ 2．倒序相加法 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同 一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项 和公式即是用此法推导的．
1．必会结论 常用求和公式
前 n 个正整数之和 前 n 个正奇数之和
前 n 个正整数的平方和
前 n 个正整数的立方和
1＋2＋…＋n＝nn2＋1 1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2
nn＋12n＋1 12＋22＋…＋n2＝________6_______
13＋23＋…＋n3＝nn＋2 12
2.必知联系 (1)直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数 (字母)时，应对其公比是否为 1 进行讨论． (2)在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如 an，an＋1 的式子应进行合并． (3)在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后 剩多少项．
(2)由(1)可得 bn＝2n＋n， 所以 b1＋b2＋b3＋…＋b10 ＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝211－－2210＋1＋102×10 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.
高考数学一轮总复习 第5章 数列 第4节 数列求和课件 理 新人教版
2．若等比数列{an}满足 a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{an}的前 n 项和 Sn＝________.
解析：由题意 a2＋a5＝q(a1＋a4)，得 20＝q×10，故 q＝2， 代入 a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，得 9a1＝10，即 a1＝190. 故 Sn＝19011－－22n＝190(2n－1)． 答案：190(2n－1)
(2015·湖北高考)设等差数列{an}的公差为 d，前 n 项和为 Sn，等 比数列{bn}的公比为 q.已知 b1＝a1，b2＝2，q＝d，S10＝100. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)当 d＞1 时，记 cn＝abnn，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
解析
[由题悟法]
bn＝3
an＋1 2
，求数列an＋2 1·bn的前
n
项和
Sn.
an＋1
解：由(1)可得 bn＝3 2 ＝3n，
所以an＋2 1·bn＝n·3n，
[即时应用]
已知等比数列{an}中，首项 a1＝3，公比 q＞1，且 3(an＋2 ＋an)－10an＋1＝0(n∈N*)． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＋13an是首项为 1，公差为 2 的等差数列，求数列 {bn}的通项公式和前 n 项和 Sn.
解析
考点三 错位相减法求和 重点保分型考点——师生共研 [典例引领]
(3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和 一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列 的前 n 项和即可用错位相减法求解．
(4)倒序相加法：如果一个数列{an}与首末两端等“距离” 的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列 的前 n 项和即可用倒序相加法求解．
2021高考数学(苏教,理科)复习课件：第五章 数列第四节 数列求和.ppt
数学
第四节 数列求和
[试一试]
(2014·盐城模底)已知数列{an}满足
an＝
1 n＋
n＋1，则其前
99 项和 S99
n＋1－
n，所以 S99＝(
2－
1)
＋( 3－ 2)＋…＋( 100－ 99)＝10－1＝9.
答案：9
数学
第四节 数列求和
数列求和的常用方法 1.倒序相加法： 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的 和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的． 2.错位相减法： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的．
数学
第四节 数列求和
[解] (1)由题设可得f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an ＋2cos x.
对任意n∈N＋，f′π2＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0， 即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列． 由a1＝2，a2＋a4＝8，可得数列{an}的公差d＝1， 所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.
数学
第四节 数列求和
解得ad1＝＝21. ， 因此 an＝2n－1，n∈N+. (2)由已知ba11＋ba22＋…＋abnn＝1－21n，n∈N+， 当 n＝1 时，ba11＝12； 当 n≥2 时，bann＝1－21n－1－2n1－1＝21n， 所以bann＝21n，n∈N+.
由(1)知 an＝2n－1，n∈N+，
数学
第四节 数列求和
第四节 数列求和
[试一试]
(2014·盐城模底)已知数列{an}满足
an＝
1 n＋
n＋1，则其前
99 项和 S99
n＋1－
n，所以 S99＝(
2－
1)
＋( 3－ 2)＋…＋( 100－ 99)＝10－1＝9.
答案：9
数学
第四节 数列求和
数列求和的常用方法 1.倒序相加法： 如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的 和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒 序相加法，如等差数列的前 n 项和即是用此法推导的． 2.错位相减法： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的 对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求， 如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的．
数学
第四节 数列求和
[解] (1)由题设可得f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an ＋2cos x.
对任意n∈N＋，f′π2＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0， 即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}为等差数列． 由a1＝2，a2＋a4＝8，可得数列{an}的公差d＝1， 所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1.
数学
第四节 数列求和
解得ad1＝＝21. ， 因此 an＝2n－1，n∈N+. (2)由已知ba11＋ba22＋…＋abnn＝1－21n，n∈N+， 当 n＝1 时，ba11＝12； 当 n≥2 时，bann＝1－21n－1－2n1－1＝21n， 所以bann＝21n，n∈N+.
由(1)知 an＝2n－1，n∈N+，
数学
第四节 数列求和
高考数学一轮复习 第5篇 第4节 数列求和课件 文 新人教版
等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和.
即时突破 1 (2013 包头模拟)已知数列{xn}的首项 x1=3,通项
xn=2 p+nq(n∈N ,p,q 为常数),且 x1,x4,x5 成等差数列.求: (1)p,q 的值; (2)数列{xn}前 n 项和 Sn. 解:(1)由 x1=3,得 2p+q=3, 4 5 又因为 x4=2 p+4q,x5=2 p+5q,且 x1+x5=2x4, 5 5 即 3+2 p+5q=2 p+8q,解得 p=1,q=1. (2)由(1),知 xn=2n+n, 所以 Sn=(2+2 +…+2 )+(1+2+…+n)=2 -2+
2 n-1
反思归纳
分组转化法求和的解题策略:
(1)数列求和应从通项入手,通过对通项变形,转化为等差数 列或等比数列或可求前 n 项和的数列求和. (2)分组转化法求和的常见类型 ①若 an=bn±cn,且{bn},{cn}为等差或等比数列,可采用分组 求和法求{an}的前 n 项和.
bn , n为奇数， ②通项公式为 an= 的数列,其中数列{bn},{cn}是 cn , n为偶数
100 1 100 2
2
=5050, 故选 C.
4.设数列{an}的通项公式为 an=2 ,令 bn=nan,则数列{bn}的 前 n 项和 Sn 为 . 2n-1 解析:由 bn=nan=n·2 知 Sn=1·2+2·23+3·25+…+n·22n-1, ① 从而 2 ·Sn=1·2 +2·2 +3·2 +…+n·2 ①-②得(1-22)·Sn =2+2 +2 +…+2
高考数学一轮复习第五章数列4数列求和课件
12/11/2021
第三十三页，共四十五页。
已知{an}为等差数列，前 n 项和为 Sn(n∈N*)，{bn}是首项 为 2 的等比数列，且公比大于 0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11 ＝11b4.
12/11/2021
第三十二页，共四十五页。
方法技巧 用错位相减法求和的三个注意事项：1要善于识别题目类 型，特别是等比数列公比为负数的情形； 2在写出“Sn”与 “qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步 准确写出“Sn－qSn”的表达式；3在应用错位相减法求和时，若 等比数列的公比为参数，应分公比等于 1 和不等于 1 两种情况求 解.
12/11/2021
第二十四页，共四十五页。
方法技巧 一个数列求和可奇偶项相消，一般把数列奇偶项结合进行求 和.
12/11/2021
第二十五页，共四十五页。
已知数列{an}的通项公式是 an＝n2sin2n＋ 2 1π，则 a1＋a2
＋a3＋…＋a2 018 等于( B )
A．2
017×2 2
018
【解】 (1)设数列{an}的公差为 d， 则 2d＝a4－a2＝8， ∴d＝4， ∴an＝a2＋(n－2)d＝9＋4(n－2)＝4n＋1.
12/11/2021
第十八页，共四十五页。
(2)Sn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(3＋32＋…＋3n) ＝n5＋24n＋1＋311－－33n＝2n2＋3n＋3n2＋1－32.
＋…＋1＝9.
(5)S10＝5×9＋12×5×4×(－2)＋5×1＋12×5×4×2＝50.
12/11/2021
第十六页，共四十五页。
02 考点探究 明晰规律
课堂升华 强技提能
高考数学一轮复习第五章数列第4讲数列求和课件文
12/13/2021
Hale Waihona Puke 第四页，共四十七页。2．数列2×1 4，4×1 6，6×1 8，…，2n（21n＋2），…的前 n 项 n
和为___4_（__n_＋__1_）______．
[解析] 因为 an＝2n（21n＋2）＝14n1－n＋1 1，
则 Sn＝141－12＋12－13＋…＋n1－n＋1 1
＝141－n＋1 1＝4（nn＋1）.
第五章 数列(shùliè)
4 第 讲 数列 求和 (shùliè)
12/13/2021
第一页，共四十七页。
1．公式法 如果一个数列是等差数列或等比数列，则求和时直接利用等 差或等比数列的前 n 项和公式． 2．非等差、等比数列求和的常用方法 (1)倒序相加法 如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等或 等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和即可用倒序相 加法，等差数列的前 n 项和即是用此法推导的．
所以 Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
12/13/2021
第九页，共四十七页。
2．已知数列{an}：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋120＋130＋…
＋1904，n …，若 bn＝ana1n＋1，那么数列{bn}的前 n 项和 Sn＝ ___n_＋__1____．
12/13/2021
12/13/2021
第十七页，共四十七页。
已知数列{an}的通项公式是 an＝2·3n－1＋ (－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，求其前 n 项和 Sn. [解] Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln 2 －ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3， 所以当 n 为偶数时， Sn＝2×11－－33n＋n2ln 3＝3n＋n2ln 3－1； 当 n 为奇数时，
2021届高考数学一轮复习第五章数列第四节数列求和ppt课件文北师大版
1．先看数列通项特点，再想求和方法．
2．常见的拆项公式
(1)若{an}为各项都不为 0 的等差数列，公差为 d(d≠0)， 则an·a1n＋1＝1d(a1n－an1＋1)；
(2)n（n1＋k）＝1k(n1－n＋1 k)；
(3)
1 n＋
n＋1＝
n＋1－
n；
(4)loga(1＋n1)＝loga(n＋1)－logan(a＞0 且 a≠1)．
第五章 数列
第四节 数列求和
[基础梳理]
1．等差数列的前 n 项和公式 Sn＝n（a12＋an）＝__n_a_1＋__n_（__n_2－__1_）___d__． 2．等比数列的前 n 项和公式
3．数列求和方法 (1)公式法求和： 使用已知求和公式求和的方法，即等差、等比数列或可化为等差、等比数列的求 和方法． (2)错位相减法： 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那 么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和就是用此法推导 的．
Tn＋1＝（n＋1）2－2 （n＋1）＋23(2n＋1－1) ＝n2＋2 n＋23(2n＋1－1)． 而 Tn＋1＝Tn＋bn＋1＝Tn＋2n， 所以 Tn＝n2＋2 n＋13(2n－2)． 所以 Tn＝nn22－＋22 nn＋ ＋2313（ （22nn－ －12） ）（ （nn为 为偶 奇数 数） ），.
A．13
B．76
C．46
D．－76
[解析] 因为 Sn＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n－1(4n－3)，所以 S15＝(1－5)
＋(9－13)＋…＋(49－53)＋57＝(－4)×7＋57＝29，S22＝(1－5)＋(9－13)＋(17－
新课程2021高考数学一轮复习第五章数列第4讲数列求和课件
答案 A
解析 该数列的通项公式为 an＝(2n－1)＋21n，则 Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋12＋212＋…＋21n＝n2＋1－21n.
(3)数列{an}的通项公式为 an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前 100 项之和
S100 等于( )
A．200
B．－200
C．400
答案 B
解析
∵an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－
1 3
＋…－16＝56.
(2)数列 121，314，518，7116，…，(2n－1)＋21n，…的前 n 项和 Sn 的值等于
() A．n2＋1－21n
B．2n2－n＋1－21n
C．n2＋1－2n1－1 D．n2－n＋1－21n
D．－400
答案 B 解析 设 bn＝4n－3，则{bn}是首项为 1，公差为 4 的等差数列，an＝(－ 1)n－1bn.S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝(b1－b2)＋(b3－b4)＋…＋ (b99－b100)＝－4－4－4－…－4＝－4×50＝－200.
(4)数列{an}的通项公式为 an＝ncosn2π，其前 n 项和为 Sn，则 S2021 等于
解 (2)由(1)知，cn＝n·2n－1， 则 Sn＝1·20＋2·21＋…＋n·2n－1，① 2Sn＝1·21＋2·22＋…＋n·2n.② 由①－②得，－Sn＝20＋21＋…＋2n－1－n·2n＝20－12－n－21×2－n·2n＝－1＋ (1－n)·2n，
所以 Sn＝1＋(n－1)·2n. 因为 cn>0，所以 Sn－1≤λcn 恒成立，等价于 λ≥Snc－n 1对任意 n∈N*恒成 立. 因为Snc－n 1＝nn－·2n1－21 n＝2－2n<2，所以 λ≥2.
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第五章 数列
第4讲 数列求和
[考纲解读] 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式．(重点) 2.熟练掌握另外几种非等差、等比数列求和的常见方法．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点，主要 考查“错位相减”“裂项相消”“等差、等比数列的公式求和”等．预 测 2021 年高考会考查数列求和或数列求和与不等式的综合．此类问题 一般以解答题为主，以中档题型为主.
解 (1)证明：由 an＋1＝4an－3n＋1， 得 an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*. 又 a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为 1，公比为 4 的等比数列．
(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解 (2)由(1)可知 an－n＝4n－1， 所以数列{an}的通项公式为 an＝4n－1＋n，
答案 A
解析 该数列的通项公式为 an＝(2n－1)＋21n，则 Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋12＋212＋…＋21n＝n2＋1－21n.
(3)数列{an}的通项公式为 an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前 100 项之和
S100 等于( )
A．200
B．－200
C．400
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 分组转化法求和
1 ． (2019·信 阳 模 拟 ) 已 知 数 列 {an} 中 ， a1 ＝ a2 ＝ 1 ， an ＋ 2 ＝
an＋2，n是奇数，
2an，n是偶数，
则数列{an}的前 20 项和为(
)
A．1121
B．1122
C．1123 答案 C
D．1124D．－4Fra bibliotek0答案 B 解析 设 bn＝4n－3，则{bn}是首项为 1，公差为 4 的等差数列，an＝(－ 1)n－1bn.S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝(b1－b2)＋(b3－b4)＋…＋ (b99－b100)＝－4－4－4－…－4＝－4×50＝－200.
(4)数列{an}的通项公式为 an＝ncosn2π，其前 n 项和为 Sn，则 S2021 等于
(4)若数列 a1，a2－a1，…，an－an－1 是(n>1，n∈N*)首项为 1，公比为 3 3n－1
的等比数列，则数列{an}的通项公式是 an＝ 2 .( √ )
2．小题热身
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
)
A．1 C．16
B．56 D．310
1．概念辨析 (1)已知等差数列{an}的公差为 d，则有ana1n＋1＝1da1n－an1＋1.( × ) (2) 推 导 等 差 数 列 求和 公 式 的 方 法 叫 做倒 序 求 和 法 ， 利 用此 法 可 求 得 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.( √ ) (3)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可 根据错位相减法求得．( × )
4n－1 nn＋1 所以数列{an}的前 n 项和 Sn＝ 3 ＋ 2 .
分组转化法求和的常见类型 (1)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等 比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．如举例说明 1. (2)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求 {an}的前 n 项和．如举例说明 2(2).
③nn＋11n＋2＝12nn1＋1－n＋11n＋2；
④
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
3．常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn2＋1； (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2； (3)12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋162n＋1； (4)13＋23＋33＋…＋n3＝nn2＋12.
答案 B
解析
∵an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－
1 3
＋…－16＝56.
(2)数列 121，314，518，7116，…，(2n－1)＋21n，…的前 n 项和 Sn 的值等于
() A．n2＋1－21n
B．2n2－n＋1－21n
C．n2＋1－2n1－1 D．n2－n＋1－21n
() A．－1010 B．2018
C．505
D．1010
答案 D
解析 易知 a1＝cosπ2＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….所以数列 {an}的所有奇数项为 0，前 2020 项中所有偶数项(共 1010 项)依次为－2,4， －6,8，…，－2018，2020.故 S2020＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2018＋ 2020)＝1010.a2021＝0，∴S2021＝1010.故选 D.
已知数列{an}是等差数列，满足 a1＝2，a4＝8，数列{bn}是等比数列， 满足 b2＝4，b5＝32.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d， 由题意得 d＝a4－3 a1＝2， 所以 an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×2＝2n.
1
PART ONE
基础知识过关
1．基本数列求和公式法 (1)等差数列求和公式： Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d. (2)等比数列求和公式：
na1，q＝1， Sn＝a11－－aqnq＝a111－－qqn，q≠1.
2．非基本数列求和常用方法 (1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂 项相消法． 常见的裂项公式： ①nn1＋k＝1k1n－n＋1 k； ②2n－112n＋1＝212n1－1－2n1＋1；
解析 由题意知，数列{a2n}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，数列{a2n 1×1－210
－1}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，故数列{an}的前 20 项和为 1－2 ＋10×1＋10×2 9×2＝1123.
2．(2019·中山调研)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明：数列{an－n}是等比数列；
第4讲 数列求和
[考纲解读] 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式．(重点) 2.熟练掌握另外几种非等差、等比数列求和的常见方法．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点，主要 考查“错位相减”“裂项相消”“等差、等比数列的公式求和”等．预 测 2021 年高考会考查数列求和或数列求和与不等式的综合．此类问题 一般以解答题为主，以中档题型为主.
解 (1)证明：由 an＋1＝4an－3n＋1， 得 an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*. 又 a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为 1，公比为 4 的等比数列．
(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解 (2)由(1)可知 an－n＝4n－1， 所以数列{an}的通项公式为 an＝4n－1＋n，
答案 A
解析 该数列的通项公式为 an＝(2n－1)＋21n，则 Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋12＋212＋…＋21n＝n2＋1－21n.
(3)数列{an}的通项公式为 an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前 100 项之和
S100 等于( )
A．200
B．－200
C．400
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 分组转化法求和
1 ． (2019·信 阳 模 拟 ) 已 知 数 列 {an} 中 ， a1 ＝ a2 ＝ 1 ， an ＋ 2 ＝
an＋2，n是奇数，
2an，n是偶数，
则数列{an}的前 20 项和为(
)
A．1121
B．1122
C．1123 答案 C
D．1124D．－4Fra bibliotek0答案 B 解析 设 bn＝4n－3，则{bn}是首项为 1，公差为 4 的等差数列，an＝(－ 1)n－1bn.S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝(b1－b2)＋(b3－b4)＋…＋ (b99－b100)＝－4－4－4－…－4＝－4×50＝－200.
(4)数列{an}的通项公式为 an＝ncosn2π，其前 n 项和为 Sn，则 S2021 等于
(4)若数列 a1，a2－a1，…，an－an－1 是(n>1，n∈N*)首项为 1，公比为 3 3n－1
的等比数列，则数列{an}的通项公式是 an＝ 2 .( √ )
2．小题热身
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
)
A．1 C．16
B．56 D．310
1．概念辨析 (1)已知等差数列{an}的公差为 d，则有ana1n＋1＝1da1n－an1＋1.( × ) (2) 推 导 等 差 数 列 求和 公 式 的 方 法 叫 做倒 序 求 和 法 ， 利 用此 法 可 求 得 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.( √ ) (3)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可 根据错位相减法求得．( × )
4n－1 nn＋1 所以数列{an}的前 n 项和 Sn＝ 3 ＋ 2 .
分组转化法求和的常见类型 (1)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等 比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．如举例说明 1. (2)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求 {an}的前 n 项和．如举例说明 2(2).
③nn＋11n＋2＝12nn1＋1－n＋11n＋2；
④
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
3．常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn2＋1； (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2； (3)12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋162n＋1； (4)13＋23＋33＋…＋n3＝nn2＋12.
答案 B
解析
∵an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－
1 3
＋…－16＝56.
(2)数列 121，314，518，7116，…，(2n－1)＋21n，…的前 n 项和 Sn 的值等于
() A．n2＋1－21n
B．2n2－n＋1－21n
C．n2＋1－2n1－1 D．n2－n＋1－21n
() A．－1010 B．2018
C．505
D．1010
答案 D
解析 易知 a1＝cosπ2＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….所以数列 {an}的所有奇数项为 0，前 2020 项中所有偶数项(共 1010 项)依次为－2,4， －6,8，…，－2018，2020.故 S2020＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2018＋ 2020)＝1010.a2021＝0，∴S2021＝1010.故选 D.
已知数列{an}是等差数列，满足 a1＝2，a4＝8，数列{bn}是等比数列， 满足 b2＝4，b5＝32.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d， 由题意得 d＝a4－3 a1＝2， 所以 an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×2＝2n.
1
PART ONE
基础知识过关
1．基本数列求和公式法 (1)等差数列求和公式： Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d. (2)等比数列求和公式：
na1，q＝1， Sn＝a11－－aqnq＝a111－－qqn，q≠1.
2．非基本数列求和常用方法 (1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂 项相消法． 常见的裂项公式： ①nn1＋k＝1k1n－n＋1 k； ②2n－112n＋1＝212n1－1－2n1＋1；
解析 由题意知，数列{a2n}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，数列{a2n 1×1－210
－1}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，故数列{an}的前 20 项和为 1－2 ＋10×1＋10×2 9×2＝1123.
2．(2019·中山调研)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明：数列{an－n}是等比数列；