2021高考数学一轮复习第五章数列第4讲数列求和课件.ppt
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第五章 数列
第4讲 数列求和
[考纲解读] 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式．(重点) 2.熟练掌握另外几种非等差、等比数列求和的常见方法．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点，主要 考查“错位相减”“裂项相消”“等差、等比数列的公式求和”等．预 测 2021 年高考会考查数列求和或数列求和与不等式的综合．此类问题 一般以解答题为主，以中档题型为主.
答案 B
解析
∵an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－
1 3
＋…－16＝56.
(2)数列 121，314，518，7116，…，(2n－1)＋21n，…的前 n 项和 Sn 的值等于
() A．n2＋1－21n
B．2n2－n＋1－21n
C．n2＋1－2n1－1 D．n2－n＋1－21n
D．－400
答案 B 解析 设 bn＝4n－3，则{bn}是首项为 1，公差为 4 的等差数列，an＝(－ 1)n－1bn.S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝(b1－b2)＋(b3－b4)＋…＋ (b99－b100)＝－4－4－4－…－4＝－4×50＝－200.
(4)数列{an}的通项公式为 an＝ncosn2π，其前 n 项和为 Sn，则 S2021 等于
解析 由题意知，数列{a2n}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，数列{a2n 1×1－210
－1}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，故数列{an}的前 20 项和为 1－2 ＋10×1＋10×2 9×2＝1123.
2．(2019·中山调研)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明：数列{an－n}是等比数列；
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 分组转化法求和
1 ． (2019·信 阳 模 拟 ) 已 知 数 列 {an} 中 ， a1 ＝ a2 ＝ 1 ， an ＋ 2 ＝
an＋2，n是奇数，
2an，n是偶数，
则数列{an}的前 20 项和为(
)
A．1121
B．1122
C．1123 答案 C
D．1124
4n－1 nn＋1 所以数列{an}的前 n 项和 Sn＝ 3 ＋ 2 .
分组转化法求和的常见类型 (1)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等 比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．如举例说明 1. (2)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求 {an}的前 n 项和．如举例说明 2(2).
已知数列{an}是等差数列，满足 a1＝2，a4＝8，数列{bn}是等比数列， 满足 b2＝4，b5＝32.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d， 由题意得 d＝a4－3 a1＝2， 所以 an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×2＝2n.
解 (1)证明：由 an＋1＝4an－3n＋1， 得 an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*. 又 a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为 1，公比为 4 的等比数列．
(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解 (2)由(1)可知 an－n＝4n－1， 所以数列{an}的通项公式为 an＝4n－1＋n，
1．概念辨析 (1)已知等差数列{an}的公差为 d，则有ana1n＋1＝1da1n－an1＋1.( × ) (2) 推 导 等 差 数 列 求和 公 式 的 方 法 叫 做倒 序 求 和 法 ， 利 用此 法 可 求 得 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.( √ ) (3)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可 根据错位相减法求得．( × )
答案 A
解析 该数列的通项公式为 an＝(2n－1)＋21n，则 Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋12＋212＋…＋21n＝n2＋1－21n.
(3)数列{an}的通项公式为 an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前 100 项之和
S100 等于( )
A．200
Fra Baidu bibliotek
B．－200
C．400
() A．－1010 B．2018
C．505
D．1010
答案 D
解析 易知 a1＝cosπ2＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….所以数列 {an}的所有奇数项为 0，前 2020 项中所有偶数项(共 1010 项)依次为－2,4， －6,8，…，－2018，2020.故 S2020＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2018＋ 2020)＝1010.a2021＝0，∴S2021＝1010.故选 D.
③nn＋11n＋2＝12nn1＋1－n＋11n＋2；
④
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
3．常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn2＋1； (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2； (3)12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋162n＋1； (4)13＋23＋33＋…＋n3＝nn2＋12.
1
PART ONE
基础知识过关
1．基本数列求和公式法 (1)等差数列求和公式： Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d. (2)等比数列求和公式：
na1，q＝1， Sn＝a11－－aqnq＝a111－－qqn，q≠1.
2．非基本数列求和常用方法 (1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂 项相消法． 常见的裂项公式： ①nn1＋k＝1k1n－n＋1 k； ②2n－112n＋1＝212n1－1－2n1＋1；
(4)若数列 a1，a2－a1，…，an－an－1 是(n>1，n∈N*)首项为 1，公比为 3 3n－1
的等比数列，则数列{an}的通项公式是 an＝ 2 .( √ )
2．小题热身
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
)
A．1 C．16
B．56 D．310
第4讲 数列求和
[考纲解读] 1.熟练掌握等差、等比数列的前 n 项和公式．(重点) 2.熟练掌握另外几种非等差、等比数列求和的常见方法．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一直是高考中的热点，主要 考查“错位相减”“裂项相消”“等差、等比数列的公式求和”等．预 测 2021 年高考会考查数列求和或数列求和与不等式的综合．此类问题 一般以解答题为主，以中档题型为主.
答案 B
解析
∵an＝nn1＋1＝1n－n＋1 1，∴S5＝a1＋a2＋…＋a5＝1－12＋12－
1 3
＋…－16＝56.
(2)数列 121，314，518，7116，…，(2n－1)＋21n，…的前 n 项和 Sn 的值等于
() A．n2＋1－21n
B．2n2－n＋1－21n
C．n2＋1－2n1－1 D．n2－n＋1－21n
D．－400
答案 B 解析 设 bn＝4n－3，则{bn}是首项为 1，公差为 4 的等差数列，an＝(－ 1)n－1bn.S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝(b1－b2)＋(b3－b4)＋…＋ (b99－b100)＝－4－4－4－…－4＝－4×50＝－200.
(4)数列{an}的通项公式为 an＝ncosn2π，其前 n 项和为 Sn，则 S2021 等于
解析 由题意知，数列{a2n}是首项为 1，公比为 2 的等比数列，数列{a2n 1×1－210
－1}是首项为 1，公差为 2 的等差数列，故数列{an}的前 20 项和为 1－2 ＋10×1＋10×2 9×2＝1123.
2．(2019·中山调研)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*. (1)证明：数列{an－n}是等比数列；
2
PART TWO
经典题型冲关
题型一 分组转化法求和
1 ． (2019·信 阳 模 拟 ) 已 知 数 列 {an} 中 ， a1 ＝ a2 ＝ 1 ， an ＋ 2 ＝
an＋2，n是奇数，
2an，n是偶数，
则数列{an}的前 20 项和为(
)
A．1121
B．1122
C．1123 答案 C
D．1124
4n－1 nn＋1 所以数列{an}的前 n 项和 Sn＝ 3 ＋ 2 .
分组转化法求和的常见类型 (1)通项公式为 an＝bcnn，，nn为为偶奇数数， 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等 比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．如举例说明 1. (2)若 an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，可采用分组求和法求 {an}的前 n 项和．如举例说明 2(2).
已知数列{an}是等差数列，满足 a1＝2，a4＝8，数列{bn}是等比数列， 满足 b2＝4，b5＝32.
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式； 解 (1)设等差数列{an}的公差为 d， 由题意得 d＝a4－3 a1＝2， 所以 an＝a1＋(n－1)·d＝2＋(n－1)×2＝2n.
解 (1)证明：由 an＋1＝4an－3n＋1， 得 an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*. 又 a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为 1，公比为 4 的等比数列．
(2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解 (2)由(1)可知 an－n＝4n－1， 所以数列{an}的通项公式为 an＝4n－1＋n，
1．概念辨析 (1)已知等差数列{an}的公差为 d，则有ana1n＋1＝1da1n－an1＋1.( × ) (2) 推 导 等 差 数 列 求和 公 式 的 方 法 叫 做倒 序 求 和 法 ， 利 用此 法 可 求 得 sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.( √ ) (3)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 时只要把上式等号两边同时乘以 a 即可 根据错位相减法求得．( × )
答案 A
解析 该数列的通项公式为 an＝(2n－1)＋21n，则 Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋12＋212＋…＋21n＝n2＋1－21n.
(3)数列{an}的通项公式为 an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前 100 项之和
S100 等于( )
A．200
Fra Baidu bibliotek
B．－200
C．400
() A．－1010 B．2018
C．505
D．1010
答案 D
解析 易知 a1＝cosπ2＝0，a2＝2cosπ＝－2，a3＝0，a4＝4，….所以数列 {an}的所有奇数项为 0，前 2020 项中所有偶数项(共 1010 项)依次为－2,4， －6,8，…，－2018，2020.故 S2020＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2018＋ 2020)＝1010.a2021＝0，∴S2021＝1010.故选 D.
③nn＋11n＋2＝12nn1＋1－n＋11n＋2；
④
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n)．
3．常用求和公式 (1)1＋2＋3＋4＋…＋n＝nn2＋1； (2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2； (3)12＋22＋32＋…＋n2＝nn＋162n＋1； (4)13＋23＋33＋…＋n3＝nn2＋12.
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PART ONE
基础知识过关
1．基本数列求和公式法 (1)等差数列求和公式： Sn＝na12＋an＝na1＋nn2－1d. (2)等比数列求和公式：
na1，q＝1， Sn＝a11－－aqnq＝a111－－qqn，q≠1.
2．非基本数列求和常用方法 (1)倒序相加法；(2)分组求和法；(3)并项求和法；(4)错位相减法；(5)裂 项相消法． 常见的裂项公式： ①nn1＋k＝1k1n－n＋1 k； ②2n－112n＋1＝212n1－1－2n1＋1；
(4)若数列 a1，a2－a1，…，an－an－1 是(n>1，n∈N*)首项为 1，公比为 3 3n－1
的等比数列，则数列{an}的通项公式是 an＝ 2 .( √ )
2．小题热身
(1)数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 an＝nn1＋1，则 S5 等于(
)
A．1 C．16
B．56 D．310