人教版九年级数学--反比例函数分段函数
新人教版九年级数学《分段函数》教案
新人教版九年级数学《分段函数》教案一、教学目标1. 了解分段函数的定义和特点。
2. 能够根据给定的函数图像和定义，确定其函数表达式。
3. 掌握分段函数的图像绘制方法。
4. 能够应用分段函数解决实际问题。
二、教学内容1. 分段函数的概念和定义。
2. 分段函数的图像绘制方法。
3. 分段函数的应用实例。
三、教学重难点1. 学生理解和掌握分段函数的定义和特点。
2. 学生能够根据给定的函数图像和定义确定其函数表达式。
3. 学生能够灵活运用分段函数解决实际问题。
四、教学过程第一节：分段函数的概念和定义教学内容：1. 介绍分段函数的概念和定义。
2. 分析分段函数在数学和实际生活中的应用。
教学步骤：1. 引入分段函数的概念，让学生了解其基本定义。
2. 呈现一些实际问题，引导学生思考如何用分段函数来描述和解决。
3. 给出一些例子，让学生通过观察图像和函数表达式，归纳分析分段函数的特点。
第二节：分段函数的图像绘制方法教学内容：1. 讲解分段函数的图像绘制方法。
2. 给出一些例题和练，巩固学生的图像绘制能力。
教学步骤：1. 介绍如何根据分段函数的定义绘制函数图像。
2. 演示一些例题的图像绘制过程，引导学生掌握方法和技巧。
3. 让学生进行练，检验他们的图像绘制能力。
第三节：分段函数的应用实例教学内容：1. 利用分段函数解决实际问题的应用实例。
2. 培养学生应用数学知识解决实际问题的能力。
教学步骤：1. 提供一些实际问题，让学生思考如何建立并求解相应的分段函数。
2. 引导学生分析问题的关键点和解题思路。
3. 给出一些实际应用实例的解题步骤和方法，让学生进行练。
五、教学评价1. 课堂参与情况和学生的讨论能力。
2. 学生的作业完成情况和正确率。
3. 学生在应用实例解题中的能力表现。
六、教学资源1. 教案和课件。
2. 分段函数的相关练题和题册。
七、拓展延伸1. 学生可以进一步探究其他类型的函数，如绝对值函数和指数函数的分段定义和图像特点。
人教版初三数学：反比例函数(基础)知识讲解
反比例函数（基础）【学习目标】1. 理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式．2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质．3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质．4. 会解决一次函数和反比例函数有关的问题． 【要点梳理】【高清课堂 反比例函数 知识要点】 要点一、反比例函数的定义如果两个变量的每一组对应值的乘积是一个不等于零的常数，那么就说这两个变量成反比例.即xy k =，或表示为ky x=，其中k 是不等于零的常数. 一般地，形如ky x=(k 为常数，0k ≠)的函数称为反比例函数，其中x 是自变量，y 是函数，自变量x 的取值范围是不等于0的一切实数.要点诠释：（1）在k y x =中，自变量x 是分式k x 的分母，当0x =时，分式kx无意义，所以自变量x 的取值范围是，函数y 的取值范围是0y ≠.故函数图象与x 轴、y 轴无交点.（2）k y x =()可以写成()的形式，自变量x 的指数是－1，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一条件.（3）k y x=()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数的比例系数k ，从而得到反比例函数的解析式.要点二、确定反比例函数的关系式确定反比例函数关系式的方法仍是待定系数法，由于反比例函数ky x=中，只有一个待定系数k ，因此只需要知道一对x y 、的对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k 的值，从而确定其解析式.用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： （1）设所求的反比例函数为：ky x=(0k ≠)； （2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入关系式，得到关于待定系数的方程； （3）解方程求出待定系数k 的值；（4）把求得的k 值代回所设的函数关系式ky x= 中. 要点三、反比例函数的图象和性质1、 反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x 轴、y 轴相交，只是无限靠近两坐标轴.要点诠释：（1）若点(a b ，)在反比例函数ky x=的图象上，则点(a b --，)也在此图象上，所以反比例函数的图象关于原点对称； （2）在反比例函数(k 为常数，0k ≠) 中，由于，所以两个分支都无限接近但永远不能达到x 轴和y 轴．2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以O 为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y 值时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序连接，切忌画成折线.注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k 的符号决定的：当0k >时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当0k <时，两支曲线分别位于第二、四象限内． 3、反比例函数的性质（1）如图1，当0k >时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而减小；（2）如图2，当0k <时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 值随x 值的增大而增大； 要点诠释：反比例函数的增减性不是连续的，它的增减性都是在各自的象限内的增减情况，反比例函数的增减性都是由反比例系数k 的符号决定的；反过来，由双曲线所在的位置和函数的增减性，也可以推断出k 的符号. 要点四：反比例函数()中的比例系数k 的几何意义过双曲线x ky =(0k ≠) 上任意一点作x 轴、y 轴的垂线，所得矩形的面积为k . 过双曲线xky =(0k ≠) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为2k.要点诠释：只要函数式已经确定，不论图象上点的位置如何变化，这一点与两坐标轴的垂线和两坐标轴围成的面积始终是不变的. 【典型例题】类型一、反比例函数的定义1、（2014春•惠山区校级期中）下列函数：①y=2x ，②y=，③y=x ﹣1，④y=．其中，是反比例函数的有（ ）.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个 【答案】C ； 【解析】解：①y 是x 正比例函数；②y 是x 反比例函数； ③y 是x 反比例函数； ④y 是x+1的反比例函数． 故选：C ． 【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，重点是将一般(0ky k x=≠）转化为y=kx ﹣1（k≠0）的形式．类型二、确定反比例函数的解析式2、（2016春•大庆期末）已知y 与x 成反比例，且当x=﹣3时，y=4，则当x=6时，y 的值为 ．【思路点拨】根据待定系数法，可得反比例函数，根据自变量与函数值的对应关系，可得答案．【答案】﹣2． 【解析】解：设反比例函数为y=， 当x=﹣3，y=4时，4=，解得k=﹣12．反比例函数为y=． 当x=6时，y=﹣2，故答案为：﹣2．【总结升华】本题考查了反比例函数的定义，利用待定系数法求函数解析式是解题关键． 举一反三：【变式】已知y 与x 成反比，且当6x =-时，4y =，则当2x =时，y 值为多少？ 【答案】 解：设ky x =，当6x =-时，4y =， 所以46k=-，则k ＝－24，所以有24y x-=．当2x =时，24122y -==-．类型三、反比例函数的图象和性质3、在函数21a y x--=（a 为常数）的图象上有三点(11x y ，)，(22x y ，)，(33x y ，)，且1230x x x <<<，则123y y y ，，的大小关系是（ ）．A ．231y y y <<B ．321y y y <<C ．123y y y <<D ．312y y y << 【答案】D ；【解析】解：因为221(1)0k a a =--=-+<，所以函数图象在第二、四象限内，且在第二、四象限内，y 随x 的增大而增大．因为12x x <，所以12y y <．因为33(,)x y 在第四象限，而11(,)x y ，22(,)x y 在第二象限，所以31y y <．所以312y y y <<．【总结升华】已知反比例函数ky x=，当k ＞0，x ＞0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＞0；当k ＞0，x ＜0时，y 随x 的增大而减小，需要强调的是x ＜0．这里不能说成当k ＞0，y 随x 的增大而减小．例如函数2y x=，当x ＝－1时，y ＝－2，当x ＝1时，y ＝2，自变量由－1到1，函数值y 由－2到2，增大了．所以，只能说：当k ＞0时，在第一象限内，y 随x 的增大而减小． 举一反三：【变式1】已知2(3)m y m x-=-的图象是双曲线，且在第二、四象限，(1)求m 的值．(2)若点(－2，1y )、(－1，2y )、(1，3y )都在双曲线上，试比较1y 、2y 、3y 的大小． 【答案】解：(1)由已知条件可知：此函数为反比例函数，且2130m m -=-⎧⎨-≠⎩，∴ 1m =.(2)由(1)得此函数解析式为：2y x=-． ∵ (－2，1y )、(－1，2y )在第二象限，－2＜－1，∴ 120y y <<． 而(1，3y )在第四象限，30y <． ∴ 312y y y <<【高清课堂 反比例函数 例5】【变式2】（2014秋•娄底月考）对于函数y=，下列说法错误的是（ ） A. 它的图象分布在一、三象限； B. 它的图象与坐标轴没有交点；C. 它的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形；D. 当x ＜0时，y 的值随x 的增大而增大. 【答案】D ；解：A 、k=2＞0，图象位于一、三象限，正确；B 、因为x 、y 均不能为0，所以它的图象与坐标轴没有交点，正确；C 、它的图象关于y=﹣x 成轴对称，关于原点成中心对称，正确；D ，当x ＜0时，y 的值随x 的增大而减小， 故选：D ．类型四、反比例函数综合4、已知点A(0，2)和点B(0，－2)，点P 在函数1y x=-的图象上，如果△PAB 的面积是6，求P 点的坐标．【思路点拨】由已知的点A 、B 的坐标，可求得AB ＝4，再由△PAB 的面积是6，可知P 点到y 轴的距离为3，因此可求P 的横坐标为±3，由于点P 在1y x=-的图象上，则由横坐标为±3可求其纵坐标． 【答案与解析】解：如图所示，不妨设点P 的坐标为00(,)x y ，过P 作PC ⊥y 轴于点C ．∵ A(0，2)、B(0，－2)， ∴ AB ＝4．又∵ 0||PC x =且6PAB S =△，∴01||462x =，∴ 0||3x =，∴ 03x =±． 又∵ 00(,)P x y 在曲线1y x =-上，∴ 当03x =时，013y =-；当03x =-时，013y =．∴ P 的坐标为113,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭或213,3P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【总结升华】通过三角形面积建立关于0x 的方程求解，同时在直角坐标系中，点到坐标轴的距离等于相应坐标的绝对值．举一反三：【变式】已知：如图所示，反比例函数ky x=的图象与正比例函数y mx =的图象交于A 、B ，作AC ⊥y 轴于C ，连BC ，则△ABC 的面积为3，求反比例函数的解析式．【答案】解：由双曲线与正比例函数y mx =的对称性可知AO ＝OB ，则1322AOC ABC S S ==△△． 设A 点坐标为(A x ，A y )，而AC ＝|A x |，OC ＝|A y |， 于是1113||||2222AOC A A A A S AC OC x y x y ===-=△， ∴ 3AA x y =-，而由A Aky x =得A A x y k =，所以3k =-，所以反比例函数解析式为3y x-=．附录资料：弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图—知识讲解（基础）【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n °的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3. 能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式 半径为R 的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： n °的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R 为弧所在圆的半径； (3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式 1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 半径为R 的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： n °的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S 、扇形半径R 、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. (3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆；(4)扇形两个面积公式之间的联系：.要点三、圆锥的侧面积和全面积连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r ，侧面展开图中的扇形圆心角为n °，则圆锥的侧面积2360l S rl ππ=扇n =， 圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1．如图（1），AB 切⊙O 于点B ，OA=23，AB=3，弦BC∥OA，则劣弧BC 的弧长为（ ）． A ．33π B ．32πC ．πD ．32π图（1） 【答案】A.【解析】连结OB 、OC ，如图（2）则0OBA ∠︒＝9，OB=3，0A ∠︒＝3，0AOB ∠︒＝6， 由弦BC ∥OA 得60OBC AOB ∠∠=︒＝， 所以△OBC 为等边三角形，0BOC ∠︒＝6.CBAO则劣弧BC的弧长为6033=1803ππ，故选A. 图（2）【总结升华】主要考查弧长公式：.举一反三：【变式】制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，•试计算如图所示的管道的展直长度，即的长(结果精确到0.1mm)【答案】R=40mm，n=110∴的长==≈76.8(mm)因此，管道的展直长度约为76.8mm．【高清ID号：359387 高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】2．如图，⊙O的半径等于1，弦AB和半径OC互相平分于点M.求扇形OACB的面积（结果保留π）【答案与解析】∵弦AB和半径OC互相平分，∴OC⊥AB，OM=MC=OC=OA．∴∠B=∠A=30°，∴∠AOB=120°∴S扇形=．【总结升华】运用了垂径定理的推论，考查扇形面积计算公式.举一反三：【高清ID号：359387 高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题1-2】 【变式】如图（1），在△ABC 中，BC=4，以点A 为圆心，2为半径的⊙A 与BC 相切于点D ，交AB 于E ，交AC 于F ，点P 是⊙A 上的一点，且∠EPF=40°，则图中阴影部分的面积是（ ）．A ．449-π B ．849-πC ．489-πD ．889-π图（1）【答案】连结AD ，则AD ⊥BC ，△ABC 的面积是：BC•AD=×4×2=4， ∠A=2∠EPF=80°．则扇形EAF 的面积是：28028=.3609ππ⨯故阴影部分的面积=△ABC 的面积-扇形EAF 的面积=84-9π． 图（2） 故选B ．类型二、圆锥面积的计算3．（2014秋•广东期末）如图，一个圆锥的高为cm ，侧面展开图是半圆，求：（1）圆锥的底面半径r 与母线R 之比； （2）圆锥的全面积．A EB DC F P【思路点拨】（1）设出圆锥的底面半径及圆锥的母线长，利用底面周长等于圆锥的弧长得到圆锥的母线与底面的半径之比即可；（2）首先求得圆锥的底面半径和圆锥的母线长，然后利用圆锥的侧面积的计算方法求得其侧面积即可．【答案与解析】解：（1）由题意可知∴，R=2r（3分）r：R=r：2r=1：2；（2）在Rt△AOC中，∵R2=r2+h2∴，4r2=r2+27r2=9，r=±3∵r＞0∴r=3，R=6.∴S侧=πRr=18π（cm2）（cm2）∴S全=S侧+S底=18π+9π=27π（cm2）．【总结升华】本题考查了圆锥的计算，解题的关键是牢记有关的公式．类型三、组合图形面积的计算4．（2015•槐荫区三模）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，∠CDB=30°，CD=2，求图中阴影部分的面积．【答案与解析】解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE=．∵∠CDB=30°，∴∠COE=60°，在Rt△OEC中，OC==2，∵CE=DE，∠COE=∠DBE=60°∴Rt△COE≌Rt△DBE，∴S阴影=S扇形OBC=π×OC2=π×4=π．【总结升华】本题考查了垂径定理，扇形的面积等，解此题的关键是求出扇形和三角形的面积．。
九年级反比例函数知识点
九年级反比例函数知识点反比例函数是数学中的一种特殊函数类型，它的图像呈现出一条直线，并且函数的定义域和值域都不包括零。
在九年级学习数学的过程中，反比例函数是一个重要的知识点。
本文将为大家介绍九年级反比例函数的相关知识。
一、反比例函数的定义与特征反比例函数是指当自变量x变大时，函数值y变小；当自变量x变小时，函数值y变大。
可以简单地用以下形式表示：y = k/x，其中k为一个常数。
反比例函数的定义域是除了x=0之外的所有实数。
反比例函数的图像为一条直线，并且经过第一象限和第三象限的两个点：(1, k)和(-1, -k)。
这条直线的渐进线是x轴和y轴，即当x趋近于正无穷或者负无穷时，函数值y趋近于零。
二、反比例函数的性质与运算1. 曲线的平移：若y = k/x关于y轴平移h个单位，则函数变为y = k/(x - h)。
2. 曲线的伸缩：若y = k/x的k值乘以a，则函数变为y = ak/x。
当a>1时，图像在x轴方向上被压缩；当0<a<1时，图像在x轴方向上被展开。
3. 曲线的关于y轴的对称：若y = k/x关于y轴对称，则函数变为y = -k/x。
4. 曲线的关于x轴的对称：若y = k/x关于x轴对称，则函数变为y = -k/x。
三、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中具有广泛的应用，下面以几个例子来说明：1. 比例尺：地图上的比例尺就是一个反比例函数。
比如地图上标注1cm代表的实际距离为1km，这个比例尺可以表示为y = 1/x。
2. 速度与时间：当一辆车以恒定的速度行驶时，车辆的速度与时间呈现出反比例关系。
速度越大，所用的时间越短，可以用反比例函数来表示。
3. 某商品的价格与销售数量：在市场中，某商品的价格与销售数量通常是呈反比例关系的。
价格越高，销售数量越小，可以用反比例函数来描述。
四、反比例函数的图像与解析式反比例函数的图像为一条直线，并且经过第一象限和第三象限的两个点：(1, k)和(-1, -k)。
人教版九年级数学下册反比例函数反比例函数的图象和性质
3. 函数 y 30 的图象在第_二__、___四__象限, x
在每一象限内，y 随x 的增大而___增__大____.
4.函数 y ,当x>0时,图象在第__一__象限,
x
y随x的增大而__减___小____.
课堂小测
5.若关于x,y的函数 y k＋1 的图象位于第一、三象限， x
围是x≠0，怎样取值比较恰当呢？
函数图象画法：描点法 1、列表； 2、描点； 3、连线.
1向多际1应12对3便、2、 、、的越情1个2注称于多在、、自自自情能况值意；计少不自取变变变况反，为：算值知变什值量量量下映但宜和?道量么时xxx，图一为.描≠的的图x?要0取象般需什点取取；象注点的取要么值值.走意越实8取?要要-
y 4 … x
1 2
1
4 3
2
4
8…
-8
-4
-2
4 3
-1
1 2
...
2．描点： 以表中各组对应值作为点的坐标,在直角坐标系 内描出相应的点.
3．连线： 用光滑的曲线顺次连接各点,就可得到图象.
新知探究
y .8
7 6
5
.4
y = —-x4 ．
．． .
3 2 1
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1O -1
1 2 ．3 4. 5 6 7 .8
x
-2 .
-3 -4
．
-5
-6
-7 -8
．
新知探究
y
y8 xy8 xoxyy3 x
y3 x
o
x
１、这几个函数图象有什么共同点？ 都是双曲线. ２、函数图象分别位于哪几个象限？ 图象分别位于一、三象限或二、四象限. ３、y随x的变化有怎样的变化？ 一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小.
人教版九年级数学反比例函数知识点归纳
例如，在矩形面积一定的情况下，长与宽成反比。
工程技术和科学研究领域应用举例
电路设计
在电子工程中，电阻、电容等元 件的参数之间往往存在反比关系 。利用反比例函数可以优化电路
设计，提高电路性能。
经济学研究
在经济学中，价格与需求之间通 常存在反比关系。价格越高，需 求量越低；反之亦然。反比例函
数可用于描述这种经济现象。
转化思想
将复杂问题转化为简单问题，如将非标准形式的一元二次方程转化为 标准形式，再利用反比例函数的性质进行求解。
05
拓展延伸：反比例函数在 高等数学中地位和作用
高等数学中反比例函数概念引入
01
在高等数学中，反比例函数 作为一种基本的函数类型被 引入，它描述了两个变量之
间的反比关系。
02
反比例函数的一般形式为 y=k/x（k≠0），其中k是常
一元二次方程求解方法回顾
01
配方法
通过配方将一元二次方程转化 为完全平方形式，进而求解。
02
公式法
利用一元二次方程的求根公式 进行求解。
03
因式分解法
将一元二次方程进行因式分解 ，得到两个一元一次方程，分
别求解。
反比例函数在一元二次方程中应用
01
02
03
判别式应用
利用反比例函数的性质， 判断一元二次方程的根的 情况，如判别式的正负等 。
物理学应用
在物理学中，许多物理量之间存 在反比关系。例如，万有引力定 律中两物体之间的引力与它们质 量的乘积成正比，与它们距离的
平方成反比。
跨学科综合问题挑战
环境科学
在研究环境污染问题时，污染物的排放量与治理成本之间 往往存在反比关系。利用反比例函数可以制定合理的治理 方案，实现经济效益和环境效益的平衡。
反比例函数 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
－2
－4
4
2
4 3
1
y＝－4 1 x
4 3
2
4
－4
－2
－
4 3
－1
描点、连线，如图 D54.
图 D54 (1)其两个分支关于原点对称． (2)在同一坐标系中，反比例函数 y＝4x与 y＝－4x的图象关于 x 轴对称，也关于 y 轴对称．
画图象时注意：①双曲线的两支是断开的， 因为 x≠0；②双曲线的两端呈“无限接近坐标轴”但永远不与 坐标轴相交；③一般分别在每支曲线上取四到五个点，取的点 越多，图象越精确．
知识点 1 反比例函数的定义 【例 1】判别下列式子是否表示 y 是关于 x 的反比例函数？ 如果是，请指出相应的 k 值是多少？ ①y＝4x；②y＝－5x；③y＝6x＋1；④yx＝3； ⑤xy＝123；⑥y＝－kx；⑦y＝－x；⑧y＝πx； ⑨y＝3x－1.
思路点拨：根据定义进行判断． 解：②⑤⑨是反比例函数，k 值分别为－5,123,3.
第2课时 反比例函数的图象和性质
1．反比例函数的图象 探究：y＝kx(k≠0)可变形为 k＝______x_y___.
(1)当 k>0 时，由于___x_y__得正，因此可以判断 x，y 的符号 ___相__同___，所以点(x，y)在__第__一__或__第__三__象限，所以函数图象位 于___一__、__三___象限．
知识点 1 反比例函数的图象及画法(重点) 【例 1】在同一坐标系中画出反比例函数 y＝4x与 y＝－4x的 图象． (1)函数 y＝4x图象的两个分支存在什么关系； (2)y＝4x与 y＝－4x的图象存在什么样的关系？
思路点拨： 列表 ―→ 描点 ―→ 连线 解：列表：
人教版九年级下册数学《反比例函数》反比例函数PPT教学课件
思考 下列问题中，变量间的对应关系可以用怎样的函数关系表示？
思考
由上面的问题我们得到这样的三个函数
上面的函数解析式形式上有什么的共同点？
反比例函数的定义 一般地，形如
这里的k叫做 比例系数
（k为常数，k≠0）的函数，
叫做反比例函数．自变量 x 是分式 的分母，不能为0
其中x是__自__变__量____，y是__函__数_____．
(2)当
时，求 y 的值；y=-8
(3)当
时，求 x 的值．x=-4
y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值．
x
y
2
4
-4
-2
(1)完成上表； (2)写出这个反比例函数的解析式．
【解析】∵ y是x的反比例函数，
2
-6
C
A．（-2，-4） C．（-6，1）
B．（2，3）
总结：反比例函数图象上的点横纵坐标乘积等于k．
9．如图，反比例函数y＝
k x
的图象经过点M，矩形
OAMB的面积为4，则此反比例函数的解析
式为__y＝__-__4_x___．
第9题图
重难点精讲优练
类型 1 反比例函数图象与性质 练习1 已知函数y＝ m 的图象如图所示，以下结论：①
x m<0；②在每个分支上，y随x的增大而增大；③若点A(－ 1，a)、点B(2，b)在图象上，则a<b；④若点 A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
－4k＋b＝2
k＝－1
∴
，解得
，
2k＋b＝－4
b＝－2
∴一次函数的解析式为y＝－x－2；
(2)∵C是直线AB与x轴的交点，
∴当y＝0时，x＝－2，
数学人教版九年级下册函数解析式
函数解析式（Analytic function）函数解析式与函数式相类似都是求出函数x与y的函数关系。
在一次函数中就是求K 值也就是它俩的关系。
常用函数的解析式:一次函数y=kx+b正比例函数（也是特殊的一次函数）y=kx反比例函数y=k/x二次函数y=a*x^2+b*x+c注意：通俗地讲，函数反映的是两个变量直接的（变化）关系，严格地说，函数是两个数集之间的一种对应关系（映射）。
而“规律”首先是一个（真）“命题”，而“命题”，在逻辑学指表达判断的语言形式，由系词把主词和宾词联系而成。
例如：‘北京是中国的首都’，这个句子就是一个命题。
在现代哲学、逻辑学、语言学中，命题是指一个判断（陈述）的语义（实际表达的概念），这个概念是可以被定义并观察的现象。
命题不是指判断（陈述）本身。
更进一步，“规律”是事物、现象和过程内在的、本质的必然的联系。
定律(Laws) 研究宇宙间不变的事实规律所归纳出的结论，不同于理论、假设、定义、定理，是对客观事实的一种表达形式，通过大量具体的客观事实经验累积归纳而成的结论。
与“函数”概念相去甚远，不应混淆。
另外，函数的“表达式”最好不要笼统的称为为“解析式”。
因为很多函数并不解析（解析的概念在大学“复变函数”等课程中学习），为避免误用，最好成为“表达式”，这样更为妥当。
2构成编辑主要有两部分构成：1、表达式；2、自变量的表达范围。
例如：（1）y=2x-5(x>0) (2)y=2x-5(-3我们默认在实数范围内讨论，下同）；（4）的自变量范围是：x>=2.5；（5）·的自变量范围是：x≠2.5。
3概念思路编辑解释函数概念；函数就是根据运算规则，“算式中最少有两个互相影响的数值”，这两个数值称为(变量)。
其中一个是“自变量”（X），为什么叫“自变量”呢？因为这个数值可控，我们通过改变它来改变另一个变量（Y），另一个变量（Y）由于是受这个自变量（X）改变而得到的，所以另一个变量(Y)称为这个自变量(X)的函数（在初中旧版教材中称Y为因变量）！为什么叫“函数”？看这个词的构成，“函”的意思是什么？“函是不相隶属机关之间相互商洽工作、询问和答复问题”这个解释正好又能解释到“映射”，“不相隶属机关”就是指这两个变量，它们两个之间相互工作，相互影响。
人教版初中数学复习--反比例函数知识点
人教版九年级——反比例函数课题反比例函数日期2016 年 11 月 6 日课型1对1 指导老师时间点分至点分一．【知识要点】知识点 1反比例函数的定义重点;理解k一般地,形如y = k (k为常数,k≠0)的函数称为反比例函数,其中x是自变量,y是函数,自变x量x的取值范围是不等于0 的一切实数, y的取值范围也是不等于0 的一切实数, k叫做比例系数,另外,反比例函数的关系式也可写成y=kx-1的形式.ky是x的反比例函数y = k (k≠0) xy=k(k≠0) 变量y与x成反比例,比例系数为xk.k注意： (1)在反比例函数y = k (k≠0)的左边是函数y,右边是分母为自变量x的分式,也就是x1 32 说,分母不能是多项式,只能是x的一次单项式,如y = 1,y= 3等都是反比例函数,但y = 2x 1 x x+12就不是关于x的反比例函数.(2)反比例函数可以理解为两个变量的乘积是一个不为0 的常数,因此可以写成y=kx-1或xy=k的形式.(3)反比例函数中,两个变量成反比例关系.知识点 2用待定系数法确定反比例函数的表达式难点:运用k由于反比例函数y = k中只有一个待定系数,因此只要有一对对应的x,y值,或已知其图x象上一点坐标,即可求出k,从而确定反比例函数的表达式.其一般步骤:(1)设反比例函数关系式y = k (k≠0).kx(2)把已知条件(自变量和函数的对应值)代入关系式,得出关于k的方程.(3)解方程,求出待定系数k的值.(4)将待定系数k的值代回所设的关系式,即得所求的反比例函数关系式.知识点 3 反比例函数图象的画法难点;运用反比例函数图象的画法是描点法,其步骤如下:(1)列表:自变量的限值应以0为中心点,沿0的两边取三对(或三对以上)相反数,分别计算y 的值 .(2)描点:先描出一侧,另一侧可根据中心对称的性质去找.(3)连线:按从左到右的顺序用平滑的曲线连接各点,双曲线的两个分支是断开的,延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势,但永远不能与坐标轴相交.说明:在图象上注明函数的关系式.拓展(1)反比例函数的图象是双曲线,它有两个分支,它的两个分支是断开的.(2)当k>0 时,两个分支位于第一、三象限；当k﹤0 时，两个分支位于第二、四象限.k(3)反比例函数y = k (k≠0)的图象的两个分支关于原点对称.x(4)反比例函数的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交，这是因为x≠0，y≠0.ky=知识点4反比例函数x(k≠0)的性质难点；灵活应用k(1)如图17-2 所示，反比例函数的图象是双曲线，反比例函数y = k的图象是由两支曲x线组成的.当k>0 时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当k<0时，两支曲线分别位于第二、四象限内。
人教版数学中考知识点梳理-反比例函数
第11讲反比例函数的图象和性质漂市一中钱少锋一、知识清单梳理知识点一：反比例函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.反比例函数的概念（1）定义：形如y＝kx(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．（2）形式：反比例函数有以下三种基本形式：①y＝kx；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)例：函数y=3xm+1，当m=－2时，则该函数是反比例函数．2.反比例函数的图象和性质k的符号图象经过象限y随x变化的情况（1）判断点是否在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看是否满足其解析式；②把点的横、纵坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警示（2）反比例函数值大小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.k>0 图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k<0 图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和例：若(a，b)在反比例函数kyx的图象上，则(－a，－b)在该函数图象上.(填“在"、"不在")二、四象限的角平分线．4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（－3，－1），则它的解析式是y=3/x.知识点二：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y＝kx(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：3yx=或3yx=-.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴部分的面积按从小到大的顺序排列为：S△AOC=S△OPE＞S△BOD.知识点三：反比例函数的实际应用【素材积累】1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。
九年级数学复习：初中分段函数总结
初中分段函数知识点总结分段函数的定义对于同一函数关系,当自变量的取值范围不同,函数的关系式也不相同时,这样的函数称为分段函数.如绝对值函数xy=就是分段函数,它可以写成()()⎩⎨⎧<-≥=xxxxy的形式,其图象如下图所示,为一条折线.图（1）绝对值函数的图象注意:（1）分段函数是同一个函数,不是多个函数.（2）求分段函数的关系式时,应在每个关系式的后面注明相应的自变量的取值范围.（3）求分段函数的函数值时,应看自变量的值在哪个取值范围内,然后代入相应的关系式求值.求分段函数的函数值求分段函数的函数值的方法是:先确定自变量的值在哪一段自变量的取值范围内,然后代入该段的解析式求值.例1. 若函数()()⎩⎨⎧<≥+=412xxxxy,则当2=x时,函数y的值是【】（A）5 （B）6 （C）7 （D）8分析:这是关于分段函数的问题.因为2=x在x≥0的范围之内,所以对应的函数值应把2=x 代入函数关系式12+=x y 求得.解: ∵02>∴当2=x 时,5122=+⨯=y .故选【 A 】.已知分段函数的函数值,求自变量的值.方法是:先假设函数值在分段函数的各段上取得,解关于自变量的方程,求出各段上自变量的值.注意:所求出的自变量的值应在相应的各段函数自变量的取值范围内,不在的应舍去.例2. 若函数()()⎩⎨⎧>≤+=22222x x x x y ,则当8=y 时,自变量x 的值是 【 】 （A ）6± （B ）4 （C ）6±或4 （D ）4或6- 分析:注意分类讨论以及自变量相应的取值范围.解:当x ≤2时,822=+x ,解之得:6-=x （6=x 舍去）;当2>x 时,82=x ,解之得:4=x .综上所述,自变量x 的值是4或6-,故选【 D 】.分段函数的应用票价问题例3. 某风景区集体门票的收费标准是20人以内（含20人）,每人25元;超过20人,超过的部分每人10元.（1）写出应收门票费y （元）与游览人数x （人）之间的函数关系式;（2）利用（1）中的函数关系式,计算某班54名学生去该风景区游览时,购门票共花了多少元.分析:（1）,这是分段函数,分两种情况讨论:x ≤20,20>x ;（2）求出函数关系式后,根据自变量的取值范围把54=x 代入相应的函数关系式求值即可.解:（1）()()()⎩⎨⎧>-+⨯≤=20201020252025x x x x y整理得:()()⎩⎨⎧>+≤=20300102025x x x x y ; （2）∵2054>=x8403005410=+⨯=y （元）.答:购门票共花了840元.出租车计费问题习题1. 某市出租车的计费标准如下:行驶路程不超过3千米,收费8元;行驶路程超过3千米的部分按每千米1. 6元计算,则该市出租车收费y （元）与行驶路程x （千米）()3>x 之间的函数关系式为____________;若某人一次乘出租车时,付费14. 4元,则他这次乘坐了_________千米的路程.分析:本题中,若无条件3>x 的限制,则y 与x 之间的函数关系式为___________. 邮资问题习题 2. 小李从西安通过某快递公司给在南昌的外婆寄一盒樱桃,快递时,他了解到这个公司除了收取每次6元包装费外,樱桃不超过1 kg 收费22元;超过1 kg,则超出部分按每千克10元加收费用.设该公司从西安到南昌快寄樱桃的费用为y （元）,所寄樱桃为x （kg ）.（1）求y 与x 之间的函数关系式;（2）已知小李给外婆快寄了2. 5 kg 樱桃,请你求出这次快寄的费用是多少元.习题3. 某实验中学组织学生到距学校6 km 的光明科技馆去参观,学生王琳因有事没能乘上学校的校车,于是准备在学校门口改乘出租车去光明科技馆,出租车的收费标准如下: 路程费用 3 km 以下（含3 km ）8. 00元 3 km 以上,每增加1 km 1. 80元（1）写出出租车行驶的路程x （km ）（x ≥3且x 为整数）与费用y （元）之间的函数关系式;（2）王琳身上仅有14元,乘出租车到光明科技馆的车费够不够?请说明理由.习题4. 如图,根据所示程序计算,若输入3=x ,则输出结果为_________.分析:根据自变量的值,读懂程序图,选择正确的函数关系式进行计算.习题5. 已知函数()()⎩⎨⎧>-≤+=02012x x x x y ,若10=y ,则=x _________.。
人教版九年级数学反比例函数知识点归纳
人教版九年级数学反比例函数知识点归纳一、知识结构二、研究目标1.理解和掌握反比例函数的概念，能根据实际问题确定反比例函数的解析式，以及判断一个函数是否为反比例函数。
2.能够描点画出反比例函数的图像，使用代入系数法求解反比例函数的解析式，并进一步理解函数的三种表示方法：列表法、解析式法和图像法的特点。
3.能够分析反比例函数的函数关系和性质，以及利用这些性质解决一些简单的实际问题。
4.能够在实际问题中找出常量和变量，建立并表示函数模型，讨论函数模型，并解决实际问题，体会函数是刻画现实世界中变化规律的重要数学模型。
5.进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观点，以及认识数形结合的思想方法。
三、重点难点1.重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图像及其性质的理解、掌握和运用。
2.难点是反比例函数及其图像的性质的理解和掌握。
二、基础知识一、反比例函数的概念1.y=k/x，其中k为常数，x≠0.2.xy=k，可以迅速求出反比例函数的解析式中的k，从而得到反比例函数的解析式。
3.反比例函数的图像与x轴、y轴无交点，因为x≠0.二、反比例函数的图像1.在使用描点法画反比例函数的图像时，应注意自变量x 的取值不能为0，且x应对称取点（关于原点对称）。
2.自变量的取值范围为x≠0.3.反比例函数的图像为双曲线。
三、反比例函数及其图像的性质1.函数解析式为y=k/x。
2.反比例函数的图像的两支分别位于一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
3.反比例函数的图像的两支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
4.反比例函数的图像关于原点对称。
5.反比例函数的图像与坐标轴没有交点，称两条坐标轴是双曲线的渐近线。
6.k的几何意义为反比例函数的图像与y=kx的直线的交点的y坐标。
反比例函数知识点归纳和典型例题一、知识结构二、研究目标1.理解和掌握反比例函数的概念，能根据实际问题确定反比例函数的解析式，以及判断一个函数是否为反比例函数。
人教版数学九年级下册反比例函数教学精品课件PPT
•
4、让学生有个整体感知的过程。虽然 这节课 只教学 做好事 的部分 ，但是 在研读 之前我 让学生 找出风 娃娃做 的事情 ，进行 板书， 区分好 事和坏 事，这 样让学 生能了 解课文 大概的 资料。
•
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
人 教 版 数 学 九年级 下册-2 6.1.1反 比例函 数教学 课件
26.1.1 反比例函数
人 教 版 数 学 九年级 下册-2 6.1.1反 比例函 数教学 课件
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温故知新
1.正比例函数的一般形式是 y = kx ,( K ≠0 )
•
2、人物作为支撑影片的基本骨架，在 影片中 发挥着 不可替 代的作 用，也 是影片 的灵魂 ，阿甘 是影片 中的主 人公， 是支撑 起整个 故事的 重要人 物，也 是给人 最大启 示的人 物。
•
3、在生命的每一个阶段，阿甘的心中 只有一 个目标 在指引 着他， 他也只 为此而 踏实地 、不懈 地、坚 定地奋 斗，直 到这一 目标的 完成， 又或是 新的目 标的出 现。
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人 教 版 数 学 九年级 下册-2 6.1.1反 比例函 数教学 课件
人 教 版 数 学 九年级 下册-2 6.1.1反 比例函 数教学 课件
课堂小结
1、形如 y =
k x
（k为常数，k≠0） 的函数，称
为反比例函数，其中x是自变量，y是函数。
2、反比例函数得三种表现形式：
① y=
专题：含反比例函数的分段函数
26.26(1)专题：含反比例函数的分段函数
一．【知识要点】
1.含反比例函数的分段函数
二．【经典例题】
1．绵电科技有限公司用160万元，作为新产品的研发费用，成功研制出了一种市场急需的电子产品，已于当年投入生产并进行销售。
已知生产这种电子产品的成本为4元/件，在销售过程中发现：每年的年销售量y (万件)与销售价格x（元/件）的关系如图所示，其中AB 为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分。
设公司销售这种电子产品的年利润为Z（万元）。
（注：若上一年盈利，则盈利不计入下一年的年利润；若上一年亏损，则亏损计作下一年的成本。
）
（1）请求出y(万件)与x(元/件)之间的函数关系式。
（2）求出第一年这种电子产品的年利润Z（万元）与x（元/件）之间的函数关系式，并求出第一年年利润的最大值。
（3）假设公司的这种电子产品第一年恰好按年利润Z（万元）取得最大值时进行销售，现根据第一年的盈亏情况，决定第二年将这种电子产品每件的销售价格x（元）定在8元以上（x>8），当第二年的年利润不低于103万元时，请结合年利润Z（万元）与销售价格x（元/件）的函数示意图，求销售价格x（元/件）的取值范围。
三．【题库】
【A】
【B】
【C】
【D】
1。
九年级数学下册《反比例函数》知识点人教版
九年级数学下册《反比例函数》知识点人教版九年级数学下册《反比例函数》知识点人教版知识点一、反比例函数的概念形如 y=k/x(k为常数且k≠0) 的函数，叫做反比例函数。
反比例函数属于奇函数，有f(-x)=-f(x),图像关于原点对称。
反比例函数的解析式可以得出，在反比例函数的图像上任取一点，向两个坐标轴作垂线，这点、两个垂足及原点所围成的矩形面积是定值，为∣k∣。
反比例函数的图像为双曲线。
二、反比例函数的性质函数y=k/x 称为反比例函数，其中k≠0，其中X是自变量，1.当k0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，y随x的增大而减小;当k0时，图象分别位于二、四象限，同一个象限内,y随x的增大而增大。
2.k0时，函数在x0上同为减函数、在x0上同为减函数;k0时，函数在x0上为增函数、在x0上同为增函数。
3.x的取值范围是：x≠0;y的取值范围是：y≠0。
4..因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y 轴相交。
但随着x无限增大或是无限减少，函数值无限趋近于0，故图像无限接近于x轴5. 反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴 y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。
课后习题1.已知点P(1，-3)在反比例函数y=kx(k≠0)的图象上，则k的值是( )A.3B.-3C.13D.-132.对于反比例函数y=3x，下列说法正确的是( )A.图象经过点(1，-3)B.图象在第二、四象限C.x0时，y随x的增大而增大D.x0时，y随x增大而减小3.在同一直角坐标系下，直线y=x+1与双曲线y=1x的交点的个数为( )A.0个B.1个C.2个D.不能确定4.已知反比例函数y=bx(b为常数)，当x0时，y随x的增大而增大，则一次函数y=x+b的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案：1.B2.D3.C4.B。
反比例函数九年级知识点
反比例函数九年级知识点反比例函数是初中数学中的一个重要知识点。
在九年级学完正比例函数后，学生通常会在课堂上接触到反比例函数的概念和性质。
接下来，我们将深入探讨反比例函数及其应用。
一、反比例函数的定义反比例函数是指函数中的两个变量之间存在着一种特殊的关系：当一个变量的值增大时，另一个变量的值就会减小，反之亦然。
其数学表达形式为 y = k / x，其中 k 是比例常数，而 x 和 y 分别表示自变量和因变量。
二、反比例函数的性质1. 定义域和值域对于反比例函数 y = k / x，自变量x 可以取任意不为0的实数，因变量 y 的值域为全体实数。
2. 对称中心反比例函数的图像关于第一象限、第二象限、第三象限和第四象限的坐标轴有对称性，且交点为(1, k)。
3. 单调性当自变量 x 变大时，因变量 y 逐渐减小；当自变量 x 变小时，因变量 y 逐渐增大。
因此，反比例函数是单调函数。
4. 渐近线对于反比例函数 y = k / x，当自变量 x 趋于正无穷大或负无穷大时，因变量 y 趋于0。
因此，反比例函数的图像与 x 轴和 y 轴分别有两条渐近线。
三、反比例函数的图像反比例函数的图像呈现出一条平面上的双曲线。
根据反比例函数的性质，我们可以知道，当自变量取较小的正数时，函数的值较大；当自变量取较大的正数时，函数的值较小。
图像的左侧和右侧都逐渐靠近 x 轴，说明函数值趋于无穷大。
而当自变量 x 离 0 越远时，函数值越接近于 0。
四、反比例函数的应用反比例函数广泛应用于各个领域，如物理学、经济学和生物学等。
以下是几个常见的应用示例：1. 电阻和电流欧姆定律规定电阻大小与通过电流的大小成反比例关系。
当电流增大时，电阻减小，反之亦然。
这种关系可以用反比例函数来描述。
2. 速度和时间在实际的物理运动中，速度与所用时间成反比例关系。
当速度增大时，所用时间减小，反之亦然。
反比例函数可以用来描述运动物体在不同速度下所用的时间。
人教版九年级数学反比例函数知识点归纳完整版
（2）已知一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，则函数
ab
匚的图象位于笫象限・
（五十八）
k
y =—,∩
（3）若反比例函数兀经过点（-1, 2）,则一次函数IX =一怎+2
的图象一定不经过第象限.
（五十九）
a y = -
（4）已知a∙b<O,λ1aPG b）在反比例函数兀的图象上，
（十七）
（二）反比例函数的图象
（十八）
y=~
在用描点法画反比例函数X的图象时，应注意自变量X的取值不能
为0,且〉
〈应对称取点（关于原点对称）.
（十九）
（三）反比例函数及其图象的性质
（二十）
k
y ——
1.函数解析式：X（玄学0）
（•二十一）2.自变量的取值范馬1：
（二十二）3.图象：
（二十三）（1）图象的形状：双曲线.
（八）5.进一步理解常量与变量的辨证关系和反映在函数概念中的运动变化观 点，进一步认识数形结合的思想方法.
（九）（三）重点难点
（十）1.重点是反比例函数的概念的理解和掌握，反比例函数的图象及其性质
的理解、掌握和运用.
（十一）2.难点是反比例函数及其图象的性质的理解和掌握•
（十二）二、基础知识
（十三）（一）反比例函数的概念
（七十二）A.正数
负数
B.负数
C∙非正数
D.非
（七十三）
（2）在函数>HG为常数）的图象上有三个点（T，川，
⅛,“），则函数值M、乃、乃的大小关系是（）.
（七十四）
A.乃<乃VHB.C. HV乃<乃
D. ^<Λ<Λ
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例2 实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒 后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫 升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数 y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小 k 时）y与x可近似地用反比例函数 y = x (k > 0) 刻画 （如图所示）．
（1）根据上述数学模型计算： ①喝酒后几时血液中的酒精含 量达到最大值？最大值为多少？ ②求反比例函数的解析式；
x
y=
.
E
4 2 变式2：如图，两个反比例函数 y = x 和 y = x
在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上， PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则S△POB=_______ ． 1
例4：给出下列命题及函数y=x，y=x2和
的图象 1 ①如果 a a 2 ，那么0 a 1 ；
反比例函数与实际问题（3）
例1 如图，为了预防流感，王老师决定对教室采用 药熏消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内每 立方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比 例，药物燃烧完后，y与x成反比例，现测得药物 8min燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为 6mg。请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）求薰药过程中， y与x的关系式；
例3.如图，点A是反比例函数y = （x＞0）的 图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数
y =﹣
的图象于点B，以AB为边作▱ABCD，
其中C、D在x轴上，则▱ABCD面积为（ D ）
A． 2
B． 3
C． 4
D． 5
1 变1：如图，点A在双曲线 y = x 上，点B在双曲线 3
上，且AB∥x轴，C、D在x轴上， 2 若四边形ABCD为矩形，则它的面积为
例2 实验数据显示，一般成人喝半斤低度白酒 后，1.5小时内其血液中酒精含量y（毫克/百毫 升）与时间x（时）的关系可近似地用二次函数 y=﹣200x2+400x刻画；1.5小时后（包括1.5小 k 时）y与x可近似地用反比例函数 y = x (k > 0) 刻画 （如图所示）．
（2）按国家规定，车辆驾驶人员 血液中的酒精含量大于或等于20 毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”， 不能驾车上路．参照上述数学模 型，假设某驾驶员晚上20：00在 家喝完半斤低度白酒，第二天早 上7：00能否驾车去上班？请说 明理由．
a
1 ②如果 a a a，那么 a 1 ；
2
1 y= x
③如果
1 a 2 a ，那么 1 a 0 ； a
2
1 ④如果 a a a ，那么 a 1 。
则下列说法正确的是（ ） A. 正确的命题是①④ B. 错误的命题是②③④ C. 正确的命题是①② D. 错误的命题只有③
（2）研究表明，当空气中每立方米 的含药量低于1.6 mg时学生方可进入 教室，那么从消毒开始，至少经过 多少分钟后，学生才能回到教室；
例1 如图，为了预防流感，王老师决定对教室采用 药熏消毒法进行消毒。已知药物燃烧时，室内每立 方米空气中的含药量y(mg)与时间x(min)成正比例， 药物燃烧完后，y与x成反比例，现测得药物8min 燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量为6mg。 请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （3）当空气中每立方米的含药量 不低于3mg为有效消毒，则此次 消毒的有效时间为多长？且有效消毒 持续时间不低于10 min时，才能有效 杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是 否有效？请说明理由。